Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
પ્રથમ,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(3) & (2)(0) + (3)(1) \\ (1)(1) + (2)(3) & (1)(0) + (2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ શોધીએ.
$|AB| = (11)(2) - (3)(7) = 22 - 21 = 1$.
$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.
તેથી,$B^{-1} A^{-1} = (AB)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = \omega \cdot \omega - 0 \cdot 0 = \omega^{2}$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ માટે એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{\omega^{2}} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\omega}{\omega^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\omega}{\omega^{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega} \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\omega^{3} = 1$,તેથી $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ થાય.
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = A^{2}$.

(C) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^{2}-5A-6I=0$ છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^{2}-5A-6I) = A^{-1}(0)$
$A - 5I - 6A^{-1} = 0$
$6A^{-1} = A - 5I$
મેટ્રિક્સની કિંમતો મૂકતા:
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4-5 & 5-0 \\ 2-0 & 1-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(0 - 1) - (-3)(0 - (-2)) + 2(3 - 6)$
$|A| = 1(-1) + 3(2) + 2(-3) = -1 + 6 - 6 = -1$.
$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{13}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $C_{13}$ એ $A$ ની પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહ-અવયવ છે.
$C_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc}-3 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right| = 1(3 - 6) = -3$.
તેથી,$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ઘટક $\frac{-3}{-1} = 3$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધો: $\text{adj } A = \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = xA + yI$ માં શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1/11 & -2/11 \\ 5/11 & 1/11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x+y & 2x \\ -5x & x+y\end{array}\right]$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2x = -2/11$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1/11$.
વળી,$x+y = 1/11$. $x = -1/11$ મૂકતા,$-1/11 + y = 1/11$,તેથી $y = 2/11$.
આમ,$x = -1/11$ અને $y = 2/11$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ શોધીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$2A = 2 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,$3A^{-1} = 3 \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
અંતે,$2A - 3A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - (-21) & -6 - 9 \\ 10 - (-15) & -14 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & -15 \\ 25 & -20 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $AX = I$.
$AX = I$ હોવાથી,$X = A^{-1}$ થાય.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$X = \begin{bmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} \\ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \text{diag}(a, b, c)$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \text{diag}(a^{-1}, b^{-1}, c^{-1})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \begin{bmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (\omega^2)^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ થાય.
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ: $(A+I)(A-I) = 0$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $A^2 - AI + IA - I^2 = 0$.
કારણ કે $AI = IA = A$ અને $I^2 = I$,તેથી આપણને $A^2 - I = 0$ મળે છે.
તેથી,$A^2 = I$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1}A^2 = A^{-1}I$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $A = A^{-1}$ થાય છે.
હવે,$A + A^{-1}$ પદમાં $A^{-1} = A$ મૂકતા,આપણને $A + A = 2A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (x \times 0) - (1 \times 1) = -1$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A = A^{-1}$,તેથી શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 0$ અને $0 = -x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ $(A-2I)(A-4I) = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 - 6A + 8I = 0$ થાય છે.
$A$ અસામાન્ય હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે. સમીકરણની બંને બાજુએ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^2 - 6A + 8I) = A^{-1}(0)$
$A - 6I + 8A^{-1} = 0$
$A + 8A^{-1}$ માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$A + 8A^{-1} = 6I$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(A^2 - 5A)A^{-1}$ છે.
કૌંસમાં $A^{-1}$ નું વિતરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A^2 \cdot A^{-1}) - (5A \cdot A^{-1})$
કારણ કે $A^2 \cdot A^{-1} = A$ અને $A \cdot A^{-1} = I$ (જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે),તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$A - 5I$
હવે,શ્રેણિક $A$ અને એકમ શ્રેણિક $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1-5 & 2-0 & 3-0 \\ -1-0 & 1-5 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ -1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(3(-1) - 0(2)) - 0 + 0 = -3$ શોધો.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = -3, C_{12} = 3, C_{13} = -9$.
$C_{21} = 0, C_{22} = -1, C_{23} = -2$.
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 3$.
આમ,$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો ગુણધર્મ વાપરીએ છીએ: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$.
આપેલ પદાવલિ માટે આ લાગુ પાડતા:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$
કારણ કે $(M^{-1})^{-1} = M$,તેથી:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = A B$
હવે,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2)(0) + (3)(1) & (2)(-1) + (3)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 3 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(C) આપેલ છે કે $AX = I$,તેથી $X = A^{-1}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (1 \times 3) - (2 \times 4) = 3 - 8 = -5$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (adjoint) શોધો:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A$ ની ગણતરી કરો:
$X = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$.

(B) ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોના ચિહ્નો બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $\text{adj}(A)$ શોધીએ,જેમાં મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીએ અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીએ:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = A$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$.
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$.
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$.
તેથી,$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $A$ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે,તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ પણ એક વિકર્ણ શ્રેણિક હશે જેના વિકર્ણના ઘટકો એ $A$ ના વિકર્ણના ઘટકોના વ્યસ્ત છે.
તેથી,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ થાય.
$A^{-1}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3}$ છે.
આનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $6$ લો.
સરવાળો $= \frac{3}{6} + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$ અને $11B^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = (AB)B^{-1}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$B^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને $A$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \times \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (-6)(5) + (26)(2) & (-6)(-3) + (26)(1) \\ (-1)(5) + (19)(2) & (-1)(-3) + (19)(1) \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -30 + 52 & 18 + 26 \\ -5 + 38 & 3 + 19 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22 & 44 \\ 33 & 22 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 3+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5I_3$.
હવે,મળેલા શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો:
$(A+B)^{-1} = (5I_3)^{-1}$.
ગુણધર્મ $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{5} I_3^{-1} = \frac{1}{5} I_3$.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,જો બે શ્રેણિકો $X$ અને $Y$ એકબીજાના વ્યસ્ત હોય,તો તેમનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I$ થવો જોઈએ.
તેથી,$XY = I$ અને $YX = I$.
આમ,$XY = YX = I$.

(C) આપેલ સમીકરણ $AB = 4I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણીએ:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(4I)$
$(A^{-1}A)B = 4A^{-1}$
કારણ કે $A^{-1}A = I$,તેથી:
$IB = 4A^{-1}$
$B = 4A^{-1}$
બંને બાજુને $4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{4}B$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ છીએ.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$.
$|A| = (2 \times 6) - (-4 \times -3) = 12 - 12 = 0$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,તે અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
તેથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(C) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $AB = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $10B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$,તેથી $B = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$AB = I$ હોવાથી,$A(10B) = 10I$ થાય.
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$.
આપણે $\alpha$ શોધવાનું છે. શ્રેણિક $A$ ની બીજી હાર અને $10B$ ના ત્રીજા સ્તંભનો ગુણાકાર કરીએ:
$(2)(2) + (1)(\alpha) + (-3)(3) = 0$.
$4 + \alpha - 9 = 0$.
$\alpha - 5 = 0$.
$\alpha = 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$. તેથી $A^{-1} = -\frac{1}{2} B$.
આમ,$A \cdot (-\frac{1}{2} B) = I$,જેનો અર્થ છે કે $A \cdot B = -2I = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના $(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક મેળવવા માટે $A$ ની ત્રીજી હાર અને $B$ ના પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરીએ:
$(3 \times -1) + (1 \times 8) + (1 \times -x) = -2$.
$-3 + 8 - x = -2$.
$5 - x = -2$.
$x = 5 + 2 = 7$.
ચાલો નિશ્ચાયક $|A|$ ની ફરી ગણતરી કરીએ:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ હોવાથી,શ્રેણિક $B$ એ $\text{adj}(A)$ હોવો જોઈએ.
$\text{adj}(A)$ ના $(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક એ શ્રેણિક $A$ નો સહઅવયવ $C_{13}$ છે.
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 6) = -5$.
શ્રેણિક $B$ સાથે સરખાવતા,$(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $-x$ છે.
તેથી,$-x = -5$,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \times A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & \alpha \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ ની બીજી હાર અને $A^{-1}$ ના ત્રીજા સ્તંભનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિકના $(2, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક જેટલો એટલે કે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{5} [ (2 \times 2) + (1 \times \alpha) + (2 \times -3) ] = 0$.
$4 + \alpha - 6 = 0$.
$\alpha - 2 = 0$.
$\alpha = 2$.

(C) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
જેহেতু $A$ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે,તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ તેના વિકર્ણ ઘટકોના વ્યસ્ત દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $(A^{-1})^2 = A^{-1} \times A^{-1}$ શોધવાની જરૂર છે:
$(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{16} \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,$A$ અને તેના વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I$ થાય છે.
$A \cdot A^{-1} = I$
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા:
$\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I)$
ગુણધર્મ $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I)$
એકમ શ્રેણિક માટે $\det(I) = 1$ હોવાથી:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$
તેથી,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (5 \times 3) - (-2 \times 4) = 15 - (-8) = 15 + 8 = 23$ છે.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $2 \times 2$ હોવાથી,$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
તેથી,$A(\operatorname{adj} A) = |A| I = 23 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 23 I$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $|A| = 1(2 \times 1 - 3 \times 0) - 0 + 0 = 1(2) = 2$.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ) નો ગુણધર્મ વાપરીએ: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $|\operatorname{adj} A| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) નો ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$
અહીં આપેલ છે કે શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેનો નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ શોધીએ છીએ.
અહીં $A = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = (8)(1) - (-2)(-4) = 8 - 8 = 0$ થાય.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
તેથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(D) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A| = ad - bc$ અને $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
આ જવાબ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 1) - 3(2 \times 1 - 2 \times 5) + 4(2 \times 1 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(1 - 2) - 3(2 - 10) + 4(2 - 5)$
$|A| = 1(-1) - 3(-8) + 4(-3)$
$|A| = -1 + 24 - 12 = 11$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\text{adj } A| = (11)^2 = 121$.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $|A| = ad - bc$ અને $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(4) - (-3)(5) = 8 + 15 = 23$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{23} & \frac{3}{23} \\ -\frac{5}{23} & \frac{2}{23} \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot A^{-1} = I$ થાય,જ્યાં $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} (2x)(1) + (0)(-1) & (2x)(0) + (0)(2) \\ (x)(1) + (x)(-1) & (x)(0) + (x)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2x = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \text{diag}(a, b, c)$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $a=2, b=3, c=4$ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે,$(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$
બંને બાજુથી $A^{2}-B^{2}$ બાદ કરતા: $-AB+BA=0$
તેથી,$AB=BA$
હવે,આપણે $(ABA^{-1})^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$(ABA^{-1})^{2} = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$
$AB=BA$ હોવાથી,આપણે $AB = BA$ લખી શકીએ,તેથી $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$
આમ,$(ABA^{-1})^{2} = B^{2}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ અને નિશ્ચાયક વચ્ચેનો સંબંધ $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n=2$ અને $|A|=2$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 2$.
આપેલ છે કે $\operatorname{adj}(A) = B = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & \alpha\end{array}\right]$,આપણે $B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = (1)(\alpha) - (3)(1) = \alpha - 3$.
કારણ કે $|\operatorname{adj}(A)| = |B|$,તેથી $\alpha - 3 = 2$.
આમ,$\alpha = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે,$|kM| = k^n |M|$ થાય.
આ ગુણધર્મ $|5 \times \text{adj}(A)| = 5$ પર લાગુ પાડતા,આપણને $5^3 |\text{adj}(A)| = 5$ મળે છે.
આથી $|\text{adj}(A)| = \frac{5}{5^3} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ થાય.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ થાય.
$n = 3$ માટે,$|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ થાય.
$|\text{adj}(A)|$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $|A|^2 = \frac{1}{25}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A| = \pm \frac{1}{5}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} A = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$. તેથી $BA = I$,જેનો અર્થ છે કે $A = B^{-1}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$ad-bc = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$.
તેથી,$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $-\lambda^3 + \text{tr}(A)\lambda^2 - (\dots)\lambda + |A| = 0$ માં પરિણમે છે.
આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{3}-5 \lambda^{2}-3 \lambda+2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\dots)\lambda - |A| = 0$ સાથે સરખાવતા.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $-|A| = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|A| = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ થાય છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\text{adj}(A)| = (-2)^2 = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 2) = 2(4) - 1(-1) + 0 = 8 + 1 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 9$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|\operatorname{adj} A| = 9^2 = 81$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = 5 I$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $|A| = 5$ મળે છે.
$n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ છે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = (5)^2 = 25$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I$,જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(2 \times 4 - (-3) \times (-2)) - (-2)(0 \times 4 - (-3) \times 3) + 2(0 \times (-2) - 2 \times 3)$
$|A| = 1(8 - 6) + 2(0 + 9) + 2(0 - 6)$
$|A| = 1(2) + 2(9) + 2(-6)$
$|A| = 2 + 18 - 12 = 8$
અહીં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I = 8 \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right]$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - 5A + 7I = 0$.
$A^2 - 5A + 7I = 0$ હોવાથી,આપણને મળે $7I = 5A - A^2$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા (ધારો કે $|A| \neq 0$):
$A^{-1}(A^2 - 5A + 7I) = A^{-1}(0)$.
$A^{-1}A^2 - 5A^{-1}A + 7A^{-1}I = 0$.
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ અને $AB = I$.
$AB = I$ હોવાથી,$B = A^{-1}$ થાય.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan \frac{\alpha}{2})(-\tan \frac{\alpha}{2}) = 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \sec^2 \frac{\alpha}{2}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$.
$\frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ હોવાથી,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot A^T$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિકની ઘાતનો વ્યસ્ત $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરતા:
$(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A^{-1})^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,$A^2$ શોધીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^2 = I$ હોવાથી,$A^3$ શોધી શકાય:
$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$.
આપણે $A^3$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $(A^3)^{-1}$ શોધવાનો છે.
$A^3 = A$ હોવાથી,$(A^3)^{-1} = A^{-1}$ થાય.
$A^2 = I$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A = I$,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = A$.
તેથી,$(A^3)^{-1} = A$.