Potential Energy Questions in Hindi

(B) माना चेन की कुल लंबाई $L = 2\,m$ और कुल द्रव्यमान $M = 4\,kg$ है।
लटकने वाले भाग की लंबाई $l = 60\,cm = 0.6\,m$ है।
चेन के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ नीचे है।
चेन को मेज पर खींचने में किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(B) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई स्थितिज ऊर्जा फलन $U = A - Bx^2$ है।
$U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(A - Bx^2) = 0 - 2Bx = -2Bx$.
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = -(-2Bx) = 2Bx$.
बल का परिमाण $|F| = 2Bx$ है।
चूंकि $2B$ एक स्थिरांक है,इसलिए बल का परिमाण विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती है $(F \propto x)$।

(D) स्थिर संतुलन के लिए शर्त यह है कि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल $F$ शून्य होना चाहिए,जहाँ $F = -\frac{dU}{dx} = 0$ है।
दिया गया है $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} - (-6bx^{-7}) = -12ax^{-13} + 6bx^{-7}$।
बल को शून्य रखने पर:
$F = -(-12ax^{-13} + 6bx^{-7}) = 0$
$12ax^{-13} - 6bx^{-7} = 0$
$\frac{12a}{x^{13}} = \frac{6b}{x^7}$
$\frac{12a}{6b} = \frac{x^{13}}{x^7}$
$\frac{2a}{b} = x^6$
$x = \sqrt[6]{\frac{2a}{b}}$।

(A) विराम अवस्था में स्थित वस्तु का वेग $0 \ m/s$ होता है,जिसका अर्थ है कि उसकी चाल भी $0 \ m/s$ है।
चूंकि संवेग $p = mv$ होता है,यदि $v = 0$ है,तो संवेग $p = 0$ होगा।
हालाँकि,एक स्थिर वस्तु किसी क्षेत्र में अपनी स्थिति या विन्यास के कारण स्थितिज ऊर्जा रख सकती है (उदाहरण के लिए,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$)।
इसलिए,विराम अवस्था में स्थित वस्तु के पास ऊर्जा हो सकती है।

(B) किसी वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ होता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ संदर्भ स्तर (जमीन) से ऊँचाई है।
चूँकि $m$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा सीधे ऊँचाई $h$ के समानुपाती होती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब ऊँचाई $h$ का मान अधिकतम होता है।
यह पत्थर द्वारा अपनी उड़ान के दौरान प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई पर होता है।

(B) जब घड़ी के स्प्रिंग को चाबी दी जाती है,तो स्प्रिंग के प्रत्यास्थ प्रत्यानयन बल (elastic restoring force) के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। अतः,घड़ी के स्प्रिंग में संचित ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ होती है। सही विकल्प $(B)$ है।

(B) पिंड का द्रव्यमान $m = 200\, g = 0.2\, kg$ है।
वह ऊँचाई जहाँ से पिंड गिरता है $h = 200\, m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
प्रारंभिक ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $U = mgh$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह के साथ संपर्क बिंदु पर,अंतिम ऊँचाई $0$ है,इसलिए अंतिम स्थितिज ऊर्जा $0$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_{initial} - U_{final} = mgh - 0 = mgh$ है।
मान रखने पर: $\Delta U = 0.2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 200\, m = 400\, J$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा में कमी $400\, J$ है।

(B) किसी वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = mgh$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $20 \,kg$
ऊँचाई $(h)$ = $50 \,cm = 0.5 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8 \,m/s^2$
स्थितिज ऊर्जा में कमी $(\Delta U)$ = $mgh$
$\Delta U = 20 \times 9.8 \times 0.5$
$\Delta U = 10 \times 9.8 = 98 \,J$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) जंजीर के लटकते हुए हिस्से का द्रव्यमान $m = M/3$ है।
लटकते हुए हिस्से की लंबाई $l = L/3$ है।
लटकते हुए हिस्से का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = l/2 = L/6$ की दूरी पर नीचे है।
मेज की सतह के सापेक्ष लटकते हुए हिस्से की स्थितिज ऊर्जा $U = -mgh = -(M/3)g(L/6) = -MgL/18$ है।
लटकते हुए हिस्से को मेज पर खींचने के लिए, बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होना चाहिए, जो $W = \Delta U = U_{final} - U_{initial} = 0 - (-MgL/18) = MgL/18$ है।

(D) बल $F(x)$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ के बीच संबंध $F(x) = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $U(x) = -\int F(x) dx$ प्राप्त होता है।
$F(x) = -kx + ax^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U(x) = -\int (-kx + ax^3) dx = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $U(0) = 0$,तो $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $U(x) = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} = \frac{x^2}{4}(2k - ax^2)$।
$x \ge 0$ के लिए,$U(x) = 0$ का मान $x = 0$ और $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर होता है।
$x = 0$ और $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के बीच,$U(x)$ धनात्मक है। $x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के लिए,$U(x)$ ऋणात्मक हो जाता है।
ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,अधिकतम तक बढ़ता है,और फिर घटता है,जो $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर $x-$अक्ष को काटता है। यह ग्राफ $D$ से मेल खाता है।

(A) एक स्थिर अणु के लिए,निकाय को संतुलन दूरी $r_0$ पर न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति में होना चाहिए।
जब परमाणुओं के बीच की दूरी अधिक होती है,तो अंतर-परमाण्विक बल बहुत कमजोर (आकर्षक) होता है।
जैसे-जैसे वे करीब आते हैं,आकर्षण बल तब तक बढ़ता है जब तक कि वे उस बिंदु तक नहीं पहुँच जाते जहाँ स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
इस संतुलन दूरी $r_0$ पर,नेट बल शून्य $(F = -dU/dr = 0)$ होता है।
यदि उन्हें और करीब लाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन बादलों के अतिव्यापन (overlapping) के कारण बल प्रबल प्रतिकर्षी हो जाता है।
यह व्यवहार ग्राफ $A$ में दिखाए गए स्थितिज ऊर्जा वक्र की विशेषता है,जो एक स्पष्ट पोटेंशियल वेल (स्थितिज ऊर्जा कूप) को प्रदर्शित करता है।

(A) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = kx$,इसलिए $-\frac{dU}{dx} = kx$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dU = -\int kx \, dx$
$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2 + C$
दिया गया है $U(0) = 0$,इसलिए हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2$.
यह $U$-अक्ष के सापेक्ष सममित नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का समीकरण है,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(B) जब एक रबर बैंड को खींचा जाता है,तो पदार्थ के आंतरिक प्रत्यास्थ बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह किया गया कार्य रबर बैंड में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,एक खींचे हुए रबर बैंड में उसकी बिना खींची हुई अवस्था की तुलना में बढ़ी हुई स्थितिज ऊर्जा होती है।

(A) $h$ ऊँचाई पर स्थित वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र है: $PE = mgh$।
यहाँ,वस्तु का भार $W = mg = 1 \, N$ है।
स्थितिज ऊर्जा $PE = 1 \, J$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1 \, J = (1 \, N) \times h$।
अतः,$h = 1 \, m$।
इस प्रकार,वस्तु $1 \, m$ की ऊँचाई पर स्थित है।

(D) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $dU = -F dx$ प्राप्त होता है।
$U(x) = -\int_0^x (-kx + ax^3) dx = \int_0^x (kx - ax^3) dx$.
$U(x) = \left[ \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} \right]_0^x = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4}$.
$x = 0$ पर,$U(0) = 0$ है।
$U-x$ ग्राफ का ढाल $\frac{dU}{dx} = -F = kx - ax^3$ है। $x = 0$ पर,ढाल $0$ है।
छोटे $x$ के लिए,$U(x) \approx \frac{kx^2}{2}$,जो ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
$U(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{kx^2}{2} = \frac{ax^4}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{2k}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु के बाद,$U(x)$ ऋणात्मक हो जाता है। अतः,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,अधिकतम मान तक बढ़ता है और फिर घटता है,जो $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर $x$-अक्ष को काटता है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार से मेल खाता है।

(A) साम्यावस्था दूरी $r_0$ तब प्राप्त होती है जब स्थितिज ऊर्जा $U(r)$ न्यूनतम होती है,जिसका अर्थ है कि बल $F(r) = -dU/dr = 0$ होता है।
दिया गया है $U(r) = ar^{-12} - br^{-6}$.
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dU/dr = a(-12)r^{-13} - b(-6)r^{-7} = -12ar^{-13} + 6br^{-7}$.
साम्यावस्था के लिए $dU/dr = 0$ रखने पर:
$-12ar_0^{-13} + 6br_0^{-7} = 0$.
$6br_0^{-7} = 12ar_0^{-13}$.
$b/2a = r_0^{-13} / r_0^{-7} = r_0^{-6}$.
$r_0^6 = 2a/b$.
अतः,$r_0 = (2a/b)^{1/6}$.

(B) जंजीर का कुल द्रव्यमान $M$ और कुल लंबाई $L$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
लटकते हुए भाग की लंबाई $l = L/4$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = (M/L) \times (L/4) = M/4$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = l/2 = (L/4)/2 = L/8$ की दूरी पर नीचे स्थित है।
लटकते हुए भाग को वापस मेज पर खींचने के लिए,बाहरी बल को लटकते हुए भाग की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को पार करना होगा।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = (M/4) \times g \times (L/8) = \frac{MgL}{32}$।
अतः,बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $\frac{MgL}{32}$ है।

(A) विराम अवस्था में स्थित वस्तु का वेग $v = 0$ और चाल $v = 0$ होती है।
चूंकि संवेग का सूत्र $p = mv$ है,यदि $v = 0$ है,तो संवेग $p = 0$ होगा।
हालाँकि,एक स्थिर वस्तु अपनी स्थिति या क्षेत्र में विन्यास के कारण स्थितिज ऊर्जा रख सकती है (उदाहरण के लिए,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$)।
अतः,विराम अवस्था में स्थित वस्तु के पास ऊर्जा होती है।

(B) किसी कण पर कार्य करने वाला बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ है।
दिया गया है $U = A - Bx^2$।
$x$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(A - Bx^2) = 0 - 2Bx = -2Bx$।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = -(-2Bx) = 2Bx$।
चूंकि $A$ और $B$ स्थिरांक हैं,$F = 2Bx$ का अर्थ है कि $F \propto x$।
अतः,बल विस्थापन $x$ के समानुपाती है।

(B) किसी वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ संदर्भ स्तर (जमीन) से ऊँचाई है।
चूँकि $m$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा सीधे ऊँचाई $h$ के समानुपाती होती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब ऊँचाई $h$ का मान अधिकतम होता है।
यह पत्थर की गति के उच्चतम बिंदु पर होता है।

(A) स्थितिज ऊर्जा को किसी क्षेत्र में वस्तु की स्थिति या विन्यास के कारण उसमें निहित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे हमेशा एक संदर्भ बिंदु (जहाँ स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है) के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है।
चूंकि संदर्भ बिंदु का चयन मनमाना होता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा का मान चुने गए संदर्भ फ्रेम पर निर्भर करता है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा एक सापेक्ष राशि है।

(D) मान लीजिए जंजीर के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
लटकते हुए भाग की लंबाई $l = L/n$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda l = (M/L) \times (L/n) = M/n$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $y = l/2 = L/(2n)$ की दूरी नीचे है।
जंजीर को वापस मेज पर खींचने के लिए,हमें लटकते हुए भाग के द्रव्यमान केंद्र को मेज की सतह तक उठाना होगा।
किया गया कार्य $W$ लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$W = mgh = (M/n) \times g \times (L/2n) = MgL/(2n^2)$.

(A) बर्तन से पानी को बाहर निकालने के लिए किया गया कार्य पानी की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$h$ ऊंचाई वाले घनाकार बर्तन के लिए,पानी का द्रव्यमान केंद्र तल से $h/2$ ऊंचाई पर स्थित होता है।
जब पानी को ऊपर के स्तर तक पंप किया जाता है,तो प्रभावी ऊंचाई जिस पर द्रव्यमान को उठाया जाता है,वह $h/2$ है।
पानी का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times (L^2 \times h)$। चूंकि यह एक घन है,$L=h=1 \ m$,इसलिए $m = 1000 \ kg/m^3 \times 1 \ m^3 = 1000 \ kg$।
किया गया कार्य $W = m \times g \times (h/2)$।
$W = 1000 \times 10 \times (1/2) = 5000 \ J$.

(B) छड़ को ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने में किया गया कार्य उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
जब छड़ क्षैतिज रूप से पड़ी होती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र $h_1 = 0$ ऊँचाई पर होता है।
जब छड़ ऊर्ध्वाधर स्थिति में होती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र $h_2 = \frac{L}{2}$ ऊँचाई पर होता है,जहाँ $L = 4 \ m$ है।
अतः,$h_2 = \frac{4}{2} = 2 \ m$।
किया गया कार्य $W = \Delta U = mg(h_2 - h_1)$।
मान रखने पर: $W = 20 \times 9.8 \times (2 - 0)$।
$W = 20 \times 9.8 \times 2 = 392 \ J$।

(B) संरक्षी बल के लिए,$F = -\frac{dU}{dx} = -(2ax - b) = -2ax + b$ होता है।
संतुलन स्थिति पर,$F = 0$ होता है,इसलिए $-2ax + b = 0$,जिससे $x = \frac{b}{2a}$ प्राप्त होता है।
संतुलन स्थितिज ऊर्जा $U = a(\frac{b}{2a})^2 - b(\frac{b}{2a}) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} = -\frac{b^2}{4a}$ होगी।

(C) लटकते हुए भाग की लंबाई $l = L/4$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = (M/L) \times (L/4) = M/4$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = l/2 = L/8$ की दूरी पर नीचे स्थित होता है।
लटकते हुए भाग को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य,उस भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = (M/4) \times g \times (L/8) = \frac{MgL}{32}$.

(B) स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U = mgh$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 20 \ g = 20 \times 10^{-3} \ kg = 0.02 \ kg$.
ऊँचाई $h = 200 \ m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
मान रखने पर:
$\Delta U = 0.02 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 200 \ m$.
$\Delta U = 0.2 \times 200 = 40 \ J$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा में कमी $40 \ J$ है।

(B) जंजीर की कुल लंबाई $L = 2 \ m$ और कुल द्रव्यमान $M = 4 \ kg$ है। प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = M/L = 4/2 = 2 \ kg/m$ है।
लटकते हुए भाग की लंबाई $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \ kg$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = l/2 = 0.6/2 = 0.3 \ m$ नीचे है।
जंजीर को मेज पर खींचने के लिए,हमें लटकते हुए भाग के द्रव्यमान केंद्र को मेज की सतह तक उठाना होगा।
किया गया कार्य $W$ लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = mgh$.
$W = 1.2 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 0.3 \ m = 3.6 \ J$.

(A) स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ द्वारा दी गई है।
संतुलन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dV}{dx} = x^3 - x = 0$.
इससे $x(x^2 - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0, 1, -1$.
स्थितिज ऊर्जा $x = \pm 1$ पर न्यूनतम है।
$V_{\min} = V(\pm 1) = \frac{(\pm 1)^4}{4} - \frac{(\pm 1)^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
चूंकि कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K.E. + V$ का मान $2 \ J$ स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
$K.E._{\max} = E - V_{\min} = 2 - (-1/4) = 2 + 0.25 = 2.25 \ J$.
$K.E._{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 1 \ kg$:
$\frac{1}{2} \times 1 \times v_{\max}^2 = \frac{9}{4}$.
$v_{\max}^2 = \frac{9}{2}$.
$v_{\max} = \frac{3}{\sqrt{2}} \ m/s$.

(B) स्थितिज ऊर्जा $U(x) = \frac{x^2}{2} - x$ है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{dU}{dx} = x - 1 = 0$,जिससे $x = 1 \ m$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलन $\frac{d^2U}{dx^2} = 1 > 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $x = 1 \ m$ पर स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $U_{min} = \frac{(1)^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$ है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है: $E = K + U$।
चूंकि $E = 2 \ J$ है,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ तब होती है जब $U$ न्यूनतम हो: $K_{max} = E - U_{min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$।
$K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ का उपयोग करने पर,$2.5 = \frac{1}{2}(1)v_{max}^2$।
$v_{max}^2 = 5$,अतः $v_{max} = \sqrt{5} \ ms^{-1}$।

(D) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $dU = -F \, dx$ प्राप्त होता है,इसलिए $U(x) = -\int F \, dx$ है।
$F(x) = -kx + ax^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U(x) = -\int (-kx + ax^3) \, dx = \int (kx - ax^3) \, dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$U(x) = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{4}ax^4 + C$ प्राप्त होता है।
यदि हम $U(0) = 0$ मान लें,तो $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $U(x) = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{4}ax^4 = \frac{1}{4}x^2(2k - ax^2)$ है।
$x \ge 0$ के लिए,$x = 0$ और $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ पर $U(x) = 0$ होता है।
$0 < x < \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के लिए,$U(x)$ धनात्मक है।
$x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ के लिए,$U(x)$ ऋणात्मक हो जाता है और जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,यह घटता जाता है क्योंकि $x^4$ पद प्रभावी हो जाता है।
यह एक ऐसे वक्र के अनुरूप है जो मूल बिंदु से शुरू होता है,एक अधिकतम मान तक बढ़ता है,और फिर $x$-अक्ष को पार करके ऋणात्मक हो जाता है,जो विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $U = A - Bx^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F = -\frac{d}{dx}(A - Bx^2)$
$F = -(0 - 2Bx)$
$F = 2Bx$।
चूंकि $A$ और $B$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto x$ है।

(B) किसी कण पर कार्य करने वाला बल $F$,उसकी स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित होता है।
दिया गया है $U = 8x^2 - 4x + 400$।
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ बल शून्य है,हम $F = 0$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dx} = 0$।
अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(8x^2 - 4x + 400) = 16x - 4$।
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $16x - 4 = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर: $16x = 4$,जिससे हमें $x = \frac{4}{16} = 0.25 \, m$ प्राप्त होता है।

(D) पंप द्वारा किया गया कार्य पानी की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(U_i)$: पानी $h$ ऊँचाई और $a$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले दो स्तंभों में है। प्रत्येक स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र $h/2$ पर है।
$U_i = (a \cdot h \cdot d \cdot g) \cdot (h/2) + (a \cdot h \cdot d \cdot g) \cdot (h/2) = a \cdot h \cdot d \cdot g \cdot h = dgh^2a$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(U_f)$: सारा पानी $2h$ ऊँचाई और $a$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक स्तंभ में है। इसका द्रव्यमान केंद्र $2h/2 = h$ पर है।
$U_f = (a \cdot 2h \cdot d \cdot g) \cdot h = 2dgh^2a$.
किया गया कार्य $(W)$ = $U_f - U_i = 2dgh^2a - dgh^2a = dgh^2a$.

(B) छड़ को खड़ा करने में किया गया कार्य उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभ में,छड़ का द्रव्यमान केंद्र मेज पर है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ है।
जब छड़ को ऊर्ध्वाधर खड़ा किया जाता है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र मेज से $h = \frac{l}{2}$ की ऊँचाई पर होता है।
अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh = mg(\frac{l}{2}) = \frac{mgl}{2}$ होगी।
इसलिए,किया गया कार्य $W = U_f - U_i = \frac{mgl}{2} - 0 = \frac{mgl}{2}$ है।

(A) मीटर स्केल का द्रव्यमान $m = 400 \, g = 0.4 \, kg$ है। मीटर स्केल की लंबाई $l = 1 \, m$ है।
स्केल का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु $l/2 = 0.5 \, m$ पर होता है।
जब स्केल को $\theta = {60^o}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h$ इस प्रकार है:
$h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$.
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = mgh = mg \times \frac{l}{2}(1 - \cos {60^o})$.
मान रखने पर:
$W = 0.4 \times 10 \times \frac{1}{2} \times (1 - 0.5) = 0.4 \times 10 \times 0.5 \times 0.5 = 1 \, J$.

(B) दी गई स्थितिज ऊर्जा: $U(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$।
संतुलन के लिए,बल $F = -\frac{dU}{dr} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dr} = 0$।
$\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr}(Ar^{-2} - Br^{-1}) = -2Ar^{-3} + Br^{-2} = 0$।
$\frac{B}{r^2} = \frac{2A}{r^3} \implies r = \frac{2A}{B}$।
स्थायी संतुलन के लिए,द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए: $\frac{d^2U}{dr^2} > 0$।
$\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{d}{dr}(-2Ar^{-3} + Br^{-2}) = 6Ar^{-4} - 2Br^{-3}$।
$r = \frac{2A}{B}$ रखने पर:
$\frac{d^2U}{dr^2} = 6A(\frac{B}{2A})^4 - 2B(\frac{B}{2A})^3 = 6A(\frac{B^4}{16A^4}) - 2B(\frac{B^3}{8A^3}) = \frac{3B^4}{8A^3} - \frac{B^4}{4A^3} = \frac{3B^4 - 2B^4}{8A^3} = \frac{B^4}{8A^3}$।
चूँकि $A, B > 0$,इसलिए $\frac{B^4}{8A^3} > 0$। अतः,$r = \frac{2A}{B}$ पर स्थायी संतुलन की शर्त पूरी होती है।

(B) कण पर कार्य करने वाला बल $F$,स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है: $F = -\frac{dU}{dx}$.
दिया गया है $U = x^2 - 2x$,अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dx} = 2x - 2$.
संतुलन के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए: $F = -(2x - 2) = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिरता की जांच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज देखते हैं: $\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2x - 2) = 2$.
चूंकि $x = 1$ पर $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है,जो स्थिर संतुलन की स्थिति को दर्शाता है।

(A) किसी कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ का योग होती है,जिसे $E = K + U(x)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ कण की चाल है।
यदि कण की चाल शून्य $(v = 0)$ है,तो गतिज ऊर्जा $K$ शून्य $(K = 0)$ होनी चाहिए।
कुल ऊर्जा के समीकरण में $K = 0$ रखने पर,हमें $E = 0 + U(x)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $U(x) = E$ हो जाता है।
अतः,कण की चाल उन बिंदुओं पर शून्य होती है जहाँ स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के बराबर होती है।

(B) कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j}) = -(-7 \hat{i} + 24 \hat{j}) = 7 \hat{i} - 24 \hat{j} \ N$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{7 \hat{i} - 24 \hat{j}}{5} = 1.4 \hat{i} - 4.8 \hat{j} \ m/s^2$ है।
त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1.4^2 + (-4.8)^2} = \sqrt{1.96 + 23.04} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^2$ है। (विकल्प $B$ सही है)।
$t = 4 \ s$ पर,वेग $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t = (1.44 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) + (1.4 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) \times 4 = 7.04 \hat{i} - 15 \hat{j} \ m/s$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{7.04^2 + (-15)^2} \approx 16.57 \ m/s$ है। (विकल्प $A$ गलत है)।
विकल्प $C$ के लिए,अदिश गुणनफल $\vec{v}_0 \cdot \vec{a} = (1.44)(1.4) + (4.2)(-4.8) \neq 0$ है। (विकल्प $C$ गलत है)।
चूंकि केवल $B$ सही है,इसलिए उत्तर $B$ है।

(D) मान लीजिए डोरी की लंबाई $\ell$ है। जब द्रव्यमान को $\theta = 45^\circ$ के कोण पर विस्थापित किया जाता है,तो द्रव्यमान द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \ell - \ell \cos 45^\circ = \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
द्रव्यमान का क्षैतिज विस्थापन $x = \ell \sin 45^\circ = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,बाहरी क्षैतिज बल $F$ द्वारा किया गया कार्य द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होना चाहिए (यह मानते हुए कि यह विराम अवस्था से शुरू होता है और अंत में भी विराम में रहता है,इसलिए $\Delta K = 0$):
$W_F + W_g = 0$
$F \cdot x - Mg \cdot h = 0$
$F \cdot (\frac{\ell}{\sqrt{2}}) = Mg \cdot \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg \cdot \sqrt{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg(\sqrt{2} - 1)$

(C) साम्यावस्था पर,बल शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि दूरी के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का अवकलन शून्य होता है: $\frac{dU(x)}{dx} = 0$.
दिया गया है $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$,इसका अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} + 6bx^{-7} = 0$.
$12ax^{-13} = 6bx^{-7} \Rightarrow \frac{2a}{x^6} = b \Rightarrow x^6 = \frac{2a}{b}$.
अब,$U_{\text{at equilibrium}}$ ज्ञात करने के लिए $x^6 = \frac{2a}{b}$ को स्थितिज ऊर्जा फलन में रखने पर:
$U_{\text{at equilibrium}} = \frac{a}{(x^6)^2} - \frac{b}{x^6} = \frac{a}{(2a/b)^2} - \frac{b}{(2a/b)} = \frac{a}{4a^2/b^2} - \frac{b^2}{2a} = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$.
चूंकि $U(x = \infty) = 0$,इसलिए वियोजन ऊर्जा $D$ है:
$D = U(\infty) - U_{\text{at equilibrium}} = 0 - (-\frac{b^2}{4a}) = \frac{b^2}{4a}$.

(B) साम्यावस्था पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है,इसलिए दूरी $r$ के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dU}{dr} = 0$.
दिया गया है $U = Ar^{-12} - Br^{-6}$.
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dr} = -12Ar^{-13} + 6Br^{-7} = 0$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{6B}{r^7} = \frac{12A}{r^{13}}$.
दोनों पक्षों को $r^{13}$ से गुणा करने पर: $6B r^6 = 12A$.
$r^6$ के लिए हल करने पर: $r^6 = \frac{12A}{6B} = \frac{2A}{B}$.
अतः,साम्यावस्था दूरी $r = (\frac{2A}{B})^{1/6}$ है।

(B) कुल ब्लॉकों की संख्या $N = n + 1$ है। प्रारंभ में, सभी ब्लॉक मेज पर हैं, इसलिए उनका द्रव्यमान केंद्र $h_i = a/2$ ऊंचाई पर है।
उन्हें $(n + 1)a$ ऊंचाई के कॉलम में व्यवस्थित करने के बाद, कॉलम का द्रव्यमान केंद्र $h_f = H/2 = (n + 1)a/2$ पर है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = (n + 1)m$ है।
किया गया कार्य गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = \Delta U = M g (h_f - h_i)$.
$W = (n + 1)m g \left[ \frac{(n + 1)a}{2} - \frac{a}{2} \right]$.
$W = (n + 1)m g \left[ \frac{na + a - a}{2} \right] = (n + 1)m g \left( \frac{na}{2} \right)$.
$W = \frac{1}{2} m a g (n^2 + n)$.

(B) कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है। चूंकि कण को $x = a$ पर विराम से छोड़ा जाता है,$x = a$ पर इसकी गतिज ऊर्जा $K = 0$ है,इसलिए इसकी कुल ऊर्जा $E = U(a)$ है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,$E = K + U(x) = U(a)$ रहता है। चूंकि $K \ge 0$,कण केवल उन क्षेत्रों में गति कर सकता है जहाँ $U(x) \le U(a)$ है।
ग्राफ को देखने पर,$x = a$ और $x = e$ पर $U(x) = U(a)$ है। $x = a$ और $x = e$ के बीच $U(x) \le U(a)$ है।
इसलिए,कण $x = a$ से दाईं ओर गति करेगा,$x = b$,$x = c$ और $x = d$ से होकर गुजरेगा और $x = e$ तक पहुँचेगा। $x = e$ पर इसकी गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है $(K = E - U(e) = 0)$,इसलिए यह वहाँ रुक जाता है और फिर अपनी दिशा बदलकर बाईं ओर वापस आता है।

(C) चित्र $(I)$ में,जंजीर का द्रव्यमान केंद्र किनारे $A$ से $\frac{l}{2}$ की दूरी नीचे है। स्थितिज ऊर्जा $U_I = -mg(\frac{l}{2})$ है।
चित्र $(II)$ में,जंजीर को इस तरह मोड़ा गया है कि यह $\frac{l}{2}$ की गहराई तक लटकती है। इस मुड़ी हुई जंजीर का द्रव्यमान केंद्र किनारे $A$ से $\frac{l}{4}$ की दूरी नीचे है। स्थितिज ऊर्जा $U_{II} = -mg(\frac{l}{4})$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = \Delta U = U_{II} - U_I$.
$W = -mg(\frac{l}{4}) - (-mg(\frac{l}{2})) = -mg\frac{l}{4} + mg\frac{l}{2} = mg\frac{l}{4}$.

(B) कण पर कार्य करने वाला बल $F$,स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है: $F = -\frac{dU}{dr}$.
दिया गया है $U = \alpha r^{-4} - \beta r^{-5}$.
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F = -\frac{d}{dr}(\alpha r^{-4} - \beta r^{-5}) = -[\alpha(-4r^{-5}) - \beta(-5r^{-6})] = 4\alpha r^{-5} - 5\beta r^{-6}$.
कण के संतुलन में होने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए: $F = 0$.
$4\alpha r^{-5} - 5\beta r^{-6} = 0$.
$4\alpha r^{-5} = 5\beta r^{-6}$.
दोनों पक्षों को $r^6$ से गुणा करने पर:
$4\alpha r = 5\beta$.
अतः,$r = \frac{5\beta}{4\alpha}$.

(C) स्थितिज ऊर्जा का फलन $U(x) = 20 + (x - 2)^2$ है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $(U_{min})$ तब होती है जब $(x - 2)^2 = 0$ हो,जो $x = 2\,m$ पर है।
अतः,$U_{min} = 20 + 0 = 20\,J$ है।
कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(TE)$ $36\,J$ दी गई है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$TE = U + KE$ होता है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ ज्ञात करने के लिए,हम $KE_{max} = TE - U_{min}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर,$KE_{max} = 36\,J - 20\,J = 16\,J$ प्राप्त होता है।

(D) लटके हुए हिस्से की लंबाई $l = \frac{L}{3}$ है।
लटके हुए हिस्से का द्रव्यमान $m = \frac{M}{L} \times \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ है।
लटके हुए हिस्से का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{L/3}{2} = \frac{L}{6}$ की दूरी नीचे है।
लटके हुए हिस्से को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटके हुए हिस्से की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = mgh = \left(\frac{M}{3}\right) g \left(\frac{L}{6}\right) = \frac{MgL}{18}$.

(B) लटकते हुए भाग की लंबाई $l = L/n$ है।
चूंकि केबल एक समान है,इसलिए लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = (M/L) \times l = M/n$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ सतह के किनारे से $h_{COM} = l/2 = L/(2n)$ की दूरी नीचे है।
लटकते हुए भाग को सतह पर उठाने के लिए,हमें इसके द्रव्यमान केंद्र को सतह के स्तर तक ऊपर उठाना होगा।
किया गया कार्य $W$ लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$W = m \times g \times h_{COM}$
$W = (M/n) \times g \times (L/(2n))$
$W = \frac{MgL}{2n^2}$