Perfectly Inelastic Collision Questions in Hindi

(A) कण का प्रारंभिक संवेग = $m V_0$।
निकाय (कण + लोलक) का अंतिम संवेग = $(m + m)v = 2mv$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m V_0 = 2mv$
$v = \frac{V_0}{2}$
निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{V_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}(2m)\frac{V_0^2}{4} = \frac{m V_0^2}{4}$।
यदि निकाय $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है,तो प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $P.E. = (2m)gh$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम ऊँचाई पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{m V_0^2}{4} = 2mgh$
$h = \frac{m V_0^2}{4 \cdot 2mg} = \frac{V_0^2}{8g}$।

(C) निकाय का प्रारंभिक संवेग इस प्रकार है:
$\vec{P}_i = mv\hat{i} + mv\hat{j}$
प्रारंभिक संवेग का परिमाण:
$|\vec{P}_i| = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2}mv$
टक्कर के बाद निकाय का अंतिम संवेग:
$\vec{P}_f = (2m)\vec{V}$
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$:
$\sqrt{2}mv = 2mV$
$V$ के लिए हल करने पर:
$V = \frac{\sqrt{2}mv}{2m} = \frac{v}{\sqrt{2}}$

(B) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को टकराने वाली वस्तुओं के पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दोनों वस्तुएं टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाती हैं और एक समान वेग से गति करती हैं।
चूंकि वस्तुएं एक साथ गति करती हैं,इसलिए पृथक्करण का सापेक्ष वेग $0$ होता है।
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{निकट आने का सापेक्ष वेग}} = \frac{0}{v_{approach}} = 0$ होता है।

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दो टकराने वाले पिंड एक साथ चिपक जाते हैं और टक्कर के बाद एक समान वेग से गति करते हैं।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e = 0$ होता है।
ऐसी टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग टक्कर के ठीक पहले और ठीक बाद संरक्षित रहता है,लेकिन इस प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा का अधिकतम ह्रास होता है।

(B) प्रारंभ में,गोली $b$ वेग के साथ चलती है और ब्लॉक स्थिर है। टक्कर के बाद,गोली ब्लॉक में धंस जाती है और दोनों एक साथ सामान्य वेग $V$ से चलते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$a \cdot b + c \cdot 0 = (a + c) \cdot V$
$a \cdot b = (a + c) \cdot V$
$V = \frac{a \cdot b}{a + c}$

(B) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर वह टक्कर है जिसमें प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $(e)$ का मान $0$ होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक को टक्कर के बाद के सापेक्ष वेग और टक्कर से पहले के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $e = 0$ है,इसलिए टक्कर के बाद का सापेक्ष वेग $0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ यह है कि दोनों कण टक्कर के बाद समान वेग से चलते हैं,जिसका अर्थ है कि वे टक्कर के बाद एक साथ रहते हैं।

(C) जब एक गोली ब्लॉक से टकराती है और उसमें धंस जाती है,तो यह टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ (perfectly inelastic) होती है।
किसी भी टक्कर में जहाँ निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि टक्कर की प्रक्रिया के दौरान कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि और विरूपण ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,केवल संवेग ही संरक्षित रहता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $m(v) + m(-v) = mv - mv = 0$।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $V$ है।
चूंकि पिंड एक साथ चिपक जाते हैं,इसलिए निकाय का अंतिम द्रव्यमान $m + m = 2m$ होगा।
निकाय का अंतिम संवेग = $(2m)V$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग।
$0 = 2mV$।
इसलिए,$V = 0$।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
माना प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m$ है।
पहले पिंड का प्रारंभिक संवेग = $mv$.
दूसरे पिंड का प्रारंभिक संवेग = $m \times 0 = 0$.
कुल प्रारंभिक संवेग = $mv + 0 = mv$.
टक्कर के बाद,दोनों पिंड जुड़कर $M = m + m = 2m$ द्रव्यमान का एक संयुक्त पिंड बनाते हैं।
माना टक्कर के बाद संयुक्त पिंड का वेग $V$ है।
कुल अंतिम संवेग = $(2m)V$.
संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = 2mV$.
$V$ के लिए हल करने पर,हमें $V = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) निकाय का प्रारंभिक संवेग = $mv$.
निकाय का अंतिम संवेग = $(m + M)V$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद निकाय का उभयनिष्ठ वेग है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$mv = (m + M)V$.
इसलिए,उभयनिष्ठ वेग $V = \frac{mv}{M + m}$.
संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ है।
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$.
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2} = \frac{m^2v^2}{2(M + m)}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = गोली की गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \, kg \times (10 \, m/s)^2 = 2.5 \, J$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से,$m_B v_B = (m_B + M) v_{sys}$.
$0.05 \times 10 = (0.05 + 0.95) \times v_{sys} \implies 0.5 = 1 \times v_{sys} \implies v_{sys} = 0.5 \, m/s$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_B + M) v_{sys}^2 = \frac{1}{2} \times 1 \, kg \times (0.5 \, m/s)^2 = 0.125 \, J$.
गतिज ऊर्जा में हानि = $K_i - K_f = 2.5 - 0.125 = 2.375 \, J$.
प्रतिशत हानि = $\frac{K_i - K_f}{K_i} \times 100 = \frac{2.375}{2.5} \times 100 = 95\%$.

(B) मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है और वे क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश गति कर रही हैं।
गेंद $1$ का प्रारंभिक वेग: $\vec{v}_1 = 45\sqrt{2} \hat{i} \, m/s$.
गेंद $2$ का प्रारंभिक वेग: $\vec{v}_2 = 45\sqrt{2} \hat{j} \, m/s$.
प्रारंभिक कुल संवेग: $\vec{P}_i = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = m(45\sqrt{2} \hat{i} + 45\sqrt{2} \hat{j})$.
प्रारंभिक संवेग का परिमाण: $|\vec{P}_i| = m \sqrt{(45\sqrt{2})^2 + (45\sqrt{2})^2} = m \sqrt{4050 + 4050} = m \sqrt{8100} = 90m \, kg \cdot m/s$.
टक्कर के बाद,गेंदें आपस में चिपक कर $2m$ द्रव्यमान बनाती हैं जो $\vec{V}$ वेग से गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $\vec{P}_i = \vec{P}_f$.
$90m = (2m)V$.
$V = \frac{90m}{2m} = 45 \, m/s$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग = $m \times v + 2m \times 0 = mv$.
अंतिम संवेग = $(m + 2m) \times V = 3mV$,जहाँ $V$ संयुक्त निकाय का अंतिम वेग है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $mv = 3mV$.
अतः,निकाय की चाल $V = v/3$ होगी।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग,टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग = $(m \times 3) + (2m \times 0) = 3m \, kg \cdot km/h$.
संयुक्त पिंड का अंतिम द्रव्यमान = $m + 2m = 3m$.
माना संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $V$ है।
अंतिम संवेग = $(3m) \times V$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$3m = 3m \times V$
$V = \frac{3m}{3m} = 1 \, km/h$.
अतः,संयुक्त वेग $1 \, km/h$ है।

(A) जब गेंद रेत से टकराती है और उसमें धंस जाती है,तो यह पृथ्वी-रेत प्रणाली के साथ पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर (perfectly inelastic collision) करती है।
किसी भी टक्कर में,प्रणाली (गेंद + पृथ्वी) का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते प्रणाली पर कोई बाहरी आवेगपूर्ण बल कार्य न करे।
हालाँकि,अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि ऊर्जा का एक बड़ा हिस्सा ऊष्मा,ध्वनि और रेत के प्रतिरोधी बल के विरुद्ध किए गए कार्य के रूप में नष्ट हो जाता है।
इसलिए,केवल संवेग संरक्षित रहता है।

(B) पहली गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_2 = 0 \,m/s$.
द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद का सामान्य वेग है।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
गतिज ऊर्जा में हानि,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(D) माना प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ और वेग $v = 10 \, m/s$ है।
पहले पिंड का प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_1 = mv \hat{i} = 2 \times 10 \hat{i} = 20 \hat{i} \, kg \cdot m/s$.
दूसरे पिंड का प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_2 = mv \hat{j} = 2 \times 10 \hat{j} = 20 \hat{j} \, kg \cdot m/s$.
कुल प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_{total} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = 20 \hat{i} + 20 \hat{j}$.
कुल प्रारंभिक संवेग का परिमाण: $|\vec{P}_{total}| = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2} \, kg \cdot m/s$.
टक्कर के बाद,पिंड जुड़कर $M = m + m = 4 \, kg$ का एक एकल पिंड बन जाते हैं।
माना अंतिम वेग $V$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $\vec{P}_{final} = \vec{P}_{total}$.
$MV = |\vec{P}_{total}| \implies 4V = 20\sqrt{2}$.
$V = \frac{20\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2} \, m/s$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए $m_1 = 20\, kg$,$v_1 = 10\, m/s$,$m_2 = 5\, kg$,और $v_2 = 0\, m/s$ है।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{sys}$
$20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5) v_{sys}$
$200 = 25 v_{sys}$
$v_{sys} = \frac{200}{25} = 8\, m/s$
संयुक्त द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{sys}^2$ द्वारा दी जाती है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times (20 + 5) \times (8)^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 25 \times 64$
$K.E. = 25 \times 32 = 800\, J$.

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग = टक्कर के बाद का कुल संवेग।
माना न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_1 = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है और उसका वेग $v_1 = 10^8 \ m/s$ है।
माना ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m_2 = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ है,जो शुरू में स्थिर है $(v_2 = 0)$।
चूंकि कण एक साथ चिपक जाते हैं,वे एक सामान्य वेग $v$ के साथ गति करेंगे।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(1.67 \times 10^{-27}) \times 10^8 + 0 = (1.67 \times 10^{-27} + 3.34 \times 10^{-27}) \times v$
$1.67 \times 10^{-19} = (5.01 \times 10^{-27}) \times v$
$v = \frac{1.67 \times 10^{-19}}{5.01 \times 10^{-27}}$
$v = \frac{1}{3} \times 10^8 \ m/s = 3.33 \times 10^7 \ m/s$.

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए, गतिज ऊर्जा में हानि $(\Delta K)$ का सूत्र है:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$
दिया गया है:
$m_1 = 40\,kg$, $u_1 = 4\,m/s$
$m_2 = 60\,kg$, $u_2 = 2\,m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{40 \times 60}{40 + 60} \right) (4 - 2)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2400}{100} \right) (2)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$
$\Delta K = 12 \times 4 = 48\,J$
अतः, गतिज ऊर्जा में हानि $48\,J$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि संयुक्त निकाय का अंतिम वेग $v$ है।
प्रारंभिक संवेग = $m_1 V + m_2 \times 0 = m_1 V$.
अंतिम संवेग = $(m_1 + m_2)v$.
दोनों को बराबर करने पर: $m_1 V = (m_1 + m_2)v$.
इसलिए,$v = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V$.
चूंकि $\frac{m_1}{m_1 + m_2} < 1$,इसलिए अंतिम वेग $v$ प्रारंभिक वेग $V$ से कम है लेकिन शून्य से अधिक है (यह मानते हुए कि $m_1, m_2 > 0$ और $V > 0$)।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग और अंतिम संवेग बराबर होता है।
$mv + M(0) = (m + M)V$
जहाँ $V$ टक्कर के बाद संयुक्त ब्लॉक का वेग है।
$V = \frac{mv}{m + M}$
संयुक्त ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ है।
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$KE = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$KE = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2 v^2}{(m + M)^2}$
$KE = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{m}{m + M} \right)$

(C) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2 + 0 = 288\, J$.
चूंकि पिंड टक्कर के बाद जुड़ जाते हैं,यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$.
$4 \times 12 + 6 \times 0 = (4 + 6) v \implies 48 = 10v \implies v = 4.8\, m/s$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4.8)^2 = 5 \times 23.04 = 115.2\, J$.
गतिज ऊर्जा में हानि = $K_i - K_f = 288 - 115.2 = 172.8\, J$.

(D) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,टकराने वाली वस्तुएं आपस में चिपक जाती हैं और प्रभाव के बाद एक समान वेग से चलती हैं।
$A$. ब्लॉक में धंसी हुई गोली का मतलब है कि वे एक साथ चलते हैं। यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
$B$. परमाणु द्वारा इलेक्ट्रॉन का कैप्चर होने पर इलेक्ट्रॉन परमाणु प्रणाली का हिस्सा बन जाता है। यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
$C$. चलती नाव पर कूदने वाला आदमी नाव के साथ गति करता है। यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
$D$. एक बॉल बेयरिंग जब दूसरे बॉल बेयरिंग से टकराती है,तो वे आमतौर पर एक-दूसरे से दूर उछलती हैं,जो कि एक प्रत्यास्थ या आंशिक रूप से अप्रत्यास्थ टक्कर है,पूर्णतः अप्रत्यास्थ नहीं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $1$. इस स्थिति में,गोली और ब्लॉक एक विलगित निकाय (isolated system) बनाते हैं क्योंकि उन पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है (मेज घर्षणरहित है)।
$2$. रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
$3$. चूंकि गोली ब्लॉक में धंस जाती है,इसलिए यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर (perfectly inelastic collision) है।
$4$. पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है; यह आंशिक रूप से ऊष्मा,ध्वनि और विरूपण ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$5$. इसलिए,केवल रैखिक संवेग ही संरक्षित रहता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 \times 5 + m_2 \times 0 = 5m_1$.
अंतिम संवेग $P_f = (m_1 + m_2) \times 4 = 4m_1 + 4m_2$.
$P_i$ और $P_f$ को बराबर रखने पर:
$5m_1 = 4m_1 + 4m_2$.
$5m_1 - 4m_1 = 4m_2$.
$m_1 = 4m_2$.
अतः,अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ है।

(B) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर को ऐसी टक्कर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें दो टकराने वाली वस्तुएं प्रभाव के बाद एक साथ जुड़ जाती हैं।
ऐसी टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,लेकिन निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
चूंकि टक्कर के बाद वस्तुएं एक समान वेग से चलती हैं,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से कम होती है।
इसलिए,सही विवरण यह है कि कण एक साथ जुड़ जाते हैं और एक इकाई के रूप में चलते हैं।

(A) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दोनों कण टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक सामान्य वेग $v_f$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2(0) = (m_1 + m_2)v_f$.
अतः,$v_f = \frac{m_1 u_1}{m_1 + m_2}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 u_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u_1^2}{m_1 + m_2}$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि (जो ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है) $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 - \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u_1^2}{m_1 + m_2}$ है।
$\Delta K = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 \left( 1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का ऊष्मा में परिवर्तित होने वाला भाग $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$ है।

(A) यह पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर का एक मामला है जहाँ गोली ट्रक पर रखी रेत की बोरी में धंस जाती है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद ट्रक (गोली और रेत की बोरी के साथ) का अंतिम वेग $V$ है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $m \cdot u + M \cdot 0 = \mu$.
निकाय का अंतिम संवेग = $(M + m) \cdot V$.
दोनों को बराबर करने पर: $\mu = (M + m)V$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V = \frac{\mu}{M + m}$.

(B) कथन $1$ सत्य है: पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,कण टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं। हालांकि गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है (जो ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है),निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। चूंकि कण एक सामान्य वेग के साथ गति करना जारी रखते हैं,इसलिए निकाय में कुछ गतिज ऊर्जा शेष रहती है,अतः कुल ऊर्जा पूरी तरह से नष्ट नहीं होती है।
कथन $2$ सत्य है: रैखिक संवेग संरक्षण का नियम न्यूटन के नियमों से व्युत्पन्न एक मौलिक सिद्धांत है और यह सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ,अप्रत्यास्थ,या पूर्णतः अप्रत्यास्थ) के लिए लागू होता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
निष्कर्ष: दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन कथन $2$ यह स्पष्ट नहीं करता है कि कथन $1$ में ऊर्जा पूरी तरह से नष्ट क्यों नहीं होती है।

(D) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग $V_f = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ से गति करते हैं।
चूंकि टक्कर के बाद निकाय के पास एक उभयनिष्ठ वेग होता है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V_f^2$ शून्य नहीं होती है।
अतः,कथन-$1$ सही है क्योंकि निकाय अपनी पूरी ऊर्जा नहीं खोता है।
कथन-$2$ भी सही है क्योंकि रैखिक संवेग संरक्षण का नियम एक मूलभूत सिद्धांत है जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों पर लागू होता है।
हालाँकि,संवेग का संरक्षण (कथन-$2$) वह कारण नहीं है कि कुछ गतिज ऊर्जा क्यों बनी रहती है (कथन-$1$); ऊर्जा का बने रहना इस आवश्यकता के कारण है कि निकाय को संवेग संरक्षण के लिए एक साथ गति करनी पड़ती है।
इसलिए,कथन-$1$ और कथन-$2$ दोनों सही हैं,लेकिन कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग उसके अंतिम संवेग के बराबर होता है।
$mv + M(0) = (m + M)v'$
$v' = \frac{mv}{m + M}$
जहाँ $v'$ टक्कर के बाद निकाय का उभयनिष्ठ वेग है।
टक्कर के बाद (थैला + गोली) निकाय की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K = \frac{1}{2}(m + M)(v')^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(m + M)^2}$
$K = \frac{m^2v^2}{2(m + M)}$

(C) दिया गया है: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$.
$(0.50)(2.00) + (1.00)(0) = (0.50 + 1.00)v$.
$1.00 = 1.50v \implies v = \frac{1.00}{1.50} = \frac{2}{3} \ m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} (0.50) (2.00)^2 = 1.00 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} (1.50) (\frac{2}{3})^2 = 0.75 \times \frac{4}{9} = 0.333... \ J$.
ऊर्जा की हानि $\Delta K = K_i - K_f = 1.00 - 0.333 = 0.667 \ J \approx 0.67 \ J$.

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हानि का सूत्र है: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$.
दिया गया है: $m_1 = 40 \ kg$,$u_1 = 4 \ m/s$,$m_2 = 60 \ kg$,$u_2 = 2 \ m/s$.
मान रखने पर: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{40 \times 60}{40 + 60} \right) (4 - 2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2400}{100} \right) (2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$.
$\Delta K = 12 \times 4 = 48 \ J$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$.
यहाँ $m_1 = 20 \ kg$,$v_1 = 10 \ m/s$,$m_2 = 5 \ kg$,$v_2 = 0 \ m/s$ दिया गया है।
मान रखने पर: $20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5)v$.
$200 = 25v$,जिससे $v = 8 \ m/s$ प्राप्त होता है।
संयुक्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$.
$K = \frac{1}{2}(20 + 5) \times (8)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 64 = 25 \times 32 = 800 \ J$.

(D) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। जब पहली गेंद को $h$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v$,ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,दोनों गेंदें आपस में जुड़ जाती हैं और टक्कर के बाद एक सामान्य वेग $V$ से गति करती हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$m \cdot v + m \cdot 0 = (m + m) \cdot V$
$m \sqrt{2gh} = 2m \cdot V$
$V = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{2gh}{4}}$
माना संयुक्त निकाय नई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h'$ तक ऊपर उठता है। संयुक्त निकाय के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} (2m) V^2 = (2m) g h'$
$V^2 = 2g h'$
$V^2 = \frac{2gh}{4}$ का मान रखने पर:
$\frac{2gh}{4} = 2g h'$
$h' = \frac{h}{4}$

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m v \hat{i} + m v \hat{j}$ है।
टक्कर के बाद,कण एक साथ जुड़कर $2m$ द्रव्यमान बनाते हैं जो $\vec{v}'$ वेग से गति करते हैं।
संवेग संरक्षण के अनुसार: $m v \hat{i} + m v \hat{j} = (2m) \vec{v}'$.
$2m$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{v}' = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
वेग का परिमाण $v' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
इसकी दिशा $\hat{i}$ और $\hat{j}$ के परिणामी सदिश की दिशा में,अर्थात उत्तर-पूर्व दिशा में होगी।

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_1 = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है और उसका वेग $v_1 = 10^8 \ m/s$ है।
मान लीजिए ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m_2 = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ है,जो प्रारंभ में स्थिर है $(v_2 = 0)$।
मान लीजिए संयुक्त निकाय का द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है और उसका अंतिम वेग $v$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(1.67 \times 10^{-27}) \times 10^8 + (3.34 \times 10^{-27}) \times 0 = (1.67 \times 10^{-27} + 3.34 \times 10^{-27})v$
$1.67 \times 10^{-19} = (5.01 \times 10^{-27})v$
$v = \frac{1.67 \times 10^{-19}}{5.01 \times 10^{-27}}$
$v = 0.333 \times 10^8 \ m/s = 3.33 \times 10^7 \ m/s$.

(B) यहाँ,$m_1 = 2 \ kg$,$u_1 = 36 \ km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$m_2 = 3 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$.
$(2)(10) + (3)(0) = (2 + 3)v \implies 20 = 5v \implies v = 4 \ m/s$.
टक्कर से पहले की गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \ J$.
टक्कर के बाद की गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \ J$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = 100 \ J - 40 \ J = 60 \ J$.

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta K = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$.
दिया गया है: $m_1 = 40 \ kg$,$u_1 = 4 \ m/s$,$m_2 = 60 \ kg$,$u_2 = 2 \ m/s$.
मान रखने पर: $\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{40 \times 60}{40 + 60} \times (4 - 2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{2400}{100} \times (2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$.
$\Delta K = 12 \times 4 = 48 \ J$.

(A) मान लीजिए कि दोनों कारों का द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ है। वे अपने पथों के बीच $\theta$ कोण पर टकराती हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संयुक्त गति की दिशा में संवेग का घटक संरक्षित रहना चाहिए।
परिणामी गति की दिशा में प्रत्येक कार का प्रारंभिक संवेग $mv \cos(\theta/2)$ है।
चूंकि दो कारें हैं,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $P_i = mv \cos(\theta/2) + mv \cos(\theta/2) = 2mv \cos(\theta/2)$ होगा।
टक्कर के बाद,दोनों कारें आपस में जुड़ जाती हैं और एक सामान्य वेग $V$ से चलती हैं। कुल द्रव्यमान $2m$ है।
अंतिम संवेग $P_f = (2m)V$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $2mV = 2mv \cos(\theta/2)$।
अतः,अंतिम वेग $V = v \cos(\theta/2)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$u_1 = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$m_2 = 3 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा में हानि का सूत्र है:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 3}{2 + 3} \right) (10 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} \times 100$
$\Delta K = 0.6 \times 100 = 60 \ J$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$
दिया गया है: $m_1 = 20 \ kg$,$u_1 = 10 \ m/s$,$m_2 = 5 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
मान रखने पर:
$20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5)V$
$200 = 25V$
$V = \frac{200}{25} = 8 \ m/s$
निकाय की संयुक्त गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2$
$K = \frac{1}{2}(20 + 5) \times (8)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 25 \times 64$
$K = 25 \times 32 = 800 \ J$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग उसके अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
पूर्व दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_x = mv$.
उत्तर दिशा में प्रारंभिक संवेग: $P_y = mv$.
कुल प्रारंभिक संवेग का परिमाण $P_i = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2}mv$ है।
$2m$ द्रव्यमान वाले संयुक्त पिंड का $V$ वेग के साथ अंतिम संवेग $P_f = 2mV$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $\sqrt{2}mv = 2mV$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V = \frac{\sqrt{2}mv}{2m} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद निकाय का संयुक्त वेग $V$ है।
प्रारंभिक संवेग = $m \times v + 2m \times 0 = mv$.
अंतिम संवेग = $(m + 2m) \times V = 3mV$.
दोनों को बराबर करने पर: $mv = 3mV$.
अतः,$V = \frac{v}{3}$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि ब्लॉक-गोली निकाय का अंतिम वेग $V$ है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = (गोली का द्रव्यमान $\times$ गोली का वेग) + (ब्लॉक का द्रव्यमान $\times$ ब्लॉक का वेग) = $a \times b + c \times 0 = ab$.
निकाय का अंतिम संवेग = (गोली का द्रव्यमान + ब्लॉक का द्रव्यमान) $\times$ अंतिम वेग = $(a + c)V$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $ab = (a + c)V$.
अतः,ब्लॉक का वेग $V = \frac{ab}{a + c}$ है।

(D) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 = (m_1 + m_2)\vec{V}$
दिया गया है:
$m_1 = 1 \ g, \vec{u}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} \ m/s$
$m_2 = 2 \ g, \vec{u}_2 = 4\hat{j} - 6\hat{k} \ m/s$
मान रखने पर:
$\vec{V} = \frac{m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2}{m_1 + m_2} = \frac{1(3\hat{i} - 2\hat{j}) + 2(4\hat{j} - 6\hat{k})}{1 + 2}$
$\vec{V} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{j} - 12\hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}}{3}$
$\vec{V} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} \ m/s$
संयुक्त वेग का परिमाण:
$|\vec{V}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \approx 4.58 \ m/s \approx 4.6 \ m/s$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली का प्रारंभिक संवेग संयुक्त निकाय के अंतिम संवेग के बराबर होता है:
$mv = (m + M)V$
जहाँ $V$ संयुक्त निकाय का अंतिम वेग है।
$V = \frac{mv}{m + M}$
संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार दी जाती है:
$K = \frac{1}{2}(m + M)V^2$
$V$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(m + M)^2}$
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$
$K = \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \left( \frac{m}{m + M} \right)$