Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(C) જ્યારે શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય ત્યારે શ્રેણિકનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & t \\ 4 & 7 - t & -6 \end{bmatrix}$.
$|A| = 0$ લેતા:
$|A| = 1[5(-6) - t(7 - t)] - 3[2(-6) - 4t] + 2[2(7 - t) - 4(5)] = 0$
$|A| = 1[-30 - 7t + t^2] - 3[-12 - 4t] + 2[14 - 2t - 20] = 0$
$|A| = t^2 - 7t - 30 + 36 + 12t + 28 - 4t - 40 = 0$
$|A| = t^2 + t - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t + 3)(t - 2) = 0$
આમ,$t = -3$ અથવા $t = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2+5x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)(x+2)} + \frac{c}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
બંને બાજુ $(x+1)(x+2)(x+3)$ વડે ગુણતા:
$x^2+5x+1 = a(x+2)(x+3) + b(x+3) + c$.
$x = -1$ માટે: $(-1)^2 + 5(-1) + 1 = a(1)(2) + b(2) + c \implies -3 = 2a+2b+c$.
$x = -2$ માટે: $(-2)^2 + 5(-2) + 1 = b+c \implies -5 = b+c$.
$x = -3$ માટે: $(-3)^2 + 5(-3) + 1 = c \implies c = -5$.
$b+c = -5$ પરથી,$b-5 = -5 \implies b = 0$.
$2a+2b+c = -3$ પરથી,$2a+0-5 = -3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.
શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)$.
$\det(M) = 1$.
$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$M^{-1} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{det} A)^{n-1}$.
અહીં આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે અને તેનો નિશ્ચાયક $\operatorname{det} A = 6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-1}$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^2$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 36$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $A^2-4A-5I=0$ છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^2 A^{-1} - 4A A^{-1} - 5I A^{-1} = 0 A^{-1}$
$A - 4I - 5A^{-1} = 0$
$5A^{-1} = A - 4I$
$A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I)$
હવે,શ્રેણિક $A$ અને $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 1-4 & 2-0 \\ 2-0 & 2-0 & 1-4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ છે કે $A$ એક સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$ થાય.
જો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો આપણે ગુણધર્મ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ સમીકરણમાં $A^T = A$ મૂકતા,આપણને $(A^{-1})^T = (A)^{-1} = A^{-1}$ મળે છે.
કારણ કે $A^{-1}$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તે પોતે જ છે,તેથી જો $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે સંમિત શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -5 \\ -2 & 4 & -6 \\ 7 & -11 & 13 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(4 \times 13 - (-6) \times (-11)) - (-3)((-2) \times 13 - (-6) \times 7) + (-5)((-2) \times (-11) - 4 \times 7)$
$|A| = 1(52 - 66) + 3(-26 + 42) - 5(22 - 28)$
$|A| = 1(-14) + 3(16) - 5(-6)$
$|A| = -14 + 48 + 30 = 64$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\operatorname{Adj} A| = (64)^2$.
તેથી,$\sqrt{|\operatorname{Adj} A|} = \sqrt{(64)^2} = 64$.

(B) $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$ છે.
આ ગુણધર્મનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A)$ મળે.
$\operatorname{Adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{Adj}(A)$ હોવાથી,$\operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A) = (|A|^{n-2})^{n-1} \operatorname{Adj}(A) = |A|^{(n-2)(n-1)} \operatorname{Adj}(A)$ મળે.
$n=2$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે,$|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
$n=2$ માટે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))$ નું સૂત્ર $|A|^{(2-2)(2-1)} \operatorname{Adj}(A) = |A|^0 \operatorname{Adj}(A) = \operatorname{Adj}(A)$ થાય છે.
સામાન્ય રીતે,$k$ વખત એડજોઈન્ટ માટેનું સૂત્ર $|A|^{(n-1)^k} A$ ના સ્વરૂપમાં હોય છે.
$n=2$ માટે,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{2-2} A = A$.
તેથી $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $|A|A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(1 - 2) - 2(2 - 1) + 2(4 - 1) = 1(-1) - 2(1) + 2(3) = -1 - 2 + 6 = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^2| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
$n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ થાય.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(A^2)| = |A^2|^{3-1} = |A^2|^2$.
$|A^2| = 9$ મૂકતા,આપણને $|\operatorname{Adj}(A^2)| = 9^2 = 81$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $M$ માટે,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ થાય છે.
તેથી,$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj}(AB)|}$.
ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}(AB) = (\operatorname{Adj} B)(\operatorname{Adj} A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\operatorname{Adj}(AB)| = |\operatorname{Adj} B| \cdot |\operatorname{Adj} A| = y \cdot x = xy$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{xy}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ (adjoint) ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{Adj} A)^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ શ્રેણિકોનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે જ્યાં એડજોઈન્ટ પ્રક્રિયા અને વ્યસ્ત પ્રક્રિયા એકબીજા સાથે ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} k & 5 & 2 \\ 2 & -k & 5 \\ 5 & 2 & -k \end{bmatrix}$ અને $\det A = 190$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det A = k(k^2 - 10) - 5(-2k - 25) + 2(4 + 5k) = 190$
$k^3 - 10k + 10k + 125 + 8 + 10k = 190$
$k^3 + 10k - 57 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,$k=3$ માટે: $27 + 30 - 57 = 0$. તેથી,$k=3$.
$k=3$ મૂકતા,$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = ((-3)(-3) - (5)(2)) = 9 - 10 = -1$
$C_{12} = -((2)(-3) - (5)(5)) = -(-6 - 25) = 31$
$C_{13} = ((2)(2) - (-3)(5)) = 4 + 15 = 19$
$C_{21} = -((5)(-3) - (2)(2)) = -(-15 - 4) = 19$
$C_{22} = ((3)(-3) - (2)(5)) = -9 - 10 = -19$
$C_{23} = -((3)(2) - (5)(5)) = -(6 - 25) = 19$
$C_{31} = ((5)(5) - (-3)(2)) = 25 + 6 = 31$
$C_{32} = -((3)(5) - (2)(2)) = -(15 - 4) = -11$
$C_{33} = ((3)(-3) - (5)(2)) = -9 - 10 = -19$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક એ સહ-અવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 19 & 31 \\ 31 & -19 & -11 \\ 19 & 19 & -19 \end{bmatrix}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ થાય છે.
અહીં $A$ એ $n=3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,શ્રેણિક $M = A^2$ લો. $M$ ની કક્ષા $3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ થાય.
હવે,આપણે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $K = \operatorname{adj} A^2$. તો $|K| = |A|^4$ થાય.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ થાય.
$|K| = |A|^4$ મૂકતા:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ મળે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ તેના કોફેક્ટર શ્રેણિકનો ટ્રાન્સપોઝ છે,$\text{adj}(A) = [C_{ij}]^T$.
કોફેક્ટર્સ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ શ્રેણિક સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 1$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 4+1 = 5$.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & \alpha \\ \beta & 1 & -11 \\ -5 & \gamma & 19 \end{bmatrix}$ અને $A \begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -290 \\ -119 \\ 210 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$35 - 39 + 11\alpha = -290 \Rightarrow 11\alpha = -286 \Rightarrow \alpha = -26$.
$5\beta - 13 - 121 = -119 \Rightarrow 5\beta = 15 \Rightarrow \beta = 3$.
$-25 - 13\gamma + 209 = 210 \Rightarrow -13\gamma = 26 \Rightarrow \gamma = -2$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -26 \\ 3 & 1 & -11 \\ -5 & -2 & 19 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 7(19 - 22) - 3(57 - 55) - 26(-6 + 5) = 7(-3) - 3(2) - 26(-1) = -21 - 6 + 26 = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|} = -A$ અને $\operatorname{adj} A^{-1} = \operatorname{adj}(\frac{\operatorname{adj} A}{|A|}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{(-1)^2} |A| A = -A$.
તેથી,$(\operatorname{adj} A)^{-1} + \operatorname{adj} A^{-1} = -A + (-A) = -2A$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A = |A|^{3-2} A = |A| A$.
હવે,પદ $|A^{-1}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))|^{-1}$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $|A^{-1}(|A| A)|^{-1} = | |A| (A^{-1} A) |^{-1} = | |A| I |^{-1}$.
કારણ કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $| |A| I | = |A|^3 |I| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$.
તેથી,પદ $(|A|^3)^{-1} = \frac{1}{|A|^3}$ બને છે.
આપેલ $|A| = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-2} A = (6)^1 A = 6A$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $6A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{Adj}(A)=k A^T$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે $|\operatorname{Adj}(A)|=|k A^T|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{n-1}$,$|k A|=k^n|A|$,અને $|A^T|=|A|$ થાય છે.
અહીં,$n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{3-1}=|A|^2$.
વળી,$|k A^T|=k^3|A^T|=k^3|A|$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે $|A|^2=k^3|A|$.
કારણ કે $|A|=27 \neq 0$,આપણે $|A|$ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ,જેથી $k^3=|A|=27$ મળે.
આમ,$k=3$.
છેલ્લે,$k=3$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,$k^2-3 k+5 = 3^2-3(3)+5 = 9-9+5 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $P = \operatorname{adj}(A)$ અને $\det(A) = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ છે.
તેથી,$|P| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (4)^2 = 16$.
હવે,$P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$|P| = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$|P| = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$|P| = 2\alpha - 6$.
$|P|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.

(C) આપેલ છે કે $a_{ij} = 1$ જો $i+j=7$ અને અન્યથા $0$. આ એક પ્રતિ-વિકર્ણ શ્રેણિક દર્શાવે છે જ્યાં પ્રતિ-વિકર્ણના તમામ ઘટકો $1$ છે.
$n$ ક્રમના શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = (-1)^{n(n-1)/2}$ થાય છે. અહીં $n=6$ હોવાથી,$|A| = (-1)^{6(5)/2} = (-1)^{15} = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A(\text{adj } A) = |A| I$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(A(\text{adj } A) A^{-1}) A^2 = (|A| I) A^{-1} A^2$.
કારણ કે $|A| = -1$,આ પદ $(-I) A^{-1} A^2 = -I (A^{-1} A) A$ બને છે.
કારણ કે $A^{-1} A = I$,તેથી આપણને $-I (I) A = -A$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 13 + 8 - 15 = 6$ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 6A$.
તેથી,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = (6A)^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1}$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$,આપણે પહેલા $\operatorname{Adj} A$ શોધીએ:
$\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$.
$|AB| = |A||B|$ હોવાથી,$|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે. અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,જેનો અર્થ છે કે $|A|^3 = 64$.
તેથી,$|A| = \sqrt[3]{64} = 4$.
અંતે,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઇન્ટ (adj) એ તેના સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,એટલે કે $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$.
સહઅવયવો $C_{ij}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
સહઅવયવ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$[a \quad b] = [4 \quad 1]$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{-1}$ નો ગુણાકાર કરતા:
$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના હાર $2$,સ્તંભ $3$ ના ઘટકને ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{1}{2} [ (1)(1) + (2)(2y) + (3)(1) ] = 0$.
$1 + 4y + 3 = 0 \implies 4y + 4 = 0 \implies y = -1$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના હાર $3$,સ્તંભ $2$ ના ઘટકને ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{1}{2} [ (3)(-1) + (x)(6) + (1)(-3) ] = 0$.
$-3 + 6x - 3 = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
આમ,બિંદુ $(x, y) = (1, -1)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $y = \log_{2/5}(2^1 + 2^{-1}) = \log_{2/5}(2 + 0.5) = \log_{2/5}(2.5) = \log_{2/5}(5/2) = -1$.
જેથી $y = -1$ એ વિકલ્પ $B$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી બિંદુ $(1, -1)$ એ વક્ર $y = \log_{2/5}(2^x + 2^{-x})$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $(A-2I)(A-3I) = O$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 3A - 2A + 6I^2 = O$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $A^2 - 5A + 6I = O$ મળે છે.
$I$ ને અલગ કરવા માટે ગોઠવતા,$6I = 5A - A^2$ મળે છે.
$A$ ને સામાન્ય કાઢતા,$6I = A(5I - A)$ મળે છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,$6A^{-1} = 5I - A$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = \frac{5I - A}{6}$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{1}{5}A + \frac{6}{5}A^{-1}$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{5}A + \frac{6}{5} \left( \frac{5I - A}{6} \right) = \frac{1}{5}A + \frac{5I - A}{5} = \frac{1}{5}A + I - \frac{1}{5}A = I$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = -1(5 - 8) - (-3)(0 - 6) + (-2)(0 - 3) = -1(-3) + 3(-6) - 2(-3) = 3 - 18 + 6 = -9$.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +(5 - 8) = -3$,$C_{12} = -(0 - 6) = 6$,$C_{13} = +(0 - 3) = -3$.
$C_{21} = -(-15 - (-8)) = -(-7) = 7$,$C_{22} = +(-5 - (-6)) = 1$,$C_{23} = -(-4 - (-9)) = -5$.
$C_{31} = +(-6 - (-2)) = -4$,$C_{32} = -(-2 - 0) = 2$,$C_{33} = +(-1 - 0) = -1$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & -7/9 & 4/9 \\ -6/9 & -1/9 & -2/9 \\ 3/9 & 5/9 & 1/9 \end{bmatrix}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 = 1/3$,$c_2 = 5/9$,અને $b_3 = -2/9$ મળે છે.
તેથી,$a_1 + c_2 + b_3 = \frac{3}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

(B) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 - 5A^2 + 7A - 3I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,$A^2 - 5A + 7I - 3A^{-1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = \frac{1}{3}A^2 - \frac{5}{3}A + \frac{7}{3}I$.
આને $A^{-1} = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{3}$,$\beta = -\frac{5}{3}$,અને $\gamma = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$17\alpha + 5\beta + \gamma = 17(\frac{1}{3}) + 5(-\frac{5}{3}) + \frac{7}{3} = \frac{17 - 25 + 7}{3} = \frac{-1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,નિશ્ચાયક $|A^2|$ શોધો:
$|A^2| = 3(3) + 4(0) + 4(-2) = 9 - 8 = 1$.
કારણ કે $|A^2| = 1$,તેથી $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{adj}(A^2) = \text{adj}(A^2)$.
$A^2$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધતા,આપણને મળે છે કે $(A^2)^{-1} = A^2$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 - 4) - 2(2 - 4) + 2(4 - 2) = -3 + 4 + 4 = 5$.
આગળ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ $(\text{Adj } A)$ શોધીએ:
કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = -3, C_{12} = 2, C_{13} = 2$
$C_{21} = 2, C_{22} = -3, C_{23} = 2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 2, C_{33} = -3$
તેથી,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{5}(A - 4I)$.

(C) આપેલ છે કે,$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ અને $A=\left[\begin{array}{cc}a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id)$
$|A| = (a^2 - (ib)^2) - ((id)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2) = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.
કારણ કે $|A|=1$,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ એ એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સ $\text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-ib & -(c+id) \\ -(-c+id) & a+ib\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib\end{array}\right]$.

(B) આપેલ છે,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક શોધીએ $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક શોધીએ. સહઅવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
આમ,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$,આ શ્રેણિક $A(-\alpha, -\beta)$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ છે કે $\det(I+A) \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $(I+A)$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
આપણને $A^3 = O$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ છે.
$x = A$ અને $y = I$ લેતા,આપણને $A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - A + I)$ મળે છે.
કારણ કે $A^3 = O$ અને $I^3 = I$,સમીકરણ $O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $I = (A+I)(A^2 - A + I)$ થાય છે.
બંને બાજુ $(A+I)^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$ મળે છે.
કારણ કે $(A+I)^{-1}(A+I) = I$,તેથી $(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I) = A^2 - A + I$.
આમ,$(I+A)^{-1} = I - A + A^2$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1))$
$|A| = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$.
$C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3, C_{22} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, C_{23} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3$.
$C_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{32} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{33} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj}(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A(\operatorname{adj} A)| = | |A|I_n |$ મળે છે.
$|AB| = |A||B|$ અને $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $|kA| = k^n|A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ મળે છે.
$|I_n| = 1$ હોવાથી,આપણને $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$ મળે છે.
$A$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવાથી,$|A| \neq 0$ થાય.
બંને બાજુ $|A|$ વડે ભાગતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$ થાય.
પ્રથમ,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ અને $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
આપેલ છે કે $|\operatorname{adj} A| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$.
તેથી,$|A|^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
કારણ કે $A$ બિન-શૂન્ય છે,$|A| \neq 0$. તેથી,$n-1 = (n-1)^2$.
$(n-1) - (n-1)^2 = 0 \Rightarrow (n-1)(1 - (n-1)) = 0 \Rightarrow (n-1)(2-n) = 0$.
$n > 1$ હોવાથી,$n = 2$ મળે છે.
શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) એ શ્રેણિકમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હાર અથવા સ્તંભની મહત્તમ સંખ્યા છે. વિકલ્પ $D$ માં આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $-12$ છે,જે શૂન્ય નથી,તેથી તેનો ક્રમ $3$ છે.

(B) પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(4-3) - 2(6-3) + 2(3-2) = 1(1) - 2(3) + 2(1) = 1 - 6 + 2 = -3$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ શોધીએ. સહઅવયવોનો શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = (4-3) = 1, C_{12} = -(6-3) = -3, C_{13} = (3-2) = 1$
$C_{21} = -(4-2) = -2, C_{22} = (2-2) = 0, C_{23} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (6-4) = 2, C_{32} = -(3-6) = 3, C_{33} = (2-6) = -4$
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
હવે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો:
$-\frac{1}{3} (1 - 3 + 1 - 2 + 0 + 1 + 2 + 3 - 4) = -\frac{1}{3} (-1) = \frac{1}{3}$.

(B) આપણને $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$(A^{-1}B)^{-1} + (AB^{-1})^{-1} = B^{-1}(A^{-1})^{-1} + (B^{-1})^{-1}A^{-1} = B^{-1}A + BA^{-1}$.
પ્રથમ,નોંધો કે $A^2 = I$ અને $B^2 = I$,તેથી $A^{-1} = A$ અને $B^{-1} = B$.
આમ,પદાવલિ $BA + BA = 2BA$ બને છે.
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,$2BA = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1-3) - 2(2-1) + 3(6-1) = 1(-2) - 2(1) + 3(5) = -2 - 2 + 15 = 11$.
ત્યારબાદ,આપણે $B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = 2(4-8) - 3(6-4) + 4(12-4) = 2(-4) - 3(2) + 4(8) = -8 - 6 + 32 = 18$.
$|AB| = |A| \times |B|$ હોવાથી,$|AB| = 11 \times 18 = 198$.
એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
આમ,$\sqrt{|\operatorname{Adj}(AB)|} = \sqrt{|AB|^2} = |AB| = 198$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 3 - 3 \times 6) - 5(4 \times 3 - 3 \times 2) + 2(4 \times 6 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(3 - 18) - 5(12 - 6) + 2(24 - 2)$
$|A| = 1(-15) - 5(6) + 2(22)$
$|A| = -15 - 30 + 44 = -1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (-1)^2 = 1$.
આપણે $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj} A|} = \frac{1}{1} = 1$.

(A) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$. આપેલ સમીકરણ $P \cdot A \cdot Q = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ડાબી બાજુ $P^{-1}$ અને જમણી બાજુ $Q^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A = P^{-1} \cdot I \cdot Q^{-1} = P^{-1} \cdot Q^{-1}$ મળે છે.
પ્રથમ,$P^{-1}$ શોધો: $\det(P) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$. તેથી,$P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
આગળ,$Q^{-1}$ શોધો: $\det(Q) = (-3)(-3) - (2)(5) = 9 - 10 = -1$. તેથી,$Q^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A = P^{-1} \cdot Q^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(3) + (-1)(5) & (2)(2) + (-1)(3) \\ (-3)(3) + (2)(5) & (-3)(2) + (2)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-5 & 4-3 \\ -9+10 & -6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $\text{adj } A \cdot A = |A| I$ સાચો છે,અને $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં $|A| = 6$ અને $n = 3$ આપેલ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$ થાય.
હવે,$\text{adj } A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|\text{adj } A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \\ -1 & k & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - k) - (-2)(0 - (-1)) + 4(4k - (-1))$
$= 1(-k) + 2(1) + 4(4k + 1)$
$= -k + 2 + 16k + 4$
$= 15k + 6$.
બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$15k + 6 = 36$
$15k = 30$
$k = 2$.