Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Hindi

(C) किया गया कार्य रेखा समाकल $W = \int \overrightarrow F \cdot d\overrightarrow r = \int (-K(y\hat i + x\hat j)) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = -K \int (y\,dx + x\,dy) = -K \int d(xy)$ द्वारा दिया जाता है।
पथ $1$: $(0, 0)$ से $(a, 0)$ तक। यहाँ $y = 0$,इसलिए $dy = 0$। किया गया कार्य $W_1 = -K \int_0^a (0) dx = 0$।
पथ $2$: $(a, 0)$ से $(a, a)$ तक। यहाँ $x = a$,इसलिए $dx = 0$। किया गया कार्य $W_2 = -K \int_0^a (a) dy = -K[ay]_0^a = -Ka^2$।
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 0 + (-Ka^2) = -Ka^2$।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
$\Delta K = W$
$\frac{1}{2}m(v^2 - u^2) = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$
यहाँ $m = 8\,kg$,$u = 0\,m/s$,$F = 3x$,$x_1 = 2\,m$,और $x_2 = 10\,m$ दिया गया है।
$\frac{1}{2} \times 8 \times (v^2 - 0^2) = \int_{2}^{10} 3x \, dx$
$4v^2 = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{10}$
$4v^2 = \frac{3}{2} [10^2 - 2^2]$
$4v^2 = \frac{3}{2} [100 - 4] = \frac{3}{2} \times 96 = 3 \times 48 = 144$
$v^2 = \frac{144}{4} = 36$
$v = 6\,m/s$.

(B) एक परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{0}^{x_1} F \cdot dx$
दिए गए बल $F = Cx$ को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \int_{0}^{x_1} Cx \, dx$
चूंकि $C$ एक स्थिरांक है,इसे समाकलन से बाहर निकाला जा सकता है:
$W = C \int_{0}^{x_1} x \, dx$
समाकलन के घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$W = C \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$W = C \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2}Cx_1^2$

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 5$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(D) दिया गया विस्थापन $S = \frac{t^3}{3}$ है।
वेग $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right) = t^2\, m/s$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t\, m/s^2$.
बल $F = ma = 3 \times 2t = 6t\, N$.
किया गया कार्य $W = \int F\, dS = \int_0^2 F \left(\frac{dS}{dt}\right) dt = \int_0^2 (6t)(t^2) dt$.
$W = \int_0^2 6t^3 dt = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^2 = \frac{6}{4} [16 - 0] = 1.5 \times 16 = 24\, J$.

(A) मंदन $a$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है,इसलिए $a = -kx$ जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma = -mkx$ है।
इस विस्थापन $x$ के लिए इस बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int_0^x F \, dx = \int_0^x (-mkx) \, dx = -\frac{1}{2}mkx^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = W$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $-\Delta K = -W = \frac{1}{2}mkx^2$ है।
चूंकि $m$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा में हानि $x^2$ के समानुपाती है।

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-स्थिति $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 1 \, cm$ से $x = 5 \, cm$ तक किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए,हम इन सीमाओं के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्रफल निकालते हैं:
$1$. $x = 1 \, cm$ से $x = 2 \, cm$ तक: बल $10 \, dyne$ है। क्षेत्रफल = $10 \times (2 - 1) = 10 \, erg$.
$2$. $x = 2 \, cm$ से $x = 3 \, cm$ तक: बल $20 \, dyne$ है। क्षेत्रफल = $20 \times (3 - 2) = 20 \, erg$.
$3$. $x = 3 \, cm$ से $x = 4 \, cm$ तक: बल $-20 \, dyne$ है। क्षेत्रफल = $-20 \times (4 - 3) = -20 \, erg$.
$4$. $x = 4 \, cm$ से $x = 5 \, cm$ तक: बल $10 \, dyne$ है। क्षेत्रफल = $10 \times (5 - 4) = 10 \, erg$.
कुल कार्य $W = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \, erg$।

(C) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 0$ से $x = 35\,m$ तक किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 10$ तक के त्रिभुज,$x = 10$ से $x = 30$ तक के आयत और $x = 30$ से $x = 35$ तक के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
$1$. $x = 0$ से $x = 10$ तक का क्षेत्रफल: यह $10\,m$ आधार और $10\,N$ ऊँचाई वाला एक त्रिभुज है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\,J$.
$2$. $x = 10$ से $x = 30$ तक का क्षेत्रफल: यह $(30 - 10) = 20\,m$ चौड़ाई और $10\,N$ ऊँचाई वाला एक आयत है। क्षेत्रफल $= 20 \times 10 = 200\,J$.
$3$. $x = 30$ से $x = 35$ तक का क्षेत्रफल: यह $10\,N$ और $5\,N$ समांतर भुजाओं और $(35 - 30) = 5\,m$ ऊँचाई वाला एक समलंब चतुर्भुज है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (10 + 5) \times 5 = \frac{1}{2} \times 15 \times 5 = 37.5\,J$.
कुल कार्य $= 50 + 200 + 37.5 = 287.5\,J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। वैकल्पिक रूप से,किया गया कार्य $W = \int F \, dx = \int m a \, dx = m \int a \, dx$ है।
यहाँ,$m = 10 \, kg$ है। समाकलन $\int a \, dx$ त्वरण-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है।
ग्राफ एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 8 \, cm = 8 \times 10^{-2} \, m$ और ऊँचाई $h = 20 \, cm/s^2 = 0.2 \, m/s^2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-2} \, m) \times (0.2 \, m/s^2) = 0.8 \times 10^{-2} \, m^2/s^2$.
किया गया कार्य $W = m \times \text{क्षेत्रफल} = 10 \, kg \times (0.8 \times 10^{-2} \, m^2/s^2) = 8 \times 10^{-2} \, J$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कुल कार्य अधिकतम ऊँचाई पर कार की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य = $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 11 \, m \times 100 \, N = 550 \, J$.
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $mgh = 5 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times h$.
दोनों को बराबर करने पर: $550 = 50 \times h$.
अतः,$h = 11 \, m$.

(D) पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ इस प्रकार है:
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (2)^2 = 50\, J$
प्रतिरोधी बल के विरुद्ध किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4\, m \times 20\, N = 40\, J$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$:
$K_f = K_i - W_{\text{resistive}}$
$K_f = 50\, J - 40\, J = 10\, J$

(D) बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल = $4 \, m$ और $12 \, m$ समानांतर भुजाओं और $10 \, N$ ऊँचाई वाले समलंब (trapezium) का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (12 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 16 \times 10 = 80 \, J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$.
$80 = \frac{1}{2} m v^2$
$80 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$
$v^2 = \frac{80 \times 2}{0.1} = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40 \, m/s$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-X)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$X = 0.5 \, m$ और $X = 2.5 \, m$ के बीच किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए,हम इन दो बिंदुओं के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्रफल निकालते हैं।
$X = 0.5 \, m$ पर,बल $F \approx 10 \, N$ है।
$X = 2.5 \, m$ पर,बल $F \approx 4 \, N$ है।
वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को समलंब (trapezium) के रूप में अनुमानित करने पर:
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} \times (F_1 + F_2) \times (X_2 - X_1)$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} \times (10 + 4) \times (2.5 - 0.5)$
क्षेत्रफल $\approx \frac{1}{2} \times 14 \times 2 = 14 \, J$.
चूंकि वक्र ऊपर की ओर अवतल (concave) है,इसलिए वक्र के नीचे का वास्तविक क्षेत्रफल दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा द्वारा बने समलंब के क्षेत्रफल से थोड़ा अधिक होगा।
अतः,किया गया कार्य लगभग $16 \, J$ है।

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $3\,m$ ($x=0$ से $x=3$ तक) और $6\,m$ ($x=0$ से $x=6$ तक) हैं,और ऊँचाई $3\,N$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल की गणना एक आयत ($x=0$ से $x=3$ तक) और एक त्रिभुज ($x=3$ से $x=6$ तक) के योग के रूप में की जा सकती है।
आयत का क्षेत्रफल = $3\,m \times 3\,N = 9\,J$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (6-3)\,m \times 3\,N = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\,J$.
कुल किया गया कार्य = $9\,J + 4.5\,J = 13.5\,J$.

(D) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $0 < x < a$ क्षेत्र के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ का मान $x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। अतः,ढाल $\frac{dU}{dx}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,$F = -(\text{धनात्मक स्थिरांक})$ एक ऋणात्मक स्थिरांक प्राप्त होता है।
$2$. $x > a$ क्षेत्र के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ स्थिर है। अतः,ढाल $\frac{dU}{dx} = 0$ है। परिणामस्वरूप,$F = 0$ प्राप्त होता है।
$3$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $0 < x < a$ के लिए एक स्थिर ऋणात्मक बल और $x > a$ के लिए शून्य बल दर्शाता है,वह ग्राफ $D$ है।

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
किया गया कार्य $(W)$ = $x=1$ से $x=2$ तक के आयत का क्षेत्रफल + $x=2$ से $x=3$ तक के आयत का क्षेत्रफल + $x=3$ से $x=4$ तक के आयत का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल $1$ ($x=1$ से $2$): $F = 10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. क्षेत्रफल = $10 \times 1 = 10 \; J$.
क्षेत्रफल $2$ ($x=2$ से $3$): $F = -10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. क्षेत्रफल = $-10 \times 1 = -10 \; J$.
क्षेत्रफल $3$ ($x=3$ से $4$): $F = 10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. क्षेत्रफल = $10 \times 1 = 10 \; J$.
कुल कार्य = $10 + (-10) + 10 = 10 \; J$.

(B) किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हमें $x = 0 \text{ m}$ से $x = 5 \text{ m}$ तक का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।
$1$. $x = 0$ से $x = 1$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5 \text{ J}$.
$2$. $x = 1$ से $x = 2$ तक का क्षेत्रफल (आयत): $1 \times 10 = 10 \text{ J}$.
$3$. $x = 2$ से $x = 3$ तक का क्षेत्रफल (आयत,$x$-अक्ष के नीचे): $1 \times (-5) = -5 \text{ J}$.
$4$. $x = 3$ से $x = 4$ तक का क्षेत्रफल: $0 \text{ J}$.
$5$. $x = 4$ से $x = 5$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = 5 + 10 - 5 + 0 + 5 = 15 \text{ J}$.

(B) बल नियतांक $K$ को बल-विस्थापन ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F = Kx$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा विस्थापन अक्ष ($X$-अक्ष) के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा का ढाल $m = \tan(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि बल विस्थापन के साथ घट रहा है,बल नियतांक का परिमाण ढाल के मान द्वारा निर्धारित होता है: $K = |\tan(30^{\circ})|$।
$K = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(B) किसी कण पर कार्य करने वाले परिवर्ती बल $F$ द्वारा $x_i$ से $x_f$ तक विस्थापन में किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$.
दिया गया बल $F = Cx$ है और सीमाएँ $x_i = 0$ से $x_f = x_1$ हैं,इसलिए हम इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$W = \int_{0}^{x_1} Cx \, dx$.
चूंकि $C$ एक स्थिरांक है,हम इसे समाकलन से बाहर ले सकते हैं:
$W = C \int_{0}^{x_1} x \, dx$.
$x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन $\frac{x^2}{2}$ होता है।
सीमाओं को लागू करने पर:
$W = C \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1} = C \left( \frac{{x_1}^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2} C{x_1}^2$.
अतः,किया गया कार्य $\frac{1}{2} C{x_1}^2$ है।

(A) बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हमें $x = 1 \; cm$ से $x = 5 \; cm$ तक ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना करनी है।
$1$. $x = 1$ से $x = 2$ तक,बल $10 \; dynes$ है। क्षेत्रफल $A_1 = 10 \times (2 - 1) = 10 \; erg$.
$2$. $x = 2$ से $x = 3$ तक,बल $20 \; dynes$ है। क्षेत्रफल $A_2 = 20 \times (3 - 2) = 20 \; erg$.
$3$. $x = 3$ से $x = 4$ तक,बल $-20 \; dynes$ है। क्षेत्रफल $A_3 = -20 \times (4 - 3) = -20 \; erg$.
$4$. $x = 4$ से $x = 5$ तक,बल $10 \; dynes$ है। क्षेत्रफल $A_4 = 10 \times (5 - 4) = 10 \; erg$.
कुल कार्य $W = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \; erg$.

(D) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \ dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ और $x_2 = 5 \ m$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \ dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_0^5$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (0 - 0 + 0)$
$W = 35 - 25 + 125$
$W = 135 \ J$.

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 1 \ m$ से $x = 5 \ m$ के अंतराल के लिए,हम वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 1 \ m$ से $x = 2 \ m$ तक: बल $F = 10 \ N$ स्थिर है। क्षेत्रफल $= (2 - 1) \times 10 = 10 \ J$.
$2$. $x = 2 \ m$ से $x = 3 \ m$ तक: बल $F = 5 \ N$ स्थिर है। क्षेत्रफल $= (3 - 2) \times 5 = 5 \ J$.
$3$. $x = 3 \ m$ से $x = 4 \ m$ तक: बल $F = -5 \ N$ स्थिर है। क्षेत्रफल $= (4 - 3) \times (-5) = -5 \ J$.
$4$. $x = 4 \ m$ से $x = 5 \ m$ तक: बल $0 \ N$ से $10 \ N$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (5 - 4) \times 10 = 5 \ J$.
कुल कार्य $= 10 + 5 - 5 + 5 = 15 \ J$.

(B) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = cx$,$x_i = 0$ और $x_f = x_1$ दिया गया है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$W = \int_{0}^{x_1} cx \, dx$
$W = c \int_{0}^{x_1} x \, dx$
$W = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = c \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = \frac{1}{2} cx_1^2$

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F_x = -6x^3$,$x_i = 4 \ m$,और $x_f = -2 \ m$ है।
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -\frac{6}{4} [(-2)^4 - (4)^4]$
$W = -1.5 [16 - 256]$
$W = -1.5 [-240]$
$W = 360 \ J$.

(B) कण के संतुलन में होने के लिए,कुल बल $F$ शून्य होना चाहिए। ग्राफ से,$x = x_1$ और $x = x_2$ दोनों पर $F = 0$ है।
स्थिर संतुलन के लिए,यदि कण को संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो बल को ऐसी दिशा में कार्य करना चाहिए जो कण को वापस संतुलन स्थिति में लाए (प्रत्यानयन बल)।
$x = x_1$ पर,यदि कण को थोड़ा दाईं ओर $(x > x_1)$ विस्थापित किया जाता है,तो बल $F$ धनात्मक हो जाता है,जो इसे $x_1$ से दूर धकेलता है। अतः,$x_1$ एक अस्थिर संतुलन बिंदु है।
$x = x_2$ पर,यदि कण को थोड़ा दाईं ओर $(x > x_2)$ विस्थापित किया जाता है,तो बल $F$ ऋणात्मक हो जाता है (प्रत्यानयन बल),जो इसे वापस $x_2$ की ओर धकेलता है। यदि इसे थोड़ा बाईं ओर $(x < x_2)$ विस्थापित किया जाता है,तो बल $F$ धनात्मक हो जाता है (प्रत्यानयन बल),जो इसे वापस $x_2$ की ओर धकेलता है। इसलिए,$x = x_2$ एक स्थिर संतुलन बिंदु है।

(C) जंजीर की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
प्रारंभ में,लटकते हुए भाग की लंबाई $l_0 = \frac{L}{3}$ है। इस लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda l_0 = \frac{M}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ है।
जब जंजीर का $x$ भाग अभी भी लटक रहा हो,तो लटकते हुए भाग की लंबाई $(\frac{L}{3} - x)$ होगी।
इस लटकते हुए भाग का भार $F(x) = \lambda (\frac{L}{3} - x)g = \frac{M}{L}(\frac{L}{3} - x)g$ है।
जंजीर को वापस मेज पर खींचने के लिए,हमें इस भार के बराबर बल लगाना होगा।
किया गया कार्य $W$,$x = 0$ से $x = L/3$ तक विस्थापन के लिए बल का समाकलन है:
$W = \int_{0}^{L/3} \frac{M}{L}(\frac{L}{3} - x)g \, dx$
$W = \frac{Mg}{L} [\frac{L}{3}x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{L/3}$
$W = \frac{Mg}{L} [\frac{L^2}{9} - \frac{L^2}{18}] = \frac{Mg}{L} [\frac{L^2}{18}] = \frac{MgL}{18}$.

(D) दिया गया विस्थापन $s = \frac{t^3}{3}$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2 \ m/s$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \ m/s^2$.
बल $F = ma = 3 \times 2t = 6t \ N$.
किया गया कार्य $W = \int F \cdot ds$.
चूंकि $ds = v \cdot dt = t^2 \ dt$,इसलिए:
$W = \int_{0}^{2} (6t) \cdot (t^2 \ dt) = \int_{0}^{2} 6t^3 \ dt$.
$W = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{6}{4} [2^4 - 0^4] = \frac{3}{2} \times 16 = 24 \ J$.

(B) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0$ और $x_2 = 10 \ m$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{10} (3x^2 - 2x + 7) dx$
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{10}$
$W = (10^3 - 10^2 + 7(10)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = 1000 - 100 + 70$
$W = 970 \ J$.

(D) बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल $= \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (12 + (8 - 4)) \times 10 = \frac{1}{2} \times (12 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 16 \times 10 = 80 \ J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$.
$80 = \frac{1}{2} m v^2$.
$80 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$.
$160 = 0.1 \times v^2$.
$v^2 = 1600$.
$v = 40 \ m/s$.

(A) कुल कार्य निर्धारित करने के लिए,हम सूक्ष्म विस्थापन $dx$ के लिए सूक्ष्म कार्य $dW$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$dW = F \cdot dx = F dx \cos \theta$
चूंकि बल विस्थापन की दिशा में है,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ है।
$dW = F dx = (10 + 0.5x) dx$
अब,कुल कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = 2$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$W = \int_{0}^{2} (10 + 0.5x) dx$
$W = [10x + 0.5 \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$W = [10x + 0.25x^2]_{0}^{2}$
$W = (10(2) + 0.25(2)^2) - (10(0) + 0.25(0)^2)$
$W = 20 + 0.25(4) = 20 + 1 = 21 \text{ इकाई}$.

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \ J$।
प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40 \ J$।
चूंकि बल प्रतिरोधी है,इसलिए कार्य ऋणात्मक होगा: $W = -40 \ J$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$K_f - K_i = W$।
$K_f = K_i + W = 100 - 40 = 60 \ J$।

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 1 \ cm$ से $x = 5 \ cm$ के अंतराल के लिए:
$1$. $x = 1 \ cm$ से $x = 2 \ cm$ तक,बल $F = 10 \ dyne$ है। क्षेत्रफल = $1 \ cm \times 10 \ dyne = 10 \ erg$.
$2$. $x = 2 \ cm$ से $x = 3 \ cm$ तक,बल $F = 20 \ dyne$ है। क्षेत्रफल = $1 \ cm \times 20 \ dyne = 20 \ erg$.
$3$. $x = 3 \ cm$ से $x = 4 \ cm$ तक,बल $F = -20 \ dyne$ है। क्षेत्रफल = $1 \ cm \times (-20 \ dyne) = -20 \ erg$.
$4$. $x = 4 \ cm$ से $x = 5 \ cm$ तक,बल $F = 10 \ dyne$ है। क्षेत्रफल = $1 \ cm \times 10 \ dyne = 10 \ erg$.
कुल कार्य = $10 + 20 - 20 + 10 = 20 \ erg$.

(D) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$ समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ और $x_2 = 5 \, m$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$
$W = (35 - 25 + 125) - 0$
$W = 135 \, J$.

(A) किया गया कार्य $W$,बल का विस्थापन के सापेक्ष समाकलन है: $W = \int F \, dx = \int m \cdot a \, dx = m \int a \, dx$.
यहाँ,$\int a \, dx$ त्वरण-विस्थापन ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दर्शाता है।
ग्राफ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $= 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$ और ऊंचाई $= 20 \ cm/s^2 = 20 \times 10^{-2} \ m/s^2$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-2} \ m) \times (20 \times 10^{-2} \ m/s^2) = 80 \times 10^{-4} \ m^2/s^2 = 8 \times 10^{-3} \ m^2/s^2$.
अब,$W = m \times \text{क्षेत्रफल} = 10 \ kg \times (8 \times 10^{-3} \ m^2/s^2) = 80 \times 10^{-3} \ J = 8 \times 10^{-2} \ J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 1 \; cm$ से $x = 5 \; cm$ के अंतराल के लिए:
$1$. $x = 1$ से $x = 2$ तक,क्षेत्रफल $10 \; dyne$ ऊँचाई और $1 \; cm$ चौड़ाई वाला एक आयत है: $Area_1 = 10 \times 1 = 10 \; erg$.
$2$. $x = 2$ से $x = 3$ तक,क्षेत्रफल $20 \; dyne$ ऊँचाई और $1 \; cm$ चौड़ाई वाला एक आयत है: $Area_2 = 20 \times 1 = 20 \; erg$.
$3$. $x = 3$ से $x = 4$ तक,क्षेत्रफल x-अक्ष के नीचे $-20 \; dyne$ ऊँचाई और $1 \; cm$ चौड़ाई वाला एक आयत है: $Area_3 = -20 \times 1 = -20 \; erg$.
$4$. $x = 4$ से $x = 5$ तक,क्षेत्रफल $10 \; dyne$ ऊँचाई और $1 \; cm$ चौड़ाई वाला एक आयत है: $Area_4 = 10 \times 1 = 10 \; erg$.
कुल कार्य $W = Area_1 + Area_2 + Area_3 + Area_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \; erg$.

(A) $x = 0$ पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i$ इस प्रकार है:
$K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (2)^2 = 50 \ J$.
प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य $W$,$F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि बल प्रतिरोधी है,यह विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए कार्य ऋणात्मक होगा:
$W = -(\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}) = -\left( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} \right) = -\left( \frac{1}{2} \times 4 \times 20 \right) = -40 \ J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$x = 4 \ m$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$:
$K_f = K_i + W = 50 \ J + (-40 \ J) = 10 \ J$.

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-d)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ में $d = 3\, m$ से $d = 7\, m$ तक एक आयत और $d = 7\, m$ से $d = 12\, m$ तक एक त्रिभुज बनता है।
आयत का क्षेत्रफल = $\text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = (7 - 3) \times 2 = 4 \times 2 = 8\, J$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (12 - 7) \times 2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\, J$.
कुल कार्य = $\text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = 8 + 5 = 13\, J$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,प्रारंभिक वेग $v_i = 10 \, m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \, J$.
मंदक बल $F = -0.1 \, x \, N$ है।
मंदक बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{20}^{30} (-0.1 \, x) \, dx$.
$W = -0.1 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{20}^{30} = -0.1 \times \frac{1}{2} (30^2 - 20^2) = -0.05 \times (900 - 400) = -0.05 \times 500 = -25 \, J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = K_f - K_i$.
$K_f = W + K_i = -25 \, J + 500 \, J = 475 \, J$.

(C) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा-विस्थापन वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का विस्थापन $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dE}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}m \times 2v \times \frac{dv}{dx} = mv \frac{dv}{dx}$।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = a \times \frac{1}{v}$,जहाँ $a$ त्वरण है।
इस मान को ढाल के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dE}{dx} = mv \times (\frac{a}{v}) = ma$।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए ढाल $\frac{dE}{dx}$ त्वरण $a$ के समानुपाती है (विशेष रूप से,यह कण पर कार्य करने वाले बल $F = ma$ के बराबर है)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया बल $F = x^3 - 3x \ N$ और द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम से,$F = ma$,इसलिए $a = F/m = (x^3 - 3x) / 1 = x^3 - 3x$.
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$v \frac{dv}{dx} = x^3 - 3x$.
दोनों पक्षों का $x = 1$ से $x = 3$ तक और वेग का $u = 0$ से $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{v} v \, dv = \int_{1}^{3} (x^3 - 3x) \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$.
$\frac{v^2}{2} = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3(3^2)}{2} \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3(1^2)}{2} \right)$.
$\frac{v^2}{2} = \left( \frac{81}{4} - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right)$.
$\frac{v^2}{2} = (20.25 - 13.5) - (0.25 - 1.5) = 6.75 - (-1.25) = 8$.
$v^2 = 16$,जिससे $v = 4 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(C) बल $\vec F$ द्वारा किया गया कार्य रेखा समाकल $W = \int \vec F \cdot d\vec r$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec F = k(y\hat i + x\hat j)$ और $d\vec r = dx\hat i + dy\hat j$,अतः कार्य $W = \int k(y\hat i + x\hat j) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = k \int (y\,dx + x\,dy)$ होगा।
ध्यान दें कि $y\,dx + x\,dy = d(xy)$ होता है।
इसलिए,$W = k \int_{(3,5)}^{(5,7)} d(xy) = k [xy]_{(3,5)}^{(5,7)}$.
सीमाओं को रखने पर: $W = k [(5 \times 7) - (3 \times 5)] = k [35 - 15] = 20k$.
अतः,किया गया कार्य $20k$ है।

(B) पर्यवेक्षक $A$ (जमीन के फ्रेम) के लिए,ब्लॉक स्थिर होने तक $x$ दूरी तय करता है।
स्प्रिंग द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल $F = -kx$ है (गति की विपरीत दिशा में)।
स्प्रिंग बल द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य $W = \int_{0}^{x} (-kx) dx = -\frac{1}{2}kx^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
चूंकि सतह चिकनी है और कोई अन्य क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए स्प्रिंग की सामान्य प्रतिक्रिया $N$ द्वारा किया गया कार्य ही ब्लॉक पर किया गया एकमात्र कार्य है।
अतः,सामान्य प्रतिक्रिया $N$ द्वारा किया गया कार्य $-\frac{1}{2}mv_0^2$ है।

(B) रबर बैंड को सूक्ष्म दूरी $dx$ तक खींचने में किया गया कार्य $dW = F dx$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बल $F = ax + bx^2$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dW = (ax + bx^2) dx$ प्राप्त होता है।
रबर बैंड को $0$ से $L$ तक खींचने में किए गए कुल कार्य $W$ को ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का समाकलन करेंगे:
$W = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) dx$
$W = \int_{0}^{L} ax dx + \int_{0}^{L} bx^2 dx$
$W = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} + b \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{L}$
$W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3}$

(A) दिया गया है: बल $F = 6t$,द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$।
$6t = 1 \cdot \frac{dv}{dt} \implies dv = 6t \, dt$।
$t = 0$ से $t = 1 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$v = \int_{0}^{1} 6t \, dt = 6 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = 3 \ m/s$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$।
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times (3^2 - 0^2) = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \ J$।

(A) घर्षण बल $F = k x^n$ द्वारा दिया गया है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,मंदन $a = -\frac{F}{m} = -\frac{k x^n}{m}$ है।
संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करते हुए,हमें $v \frac{dv}{dx} = -\frac{k x^n}{m}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का उनके चरों के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{0} v \, dv = -\int_{0}^{x} \frac{k}{m} x^n \, dx$.
समाकलन का मान प्राप्त करने पर:
$[-\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\frac{k}{m} [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{0}^{x}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\frac{k}{m} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{k x^{n+1}}{m(n+1)}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^{n+1} = \frac{m v_0^2 (n+1)}{2k}$.
$x = [\frac{m v_0^2 (n+1)}{2k}]^{1/(n+1)}$.

(B) ग्राफ से, मूल बिंदु $(x=0)$ पर स्थितिज ऊर्जा $V = 0 \ J$ है।
अनंत तक पलायन करने के लिए, कण को किसी भी तरफ के स्थितिज ऊर्जा अवरोध को पार करना होगा।
बाईं ओर स्थितिज ऊर्जा अवरोध का शिखर $x = -1 \ m$ पर $V_{left} = 1 \ J$ है।
दाईं ओर स्थितिज ऊर्जा अवरोध का शिखर $x = 3 \ m$ पर $V_{right} = 4 \ J$ है।
पलायन करने के लिए, कण के पास कम से कम अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होनी चाहिए।
इसलिए, आवश्यक न्यूनतम गतिज ऊर्जा $K_{min} = V_{left} = 1 \ J$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 1$
$0.25 \times v^2 = 1$
$v^2 = 4$
$v = 2 \ ms^{-1}$.

(C) पावर को $P = \frac{dw}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,किया गया कार्य $w$,समय के सापेक्ष पावर के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $w = \int P \, dt$.
इसका अर्थ है कि बल द्वारा किया गया कार्य $P-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि पावर $P$ हमेशा धनात्मक है (जैसा कि ग्राफ में $t$-अक्ष के ऊपर दिखाया गया है),जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल लगातार बढ़ता जाता है।
इसलिए,समय $t = 0$ से $t_2$ तक आगे बढ़ने पर किया गया कार्य $w$ हमेशा बढ़ता रहेगा।

(D) स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक संरक्षी बल द्वारा किए गए कार्य $W_c$ से $\Delta U = -W_c$ के रूप में संबंधित है।
चूंकि $W_c = \int_{0}^{x_1} F(x) dx$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -\int_{0}^{x_1} F(x) dx$ है।
इसका मतलब है कि $\Delta U$,$F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल का ऋणात्मक मान है।
ग्राफ $1$ के लिए,बल धनात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल धनात्मक है,और $\Delta U_1 = -(\frac{1}{2} F_1 x_1) = -0.5 F_1 x_1$ है।
ग्राफ $2$ के लिए,बल धनात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल धनात्मक है,और $\Delta U_2 = -(F_1 x_1) = -1.0 F_1 x_1$ है।
ग्राफ $3$ के लिए,बल ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल ऋणात्मक है,और $\Delta U_3 = -(-\frac{1}{2} F_1 x_1) = +0.5 F_1 x_1$ है।
मानों की तुलना करने पर: $-1.0 F_1 x_1 < -0.5 F_1 x_1 < +0.5 F_1 x_1$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे कम से सबसे अधिक का क्रम $2, 1, 3$ है।

(D) दी गई स्थिति: $x = 3t - 4t^2 + t^3$
वेग $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -8 + 6t$
द्रव्यमान $m = 3.0 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$
किया गया कार्य $W = \int F dx = \int m a v dt = \int_{0}^{4} m a v dt$
$W = \int_{0}^{4} (3 \times 10^{-3}) (-8 + 6t) (3 - 8t + 3t^2) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} \int_{0}^{4} (-24 + 64t - 24t^2 + 18t - 48t^2 + 18t^3) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} \int_{0}^{4} (18t^3 - 72t^2 + 82t - 24) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} [\frac{18t^4}{4} - \frac{72t^3}{3} + \frac{82t^2}{2} - 24t]_{0}^{4}$
$W = 3 \times 10^{-3} [4.5(256) - 24(64) + 41(16) - 24(4)]$
$W = 3 \times 10^{-3} [1152 - 1536 + 656 - 96] = 3 \times 10^{-3} [176] = 0.528 \ J = 528 \ mJ$