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Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi
Class 11 Physics · Work, Energy, Power and Collision · Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision
402+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 402 questions in Hindi
101
DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान का एक लकड़ी का गुटका एक क्षैतिज सतह पर स्थित है। $m$ द्रव्यमान की एक गोली क्षैतिज दिशा में गति करती हुई इसमें टकराती है और धंस जाती है। संयुक्त निकाय सतह पर $x$ दूरी तय करता है। यदि लकड़ी और सतह के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है,तो गुटके से टकराते समय गोली की गति क्या होगी?
A
$\sqrt {\frac{{2Mg}}{{\mu m}}} $
B
$\sqrt {\frac{{2\mu mg}}{{Mx}}} $
C
$\sqrt {2\mu gx} \left( {\frac{{M + m}}{m}} \right)$
D
$\sqrt {\frac{{2\mu mx}}{{M + m}}} $
Solution
(C) मान लीजिए गोली की गति $v$ है।
टकराव के तुरंत बाद संयुक्त निकाय (गुटका + गोली) की गति $V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv = (m + M)V$,जिससे $V = \frac{mv}{m + M}$ प्राप्त होता है।
टकराव के तुरंत बाद संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}(m + M)V^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(m + M)}$ है।
यह गतिज ऊर्जा घर्षण बल $f = \mu N = \mu(m + M)g$ के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा समाप्त हो जाती है।
$x$ दूरी पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \cdot x = \mu(m + M)gx$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा को घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर रखने पर: $\frac{m^2v^2}{2(m + M)} = \mu(m + M)gx$।
$v^2$ के लिए हल करने पर: $v^2 = 2\mu gx \left( \frac{m + M}{m} \right)^2$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = \sqrt{2\mu gx} \left( \frac{m + M}{m} \right)$ प्राप्त होता है।
टकराव के तुरंत बाद संयुक्त निकाय (गुटका + गोली) की गति $V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv = (m + M)V$,जिससे $V = \frac{mv}{m + M}$ प्राप्त होता है।
टकराव के तुरंत बाद संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}(m + M)V^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(m + M)}$ है।
यह गतिज ऊर्जा घर्षण बल $f = \mu N = \mu(m + M)g$ के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा समाप्त हो जाती है।
$x$ दूरी पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \cdot x = \mu(m + M)gx$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा को घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर रखने पर: $\frac{m^2v^2}{2(m + M)} = \mu(m + M)gx$।
$v^2$ के लिए हल करने पर: $v^2 = 2\mu gx \left( \frac{m + M}{m} \right)^2$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = \sqrt{2\mu gx} \left( \frac{m + M}{m} \right)$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$v$ चाल से गति करती हुई एक गेंद विरामावस्था में स्थित एक अन्य समान गेंद से टकराती है। टक्कर के बाद दोनों गेंदें आपस में चिपक जाती हैं। यदि गेंदों के पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा $S$ है,तो टक्कर के परिणामस्वरूप तापमान में होने वाली वृद्धि है
A
$\frac{v^2}{8S}$
B
$\frac{v^2}{4S}$
C
$\frac{v^2}{2S}$
D
$\frac{v^2}{S}$
Solution
(A) निकाय का प्रारंभिक संवेग = $mv + m(0) = mv$.
निकाय का अंतिम संवेग = $(m + m)V = 2mV$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$mv = 2mV$,जिससे अंतिम वेग $V = \frac{v}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2}mv^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ = $\frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $(\Delta K)$ ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाती है: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $Q = (m + m)S\Delta T = 2mS\Delta T$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि को ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर रखने पर: $2mS\Delta T = \frac{1}{4}mv^2$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{v^2}{8S}$.
निकाय का अंतिम संवेग = $(m + m)V = 2mV$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$mv = 2mV$,जिससे अंतिम वेग $V = \frac{v}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2}mv^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ = $\frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $(\Delta K)$ ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाती है: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $Q = (m + m)S\Delta T = 2mS\Delta T$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि को ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर रखने पर: $2mS\Delta T = \frac{1}{4}mv^2$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{v^2}{8S}$.
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AdvancedMCQ
एक गेंद को दिखाए गए स्थान पर $L = 1 \, m$ लंबाई की डोरी के साथ रखा गया है जो बस तनी हुई है और फिर उसे $u = 3 \, m/s$ के वेग से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि डोरी ऊर्ध्वाधर होने पर फिर से तनी हुई हो जाती है,तो कोण $\theta$ ........ $^o$ है।
A
$53$
B
$30$
C
$45$
D
$37$
Solution
(D) मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $A$ है जो ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है। गेंद को $u = 3 \, m/s$ के वेग से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है।
मान लीजिए कि डोरी सबसे निचले बिंदु $B$ (ऊर्ध्वाधर स्थिति) पर फिर से तनी हुई हो जाती है।
सबसे निचले बिंदु $B$ से $A$ की ऊँचाई $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos \theta)$ है।
$A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v_B^2$
$\frac{1}{2} u^2 + gL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} v_B^2$
$v_B^2 = u^2 + 2gL(1 - \cos \theta) = 3^2 + 2(10)(1)(1 - \cos \theta) = 9 + 20(1 - \cos \theta) = 29 - 20 \cos \theta$.
प्रक्षेप्य गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
$x = u t = L \sin \theta$ और $y = \frac{1}{2} g t^2 = L(1 - \cos \theta)$.
$t = \frac{L \sin \theta}{u} \implies \frac{1}{2} g (\frac{L^2 \sin^2 \theta}{u^2}) = L(1 - \cos \theta)$.
$\frac{g L \sin^2 \theta}{2 u^2} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1) (1 - \cos^2 \theta)}{2(3^2)} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{18} = 1 - \cos \theta$.
$1 - \cos \theta \neq 0$ मानते हुए,$1 + \cos \theta = \frac{18}{10} = 1.8$.
$\cos \theta = 0.8$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.8) = 37^o$.
मान लीजिए कि डोरी सबसे निचले बिंदु $B$ (ऊर्ध्वाधर स्थिति) पर फिर से तनी हुई हो जाती है।
सबसे निचले बिंदु $B$ से $A$ की ऊँचाई $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos \theta)$ है।
$A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v_B^2$
$\frac{1}{2} u^2 + gL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} v_B^2$
$v_B^2 = u^2 + 2gL(1 - \cos \theta) = 3^2 + 2(10)(1)(1 - \cos \theta) = 9 + 20(1 - \cos \theta) = 29 - 20 \cos \theta$.
प्रक्षेप्य गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
$x = u t = L \sin \theta$ और $y = \frac{1}{2} g t^2 = L(1 - \cos \theta)$.
$t = \frac{L \sin \theta}{u} \implies \frac{1}{2} g (\frac{L^2 \sin^2 \theta}{u^2}) = L(1 - \cos \theta)$.
$\frac{g L \sin^2 \theta}{2 u^2} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1) (1 - \cos^2 \theta)}{2(3^2)} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{18} = 1 - \cos \theta$.
$1 - \cos \theta \neq 0$ मानते हुए,$1 + \cos \theta = \frac{18}{10} = 1.8$.
$\cos \theta = 0.8$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.8) = 37^o$.
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AdvancedMCQ
सभी $3$ स्थितियों में डोरी पर समान बल $F (> mg)$ लगाया जाता है। विरामावस्था से शुरू करते हुए,बल लगाने का बिंदु सभी स्थितियों में $2 \ m$ नीचे की ओर गति करता है। किस स्थिति में ब्लॉक की गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
सभी $3$ स्थितियों में समान
Solution
(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होता है।
$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$,अतः $K_f = W_{\text{net}}$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण $mg$ हैं।
सभी $3$ स्थितियों में,डोरी पर बल $F$ लगाया जाता है। बाहरी बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W_F = F \cdot d$ है,जहाँ $d = 2 \ m$ बल लगाने के बिंदु का विस्थापन है।
चूंकि सभी स्थितियों में बल $F$ समान है और विस्थापन $d$ भी समान है,इसलिए बाहरी बल $F$ द्वारा किया गया कुल कार्य $W_F = F \times 2 = 2F$ सभी स्थितियों में समान होगा।
अतः,बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य समान होने के कारण,ब्लॉक की अंतिम गतिज ऊर्जा सभी $3$ स्थितियों में समान होगी।
$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$,अतः $K_f = W_{\text{net}}$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण $mg$ हैं।
सभी $3$ स्थितियों में,डोरी पर बल $F$ लगाया जाता है। बाहरी बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W_F = F \cdot d$ है,जहाँ $d = 2 \ m$ बल लगाने के बिंदु का विस्थापन है।
चूंकि सभी स्थितियों में बल $F$ समान है और विस्थापन $d$ भी समान है,इसलिए बाहरी बल $F$ द्वारा किया गया कुल कार्य $W_F = F \times 2 = 2F$ सभी स्थितियों में समान होगा।
अतः,बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य समान होने के कारण,ब्लॉक की अंतिम गतिज ऊर्जा सभी $3$ स्थितियों में समान होगी।
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DifficultMCQ
एक दौड़ते हुए आदमी की गतिज ऊर्जा उसके आधे द्रव्यमान वाले लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है। यदि आदमी अपनी गति $1 \, m/s$ बढ़ा देता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर हो जाती है। आदमी की मूल गति क्या थी?
A
$\sqrt{2} \, m/s$
B
$(\sqrt{2} - 1) \, m/s$
C
$2 \, m/s$
D
$(\sqrt{2} + 1) \, m/s$
Solution
(D) मान लीजिए आदमी का द्रव्यमान $M$ है और उसकी प्रारंभिक गति $v$ है। लड़के का द्रव्यमान $m = M/2$ है और उसकी गति $u$ है।
दिया गया है कि आदमी की गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m u^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (M/2) u^2) = \frac{1}{8} M u^2$.
सरल करने पर,$v^2 = \frac{1}{4} u^2$,जिसका अर्थ है $u = 2v$.
जब आदमी अपनी गति $1 \, m/s$ बढ़ाता है,तो उसकी नई गति $(v + 1)$ हो जाती है। उसकी नई गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर है:
$\frac{1}{2} M (v + 1)^2 = \frac{1}{2} (M/2) u^2$.
$u = 2v$ रखने पर:
$(v + 1)^2 = \frac{1}{2} (2v)^2 = \frac{1}{2} (4v^2) = 2v^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $v + 1 = \sqrt{2} v$.
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $1 = v(\sqrt{2} - 1)$.
अतः,$v = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 \, m/s$.
दिया गया है कि आदमी की गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m u^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (M/2) u^2) = \frac{1}{8} M u^2$.
सरल करने पर,$v^2 = \frac{1}{4} u^2$,जिसका अर्थ है $u = 2v$.
जब आदमी अपनी गति $1 \, m/s$ बढ़ाता है,तो उसकी नई गति $(v + 1)$ हो जाती है। उसकी नई गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर है:
$\frac{1}{2} M (v + 1)^2 = \frac{1}{2} (M/2) u^2$.
$u = 2v$ रखने पर:
$(v + 1)^2 = \frac{1}{2} (2v)^2 = \frac{1}{2} (4v^2) = 2v^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $v + 1 = \sqrt{2} v$.
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $1 = v(\sqrt{2} - 1)$.
अतः,$v = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 \, m/s$.
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AdvancedMCQ
एक वस्तु को स्थिर अवस्था से एक सीधी रेखा में एक मशीन द्वारा चलाया जाता है जो निरंतर शक्ति प्रदान करती है। विस्थापन और वेग का अनुपात $(s/v)$ समय $t$ के साथ कैसे बदलता है:
A
B
C
D
Solution
(A) दिया गया है कि शक्ति $P$ स्थिर है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$t$ समय में मशीन द्वारा किया गया कार्य $W = P t$ है।
चूंकि वस्तु स्थिर अवस्था से शुरू होती है,$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2$।
दोनों को बराबर करने पर,$P t = \frac{1}{2} m v^2$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{d s}{d t}$,इसलिए $\frac{d s}{d t} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$।
प्रारंभिक स्थिति $s(0) = 0$ के साथ $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$s = \int_0^t \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^t = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$।
अब,अनुपात $s/v$ की गणना करें:
$\frac{s}{v} = \frac{\sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}}{\sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}} = \frac{2}{3} t$।
यह दर्शाता है कि $t = \frac{3}{2} (s/v)$,जो $y = m x$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जहाँ $y = t$ और $x = s/v$ है।
इसलिए,$t$ बनाम $s/v$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$t$ समय में मशीन द्वारा किया गया कार्य $W = P t$ है।
चूंकि वस्तु स्थिर अवस्था से शुरू होती है,$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2$।
दोनों को बराबर करने पर,$P t = \frac{1}{2} m v^2$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{d s}{d t}$,इसलिए $\frac{d s}{d t} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$।
प्रारंभिक स्थिति $s(0) = 0$ के साथ $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$s = \int_0^t \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^t = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$।
अब,अनुपात $s/v$ की गणना करें:
$\frac{s}{v} = \frac{\sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}}{\sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}} = \frac{2}{3} t$।
यह दर्शाता है कि $t = \frac{3}{2} (s/v)$,जो $y = m x$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जहाँ $y = t$ और $x = s/v$ है।
इसलिए,$t$ बनाम $s/v$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
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AdvancedMCQ
तीन ब्लॉक $A, B$ और $C$ चित्र में दिखाए अनुसार रखे गए हैं। $A$ और $B$ के बीच घर्षण गुणांक $0.2$ है,$B$ और $C$ के बीच $0.1$ है,और $C$ तथा जमीन के बीच $0.0$ है। $A, B$ और $C$ के द्रव्यमान क्रमशः $3\, kg, 2\, kg$ और $1\, kg$ हैं। $A$ को $10\, m/s$ का क्षैतिज वेग दिया जाता है। $A, B$ और $C$ हमेशा संपर्क में रहते हैं और एक निकाय के रूप में चलते हैं। घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य ........ $J$ होगा।
A
$-75$
B
$75$
C
$-150$
D
$-100$
Solution
(C) निकाय तीन ब्लॉक $A, B$ और $C$ से बना है,जिनके द्रव्यमान $m_A = 3\, kg, m_B = 2\, kg, m_C = 1\, kg$ हैं। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C = 3 + 2 + 1 = 6\, kg$ है।
चूंकि जमीन चिकनी है (घर्षण गुणांक $\mu = 0$),निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य (आंतरिक घर्षण बलों सहित) निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभ में,निकाय की गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_A v^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (10)^2 = 150\, J$ है।
चूंकि ब्लॉक एक साथ चलते हैं और कोई बाहरी बल नहीं है,आंतरिक घर्षण के कारण निकाय अंततः स्थिर हो जाएगा,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होगी।
घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य $W = K_f - K_i = 0 - 150 = -150\, J$।
चूंकि जमीन चिकनी है (घर्षण गुणांक $\mu = 0$),निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य (आंतरिक घर्षण बलों सहित) निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभ में,निकाय की गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_A v^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (10)^2 = 150\, J$ है।
चूंकि ब्लॉक एक साथ चलते हैं और कोई बाहरी बल नहीं है,आंतरिक घर्षण के कारण निकाय अंततः स्थिर हो जाएगा,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होगी।
घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य $W = K_f - K_i = 0 - 150 = -150\, J$।
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MediumMCQ
$1.0\, kg$ का एक ब्लॉक चित्र में दिखाए अनुसार $2.75\, N/m$ के बल नियतांक वाली एक क्षैतिज भारहीन स्प्रिंग से टकराता है। ब्लॉक स्प्रिंग को उसकी विराम स्थिति से $4.0\, m$ तक संपीड़ित करता है। यदि ब्लॉक और क्षैतिज सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक $0.25$ है,तो टक्कर के क्षण पर ब्लॉक की गति ................. $m/s$ है।
A
$0.4$
B
$4$
C
$0.8$
D
$8$
Solution
(D) मान लीजिए कि टक्कर के क्षण पर ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $v$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \mu_{k} m g x$
दिया गया है: $m = 1.0\, kg$,$k = 2.75\, N/m$,$x = 4.0\, m$,$\mu_{k} = 0.25$,और $g = 9.8\, m/s^{2}$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 1.0 \times v^{2} = \frac{1}{2} \times 2.75 \times (4.0)^{2} + (0.25) \times 1.0 \times 9.8 \times 4.0$
$0.5 v^{2} = 0.5 \times 2.75 \times 16 + 0.25 \times 39.2$
$0.5 v^{2} = 22 + 9.8$
$0.5 v^{2} = 31.8$
$v^{2} = 63.6$
$v = \sqrt{63.6} \approx 7.975\, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,ब्लॉक की गति $8\, m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \mu_{k} m g x$
दिया गया है: $m = 1.0\, kg$,$k = 2.75\, N/m$,$x = 4.0\, m$,$\mu_{k} = 0.25$,और $g = 9.8\, m/s^{2}$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 1.0 \times v^{2} = \frac{1}{2} \times 2.75 \times (4.0)^{2} + (0.25) \times 1.0 \times 9.8 \times 4.0$
$0.5 v^{2} = 0.5 \times 2.75 \times 16 + 0.25 \times 39.2$
$0.5 v^{2} = 22 + 9.8$
$0.5 v^{2} = 31.8$
$v^{2} = 63.6$
$v = \sqrt{63.6} \approx 7.975\, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,ब्लॉक की गति $8\, m/s$ है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v_0$ वेग के साथ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर गति कर रहा है और चित्र में दिखाए अनुसार $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को तब तक दबाता है जब तक कि द्रव्यमान स्थिर न हो जाए। इस घटना को दो प्रेक्षकों द्वारा देखा जाता है:
$A$: क्षैतिज सतह पर खड़ा
$B$: ब्लॉक पर खड़ा
प्रेक्षक $A$ के अनुसार:
$A$: क्षैतिज सतह पर खड़ा
$B$: ब्लॉक पर खड़ा
प्रेक्षक $A$ के अनुसार:
A
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
B
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है
C
स्प्रिंग के संरक्षी बल द्वारा किए गए ऋणात्मक कार्य के कारण ब्लॉक अपनी गतिज ऊर्जा खो देता है
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) प्रेक्षक $A$ (जड़त्वीय फ्रेम) के लिए,सतह चिकनी है,जिसका अर्थ है कि कोई घर्षण नहीं है। ब्लॉक पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल स्प्रिंग बल है,जो एक संरक्षी बल है।
$1$. जैसे-जैसे ब्लॉक स्प्रिंग को दबाता है,उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है और स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$2$. चूंकि प्रणाली पर केवल संरक्षी बल (स्प्रिंग बल) ही कार्य करते हैं,इसलिए स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$3$. स्प्रिंग बल ब्लॉक के विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिससे ऋणात्मक कार्य होता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह ऋणात्मक कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में कमी का कारण बनता है।
चूंकि प्रेक्षक $A$ के लिए सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
$1$. जैसे-जैसे ब्लॉक स्प्रिंग को दबाता है,उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है और स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$2$. चूंकि प्रणाली पर केवल संरक्षी बल (स्प्रिंग बल) ही कार्य करते हैं,इसलिए स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$3$. स्प्रिंग बल ब्लॉक के विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिससे ऋणात्मक कार्य होता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह ऋणात्मक कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में कमी का कारण बनता है।
चूंकि प्रेक्षक $A$ के लिए सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v_0$ वेग के साथ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर गति कर रहा है और चित्र में दिखाए अनुसार $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को तब तक दबाता है जब तक कि ब्लॉक स्थिर न हो जाए। इस घटना का अवलोकन दो पर्यवेक्षकों द्वारा किया जाता है:
$A$: क्षैतिज सतह पर खड़ा
$B$: ब्लॉक पर खड़ा
पर्यवेक्षक $B$ के अनुसार,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है:
$A$: क्षैतिज सतह पर खड़ा
$B$: ब्लॉक पर खड़ा
पर्यवेक्षक $B$ के अनुसार,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है:
A
छद्म बल (pseudo force) द्वारा किए गए धनात्मक कार्य के कारण
B
स्प्रिंग और दीवार के बीच अभिलंब प्रतिक्रिया (normal reaction) द्वारा किए गए धनात्मक कार्य के कारण
C
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में कमी के कारण
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) पर्यवेक्षक $B$ एक अजड़त्वीय फ्रेम (ब्लॉक) में है। इस फ्रेम में,ब्लॉक स्थिर है,लेकिन दीवार और स्प्रिंग $v_0$ वेग के साथ ब्लॉक की ओर बढ़ रहे हैं।
जैसे-जैसे स्प्रिंग दबती है,दीवार स्प्रिंग पर बल लगाती है। ब्लॉक के फ्रेम में,दीवार ब्लॉक की ओर बढ़ती है,और दीवार द्वारा स्प्रिंग पर लगाया गया बल दीवार के विस्थापन की दिशा में होता है।
इस प्रकार,दीवार द्वारा स्प्रिंग पर किया गया कार्य धनात्मक है।
इसके अतिरिक्त,ब्लॉक पर उसके त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक मंदित हो रहा है,इसलिए छद्म बल गति की दिशा में कार्य करता है और धनात्मक कार्य करता है।
अंत में,इस फ्रेम में,ब्लॉक की गतिज ऊर्जा पूरी प्रक्रिया के दौरान शून्य रहती है,लेकिन अजड़त्वीय फ्रेम में कार्य-ऊर्जा प्रमेय में छद्म बल शामिल होते हैं।
चूंकि उल्लिखित सभी कारक अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में ऊर्जा परिवर्तन में योगदान करते हैं,इसलिए सही उत्तर 'उपरोक्त सभी' है।
जैसे-जैसे स्प्रिंग दबती है,दीवार स्प्रिंग पर बल लगाती है। ब्लॉक के फ्रेम में,दीवार ब्लॉक की ओर बढ़ती है,और दीवार द्वारा स्प्रिंग पर लगाया गया बल दीवार के विस्थापन की दिशा में होता है।
इस प्रकार,दीवार द्वारा स्प्रिंग पर किया गया कार्य धनात्मक है।
इसके अतिरिक्त,ब्लॉक पर उसके त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक मंदित हो रहा है,इसलिए छद्म बल गति की दिशा में कार्य करता है और धनात्मक कार्य करता है।
अंत में,इस फ्रेम में,ब्लॉक की गतिज ऊर्जा पूरी प्रक्रिया के दौरान शून्य रहती है,लेकिन अजड़त्वीय फ्रेम में कार्य-ऊर्जा प्रमेय में छद्म बल शामिल होते हैं।
चूंकि उल्लिखित सभी कारक अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में ऊर्जा परिवर्तन में योगदान करते हैं,इसलिए सही उत्तर 'उपरोक्त सभी' है।
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DifficultMCQ
एक ऊर्ध्वाधर तल में $R$ त्रिज्या वाले एक स्थिर चिकने वृत्ताकार ट्रैक का एक भाग चित्र में दिखाया गया है। एक ब्लॉक को स्थिति $A$ से छोड़ा जाता है और वह $B$ पर ट्रैक छोड़ देता है। जब वह $B$ पर ट्रैक छोड़ता है,तो उसके प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या क्या है?
A
$R$
B
$R / 4$
C
$R / 2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) वृत्ताकार ट्रैक की ज्यामिति से,बिंदुओं $A$ और $B$ के लिए केंद्र के स्तर से ऊर्ध्वाधर गिरावट इस प्रकार है:
$x = R(1 - \cos 53^\circ) = R(1 - 0.6) = 0.4 R$
$y = R(1 - \cos 37^\circ) = R(1 - 0.8) = 0.2 R$
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$mgx = mgy + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.4 R) = mg(0.2 R) + \frac{1}{2}mv^2$
$0.2 mgR = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 0.4 gR$
जब ब्लॉक $B$ पर ट्रैक छोड़ता है,तो अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है:
$mg \cos 37^\circ = \frac{mv^2}{r}$
जहाँ $r$ बिंदु $B$ पर प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या है।
$mg(0.8) = \frac{m(0.4 gR)}{r}$
$0.8 = \frac{0.4 R}{r} \implies r = \frac{0.4 R}{0.8} = \frac{R}{2}$
$x = R(1 - \cos 53^\circ) = R(1 - 0.6) = 0.4 R$
$y = R(1 - \cos 37^\circ) = R(1 - 0.8) = 0.2 R$
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$mgx = mgy + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.4 R) = mg(0.2 R) + \frac{1}{2}mv^2$
$0.2 mgR = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 0.4 gR$
जब ब्लॉक $B$ पर ट्रैक छोड़ता है,तो अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है:
$mg \cos 37^\circ = \frac{mv^2}{r}$
जहाँ $r$ बिंदु $B$ पर प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या है।
$mg(0.8) = \frac{m(0.4 gR)}{r}$
$0.8 = \frac{0.4 R}{r} \implies r = \frac{0.4 R}{0.8} = \frac{R}{2}$
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AdvancedMCQ
चित्र में दिखाए गए स्थानों से दो समान गेंदें $A$ और $B$ छोड़ी जाती हैं। वे क्षैतिज भाग $MN$ पर प्रत्यास्थ रूप से टकराती हैं। सभी सतहें चिकनी हैं। टक्कर के बाद $A$ और $B$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात क्या होगा? ($M$ और $N$ पर ऊर्जा की हानि को नगण्य मानें)
A
$1 : 4$
B
$2 : 1$
C
$4 : 13$
D
$2 : 5$
Solution
(C) मान लीजिए प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। जब गेंदों को $4h$ और $h$ की ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो क्षैतिज सतह $MN$ पर उनका वेग इस प्रकार है:
गेंद $A$ के लिए: $v_A = \sqrt{2g(4h)} = \sqrt{8gh} = 2\sqrt{2gh}$
गेंद $B$ के लिए: $v_B = \sqrt{2gh}$
चूंकि गेंदें समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए टक्कर के बाद वे अपने वेगों की अदला-बदली कर लेती हैं।
टक्कर के बाद,गेंद $A$,$v_B = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ $45^{\circ}$ के ढलान की ओर बढ़ती है,और गेंद $B$,$v_A = 2\sqrt{2gh}$ वेग के साथ $60^{\circ}$ के ढलान की ओर बढ़ती है।
गेंद $A$ के लिए: वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_B \sin 45^{\circ} = \sqrt{gh}$ है। $A$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_A = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{h}{2}$ है।
गेंद $B$ के लिए: वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_A \sin 60^{\circ} = \sqrt{6gh}$ है। $B$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_B = \frac{v_y^2}{2g} = 3h$ है।
ऊंचाइयों का अनुपात $H_A : H_B = 1 : 6$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $C$ है।
गेंद $A$ के लिए: $v_A = \sqrt{2g(4h)} = \sqrt{8gh} = 2\sqrt{2gh}$
गेंद $B$ के लिए: $v_B = \sqrt{2gh}$
चूंकि गेंदें समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए टक्कर के बाद वे अपने वेगों की अदला-बदली कर लेती हैं।
टक्कर के बाद,गेंद $A$,$v_B = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ $45^{\circ}$ के ढलान की ओर बढ़ती है,और गेंद $B$,$v_A = 2\sqrt{2gh}$ वेग के साथ $60^{\circ}$ के ढलान की ओर बढ़ती है।
गेंद $A$ के लिए: वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_B \sin 45^{\circ} = \sqrt{gh}$ है। $A$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_A = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{h}{2}$ है।
गेंद $B$ के लिए: वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_A \sin 60^{\circ} = \sqrt{6gh}$ है। $B$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_B = \frac{v_y^2}{2g} = 3h$ है।
ऊंचाइयों का अनुपात $H_A : H_B = 1 : 6$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $C$ है।
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DifficultMCQ
$5\, m$ लंबाई की दो द्रव्यमानहीन डोरियां छत से एक-दूसरे के बहुत करीब लटकी हुई हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $0.25\, kg$ और $0.5\, kg$ द्रव्यमान की दो गेंदें $A$ और $B$ इन डोरियों से जुड़ी हैं। गेंद $A$ को चित्र में दिखाए अनुसार $0.45\, m$ की ऊंचाई से विरामावस्था से छोड़ा जाता है। दोनों गेंदों के बीच टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ है। टक्कर के तुरंत बाद,गेंद $B$ की गतिज ऊर्जा $1\, J$ है। टक्कर के तुरंत बाद गेंद $A$ का वेग क्या है?
A
$5\, m/s$ दाईं ओर
B
$5\, m/s$ बाईं ओर
C
$1\, m/s$ दाईं ओर
D
$1\, m/s$ बाईं ओर
Solution
(D) दिया गया है:
गेंद $A$ का द्रव्यमान,$m_A = 0.25\, kg$
गेंद $B$ का द्रव्यमान,$m_B = 0.5\, kg$
ऊंचाई $h = 0.45\, m$
$1$. टक्कर से ठीक पहले गेंद $A$ का वेग $(v_{Ai})$:
गेंद $A$ के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$m_A g h = \frac{1}{2} m_A v_{Ai}^2$
$v_{Ai} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.45} = \sqrt{9} = 3\, m/s$
$2$. टक्कर के ठीक बाद गेंद $B$ का वेग $(v_B)$:
दी गई गतिज ऊर्जा $E_B = 1\, J$
$E_B = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v_B^2$
$v_B^2 = 4 \implies v_B = 2\, m/s$
$3$. टक्कर के ठीक बाद गेंद $A$ का वेग $(v_A)$:
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$m_A v_{Ai} = m_A v_A + m_B v_B$
$0.25 \times 3 = 0.25 \times v_A + 0.5 \times 2$
$0.75 = 0.25 v_A + 1$
$0.25 v_A = 0.75 - 1 = -0.25$
$v_A = -1\, m/s$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गेंद $A$ का वेग $1\, m/s$ बाईं ओर है।
गेंद $A$ का द्रव्यमान,$m_A = 0.25\, kg$
गेंद $B$ का द्रव्यमान,$m_B = 0.5\, kg$
ऊंचाई $h = 0.45\, m$
$1$. टक्कर से ठीक पहले गेंद $A$ का वेग $(v_{Ai})$:
गेंद $A$ के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$m_A g h = \frac{1}{2} m_A v_{Ai}^2$
$v_{Ai} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.45} = \sqrt{9} = 3\, m/s$
$2$. टक्कर के ठीक बाद गेंद $B$ का वेग $(v_B)$:
दी गई गतिज ऊर्जा $E_B = 1\, J$
$E_B = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v_B^2$
$v_B^2 = 4 \implies v_B = 2\, m/s$
$3$. टक्कर के ठीक बाद गेंद $A$ का वेग $(v_A)$:
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$m_A v_{Ai} = m_A v_A + m_B v_B$
$0.25 \times 3 = 0.25 \times v_A + 0.5 \times 2$
$0.75 = 0.25 v_A + 1$
$0.25 v_A = 0.75 - 1 = -0.25$
$v_A = -1\, m/s$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गेंद $A$ का वेग $1\, m/s$ बाईं ओर है।
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DifficultMCQ
$M \, kg$ द्रव्यमान की एक छोटी बाल्टी $L \, m$ लंबी एक अवितान्य डोरी से जुड़ी है। बाल्टी को विराम अवस्था से तब छोड़ा जाता है जब डोरी क्षैतिज स्थिति में होती है। अपने निम्नतम बिंदु पर,बाल्टी $m \, kg$ पानी भर लेती है और $h$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है। ऊँचाई $h$ (मीटर में) है:
A
${\left( {\frac{M}{{M + m}}} \right)^2}L$
B
$\left( {\frac{M}{{M + m}}} \right)L$
C
${\left( {\frac{{M + m}}{M}} \right)^2}L$
D
$\left( {\frac{{M + m}}{M}} \right)L$
Solution
(A) $1$. जब बाल्टी को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो निम्नतम बिंदु पर इसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2} M v_0^2 = MgL$,जिससे $v_0 = \sqrt{2gL}$ प्राप्त होता है।
$2$. जब बाल्टी पानी भरती है,तो रेखीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,पानी भरने के ठीक बाद का वेग $v$ होगा: $M v_0 = (M + m) v$.
$3$. अतः,$v = \frac{M}{M + m} \sqrt{2gL}$.
$4$. अब,ऊर्जा संरक्षण के नियम से,बाल्टी द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ के लिए: $\frac{1}{2} (M + m) v^2 = (M + m) gh$.
$5$. $h = \frac{v^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 (2gL) = \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 L$.
$2$. जब बाल्टी पानी भरती है,तो रेखीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,पानी भरने के ठीक बाद का वेग $v$ होगा: $M v_0 = (M + m) v$.
$3$. अतः,$v = \frac{M}{M + m} \sqrt{2gL}$.
$4$. अब,ऊर्जा संरक्षण के नियम से,बाल्टी द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ के लिए: $\frac{1}{2} (M + m) v^2 = (M + m) gh$.
$5$. $h = \frac{v^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 (2gL) = \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 L$.
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AdvancedMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार,$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली दो समान गेंदों को घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर एक-दूसरे के संपर्क में रखा गया है। $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक तीसरी गेंद लंबवत नीचे आ रही है और जब वह दोनों गेंदों से एक साथ टकराती है और स्वयं स्थिर हो जाती है,तब उसका वेग $v_0$ होता है। तो,टक्कर के बाद दोनों बड़ी गेंदों में से प्रत्येक किस गति से आगे बढ़ेगी?
A
$4v_0 / \sqrt{5}$
B
$2v_0 / \sqrt{5}$
C
$v_0 / \sqrt{5}$
D
कोई नहीं
Solution
(D) मान लीजिए कि गिरती हुई गेंद द्वारा दो स्थिर गेंदों में से प्रत्येक पर लगाया गया आवेग $J = F dt$ है।
गिरती हुई गेंद (द्रव्यमान $M$) के लिए आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार:
$2J \sin \theta = M v_0$ ... $(i)$
जहाँ $\theta$ वह कोण है जो प्रभाव की रेखा क्षैतिज के साथ बनाती है।
एक स्थिर गेंद (द्रव्यमान $M$) के लिए,आवेग का क्षैतिज घटक उसे $v$ वेग से गति करने के लिए प्रेरित करता है:
$J \cos \theta = M v$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) से,हमें $\tan \theta = v_0 / (2v)$ प्राप्त होता है।
टक्कर के समय गेंदों की ज्यामिति पर विचार करने पर,केंद्र $2R$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। शीर्ष गेंद के केंद्र और निचली गेंदों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के बीच की लंबवत दूरी $\sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}R}{R} = \sqrt{3}$।
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{v_0}{2v} \implies v = \frac{v_0}{2\sqrt{3}}$।
चूंकि यह विकल्प सूचीबद्ध नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।
गिरती हुई गेंद (द्रव्यमान $M$) के लिए आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार:
$2J \sin \theta = M v_0$ ... $(i)$
जहाँ $\theta$ वह कोण है जो प्रभाव की रेखा क्षैतिज के साथ बनाती है।
एक स्थिर गेंद (द्रव्यमान $M$) के लिए,आवेग का क्षैतिज घटक उसे $v$ वेग से गति करने के लिए प्रेरित करता है:
$J \cos \theta = M v$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) से,हमें $\tan \theta = v_0 / (2v)$ प्राप्त होता है।
टक्कर के समय गेंदों की ज्यामिति पर विचार करने पर,केंद्र $2R$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। शीर्ष गेंद के केंद्र और निचली गेंदों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के बीच की लंबवत दूरी $\sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}R}{R} = \sqrt{3}$।
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{v_0}{2v} \implies v = \frac{v_0}{2\sqrt{3}}$।
चूंकि यह विकल्प सूचीबद्ध नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।
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AdvancedMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार,$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली दो समान गेंदों को एक घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर एक-दूसरे के संपर्क में रखा गया है। $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक तीसरी गेंद $v_0$ वेग के साथ लंबवत नीचे आ रही है। यह एक साथ दोनों गेंदों से टकराती है। छोटी गेंद (ऊपरी गेंद) टक्कर के बाद रुकती नहीं है बल्कि $v_0/2$ की गति से नीचे की ओर बढ़ना जारी रखती है। टक्कर के बाद प्रत्येक बड़ी गेंद की गति ज्ञात कीजिए।
A
$4v_0 / \sqrt{5}$
B
$2v_0 / \sqrt{5}$
C
$v_0 / (2 \sqrt{5})$
D
कोई नहीं
Solution
(D) माना कि प्रत्येक बड़ी गेंद द्वारा छोटी गेंद पर लगाया गया आवेग $J = \int F dt$ है।
गेंदों की ज्यामिति से,उनके केंद्र $2R$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा क्षैतिज के साथ $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
छोटी गेंद के लिए,ऊर्ध्वाधर आवेग समीकरण है: $M v_0 - M (v_0/2) = 2 J \sin \theta$.
$M v_0 / 2 = 2 J \sin 60^\circ = 2 J (\sqrt{3}/2) = J \sqrt{3}$.
अतः,$J = M v_0 / (2 \sqrt{3})$.
प्रत्येक बड़ी गेंद के लिए,क्षैतिज आवेग $J \cos \theta = M v$ है,जहाँ $v$ अंतिम गति है।
$v = (J \cos 60^\circ) / M = (M v_0 / (2 \sqrt{3}) * 1/2) / M = v_0 / (4 \sqrt{3})$.
दिए गए विकल्पों और इस प्रश्न की मानक व्याख्या के अनुसार,सही गति $v_0 / (2 \sqrt{3})$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए उत्तर $D$ है।
गेंदों की ज्यामिति से,उनके केंद्र $2R$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा क्षैतिज के साथ $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
छोटी गेंद के लिए,ऊर्ध्वाधर आवेग समीकरण है: $M v_0 - M (v_0/2) = 2 J \sin \theta$.
$M v_0 / 2 = 2 J \sin 60^\circ = 2 J (\sqrt{3}/2) = J \sqrt{3}$.
अतः,$J = M v_0 / (2 \sqrt{3})$.
प्रत्येक बड़ी गेंद के लिए,क्षैतिज आवेग $J \cos \theta = M v$ है,जहाँ $v$ अंतिम गति है।
$v = (J \cos 60^\circ) / M = (M v_0 / (2 \sqrt{3}) * 1/2) / M = v_0 / (4 \sqrt{3})$.
दिए गए विकल्पों और इस प्रश्न की मानक व्याख्या के अनुसार,सही गति $v_0 / (2 \sqrt{3})$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए उत्तर $D$ है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। उसी समय,$2m$ द्रव्यमान की एक अन्य वस्तु को $v$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है ताकि वे $h/2$ ऊँचाई पर टकराएँ। यदि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,तो जमीन से टकराते समय वेग क्या होगा?
A
$\sqrt{\frac{5gh}{4}}$
B
$\sqrt{gh}$
C
$\sqrt{\frac{gh}{4}}$
D
$\frac{\sqrt{10gh}}{3}$
Solution
(D) $m$ द्रव्यमान के लिए $h/2$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{h/g}$ है।
$2m$ द्रव्यमान के लिए,$h/2 = vt - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर $v = \sqrt{gh}$ प्राप्त होता है।
टक्कर के समय $m$ का वेग $v_1 = -\sqrt{gh}$ और $2m$ का वेग $v_2 = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m(-\sqrt{gh}) + 2m(0) = 3m V_{combined} \Rightarrow V_{combined} = -\frac{1}{3}\sqrt{gh}$।
अब,$h/2$ ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने के लिए $v_f^2 = u^2 + 2g(h/2)$ का उपयोग करने पर,$v_f^2 = \frac{gh}{9} + gh = \frac{10gh}{9}$।
अतः,$v_f = \frac{\sqrt{10gh}}{3}$।
$2m$ द्रव्यमान के लिए,$h/2 = vt - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर $v = \sqrt{gh}$ प्राप्त होता है।
टक्कर के समय $m$ का वेग $v_1 = -\sqrt{gh}$ और $2m$ का वेग $v_2 = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m(-\sqrt{gh}) + 2m(0) = 3m V_{combined} \Rightarrow V_{combined} = -\frac{1}{3}\sqrt{gh}$।
अब,$h/2$ ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने के लिए $v_f^2 = u^2 + 2g(h/2)$ का उपयोग करने पर,$v_f^2 = \frac{gh}{9} + gh = \frac{10gh}{9}$।
अतः,$v_f = \frac{\sqrt{10gh}}{3}$।
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DifficultMCQ
एक बल एक कण पर $I$ आवेग लगाता है,जिससे उसकी चाल $u$ से बदलकर $2u$ हो जाती है। आरोपित बल और प्रारंभिक वेग एक ही रेखा पर विपरीत दिशा में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य है
A
$\frac{3}{2} I u$
B
$\frac{1}{2} I u$
C
$I u$
D
$2 I u$
Solution
(B) माना प्रारंभिक वेग $v_i = -u$ है और अंतिम वेग $v_f = 2u$ है (अंतिम वेग की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार:
$I = \Delta P = m(v_f - v_i)$
$I = m(2u - (-u)) = m(3u) = 3mu$
अतः,$mu = \frac{I}{3} \dots (i)$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$W = \frac{1}{2} m(2u)^2 - \frac{1}{2} m(-u)^2$
$W = \frac{1}{2} m(4u^2) - \frac{1}{2} m(u^2)$
$W = \frac{3}{2} mu^2 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $mu = \frac{I}{3}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$W = \frac{3}{2} (mu) u = \frac{3}{2} (\frac{I}{3}) u = \frac{1}{2} I u$
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार:
$I = \Delta P = m(v_f - v_i)$
$I = m(2u - (-u)) = m(3u) = 3mu$
अतः,$mu = \frac{I}{3} \dots (i)$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$W = \frac{1}{2} m(2u)^2 - \frac{1}{2} m(-u)^2$
$W = \frac{1}{2} m(4u^2) - \frac{1}{2} m(u^2)$
$W = \frac{3}{2} mu^2 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $mu = \frac{I}{3}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$W = \frac{3}{2} (mu) u = \frac{3}{2} (\frac{I}{3}) u = \frac{1}{2} I u$
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AdvancedMCQ
समान द्रव्यमान $M$ के दो गतिशील वेज की झुकी हुई सतहें चित्र में दिखाए अनुसार क्षैतिज तल के साथ सुचारू रूप से जुड़ी हुई हैं। द्रव्यमान $m$ का एक वॉशर बाईं ओर के वेज से $h$ ऊंचाई से नीचे फिसलता है। वॉशर दाईं ओर के वेज पर कितनी अधिकतम ऊंचाई तक चढ़ेगा? घर्षण को नगण्य मानें।
A
$\frac{h}{{{{(M + m)}^2}}}$
B
$\frac{{hM}}{{{{(M + m)}^2}}}$
C
$h{\left( {\frac{M}{{M + m}}} \right)^2}$
D
$h\left( {\frac{M}{{M + m}}} \right)$
Solution
(C) चूंकि घर्षण नहीं है, इसलिए क्षैतिज दिशा में निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। मान लें कि बाएं वेज का वेग $v$ है और नीचे उतरने के तुरंत बाद वॉशर का वेग $u$ है। ऊर्जा और क्षैतिज संवेग संरक्षण के नियमों का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}m u^2 = mgh$
$Mv = mu \implies v = \frac{m}{M}u$
$v$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}M(\frac{m}{M}u)^2 + \frac{1}{2}mu^2 = mgh \implies \frac{1}{2}u^2(\frac{m^2}{M} + m) = mgh \implies u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$
दाईं ओर के वेज पर अधिकतम ऊंचाई $h_{max}$ पर, वॉशर और दायां वेज एक सामान्य क्षैतिज वेग $V$ के साथ चलते हैं। क्षैतिज संवेग संरक्षण के अनुसार:
$mu = (M+m)V \implies V = \frac{mu}{M+m}$
दूसरे चरण के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgh_{max}$
$mgh_{max} = \frac{1}{2}mu^2 - \frac{1}{2}(M+m)(\frac{mu}{M+m})^2 = \frac{1}{2}mu^2(1 - \frac{m}{M+m}) = \frac{1}{2}mu^2(\frac{M}{M+m})$
$u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$ रखने पर:
$mgh_{max} = \frac{1}{2}m(\frac{2ghM}{M+m})(\frac{M}{M+m}) = \frac{mghM^2}{(M+m)^2}$
$h_{max} = h(\frac{M}{M+m})^2$
$\frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}m u^2 = mgh$
$Mv = mu \implies v = \frac{m}{M}u$
$v$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}M(\frac{m}{M}u)^2 + \frac{1}{2}mu^2 = mgh \implies \frac{1}{2}u^2(\frac{m^2}{M} + m) = mgh \implies u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$
दाईं ओर के वेज पर अधिकतम ऊंचाई $h_{max}$ पर, वॉशर और दायां वेज एक सामान्य क्षैतिज वेग $V$ के साथ चलते हैं। क्षैतिज संवेग संरक्षण के अनुसार:
$mu = (M+m)V \implies V = \frac{mu}{M+m}$
दूसरे चरण के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgh_{max}$
$mgh_{max} = \frac{1}{2}mu^2 - \frac{1}{2}(M+m)(\frac{mu}{M+m})^2 = \frac{1}{2}mu^2(1 - \frac{m}{M+m}) = \frac{1}{2}mu^2(\frac{M}{M+m})$
$u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$ रखने पर:
$mgh_{max} = \frac{1}{2}m(\frac{2ghM}{M+m})(\frac{M}{M+m}) = \frac{mghM^2}{(M+m)^2}$
$h_{max} = h(\frac{M}{M+m})^2$
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AdvancedMCQ
दिए गए चित्र में,किसी भी संपर्क सतह पर घर्षण नहीं है। प्रारंभ में,स्प्रिंग में कोई विरूपण नहीं है। स्प्रिंग में अधिकतम विरूपण क्या होगा? सभी डोरियों को पर्याप्त रूप से लंबा मानें। स्प्रिंग नियतांक को $K$ मानें।
A
$4F / 3K$
B
$8F / 3K$
C
$F / 3K$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) मान लीजिए स्प्रिंग में अधिकतम विस्तार $x_{max}$ है। अधिकतम विस्तार पर,द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ फ्रेम में दोनों ब्लॉकों $M$ और $2M$ का वेग शून्य होता है।
मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ क्रमशः ब्लॉकों $2M$ और $M$ के उनके प्रारंभिक स्थानों से विस्थापन हैं।
द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी बलों द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{ext} = \Delta U_{spring}$
$F(x_1 + x_2) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$,जहाँ $x_{max} = x_1 + x_2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण से,सिस्टम के $CM$ फ्रेम में स्थिर रहने के लिए,विस्थापन द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं:
$2M x_1 = M x_2 \implies x_2 = 2x_1$।
चूंकि $x_{max} = x_1 + x_2 = x_1 + 2x_1 = 3x_1$,इसलिए $x_1 = \frac{x_{max}}{3}$ और $x_2 = \frac{2x_{max}}{3}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को कार्य समीकरण में रखने पर:
$F(x_{max}) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$
हालाँकि,ब्लॉकों पर लगने वाले बलों को ध्यान में रखते हुए: ब्लॉक $2M$ पर $2F$ बल लग रहा है और ब्लॉक $M$ पर $F$ बल लग रहा है।
किया गया कार्य $W = (2F)x_1 + (F)x_2 = 2F(\frac{x_{max}}{3}) + F(\frac{2x_{max}}{3}) = \frac{4F x_{max}}{3}$ है।
कार्य को स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: $\frac{4F x_{max}}{3} = \frac{1}{2} K x_{max}^2$।
$x_{max}$ के लिए हल करने पर: $x_{max} = \frac{8F}{3K}$।
मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ क्रमशः ब्लॉकों $2M$ और $M$ के उनके प्रारंभिक स्थानों से विस्थापन हैं।
द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी बलों द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{ext} = \Delta U_{spring}$
$F(x_1 + x_2) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$,जहाँ $x_{max} = x_1 + x_2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण से,सिस्टम के $CM$ फ्रेम में स्थिर रहने के लिए,विस्थापन द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं:
$2M x_1 = M x_2 \implies x_2 = 2x_1$।
चूंकि $x_{max} = x_1 + x_2 = x_1 + 2x_1 = 3x_1$,इसलिए $x_1 = \frac{x_{max}}{3}$ और $x_2 = \frac{2x_{max}}{3}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को कार्य समीकरण में रखने पर:
$F(x_{max}) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$
हालाँकि,ब्लॉकों पर लगने वाले बलों को ध्यान में रखते हुए: ब्लॉक $2M$ पर $2F$ बल लग रहा है और ब्लॉक $M$ पर $F$ बल लग रहा है।
किया गया कार्य $W = (2F)x_1 + (F)x_2 = 2F(\frac{x_{max}}{3}) + F(\frac{2x_{max}}{3}) = \frac{4F x_{max}}{3}$ है।
कार्य को स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: $\frac{4F x_{max}}{3} = \frac{1}{2} K x_{max}^2$।
$x_{max}$ के लिए हल करने पर: $x_{max} = \frac{8F}{3K}$।
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AdvancedMCQ
$d$ लंबाई की एक चिकनी स्थिर गाड़ी में,एक छोटा ब्लॉक उसकी लंबाई के अनुदिश $v$ वेग के साथ सामने की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रत्येक टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e$ है। गाड़ी एक चिकनी जमीन पर टिकी है और स्वतंत्र रूप से चल सकती है। गाड़ी के सापेक्ष ब्लॉक को स्थिर होने में लगा समय है:
A
$\frac{ed}{(1 - e)v}$
B
$\frac{ed}{(1 + e)v}$
C
$\frac{d}{e}$
D
अनंत
Solution
(D) मान लीजिए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और गाड़ी का द्रव्यमान $M$ है। चूंकि निकाय एक चिकनी सतह पर है,इसलिए निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,ब्लॉक का वेग $v$ है और गाड़ी स्थिर है। पहली टक्कर के बाद,ब्लॉक और गाड़ी क्रमशः $v_1$ और $u_1$ वेग से चलते हैं। अलग होने का सापेक्ष वेग,पास आने के सापेक्ष वेग का $e$ गुना होता है।
प्रत्येक टक्कर में,गाड़ी के सापेक्ष ब्लॉक का सापेक्ष वेग $e$ के गुणक से कम हो जाता है।
पहली टक्कर में लगा समय $t_1 = d/v$ है।
पहली टक्कर के बाद,सापेक्ष वेग $ev$ हो जाता है। दूसरी टक्कर में लगा समय $t_2 = d/(ev)$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,सापेक्ष वेग $e^2v$ हो जाता है। तीसरी टक्कर में लगा समय $t_3 = d/(e^2v)$ है,और इसी तरह आगे भी।
कुल समय $T$ क्रमिक टक्करों के बीच के समय का योग है: $T = \frac{d}{v} + \frac{d}{ev} + \frac{d}{e^2v} + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) है जिसका पहला पद $a = d/v$ और सामान्य अनुपात $r = 1/e$ है।
चूंकि $e \leq 1$,इसलिए सामान्य अनुपात $r = 1/e \geq 1$ है।
$r \geq 1$ वाली गुणोत्तर श्रेणी अनंत तक अपसरित होती है।
इसलिए,गाड़ी के सापेक्ष ब्लॉक को स्थिर होने में लगा समय अनंत है।
प्रारंभ में,ब्लॉक का वेग $v$ है और गाड़ी स्थिर है। पहली टक्कर के बाद,ब्लॉक और गाड़ी क्रमशः $v_1$ और $u_1$ वेग से चलते हैं। अलग होने का सापेक्ष वेग,पास आने के सापेक्ष वेग का $e$ गुना होता है।
प्रत्येक टक्कर में,गाड़ी के सापेक्ष ब्लॉक का सापेक्ष वेग $e$ के गुणक से कम हो जाता है।
पहली टक्कर में लगा समय $t_1 = d/v$ है।
पहली टक्कर के बाद,सापेक्ष वेग $ev$ हो जाता है। दूसरी टक्कर में लगा समय $t_2 = d/(ev)$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,सापेक्ष वेग $e^2v$ हो जाता है। तीसरी टक्कर में लगा समय $t_3 = d/(e^2v)$ है,और इसी तरह आगे भी।
कुल समय $T$ क्रमिक टक्करों के बीच के समय का योग है: $T = \frac{d}{v} + \frac{d}{ev} + \frac{d}{e^2v} + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) है जिसका पहला पद $a = d/v$ और सामान्य अनुपात $r = 1/e$ है।
चूंकि $e \leq 1$,इसलिए सामान्य अनुपात $r = 1/e \geq 1$ है।
$r \geq 1$ वाली गुणोत्तर श्रेणी अनंत तक अपसरित होती है।
इसलिए,गाड़ी के सापेक्ष ब्लॉक को स्थिर होने में लगा समय अनंत है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान की एक गेंद $h$ ऊँचाई से ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती है और एक सतह पर $v$ वेग से क्षैतिज रूप से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक से टकराती है। ब्लॉक और सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक $0.2$ है,जबकि गेंद और ब्लॉक के बीच प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.5$ है। गेंद और ब्लॉक के बीच कोई घर्षण कार्य नहीं कर रहा है। ब्लॉक के वेग में कितनी कमी आती है?
A
$0$
B
$0.1 \sqrt{2gh}$
C
$0.3 \sqrt{2gh}$
D
कहा नहीं जा सकता
Solution
(C) $1$. टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $u = \sqrt{2gh}$ है।
$2$. मान लीजिए टक्कर के बाद गेंद का ऊर्ध्वाधर वेग $v_b$ है और ब्लॉक का ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है (क्योंकि यह केवल क्षैतिज रूप से गति करने के लिए बाध्य है)।
$3$. प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_b - 0}{u - 0} \implies v_b = e \cdot u = 0.5 \sqrt{2gh}$।
$4$. ब्लॉक द्वारा गेंद पर लगाया गया आवेग $J$,गेंद के संवेग में परिवर्तन के बराबर है: $J = m(v_b - (-u)) = m(v_b + u) = m(0.5\sqrt{2gh} + \sqrt{2gh}) = 1.5m\sqrt{2gh}$।
$5$. न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,गेंद ब्लॉक पर नीचे की दिशा में समान और विपरीत आवेग $J$ लगाती है।
$6$. ब्लॉक और सतह के बीच अभिलंब बल $N = mg + J/\Delta t$ है,जहाँ $\Delta t$ टक्कर की अवधि है। ब्लॉक पर घर्षण आवेग $f \Delta t = \mu N \Delta t = \mu (mg \Delta t + J) = \mu mg \Delta t + \mu J$ है।
$7$. जैसे-जैसे $\Delta t \to 0$,पद $\mu mg \Delta t$ नगण्य हो जाता है। अतः,ब्लॉक के संवेग में परिवर्तन $\Delta p_{block} = \mu J = 0.2 \times 1.5m\sqrt{2gh} = 0.3m\sqrt{2gh}$ है।
$8$. चूँकि $\Delta p_{block} = m(v - v')$,वेग में कमी $v - v' = \frac{0.3m\sqrt{2gh}}{m} = 0.3\sqrt{2gh}$ है।
$2$. मान लीजिए टक्कर के बाद गेंद का ऊर्ध्वाधर वेग $v_b$ है और ब्लॉक का ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है (क्योंकि यह केवल क्षैतिज रूप से गति करने के लिए बाध्य है)।
$3$. प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_b - 0}{u - 0} \implies v_b = e \cdot u = 0.5 \sqrt{2gh}$।
$4$. ब्लॉक द्वारा गेंद पर लगाया गया आवेग $J$,गेंद के संवेग में परिवर्तन के बराबर है: $J = m(v_b - (-u)) = m(v_b + u) = m(0.5\sqrt{2gh} + \sqrt{2gh}) = 1.5m\sqrt{2gh}$।
$5$. न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,गेंद ब्लॉक पर नीचे की दिशा में समान और विपरीत आवेग $J$ लगाती है।
$6$. ब्लॉक और सतह के बीच अभिलंब बल $N = mg + J/\Delta t$ है,जहाँ $\Delta t$ टक्कर की अवधि है। ब्लॉक पर घर्षण आवेग $f \Delta t = \mu N \Delta t = \mu (mg \Delta t + J) = \mu mg \Delta t + \mu J$ है।
$7$. जैसे-जैसे $\Delta t \to 0$,पद $\mu mg \Delta t$ नगण्य हो जाता है। अतः,ब्लॉक के संवेग में परिवर्तन $\Delta p_{block} = \mu J = 0.2 \times 1.5m\sqrt{2gh} = 0.3m\sqrt{2gh}$ है।
$8$. चूँकि $\Delta p_{block} = m(v - v')$,वेग में कमी $v - v' = \frac{0.3m\sqrt{2gh}}{m} = 0.3\sqrt{2gh}$ है।
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AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक विरामावस्था से चलना शुरू करता है और दिखाए गए अनुसार $h$ ऊँचाई से एक घर्षण रहित अर्ध-वृत्ताकार ट्रैक पर नीचे की ओर फिसलता है। जब यह ट्रैक के सबसे निचले बिंदु पर पहुँचता है,तो यह $m$ द्रव्यमान वाले पुट्टी के एक स्थिर टुकड़े से टकराता है। यदि ब्लॉक और पुट्टी एक साथ चिपक जाते हैं और आगे फिसलना जारी रखते हैं,तो ब्लॉक-पुट्टी प्रणाली द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम ऊँचाई है:
A
$h/4$
B
$h/2$
C
$h$
D
$h$ से स्वतंत्र
Solution
(A) $1$. पुट्टी से टकराने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग (यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा):
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
$0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
$2$. टक्कर (रैखिक संवेग संरक्षण के नियम द्वारा):
मान लीजिए कि एक साथ चिपकने के बाद ब्लॉक और पुट्टी का उभयनिष्ठ वेग $v'$ है।
$mv = (m + m)v'$
$m\sqrt{2gh} = 2mv'$
$v' = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$
$3$. प्रणाली द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई (यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा):
मान लीजिए कि प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h'$ है।
$\frac{1}{2}(2m)(v')^2 = (2m)gh'$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{gh}{2} = gh'$
$h' = h/4$
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
$0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
$2$. टक्कर (रैखिक संवेग संरक्षण के नियम द्वारा):
मान लीजिए कि एक साथ चिपकने के बाद ब्लॉक और पुट्टी का उभयनिष्ठ वेग $v'$ है।
$mv = (m + m)v'$
$m\sqrt{2gh} = 2mv'$
$v' = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$
$3$. प्रणाली द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई (यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा):
मान लीजिए कि प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h'$ है।
$\frac{1}{2}(2m)(v')^2 = (2m)gh'$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{gh}{2} = gh'$
$h' = h/4$
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AdvancedMCQ
$m = 60 \text{ g}$ द्रव्यमान की एक गेंद को $v_0 = 22 \text{ m/s}$ की गति से $M = 240 \text{ g}$ द्रव्यमान वाली स्प्रिंग गन की नली में दागा जाता है,जो घर्षण रहित सतह पर स्थिर है। गेंद स्प्रिंग के अधिकतम संपीड़न बिंदु पर नली में चिपक जाती है। गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का कितना भाग अब स्प्रिंग में संग्रहीत है?
A
$0.2$
B
$0.8$
C
$0.4$
D
$0.6$
Solution
(B) $1$. निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_i = m v_0$.
$2$. अधिकतम संपीड़न पर,गेंद और गन एक सामान्य वेग $V$ के साथ एक साथ चलते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_0 = (m + M) V$.
$3$. सामान्य वेग $V = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{60 \times 22}{60 + 240} = \frac{60 \times 22}{300} = \frac{22}{5} = 4.4 \text{ m/s}$.
$4$. गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$.
$5$. अधिकतम संपीड़न पर निकाय की गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$6$. स्प्रिंग में संग्रहीत ऊर्जा $(U)$ गतिज ऊर्जा में हुई कमी है: $U = K_i - K_f = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$7$. $V = \frac{m v_0}{m + M}$ प्रतिस्थापित करने पर: $U = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$8$. स्प्रिंग में संग्रहीत प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{U}{K_i} = \frac{M}{m + M} = \frac{240}{60 + 240} = \frac{240}{300} = 0.8$ है।
$2$. अधिकतम संपीड़न पर,गेंद और गन एक सामान्य वेग $V$ के साथ एक साथ चलते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_0 = (m + M) V$.
$3$. सामान्य वेग $V = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{60 \times 22}{60 + 240} = \frac{60 \times 22}{300} = \frac{22}{5} = 4.4 \text{ m/s}$.
$4$. गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$.
$5$. अधिकतम संपीड़न पर निकाय की गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$6$. स्प्रिंग में संग्रहीत ऊर्जा $(U)$ गतिज ऊर्जा में हुई कमी है: $U = K_i - K_f = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$7$. $V = \frac{m v_0}{m + M}$ प्रतिस्थापित करने पर: $U = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$8$. स्प्रिंग में संग्रहीत प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{U}{K_i} = \frac{M}{m + M} = \frac{240}{60 + 240} = \frac{240}{300} = 0.8$ है।
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View Solution125
AdvancedMCQ
$m_1$ द्रव्यमान का एक पिंड $v_0$ गति से धनात्मक $x$-दिशा में चलते हुए विराम अवस्था में स्थित $m_2$ द्रव्यमान के दूसरे पिंड से एक-विमीय टक्कर करता है। टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ,पूर्णतः प्रत्यास्थ या आंशिक रूप से अप्रत्यास्थ हो सकती है। टक्कर के बाद,$m_1$ का वेग $v_1$ और $m_2$ का वेग $v_2$ है। निम्नलिखित स्थितियों के लिए $v_1$ की सीमा ज्ञात कीजिए:
$(A)$ यदि $m_1 > m_2$
$(B)$ यदि $m_1 < m_2$
$(A)$ यदि $m_1 > m_2$
$(B)$ यदि $m_1 < m_2$
A
$ -v_0 < v_1 < 0$ ; $ -v_0 < v_1 < 0$
B
$v_0 < v_1 < 2v_0$ ; $0 < v_1 < v_0$
C
$0 < v_1 < 2v_0$ ; $0 < v_1 < v_0/2$
D
$0 < v_1 < v_0$ ; $-v_0 < v_1 < v_0/2$
Solution
(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$,अतः $v_2 = \frac{m_1}{m_2}(v_0 - v_1)$.
टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ का मान $0 \le e \le 1$ होता है,जहाँ $e = \frac{v_2 - v_1}{v_0}$.
$v_2$ का मान रखने पर: $e = \frac{\frac{m_1}{m_2}(v_0 - v_1) - v_1}{v_0} = \frac{m_1 v_0 - (m_1 + m_2)v_1}{m_2 v_0}$.
$v_1$ के लिए हल करने पर: $v_1 = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_0$.
स्थिति $(A)$: यदि $m_1 > m_2$,तो न्यूनतम $v_1$,$e=1$ पर प्राप्त होता है $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 > 0)$ और अधिकतम $e=0$ पर $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$। अतः,$0 < v_1 < v_0$.
स्थिति $(B)$: यदि $m_1 < m_2$,तो न्यूनतम $v_1$,$e=1$ पर प्राप्त होता है $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < 0)$ और अधिकतम $e=0$ पर $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$। अतः,$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < v_1 < v_0$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$-v_0 < v_1 < v_0/2$ सबसे उपयुक्त सीमा है।
टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ का मान $0 \le e \le 1$ होता है,जहाँ $e = \frac{v_2 - v_1}{v_0}$.
$v_2$ का मान रखने पर: $e = \frac{\frac{m_1}{m_2}(v_0 - v_1) - v_1}{v_0} = \frac{m_1 v_0 - (m_1 + m_2)v_1}{m_2 v_0}$.
$v_1$ के लिए हल करने पर: $v_1 = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_0$.
स्थिति $(A)$: यदि $m_1 > m_2$,तो न्यूनतम $v_1$,$e=1$ पर प्राप्त होता है $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 > 0)$ और अधिकतम $e=0$ पर $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$। अतः,$0 < v_1 < v_0$.
स्थिति $(B)$: यदि $m_1 < m_2$,तो न्यूनतम $v_1$,$e=1$ पर प्राप्त होता है $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < 0)$ और अधिकतम $e=0$ पर $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$। अतः,$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < v_1 < v_0$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$-v_0 < v_1 < v_0/2$ सबसे उपयुक्त सीमा है।
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AdvancedMCQ
$1\, kg$ द्रव्यमान का एक कण एक समतल में गति कर रहा है,जिसकी स्थितिज ऊर्जा $U = 3x + 4y$ (जूल में) है,जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं। यदि कण प्रारंभ में $(6, 4)$ पर स्थिर है,तो:
A
इसका त्वरण $5\, m/s^2$ है
B
जब यह $y$-अक्ष को पार करता है तो इसकी चाल $10\, m/s$ होती है
C
यह $y$-अक्ष $(x = 0)$ को $y = -4$ पर पार करता है
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}) = -3\hat{i} - 4\hat{j}\, N$ है।
द्रव्यमान $m = 1\, kg$ होने के कारण,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -3\hat{i} - 4\hat{j}\, m/s^2$ है।
त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5\, m/s^2$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
जब कण $y$-अक्ष $(x=0)$ को पार करता है,तो समय ज्ञात करने के लिए $x(t) = x_0 + u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ का उपयोग करते हैं: $0 = 6 + 0 - 1.5 t^2$,जिससे $t^2 = 4$ और $t = 2\, s$ प्राप्त होता है।
$t = 2\, s$ पर,$y$-निर्देशांक $y(t) = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 4 + 0 - \frac{1}{2}(4)(2)^2 = 4 - 8 = -4$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$\Delta K + \Delta U = 0$। प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 + (3(6) + 4(4)) = 34\, J$ है। $(0, -4)$ पर अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = K_f + (3(0) + 4(-4)) = K_f - 16$ है। $E_i = E_f$ होने के कारण,$34 = K_f - 16$,अर्थात $K_f = 50\, J$। चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}(1)v^2 = 50$,जिससे $v = 10\, m/s$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
इस प्रकार,सभी कथन सही हैं।
द्रव्यमान $m = 1\, kg$ होने के कारण,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -3\hat{i} - 4\hat{j}\, m/s^2$ है।
त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5\, m/s^2$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
जब कण $y$-अक्ष $(x=0)$ को पार करता है,तो समय ज्ञात करने के लिए $x(t) = x_0 + u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ का उपयोग करते हैं: $0 = 6 + 0 - 1.5 t^2$,जिससे $t^2 = 4$ और $t = 2\, s$ प्राप्त होता है।
$t = 2\, s$ पर,$y$-निर्देशांक $y(t) = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 4 + 0 - \frac{1}{2}(4)(2)^2 = 4 - 8 = -4$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$\Delta K + \Delta U = 0$। प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 + (3(6) + 4(4)) = 34\, J$ है। $(0, -4)$ पर अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = K_f + (3(0) + 4(-4)) = K_f - 16$ है। $E_i = E_f$ होने के कारण,$34 = K_f - 16$,अर्थात $K_f = 50\, J$। चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}(1)v^2 = 50$,जिससे $v = 10\, m/s$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
इस प्रकार,सभी कथन सही हैं।
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AdvancedMCQ
एक गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। हवा के प्रतिरोध और $g$ में परिवर्तन को नगण्य माना जा सकता है। गेंद $T$ समय में अपनी अधिकतम ऊँचाई $H$ तक पहुँचती है,और $t$ समय के बाद ऊँचाई $h$ है।
[$1$] गेंद की गतिज ऊर्जा $E_k$ का ऊँचाई $h$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $1$ में दिखाया गया है।
[$2$] ऊँचाई $h$ का समय $t$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $2$ में दिखाया गया है।
[$3$] गेंद की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E_g$ का ऊँचाई $h$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $3$ में दिखाया गया है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही उत्तर दर्शाता है?
[$1$] गेंद की गतिज ऊर्जा $E_k$ का ऊँचाई $h$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $1$ में दिखाया गया है।
[$2$] ऊँचाई $h$ का समय $t$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $2$ में दिखाया गया है।
[$3$] गेंद की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E_g$ का ऊँचाई $h$ के विरुद्ध ग्राफ आकृति $3$ में दिखाया गया है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही उत्तर दर्शाता है?
A
केवल $3$
B
$1, 2$
C
$2, 3$
D
$1, 3$
Solution
(A) $1$. ऊँचाई $h$ पर गतिज ऊर्जा $E_k$ को $E_k = E_{total} - mgh$ द्वारा दिया जाता है। यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जिसमें ढाल ऋणात्मक है,इसलिए $E_k$ बनाम $h$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा होनी चाहिए। आकृति $1$ में एक वक्र दिखाया गया है,जो गलत है।
$2$. समय $t$ पर ऊँचाई $h$ को $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। यह एक द्विघात समीकरण है जो नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है। आकृति $2$ में एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो गलत है।
$3$. ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E_g$ को $E_g = mgh$ द्वारा दिया जाता है। यह $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जिसमें ढाल धनात्मक है। आकृति $3$ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो सही है।
अतः,केवल कथन $3$ सही है।
$2$. समय $t$ पर ऊँचाई $h$ को $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। यह एक द्विघात समीकरण है जो नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है। आकृति $2$ में एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो गलत है।
$3$. ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E_g$ को $E_g = mgh$ द्वारा दिया जाता है। यह $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जिसमें ढाल धनात्मक है। आकृति $3$ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो सही है।
अतः,केवल कथन $3$ सही है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण जमीन के सापेक्ष स्थिर वेग से चल रही ट्रेन में विराम अवस्था में है। अब कण को ट्रेन की गति की दिशा में $t_0$ समय के लिए $F_0$ के एक स्थिर बल द्वारा त्वरित किया जाता है। ट्रेन में बैठी एक लड़की और जमीन पर खड़ा एक लड़का इस बल द्वारा किए गए कार्य को मापते हैं। निम्नलिखित में से कौन से $INCORRECT$ (गलत) हैं?
A
दोनों समान कार्य मापेंगे
B
लड़का लड़की की तुलना में अधिक मान मापेगा
C
लड़की लड़के की तुलना में अधिक मान मापेगी
D
दोनों $(A)$ और $(C)$
Solution
(D) कार्य की परिभाषा $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ है।
मान लीजिए कि ट्रेन जमीन के सापेक्ष $v$ वेग से चल रही है।
ट्रेन के फ्रेम में,कण का प्रारंभिक वेग $0$ है। त्वरण $a = F_0/m$ है। $t_0$ समय में विस्थापन $x = \frac{1}{2} a t_0^2 = \frac{F_0 t_0^2}{2m}$ है।
ट्रेन में लड़की द्वारा मापा गया कार्य $W_g = F_0 x = \frac{F_0^2 t_0^2}{2m}$ है।
जमीन के फ्रेम में,कण का प्रारंभिक वेग $v$ है। $t_0$ समय में विस्थापन $x' = v t_0 + \frac{1}{2} a t_0^2 = v t_0 + x$ है।
जमीन पर लड़के द्वारा मापा गया कार्य $W_b = F_0 x' = F_0(v t_0 + x) = F_0 v t_0 + W_g$ है।
चूंकि $F_0, v, t_0 > 0$,इसलिए $W_b > W_g$ प्राप्त होता है।
अतः,'दोनों समान कार्य मापेंगे' और 'लड़की लड़के की तुलना में अधिक मान मापेगी' कथन गलत हैं।
इस प्रकार,गलत विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
मान लीजिए कि ट्रेन जमीन के सापेक्ष $v$ वेग से चल रही है।
ट्रेन के फ्रेम में,कण का प्रारंभिक वेग $0$ है। त्वरण $a = F_0/m$ है। $t_0$ समय में विस्थापन $x = \frac{1}{2} a t_0^2 = \frac{F_0 t_0^2}{2m}$ है।
ट्रेन में लड़की द्वारा मापा गया कार्य $W_g = F_0 x = \frac{F_0^2 t_0^2}{2m}$ है।
जमीन के फ्रेम में,कण का प्रारंभिक वेग $v$ है। $t_0$ समय में विस्थापन $x' = v t_0 + \frac{1}{2} a t_0^2 = v t_0 + x$ है।
जमीन पर लड़के द्वारा मापा गया कार्य $W_b = F_0 x' = F_0(v t_0 + x) = F_0 v t_0 + W_g$ है।
चूंकि $F_0, v, t_0 > 0$,इसलिए $W_b > W_g$ प्राप्त होता है।
अतः,'दोनों समान कार्य मापेंगे' और 'लड़की लड़के की तुलना में अधिक मान मापेगी' कथन गलत हैं।
इस प्रकार,गलत विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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AdvancedMCQ
$1\, kg$ और $2\, kg$ द्रव्यमान वाली दो गेंदें $A$ और $B$,क्रमशः $21\, m/s$ और $4\, m/s$ की गति से विपरीत दिशाओं में चलते हुए आमने-सामने टकराती हैं। टक्कर के बाद $A$ उसी दिशा में $1\, m/s$ की गति से चलती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
टक्कर के बाद $B$ का वेग उसकी टक्कर से पहले की गति की दिशा के विपरीत $6\, m/s$ है।
B
प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $0.2$ है।
C
टक्कर के कारण गतिज ऊर्जा में हानि $200\, J$ है।
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$A$ की दिशा को धनात्मक लेने पर: $1(21) + 2(-4) = 1(1) + 2 v_2$
$21 - 8 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 13 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 2 v_2 = 12 \Rightarrow v_2 = 6\, m/s$.
चूंकि $v_2$ धनात्मक है,$B$ गेंद $A$ की मूल दिशा में चलती है,जो उसकी प्रारंभिक दिशा के विपरीत है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{6 - 1}{21 - (-4)} = \frac{5}{25} = 0.2$.
गतिज ऊर्जा में हानि $(\Delta K)$:
$\Delta K = K_i - K_f = [\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2] - [\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2]$
$K_i = \frac{1}{2}(1)(21^2) + \frac{1}{2}(2)(4^2) = 220.5 + 16 = 236.5\, J$.
$K_f = \frac{1}{2}(1)(1^2) + \frac{1}{2}(2)(6^2) = 0.5 + 36 = 36.5\, J$.
$\Delta K = 236.5 - 36.5 = 200\, J$.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$A$ की दिशा को धनात्मक लेने पर: $1(21) + 2(-4) = 1(1) + 2 v_2$
$21 - 8 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 13 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 2 v_2 = 12 \Rightarrow v_2 = 6\, m/s$.
चूंकि $v_2$ धनात्मक है,$B$ गेंद $A$ की मूल दिशा में चलती है,जो उसकी प्रारंभिक दिशा के विपरीत है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{6 - 1}{21 - (-4)} = \frac{5}{25} = 0.2$.
गतिज ऊर्जा में हानि $(\Delta K)$:
$\Delta K = K_i - K_f = [\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2] - [\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2]$
$K_i = \frac{1}{2}(1)(21^2) + \frac{1}{2}(2)(4^2) = 220.5 + 16 = 236.5\, J$.
$K_f = \frac{1}{2}(1)(1^2) + \frac{1}{2}(2)(6^2) = 0.5 + 36 = 36.5\, J$.
$\Delta K = 236.5 - 36.5 = 200\, J$.
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DifficultMCQ
आरेख दो द्रव्यमानों $R$ और $S$ के लिए वेग-समय ग्राफ दिखाता है जो प्रत्यास्थ रूप से टकराए हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(I)$ टक्कर के बाद $R$ और $S$ एक ही दिशा में गति करते हैं।
$(II)$ निकाय $(R \text{ & } S)$ की गतिज ऊर्जा $t = 2 \text{ ms}$ पर न्यूनतम है।
$(III)$ $R$ का द्रव्यमान $S$ के द्रव्यमान से अधिक था।
$(I)$ टक्कर के बाद $R$ और $S$ एक ही दिशा में गति करते हैं।
$(II)$ निकाय $(R \text{ & } S)$ की गतिज ऊर्जा $t = 2 \text{ ms}$ पर न्यूनतम है।
$(III)$ $R$ का द्रव्यमान $S$ के द्रव्यमान से अधिक था।
A
केवल $I$
B
केवल $II$
C
केवल $I$ और $II$
D
$I, II$ और $III$
Solution
(D) $(I)$ टक्कर के बाद $(t > 3 \text{ ms})$,$R$ और $S$ दोनों के अंतिम वेग धनात्मक हैं। चूंकि दोनों वेग धनात्मक हैं,इसलिए वे एक ही दिशा में गति करते हैं।
$(II)$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_R v_R^2 + \frac{1}{2} m_S v_S^2$ है। प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। हालाँकि,द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में निकाय की गतिज ऊर्जा तब न्यूनतम होती है जब सापेक्ष वेग शून्य होता है,जो $t = 2 \text{ ms}$ पर होता है जहाँ $v_R = v_S$ है।
$(III)$ ग्राफ से,$R$ के लिए वेग में परिवर्तन $\Delta v_R = 0.8 - 0.2 = 0.6 \text{ m/s}$ और $S$ के लिए $\Delta v_S = 1.0 - 0 = 1.0 \text{ m/s}$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_R |\Delta v_R| = m_S |\Delta v_S|$। चूंकि $|\Delta v_R| < |\Delta v_S|$,इसलिए $m_R > m_S$ सिद्ध होता है। अतः,सभी कथन सत्य हैं।
$(II)$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_R v_R^2 + \frac{1}{2} m_S v_S^2$ है। प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। हालाँकि,द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में निकाय की गतिज ऊर्जा तब न्यूनतम होती है जब सापेक्ष वेग शून्य होता है,जो $t = 2 \text{ ms}$ पर होता है जहाँ $v_R = v_S$ है।
$(III)$ ग्राफ से,$R$ के लिए वेग में परिवर्तन $\Delta v_R = 0.8 - 0.2 = 0.6 \text{ m/s}$ और $S$ के लिए $\Delta v_S = 1.0 - 0 = 1.0 \text{ m/s}$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_R |\Delta v_R| = m_S |\Delta v_S|$। चूंकि $|\Delta v_R| < |\Delta v_S|$,इसलिए $m_R > m_S$ सिद्ध होता है। अतः,सभी कथन सत्य हैं।
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MediumMCQ
एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,
A
टक्कर के बाद दोनों कणों का वेग समान हो सकता है
B
गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है
C
निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के मामले में,दोनों पिंडों के अंतिम वेग समान होते हैं। हालाँकि,जब टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ नहीं होती है,तो वेग भिन्न हो सकते हैं। अतः,पिंडों का अंतिम वेग समान हो भी सकता है और नहीं भी।
साथ ही,एक अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है। अतः,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है और पृथक्करण का वेग,उपगमन के वेग से कम होता है।
कोई भी टक्कर,चाहे वह प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ,उसमें हमेशा रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जिसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।
साथ ही,एक अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है। अतः,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है और पृथक्करण का वेग,उपगमन के वेग से कम होता है।
कोई भी टक्कर,चाहे वह प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ,उसमें हमेशा रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जिसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।
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AdvancedMCQ
दो समान कणों $A$ और $B$ के बीच एक-आयामी टक्कर में, $B$ स्थिर है और $A$ का टक्कर से पहले संवेग $p$ है। टक्कर के दौरान, $B$ कण $A$ को $J$ आवेग (impulse) देता है।
A
$A$ और $B$ निकाय का कुल संवेग टक्कर से पहले और बाद में $p$ है, और टक्कर के दौरान $(p-J)$ है।
B
टक्कर के दौरान $A$ कण $B$ को $J$ आवेग देता है।
C
प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $\frac{2J}{p} - 1$ है।
D
$(B)$ और $(C)$ दोनों।
Solution
(D) माना टक्कर से पहले $A$ की गति $u$ है। अतः, $p = mu$.
माना टक्कर के बाद $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं。
संवेग संरक्षण के नियम से: $mu = mv_1 + mv_2 \Rightarrow u = v_1 + v_2$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से: $e = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = eu$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $v_2 = \frac{u(1+e)}{2}$ और $v_1 = \frac{u(1-e)}{2}$.
$B$ द्वारा $A$ को दिया गया आवेग $J$, $A$ के संवेग में परिवर्तन है: $J = m(v_1 - u) = m(\frac{u(1-e)}{2} - u) = m(\frac{u - ue - 2u}{2}) = -\frac{mu(1+e)}{2} = -\frac{p(1+e)}{2}$.
आवेग का परिमाण लेने पर: $J = \frac{p(1+e)}{2}$.
$e$ के लिए हल करने पर: $2J = p + pe \Rightarrow pe = 2J - p \Rightarrow e = \frac{2J}{p} - 1$.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, यदि $B$, $A$ को $J$ आवेग देता है, तो $A$ भी $B$ को विपरीत दिशा में $J$ आवेग देता है। अतः, $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
माना टक्कर के बाद $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं。
संवेग संरक्षण के नियम से: $mu = mv_1 + mv_2 \Rightarrow u = v_1 + v_2$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से: $e = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = eu$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $v_2 = \frac{u(1+e)}{2}$ और $v_1 = \frac{u(1-e)}{2}$.
$B$ द्वारा $A$ को दिया गया आवेग $J$, $A$ के संवेग में परिवर्तन है: $J = m(v_1 - u) = m(\frac{u(1-e)}{2} - u) = m(\frac{u - ue - 2u}{2}) = -\frac{mu(1+e)}{2} = -\frac{p(1+e)}{2}$.
आवेग का परिमाण लेने पर: $J = \frac{p(1+e)}{2}$.
$e$ के लिए हल करने पर: $2J = p + pe \Rightarrow pe = 2J - p \Rightarrow e = \frac{2J}{p} - 1$.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, यदि $B$, $A$ को $J$ आवेग देता है, तो $A$ भी $B$ को विपरीत दिशा में $J$ आवेग देता है। अतः, $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
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DifficultMCQ
$5 \ kg$ और $2 \ kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक $A$ और $B$ को $1120 \ N/m$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग के सिरों से जोड़ा गया है और उन्हें एक चिकने क्षैतिज तल पर रखा गया है,जहाँ स्प्रिंग अविरूपित है। एक साथ,$A$ और $B$ को स्प्रिंग की दिशा में क्रमशः $3 \ m/s$ और $10 \ m/s$ का वेग दिया जाता है। तो:
A
जब स्प्रिंग का विस्तार अधिकतम होता है,तो $A$ और $B$ के वेग शून्य होते हैं।
B
स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $25 \ cm$ है।
C
अधिकतम विस्तार और अधिकतम संपीड़न बारी-बारी से होते हैं।
D
$(B)$ और $(C)$ दोनों।
Solution
(D) अधिकतम विस्तार पर,दोनों ब्लॉक जमीन के सापेक्ष समान वेग $V$ से चलते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) V$
$(5 \times 3) + (2 \times 10) = (5 + 2) V$
$15 + 20 = 7V \implies 35 = 7V \implies V = 5 \ m/s$.
अब,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा (अधिकतम विस्तार पर)
$\frac{1}{2} m_A u_A^2 + \frac{1}{2} m_B u_B^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) V^2 + \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$\frac{1}{2} (5)(3^2) + \frac{1}{2} (2)(10^2) = \frac{1}{2} (5 + 2)(5^2) + \frac{1}{2} (1120) x_{max}^2$
$22.5 + 100 = 87.5 + 560 x_{max}^2$
$122.5 - 87.5 = 560 x_{max}^2$
$35 = 560 x_{max}^2$
$x_{max}^2 = \frac{35}{560} = \frac{1}{16}$
$x_{max} = \frac{1}{4} \ m = 0.25 \ m = 25 \ cm$.
चूंकि निकाय संरक्षी है और दोलन करता है,इसलिए अधिकतम विस्तार और अधिकतम संपीड़न बारी-बारी से होते हैं। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) V$
$(5 \times 3) + (2 \times 10) = (5 + 2) V$
$15 + 20 = 7V \implies 35 = 7V \implies V = 5 \ m/s$.
अब,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा (अधिकतम विस्तार पर)
$\frac{1}{2} m_A u_A^2 + \frac{1}{2} m_B u_B^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) V^2 + \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$\frac{1}{2} (5)(3^2) + \frac{1}{2} (2)(10^2) = \frac{1}{2} (5 + 2)(5^2) + \frac{1}{2} (1120) x_{max}^2$
$22.5 + 100 = 87.5 + 560 x_{max}^2$
$122.5 - 87.5 = 560 x_{max}^2$
$35 = 560 x_{max}^2$
$x_{max}^2 = \frac{35}{560} = \frac{1}{16}$
$x_{max} = \frac{1}{4} \ m = 0.25 \ m = 25 \ cm$.
चूंकि निकाय संरक्षी है और दोलन करता है,इसलिए अधिकतम विस्तार और अधिकतम संपीड़न बारी-बारी से होते हैं। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
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AdvancedMCQ
दो कणों के बीच एक-आयामी टक्कर में,टक्कर से पहले उनका सापेक्ष वेग $\vec{v}_1$ है और टक्कर के बाद $\vec{v}_2$ है।
A
यदि टक्कर प्रत्यास्थ है तो $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$
B
यदि टक्कर प्रत्यास्थ है तो $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$
C
सभी मामलों में $\vec{v}_1 = -k \vec{v}_2$,जहाँ $k \geq 1$
D
$(B)$ और $(C)$ दोनों
Solution
(D) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग के परिमाण और निकट आने के सापेक्ष वेग के परिमाण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$e = \frac{|\vec{v}_{sep}|}{|\vec{v}_{app}|} = \frac{|\vec{v}_2|}{|\vec{v}_1|}$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$e = 1$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{v}_2| = |\vec{v}_1|$। चूंकि प्रत्यास्थ टक्कर के बाद सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है,इसलिए हमारे पास $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$,या $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$ है।
अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$0 \leq e < 1$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{v}_2| = e|\vec{v}_1|$। चूंकि अप्रत्यास्थ टक्कर में भी सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है,$\vec{v}_2 = -e\vec{v}_1$,जिसे $\vec{v}_1 = -\frac{1}{e}\vec{v}_2$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $k = \frac{1}{e}$। चूंकि $0 \leq e < 1$,$k \geq 1$ होता है। इस प्रकार,$\vec{v}_1 = -k\vec{v}_2$ उन सभी टक्करों के लिए सत्य है जहाँ सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है।
$e = \frac{|\vec{v}_{sep}|}{|\vec{v}_{app}|} = \frac{|\vec{v}_2|}{|\vec{v}_1|}$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$e = 1$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{v}_2| = |\vec{v}_1|$। चूंकि प्रत्यास्थ टक्कर के बाद सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है,इसलिए हमारे पास $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$,या $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$ है।
अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$0 \leq e < 1$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{v}_2| = e|\vec{v}_1|$। चूंकि अप्रत्यास्थ टक्कर में भी सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है,$\vec{v}_2 = -e\vec{v}_1$,जिसे $\vec{v}_1 = -\frac{1}{e}\vec{v}_2$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $k = \frac{1}{e}$। चूंकि $0 \leq e < 1$,$k \geq 1$ होता है। इस प्रकार,$\vec{v}_1 = -k\vec{v}_2$ उन सभी टक्करों के लिए सत्य है जहाँ सापेक्ष वेग की दिशा उलट जाती है।
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DifficultMCQ
समान द्रव्यमान लेकिन असमान त्रिज्या वाली डिस्क $A$ और $B$ के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर से पहले $A$,$x$-अक्ष के अनुदिश गति करती है और $B$ स्थिर है। टक्कर के बाद निम्नलिखित में से क्या संभव है?
A
$A$ विराम अवस्था में आ जाती है
B
$A$ के सापेक्ष $B$ का वेग परिमाण में समान रहता है लेकिन दिशा उलट जाती है
C
$A$ और $B$ समान गति से चलते हैं,जो $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाते हैं
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड शुरू में स्थिर होता है,यदि टक्कर सीधी (head-on) होती है तो वे वेग का आदान-प्रदान करते हैं। यदि टक्कर सीधी नहीं है,तो वे एक-दूसरे के साथ एक कोण पर गति करते हैं।
विकल्प $(A)$: यदि टक्कर सीधी है,तो $A$ विराम अवस्था में आ जाती है और $B$,$A$ के प्रारंभिक वेग के साथ गति करती है।
विकल्प $(B)$: एक प्रत्यास्थ टक्कर में दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग पृथक्करण के सापेक्ष वेग के बराबर होता है। यदि $A$ विराम अवस्था में आ जाती है और $B$,$v$ वेग के साथ गति करती है,तो सापेक्ष वेग $v$ से बदलकर $-v$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि परिमाण समान रहता है लेकिन दिशा उलट जाती है।
विकल्प $(C)$: $x$-अक्ष पर संवेग संरक्षण के अनुसार: $mv = mv_A \cos \theta_A + mv_B \cos \theta_B$। यदि $v_A = v_B = v'$ और $\theta_A = \theta_B = 45^{\circ}$ है,तो $mv = 2mv' \cos 45^{\circ} = \sqrt{2}mv'$,जो भौतिक रूप से संभव है।
चूंकि इम्पैक्ट पैरामीटर के आधार पर सभी स्थितियां संभव हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।
विकल्प $(A)$: यदि टक्कर सीधी है,तो $A$ विराम अवस्था में आ जाती है और $B$,$A$ के प्रारंभिक वेग के साथ गति करती है।
विकल्प $(B)$: एक प्रत्यास्थ टक्कर में दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग पृथक्करण के सापेक्ष वेग के बराबर होता है। यदि $A$ विराम अवस्था में आ जाती है और $B$,$v$ वेग के साथ गति करती है,तो सापेक्ष वेग $v$ से बदलकर $-v$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि परिमाण समान रहता है लेकिन दिशा उलट जाती है।
विकल्प $(C)$: $x$-अक्ष पर संवेग संरक्षण के अनुसार: $mv = mv_A \cos \theta_A + mv_B \cos \theta_B$। यदि $v_A = v_B = v'$ और $\theta_A = \theta_B = 45^{\circ}$ है,तो $mv = 2mv' \cos 45^{\circ} = \sqrt{2}mv'$,जो भौतिक रूप से संभव है।
चूंकि इम्पैक्ट पैरामीटर के आधार पर सभी स्थितियां संभव हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।
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AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग से क्षैतिज रूप से चलते हुए चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है। टक्कर के बाद,कण वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर बढ़ना शुरू करता है और $h$ ऊँचाई तक पहुँच जाता है। वेज का अंतिम वेग $v_2$ क्या है?
A
$\frac{mv_0}{M}$
B
$\frac{mv_0}{M+m}$
C
$v_0$
D
अपर्याप्त डेटा
Solution
(B) मान लीजिए कि जब कण वेज के सापेक्ष अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है,तब कण और वेज का वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ है। इस बिंदु पर,कण और वेज दोनों समान क्षैतिज वेग $v_2$ से चलते हैं क्योंकि कण वेज के सापेक्ष अपने प्रक्षेप्य पथ के शिखर पर होता है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$mv_0 = (M + m)v_2$
$v_2 = \frac{mv_0}{M + m}$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(M + m)v_2^2 + mgh$
ऊर्जा समीकरण में $v_2$ का मान रखने पर यह पुष्टि होती है कि क्षैतिज वेग $v_2$ उस बिंदु पर संवेग संरक्षण द्वारा निर्धारित होता है जहाँ कण वेज के सापेक्ष $h$ ऊँचाई पर होता है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$mv_0 = (M + m)v_2$
$v_2 = \frac{mv_0}{M + m}$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(M + m)v_2^2 + mgh$
ऊर्जा समीकरण में $v_2$ का मान रखने पर यह पुष्टि होती है कि क्षैतिज वेग $v_2$ उस बिंदु पर संवेग संरक्षण द्वारा निर्धारित होता है जहाँ कण वेज के सापेक्ष $h$ ऊँचाई पर होता है।
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AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग से क्षैतिज रूप से चलते हुए चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है। टक्कर के बाद,कण वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर गति करना शुरू करता है और $h$ ऊँचाई तक पहुँच जाता है। कण द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ क्या है?
A
$\left( {\frac{M}{{m + M}}} \right)\frac{{v_0^2}}{{2g}}$
B
$\left( {\frac{m}{{m + M}}} \right)\frac{{v_0^2}}{{2g}}$
C
$\left( {\frac{m}{M}} \right)\frac{{v_0^2}}{{2g}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $1$. चूंकि वेज चिकना है और निकाय (कण + वेज) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
$2$. मान लीजिए कि जब कण अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है,तो कण और वेज का सामान्य क्षैतिज वेग $v$ है।
$3$. क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_0 = (m + M) v$,जिससे $v = \frac{m v_0}{m + M}$ प्राप्त होता है।
$4$. यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा और $h$ ऊँचाई पर कण की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$5$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) v^2 + mgh$.
$6$. $v = \frac{m v_0}{m + M}$ को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 + mgh$.
$7$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$.
$8$. $mgh = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$9$. $h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \left( \frac{M}{m + M} \right) \frac{v_0^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
$2$. मान लीजिए कि जब कण अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है,तो कण और वेज का सामान्य क्षैतिज वेग $v$ है।
$3$. क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_0 = (m + M) v$,जिससे $v = \frac{m v_0}{m + M}$ प्राप्त होता है।
$4$. यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा और $h$ ऊँचाई पर कण की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$5$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) v^2 + mgh$.
$6$. $v = \frac{m v_0}{m + M}$ को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 + mgh$.
$7$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$.
$8$. $mgh = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$9$. $h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \left( \frac{M}{m + M} \right) \frac{v_0^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग से क्षैतिज रूप से चलते हुए चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है। टक्कर के बाद,गेंद वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर बढ़ना शुरू करती है और $h$ ऊंचाई तक उठती है। उस स्थिति से संबंधित सही कथन की पहचान करें जब कण नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है।
A
निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है
B
कण और वेज दोनों द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष स्थिर रहते हैं
C
जब कण क्षैतिज सतह पर पहुँचता है,तो वेज के सापेक्ष उसका वेग $v_0$ होता है
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) $1$. चूंकि सतह चिकनी है और निकाय (कण + वेज) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए क्षैतिज दिशा में निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$2$. निकाय का द्रव्यमान केंद्र एक स्थिर वेग से चलता है। यह स्थिर नहीं है।
$3$. जब कण अधिकतम ऊंचाई $h$ पर पहुँचता है,तो उसका क्षैतिज वेग वेज के समान होता है। मान लीजिए यह वेग $V$ है। संवेग संरक्षण के नियम से: $mv_0 = (m+M)V$,इसलिए $V = \frac{mv_0}{m+M}$।
$4$. जब कण नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है,तो वह अंततः वेज को छोड़ देगा। क्षैतिज दिशा में ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के कारण,जब कण क्षैतिज सतह पर वापस आता है,तो वेज के सापेक्ष उसका वेग परिमाण में उसके प्रारंभिक वेग $v_0$ के बराबर लेकिन विपरीत दिशा में होगा।
$5$. इस प्रकार,जब कण क्षैतिज सतह पर वापस आता है तो वेज के सापेक्ष कण का वेग $v_0$ होता है।
$2$. निकाय का द्रव्यमान केंद्र एक स्थिर वेग से चलता है। यह स्थिर नहीं है।
$3$. जब कण अधिकतम ऊंचाई $h$ पर पहुँचता है,तो उसका क्षैतिज वेग वेज के समान होता है। मान लीजिए यह वेग $V$ है। संवेग संरक्षण के नियम से: $mv_0 = (m+M)V$,इसलिए $V = \frac{mv_0}{m+M}$।
$4$. जब कण नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है,तो वह अंततः वेज को छोड़ देगा। क्षैतिज दिशा में ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के कारण,जब कण क्षैतिज सतह पर वापस आता है,तो वेज के सापेक्ष उसका वेग परिमाण में उसके प्रारंभिक वेग $v_0$ के बराबर लेकिन विपरीत दिशा में होगा।
$5$. इस प्रकार,जब कण क्षैतिज सतह पर वापस आता है तो वेज के सापेक्ष कण का वेग $v_0$ होता है।
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AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग के साथ क्षैतिज रूप से चलते हुए $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। टक्कर के बाद,गेंद वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर बढ़ने लगती है और $h$ ऊँचाई तक पहुँचती है। मान लीजिए कि जब कण वापस क्षैतिज सतह पर पहुँचता है,तो जमीन के सापेक्ष उसका वेग $v_1$ है और वेज का वेग $v_2$ है। सही कथन चुनिए।
A
$mv_1 = Mv_2$
B
$Mv_2 - mv_1 = mv_0$
C
$v_1 + v_2 = v_0$
D
$(B)$ और $(C)$ दोनों
Solution
(D) $1$. चूंकि सतह चिकनी है और निकाय (कण + वेज) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग क्षैतिज दिशा में संरक्षित रहता है।
$2$. क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_i = mv_0$.
$3$. क्षैतिज दिशा में अंतिम संवेग: चूंकि कण विपरीत दिशा में $v_1$ वेग से चलता है और वेज मूल दिशा में $v_2$ वेग से चलता है,इसलिए अंतिम संवेग $P_f = Mv_2 - mv_1$ है।
$4$. रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम से: $mv_0 = Mv_2 - mv_1$. यह विकल्प $(B)$ से मेल खाता है।
$5$. चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ (elastic) है (चिकनी सतह और ऊर्जा संरक्षण द्वारा निहित),गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$.
$6$. संवेग संरक्षण से: $mv_0 + mv_1 = Mv_2$. वेज के फ्रेम में,दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग अलग होने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है। कण $v_0$ वेग से वेज के पास आता है और वेज के सापेक्ष $v_1$ वेग से दूर जाता है। अतः,$v_0 = v_1 + v_2$. इसलिए,विकल्प $(C)$ भी सही है।
$2$. क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_i = mv_0$.
$3$. क्षैतिज दिशा में अंतिम संवेग: चूंकि कण विपरीत दिशा में $v_1$ वेग से चलता है और वेज मूल दिशा में $v_2$ वेग से चलता है,इसलिए अंतिम संवेग $P_f = Mv_2 - mv_1$ है।
$4$. रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम से: $mv_0 = Mv_2 - mv_1$. यह विकल्प $(B)$ से मेल खाता है।
$5$. चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ (elastic) है (चिकनी सतह और ऊर्जा संरक्षण द्वारा निहित),गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$.
$6$. संवेग संरक्षण से: $mv_0 + mv_1 = Mv_2$. वेज के फ्रेम में,दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग अलग होने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है। कण $v_0$ वेग से वेज के पास आता है और वेज के सापेक्ष $v_1$ वेग से दूर जाता है। अतः,$v_0 = v_1 + v_2$. इसलिए,विकल्प $(C)$ भी सही है।
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AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग से क्षैतिज रूप से चलते हुए चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है। टक्कर के बाद,कण वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर बढ़ना शुरू करता है और $h$ ऊँचाई तक पहुँच जाता है। कण $m$ से संबंधित सही कथन चुनिए।
A
इसकी गतिज ऊर्जा $K_f = \left( \frac{mM}{m + M} \right) gh$ है।
B
$v_1 = v_0 \left( \frac{M - m}{M + m} \right)$
C
इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{M}{m + M} \right)^2$ है।
D
यह अपनी गति की प्रारंभिक दिशा के विपरीत दिशा में चलता है।
Solution
(C) जब कण वेज पर $h$ ऊँचाई पर पहुँचता है,तो कण और वेज दोनों समान क्षैतिज वेग $V$ से चलते हैं। क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण के नियम से: $mv_0 = (m + M)V$,इसलिए $V = \frac{mv_0}{m + M}$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M)V^2 + mgh$।
$V$ का मान रखने पर: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv_0}{m + M} \right)^2 + mgh$।
सरल करने पर: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$।
$mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$।
अतः,$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \left( \frac{m + M}{M} \right)$।
इस प्रश्न के लिए विकल्प $C$ सही है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M)V^2 + mgh$।
$V$ का मान रखने पर: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv_0}{m + M} \right)^2 + mgh$।
सरल करने पर: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$।
$mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$।
अतः,$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \left( \frac{m + M}{M} \right)$।
इस प्रश्न के लिए विकल्प $C$ सही है।
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View Solution141
AdvancedMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक कण $v_0$ वेग के साथ क्षैतिज रूप से चलते हुए चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान के एक चिकने वेज (wedge) से टकराता है। टक्कर के बाद,गेंद वेज की ढलान वाली सतह पर ऊपर की ओर बढ़ना शुरू करती है और $h$ ऊंचाई तक उठती है। वेज $M$ से संबंधित सही कथन चुनें।
A
इसकी गतिज ऊर्जा $K_f = \left( \frac{m^2}{m+M} \right) gh$ है।
B
टक्कर के बाद वेज का वेग $v = \left( \frac{m}{m+M} \right) v_0$ है।
C
इसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = \left( \frac{mM}{(m+M)^2} \right) \left( \frac{1}{2} m v_0^2 \right)$ है।
D
उपरोक्त सभी।
Solution
(D) $1$. क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण: $mv_0 = (m+M)v$,जहाँ $v$ अधिकतम ऊंचाई $h$ पर कण और वेज का सामान्य वेग है। अतः,$v = \frac{m}{m+M} v_0$.
$2$. यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) v^2 + mgh$.
$3$. ऊर्जा समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 + mgh = \frac{1}{2} \frac{m^2}{m+M} v_0^2 + mgh$.
$4$. वेज की गतिज ऊर्जा में वृद्धि: $\Delta K_M = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 = \frac{mM}{(m+M)^2} \frac{1}{2} m v_0^2$. यह विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।
$5$. इस प्रकार के भौतिकी प्रश्नों के संदर्भ में,विकल्प $(D)$ सही उत्तर है क्योंकि यह इस प्रणाली के लिए प्राप्त संबंधों का समूह दर्शाता है।
$2$. यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) v^2 + mgh$.
$3$. ऊर्जा समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 + mgh = \frac{1}{2} \frac{m^2}{m+M} v_0^2 + mgh$.
$4$. वेज की गतिज ऊर्जा में वृद्धि: $\Delta K_M = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 = \frac{mM}{(m+M)^2} \frac{1}{2} m v_0^2$. यह विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।
$5$. इस प्रकार के भौतिकी प्रश्नों के संदर्भ में,विकल्प $(D)$ सही उत्तर है क्योंकि यह इस प्रणाली के लिए प्राप्त संबंधों का समूह दर्शाता है।
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MediumMCQ
$0.2 \ kg$ द्रव्यमान की एक गेंद को हाथ से बल लगाकर ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। यदि बल लगाते समय हाथ $0.2 \ m$ चलता है और गेंद उसके बाद $2 \ m$ की अतिरिक्त ऊँचाई तक जाती है,तो बल $F$ का परिमाण $N$ में ज्ञात कीजिए। ($g = 10 \ m/s^2$ लें)
A
$4$
B
$16$
C
$20$
D
$22$
Solution
(D) मान लीजिए कि गेंद का वेग ठीक उस समय जब वह हाथ छोड़ती है,$v$ है। हाथ छोड़ने के बाद गेंद की गति के लिए,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - v^2 = 2(-10)(2)$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
अब,हाथ में गेंद की गति पर विचार करें। मान लीजिए त्वरण $a'$ है। $v^2 - u^2 = 2a's'$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u=0$ और $s'=0.2 \ m$ है:
$40 - 0 = 2(a')(0.2)$
$40 = 0.4a'$
$a' = 100 \ m/s^2$
हाथ में गेंद के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$F - mg = ma'$
$F - (0.2)(10) = (0.2)(100)$
$F - 2 = 20$
$F = 22 \ N$
$0^2 - v^2 = 2(-10)(2)$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
अब,हाथ में गेंद की गति पर विचार करें। मान लीजिए त्वरण $a'$ है। $v^2 - u^2 = 2a's'$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u=0$ और $s'=0.2 \ m$ है:
$40 - 0 = 2(a')(0.2)$
$40 = 0.4a'$
$a' = 100 \ m/s^2$
हाथ में गेंद के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$F - mg = ma'$
$F - (0.2)(10) = (0.2)(100)$
$F - 2 = 20$
$F = 22 \ N$
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MediumMCQ
एक $2 \ kg$ का ब्लॉक $4 \ m/s$ की गति से क्षैतिज फर्श पर फिसल रहा है। यह एक असंपीडित स्प्रिंग से टकराता है और उसे तब तक दबाता है जब तक कि ब्लॉक स्थिर न हो जाए। गतिज घर्षण बल $15 \ N$ है और स्प्रिंग नियतांक $10,000 \ N/m$ है। स्प्रिंग ............. $cm$ तक दबती है।
A
$5.5$
B
$2.5$
C
$11$
D
$8.5$
Solution
(A) मान लीजिए कि ब्लॉक रुकने से पहले स्प्रिंग को $x$ मीटर तक दबाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \ J$.
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$ = $f_k \times x = 15x$.
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $(U_s)$ = $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 10,000 \times x^2 = 5,000x^2$.
ऊर्जा संतुलन लागू करने पर: $K_i = U_s + W_f$.
$16 = 5,000x^2 + 15x$.
$5,000x^2 + 15x - 16 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-15 + \sqrt{15^2 - 4(5,000)(-16)}}{2 \times 5,000} = \frac{-15 + \sqrt{225 + 320,000}}{10,000} \approx 0.055 \ m$.
$x = 5.5 \ cm$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \ J$.
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$ = $f_k \times x = 15x$.
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $(U_s)$ = $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 10,000 \times x^2 = 5,000x^2$.
ऊर्जा संतुलन लागू करने पर: $K_i = U_s + W_f$.
$16 = 5,000x^2 + 15x$.
$5,000x^2 + 15x - 16 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-15 + \sqrt{15^2 - 4(5,000)(-16)}}{2 \times 5,000} = \frac{-15 + \sqrt{225 + 320,000}}{10,000} \approx 0.055 \ m$.
$x = 5.5 \ cm$.
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EasyMCQ
कथन $-1$: एक ही दिशा में गति कर रहे दो कण पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में अपनी पूरी ऊर्जा नहीं खोते हैं।
कथन $-2$: संवेग संरक्षण का सिद्धांत सभी प्रकार की टक्करों के लिए सत्य है।
कथन $-2$: संवेग संरक्षण का सिद्धांत सभी प्रकार की टक्करों के लिए सत्य है।
A
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ असत्य है
B
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है
C
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या नहीं है
D
कथन $-1$ असत्य है,कथन $-2$ सत्य है
Solution
(B) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक समान वेग से गति करते हैं। निकाय की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से नष्ट नहीं होती है क्योंकि संवेग संरक्षण के कारण अंतिम निकाय में कुछ गतिज ऊर्जा शेष रहती है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत एक मूलभूत नियम है जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) पर लागू होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-2$ यह आधार प्रदान करता है कि टक्कर के बाद निकाय ऊर्जा क्यों बनाए रखता है,क्योंकि संवेग संरक्षण हमें अंतिम उभयनिष्ठ वेग और संयुक्त निकाय की शेष गतिज ऊर्जा की गणना करने की अनुमति देता है। इसलिए,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।
रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत एक मूलभूत नियम है जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) पर लागू होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-2$ यह आधार प्रदान करता है कि टक्कर के बाद निकाय ऊर्जा क्यों बनाए रखता है,क्योंकि संवेग संरक्षण हमें अंतिम उभयनिष्ठ वेग और संयुक्त निकाय की शेष गतिज ऊर्जा की गणना करने की अनुमति देता है। इसलिए,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।
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MediumMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं। इन चार विकल्पों में से वह विकल्प चुनें जो दोनों कथनों की सही व्याख्या करता है।
कथन-$1$: एक ही दिशा में गति कर रहे दो कणों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में वे अपनी पूरी ऊर्जा नहीं खोते हैं।
कथन-$2$: संवेग संरक्षण का सिद्धांत सभी प्रकार की टक्करों के लिए मान्य है।
कथन-$1$: एक ही दिशा में गति कर रहे दो कणों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में वे अपनी पूरी ऊर्जा नहीं खोते हैं।
कथन-$2$: संवेग संरक्षण का सिद्धांत सभी प्रकार की टक्करों के लिए मान्य है।
A
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ असत्य है।
B
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।
C
कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
D
कथन-$1$ असत्य है,कथन-$2$ सत्य है।
Solution
(C) कथन-$1$ सत्य है। पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। यदि दो कण टकराते हैं,तो वे वेग या संवेग का आदान-प्रदान करते हैं,लेकिन निकाय की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है। इसलिए,वे अपनी पूरी ऊर्जा नहीं खोते हैं।
कथन-$2$ सत्य है। रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत न्यूटन के गति के नियमों से प्राप्त एक मौलिक नियम है,जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ,अप्रत्यास्थ,या पूर्णतः अप्रत्यास्थ) के लिए मान्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ वह कारण नहीं है कि कण प्रत्यास्थ टक्कर में अपनी पूरी ऊर्जा क्यों नहीं खोते हैं। गतिज ऊर्जा का संरक्षण प्रत्यास्थ टक्कर का विशिष्ट गुण है जो कुल ऊर्जा के नुकसान को रोकता है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
कथन-$2$ सत्य है। रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत न्यूटन के गति के नियमों से प्राप्त एक मौलिक नियम है,जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ,अप्रत्यास्थ,या पूर्णतः अप्रत्यास्थ) के लिए मान्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ वह कारण नहीं है कि कण प्रत्यास्थ टक्कर में अपनी पूरी ऊर्जा क्यों नहीं खोते हैं। गतिज ऊर्जा का संरक्षण प्रत्यास्थ टक्कर का विशिष्ट गुण है जो कुल ऊर्जा के नुकसान को रोकता है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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MediumMCQ
इस प्रश्न में कथन-$1$ और कथन-$2$ दिए गए हैं। कथनों के बाद दिए गए चार विकल्पों में से, वह चुनें जो दोनों कथनों का सबसे अच्छा वर्णन करता है।
कथन-$1$: $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु कण $u$ चाल से गति करते हुए $M$ द्रव्यमान के स्थिर बिंदु कण से टकराता है। यदि संभव अधिकतम ऊर्जा हानि $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ के रूप में दी गई है, तो $f = \left( \frac{m}{M + m} \right)$ है।
कथन-$2$: अधिकतम ऊर्जा हानि तब होती है जब टक्कर के परिणामस्वरूप कण एक साथ चिपक जाते हैं।
कथन-$1$: $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु कण $u$ चाल से गति करते हुए $M$ द्रव्यमान के स्थिर बिंदु कण से टकराता है। यदि संभव अधिकतम ऊर्जा हानि $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ के रूप में दी गई है, तो $f = \left( \frac{m}{M + m} \right)$ है।
कथन-$2$: अधिकतम ऊर्जा हानि तब होती है जब टक्कर के परिणामस्वरूप कण एक साथ चिपक जाते हैं।
A
कथन-$1$ सत्य है, कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$, कथन-$1$ की सही व्याख्या है।
B
कथन-$1$ सत्य है, कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$, कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
कथन-$1$ असत्य है, कथन-$2$ सत्य है।
D
कथन-$1$ सत्य है, कथन-$2$ असत्य है।
Solution
(C) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में, कण एक साथ चिपक जाते हैं और सामान्य वेग $v = \frac{mu}{m+M}$ से गति करते हैं।
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m+M) v^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{mu}{m+M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 u^2}{m+M} = \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ है।
ऊर्जा हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( \frac{M}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ है।
दिए गए व्यंजक $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $f = \frac{M}{m+M}$ प्राप्त होता है।
कथन-$1$ में $f = \frac{m}{M+m}$ दिया गया है, जो गलत है।
कथन-$2$ सत्य है क्योंकि अधिकतम ऊर्जा हानि पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में होती है जहाँ कण एक साथ चिपक जाते हैं।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में, कण एक साथ चिपक जाते हैं और सामान्य वेग $v = \frac{mu}{m+M}$ से गति करते हैं।
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m+M) v^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{mu}{m+M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 u^2}{m+M} = \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ है।
ऊर्जा हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( \frac{M}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ है।
दिए गए व्यंजक $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $f = \frac{M}{m+M}$ प्राप्त होता है।
कथन-$1$ में $f = \frac{m}{M+m}$ दिया गया है, जो गलत है।
कथन-$2$ सत्य है क्योंकि अधिकतम ऊर्जा हानि पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में होती है जहाँ कण एक साथ चिपक जाते हैं।
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MediumMCQ
वसा जलाकर वजन कम करने की कोशिश कर रहा एक व्यक्ति $10 \ kg$ के द्रव्यमान को $1 \ m$ की ऊंचाई तक $1000$ बार उठाता है। मान लीजिए कि हर बार जब वह द्रव्यमान को नीचे लाता है तो खोई हुई स्थितिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है। केवल वजन उठाए जाने पर किए गए कार्य को ध्यान में रखते हुए, वह कितनी वसा का उपयोग करेगा? वसा प्रति $kg$ $3.8 \times 10^7 \ J$ ऊर्जा प्रदान करती है, जिसे $20\%$ दक्षता दर के साथ यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है। $g = 9.8 \ m/s^2$ लें।
A
$9.89 \times 10^{-3} \ kg$
B
$12.89 \times 10^{-3} \ kg$
C
$2.45 \times 10^{-3} \ kg$
D
$6.45 \times 10^{-3} \ kg$
Solution
(B) $1000$ बार द्रव्यमान उठाने में किया गया कार्य $W = n \times mgh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = 1000$, $m = 10 \ kg$, $g = 9.8 \ m/s^2$, और $h = 1 \ m$ है।
$W = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 1 = 98000 \ J$.
दक्षता $\eta = 20\% = 0.2$ दी गई है, इसलिए वसा से आवश्यक कुल ऊर्जा इनपुट $E_{in} = \frac{W}{\eta} = \frac{98000}{0.2} = 490000 \ J = 4.9 \times 10^5 \ J$ है।
$1 \ kg$ वसा द्वारा प्रदान की जाने वाली ऊर्जा $3.8 \times 10^7 \ J/kg$ है।
अतः, उपयोग की गई वसा का द्रव्यमान $M_{fat} = \frac{E_{in}}{3.8 \times 10^7} = \frac{4.9 \times 10^5}{3.8 \times 10^7} \approx 1.289 \times 10^{-2} \ kg = 12.89 \times 10^{-3} \ kg$ है।
$W = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 1 = 98000 \ J$.
दक्षता $\eta = 20\% = 0.2$ दी गई है, इसलिए वसा से आवश्यक कुल ऊर्जा इनपुट $E_{in} = \frac{W}{\eta} = \frac{98000}{0.2} = 490000 \ J = 4.9 \times 10^5 \ J$ है।
$1 \ kg$ वसा द्वारा प्रदान की जाने वाली ऊर्जा $3.8 \times 10^7 \ J/kg$ है।
अतः, उपयोग की गई वसा का द्रव्यमान $M_{fat} = \frac{E_{in}}{3.8 \times 10^7} = \frac{4.9 \times 10^5}{3.8 \times 10^7} \approx 1.289 \times 10^{-2} \ kg = 12.89 \times 10^{-3} \ kg$ है।
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DifficultMCQ
एक रेखीय टक्कर में,$v_0$ के प्रारंभिक वेग वाला एक कण समान द्रव्यमान के एक स्थिर कण से टकराता है। यदि अंतिम कुल गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा से $50\%$ अधिक है,तो टक्कर के बाद दोनों कणों के बीच सापेक्ष वेग का परिमाण क्या होगा?
A
$\sqrt{2} v_0$
B
$\frac{v_0}{2}$
C
$\frac{v_0}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{v_0}{4}$
Solution
(A) माना कि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + 0.5K_i = 1.5K_i = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right) = \frac{3}{4}mv_0^2$ है।
माना कि अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{3}{4}mv_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_0^2 \quad (i)$
रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम से:
$mv_0 = mv_1 + mv_2 \implies v_1 + v_2 = v_0 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ का वर्ग करने पर:
$(v_1 + v_2)^2 = v_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 = v_0^2$
इसमें $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2}v_0^2 + 2v_1v_2 = v_0^2 \implies 2v_1v_2 = v_0^2 - \frac{3}{2}v_0^2 = -\frac{1}{2}v_0^2$
सापेक्ष वेग का वर्ग:
$(v_1 - v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 = \frac{3}{2}v_0^2 - \left( -\frac{1}{2}v_0^2 \right) = \frac{3}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}v_0^2 = 2v_0^2$
अतः,सापेक्ष वेग का परिमाण $|v_1 - v_2| = \sqrt{2}v_0$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + 0.5K_i = 1.5K_i = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right) = \frac{3}{4}mv_0^2$ है।
माना कि अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{3}{4}mv_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_0^2 \quad (i)$
रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम से:
$mv_0 = mv_1 + mv_2 \implies v_1 + v_2 = v_0 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ का वर्ग करने पर:
$(v_1 + v_2)^2 = v_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 = v_0^2$
इसमें $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2}v_0^2 + 2v_1v_2 = v_0^2 \implies 2v_1v_2 = v_0^2 - \frac{3}{2}v_0^2 = -\frac{1}{2}v_0^2$
सापेक्ष वेग का वर्ग:
$(v_1 - v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 = \frac{3}{2}v_0^2 - \left( -\frac{1}{2}v_0^2 \right) = \frac{3}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}v_0^2 = 2v_0^2$
अतः,सापेक्ष वेग का परिमाण $|v_1 - v_2| = \sqrt{2}v_0$ है।
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MediumMCQ
एक कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $U = - \frac{k}{2r^2}$ के आकर्षक विभव के अंतर्गत गति कर रहा है। इसकी कुल ऊर्जा है
A
$\frac{k}{2a^2}$
B
शून्य
C
$-\frac{3}{2} \frac{k}{a^2}$
D
$-\frac{k}{4a^2}$
Solution
(B) बल $F$,स्थितिज ऊर्जा $U$ के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{k}{2r^2} \right) = -\frac{k}{r^3}$.
चूंकि कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,अभिकेंद्री बल का परिमाण आकर्षक बल के परिमाण के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{a} = \frac{k}{a^3} \Rightarrow mv^2 = \frac{k}{a^2}$.
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{a^2} \right) = \frac{k}{2a^2}$.
$r = a$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ है:
$P.E. = -\frac{k}{2a^2}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2a^2} + \left( -\frac{k}{2a^2} \right) = 0$.
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{k}{2r^2} \right) = -\frac{k}{r^3}$.
चूंकि कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,अभिकेंद्री बल का परिमाण आकर्षक बल के परिमाण के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{a} = \frac{k}{a^3} \Rightarrow mv^2 = \frac{k}{a^2}$.
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{a^2} \right) = \frac{k}{2a^2}$.
$r = a$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ है:
$P.E. = -\frac{k}{2a^2}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2a^2} + \left( -\frac{k}{2a^2} \right) = 0$.
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक घर्षणहीन नत समतल पर $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से चलना शुरू करता है। ब्लॉक समतल से नीचे फिसलता है,गतिज घर्षण गुणांक $\mu$ वाली खुरदरी क्षैतिज सतह पर यात्रा करता है,और क्षण भर के लिए रुकने से पहले $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को $x$ दूरी तक संकुचित करता है। फिर स्प्रिंग फैलती है और ब्लॉक खुरदरी सतह पर वापस यात्रा करता है,और नत समतल पर ऊपर की ओर फिसलता है। ब्लॉक खुरदरी क्षैतिज सतह पर कुल $d$ दूरी तय करता है। अपनी वापसी पर ब्लॉक जिस अधिकतम ऊँचाई $h'$ तक पहुँचता है,उसके लिए सही व्यंजक है
A
$mgh' = mgh - \mu mgd$
B
$mgh' = mgh + \mu mgd$
C
$mgh' = mgh + \mu mgd + kx^2$
D
$mgh' = mgh - \mu mgd - kx^2$
Solution
(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,असंरक्षी बलों (घर्षण) द्वारा किया गया कार्य निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh$ है।
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh'$ है।
कुल दूरी $d$ पर घर्षण बल $f_k = \mu mg$ द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k \cdot d = -\mu mgd$ है।
चूंकि स्प्रिंग एक संरक्षी बल है,इसलिए जब यह ब्लॉक को वापस धकेलती है तो इसमें संचित ऊर्जा वापस मिल जाती है।
अतः,यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है:
$E_f - E_i = W_f$
$mgh' - mgh = -\mu mgd$
$mgh' = mgh - \mu mgd$
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh$ है।
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh'$ है।
कुल दूरी $d$ पर घर्षण बल $f_k = \mu mg$ द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k \cdot d = -\mu mgd$ है।
चूंकि स्प्रिंग एक संरक्षी बल है,इसलिए जब यह ब्लॉक को वापस धकेलती है तो इसमें संचित ऊर्जा वापस मिल जाती है।
अतः,यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है:
$E_f - E_i = W_f$
$mgh' - mgh = -\mu mgd$
$mgh' = mgh - \mu mgd$
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View SolutionWork, Energy, Power and Collision — Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision · Frequently Asked Questions
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