Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $M$ માટે,$\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ થાય છે.
ધારો કે $M = Q^{-1} B P^{-1}$.
તેથી $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો $|XY| = |X||Y|$ અને $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$.
કારણ કે $|P| = 1$ અને $|Q| = 1$ છે,તેથી $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિકની ગણતરી કરતા: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$.
આ કિંમતોને એડજોઈન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$.
કારણ કે $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ છે,તેથી આપણે $|B| B^{-1}$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના સહઅવયજ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
આપેલ છે કે $\det(A) = 4$,તેથી $\det(P) = 4^2 = 16$.
હવે,શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
બંને કિંમતોને સરખાવતા: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,પરિવર્તિત શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ એડજોઈન્ટનો પરિવર્તિત શ્રેણિક હોય છે.
એટલે કે,$\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$.
તેથી,$\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$.
તેથી,$|A|^2 = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ મળે છે.

(B) ધારો કે $X$ એ $5 \times 1$ કક્ષાનો સ્તંભ સદિશ છે જ્યાં બધા ઘટકો $1$ છે,એટલે કે $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$.
આપેલ છે કે $P$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ છે,જેને આપણે $PX = X$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $P$ એ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે,તેથી $P^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
બંને બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ થાય છે,જે $IX = P^{-1}X$ છે.
આમ,$P^{-1}X = X$.
આ સૂચવે છે કે $P^{-1}$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો પણ $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત સંપન્ન છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A-3I_{3}$ એ અવ્યસ્ત (non-invertible) છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $AB = 3I$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1}A = I$ અને $A^{-1}I = A^{-1}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સાદું થાય છે:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) આપેલ સમીકરણ $A^2-A+I=0$ છે.
આપણે તેને $A^2-A = -I$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ થાય છે.
કારણ કે $A A^{-1} = I$,તેથી $A I - I = -A^{-1}$ મળે.
આના પરથી $A - I = -A^{-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1} = I - A$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$. શ્રેણિક $Q$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
દરેક હારમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
આપેલ છે કે $\det(Q) = 2^{10}$,તેથી $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n=3$.
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$.

(D) સૌ પ્રથમ,સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપો: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$,તો $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$,તેથી $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
આમ,$f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$,તેથી $C = 0$. વળી $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$,જે સુસંગત છે.
હવે,$f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ આગળ,$f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$,તેથી $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (શક્ય નથી) અથવા $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) આપેલ છે કે $A+A^T=O$,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
તેથી $c = 2+b = 5$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
આપણે $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ શોધવાનું છે.
$A+I$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\text{adj}(A+I)$ પણ $3 \times 3$ છે.
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
તેથી $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ મળે છે.
આમ,$\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ છે,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ મળે છે.
અહીં $|A|$ એ અદિશ હોવાથી,આપણે $|kA| = k^n|A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$.
એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|I| = 1$ હોવાથી,આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ મળે છે.

(B) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4/11$ અને $b = -2/11$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$.

(D) પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$.
ધારો કે $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$. કારણ કે $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$,તેથી $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$.
તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$.
$A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ છે.
તેથી,$-\frac{1}{4} A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ થાય.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
હવે,$P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
તેથી $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $-23 + (-11) = -34$ છે. તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-34| = 34$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,ગુણધર્મ $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ લાગુ પડે છે,જ્યાં $n=3$. તેથી,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
આગળ,આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A) = |A|A^{-1}$. તેથી,$adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
આપેલ સમીકરણ $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ બને છે,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(1, 2)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
આમ,$(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.