Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \cot \frac{\theta}{2} \\ -\cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\cot \frac{\theta}{2})(-\cot \frac{\theta}{2}) = 1 + \cot^2 \frac{\theta}{2} = \csc^2 \frac{\theta}{2}$ શોધો.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix} = A^T$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\csc^2 \frac{\theta}{2}} A^T = \sin^2 \frac{\theta}{2} A^T$.
કારણ કે $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix}$.
તેથી,$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1$: $\frac{1}{11} [(-1)(3) + (7)(2) + (-24)(b)] = 1 \implies -3 + 14 - 24b = 11 \implies 11 - 24b = 11 \implies b = 0$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $2$: $\frac{1}{11} [(2)(3) + (a)(-3) + (4)(-1)] = 1 \implies 6 - 3a - 4 = 11 \implies 2 - 3a = 11 \implies -3a = 9 \implies a = -3$.
હાર $3 \times$ સ્તંભ $3$: $\frac{1}{11} [(2)(4) + (-3)(4) + (15)(c)] = 1 \implies 8 - 12 + 15c = 11 \implies -4 + 15c = 11 \implies 15c = 15 \implies c = 1$.
આમ,$a = -3, b = 0, c = 1$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
આપેલ છે કે $(AB)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B^{-1} A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{3}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$. તો $B^{-1} M = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} M^{-1}$.
પ્રથમ,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ શોધો.
$|M| = (4)(0) - (3)(-1) = 0 + 3 = 3$.
$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
$M^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} (-7)(0) + (-3)(1) & (-7)(-3) + (-3)(4) \\ (2)(0) + (3)(1) & (2)(-3) + (3)(4) \end{bmatrix}$
$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 21 - 12 \\ 3 & -6 + 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2) = 3(1) + 6 - 8 = 3 + 6 - 8 = 1$.
કારણ કે $|A| = 1 \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ છીએ.
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$.
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$.
આમ,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = adj(A)$ હોવાથી,$A^{-1} = A^3$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(A-3I)(A-5I) = 0$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 5A - 3A + 15I = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 - 8A + 15I = 0$ થાય છે.
શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય હોવાથી,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}(0)$.
આનાથી $A - 8I + 15A^{-1} = 0$ મળે છે.
$15A^{-1}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $15A^{-1} = 8I - A$ મળે છે.
બંને બાજુ $8$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15}{8} A^{-1} = \frac{8I - A}{8} = I - \frac{1}{8} A$ મળે છે.

(C) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - 4A + 3I = 0$ છે.
આપણે $(A + 3I)^{-1}$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $(A + 3I)^{-1} = xA + yI$.
તેથી $(A + 3I)(xA + yI) = I$.
$xA^2 + yA + 3xA + 3yI = I$.
$xA^2 + (y + 3x)A + 3yI = I$.
$A^2 = 4A - 3I$ મૂકતા:
$x(4A - 3I) + (y + 3x)A + 3yI = I$.
$(7x + y)A + (3y - 3x)I = I$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7x + y = 0 \implies y = -7x$.
$3y - 3x = 1$.
$y = -7x$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(-7x) - 3x = 1 \implies -24x = 1 \implies x = -\frac{1}{24}$.
તેથી $y = \frac{7}{24}$.
આમ,$(A + 3I)^{-1} = -\frac{1}{24}A + \frac{7}{24}I = \frac{7I}{24} - \frac{A}{24}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A| = ad - bc$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$ શોધો.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિક શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{4}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ શોધો.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$.
આપણને $A^{-1} = xA + yI_2$ આપેલ છે.
શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2x = \frac{-2}{11} \implies x = \frac{-1}{11}$.
$x + y = \frac{1}{11} \implies \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \implies y = \frac{2}{11}$.
આમ,$x = \frac{-1}{11}$ અને $y = \frac{2}{11}$.

(B) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $BA = I$.
$\begin{bmatrix} -2 & 0 & b \\ 7 & -1 & -2 \\ c & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(-2)(1) + (0)(1) + (b)(3) = -2 + 3b = 1 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1$.
હાર $2$,સ્તંભ $2$: $(7)(1) + (-1)(a) + (-2)(2) = 7 - a - 4 = 3 - a = 1 \Rightarrow a = 2$.
હાર $3$,સ્તંભ $3$: $(c)(1) + (1)(3) + (1)(2) = c + 3 + 2 = c + 5 = 1 \Rightarrow c = -4$.
હવે,$4a + 2b - c$ ની કિંમત શોધો:
$4(2) + 2(1) - (-4) = 8 + 2 + 4 = 14$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{array}\right]$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (0.8)(0.8) - (-0.6)(0.6) = 0.64 + 0.36 = 1$ છે.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right]$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+7 & 2+4 \\ 14+28 & 7+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5A = 5 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|B| = (1)(3) - (1)(7) = 3 - 7 = -4$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6 \neq 0$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ હોવાથી,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-\beta = \frac{1}{6} \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{6}{6}) = 4(1) = 4$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1 & -2-3 \\ -2-3 & 1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$2A^2 + 5A = 2 \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$ ગણો.
ધારો કે $M = 2A^2 + 5A = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|M| = (20)(35) - (-15)(-15) = 700 - 225 = 475$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{475} \begin{bmatrix} 35 & 15 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $M^{-1} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2+1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
તેથી $A^6 = (A^3)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
હવે,$B = A^{2029} = A^{6 \times 338 + 1} = (A^6)^{338} \times A = (-I)^{338} \times A = I \times A = A$.
કારણ કે $B = A$,આપણે $B^{-1} = A^{-1}$ શોધવાનું છે.
$|A| = (i)(0) - (1)(1) = -1$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \operatorname{adj} A = -\operatorname{adj} A$.
તેથી,$B^{-1} = -\operatorname{adj} A$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ શોધીએ.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = xA + yI$ મુજબ:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2x = \frac{-2}{11} \Rightarrow x = \frac{-1}{11}$ મળે છે.
તેમજ,$x+y = \frac{1}{11} \Rightarrow \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \Rightarrow y = \frac{2}{11}$.
અંતે,$2x + 3y = 2(\frac{-1}{11}) + 3(\frac{2}{11}) = \frac{-2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{4}{11}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -\tan x - \tan x \\ \tan x + \tan x & -\tan^2 x + 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2 \tan x \\ 2 \tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} & \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \\ \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} & \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ અને $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.

(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$
હવે,$(A+B)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A+B| = (2)(-2) - (0)(6) = -4 - 0 = -4$
અહીં $|A+B| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
જો $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ હોય,તો $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-2}{-4} & \frac{0}{-4} \\ \frac{-6}{-4} & \frac{2}{-4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}$. શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 3(1 \times 5 - 2 \times 2) - 2(1 \times 5 - 2 \times 2) + 6(1 \times 2 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 4) - 2(5 - 4) + 6(2 - 2) = 3(1) - 2(1) + 6(0) = 3 - 2 = 1$.
$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $(A^{-1})_{32} = \frac{C_{23}}{|A|}$ છે,જ્યાં $C_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના બીજા હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ છે.
સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} \times M_{23}$,જ્યાં $M_{23}$ એ $(2,3)$ સ્થાન પરના ઘટકનો ઉપનિશ્ચાયક છે.
$M_{23} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = (3 \times 2) - (2 \times 2) = 6 - 4 = 2$.
તેથી,$C_{23} = (-1)^5 \times 2 = -2$.
આમ,$(A^{-1})_{32} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) શ્રેણિક $A$ વિસંમિત (skew-symmetric) હોવા માટે,તેણે $A^T = -A$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1+2i & i-2 \\ -1-2i & 0 & K \\ 2-i & -7 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
ઘટકો $A_{ij} = -A_{ji}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે:
$A_{12} = 1+2i$ અને $A_{21} = -1-2i = -(1+2i)$,જે સુસંગત છે.
$A_{13} = i-2$ અને $A_{31} = 2-i = -(i-2)$,જે સુસંગત છે.
$A_{23} = K$ અને $A_{32} = -7$.
વિસંમિતતા માટે,$A_{23} = -A_{32}$ હોવું જોઈએ,તેથી $K = -(-7) = 7$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 0$.
એકી કક્ષાના $(3 \times 3)$ વિસંમિત શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
આમ,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી તેવી શરત કોઈપણ $K$ માટે સંતોષાય છે જે શ્રેણિકને વિસંમિત બનાવે છે.
તેથી,$K = 7$.

(D) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(3 \times 3 - 4 \times 4) - 2(1 \times 3 - 4 \times 3) + 3(1 \times 4 - 3 \times 3)$
$|A| = 1(9 - 16) - 2(3 - 12) + 3(4 - 9)$
$|A| = 1(-7) - 2(-9) + 3(-5) = -7 + 18 - 15 = -4$.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(9-16) = -7, C_{12} = -(3-12) = 9, C_{13} = +(4-9) = -5$
$C_{21} = -(6-12) = 6, C_{22} = +(3-9) = -6, C_{23} = -(4-6) = 2$
$C_{31} = +(8-9) = -1, C_{32} = -(4-3) = -1, C_{33} = +(3-2) = 1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \times A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(7 - 20) - a(7 - 10) + 3(4 - 2) = -13 + 3a + 6 = 3a - 7$.
ગુણધર્મ $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીને,$A^{-1}$ ના $(2, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $-3$ છે.
$A$ નો સહઅવયવ $C_{12} = -(1 \times 7 - 5 \times 2) = -(7 - 10) = 3$.
$(A^{-1})_{21} = \frac{C_{12}}{|A|}$ હોવાથી,$-3 = \frac{3}{3a - 7}$.
$-3(3a - 7) = 3 \Rightarrow -9a + 21 = 3 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$.
હવે,$b$ માટે,જે $A^{-1}$ ના $(2, 2)$ સ્થાન પરનો ઘટક છે:
$(A^{-1})_{22} = \frac{C_{22}}{|A|}$.
સહઅવયવ $C_{22} = (1 \times 7 - 3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
$b = \frac{1}{3(2) - 7} = \frac{1}{6 - 7} = -1$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -1$.

(A) પગલું $1$: ગુણાકાર $AB$ શોધો.
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (2)(1) + (1)(1) & (1)(3) + (2)(2) + (1)(2) \\ (3)(2) + (1)(1) + (3)(1) & (3)(3) + (1)(2) + (3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 10 & 17 \end{bmatrix}$.
પગલું $2$: $AB$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|AB| = (5)(17) - (9)(10) = 85 - 90 = -5$.
પગલું $3$: વ્યસ્ત શ્રેણિક $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ શોધો.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 17 & -9 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-17}{5} & \frac{9}{5} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A^{-1})^3 = (A^3)^{-1}$.
શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ માટે,$M^{-1} = \frac{1}{ad} \begin{bmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{bmatrix}$ થાય.
અહીં,$A^3 = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે,તેથી $a=27, b=26, d=1$.
$(A^3)^{-1} = \frac{1}{27 \times 1} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $A^2 - 4A + 3I = 0$ છે.
બંને બાજુથી $3I$ બાદ કરતા: $A^2 - 4A = -3I$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}(A^2 - 4A) = A^{-1}(-3I)$.
આનું સાદું રૂપ $A - 4I = -3A^{-1}$ થાય છે.
તેથી,$A^{-1} = -\frac{1}{3}(A - 4I) = \frac{1}{3}(4I - A)$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ શોધો.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 - (-7) & -3 - 3 \\ 5 - (-5) & -7 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ 10 & -9 \end{bmatrix}$.
$3$ સામાન્ય લેતા,આપણને $3 \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ \frac{10}{3} & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ મુજબ:
$\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ 3\beta & \alpha + 5\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
$\alpha + \beta = -5 \Rightarrow \alpha + 1 = -5 \Rightarrow \alpha = -6$.
ચકાસણી: $3\beta = 3(1) = 3$ (સાચું) અને $\alpha + 5\beta = -6 + 5(1) = -1$ (સાચું).
તેથી,$\alpha + \beta + \alpha\beta = -6 + 1 + (-6)(1) = -5 - 6 = -11$.

(B) આપેલ છે કે $(BA)^{-1} = C$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A^{-1}B^{-1} = C$ મળે છે.
બંને બાજુ જમણી બાજુએ $B$ વડે ગુણતા,$A^{-1}B^{-1}B = CB$ મળે છે.
$B^{-1}B = I$ હોવાથી,$A^{-1} = CB$ થાય.
હવે,$CB$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$

(A) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણધર્મ $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} (1)(2) + (0)(-1) & (1)(-3) + (0)(2) \\ (-3)(2) + (1)(-1) & (-3)(-3) + (1)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 + 0 & -3 + 0 \\ -6 - 1 & 9 + 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ છે કે $F(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|F(\alpha)|$ શોધીએ:
$|F(\alpha)| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
કારણ કે $|F(\alpha)| = 1 \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $[F(\alpha)]^{-1} = \frac{1}{|F(\alpha)|} \text{adj}(F(\alpha))$ છે.
સહઅવયવજ શ્રેણિક (adjoint) એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) & 0 \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = F(-\alpha)$ મળે છે.
આમ,$[F(\alpha)]^{-1} = F(-\alpha)$.

(D) આપેલ છે $A^{-1} = \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
જો આપણે $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ લઈએ,તો $2A + I_2 = 2 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $AA^{-1} = I$.
આપેલ શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = I$
$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$0(1) + 1(2c) + 2(1) = 0 \implies 2c + 2 = 0 \implies 2c = -2 \implies c = -1$.
ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$3(1) + a(-8) + 1(5) = 0 \implies 3 - 8a + 5 = 0 \implies 8 - 8a = 0 \implies 8a = 8 \implies a = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $c = -1$ મળે છે.

(B) $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
આગળ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -4 & 3 & -1 \\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ -2 & -k \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$|A| = (k)(-k) - (2)(-2)$
$|A| = -k^2 + 4$
$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ન ધરાવે તે માટે,આપણે $|A| = 0$ લઈએ:
$-k^2 + 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
તેથી,જ્યારે $k = \pm 2$ હોય ત્યારે $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ શોધીએ:
$|A| = 1(2 - 6) - 0(0 - 3) + 1(0 - 2)$
$|A| = 1(-4) - 0 + 1(-2)$
$|A| = -4 - 2 = -6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ છે.
તેથી,$|A^{-1}| = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.

(C) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (1)(1) + (2)(-3) + (1)(0) & (1)(2) + (2)(1) + (1)(2) \\ (-1)(1) + (1)(-3) + (3)(0) & (-1)(2) + (1)(1) + (3)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 1 - 6 + 0 & 2 + 2 + 2 \\ -1 - 3 + 0 & -2 + 1 + 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$
હવે,શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો.
નિશ્ચાયક $|M| = (-5)(5) - (6)(-4) = -25 + 24 = -1$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ દ્વારા મળે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ માટે,એડજોઈન્ટ $\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right]$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = 1(7 - 4a) - 2(7 - 2a) + 3(4 - 2) = 7 - 4a - 14 + 4a + 6 = -1$ છે.
આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $B = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$|A| = -1$ હોવાથી,ઘટક $B_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|} = -C_{ji}$ થાય,જ્યાં $C_{ji}$ એ $A_{ji}$ નો સહઅવયવ છે.
ઘટક $B_{13} = b$ માટે,$b = -C_{31}$ થાય.
સહઅવયવ $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & a \end{vmatrix} = 2a - 3$.
તેથી,$b = -(2a - 3) = 3 - 2a$,એટલે કે $2a + b = 3$.
ઘટક $B_{21} = -3$ માટે,$-3 = -C_{12}$ થાય.
સહઅવયવ $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 2a) = 2a - 7$.
તેથી,$-3 = -(2a - 7) = 7 - 2a$,જેનો અર્થ છે કે $2a = 10$,એટલે કે $a = 5$.
$a = 5$ ને $2a + b = 3$ માં મૂકતા,$2(5) + b = 3$ મળે,તેથી $10 + b = 3$,જેનો અર્થ છે કે $b = -7$.

(A) આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$.
આ ગુણધર્મને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરતા:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$.
હવે,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} (2)(0) + (-2)(1) & (2)(-1) + (-2)(0) \\ (2)(0) + (-3)(1) & (2)(-1) + (-3)(0) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 0 - 2 & -2 + 0 \\ 0 - 3 & -2 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -3 & -2 \end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (adjoint) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$:
$A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^{-1} = KA$ અને $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$,તેથી:
$KA = \frac{1}{19} A$.
આમ,$K = \frac{1}{19}$.

(D) શ્રેણિક ત્યારે જ વ્યસ્ત કરી શકાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય $(|M| \neq 0)$.
શ્રેણિક $A$ માટે: $|A| = (2 \times 15) - (3 \times 10) = 30 - 30 = 0$. તેથી,$A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $B$ માટે: હાર $R_1$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,$|B| = 0$. તેથી,$B$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $C$ માટે: $|C| = 1(4 \times 8 - 5 \times 6) - 2(3 \times 8 - 5 \times 4) + 3(3 \times 6 - 4 \times 4) = 1(32 - 30) - 2(24 - 20) + 3(18 - 16) = 1(2) - 2(4) + 3(2) = 2 - 8 + 6 = 0$. તેથી,$C$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $D$ માટે: $|D| = 2(1 \times 5 - 0 \times 4) - 4(1 \times 5 - 0 \times 1) + 2(1 \times 4 - 1 \times 1) = 2(5) - 4(5) + 2(3) = 10 - 20 + 6 = -4$. કારણ કે $|D| \neq 0$,તેથી $D$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$ છે.
$A$ નો સહ-શ્રેણિક (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,લાક્ષણિક સમીકરણ $A^{2} - 4A + 3I = 0$ નો ઉપયોગ કરીને,$A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A - 4I + 3A^{-1} = 0 \Rightarrow 3A^{-1} = 4I - A$.
$3A^{-1} = 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ત્યારે જ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
ચાલો દરેક શ્રેણિક માટે નિશ્ચાયક શોધીએ:
$1$. $A_{1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{1}| = (4 \times 1) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$. તેથી,$A_{1}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$2$. $A_{2} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ માટે,નોંધો કે ત્રીજી હાર એ પ્રથમ હારના $-2$ ગણા છે $(R_{3} = -2R_{1})$. બે હાર પ્રમાણસર હોવાથી,$|A_{2}| = 0$. તેથી,$A_{2}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$3$. $A_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{3}| = 1(2-2) - 0 + 0 = 0$. તેથી,$A_{3}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$4$. $A_{4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{4}| = 1(2-6) - 0(0-3) + 1(0-2) = 1(-4) + 1(-2) = -4 - 2 = -6$.
અહીં $|A_{4}| = -6 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A_{4}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 3 \times 3) & (2 \times 0 + 3 \times 1) \\ (1 \times 1 + 2 \times 3) & (1 \times 0 + 2 \times 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયક $|AB|$ શોધો:
$|AB| = (11 \times 2) - (3 \times 7) = 22 - 21 = 1$
હવે,$AB$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) શોધો:
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$
અંતે,$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધીએ,જેમાં વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલવામાં આવે છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = A$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણધર્મ $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$ સાચો છે.
કારણ કે $(A^{-1})^{-1} = A$ અને $(B^{-1})^{-1} = B$,તેથી પદાવલિ $AB$ માં સરળ બને છે.
હવે,આપણે ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (2)(2) + (3)(-1) & (2)(-3) + (3)(2) \\ (1)(2) + (2)(-1) & (1)(-3) + (2)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 4 - 3 & -6 + 6 \\ 2 - 2 & -3 + 4 \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 0(0) - 0(0) - 1(0 - 1) = -1(-1) = 1$ શોધીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
હવે,આપણે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
કારણ કે $A^2 = I$,બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા આપણને $A = A^{-1}$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$(A+B)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A+B| = (5 \times 3) - (2 \times 4) = 15 - 8 = 7$
હવે,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $(A+B)$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A+B) = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
અંતે,સૂત્ર $(A+B)^{-1} = \frac{1}{|A+B|} \text{adj}(A+B)$ નો ઉપયોગ કરો:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$

(B) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(1)(0) & (1)(2)+(2)(1)+(1)(1) \\ (2)(1)+(1)(2)+(0)(0) & (2)(2)+(1)(1)+(0)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$
હવે,નિશ્ચાયક $|AB|$ શોધો:
$|AB| = (5)(5) - (5)(4) = 25 - 20 = 5$
ત્યારબાદ,$AB$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
છેલ્લે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB)$ શોધો:
$(AB)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \alpha & 6 & -5 \\ \beta & -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(2)(3) + (0)(\alpha) + (-1)(\beta) = 6 - \beta$
પરિણામ $I$ હોવું જોઈએ,તેથી $6 - \beta = 1$,જે $\beta = 5$ આપે છે.
હાર $2$,સ્તંભ $1$: $(5)(3) + (1)(\alpha) + (0)(\beta) = 15 + \alpha$
પરિણામ $I$ હોવું જોઈએ,તેથી $15 + \alpha = 0$,જે $\alpha = -15$ આપે છે.
આમ,$\alpha = -15$ અને $\beta = 5$ છે.