Elastic Collision Questions in Hindi

(B) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में, कण अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं। प्रारंभ में $u$ वेग से गति करने वाला कण स्थिर हो जाता है और स्थिर कण $u$ वेग से गति करने लगता है।
पहले कण के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(0 - u) = -mu$ है। संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = mu$ है।
कण पर लगा आवेग (Impulse) बल-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। ग्राफ $T$ आधार और $F_0$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है।
आवेग $J = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times T \times F_0$.
चूंकि आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है, इसलिए:
$\frac{1}{2} F_0 T = mu$
$F_0$ के लिए हल करने पर:
$F_0 = \frac{2mu}{T}$

(C) क्षैतिज स्थिति $A$ पर गोलक की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $mgl$ है,जहाँ सबसे निचले बिंदु $B$ को संदर्भ स्तर माना गया है।
जैसे ही गोलक बिंदु $B$ पर गिरता है,यह स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ में परिवर्तित हो जाती है।
अतः,टक्कर से ठीक पहले बिंदु $B$ पर गोलक की गतिज ऊर्जा $K.E. = mgl$ होती है।
चूंकि गोलक और ब्लॉक के बीच की टक्कर प्रत्यास्थ है और दोनों का द्रव्यमान समान $(m)$ है,इसलिए टक्कर के दौरान वेगों का आदान-प्रदान हो जाता है।
गोलक बिंदु $B$ पर स्थिर हो जाता है और पूरी गतिज ऊर्जा ब्लॉक में स्थानांतरित हो जाती है।
इसलिए,टक्कर के बाद ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $mgl$ होगी।

(A) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को टक्कर के बाद अलग होने के सापेक्ष वेग और टक्कर से पहले पास आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ होता है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,जिसका अर्थ है कि अलग होने का सापेक्ष वेग,पास आने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
इसलिए,$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$,जिससे $e = 1$ प्राप्त होता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,टक्कर के बाद वस्तुएं एक साथ चिपक जाती हैं,इसलिए $v_1 = v_2$,जिसके परिणामस्वरूप $e = 0$ होता है।
अतः,किसी भी वास्तविक टक्कर के लिए,$0 \leq e \leq 1$ होता है।

(C) समान द्रव्यमान के दो कणों के बीच एक-आयामी पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,कण अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
दिए गए प्रारंभिक वेग $v_P = 15 \ m/s$ और $v_Q = 10 \ m/s$ हैं।
टक्कर के बाद,कण $P$ का वेग कण $Q$ के प्रारंभिक वेग के बराबर हो जाता है,और कण $Q$ का वेग कण $P$ के प्रारंभिक वेग के बराबर हो जाता है।
इसलिए,नए वेग $v'_P = 10 \ m/s$ और $v'_Q = 15 \ m/s$ होंगे।

(C) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
इसके अतिरिक्त,एक प्रत्यास्थ टक्कर में,घर्षण या ऊष्मा के कारण कोई स्थायी विरूपण या ऊर्जा की हानि नहीं होती है। इसलिए,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
अतः,एक प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान कुल ऊर्जा और कुल संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।

(B) मान लीजिए कि भारी स्टील की गेंद का द्रव्यमान $M$ है और पिंग-पोंग गेंद का द्रव्यमान $m$ है,जहाँ $M \gg m$ है।
मान लीजिए स्टील की गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = 2\, m/s$ है और पिंग-पोंग गेंद का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
प्रत्यास्थ आमने-सामने की टक्कर के बाद हल्की वस्तु का अंतिम वेग $v_2$ निकालने का सूत्र है:
$v_2 = \frac{2M}{M+m} u_1 + \frac{m-M}{M+m} u_2$
चूंकि $u_2 = 0$ है,इसलिए यह $v_2 = \frac{2M}{M+m} u_1$ हो जाता है।
चूंकि $M \gg m$ है,हम $M+m \approx M$ मान सकते हैं।
अतः,$v_2 \approx \frac{2M}{M} u_1 = 2 u_1$।
$u_1 = 2\, m/s$ का मान रखने पर,हमें $v_2 \approx 2 \times 2 = 4\, m/s$ प्राप्त होता है।

(C) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,दूसरे पिंड ($m_2$ द्रव्यमान) का अंतिम वेग $v_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2 + \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1$
यहाँ,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \left( \frac{m - M}{M + m} \right) (0) + \left( \frac{2M}{M + m} \right) u$
$v = \frac{2Mu}{M + m}$
अंश और हर को $M$ से विभाजित करने पर:
$v = \frac{2u}{\frac{M}{M} + \frac{m}{M}} = \frac{2u}{1 + \frac{m}{M}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$m$ और $M$ द्रव्यमानों के अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1 = \frac{m-M}{m+M}v + \frac{2M}{m+M}u_2$
$v_2 = \frac{2m}{m+M}v + \frac{M-m}{m+M}u_2$
दिया गया है कि $M$ द्रव्यमान का पिंड प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,$m$ द्रव्यमान का पिंड विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए $v_1 = 0$ है।
इन मानों को $v_1$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{m-M}{m+M}v$
चूंकि $v \neq 0$,इसलिए $m - M = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $m = M$ है।
अतः,वेग को पूरी तरह से स्थिर पिंड में स्थानांतरित करने के लिए दोनों पिंडों का द्रव्यमान समान होना चाहिए।

(D) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर में,जहाँ एक कण शुरू में विराम अवस्था में होता है,कण अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
मान लीजिए कि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है।
पहले कण का प्रारंभिक वेग $\vec{V}_1 = \vec{V}$ है।
दूसरे कण का प्रारंभिक वेग $\vec{V}_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,वेगों का आदान-प्रदान हो जाता है,इसलिए पहले कण का अंतिम वेग $\vec{V}_1' = \vec{V}_2 = 0$ हो जाता है और दूसरे कण का अंतिम वेग $\vec{V}_2' = \vec{V}_1 = \vec{V}$ हो जाता है।
अतः,टक्कर के बाद पहले कण का वेग शून्य होगा।

(A) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के बाद पहले कण का अंतिम वेग $v_1$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = M$ है। चूँकि $m << M$,हम $m_1 \approx 0$ और $m_1 + m_2 \approx M$ मान सकते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_1 = \left( \frac{0 - M}{0 + M} \right) u_1 + \left( \frac{2M}{0 + M} \right) u_2$
$v_1 = -u_1 + 2u_2$
दिया गया है कि $u_1 = 6 \, m/s$ और $u_2 = 4 \, m/s$ (दोनों एक ही दिशा में हैं):
$v_1 = -6 + 2(4) = -6 + 8 = 2 \, m/s$
धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि हल्का कण मूल दिशा में $2 \, m/s$ की गति से आगे बढ़ेगा।

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद पिंडों के वेग आपस में बदल जाते हैं।
दिया गया है: द्रव्यमान $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = +3 \, m/s$ और द्रव्यमान $m_2$ का प्रारंभिक वेग $u_2 = -5 \, m/s$ है।
चूंकि $m_1 = m_2$ है,इसलिए प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,द्रव्यमान $m_1$ का अंतिम वेग $v_1 = u_2 = -5 \, m/s$ हो जाएगा और द्रव्यमान $m_2$ का अंतिम वेग $v_2 = u_1 = +3 \, m/s$ हो जाएगा।

(A) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2$
दिया गया है: $m_1 = 10\, kg, u_1 = 10\, m/s, m_2 = 5\, kg, u_2 = 4\, m/s$.
मान रखने पर:
$v_1 = \left( \frac{10 - 5}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{2 \times 5}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{5}{15} \right) 10 + \left( \frac{10}{15} \right) 4 = \frac{50}{15} + \frac{40}{15} = \frac{90}{15} = 6\, m/s$.
$v_2 = \left( \frac{2 \times 10}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{5 - 10}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{20}{15} \right) 10 + \left( \frac{-5}{15} \right) 4 = \frac{200}{15} - \frac{20}{15} = \frac{180}{15} = 12\, m/s$.
अतः,वेग $6\, m/s$ और $12\, m/s$ हैं।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ होता है।
चूंकि गेंदें समान हैं,इसलिए $m_1 = m_2 = m$ है।
पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = 5 \, m/s$ है और दूसरी गेंद स्थिर है,इसलिए $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,पहली गेंद रुक जाती है,इसलिए $v_1 = 0$ है।
इन मानों को संवेग समीकरण में रखने पर: $m(5) + m(0) = m(0) + m(v_2)$ प्राप्त होता है।
यह $5m = mv_2$ में सरल हो जाता है,जिससे $v_2 = 5 \, m/s$ प्राप्त होता है।
दो समान द्रव्यमानों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर (elastic collision) में वेग आपस में बदल जाते हैं।

(C) स्टील की गेंदों की त्रिज्या का अनुपात $r_1 : r_2 = 2 \, cm : 4 \, cm = 1 : 2$ है।
चूंकि गेंदें एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनका द्रव्यमान उनके आयतन के समानुपाती होता है,$M \propto V \propto r^3$.
अतः,उनके द्रव्यमान का अनुपात $m_1 : m_2 = (2)^3 : (1)^3 = 8 : 1$ है।
मान लीजिए बड़ी गेंद का द्रव्यमान $m_1 = 8m$ और छोटी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = m$ है।
बड़ी गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = 81 \, cm/s$ है और छोटी गेंद का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ दूसरी वस्तु प्रारंभ में स्थिर है,दूसरी वस्तु का अंतिम वेग $v_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$v_2 = \frac{2 \times 8m \times 81}{8m + m} = \frac{16m \times 81}{9m} = 16 \times 9 = 144 \, cm/s$.

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड शुरू में विरामावस्था में होता है,टक्कर के बाद दोनों पिंडों के वेग आपस में बदल जाते हैं।
चूंकि गोलक $A$ और गोलक $B$ का द्रव्यमान समान $(m_A = m_B = m)$ है और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गोलक $A$ (जिसका टक्कर से ठीक पहले वेग $v$ था) टक्कर के बाद विरामावस्था में आ जाएगा।
साथ ही,गोलक $B$ (जो शुरू में विरामावस्था में था) वह वेग $v$ प्राप्त कर लेगा जो टक्कर से ठीक पहले गोलक $A$ के पास था।
इसलिए,$A$ विरामावस्था में आ जाता है और $B$,$A$ के वेग से गति करता है।

(D) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाली दो वस्तुओं के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद वस्तुओं के वेग आपस में बदल जाते हैं।
माना प्रारंभिक वेग $u_1 = V$ और $u_2 = -2V$ हैं (चूंकि दूसरी गेंद पहली गेंद की ओर आ रही है,इसलिए उसका वेग विपरीत दिशा में है)।
समान द्रव्यमान के लिए प्रत्यास्थ टक्कर के गुण के अनुसार,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार होंगे:
$v_1 = u_2 = -2V$
$v_2 = u_1 = V$
अतः,टक्कर के बाद दोनों गेंदों के वेग $-2V$ और $V$ होंगे।

(C) दो पिंडों के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में,पहले पिंड ($M_1$ द्रव्यमान) से दूसरे पिंड ($M_2$ द्रव्यमान) में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश,जो शुरू में विरामावस्था में है,निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}$
ऊर्जा के अधिकतम स्थानांतरण की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम द्रव्यमान अनुपात के संबंध में $f$ को अधिकतम करते हैं।
वैकल्पिक रूप से,एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,यदि $M_1 = M_2$ है,तो टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
चूंकि दूसरा पिंड विरामावस्था में था,इसलिए वह पहले पिंड का पूर्ण प्रारंभिक वेग प्राप्त कर लेता है,जिसका अर्थ है कि $100\%$ गतिज ऊर्जा स्थानांतरित हो जाती है।
अतः,ऊर्जा का अधिकतम स्थानांतरण तब होता है जब $M_1 = M_2$ हो।

(C) परिभाषा के अनुसार,प्रत्यास्थ टक्कर वह टक्कर है जिसमें कुल गतिज ऊर्जा में कोई शुद्ध हानि नहीं होती है।
किसी भी टक्कर में (चाहे वह प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ),निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
इसलिए,एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों स्थिर रहते हैं।

(B) आमने-सामने की प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,स्थिर लक्ष्य (द्रव्यमान $m_2$) से टकराने वाले प्रक्षेप्य (द्रव्यमान $m_1$) की आंशिक ऊर्जा हानि का सूत्र है:
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
यहाँ,न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_1 = 1 \text{ u}$ और ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m_2 = 2 \text{ u}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{1 - 2}{1 + 2} \right)^2$
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{-1}{3} \right)^2$
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \frac{1}{9}$
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{8}{9}$
अतः,न्यूट्रॉन की आंशिक ऊर्जा हानि $8/9$ है।

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u_1 = V$ और $u_2 = 0$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$V + 0 = v_1 + v_2$
$v_1 + v_2 = V$ --- $(1)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2$
$V^2 = v_1^2 + v_2^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$v_2 = V - v_1$। इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$V^2 = v_1^2 + (V - v_1)^2$
$V^2 = v_1^2 + V^2 + v_1^2 - 2 V v_1$
$2 v_1^2 - 2 V v_1 = 0$
$2 v_1 (v_1 - V) = 0$
इससे $v_1 = 0$ (वह स्थिति जहाँ टक्कर नहीं होती) या $v_1 = V$ प्राप्त होता है।
चूंकि पहला पिंड विराम अवस्था में था और दूसरा पिंड उससे टकराया,इसलिए पहला पिंड दूसरे पिंड का वेग प्राप्त कर लेगा,जो कि $V$ है।

(B) $M$ और $m$ द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ $m$ प्रारंभ में विराम अवस्था में है,$m$ द्रव्यमान के पिंड का अंतिम वेग $v_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \frac{2M}{M+m} v_1$
यह दिया गया है कि $M >> m$,इसलिए हम $M + m \approx M$ मान सकते हैं।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$v_2 \approx \frac{2M}{M} v = 2v$
अतः,टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान का पिंड $2v$ के वेग से गति करेगा।

(A) दो वस्तुओं के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में,यदि टक्कर के बाद वस्तुएं अपने वेगों की अदला-बदली कर लेती हैं,तो इसका अर्थ है कि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान समान होने चाहिए।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u_A = v_A$ और $u_B = -v_B$ हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं)।
टक्कर के बाद,अंतिम वेग $v'_A = -v_B$ और $v'_B = v_A$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_A u_A + m_B u_B = m_A v'_A + m_B v'_B$.
मान रखने पर: $m_A v_A - m_B v_B = -m_A v_B + m_B v_A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $m_A(v_A + v_B) = m_B(v_A + v_B)$.
चूंकि $(v_A + v_B) \neq 0$,इसलिए हमें $m_A = m_B$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = 1$ है।

(C) पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर के लिए,पहले पिंड ($m_1$ द्रव्यमान) का अंतिम वेग $v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ है।
इन मानों को रखने पर: $v_1 = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right) v = \left( \frac{-m}{3m} \right) v = -\frac{v}{3}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
पहले पिंड की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(v_1)^2 = \frac{1}{2}m(-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{9}) = \frac{1}{9} K_i$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = K_i - \frac{1}{9} K_i = \frac{8}{9} K_i$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में हानि उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $\frac{8}{9}$ भाग है।

(A) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,टकराने वाली वस्तुएं प्रभाव के बाद आपस में चिपक जाती हैं और एक समान वेग से चलती हैं।
$A$. दो कांच की गेंदों का टकराना आमतौर पर एक प्रत्यास्थ या आंशिक रूप से अप्रत्यास्थ टक्कर है,क्योंकि वे आपस में चिपकती नहीं हैं।
$B$. गोली का रेत की बोरी में धंस जाना एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है क्योंकि गोली रेत के अंदर ही रह जाती है।
$C$. प्रोटॉन द्वारा इलेक्ट्रॉन का कैप्चर किया जाना (हाइड्रोजन परमाणु बनाना) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ प्रक्रिया है।
$D$. चलती हुई गाड़ी पर एक आदमी का कूदना और उस पर बने रहना एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है क्योंकि बाद में वे एक समान वेग से चलते हैं।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(B) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाले दो कणों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, जहाँ एक कण प्रारंभ में विराम अवस्था $(u_2 = 0)$ में है:
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2 + 2\vec{p}_1' \cdot \vec{p}_2'$.
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$, जिसका अर्थ है $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2$.
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $2\vec{p}_1' \cdot \vec{p}_2' = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि संवेग शून्य नहीं हैं, इसलिए डॉट प्रोडक्ट केवल तभी शून्य होता है जब अंतिम वेग सदिशों के बीच का कोण $90^\circ$ हो।
अतः, $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$.

(C) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक कण प्रारंभ में विराम अवस्था में हो,कण अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेते हैं।
माना दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है।
$P$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ और $Q$ का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $mv + m(0) = mv_1 + mv_2 \implies v = v_1 + v_2$।
प्रत्यास्थ टक्कर के गुण का उपयोग करने पर (प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$): $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(v - 0) = v$।
इन दो समीकरणों को हल करने पर:
$v_1 + v_2 = v$
$v_2 - v_1 = v$
इनका योग करने पर $2v_2 = 2v \implies v_2 = v$ प्राप्त होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर $v_1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ विराम अवस्था में आ जाता है और $Q$,$v$ चाल से आगे बढ़ता है।

(C) समान द्रव्यमान $m$ के दो कणों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में, कण अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं। चूँकि पहला कण $u$ वेग से गति कर रहा था और दूसरा स्थिर था, टक्कर के बाद, पहला कण स्थिर हो जाता है और दूसरा कण $u$ वेग से गति करता है।
दूसरे कण के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(u - 0) = mu$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार, आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ के बराबर होता है। आवेग बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के भी बराबर होता है।
ग्राफ द्वारा निर्मित समलंब (trapezium) का क्षेत्रफल:
$J = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$J = \frac{1}{2} \times (T + \frac{T}{2}) \times F_0$
$J = \frac{1}{2} \times (\frac{3T}{2}) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$
आवेग को संवेग में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$mu = \frac{3T F_0}{4}$
$F_0 = \frac{4mu}{3T}$

(D) माना न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m$ है और इसका प्रारंभिक वेग $v$ है। ड्यूटेरियम परमाणु (ड्यूटेरॉन) का द्रव्यमान $M = 2m$ है। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
माना न्यूट्रॉन का अंतिम वेग $v_1$ है और ड्यूटेरॉन का अंतिम वेग $v_2$ है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = mv_1 + (2m)v_2$ => $v = v_1 + 2v_2$ ... $(i)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2$ => $v^2 = v_1^2 + 2v_2^2$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$2v_2 = v - v_1$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = v_1^2 + \frac{1}{2}(v - v_1)^2$
$2v^2 = 2v_1^2 + v^2 - 2vv_1 + v_1^2$
$3v_1^2 - 2vv_1 - v^2 = 0$
$(3v_1 + v)(v_1 - v) = 0$
चूंकि $v_1 \neq v$,इसलिए $v_1 = -\frac{v}{3}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है। अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{9}K_i$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{9}K_i - K_i = -\frac{8}{9}K_i$ है। अतः,परिवर्तन का परिमाण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $\frac{8}{9}$ गुना है।

(C) चूंकि गोले चिकने हैं,इसलिए टक्कर के दौरान उनके बीच कोई घर्षण नहीं होता है।
घर्षण टॉर्क का एकमात्र स्रोत है जो द्रव्यमान केंद्र के परितः गोले के कोणीय संवेग को बदल सकता है।
चूंकि कोई घर्षण नहीं है,इसलिए किसी भी गोले पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक गोले का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
गोले $A$ के लिए,प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_A = I\omega$ है। चूंकि इस पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका अंतिम कोणीय संवेग $I\omega_A = I\omega$ रहता है,जिसका अर्थ है कि $\omega_A = \omega$.
गोले $B$ के लिए,जो शुरू में विराम अवस्था में था,इसका प्रारंभिक कोणीय संवेग $0$ है। चूंकि इस पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका अंतिम कोणीय संवेग $0$ रहता है,जिसका अर्थ है कि $\omega_B = 0$.

(C) चूंकि गोले पूरी तरह से चिकने हैं,इसलिए टक्कर के दौरान उनके बीच कोई स्पर्शरेखीय बल कार्य नहीं करता है।
गोलों के कोणीय संवेग को बदलने के लिए टॉर्क उत्पन्न करने हेतु घर्षण की आवश्यकता होती है।
चूंकि घर्षण अनुपस्थित है,इसलिए टक्कर के दौरान किसी भी गोले पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है।
अतः,गोले $A$ का कोणीय वेग अपरिवर्तित रहता है,यानी $\omega_A = \omega$।
चूंकि गोला $B$ शुरू में विरामावस्था में था और उस पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए उसका कोणीय वेग शून्य रहता है,यानी $\omega_B = 0$।

(B) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ तथा अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ होने पर:
संवेग संरक्षण का नियम: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
गतिज ऊर्जा संरक्षण का नियम: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
इन समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$,जिसका अर्थ है कि पास आने की सापेक्ष चाल,अलग होने की सापेक्ष चाल के बराबर होती है।
कथन-$1$ गतिज ऊर्जा के संरक्षण का सीधा परिणाम है,न कि रैखिक संवेग के संरक्षण का।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) यह न्यूटन के पालने (Newton's Cradle) का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। जब समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुएं पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करती हैं,तो वे अपने वेग का आदान-प्रदान करती हैं।
जब दाईं ओर की अंतिम गेंद को छोड़ा जाता है,तो वह बगल वाली गेंद से टकराने से ठीक पहले $v$ वेग प्राप्त कर लेती है।
चूंकि सभी गेंदें समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए संवेग और गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।
संवेग बीच की स्थिर गेंदों से होकर दूसरी ओर की अंतिम गेंद तक स्थानांतरित हो जाता है।
परिणामस्वरूप,बाईं ओर की अंतिम गेंद उसी ऊंचाई तक ऊपर उठेगी जिस ऊंचाई से दाईं गेंद को छोड़ा गया था,जबकि अन्य चार गेंदें स्थिर रहेंगी।
इसलिए,बाईं ओर की केवल एक गेंद ऊपर उठेगी।

(C) टक्कर में,निकाय का कुल संवेग तब संरक्षित रहता है जब निकाय पर कोई बाहरी आवेगी बल (impulsive force) कार्य न करे।
जब एक गेंद फर्श से टकराती है,तो फर्श द्वारा गेंद पर लगाया गया बल और गेंद द्वारा फर्श पर लगाया गया बल 'गेंद-पृथ्वी' निकाय के लिए आंतरिक बल होते हैं।
इसलिए,'गेंद-पृथ्वी' निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
यद्यपि टक्कर प्रत्यास्थ है,फिर भी केवल गेंद की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि प्रभाव के दौरान यह पृथ्वी को ऊर्जा स्थानांतरित करती है।
हालाँकि,एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) दो समान द्रव्यमानों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक स्थिर हो,गतिमान द्रव्यमान स्थिर हो जाता है और स्थिर द्रव्यमान गतिमान द्रव्यमान के प्रारंभिक वेग के साथ गति करने लगता है।
प्रारंभ में,$B$ गोले $C$ से टकराता है। चूँकि वे समान हैं और $C$ स्थिर है,$B$ स्थिर हो जाता है और $C$ वेग $v$ के साथ गति करने लगता है।
फिर,$C$ गोले $D$ से टकराता है। $C$ स्थिर हो जाता है और $D$ वेग $v$ के साथ गति करता है।
इस बीच,$A$ स्थिर हो चुके $B$ से टकराता है। $A$ स्थिर हो जाता है और $B$ वेग $v$ के साथ गति करने लगता है।
अंत में,$B$ स्थिर हो चुके $C$ से टकराता है। $B$ स्थिर हो जाता है और $C$ वेग $v$ के साथ गति करता है।
इस प्रकार,सभी टक्करों के बाद,$A$ और $B$ स्थिर रहते हैं,जबकि $C$ स्थिर रहता है और $D$ वेग $v$ के साथ गति करता है।

(B) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच होने वाली प्रत्यास्थ टक्कर में,पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेते हैं।
मान लीजिए कि प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ और $u_2 = -2v$ हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं)।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार होंगे:
$v_1 = u_2 = -2v$
$v_2 = u_1 = v$
अतः,टक्कर के बाद उनके वेग $-2v$ और $v$ होंगे।

(C) जब समान द्रव्यमान वाली दो गेंदों के बीच टक्कर होती है और उनमें से एक प्रारंभ में स्थिर होती है,तो गतिमान वस्तु से स्थिर वस्तु में ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।
दो समान द्रव्यमान वाली वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए ऊर्जा और संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,पहली गेंद या तो स्थिर हो जाएगी (सीधी टक्कर में) या कम वेग के साथ गति करेगी (तिरछी टक्कर में)।
दोनों ही स्थितियों में,टक्कर के बाद पहली गेंद की गतिज ऊर्जा $(E'_k)$ उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(E_k)$ से कम या उसके बराबर होगी।
चूंकि टक्कर में दूसरी गेंद को ऊर्जा का स्थानांतरण होता है,इसलिए पहली गेंद अपनी कुछ गतिज ऊर्जा खो देती है।
अतः,$E'_k < E_k$।

(B) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, जहाँ एक कण शुरू में स्थिर है, हम रैखिक संवेग संरक्षण और गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियमों का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1 = u\hat{i}$ और $\vec{u}_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद, मान लीजिए वेग $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के अनुसार: $m\vec{u}_1 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 \implies \vec{u}_1 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.
गतिज ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2}mu_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \implies u_1^2 = v_1^2 + v_2^2$.
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग शून्य नहीं हैं, इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य है, जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$.
अतः, टक्कर के बाद दोनों कणों के बीच का कोण $90^\circ$ होता है, जिसका अर्थ है $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$.

(C) पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर के लिए,दूसरे पिंड ($m_2$ द्रव्यमान) का अंतिम वेग $v_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2$
यहाँ,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ (क्योंकि दूसरा गोला स्थिर है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \left( \frac{2M}{M + m} \right) u + \left( \frac{m - M}{M + m} \right) (0)$
$v = \frac{2Mu}{M + m}$
दिए गए विकल्पों से मेल खाने के लिए,अंश और हर को $M$ से विभाजित करने पर:
$v = \frac{2u}{(M + m)/M} = \frac{2u}{1 + m/M}$

(B) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$m_1$ द्रव्यमान वाले आपतित कण का अंतिम वेग $v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ प्रारंभिक वेग है और $m_2$ स्थिर लक्ष्य का द्रव्यमान है।
यहाँ,$m_1 = 1$ (न्यूट्रॉन) और $m_2 = 2$ (ड्यूटेरॉन) है।
इन मानों को रखने पर: $v_1' = \left( \frac{1 - 2}{1 + 2} \right) v_1 = -\frac{1}{3} v_1$.
गतिज ऊर्जा में भिन्नात्मक ह्रास $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{K_i - K_f}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \left( \frac{v_1'}{v_1} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात का मान रखने पर: $\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ दूसरा पिंड प्रारंभ में विराम अवस्था में हो,टक्कर के बाद पहले पिंड $(m_1)$ द्वारा बनाए रखी गई गतिज ऊर्जा का अंश निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
यहाँ $m_1 = 8 \ kg$ और $m_2 = 2 \ kg$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$f = \left( \frac{8 - 2}{8 + 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{10} \right)^2 = (0.6)^2 = 0.36$.
अतः,शेष गतिज ऊर्जा $0.36 E$ होगी।

(C) दिया गया है: $m_1 = m_2 = 5 \ kg$,$u_1 = 5 \ m/s$,और $u_2 = -5 \ m/s$.
समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद वस्तुएं अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेती हैं।
इसलिए,पहली गेंद का अंतिम वेग $v_1 = u_2 = -5 \ m/s$ होगा।
दूसरी गेंद का अंतिम वेग $v_2 = u_1 = 5 \ m/s$ होगा।
अतः,टक्कर के बाद गेंदों के वेग $5 \ m/s$ और $-5 \ m/s$ होंगे।

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
चूंकि लोलक $A$ लोलक $B$ (जो प्रारंभ में स्थिर है) से टकराता है और उनके द्रव्यमान समान हैं,इसलिए टक्कर के बाद लोलक $A$ स्थिर हो जाएगा और लोलक $B$ वह वेग प्राप्त कर लेगा जो टक्कर से ठीक पहले $A$ के पास था।
अतः,टक्कर के बाद लोलक $A$ ऊपर नहीं उठेगा।

(B) दिया गया है: $m_1 = 0.1 \ kg$,$m_2 = ?$,$u_2 = 0$,$u_1 = u$,$v_1 = -u/3$ (वापस लौटने का अर्थ विपरीत दिशा है)।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए पहली वस्तु के अंतिम वेग का सूत्र उपयोग करने पर:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
चूंकि $u_2 = 0$,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$-u/3 = \left( \frac{0.1 - m_2}{0.1 + m_2} \right) u$
दोनों पक्षों को $u$ से विभाजित करने पर:
$-1/3 = \frac{0.1 - m_2}{0.1 + m_2}$
$-(0.1 + m_2) = 3(0.1 - m_2)$
$-0.1 - m_2 = 0.3 - 3m_2$
$2m_2 = 0.4$
$m_2 = 0.2 \ kg$.

(C) सबसे पहले,लिफ्ट की छत से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग ज्ञात करें। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$g = 10 \ m/s^2$,और $h = 10 \ m$:
$v_{ball} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \ m/s$ (नीचे की ओर)।
माना लिफ्ट का वेग $v_e = 1 \ m/s$ (नीचे की ओर) है।
लिफ्ट के संदर्भ में,टक्कर से पहले गेंद का सापेक्ष वेग $u_{rel} = v_{ball} - v_e = 14.14 - 1 = 13.14 \ m/s$ (नीचे की ओर) होगा।
प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,गेंद लिफ्ट के सापेक्ष उसी वेग $13.14 \ m/s$ (ऊपर की ओर) से उछलेगी।
जमीन के सापेक्ष वेग ज्ञात करने के लिए,$v_{ground} = v_{rel} + v_e = 13.14 + 1 = 14.14 \ m/s$ होगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $12 \ m/s$ है।

(A) मान लीजिए टक्कर के बाद वेग $v'$ है जो अभिलंब के साथ $\phi$ कोण बनाता है।
दीवार के समानांतर दिशा में वेग अपरिवर्तित रहता है क्योंकि वहां कोई आवेगी बल नहीं है: $v' \sin \phi = v \sin \theta$.
अभिलंब दिशा में,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग का अनुपात है: $v' \cos \phi = e v \cos \theta$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{v' \sin \phi}{v' \cos \phi} = \frac{v \sin \theta}{e v \cos \theta} \implies \tan \phi = \frac{\tan \theta}{e} \implies \phi = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{e}\right)$.
वेग $v'$ का परिमाण: $v' = \sqrt{(v' \sin \phi)^2 + (v' \cos \phi)^2} = \sqrt{(v \sin \theta)^2 + (ev \cos \theta)^2} = v \sqrt{\sin^2 \theta + e^2 \cos^2 \theta}$.

(D) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, स्थिर द्रव्यमान $m_2$ का टक्कर के बाद का वेग $v_{2f}$ इस प्रकार है: $v_{2f} = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u$.
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = nm$ दिया गया है, अतः $v_{2f} = \left( \frac{2m}{m + nm} \right) u = \left( \frac{2}{1 + n} \right) u$.
टक्कर के बाद स्थिर गेंद की गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (nm) v_{2f}^2 = \frac{1}{2} nm \left( \frac{4u^2}{(1 + n)^2} \right) = \frac{2nmu^2}{(1 + n)^2}$ होगी।
आपतित गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} mu^2$ है।
अतः, स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $f = \frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{2nmu^2}{(1 + n)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(1 + n)^2}$ होगा।

(C) समान द्रव्यमान के दो कणों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ एक कण प्रारंभ में विराम अवस्था में है,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m\vec{v_1} = m\vec{v_1}' + m\vec{v_2}'$,जो सरल होकर $\vec{v_1} = \vec{v_1}' + \vec{v_2}'$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (\vec{v_1}' + \vec{v_2}') \cdot (\vec{v_1}' + \vec{v_2}')$.
इससे प्राप्त होता है: $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}')$ ... $(1)$.
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_1'^2 + \frac{1}{2}mv_2'^2$,जो सरल होकर $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2$ ... $(2)$ हो जाता है।
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $v_1'^2 + v_2'^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}')$.
इसका अर्थ है कि $2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}') = 0$,इसलिए $\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}' = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $v_1' v_2' \cos \theta = 0$ है,और वेग शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$।

(C) $X$-अक्ष की दिशा में रैखिक संवेग का संरक्षण:
$mu_1 = mv_1 \cos \theta_1 + mv_2 \cos \theta_2 \implies u_1 = v_1 \cos \theta_1 + v_2 \cos \theta_2 \quad \dots(i)$
$Y$-अक्ष की दिशा में रैखिक संवेग का संरक्षण:
$0 = mv_1 \sin \theta_1 - mv_2 \sin \theta_2 \implies v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2 \quad \dots(ii)$
गतिज ऊर्जा का संरक्षण:
$\frac{1}{2}mu_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \implies u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$u_1^2 = (v_1 \cos \theta_1 + v_2 \cos \theta_2)^2 + (v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2)^2$
$u_1^2 = v_1^2 \cos^2 \theta_1 + v_2^2 \cos^2 \theta_2 + 2v_1v_2 \cos \theta_1 \cos \theta_2 + v_1^2 \sin^2 \theta_1 + v_2^2 \sin^2 \theta_2 - 2v_1v_2 \sin \theta_1 \sin \theta_2$
$u_1^2 = v_1^2(\cos^2 \theta_1 + \sin^2 \theta_1) + v_2^2(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2) + 2v_1v_2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2)$
$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
समीकरण $(iii)$ $(u_1^2 = v_1^2 + v_2^2)$ के साथ तुलना करने पर:
$v_1^2 + v_2^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
$2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) = 0$
चूंकि $v_1, v_2 \neq 0$,इसलिए $\cos(\theta_1 + \theta_2) = 0$
अतः,$\theta_1 + \theta_2 = 90^o$.

(C) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,अंतिम वेग $v_1'$ और $v_2'$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) v_2$
$v_2' = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) v_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_2$
यहाँ,$m_1 = 10 \ kg, v_1 = 10 \ m/s, m_2 = 5 \ kg, v_2 = 4 \ m/s$ है।
$v_1'$ की गणना:
$v_1' = \left( \frac{10 - 5}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{2 \times 5}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{5}{15} \right) 10 + \left( \frac{10}{15} \right) 4 = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} = 6 \ m/s$.
$v_2'$ की गणना:
$v_2' = \left( \frac{2 \times 10}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{5 - 10}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{20}{15} \right) 10 + \left( \frac{-5}{15} \right) 4 = \frac{40}{3} - \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12 \ m/s$.
अतः,टक्कर के बाद उनके वेग $6 \ m/s$ और $12 \ m/s$ होंगे।