Tangent and Normal Questions in Gujarati

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
બિંદુ $(4, 1)$ આગળ ઢાળ $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(4, 1)} = -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$.
અદસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
કિંમતો $y = 1$ અને $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\text{અદસ્પર્શકની લંબાઈ} = \left| \frac{1}{-1/2} \right| = |-2| = 2$.

(C) ધારો કે વક્રો બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શે છે.
વક્રો સ્પર્શતા હોવાથી,સ્પર્શબિંદુ પર તેમની કિંમત અને વિકલન સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. વિધેયોને સરખાવતા: $\frac{\ln x}{x} = \lambda x^2 \implies \ln x = \lambda x^3$.
$2$. વિકલનને સરખાવતા: $\frac{d}{dx}(\frac{\ln x}{x}) = \frac{d}{dx}(\lambda x^2) \implies \frac{1 - \ln x}{x^2} = 2\lambda x \implies 1 - \ln x = 2\lambda x^3$.
વિકલનના સમીકરણમાં $\ln x = \lambda x^3$ મૂકતા:
$1 - (\lambda x^3) = 2\lambda x^3 \implies 1 = 3\lambda x^3 \implies \lambda x^3 = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $\ln x = \lambda x^3$,તેથી $\ln x = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $x = e^{1/3}$.
હવે,$x^3 = (e^{1/3})^3 = e$ ને $\lambda x^3 = \frac{1}{3}$ માં મૂકતા:
$\lambda e = \frac{1}{3} \implies \lambda = \frac{1}{3e}$.

(B) વક્ર $f(x) = x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2$ છે. આ એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(2,2)$ પર છે.
બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ ધારો. તેનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 2)$ છે.
પરવલય માટે,જે જીવા બિંદુ $(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થાય છે અને ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ કાપે છે,તેનો ઢાળ $m = f'(x_0)$ થાય છે.
અહીં $f'(x) = 2x - 4$. $x = 2$ આગળ,$f'(2) = 2(2) - 4 = 0$.
આમ,રેખા $L$ નો ઢાળ $0$ છે. રેખા $L$ એ $y = 3$ છે.
$L$ ને સમાંતર સ્પર્શક (ઢાળ $0$) એ શિરોબિંદુ $(2,2)$ પરનો આડો સ્પર્શક છે,જે $y = 2$ છે.

(D) આપેલ વક્ર: $27x^2 = 4y^3$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $54x = 12y^2 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9x}{2y^2}$.
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(2t^3, 3t^2)$ છે.
$t$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ: $m = \frac{9(2t^3)}{2(3t^2)^2} = \frac{1}{t}$.
$t$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 3t^2 = \frac{1}{t}(x - 2t^3) \Rightarrow x - ty = -t^3$ .......$(i)$.
$t_1$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 3t_1^2 = -t_1(x - 2t_1^3) \Rightarrow t_1x + y = 3t_1^2 + 2t_1^4$ .......$(ii)$.
રેખા સ્પર્શક અને અભિલંબ બંને હોવાથી,$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા $\frac{1}{t_1} = -t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ મળે.
$\frac{1}{t_1} = -t$ પરથી,$t_1 = -\frac{1}{t}$ મળે.
$-t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ માં કિંમત મૂકતા: $t = \frac{t^7}{3t^2 + 2}$.
$3t^2 + 2 = t^6 \Rightarrow t^6 - 3t^2 - 2 = 0$. ધારો કે $u = t^2$,તો $u^3 - 3u - 2 = 0$.
$(u - 2)(u + 1)^2 = 0$. $u = t^2 > 0$ હોવાથી,$t^2 = 2$,તેથી $t = \pm \sqrt{2}$.
સ્પર્શકના સમીકરણ $x = t(y - t^2)$ માં $t^2 = 2$ મૂકતા: $x = \pm \sqrt{2}(y - 2)$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x \sin x$ છે.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
હવે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \sin x) = x \cos x + \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ ઢાળ $m$ શોધો:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}(0) + 1 = 1$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - \frac{\pi}{2} = 1(x - \frac{\pi}{2})$.
$y - \frac{\pi}{2} = x - \frac{\pi}{2}$.
$x - y = 0$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 + 2xy + x^3 = (x - 1)^3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 3x^2 = 3(x - 1)^2$.
બિંદુ $(1, -1)$ આગળ,$x = 1$ અને $y = -1$ મૂકતા:
$3(-1)^2 \frac{dy}{dx} + 2(-1) + 2(1) \frac{dy}{dx} + 3(1)^2 = 3(1 - 1)^2$.
$3 \frac{dy}{dx} - 2 + 2 \frac{dy}{dx} + 3 = 0$.
$5 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
બિંદુ $(1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{5}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m} = 5$ થાય.
બિંદુ $(1, -1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (-1) = 5(x - 1)$.
$y + 1 = 5x - 5$.
$5x - y = 6$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $e^y = 1 + x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$e^y \frac{dy}{dx} = 2x$
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^y} = \frac{2x}{1 + x^2}$
આપણે $|m| = \left| \frac{2x}{1 + x^2} \right|$ નો વિસ્તાર શોધવાનો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$(|x| - 1)^2 \geq 0$.
$x^2 - 2|x| + 1 \geq 0$
$x^2 + 1 \geq 2|x|$
બંને બાજુ $x^2 + 1$ વડે ભાગતા (જે હંમેશા ધન છે):
$1 \geq \frac{2|x|}{x^2 + 1}$
તેથી,$|m| = \left| \frac{2x}{1 + x^2} \right| \leq 1$.

(A) આપેલ વક્ર $y = ax^3 + b$ છે અને બિંદુ $A(2, 3)$ વક્ર પર આવેલું છે,તેથી:
$3 = a(2)^3 + b \implies 8a + b = 3$ (સમીકરણ $1$).
વક્રના કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3ax^2$ દ્વારા મળે છે.
$x = 2$ આગળ,ઢાળ $m = 3a(2)^2 = 12a$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 5$ આપેલ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી ઢાળ $m = 4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $12a = 4 \implies a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$a = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$8(\frac{1}{3}) + b = 3$
$\frac{8}{3} + b = 3$
$b = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9 - 8}{3} = \frac{1}{3}$.
આમ,$b = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ વક્ર $x = a(\cos t + \log \tan(t/2))$ અને $y = a \sin t$ છે.
પ્રથમ,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) = a(-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}) = a(-\sin t + \frac{1}{\sin t}) = a(\frac{1-\sin^2 t}{\sin t}) = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$.
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \tan t$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \tan t$ છે. ધારો કે નમનકોણ $\theta$ છે,તેથી $\tan \theta = \tan t$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = t$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $PC$ નું સૂત્ર $PC = |y \csc \theta|$ છે.
$y = a \sin t$ અને $\theta = t$ મૂકતા:
$PC = |a \sin t \cdot \csc t| = |a \sin t \cdot \frac{1}{\sin t}| = |a|$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈ $a$ છે.

(A) બિંદુ $(1, 1)$ એ વક્ર $xy + ax + by = 0$ પર આવેલું છે,તેથી $1(1) + a(1) + b(1) = 0$,જે $a + b = -1$ આપે છે .......$(1)$
$(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1}(2)) = 2$ છે.
સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 1$,$y = 1$ અને $\frac{dy}{dx} = 2$ મૂકતા:
$1(2) + 1 + a + b(2) = 0$
$3 + a + 2b = 0 \Rightarrow a + 2b = -3$ ........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \Rightarrow a = 1$
અંતે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1 + (-2)}{1 \times (-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $bx + ay = ab$ છે,જેને $y = -\frac{b}{a}x + b$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $y = b \cdot e^{-x/a}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x/a} \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,રેખાનો ઢાળ અને સ્પર્શ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ:
$-\frac{b}{a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
બંને બાજુ $-\frac{b}{a}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b \neq 0$):
$1 = e^{-x/a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^0 = 1$,તેથી $-x/a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ ને વક્રના સમીકરણ $y = b \cdot e^{-x/a}$ માં મૂકતા:
$y = b \cdot e^0 = b \cdot 1 = b$.
આમ,સ્પર્શ બિંદુ $(0, b)$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 12$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$4x + 2yy' = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y' = -\frac{2x}{y}$.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{2(2)}{2} = -2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2y - 4 = x - 2$ એટલે કે $x = 2y - 2$ થાય.
$x = 2y - 2$ ને વક્રના સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 12$ માં મૂકતા:
$2(2y - 2)^2 + y^2 = 12$
$2(4y^2 - 8y + 4) + y^2 = 12$
$8y^2 - 16y + 8 + y^2 = 12$
$9y^2 - 16y - 4 = 0$
$(9y + 2)(y - 2) = 0$.
આમ,$y = 2$ અથવા $y = -\frac{2}{9}$ મળે.
$y = 2$ માટે,$x = 2(2) - 2 = 2$ (મૂળ બિંદુ).
$y = -\frac{2}{9}$ માટે,$x = 2(-\frac{2}{9}) - 2 = -\frac{4}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{22}{9}$.
તેથી,અભિલંબ વક્રને ફરીથી $\left( -\frac{22}{9}, -\frac{2}{9} \right)$ બિંદુએ મળે છે.

(D) સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|y / (dy/dx)|$ અને સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \cdot (dy/dx)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સબનોર્મલની લંબાઈ સબટેન્જન્ટની લંબાઈ જેટલી છે,તેથી $|y \cdot (dy/dx)| = |y / (dy/dx)|$,જેનો અર્થ છે કે $(dy/dx)^2 = 1$,એટલે કે $dy/dx = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: જો $dy/dx = 1$ હોય,તો $(3, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 4 = 1(x - 3)$ એટલે કે $y = x + 1$ થાય. આ રેખા અક્ષોને $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ માં છેદે છે. પ્રશ્નમાં ધન યામ અક્ષોનો ઉલ્લેખ હોવાથી,આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $dy/dx = -1$ હોય,તો $(3, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 4 = -1(x - 3)$ એટલે કે $x + y = 7$ થાય. આ રેખા ધન યામ અક્ષોને $A(7, 0)$ અને $B(0, 7)$ માં છેદે છે.
તેથી,$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 7 \times 7 = \frac{49}{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x = \sec^2 t$ અને $y = \cot t$.
કારણ કે $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t} = 1 + \frac{1}{y^2}$,તેથી $x - 1 = \frac{1}{y^2}$,જે સૂચવે છે કે $y^2(x - 1) = 1$.
$t = \pi/4$ પર,$x = \sec^2(\pi/4) = 2$ અને $y = \cot(\pi/4) = 1$. તેથી,$P = (2, 1)$.
$y^2(x - 1) = 1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 = 0$ મળે છે.
$(2, 1)$ પર,$2(1) \frac{dy}{dx}(2 - 1) + 1^2 = 0 \Rightarrow 2 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -1/2$.
$P(2, 1)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 4$ છે.
વક્રના સમીકરણ $y^2(x - 1) = 1$ માં $y = \frac{4-x}{2}$ મૂકતા:
$\left(\frac{4-x}{2}\right)^2(x - 1) = 1 \Rightarrow (4-x)^2(x - 1) = 4 \Rightarrow (16 - 8x + x^2)(x - 1) = 4$.
$16x - 16 - 8x^2 + 8x + x^3 - x^2 = 4 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 24x - 20 = 0$.
કારણ કે $P(2, 1)$ વક્ર પર છે,$(x - 2)^2$ એક અવયવ હોવો જોઈએ. $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 2)^2(x - 5) = 0$ મળે છે.
બીજ $x = 2$ (બે વાર) અને $x = 5$ છે. આમ,$Q$ નો $x$-યામ $5$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^m y^n = a^{m+n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $m \ln x + n \ln y = \ln(a^{m+n})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{m}{n} \frac{y}{x}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર: $LST = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા: $LST = \left| \frac{y}{(-\frac{m}{n} \frac{y}{x})} \right| = \left| -\frac{nx}{m} \right| = \frac{n}{m} |x|$.
અહીં $\frac{n}{m}$ અચળ હોવાથી,સબટેન્જન્ટની લંબાઈ ભુજ $x$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) આપેલ વક્ર: $x^2y^2 - 2x = 4 - 4y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $(2, -2)$ આગળ:
$2(2)(-2)^2 + 2(2)^2(-2) \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$16 - 16 \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$14 = 12 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.
બિંદુ $(2, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - (-2) = \frac{7}{6}(x - 2)$.
$6(y + 2) = 7(x - 2) \Rightarrow 6y + 12 = 7x - 14 \Rightarrow 7x - 6y = 26$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-2, -7)$ માટે: $7(-2) - 6(-7) = -14 + 42 = 28 \neq 26$.
આમ,સ્પર્શક $(-2, -7)$ માંથી પસાર થતો નથી.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = 2\cos t + 2t\sin t$
$y = 2\sin t - 2t\cos t$
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2(\sin t + t\cos t) = 2t\cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2(\cos t - t\sin t) = 2t\sin t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t\sin t}{2t\cos t} = \tan t$
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ બિંદુ $(x, y)$ શોધો:
$x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે:
$y - (\sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}) = -1(x - (\sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}))$
$x + y = 2\sqrt{2}$
રેખા $Ax + By + C = 0$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$x + y - 2\sqrt{2} = 0$,તેથી $A=1, B=1, C=-2\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

(B) આપેલ વક્ર $\sin y = x \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right)$ છે.
$x = 0$ માટે,$\sin y = 0 \implies y = 0$. તેથી બિંદુ $(0, 0)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right) + x \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right) \frac{dy}{dx}$.
$(0, 0)$ આગળ:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
$(0, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ છે.
$\sqrt{3}y = -2x \implies 2x + \sqrt{3}y = 0$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = \cos(x + y)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \dots (1)$
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y = k$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(1 - \frac{1}{2}\right)$
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\sin(x + y) = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $x + y = \frac{\pi}{2}$.
$x + y = \frac{\pi}{2}$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણ $y = \cos(x + y)$ માં મૂકતા:
$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$y = 0$ અને $x + y = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,બિંદુ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $x + 2y = k$ માં મૂકતા:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(B) છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવો: $10 - x^2 = 2 + x^2$.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + (2)^2 = 6$. તેથી,છેદબિંદુ $(2, 6)$ છે.
$(2, 6)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો:
$y = 10 - x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = 2$ આગળ,$m_1 = -2(2) = -4$.
$y = 2 + x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = 2$ આગળ,$m_2 = 2(2) = 4$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$|\tan \theta | = |\frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)}| = |\frac{-8}{1 - 16}| = |\frac{-8}{-15}| = \frac{8}{15}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = xe^{x^2}$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^{x^2} \cdot (2x) + e^{x^2} \cdot 1 = e^{x^2}(2x^2 + 1)$.
બિંદુ $(1, e)$ આગળ ઢાળ $m$:
$m = e^{1^2}(2(1)^2 + 1) = e(2 + 1) = 3e$.
બિંદુ $(1, e)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - e = 3e(x - 1)$
$y - e = 3ex - 3e$
$y = 3ex - 2e$.
હવે,ચકાસીએ કે કયું બિંદુ સમીકરણ $y = 3ex - 2e$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $B$ $(\frac{4}{3}, 2e)$ માટે:
$y = 3e(\frac{4}{3}) - 2e = 4e - 2e = 2e$.
આમ,બિંદુ $(\frac{4}{3}, 2e)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સ્પર્શક આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 5x + 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખા $2y = 4x + 1$ છે,જેને $y = 2x + \frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય: $2x - 5 = 2 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 5\left( \frac{7}{2} \right) + 5 = \frac{49}{4} - \frac{35}{2} + 5 = \frac{49 - 70 + 20}{4} = -\frac{1}{4}$.
સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = 2$: $y - (-\frac{1}{4}) = 2(x - \frac{7}{2}) \implies y + \frac{1}{4} = 2x - 7 \implies y = 2x - \frac{29}{4}$.
હવે,કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસીએ. વિકલ્પ $B$ માટે: $x = \frac{1}{8}$,$y = 2(\frac{1}{8}) - \frac{29}{4} = \frac{1}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{28}{4} = -7$.
આમ,સ્પર્શક બિંદુ $\left( \frac{1}{8}, -7 \right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3 + ax - b$ છે.
બિંદુ $(1, -5)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી:
$-5 = (1)^3 + a(1) - b$
$-5 = 1 + a - b$
$a - b = -6$ $\dots(i)$
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + a$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, -5)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 3(1)^2 + a = 3 + a$ છે.
આપેલ રેખા $-x + y + 4 = 0$ છે,જેને $y = x - 4$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(3 + a)(1) = -1$
$3 + a = -1$
$a = -4$.
$a = -4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-4 - b = -6$
$-b = -2$
$b = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 4x - 2$ છે.
હવે,આપણે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
$(2, -2)$ માટે: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
બિંદુ $(2, -2)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,તે વક્ર પર આવેલું છે.

(D) પ્રથમ,બિંદુઓ $(1, f(1))$ અને $(-1, f(-1))$ ના યામ શોધો.
$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 2(1) = 1 - 1 - 2 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = -1 - 1 + 2 = 0$.
$(1, -2)$ અને $(-1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 0}{2} = -1$.
વક્ર $y = f(x)$ ના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - 2x) = 3x^2 - 2x - 2$.
સ્પર્શક રેખાખંડને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$3x^2 - 2x - 2 = -1$.
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 3x + x - 1 = 0$.
$3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
$(3x + 1)(x - 1) = 0$.
આમ,$x = 1$ અથવા $x = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\alpha, \beta)$ છે. બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,$\beta^{2}-3\alpha^{2}+\beta+10=0 \dots(i)$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2yy' - 6x + y' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y'(2y+1) = 6x$,તેથી $y' = \frac{6x}{2y+1}$.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{6\alpha}{2\beta+1} \dots(ii)$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$ છે.
અભિલંબ $(0, \frac{3}{2})$ અને $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $\frac{\beta - 3/2}{\alpha - 0} = \frac{2\beta-3}{2\alpha}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2\beta-3}{2\alpha} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$.
જો $\alpha \neq 0$ હોય,તો $3(2\beta-3) = -(2\beta+1) \Rightarrow 6\beta - 9 = -2\beta - 1 \Rightarrow 8\beta = 8 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $1^{2} - 3\alpha^{2} + 1 + 10 = 0 \Rightarrow 3\alpha^{2} = 12 \Rightarrow \alpha^{2} = 4$.
$(ii)$ પરથી,$|m| = |\frac{6\alpha}{2(1)+1}| = |\frac{6\alpha}{3}| = |2\alpha|$.
$\alpha^{2} = 4$ હોવાથી,$|\alpha| = 2$,તેથી $|m| = 2 \times 2 = 4$.

(A) વક્ર $y = f(x)$ માટે કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વક્ર $y = x^{3} - x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 1$ મળે છે.
$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે વિકલનમાં $x = 2$ મૂકીએ છીએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^{2} - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.
તેથી,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $11$ છે.

(B) વક્ર $y = \sqrt{4x - 3} - 1$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{4x - 3} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$.
આપેલ છે કે ઢાળ $\frac{2}{3}$ છે,તેથી આપણે વિકલનને $\frac{2}{3}$ સાથે સરખાવીએ:
$\frac{2}{\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{3}$.
$\sqrt{4x - 3} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $4x - 3 = 9$ મળે છે.
$4x = 12$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
હવે,$y$ શોધવા માટે મૂળ સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકો:
$y = \sqrt{4(3) - 3} - 1 = \sqrt{12 - 3} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(3, 2)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = -\frac{2}{x-3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x-3)^2}$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{(x-3)^2} = 2$ થાય.
આથી $(x-3)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x-3 = \pm 1$.
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = 2$ મળે.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = -\frac{2}{4-3} = -2$. બિંદુ $(4, -2)$ છે.
બિંદુ $(4, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2 = 2x - 8$ અથવા $y - 2x + 10 = 0$ થાય છે.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = -\frac{2}{2-3} = 2$. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 2 = 2x - 4$ અથવા $y - 2x + 2 = 0$ થાય છે.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $y - 2x + 2 = 0$ અને $y - 2x + 10 = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય જો તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ હોય.
ઢાળને શૂન્ય લેતા: $-\frac{25x}{4y} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ ને વક્રના મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
$\frac{y^{2}}{25} = 1$
$y^{2} = 25$
$y = \pm 5$.
આમ,જે બિંદુઓ પર સ્પર્શકો $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(0, -5)$ છે.

(A) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$
સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય જો તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે છેદ $y = 0$ હોય.
વક્રના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{0^{2}}{25} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} = 1 \implies x^{2} = 4 \implies x = \pm 2$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(-2, 0)$ છે.

(A) $x$-અક્ષ પર $y = 0$ હોય છે. વક્રના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$\frac{x-7}{(x-2)(x-3)} = 0$ મળે,તેથી $x = 7$. આમ,છેદબિંદુ $(7, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y = \frac{x-7}{x^2 - 5x + 6}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x-7)(2x-5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
બિંદુ $(7, 0)$ આગળ,છેદ $(7^2 - 5(7) + 6)^2 = (20)^2 = 400$ થાય.
અંશ $x=7$ આગળ $(49 - 35 + 6) - (0) = 20$ થાય.
તેથી,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} \Big|_{(7,0)} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$.
બિંદુ $(7, 0)$ આગળ અને ઢાળ $m = \frac{1}{20}$ હોય તેવા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 0 = \frac{1}{20}(x - 7)$,
$20y = x - 7$,
$20y - x + 7 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = 0$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}$ થાય છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\left(\frac{1}{1}\right)^{\frac{1}{3}} = -1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 2 = 0$ થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - x = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=3x^{4}-4x$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^{4}-4x) = 12x^{3}-4$.
$x=4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે વિકલિતમાં $x=4$ મૂકીશું:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=4} = 12(4)^{3}-4$.
$= 12(64)-4$.
$= 768-4 = 764$.
આમ,$x=4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $764$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \frac{x-1}{x-2}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)\frac{d}{dx}(x-1) - (x-1)\frac{d}{dx}(x-2)}{(x-2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)(1) - (x-1)(1)}{(x-2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x-2-x+1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$
હવે,$x=10$ આગળ ઢાળની કિંમત મેળવીએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=10} = \frac{-1}{(10-2)^2} = \frac{-1}{8^2} = \frac{-1}{64}$.
આમ,$x=10$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{-1}{64}$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^{3} - x + 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3} - x + 1) = 3x^{2} - 1$.
કોઈ બિંદુ $(x_{0}, y_{0})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ તે બિંદુએ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત છે.
અહીં $x$-યામ $x_{0} = 2$ આપેલ છે,તેથી આપણે વિકલિતમાં આ કિંમત મૂકીએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^{2} - 1$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.
આમ,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $11$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^{3} - 3x + 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $x = 3$ હોય તે બિંદુએ ઢાળ શોધવાનો છે.
વિકલનમાં $x = 3$ મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=3} = 3(3)^{2} - 3 = 3(9) - 3 = 27 - 3 = 24$.
આમ,$x = 3$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $24$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^{3}-3x^{2}-9x+7$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$ દ્વારા મળે છે.
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
$3x^{2}-6x-9 = 0 \Rightarrow x^{2}-2x-3 = 0$.
$(x-3)(x+1) = 0$,જેનાથી $x=3$ અથવા $x=-1$ મળે છે.
જ્યારે $x=3$ હોય,ત્યારે $y = (3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+7 = 27-27-27+7 = -20$.
જ્યારે $x=-1$ હોય,ત્યારે $y = (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+7 = -1-3+9+7 = 12$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, -20)$ અને $(-1, 12)$ છે.

(A) જો સ્પર્શક બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(4,4)$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો સ્પર્શકનો ઢાળ જીવાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2,0)$ અને $(x_2, y_2) = (4,4)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4-0}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
હવે,વક્ર $y = (x-2)^2$ ના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2(x-2)$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,આપણે ઢાળને સરખાવીએ: $2(x-2) = 2$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x-2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
અનુરૂપ $y$-યામ શોધવા માટે,વક્રના સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા: $y = (3-2)^2 = 1^2 = 1$.
આમ,વક્ર પરનું જરૂરી બિંદુ $(3,1)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^{3}-11x+5$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=x-11$ આપેલ છે,જે $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m=1$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-11$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકના ઢાળને વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$3x^{2}-11 = 1$
$3x^{2} = 12$
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$.
જ્યારે $x=2$ હોય,ત્યારે $y = (2)^{3}-11(2)+5 = 8-22+5 = -9$.
જ્યારે $x=-2$ હોય,ત્યારે $y = (-2)^{3}-11(-2)+5 = -8+22+5 = 19$.
તેથી,જરૂરી બિંદુઓ $(2,-9)$ અને $(-2,19)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=\frac{1}{x-1}, x \neq 1$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x-1)^2}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ આપેલ હોવાથી,આપણે વિકલનને $-1$ સાથે સરખાવીએ:
$\frac{-1}{(x-1)^2} = -1$
$(x-1)^2 = 1$
$x-1 = \pm 1$
$x = 2$ અથવા $x = 0$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $y = \frac{1}{0-1} = -1$. બિંદુ $(0, -1)$ મળે છે.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $y = \frac{1}{2-1} = 1$. બિંદુ $(2, 1)$ મળે છે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(0, -1)$ અને $m = -1$ માટે:
$y - (-1) = -1(x - 0) \Rightarrow y + 1 = -x \Rightarrow y + x + 1 = 0$.
બિંદુ $(2, 1)$ અને $m = -1$ માટે:
$y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -x + 2 \Rightarrow y + x - 3 = 0$.
આમ,જરૂરી રેખાઓના સમીકરણો $y+x+1=0$ અને $y+x-3=0$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = \frac{1}{x-3}, x \neq 3$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x-3)^{-1} = -1(x-3)^{-2} = \frac{-1}{(x-3)^2}$.
અહીં સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ આપેલ છે. તેથી,આપણે વિકલિતને $2$ સાથે સરખાવીએ:
$\frac{-1}{(x-3)^2} = 2$.
આના પરથી $(x-3)^2 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ $(x-3)^2$ હંમેશા અઋણ હોવો જોઈએ,તેથી તે $-\frac{1}{2}$ જેવી ઋણ કિંમત જેટલો ન હોઈ શકે.
આમ,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ હોય.
તેથી,આપેલ વક્રને $2$ ઢાળ ધરાવતો કોઈ સ્પર્શક નથી.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=\frac{1}{x^{2}-2x+3}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^{2}-2x+3)^{2}} \cdot (2x-2) = \frac{-2(x-1)}{(x^{2}-2x+3)^{2}}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ આપેલ હોવાથી,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{-2(x-1)}{(x^{2}-2x+3)^{2}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $-2(x-1) = 0$,તેથી $x = 1$.
હવે,વક્રના સમીકરણમાં $x=1$ મૂકીને અનુરૂપ $y$-યામ શોધો:
$y = \frac{1}{(1)^{2}-2(1)+3} = \frac{1}{1-2+3} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શક બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.
$(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી અને $m=0$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_0 = m(x - x_0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1)$,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય જો સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{16x}{9y} = 0$,જે ફક્ત $x = 0$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.
વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$\frac{0^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1
\Rightarrow y^{2} = 16
\Rightarrow y = \pm 4$.
આમ,વક્ર પરના બિંદુઓ જ્યાં સ્પર્શકો $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે $(0, 4)$ અને $(0, -4)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$ મળે છે.
જ્યારે સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોય છે,જે છેદ $y = 0$ હોય ત્યારે થાય છે.
વક્રના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{0^{2}}{16} = 1$
$\Rightarrow x^{2} = 9$
$\Rightarrow x = \pm 3$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-10 x+5$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}-18x^{2}+26x-10$.
બિંદુ $(0,5)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,5)} = 4(0)^{3}-18(0)^{2}+26(0)-10 = -10$.
$(0,5)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - 5 = -10(x - 0) \Rightarrow y - 5 = -10x \Rightarrow 10x + y - 5 = 0$.
$(0,5)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ:
$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-10} = \frac{1}{10}$.
$(0,5)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 5 = \frac{1}{10}(x - 0) \Rightarrow 10y - 50 = x \Rightarrow x - 10y + 50 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-10 x+5$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}-18x^{2}+26x-10$.
બિંદુ $(1,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,3)} = 4(1)^{3}-18(1)^{2}+26(1)-10 = 4-18+26-10 = 2$.
બિંદુ $(1,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y-3 = 2(x-1) \Rightarrow y-3 = 2x-2 \Rightarrow 2x-y+1 = 0$.
બિંદુ $(1,3)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ:
$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(1,3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y-3 = -\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow 2y-6 = -x+1 \Rightarrow x+2y-7 = 0$.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y=x^{3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)} = 3(1)^{2} = 3$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1 = 3(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x-y-2=0$ થાય છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{3}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = -\frac{1}{3}(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3y-3 = -x+1$ એટલે કે $x+3y-4=0$ થાય છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y=x^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(0,0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = 2(0) = 0$ છે.
બિંદુ $(0,0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = 0(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = 0$ છે.
બિંદુ $(0,0)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $\frac{-1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = \frac{-1}{0}$ છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (0,0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા માટે,સમીકરણ $x = x_0$ થાય,તેથી અભિલંબનું સમીકરણ $x = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^{2}-2x+7$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx}=2x-2$.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2x-y+9=0$ છે,જેને $y=2x+9$ તરીકે લખી શકાય.
આ $y=mx+c$ ના સ્વરૂપમાં છે,તેથી રેખાનો ઢાળ $m=2$ છે.
સ્પર્શક રેખા $2x-y+9=0$ ને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$2x-2=2$,જે $2x=4$ આપે છે,એટલે કે $x=2$.
વક્રના સમીકરણમાં $x=2$ મૂકતા,આપણને $y=(2)^{2}-2(2)+7=4-4+7=7$ મળે છે.
સ્પર્શબિંદુ $(2, 7)$ છે.
$(2, 7)$ માંથી પસાર થતી અને $m=2$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ દ્વારા મળે છે.
$y-7=2(x-2)$
$y-7=2x-4$
$y-2x-3=0$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $5y-15x=13$ છે.
તેને $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં લખતા: $5y=15x+13 \Rightarrow y=3x+\frac{13}{5}$.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1=3$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એવો હોવો જોઈએ કે $m_1 \times m_2 = -1$.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{3}$.
વક્ર $y=x^2-2x+7$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x-2$ છે.
ઢાળને $-\frac{1}{3}$ સાથે સરખાવતા: $2x-2 = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{6}$.
હવે,$y$-યામ શોધીએ: $y = (\frac{5}{6})^2 - 2(\frac{5}{6}) + 7 = \frac{25}{36} - \frac{10}{6} + 7 = \frac{25-60+252}{36} = \frac{217}{36}$.
સ્પર્શબિંદુ $(\frac{5}{6}, \frac{217}{36})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{217}{36} = -\frac{1}{3}(x - \frac{5}{6})$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ગુણતા: $36y - 217 = -12(x - \frac{5}{6}) \Rightarrow 36y - 217 = -12x + 10$.
તેથી,$36y + 12x - 227 = 0$ મળે છે.