Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(B) रुकने की दूरी $d$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा दी जाती है,जहाँ मंदक बल $F$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$.
अतः,रुकने की दूरी $d = \frac{m v^2}{2F}$ है।
यह मानते हुए कि मंदक बल $F$ (ब्रेकिंग फोर्स) दोनों वाहनों के लिए समान है और उनके प्रारंभिक वेग $v$ समान हैं,तो रुकने की दूरी वाहन के द्रव्यमान $m$ के सीधे आनुपातिक होती है $(d \propto m)$.
चूंकि कार का द्रव्यमान ट्रक के द्रव्यमान से कम है $(m_{\text{car}} < m_{\text{truck}})$,इसलिए कार रुकने से पहले कम दूरी तय करेगी।

(A) मनके $Q$ के लिए, क्षैतिज दिशा में वेग $v$ स्थिर है, इसलिए क्षैतिज दूरी $AB$ को तय करने में लिया गया समय ${t_Q} = \frac{AB}{v}$ है。
कण $P$ के लिए, वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ वह कोण है जो वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है। जैसे-जैसे कण कटोरे में नीचे फिसलता है, गुरुत्वाकर्षण के कारण उसकी गति बढ़ती है। इसके वेग का क्षैतिज घटक $v_x$ किसी भी बिंदु पर प्रारंभिक क्षैतिज घटक $v$ से अधिक या उसके बराबर होता है क्योंकि कण सबसे निचले बिंदु $C$ की ओर बढ़ते समय त्वरित होता है और फिर मंदित होता है, लेकिन $B$ तक पहुँचने तक पूरे पथ के दौरान इसकी गति प्रारंभिक गति $v$ से अधिक रहती है। चूंकि $P$ के लिए वेग का क्षैतिज घटक गति के दौरान हमेशा $v$ से अधिक या उसके बराबर होता है, इसलिए $P$ का औसत क्षैतिज वेग $v$ से अधिक होता है। इसलिए, समान क्षैतिज दूरी $AB$ को तय करने में $P$ द्वारा लिया गया समय $Q$ द्वारा लिए गए समय से कम होता है। अतः, ${t_P} < {t_Q}$.

(D) जब ट्रॉलियों को छोड़ा जाता है,तो संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार वे समान परिमाण का लेकिन विपरीत दिशा में रैखिक संवेग $p$ प्राप्त करती हैं।
किसी भी ट्रॉली द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
यह गतिज ऊर्जा घर्षण बल $f = \mu mg$ के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा नष्ट हो जाती है।
अतः,$\mu mg S = \frac{p^2}{2m}$।
चूंकि $p$ और $\mu$ दोनों ट्रॉलियों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $S \propto \frac{1}{m^2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दूरियों का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2 = \left( \frac{3m}{m} \right)^2 = \frac{9}{1}$ होगा।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,पिंड द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा उस पर किए गए कुल कार्य के बराबर होती है।
पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल = लगाया गया बल $(F)$ - घर्षण बल $(f_k)$।
$f_k = \mu N = \mu mg = 0.2 \times 5 \times 10 = 10\,N$।
नेट बल = $25\,N - 10\,N = 15\,N$।
किया गया कार्य = नेट बल $\times$ विस्थापन $(S)$।
किया गया कार्य = $15\,N \times 10\,m = 150\,J$।
अतः,प्राप्त गतिज ऊर्जा $150\,J$ है।

(A) कुल किया गया कार्य $(W_{total})$,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $(W_g)$ और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $(W_f)$ का योग होता है।
$W_{total} = W_g + W_f$
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य सूत्र $W_g = mgh$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $W_g = 2 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times 10 \, m = 200 \, J$।
कुल कार्य $W_{total} = 300 \, J$ दिया गया है।
इसलिए,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = W_{total} - W_g$ होगा।
$W_f = 300 \, J - 200 \, J = 100 \, J$।

(D) वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ दो लंबवत बलों का सदिश योग है:
$F_{net} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, N$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{5 \, N}{10 \, kg} = 0.5 \, m/s^2$.
विराम अवस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर $t = 10 \, s$ पर वेग $v$ है:
$v = u + at = 0 + (0.5 \, m/s^2)(10 \, s) = 5 \, m/s$.
गतिज ऊर्जा $K$ का मान है:
$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 10 \, kg \times (5 \, m/s)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि गेंद दीवार से टकराती है और समान चाल $v$ के साथ वापस लौटती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ के बराबर है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गेंद द्वारा दीवार पर किया गया कार्य,दीवार द्वारा गेंद पर किए गए कार्य के ऋणात्मक के बराबर होता है।
चूंकि दीवार का द्रव्यमान अनंत है,इसलिए यह विस्थापित नहीं होती है (विस्थापन $d = 0$)।
इस प्रकार,दीवार द्वारा गेंद पर किया गया कार्य $W = F \cdot d = 0$ है।
परिणामस्वरूप,गेंद द्वारा दीवार पर किया गया कार्य भी $Zero$ है।

(C) जब एक गेंद को मीनार की चोटी से मुक्त किया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है।
$n^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
चूंकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $h_n \propto (2n - 1)$ होती है।
पहले,दूसरे और तीसरे सेकंड के लिए $(n = 1, 2, 3)$:
$h_I \propto (2(1) - 1) = 1$
$h_{II} \propto (2(2) - 1) = 3$
$h_{III} \propto (2(3) - 1) = 5$
अतः,दूरियों का अनुपात $h_I : h_{II} : h_{III} = 1 : 3 : 5$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = mgh$ होता है।
चूंकि $m$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए किए गए कार्य का अनुपात तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर होगा:
$W_I : W_{II} : W_{III} = h_I : h_{II} : h_{III} = 1 : 3 : 5$.

(B) चूंकि आंतरिक विस्फोट के कारण पिंड दो समान भागों में विभाजित हो जाता है,इसलिए निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$8 \times 2 = 4v_1 + 4v_2$
$\Rightarrow v_1 + v_2 = 4$ ...$(i)$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा + मुक्त ऊर्जा = अंतिम गतिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} \times 8 \times (2)^2 + 16 = \frac{1}{2} \times 4 \times v_1^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times v_2^2$
$16 + 16 = 2v_1^2 + 2v_2^2$
$v_1^2 + v_2^2 = 16$ ...(ii)
$(i)$ से,$v_2 = 4 - v_1$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_1^2 + (4 - v_1)^2 = 16$
$v_1^2 + 16 - 8v_1 + v_1^2 = 16$
$2v_1^2 - 8v_1 = 0$
$2v_1(v_1 - 4) = 0$
अतः,$v_1 = 0$ या $v_1 = 4 \, m/s$.
यदि $v_1 = 0$,तो $v_2 = 4 \, m/s$. यदि $v_1 = 4$,तो $v_2 = 0$.
इस प्रकार,एक भाग स्थिर हो जाता है और दूसरा मूल पिंड की दिशा में गति करता है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $P$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों पिंडों के संवेग समान हैं $(P_1 = P_2 = P)$,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{m}$।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।
इस प्रकार,$E_1 : E_2$ का अनुपात $m_2 : m_1$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,ब्रेकिंग बल $F$ द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m u^2$
चूंकि ब्रेकिंग बल $F$ और कार का द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए रुकने की दूरी $s$ प्रारंभिक वेग $u$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है:
$s \propto u^2$
दिया गया है कि $u_1 = 30 \, km/h$ के लिए,रुकने की दूरी $s_1 = 8 \, m$ है।
$u_2 = 60 \, km/h$ के लिए,नई रुकने की दूरी $s_2$ इस प्रकार होगी:
$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$
$\frac{s_2}{8} = \left( \frac{60}{30} \right)^2$
$\frac{s_2}{8} = (2)^2 = 4$
$s_2 = 8 \times 4 = 32 \, m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोले का प्रारंभिक संवेग टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त निकाय (गोला + थैला) के अंतिम संवेग के बराबर होता है:
$mV = (m + M)v_{\text{sys}}$ ... $(i)$
जहाँ $v_{\text{sys}}$ टक्कर के तुरंत बाद निकाय का वेग है।
टक्कर के बाद,निकाय (गोला + थैला) ऊपर की ओर गति करता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर के तुरंत बाद निकाय की गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2}(m + M)v_{\text{sys}}^2 = (m + M)gh$
$v_{\text{sys}}^2 = 2gh$
$v_{\text{sys}} = \sqrt{2gh}$ ... (ii)
समीकरण (ii) से $v_{\text{sys}}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$mV = (m + M)\sqrt{2gh}$
$V = \left(\frac{m + M}{m}\right)\sqrt{2gh}$

(D) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है।
संवेग के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए संवेग $P$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(P \propto \sqrt{m})$।
यह दिया गया है कि पहली वस्तु हल्की है $(M_1 < M_2)$,इसलिए हल्की वस्तु का संवेग भारी वस्तु के संवेग से कम होगा।
अतः,$M_1 V_1 < M_2 V_2$ या $M_2 V_2 > M_1 V_1$।

(B) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h$ है। इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
जब गेंद जमीन पर गिरती है,तो उसकी पूरी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए $KE_{initial} = mgh$।
जमीन से टकराने पर,यह अपनी गतिज ऊर्जा का $50\%$ खो देती है।
शेष गतिज ऊर्जा $KE_{final} = 0.5 \times KE_{initial} = 0.5 mgh$ है।
जैसे ही गेंद फिर से ऊपर उठती है,यह गतिज ऊर्जा नई ऊँचाई $h'$ पर वापस स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अतः,$mgh' = 0.5 mgh$।
$h'$ के लिए हल करने पर,हमें $h' = 0.5 h$ प्राप्त होता है,जो प्रारंभिक ऊँचाई का आधा है।

(D) यदि वायु प्रतिरोध नहीं होता,तो गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ की गणना ऊर्जा संरक्षण या गति के समीकरणों का उपयोग करके की जा सकती है:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{14 \times 14}{2 \times 9.8} = \frac{196}{19.6} = 10\, m$.
हालाँकि,वायु प्रतिरोध के कारण,गेंद केवल $8.0\, m$ की ऊँचाई तक ही पहुँचती है।
वायु प्रतिरोध द्वारा क्षय हुई ऊर्जा उस स्थितिज ऊर्जा के अंतर के बराबर है जो गेंद बिना वायु प्रतिरोध के प्राप्त करती और जो उसने वास्तव में प्राप्त की:
$\text{क्षय हुई ऊर्जा} = mg(H_{ideal} - H_{actual})$
$\text{क्षय हुई ऊर्जा} = 0.5 \times 9.8 \times (10 - 8)$
$\text{क्षय हुई ऊर्जा} = 0.5 \times 9.8 \times 2 = 9.8\, J$.

(C) मशीन द्वारा दी गई ऊर्जा $E_{in} = 12 \, J$ है।
चूंकि दक्षता $75\%$ है, द्रव्यमान को उठाने में किया गया उपयोगी कार्य $(W)$ $W = 0.75 \times 12 \, J = 9 \, J$ है।
यह कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होता है: $mgh = 9 \, J$।
यहाँ $m = 1 \, kg$ और $g = 10 \, m \, s^{-2}$ लेने पर, $1 \times 10 \times h = 9$, जिससे $h = 0.9 \, m$ प्राप्त होता है।
जब यह द्रव्यमान $h$ दूरी से नीचे गिरता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{2}mv^2 = mgh$।
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.9} = \sqrt{18} \, m \, s^{-1}$।

(A) जब दो पिंड टकराते हैं,तो टक्कर सामान्यतः अप्रत्यास्थ (inelastic) होती है।
अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा नष्ट हो जाता है।
यह नष्ट हुई गतिज ऊर्जा अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है,मुख्य रूप से ऊष्मीय ऊर्जा में,जिसके कारण पिंडों के तापमान में वृद्धि होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. निकाय का प्रारंभिक संवेग (ब्लॉक $C$) $P_i = mv$ है।
$2$. $C$ और $A$ के बीच पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के बाद,ब्लॉक $C$ स्थिर हो जाता है और ब्लॉक $A$ वेग $v$ से गति करने लगता है। अब,निकाय में स्प्रिंग से जुड़े ब्लॉक $A$ और $B$ हैं,जहाँ $A$ वेग $v$ से चल रहा है और $B$ स्थिर है।
$3$. अधिकतम संपीड़न $x$ पर,दोनों ब्लॉक $A$ और $B$ समान वेग $V$ से चलते हैं। निकाय $(A+B)$ के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv = (m + m)V \implies V = \frac{v}{2}$.
$4$. निकाय $(A+B)$ के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $(A+B)$ की अंतिम गतिज ऊर्जा + स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$.
$5$. $V = \frac{v}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2$
$Kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$
$x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.

(A) दिया गया है कि संवेग $(P)$ का परिमाण और गतिज ऊर्जा $(K)$ का परिमाण बराबर हैं:
$P = K$
हम जानते हैं कि $P = mv$ और $K = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
दोनों को बराबर रखने पर:
$mv = \frac{1}{2}mv^2$
मान लीजिए कि $m \neq 0$ और $v \neq 0$,तो दोनों पक्षों को $mv$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{1}{2}v$
$v = 2 \, m/s$
अतः,पिंड का वेग $2 \, m/s$ है।

(C) चूंकि बम शुरू में स्थिर है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार टुकड़ों का कुल संवेग शून्य होना चाहिए। अतः,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान है: $p_1 = p_2 = p$.
गतिज ऊर्जा $E$,संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के साथ $E = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इसलिए,दो टुकड़ों की गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3\,g}{1\,g} = 3$.
इसका अर्थ है $E_1 = 3E_2$,जहाँ $E_1$ छोटे टुकड़े की गतिज ऊर्जा ($1\,g$ द्रव्यमान) है और $E_2$ बड़े टुकड़े की गतिज ऊर्जा ($3\,g$ द्रव्यमान) है।
कुल गतिज ऊर्जा $E_1 + E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$ दी गई है।
कुल ऊर्जा समीकरण में $E_1 = 3E_2$ रखने पर:
$3E_2 + E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$
$4E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$
$E_2 = 1.6 \times 10^4\,J$.
अब,छोटे टुकड़े की गतिज ऊर्जा $(E_1)$ की गणना करने पर:
$E_1 = 3 \times (1.6 \times 10^4\,J) = 4.8 \times 10^4\,J$.

(A) इंजन द्वारा किया गया कार्य $(W_{out})$ = $mgh = 100 \times 10 \times 10 = 10^4 \ J$.
दक्षता $(\eta)$ = $\frac{W_{out}}{W_{in}}$.
इनपुट ऊर्जा $(W_{in})$ = $\frac{W_{out}}{\eta} = \frac{10^4}{0.60} = \frac{10^4 \times 100}{60} = \frac{10^5}{6} \ J$.
इंजन की शक्ति $(P)$ = $\frac{W_{in}}{t} = \frac{10^5 / 6}{5} = \frac{10^5}{30} = \frac{100000}{30} \approx 3333.33 \ W$.
$kW$ में बदलने पर: $P = 3.33 \ kW \approx 3.3 \ kW$.

(A) दिया गया है: $m_{1} = m_{2} = m$,$u_{1} = u$,और $u_{2} = 0$।
मान लीजिए टक्कर के बाद गोलों के वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u = m v_{1} + m v_{2} \implies u = v_{1} + v_{2} \dots (i)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}} = \frac{v_{2} - v_{1}}{u - 0} \implies v_{2} - v_{1} = e u \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2 v_{2} = u(1 + e) \implies v_{2} = \frac{u(1 + e)}{2}$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर: $2 v_{1} = u(1 - e) \implies v_{1} = \frac{u(1 - e)}{2}$
वेगों का अनुपात $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{u(1 - e)}{2}}{\frac{u(1 + e)}{2}} = \frac{1 - e}{1 + e}$ होगा।

(D) दो वस्तुओं के बीच किसी भी टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
टक्कर के दौरान,गतिज ऊर्जा $(KE)$ का कुछ अंश अन्य ऊर्जा रूपों जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा में परिवर्तित हो सकता है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा आमतौर पर संरक्षित नहीं रहती है जब तक कि टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ न हो।
तापमान और वेग टक्कर में संरक्षित राशियाँ नहीं हैं।
अतः,एकमात्र राशि जो संरक्षित रहती है वह निकाय का संवेग है।

(B) जब गेंद $h_1$ ऊँचाई से ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती है,तो जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ (नीचे की ओर) होता है।
टक्कर के बाद,गेंद $h_2$ ऊँचाई तक उछलती है,इसलिए जमीन से टकराने के ठीक बाद उसका वेग $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ (ऊपर की ओर) होता है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = -\sqrt{2gh_1}$ और अंतिम वेग $\vec{v}_2 = +\sqrt{2gh_2}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ है।
मान रखने पर,$\Delta \vec{P} = m(\sqrt{2gh_2} - (-\sqrt{2gh_1})) = m(\sqrt{2gh_1} + \sqrt{2gh_2})$.

(C) संवेग संरक्षण का नियम सभी प्रकार की टक्करों के लिए सत्य है,चाहे वे प्रत्यास्थ हों या अप्रत्यास्थ,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
अप्रत्यास्थ टक्कर में,कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,लेकिन कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण जैसे अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,यह कथन कि अप्रत्यास्थ टक्कर में कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है लेकिन संवेग संरक्षित रहता है,सही है।

(A) $2 \,m$ की ऊँचाई $h$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ है।
उछलने के बाद $1.5 \,m$ की ऊँचाई $h'$ पर गेंद की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U' = mgh'$ है।
टक्कर के दौरान नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta U = U - U' = mg(h - h')$ है।
ऊर्जा के ह्रास का अंश $\frac{\Delta U}{U} = \frac{mg(h - h')}{mgh} = \frac{h - h'}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{2 - 1.5}{2} = \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) एक सामान्य टक्कर में,बाहरी बलों की अनुपस्थिति के कारण निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
हालाँकि,गतिज ऊर्जा आमतौर पर संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाती है।
टक्कर के दौरान विरूपण बलों द्वारा किए गए कार्य के कारण पिंडों की आंतरिक ऊर्जा बदल जाती है,इसलिए तापमान में भी परिवर्तन होता है।
अतः,केवल संवेग ही स्थिर रहता है।

(D) $1$. गतिमान पिंड का प्रारंभिक संवेग: $p_i = m_1 v_1 = 10 \, g \times 100 \, cm/s = 1000 \, g \cdot cm/s$।
$2$. टक्कर के बाद,दोनों द्रव्यमान आपस में चिपक जाते हैं,जिससे कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 10 \, g + 10 \, g = 20 \, g$ हो जाता है।
$3$. संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $p_i = p_f \implies 1000 = (m_1 + m_2) v_{sys} \implies 1000 = 20 \times v_{sys}$।
$4$. निकाय का वेग ज्ञात करने पर: $v_{sys} = 50 \, cm/s = 0.5 \, m/s$।
$5$. ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निकाय की गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2} M v_{sys}^2 = Mgh$।
$6$. $h$ के लिए सरल करने पर: $h = \frac{v_{sys}^2}{2g}$।
$7$. $g$ को $cm/s^2$ में बदलने पर: $g = 10 \, m/s^2 = 1000 \, cm/s^2$।
$8$. $h$ की गणना करने पर: $h = \frac{50^2}{2 \times 1000} = \frac{2500}{2000} = 1.25 \, cm$।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2$
$K_i = \frac{1}{2} \times 3 \times (32)^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times (5)^2$
$K_i = \frac{1}{2} \times 3 \times 1024 + 2 \times 25 = 1536 + 50 = 1586 \,J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2$
$K_f = \frac{1}{2} \times (3 + 4) \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times 7 \times 25 = 87.5 \,J$
गतिज ऊर्जा में हानि = $K_i - K_f = 1586 - 87.5 = 1498.5 \,J$
चूंकि $1498.5 \,J$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(B) अभिकेंद्री बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mv^2/r = K/r^2$.
इससे,गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) प्राप्त होती है: $K.E. = 1/2 mv^2 = K/(2r)$.
स्थितिज ऊर्जा ($P$.$E$.) बल का समाकलन करके ज्ञात की जाती है: $U = -\int_{\infty}^{r} F \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} (-K/r^2) \, dr = -K/r$.
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K.E. + P.E. = K/(2r) - K/r = -K/(2r)$.

(C) दिया गया समीकरण: $t = \sqrt{x} + 3$.
$x$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 3$,अतः $x = (t - 3)^2$.
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 2(t - 3)$.
$t = 0 \ s$ पर,प्रारंभिक वेग $v_1 = 2(0 - 3) = -6 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ पर,अंतिम वेग $v_2 = 2(6 - 3) = 6 \ m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)$.
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2}m(6^2 - (-6)^2) = \frac{1}{2}m(36 - 36) = 0 \ J$.

(C) माना लकड़ी द्वारा लगाया गया औसत प्रतिरोध $R$ है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ (विराम अवस्था से गिराया गया)।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ (ब्लेड $d$ गहराई पर रुक जाती है)।
चाकू पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और प्रतिरोध बल ($R$ ऊपर की ओर) हैं।
कुल विस्थापन $(h + d)$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $mg(h + d)$।
प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य = $-R \cdot d$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार: $W_{net} = \Delta K$
$mg(h + d) - R \cdot d = 0 - 0$
$mg(h + d) = R \cdot d$
$R = \frac{mg(h + d)}{d} = mg\left( \frac{h}{d} + 1 \right) = mg\left( 1 + \frac{h}{d} \right)$.

(A) मान लीजिए शेल का द्रव्यमान $M$ है। जब इसे $v$ वेग से $\theta$ कोण पर दागा जाता है,तो उच्चतम बिंदु पर इसका वेग क्षैतिज दिशा में $v_x = v \cos \theta$ होता है।
विस्फोट से ठीक पहले शेल का संवेग $P_i = Mv \cos \theta$ है।
विस्फोट के बाद,शेल $m = M/2$ द्रव्यमान के दो समान टुकड़ों में विभाजित हो जाता है।
एक टुकड़ा अपने पथ पर वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग $-v \cos \theta$ (मूल क्षैतिज दिशा के विपरीत) हो जाता है।
मान लीजिए दूसरे टुकड़े का वेग $V$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_i = P_f$
$Mv \cos \theta = m(-v \cos \theta) + mV$
चूंकि $m = M/2$,हमारे पास है:
$Mv \cos \theta = \frac{M}{2}(-v \cos \theta) + \frac{M}{2}V$
$M/2$ से विभाजित करने पर:
$2v \cos \theta = -v \cos \theta + V$
$V = 3v \cos \theta$
अतः,दूसरे टुकड़े की गति $3v \cos \theta$ है।

(B) चूंकि टक्करें पूर्णतः अप्रत्यास्थ हैं,इसलिए सभी ब्लॉक एक-एक करके आपस में चिपक जाएंगे और एक संयुक्त द्रव्यमान के रूप में गति करेंगे।
मान लीजिए प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है।
पहले ब्लॉक द्वारा $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{L}{v}$ है।
पहली टक्कर के बाद,पहला और दूसरा ब्लॉक आपस में चिपक जाते हैं। संवेग संरक्षण के नियम से,$mv = (2m)v_1$,इसलिए $v_1 = \frac{v}{2}$।
इस संयुक्त निकाय द्वारा अगली $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{L}{v/2} = \frac{2L}{v}$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,तीनों ब्लॉक $v_2 = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$ वेग से गति करेंगे।
अगली $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_3 = \frac{L}{v/3} = \frac{3L}{v}$ है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$(n-1)$-वें और $n$-वें ब्लॉक के बीच की दूरी तय करने में लगा समय $t_{n-1} = \frac{(n-1)L}{v}$ है।
अंतिम ब्लॉक के गति शुरू करने में लगा कुल समय इन अंतरालों का योग है:
$T = \frac{L}{v} + \frac{2L}{v} + \frac{3L}{v} + ... + \frac{(n-1)L}{v} = \frac{L}{v} (1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = \frac{L}{v} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)L}{2v}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत ऊर्ध्वाधर गति करने वाले कण के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(U)$ को $U = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जो ऊँचाई $(h)$ का एक रैखिक फलन है।
अतः,$U$ बनाम $h$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा $(T = E + U)$ स्थिर रहती है।
इसलिए,$E = T - U = T - mgh$।
यह दर्शाता है कि गतिज ऊर्जा $(E)$ ऊँचाई $(h)$ का एक ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन है।
जैसे-जैसे ऊँचाई $(h)$ बढ़ती है,स्थितिज ऊर्जा $(U)$ रैखिक रूप से बढ़ती है और गतिज ऊर्जा $(E)$ रैखिक रूप से घटती है।
ग्राफ $(A)$ ऊँचाई $(h)$ के सापेक्ष $U$ की रैखिक वृद्धि और $E$ की रैखिक कमी को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $h$ ऊँचाई पर पिंड की स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,ऊँचाई $h = 30 \,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$.
यांत्रिक ऊर्जा $E = 5 \times 9.8 \times 30 = 1470 \,J$.
ऊष्मा और कार्य की तुल्यता के सिद्धांत के अनुसार,$W = JQ$,जहाँ $J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक है $(J \approx 4.2 \,J/cal)$.
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{W}{J} = \frac{1470}{4.2} = 350 \,cal$.

(B) व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \, kg$ है।
प्राप्त कुल ऊष्मा ऊर्जा $Q = 10^5 \, \text{cal}$ है।
शरीर की दक्षता $\eta = 28 \% = 0.28$ है।
शरीर द्वारा किया गया उपयोगी कार्य $W = \eta \times Q \times J$ है,जहाँ $J = 4.2 \, J/\text{cal}$ है।
$W = 0.28 \times 10^5 \times 4.2 \, J$.
यह कार्य $h$ ऊँचाई तक चढ़ने के लिए उपयोग किया जाता है,इसलिए $W = mgh$.
$60 \times 9.8 \times h = 0.28 \times 10^5 \times 4.2$.
$588 \times h = 117600$.
$h = \frac{117600}{588} = 200 \, m$.
अतः,व्यक्ति $200 \, m$ की ऊँचाई तक चढ़ सकता है।

(A) माना लोलक के गोलक का द्रव्यमान $m$ है और लोलक की लंबाई $l = 2\,m$ है।
बिंदु $P$ पर,बिंदु $Q$ के सापेक्ष लोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = mgl = m \times 10 \times 2 = 20m\,J$ है।
जैसे ही लोलक $P$ से $Q$ तक गति करता है,वायु प्रतिरोध के कारण यह अपनी कुल ऊर्जा का $10\%$ खो देता है।
इसलिए,$Q$ पर गतिज ऊर्जा $P$ पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $90\%$ है।
$K_Q = 0.9 \times U = 0.9 \times mgl$
$\frac{1}{2}mv^2 = 0.9 \times m \times 10 \times 2$
$\frac{1}{2}v^2 = 0.9 \times 20 = 18$
$v^2 = 36$
$v = 6\,m/s$.

(D) जब ब्लॉक $C$,ब्लॉक $A$ से टकराता है,तो वे एक साथ जुड़ जाते हैं (पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए) या संवेग स्थानांतरित करते हैं। चूंकि $C$ और $A$ का द्रव्यमान समान $m$ है,टक्कर के बाद $C$ रुक जाता है और $A$,$v$ वेग से गति करता है।
अब,स्प्रिंग से जुड़े ब्लॉक $A$ और $B$ के निकाय पर विचार करें। निकाय का प्रारंभिक संवेग $mv$ है।
मान लीजिए कि अधिकतम संपीड़न के क्षण पर ब्लॉक $A$ और $B$ का उभयनिष्ठ वेग $V$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (m + m)V \Rightarrow V = \frac{v}{2}$.
अधिकतम संपीड़न $x$ पर,निकाय की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा और शेष गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2 \Rightarrow x^2 = \frac{mv^2}{2K} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.
अधिकतम संपीड़न पर,$A-B$ निकाय की गतिज ऊर्जा है:
$K.E. = \frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{mv^2}{4}$.
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) अधिकतम क्षैतिज परास प्राप्त करने के लिए,गेंद को जमीन के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए।
अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र है:
$R_{max} = \frac{u^2}{g}$ --- $(i)$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,संकुचित स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m u^2$
$u^2 = \frac{k x^2}{m}$ --- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$R_{max} = \frac{k x^2}{m g}$
दिए गए मान:
$k = 600 \,N/m$
$x = 5 \,cm = 0.05 \,m$
$m = 15 \,g = 0.015 \,kg$
$g = 10 \,m/s^2$
$R_{max} = \frac{600 \times (0.05)^2}{0.015 \times 10} = \frac{600 \times 0.0025}{0.15} = \frac{1.5}{0.15} = 10 \,m.$

(B) दो कणों के बीच किसी भी टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
गतिज ऊर्जा केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों में ही संरक्षित रहती है।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सी राशि 'सामान्यतः' किसी भी टक्कर के लिए संरक्षित रहती है,इसलिए रैखिक संवेग सही उत्तर है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$. चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$,इसलिए $W = K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
$(1)$ चाल तब अधिकतम होती है जब किया गया कार्य अधिकतम होता है। $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल कार्य को दर्शाता है। $x = 0$ से $x = 3 \ m$ तक क्षेत्रफल धनात्मक है। अतः,$x = 3 \ m$ पर चाल अधिकतम है।
$(2)$ $x = 0$ से $x = 3 \ m$ तक किया गया कार्य क्षेत्रफल है: $W = \frac{1}{2}(5+10)(1) + \frac{1}{2}(2)(10) = 7.5 + 10 = 17.5 \ J$.
$W = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर,$17.5 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 \implies v^2 = 17.5 \implies v = \sqrt{17.5} \approx 4.18 \ ms^{-1}$.
$(3)$ चाल तब शून्य हो जाती है जब कुल किया गया कार्य शून्य हो जाता है। $x = 3$ से $x = 6$ तक का ऋणात्मक क्षेत्रफल $-15 \ J$ है। गणना के अनुसार,कण $x = 6 \ m$ पर पुनः स्थिर हो जाता है।

(C) जब तोप का गोला हवा में फटता है,तो यह विस्फोट आंतरिक बलों (विस्फोटक में संचित रासायनिक ऊर्जा) के कारण होता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
चूंकि विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है,इसलिए गोले का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
हालाँकि,आंतरिक रासायनिक ऊर्जा टुकड़ों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे निकाय की कुल गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(D) माना पहले गोले का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरे गोले का द्रव्यमान $m_2 = 2m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $u_1 = u$ और दूसरे गोले का वेग $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद गोलों के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$, जो $mu = mv_1 + 2mv_2$ देता है, इसलिए $u = v_1 + 2v_2$ या $v_1 = u - 2v_2$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि $0 \le e \le 1$, इसलिए $0 \le v_2 - v_1 \le u$ प्राप्त होता है।
$v_1 = u - 2v_2$ को असमिका में रखने पर: $0 \le v_2 - (u - 2v_2) \le u$, जो सरल होकर $0 \le 3v_2 - u \le u$ हो जाता है।
सभी पदों में $u$ जोड़ने पर: $u \le 3v_2 \le 2u$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर: $\frac{u}{3} \le v_2 \le \frac{2u}{3}$।
अतः, दूसरे गोले के वेग $v$ की सीमा $\frac{u}{3} \le v \le \frac{2u}{3}$ है।

(A) कथन $[A]$ बताता है कि कुल रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$ है। इसका मतलब यह नहीं है कि व्यक्तिगत वेग $\vec{v}_i$ शून्य हैं। उदाहरण के लिए,दो कणों के निकाय में जहाँ $m_1 = m_2$ और $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$ है,कुल संवेग शून्य है,लेकिन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2$ शून्य नहीं है। अतः,$A$,$B$ को सूचित नहीं करता है।
कथन $[B]$ बताता है कि गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$ है। चूँकि द्रव्यमान $m_i$ और $v_i^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,योग के शून्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि प्रत्येक व्यक्तिगत वेग $\vec{v}_i = 0$ हो। यदि सभी $\vec{v}_i = 0$ हैं,तो कुल रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i$ भी शून्य होना चाहिए। अतः,$B$,$A$ को सूचित करता है।

(D) चूंकि निकाय प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए निकाय का संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,दोनों पिंडों के संवेग का परिमाण हर समय समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = p^2 / (2m)$ है।
अतः,$K_1 = p^2 / (2m)$ और $K_2 = p^2 / (2(2m)) = p^2 / (4m) = K_1 / 2$।
कुल ऊर्जा $E = K_1 + K_2 = K_1 + K_1 / 2 = (3/2) K_1 = 60 \ J$।
$K_1$ के लिए हल करने पर: $K_1 = (2/3) \times 60 = 40 \ J$।
चूंकि $K_1$ द्रव्यमान $m$ (छोटे पिंड) से संबंधित है,इसलिए छोटे पिंड की गतिज ऊर्जा $40 \ J$ होगी।

(B) संघट्ट में,दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $u_{rel} = u_1 - u_2$ और पृथक्करण का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_2 - v_1$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए,$e = 1$,जिसका अर्थ है $v_{rel} = u_{rel}$। अप्रत्यास्थ संघट्ट के लिए,$0 < e < 1$,जिसका अर्थ है $v_{rel} < u_{rel}$। इस प्रकार,पृथक्करण का सापेक्ष वेग दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के बराबर या उससे कम होता है,जो संदर्भ फ्रेम और संघट्ट की प्रकृति के आधार पर सापेक्ष वेग के परिमाण के समान या विपरीत दिशा में होने के अनुरूप है।

(B) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,$P = Fv = mav = m(v \frac{dv}{dt})v = mv^2 \frac{dv}{dt}$.
चूंकि शक्ति स्थिर है,$mv^2 \frac{dv}{dt} = P$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int mv^2 dv = \int P dt$,हमें $\frac{1}{3} mv^3 = Pt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v^3 \propto t$,या $v \propto t^{1/3}$.
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,हमारे पास $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/3}$ है।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर,$s \propto \int t^{1/3} dt$,जो $s \propto t^{4/3}$ देता है।
चूंकि घातांक $4/3 > 1$ है,विस्थापन $(s)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाला और ऊपर की ओर झुका हुआ वक्र होगा। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) किया गया कुल कार्य $W$,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य और क्षैतिज बल द्वारा किए गए कार्य का योग है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_g = mgh = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 2 \ m = 20 \ J$.
क्षैतिज बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = F \times s = 8 \ N \times 1 \ m = 8 \ J$.
कुल कार्य $W = W_g + W_f = 20 \ J + 8 \ J = 28 \ J$.

(C) $1$. कथन $A$ गलत है क्योंकि गतिज ऊर्जा $K = p^2 / (2m)$ होती है। यदि $K = 0$ है,तो $p = 0$ होगा। अतः,बिना गतिज ऊर्जा के वस्तु का संवेग नहीं हो सकता।
$2$. कथन $B$ गलत है क्योंकि हेड-ऑन टक्कर में,सापेक्ष वेग का परिमाण और दिशा बदल जाती है (प्रत्यास्थ टक्कर के लिए दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग और पृथक्करण का सापेक्ष वेग समान होता है,लेकिन दिशा विपरीत हो जाती है)।
$3$. कथन $C$ सत्य है; स्थितिज ऊर्जा संदर्भ बिंदु के सापेक्ष ऋणात्मक हो सकती है (जैसे गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा)।
$4$. कथन $D$ गलत है क्योंकि गतिज ऊर्जा $K = (1/2)mv^2$ हमेशा धनात्मक या शून्य होती है।
अतः,$A$,$B$ और $D$ कथन सत्य नहीं हैं।