Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(D) વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:
$1$. ગુણાકારનો વ્યસ્ત એ વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર છે: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
$2$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ તેના વ્યસ્ત સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
$3$. વ્યસ્ત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ મૂળ શ્રેણિકના નિશ્ચાયકનો વ્યસ્ત હોય છે: $\operatorname{det}(A^{-1}) = [\operatorname{det}(A)]^{-1}$.
$4$. સરવાળાનો વ્યસ્ત સામાન્ય રીતે વ્યસ્તોના સરવાળા જેટલો હોતો નથી: $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$.
તેથી,$(A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$ વિધાન ખોટું છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 2(1 \times 3 - 1 \times 0) - 5(0 \times 3 - 1 \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$|A| = 2(3) - 5(1) + 0 = 6 - 5 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = 3, C_{12} = -1, C_{13} = 1$
$C_{21} = -15, C_{22} = 6, C_{23} = -5$
$C_{31} = 5, C_{32} = -2, C_{33} = 2$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\text{adj}(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$n=3$ કક્ષાના (વાસ્તવિક) શ્રેણિક $A$ ના એડજોઈન્ટનો નિશ્ચાયક $|\operatorname{adj} A| = 25$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ ગુણધર્મ છે.
$n=3$ મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ મળે છે.
તેથી,$|A|^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 5$.
આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો નિશ્ચાયક $|A^{-1}|$ શોધવાનો છે.
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A^{-1}| = \frac{1}{\pm 5} = \pm 0.2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ ક્રમનો વિકર્ણ શ્રેણિક છે,જે $A = \text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a_i \neq 0$ છે કારણ કે શ્રેણિક બિન-શૂન્ય (non-singular) છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \text{diag}(1/a_1, 1/a_2, \dots, 1/a_n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A^{-1}$ ના તમામ વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો $0$ રહે છે,તેથી પરિણામી શ્રેણિક $A^{-1}$ પણ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
આમ,વિકર્ણ બિન-શૂન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક એ વિકર્ણ શ્રેણિક જ હોય છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણને $|A|=3$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ થાય.
વળી,અદિશ $k$ અને $n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|kA| = k^n |A|$ થાય.
તેથી,$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 3 = 24$.
હવે,$|(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{24}$.

(A) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ થાય છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-અવયજ શ્રેણિક),$\operatorname{adj}(A)$,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શોધવાનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ અને $10 B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
કારણ કે $B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $B = A^{-1}$.
આમ,$10 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા,$10 A^{-1} A = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] A$.
$A^{-1} A = I$ હોવાથી,$10 I = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
જમણી બાજુનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}4(1)+2(2)+2(1) & 4(-1)+2(1)+2(1) & 4(1)+2(-3)+2(1) \\ -5(1)+0(2)+\alpha(1) & -5(-1)+0(1)+\alpha(1) & -5(1)+0(-3)+\alpha(1) \\ 1(1)-2(2)+3(1) & 1(-1)-2(1)+3(1) & 1(1)-2(-3)+3(1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ -5+\alpha & \alpha+5 & -5+\alpha \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$.
આને $10 I = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$ સાથે સરખાવતા.
$(2, 1)$ સ્થાન પરના ઘટકને સરખાવતા,$-5 + \alpha = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 5$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે અને $\operatorname{det}(A) = 3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ $k$ અને $n \times n$ શ્રેણિક $A$ માટે,$\operatorname{det}(kA) = k^n \operatorname{det}(A)$ થાય.
વળી,$\operatorname{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$ થાય.
તેથી,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 3^3 \operatorname{det}(A^{-1})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 27 \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)} = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $A \text{ adj. } A = |A| I$ છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A \text{ adj. } A| = | |A| I |$ મળે છે.
$n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $|kI| = k^n |I|$ હોવાથી,આપણને $|A \text{ adj. } A| = |A|^n |I|$ મળે છે.
$|I| = 1$ હોવાથી,સૂત્ર $|A \text{ adj. } A| = |A|^n$ બને છે.
અહીં $n = 3$ અને $|A| = 5$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$|A \text{ adj. } A| = (5)^3 = 125$.

(D) આપણને ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ આપેલ છે.
આને આપેલ સમીકરણ $A(\operatorname{adj} A) = 10I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $|A| = 10$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટના નિશ્ચાયક માટેનો ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = 10^2 = 100$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2 - 0) + 4(-2 - 0) = 3(1) + 3(2) + 4(-2) = 3 + 6 - 8 = 1$.
કારણ કે $|A| = 1 \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક શોધીને તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈને $A$ નો એડજોઈન્ટ શોધીએ.
સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ છે:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$
તેથી,$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1$ હોવાથી,$A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{|A|} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આમ,$A^{-1} = A^3$ થાય છે.

(C) $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(A) \cdot A = \operatorname{det}(A) \cdot I_n$ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A) \cdot A) = \operatorname{det}(\operatorname{det}(A) \cdot I_n)$ મળે છે.
$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n \cdot \operatorname{det}(I_n)$ છે.
$\operatorname{det}(I_n) = 1$ હોવાથી,આ સમીકરણ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n$ માં ફેરવાય છે.
$n=3$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^3$ થાય.
બંને બાજુ $\operatorname{det}(A)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,તેથી $\operatorname{det}(A) \neq 0$),આપણને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $3 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$. $A A^{T} = I$ હોવાથી,$(3 A)(3 A)^{T} = 9 I$ થાય.
$(3 A)(3 A)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,$(1, 3)$ ઘટક $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$ મળે.
$(2, 3)$ ઘટક $2(a) + 1(2) - 2(b) = 2a + 2 - 2b = 0$ મળે.
$2a - 2b = -2$ પરથી,$a - b = -1$,એટલે કે $a = b - 1$ મળે.
$a + 2b = -4$ માં કિંમત મુકતા,$(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$.
તેથી $a = -1 - 1 = -2$.
આમ,$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{-2}{-1} + \frac{-1}{-2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $A \cdot A^T = A^T \cdot A$ અને $B = A^{-1} A^T$.
આપણે $B \cdot B^T$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$B \cdot B^T = (A^{-1} A^T) (A^{-1} A^T)^T$.
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T ((A^T)^T (A^{-1})^T)$.
કારણ કે $(A^T)^T = A$ અને $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$,તેથી:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T A (A^T)^{-1}$.
કારણ કે $A^T A = A A^T$,આપણે મૂકીએ:
$B \cdot B^T = A^{-1} (A A^T) (A^T)^{-1}$.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot B^T = (A^{-1} A) A^T (A^T)^{-1}$.
$B \cdot B^T = I \cdot (A^T (A^T)^{-1}) = I \cdot I = I$.
આમ,$B \cdot B^T = I$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{Adj}(A) \cdot A = |A| I$. ધારો કે $|A| = k$. કારણ કે $|A| > 0$,તેથી $k > 0$.
આપેલ છે કે $\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 \\ 10 & 8 & 0 \\ 2 & 4 & -4 \end{bmatrix}$.
$\text{Adj}(A)$ નો નિશ્ચાયક $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2 = k^2$ થાય.
$\text{Adj}(A)$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|\text{Adj}(A)| = 0(8(-4) - 0) - 4(10(-4) - 0) - 6(10(4) - 8(2)) = 0 - 4(-40) - 6(40 - 16) = 160 - 6(24) = 160 - 144 = 16$.
તેથી,$k^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
હવે,$A = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(\text{Adj}(A))$.
સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,પદાવલિનું મૂલ્ય $2$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 1(13) - 2(-4) + 3(-5) = 13 + 8 - 15 = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$.
આગળ,$|\text{adj}(\text{adj } A)| = |\text{adj } A|^{n-1} = (36)^{3-1} = 36^2 = 1296$.
વળી,$(\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|\text{adj } A|} \text{adj}(\text{adj } A) = \frac{1}{36} A$.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$1296 \times (\frac{1}{36} A) = kA$
$36 A = kA$
તેથી,$k = 36$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ સાચો છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે અને $\det(A) = 4$ છે.
તેથી,$\det(P) = \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (4)^2 = 16$.
હવે,શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$\det(P) = 2\alpha - 6$.
$\det(P)$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $11$ છે.

(A) પગલું $1$: શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|A| = 1(6-9) - 1(3-6) + 2(3-4) = 1(-3) - 1(-3) + 2(-1) = -3 + 3 - 2 = -2$.
અહીં $a = |adj(A)| = |A|^{n-1}$ જ્યાં $n=3$ છે,તેથી $a = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$.
પગલું $2$: શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|B| = 1(12 - (-1)) - 2(-16 - (-2)) + 3(4 - (-6)) = 1(13) - 2(-14) + 3(10) = 13 + 28 + 30 = 71$.
અહીં $b = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{71}$ છે.
પગલું $3$: $\frac{b+1}{18b}$ ની કિંમત મેળવો.
$\frac{\frac{1}{71} + 1}{18 \times \frac{1}{71}} = \frac{\frac{72}{71}}{\frac{18}{71}} = \frac{72}{18} = 4$.
$a = 4$ હોવાથી,જવાબ $a$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે અને $B = A^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det B = \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = k$,તેથી $\det A = \frac{1}{k}$ થાય.
એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટ માટેનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{n-2} A$ છે.
અહીં $n = 3$ હોવાથી,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{3-2} A = (\det A) A$ મળે.
$\det A = \frac{1}{k}$ મૂકતા,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{k} A$ મળે.
હવે,આપણે વ્યસ્ત શોધવો છે: $(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))^{-1} = (\frac{1}{k} A)^{-1}$.
ગુણધર્મ $(c A)^{-1} = \frac{1}{c} A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{1}{k} A)^{-1} = k A^{-1}$ મળે.
કારણ કે $A^{-1} = B$ છે,તેથી જવાબ $k B$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 4$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $P = \operatorname{adj}(A)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,તેથી $|P| = |A|^{4-1} = |A|^3$.
આપેલ છે કે $|P| = |\frac{A}{2}|$. કારણ કે $A$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક છે,$|\frac{A}{2}| = \frac{1}{2^4} |A| = \frac{1}{16} |A|$.
બંને પદોને સરખાવતા: $|A|^3 = \frac{1}{16} |A|$.
આનો અર્થ એ છે કે $|A|^3 - \frac{1}{16} |A| = 0$,તેથી $|A|(|A|^2 - \frac{1}{16}) = 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$ ($A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે),તેથી $|A|^2 = \frac{1}{16}$,જે $|A| = \pm \frac{1}{4}$ આપે છે.
અંતે,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\pm 1/4} = \pm 4$.

(C) $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{n-1}$ છે.
આપેલ કારણ $(R)$ માં,એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^n$,જે ખોટું છે કારણ કે ઘાતાંક $n-1$ હોવો જોઈએ.
વિધાન $(A)$ માટે,આપેલ છે કે $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક $(n=3)$ છે અને $|B|=6$,તેથી $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{3-1} = |B|^2 = 6^2 = 36$ થાય.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$,જ્યાં $C_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ (cofactor) છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -3 & 9 & 5 \\ 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$C_{11} = 7 \Rightarrow \begin{vmatrix} 2 & b \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \Rightarrow 6 - b = 7 \Rightarrow b = -1$.
$C_{13} = 1 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ c & 1 \end{vmatrix} = 1 \Rightarrow 1 - 2c = 1 \Rightarrow c = 0$.
$C_{33} = 5 \Rightarrow \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \Rightarrow 2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.
આમ,$a^2 + b^2 + c^2 = (3)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 9 + 1 + 0 = 10$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $M$ માટે,$M^{-1} = \frac{\operatorname{Adj}(M)}{\operatorname{det}(M)}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Adj}(M) = \operatorname{det}(M) \cdot M^{-1}$.
આપેલ પદાવલિ $((\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)) B^{-1} A^{-1}$ છે.
કારણ કે $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$,આપણે પદાવલિને $\operatorname{det}(AB) \cdot (B^{-1} A^{-1})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શ્રેણિકના વ્યસ્તના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
તેથી,પદાવલિ $\operatorname{det}(AB) \cdot (AB)^{-1}$ બને છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,આ $\operatorname{Adj}(AB)$ ની બરાબર છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) શોધવા માટે,આપણે પહેલા $A$ ના દરેક ઘટકનો સહઅવયવ (cofactor) શોધીશું.
ધારો કે $C_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ છે.
$C_{11} = +((-6)(4) - (5)(0)) = -24$
$C_{12} = -((2)(4) - (5)(5)) = -(8 - 25) = 17$
$C_{13} = +((2)(0) - (-6)(5)) = 30$
$C_{21} = -((-2)(4) - (2)(0)) = -(-8) = 8$
$C_{22} = +((1)(4) - (2)(5)) = 4 - 10 = -6$
$C_{23} = -((1)(0) - (-2)(5)) = -(0 + 10) = -10$
$C_{31} = +((-2)(5) - (2)(-6)) = -10 + 12 = 2$
$C_{32} = -((1)(5) - (2)(2)) = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +((1)(-6) - (-2)(2)) = -6 + 4 = -2$
સહઅવયવ શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} -24 & 17 & 30 \\ 8 & -6 & -10 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -24 & 8 & 2 \\ 17 & -6 & -1 \\ 30 & -10 & -2 \end{bmatrix}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1((-1)(1) - (3)(2)) - (-3)((-2)(-1) - (3)(3)) + 2((-2)(2) - (1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 6) + 3(2 - 9) + 2(-4 - 3)$
$|A| = 1(-7) + 3(-7) + 2(-7) = -7 - 21 - 14 = -42$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{Adj} A = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી,$A^2 \operatorname{Adj} A = A(A \operatorname{Adj} A) = A(|A| I) = |A| A$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A^2 \operatorname{Adj} A = -42 A$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ તેના કોફેક્ટર (સહ-અવયવ) શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ ના કોફેક્ટર્સ $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = (-1)^{1+1}(3 \times 2 - 1 \times 1) = 5$
$C_{12} = (-1)^{1+2}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{13} = (-1)^{1+3}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \times 2 - 3 \times 3) = -7$
$C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \times 1 - 3 \times 2) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \times 1 - 2 \times 3) = 5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \times 3 - 2 \times 2) = -1$
કોફેક્ટર શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
એડજોઈન્ટ એ આ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$.
આને $\begin{bmatrix} 5 & a & -7 \\ b & -7 & c \\ -7 & d & -1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -1, b = -1, c = 5, d = 5$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c+d = -1 - 1 + 5 + 5 = 8$.

(B) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે,જ્યાં $i > j$ માટે $a_{ij} = 0$ છે.
શ્રેણિક $A$ નો સહ-અવયવજ (adjoint),જેને $adj(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહ-અવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
ઉપરના ત્રિકોણીય શ્રેણિક માટે,જો $i > j$ હોય તો સહ-અવયવ $C_{ij}$ શૂન્ય થાય છે.
ખાસ કરીને,સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ એ નીચલો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હશે કારણ કે વિકર્ણની ઉપરના ઘટકો એવા ઉપ-શ્રેણિકોના નિશ્ચાયક છે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક હાર અથવા સ્તંભ શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે $adj(A) = C^T$,નીચલા ત્રિકોણીય શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોય છે.
તેથી,$adj(A)$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે.

(C) આપણી પાસે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા,$|A| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (1)^2 = 1$.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$.
આમ,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 1 \cdot A = A$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)}{|\operatorname{adj} A|}$.
કિંમતો મૂકતા,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{1} = A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n=3$ અને $|A|=2$ આપેલ છે,તેથી $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 2A$ થાય.
હવે,આપણે આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધવો પડશે: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |2A| = 2^n |A| = 2^3 \times 2 = 8 \times 2 = 16$.
હવે,આપણે ગુણાકારની ગણતરી કરીએ: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = 16 \times (2A) = 32A$.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A A^{-1} = I$,તેથી:
$\begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} k/4 & 0 & 0 \\ 0 & l/9 & 0 \\ 0 & 0 & m/16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$k/4 = 1 \implies k = 4$.
$l/9 = 1 \implies l = 9$.
$m/16 = 1 \implies m = 16$.
તેથી,$k+l+m = 4 + 9 + 16 = 29$.

(A) $n=3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ છે.
$n=3$ મૂકતા,આપણને $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ મળે છે.
જો $|A|=0$ હોય,તો $|\operatorname{Adj} A| = 0^2 = 0$ થાય. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|A \cdot A^{-1}| = |I|$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|A| \cdot |A^{-1}| = 1$ મળે છે.
કારણ કે $|A| \neq 0$,આપણે $|A|$ વડે ભાગી શકીએ,જેના પરિણામે $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,$\operatorname{Adj}(A) = |A| A^{-1}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $QP$ પણ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
તેથી,$\operatorname{Adj}(QP) = |QP| (QP)^{-1}$ થાય.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$|QP| = |Q||P| = |P||Q|$ થાય.
વ્યસ્ત શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$(QP)^{-1} = P^{-1} Q^{-1}$ થાય.
આમ,$\operatorname{Adj}(QP) = |P||Q| P^{-1} Q^{-1}$ થાય.
નોંધો કે $\operatorname{Adj}(Q) = |Q| Q^{-1}$ અને $\operatorname{Adj}(P) = |P| P^{-1}$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\operatorname{Adj}(Q) \operatorname{Adj}(P) = (|Q| Q^{-1}) (|P| P^{-1}) = |Q||P| Q^{-1} P^{-1}$ મળે.
સામાન્ય રીતે $\operatorname{Adj}(QP) = \operatorname{Adj}(P) \operatorname{Adj}(Q)$ એ સાચું સૂત્ર છે.

(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(3 \times 8 - 4 \times 6) - 2(2 \times 8 - 4 \times 5) + 3(2 \times 6 - 3 \times 5) = 1(24 - 24) - 2(16 - 20) + 3(12 - 15) = 0 - 2(-4) + 3(-3) = 8 - 9 = -1$.
ત્યારબાદ,શ્રેણિક $B$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|B| = 3(3 \times 9 - 8 \times 2) - 2(2 \times 9 - 8 \times 7) + 5(2 \times 2 - 3 \times 7) = 3(27 - 16) - 2(18 - 56) + 5(4 - 21) = 3(11) - 2(-38) + 5(-17) = 33 + 76 - 85 = 24$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A| \times |B|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|AB| = (-1) \times 24 = -24$ મળે છે.
$n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ થાય.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
$|\operatorname{Adj}(AB)| = (-24)^2 = 576$.
કારણ કે $576 = 24^2$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $|A - \lambda I| = 0$ નો ઉપયોગ કરીને શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(1-\lambda)[(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 2] - 2[2(-2-\lambda) - (-2)] - 2[2 - (-1)(-1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)[\lambda^2 + 3\lambda + 2 - 2] - 2[-4 - 2\lambda + 2] - 2[2 - 1 - \lambda] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda) - 2(-2\lambda - 2) - 2(1 - \lambda) = 0$.
$\lambda^2 + 3\lambda - \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda + 4 - 2 + 2\lambda = 0$.
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 + 9\lambda + 2 = 0 \implies \lambda^3 + 2\lambda^2 - 9\lambda - 2 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 + 2A^2 - 9A - 2I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^2 + 2A - 9I - 2A^{-1} = 0$.
તેથી,$2A^{-1} = A^2 + 2A - 9I$.
હવે $A + 2A^{-1} = A + A^2 + 2A - 9I = A^2 + 3A - 9I$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix}$.
$A^2 + 3A - 9I = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & -6 \\ 6 & -3 & 6 \\ -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -5 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{bmatrix}$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $S$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધીએ. નિશ્ચાયક $|S| = 0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = 1 + 1 = 2$.
$S$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $\text{adj}(S) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
આમ,$S^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
આગળ,આપણે $SA$ ની ગણતરી કરીએ: $SA = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b+c & c-a & b-a \\ c-b & c+a & a-b \\ b-c & a-c & a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S$.
તેથી,$SAS^{-1} = (SA)S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} I = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (-\cot \theta)(-\cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = \cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = -1$ શોધો.
હવે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} -\cot \theta & -\operatorname{cosec} \theta \\ -\operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix}$ મેળવો.
$A^{-1} = A$ માટે:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\cot \theta = -\cot \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2 \cot \theta = 0$,તેથી $\cot \theta = 0$. આ $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે.
$A^{-1} + A = O$ માટે:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \operatorname{cosec} \theta \\ 2 \operatorname{cosec} \theta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનો અર્થ છે $2 \operatorname{cosec} \theta = 0$,જેનો અર્થ છે $\operatorname{cosec} \theta = 0$. કારણ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં. તેથી,આવી $\theta_2$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda(1-\lambda) - 1] = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda + \lambda^2 - 1] = 0$
$-\lambda + \lambda^2 - 1 + \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda = 0$
$\lambda^3 - 2\lambda^2 + 1 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$A^3 - 2A^2 + I = 0$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^3 A^{-1} - 2A^2 A^{-1} + I A^{-1} = 0$
$A^2 - 2A + A^{-1} = 0$
$A^{-1} = 2A - A^2$.

(B) આપેલ છે કે $A = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $AA^T$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ કે $A$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે કે નહીં.
$A^T = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \frac{1}{49} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1 = (3)(3) + (-2)(-2) + (6)(6) = 9 + 4 + 36 = 49$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $2 = (3)(-6) + (-2)(-3) + (6)(2) = -18 + 6 + 12 = 0$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $3 = (3)(-2) + (-2)(6) + (6)(3) = -6 - 12 + 18 = 0$.
તે જ રીતે,બધા વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો $0$ મળે છે અને વિકર્ણ ઘટકો $49$ મળે છે.
આમ,$AA^T = \frac{1}{49} (49I) = I$.
કારણ કે $AA^T = I$,તેથી $A^{-1} = A^T$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\sin \alpha)(\sin \alpha) - (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) શોધીએ:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,તેથી:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
હવે,$A + A^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A + A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A + A^{-1} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$2 \sin \alpha = 1 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આમ,$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $M = A B^{-1}$ શોધો:
$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = (A B^{-1})^{-1}$ શોધો.
નિશ્ચાયક $|M| = (1)(0) - (5)(-2) = 10$.
એડજોઈન્ટ $\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}$.
આને $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{1}{5}, d = \frac{1}{10}$ મળે છે.
અંતે,$2b + 5c + 10d$ ની કિંમત શોધો:
$2(-\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{5}) + 10(\frac{1}{10}) = -1 + 1 + 1 = 1$.

(A) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3-6A^2+11A-6I=0$ છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમગ્ર સમીકરણને $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^3-6A^2+11A-6I) = A^{-1}(0)$
$A^2-6A+11I-6A^{-1} = 0$
$A^{-1}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$6A^{-1} = A^2-6A+11I$
$A^{-1} = \frac{1}{6}(A^2-6A+11I)$

(C) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
આગળ,આપણે $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (cofactor matrix) $C$ શોધીએ:
$C_{11} = (1 - (-3)) = 4, C_{12} = -(2 - (-3)) = -5, C_{13} = (2 - 1) = 1$
$C_{21} = -(-1 - 1) = 2, C_{22} = (1 - 1) = 0, C_{23} = -(1 - (-1)) = -2$
$C_{31} = (3 - 1) = 2, C_{32} = -(-3 - 2) = 5, C_{33} = (1 - (-2)) = 3$.
તેથી,$Adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)$,તેથી $10 B = Adj(A)$.
$10 B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ અને $Adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \theta \\ -\tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$|A| = (1)(1) - (\tan \theta)(-\tan \theta) = 1 + \tan^2 \theta$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 \theta & -2 \tan \theta \\ 2 \tan \theta & 1 - \tan^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
આનું સાદું રૂપ: $\begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{-2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \\ \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = \cos 2 \theta$ અને $b = \sin 2 \theta$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે $\operatorname{det}(kM) = k^n \operatorname{det}(M)$ અને $\operatorname{det}(XY) = \operatorname{det}(X) \operatorname{det}(Y)$ થાય.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - 0) - 1(-3 - 0) + 3(-1 - 8) = 12 + 3 - 27 = -12$.
આપેલ છે $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$|B| = 3(0 - 3) - 2(0 - 9) + 1(1 - 6) = -9 + 18 - 5 = 4$.
આપણે $\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1})$ શોધવાનું છે.
$A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 2^3 \operatorname{det}(B^{-1}) \operatorname{det}(A^{-1})$ થાય.
$\operatorname{det}(M^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(M)}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 8 \times \frac{1}{\operatorname{det}(B)} \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{-12} = 2 \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{6}$.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id) = (a^2+b^2) - (-(c^2+d^2)) = a^2+b^2+c^2+d^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
આને આપેલ $A^{-1} = \begin{bmatrix} a+ib & -c-id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે નિશ્ચાયક $|A|$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $Q = A^{-1}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(1+3) = 4, C_{12} = -(2+3) = -5, C_{13} = +(2-1) = 1$
$C_{21} = -(-1-1) = 2, C_{22} = +(1-1) = 0, C_{23} = -(1+1) = -2$
$C_{31} = +(3-1) = 2, C_{32} = -(-3-2) = 5, C_{33} = +(1+2) = 3$
તેથી,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ હોવાથી:
$Q = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$10$ વડે ગુણતા,$10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
આપેલ $10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & x \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક માટે,$A^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 5^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$B = A^3 = \begin{bmatrix} 3^3 & 0 & 0 \\ 0 & 5^3 & 0 \\ 0 & 0 & 4^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 125 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{bmatrix}$ મળે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $D^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \frac{1}{d_3})$ થાય.
આમ,$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{27} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{125} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{64} \end{bmatrix}$ મળે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $n$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નીચેના વિધાનો સમાન છે:
$1$. $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
$2$. એવો શ્રેણિક $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $AB = I_n$.
$3$. એવો શ્રેણિક $C$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $CA = I_n$.
જો $AB = I_3$ હોય,તો જમણી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા $A = I_3 B^{-1}$ મળે,જે સૂચવે છે કે $B = A^{-1}$.
તે જ રીતે,જો $CA = I_3$ હોય,તો $C = A^{-1}$.
આમ,$B = C = A^{-1}$.
ત્રણેય વિધાનો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-25x+24=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2-x-24x+24=0 \Rightarrow x(x-1)-24(x-1)=0 \Rightarrow (x-1)(x-24)=0$.
આમ,બીજ $x=1$ અને $x=24$ છે.
કારણ કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
કિસ્સો $1$: જો $k=1$ હોય,તો $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
$|A| = 1(2-3) - 2(3-3) + 1(3-2) = -1 - 0 + 1 = 0$.
$|A|=0$ હોવાથી,$k=1$ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $k=24$ હોય,તો $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 24\end{array}\right]$.
$|A| = 1(48-3) - 2(72-3) + 1(3-2) = 45 - 138 + 1 = -92$.
હવે,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) શોધીએ:
$C_{11} = 45, C_{12} = -69, C_{13} = 1$
$C_{21} = -47, C_{22} = 23, C_{23} = 1$
$C_{31} = 4, C_{32} = 0, C_{33} = -4$
$\text{adj } A = \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right] = -\frac{1}{92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.

(B) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A-\lambda I|=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -2 \\ -2 & -1-\lambda & 2 \\ 3 & 4 & 1-\lambda \end{vmatrix}=0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda)-8] - 2[-8 - 3(-1-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[-(1-\lambda^2)-8] - 2[-8 + 3 + 3\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2-9) - 2(3\lambda-5) = 0$
$\lambda^2 - 9 - \lambda^3 + 9\lambda - 6\lambda + 10 = 0$
$-\lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^3 - \lambda^2 - 3\lambda - 1 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$A^3 - A^2 - 3A - I = 0$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^3 - A^2 - 3A - I) = 0$
$A^2 - A - 3I - A^{-1} = 0$
$A^{-1} = A^2 - A - 3I$