Conservative and Non-Conservative forces and Potential Energy Questions in Hindi

(D) यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल,स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल संरक्षी बलों के उदाहरण हैं क्योंकि इनके द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
घर्षण बल एक असंरक्षी बल है क्योंकि इसके द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है,और इसके परिणामस्वरूप यांत्रिक ऊर्जा का ऊष्मा में क्षय होता है।

(B) किसी कण के स्थायी संतुलन में होने के लिए,संतुलन स्थिति पर बल $F$ शून्य होना चाहिए,और यदि कण को थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो बल को ऐसी दिशा में कार्य करना चाहिए जो उसे वापस संतुलन स्थिति में ले आए।
$x = x_1$ पर,बल शून्य है। $x > x_1$ के लिए (थोड़ा दाईं ओर),बल $F$ धनात्मक (प्रतिकर्षी) है,जो कण को $x_1$ से और दूर धकेलता है। अतः,$x_1$ अस्थायी संतुलन का बिंदु है।
$x = x_2$ पर,बल शून्य है। $x > x_2$ के लिए (थोड़ा दाईं ओर),बल $F$ ऋणात्मक (आकर्षक) है,जो कण को $x_2$ की ओर वापस खींचता है। $x < x_2$ के लिए (थोड़ा बाईं ओर),बल $F$ धनात्मक (प्रतिकर्षी) है,जो कण को $x_2$ की ओर वापस धकेलता है। चूँकि बल कण को उसकी मूल स्थिति में वापस लाने का कार्य करता है,इसलिए $x_2$ स्थायी संतुलन का बिंदु है।

(C) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि बल वहां शून्य होता है जहां $U-x$ ग्राफ का ढलान शून्य होता है,अर्थात $\frac{dU}{dx} = 0$।
दिए गए ग्राफ में,वक्र का ढलान स्थानीय अधिकतम बिंदु $B$ और स्थानीय न्यूनतम बिंदु $C$ पर शून्य है।
इसलिए,कण पर कार्य करने वाला बल बिंदु $B$ और $C$ पर शून्य है।

(D) परमाणुओं के बीच बल $F = -\frac{dU}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
आकर्षण बल ऋणात्मक होता है,इसलिए $F = -\frac{dU}{dr} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dU}{dr} > 0$। आकर्षण बल का परिमाण $|F| = |\frac{dU}{dr}|$ है,जो $U-r$ वक्र की ढाल को दर्शाता है।
बिंदु $S$ पर,वक्र की ढाल धनात्मक है और अपने अधिकतम मान तक पहुँचती है। अतः,बिंदु $S$ पर आकर्षण अधिकतम है।
बिंदु $T$ पर,वक्र क्षैतिज हो जाता है,जिसका अर्थ है कि ढाल $\frac{dU}{dr} = 0$ है। अतः,बिंदु $T$ पर आकर्षण बल न्यूनतम (शून्य) है।
इसलिए,अधिकतम और न्यूनतम आकर्षण के बिंदु क्रमशः $S$ और $T$ हैं।

(C) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $0 < x < a$ के लिए,$U(x)$ का ग्राफ धनात्मक स्थिर ढाल वाली एक सीधी रेखा है। मान लीजिए ढाल $k$ $(k > 0)$ है। अतः,$U(x) = kx$। बल $F = -\frac{d}{dx}(kx) = -k$ होगा। यह एक ऋणात्मक स्थिर मान है।
$2$. $x > a$ के लिए,$U(x)$ का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि $U(x)$ स्थिर है। अतः,$\frac{dU}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है कि $F = 0$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $0 < x < a$ के लिए ऋणात्मक स्थिर बल और $x > a$ के लिए शून्य बल दर्शाता है,वह ग्राफ $C$ है।

(A) संरक्षी बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच का संबंध $F_{\text{cons}} = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $F_{\text{cons}} \cdot dx = -dU$।
संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{cons}} = \int F_{\text{cons}} \cdot dx = -\Delta U$ होता है।
अतः,$\Delta U = -W_{\text{cons}}$।
यदि निकाय द्वारा संरक्षी बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है,तो किया गया बाह्य कार्य धनात्मक होता है,जिसके परिणामस्वरूप निकाय की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है $(\Delta U > 0)$।

(A) संरक्षी बल क्षेत्र के लिए,बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $U = ax^2 - bx$।
अब,$U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2 - bx) = 2ax - b$।
इस मान को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = -(2ax - b) = -2ax + b$।

(C) बल $\vec{F}$ स्थितिज ऊर्जा $U$ के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) से संबंधित है: $\vec{F} = -\nabla U = -\left( \hat{i} \frac{\partial U}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial U}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial U}{\partial z} \right)$.
दिया गया है $U = K(x^2 + y^2 + z^2)$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial U}{\partial x} = 2Kx$,$\frac{\partial U}{\partial y} = 2Ky$,और $\frac{\partial U}{\partial z} = 2Kz$.
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$\vec{F} = -(2Kx\hat{i} + 2Ky\hat{j} + 2Kz\hat{k})$.
अतः,$\vec{F} = -2K(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$.

(B) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
संरक्षी बल के लिए,किसी कण को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
यह केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
दी गई आकृति में,तीनों पथ $(1, 2, 3)$ बिंदु $A$ से शुरू होते हैं और बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं।
चूंकि तीनों पथों के लिए प्रारंभिक और अंतिम स्थितियां समान हैं,इसलिए प्रत्येक पथ के अनुदिश किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,${W_1} = {W_2} = {W_3}$।

(C) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
अंतराल $0 < x < a$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ एक धनात्मक ढाल वाला रैखिक फलन है,अर्थात $U(x) = kx$ जहाँ $k > 0$ है। अतः,$F = -\frac{d}{dx}(kx) = -k$,जो एक नियत ऋणात्मक मान है।
$x > a$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ नियत है,इसलिए $\frac{dU}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है कि $F = 0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $0 < x < a$ के लिए एक नियत ऋणात्मक बल और $x > a$ के लिए शून्य बल दर्शाता है,वह ग्राफ $C$ है।

(C) किसी निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ में परिवर्तन को संरक्षी बल द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Delta U = -W_{cons}$।
यदि किसी संरक्षी बल द्वारा निकाय पर कार्य किया जाता है,तो बल विस्थापन की दिशा में कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि $W_{cons} > 0$।
परिणामस्वरूप,$\Delta U = -W_{cons} < 0$,जो यह दर्शाता है कि निकाय की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है।
अतः,जब किसी संरक्षी बल द्वारा निकाय पर कार्य किया जाता है,तो निकाय की स्थितिज ऊर्जा में कमी आती है।

(A) संतुलन के लिए,कुल बल $F$ शून्य होना चाहिए: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4x + x - 2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2)(2x + 1) = 0$.
संतुलन स्थितियाँ $x = 2$ और $x = -1/2$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा $U$ और बल के बीच संबंध $F = -dU/dx$ है,इसलिए $dU/dx = -F = -(2x^2 - 3x - 2)$.
स्थिरता निर्धारित करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज $d^2U/dx^2 = -dF/dx = -(4x - 3)$ की जाँच करते हैं।
$x = 2$ के लिए: $d^2U/dx^2 = -(4(2) - 3) = -5 < 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,$x = 2$ अस्थायी संतुलन की स्थिति है।
$x = -1/2$ के लिए: $d^2U/dx^2 = -(4(-1/2) - 3) = -(-2 - 3) = 5 > 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,$x = -1/2$ स्थायी संतुलन की स्थिति है।

(A) कण मूल बिंदु $(x = 0)$ पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = U(0) = 0^2 - 3(0) = 0 \ J$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा $E = K + U$ स्थिर रहती है।
$E_i = K_i + U_i = 0 + 0 = 0 \ J$.
$x = 2$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_f = U(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2 \ J$ है।
चूंकि $E_i = E_f$,हमें प्राप्त होता है $0 = K_f + U_f$.
$0 = K_f - 2 \ J$.
अतः,$K_f = 2 \ J$.

(B) एक संरक्षी बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा $V$ में परिवर्तन के साथ $W = -\Delta V$ संबंध द्वारा जुड़ा होता है।
चूंकि किया गया कार्य धनात्मक है $(W > 0)$,इसलिए $-\Delta V > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\Delta V < 0$ है।
चूंकि $\Delta V = V_{final} - V_{initial} < 0$ है,इसलिए $V_{final} < V_{initial}$ होगा।
अतः,जब कोई संरक्षी बल किसी पिंड पर धनात्मक कार्य करता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा घट जाती है।

(C) दिए गए स्थितिज ऊर्जा ग्राफ से:
$x = 2\, m$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_i = 6\, J$ है।
$x = 5\, m$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_f = 2\, J$ है।
चूंकि पिंड को $x = 2\, m$ पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$0 + 6 = K_f + 2$
$K_f = 6 - 2 = 4\, J$
चूंकि $K_f = \frac{1}{2} m v^2$,जहाँ $m = 2\, kg$ है:
$4 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$
$4 = v^2$
$v = 2\, m/s$.

(B) बल $\vec{F}(x, y) = x^2 \hat{i} + y^2 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
किसी बल के संरक्षी होने के लिए,उस बल का कर्ल (curl) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\nabla \times \vec{F} = 0$।
यहाँ,$\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0$ और $\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2) = 0$ है।
चूंकि $\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$ है,इसलिए बल $\vec{F}$ एक संरक्षी बल है।
किसी संरक्षी बल द्वारा किसी भी बंद पथ के अनुदिश किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
अतः,बंद पथ $OABC$ के अनुदिश बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य शून्य है।

(D) दो अणुओं के बीच का बल $F$,स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
इसका अर्थ है कि बल $U-x$ ग्राफ के ढाल (slope) का ऋणात्मक मान है।
बिंदु $A$ $(x = 0.6 \mathring{A})$ पर,ढाल $\frac{dU}{dx}$ ऋणात्मक है,इसलिए $F = -(\text{ऋणात्मक}) = \text{धनात्मक}$,जो एक प्रतिकर्षण बल को दर्शाता है।
बिंदु $B$ $(x = 1.2 \mathring{A})$ पर,वक्र का मान न्यूनतम है,इसलिए ढाल $\frac{dU}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है कि बल $F = 0$ है।
बिंदु $C$ $(x = 1.8 \mathring{A})$ पर,ढाल $\frac{dU}{dx}$ धनात्मक है,इसलिए $F = -(\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$,जो एक आकर्षण बल को दर्शाता है।
अतः,$A, B, C$ पर बल क्रमशः प्रतिकर्षण,शून्य और आकर्षण हैं।

(B) बल $\vec{F}$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j})$ है।
दिया गया है $U(x,y) = \cos(x + y)$।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial U}{\partial x} = -\sin(x + y)$
$\frac{\partial U}{\partial y} = -\sin(x + y)$
अतः,बल के घटक हैं:
$F_x = -(-\sin(x + y)) = \sin(x + y)$
$F_y = -(-\sin(x + y)) = \sin(x + y)$
बिंदु $(0, \frac{\pi}{4})$ पर:
$F_x = \sin(0 + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F_y = \sin(0 + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,बल सदिश $\vec{F} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ होगा।

(C) एक संरक्षी क्षेत्र के लिए, बल $F$ स्थितिज ऊर्जा $U$ के स्थिति के सापेक्ष ऋणात्मक प्रवणता (negative gradient) से संबंधित है:
$F = -\frac{dU}{dx}$
दिया गया है $U = ax^2 - bx$, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2 - bx) = 2ax - b$
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = -(2ax - b)$
$F = b - 2ax$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) बल $F$ को $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है। संतुलन वहाँ होता है जहाँ $F = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dx} = 0$। यह उन बिंदुओं के अनुरूप है जहाँ $U-x$ ग्राफ का ढलान शून्य है,जो बिंदु $B$ और $D$ हैं।
बिंदु $B$ पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है,इसलिए $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$,जो स्थिर संतुलन को दर्शाता है।
बिंदु $D$ पर,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम है,इसलिए $\frac{d^2U}{dx^2} < 0$,जो अस्थिर संतुलन को दर्शाता है।
बिंदु $C$ पर,ढलान $\frac{dU}{dx}$ अपने अधिकतम धनात्मक मान पर है।
इसलिए,कथन 'स्थिति $D$ स्थिर संतुलन है' गलत है।

(D) कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ का योग है,जिसे $E = K + V(x)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $E = \frac{1}{2}mv^2 + V(x)$ होता है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dV(x)}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = -\frac{dV(x)}{dx}$ होता है।
त्वरण $a = -\frac{1}{m} \frac{dV(x)}{dx}$ प्राप्त होता है।
त्वरण को शून्य होने के लिए,$\frac{dV(x)}{dx} = 0$ होना आवश्यक है।
अतः,जहाँ स्थितिज ऊर्जा का स्थिति के सापेक्ष अवकलन शून्य होता है,वहाँ कण का त्वरण शून्य होता है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U = ax + by$ द्वारा दी गई है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $\overrightarrow{F}$,स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है: $\overrightarrow{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} \right)$.
आंशिक अवकलन करने पर: $\frac{\partial U}{\partial x} = a$ और $\frac{\partial U}{\partial y} = b$.
अतः,$\overrightarrow{F} = -a \hat{i} - b \hat{j}$.
बल का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण का परिमाण $a_{acc} = \frac{|\overrightarrow{F}|}{m} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{m}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) संरक्षी बल $\overrightarrow{F}$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $\overrightarrow{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z} \hat{k} \right)$ है।
दिया गया है $U = K(x + y)$,आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial U}{\partial x} = K$ और $\frac{\partial U}{\partial y} = K$.
अतः,बल $\overrightarrow{F} = -(K \hat{i} + K \hat{j})$ है।
$(1, 1)$ से $(2, 3)$ तक विस्थापन सदिश $\overrightarrow{S} = (2 - 1) \hat{i} + (3 - 1) \hat{j} = \hat{i} + 2 \hat{j}$ है।
संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S}$ है।
$W = -(K \hat{i} + K \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = -(K \times 1 + K \times 2) = -(K + 2K) = -3K$.

(A) बल $F = 2x^2 - 3x - 2$ द्वारा दिया गया है। संतुलन तब होता है जब $F = 0$ हो।
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
$2x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(2x + 1)(x - 2) = 0$
अतः,संतुलन स्थितियाँ $x = -1/2$ और $x = 2$ हैं।
स्थिरता निर्धारित करने के लिए,हम बल का अवकलन जाँचते हैं: $dF/dx = 4x - 3$।
स्थिर संतुलन के लिए,संतुलन बिंदु पर $dF/dx < 0$ होना चाहिए।
$x = -1/2$ पर: $dF/dx = 4(-1/2) - 3 = -2 - 3 = -5 < 0$। यह स्थिर संतुलन है।
$x = 2$ पर: $dF/dx = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5 > 0$। यह अस्थिर संतुलन है।
इसलिए,$x = -1/2$ स्थिर संतुलन की स्थिति है।

(A) बल $\vec{F}$ स्थितिज ऊर्जा $U$ के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) से संबंधित है: $\vec{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} \right)$.
दिया गया है $U = \frac{1}{2}(x^2 - z^2)$,हम आंशिक अवकलन (partial derivatives) की गणना करते हैं:
$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(2x) = -x$.
$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$ (क्योंकि यहाँ $y$ पर कोई निर्भरता नहीं है)।
$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(-2z) = z$.
अतः,बल सदिश $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k} = -x\hat{i} + z\hat{k}$ है।

(D) किसी बल को संरक्षी तब कहा जाता है यदि दो बिंदुओं के बीच एक कण को ले जाने में उसके द्वारा या उसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
घर्षण बल एक असंरक्षी बल है क्योंकि घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य पथ की लंबाई पर निर्भर करता है।
इसके अलावा,घर्षण जैसे असंरक्षी बल के विरुद्ध किया गया कार्य ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाता है और इसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में पुनः प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों गलत हैं।

(N/A) यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में बल द्वारा या उसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
$1$. जब कोई बाहरी बल किसी संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्प्रिंग बल) के विरुद्ध किसी वस्तु को स्थानांतरित करने के लिए कार्य करता है,तो यह कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है।
$2$. जब बाहरी बल को हटा दिया जाता है,तो वस्तु इस संग्रहीत स्थितिज ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करके गति करती है।
$3$. इस पूरी प्रक्रिया के दौरान,कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग) स्थिर रहती है।
चूंकि किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि पथ पर,इसलिए इन बलों को संरक्षी बलों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल,स्प्रिंग बल और स्थिर वैद्युत बल शामिल हैं।

(C) यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
क्षेत्र बल,जैसे गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल,संरक्षी होते हैं क्योंकि उनके द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
संपर्क बल,जैसे घर्षण और वायु प्रतिरोध,असंरक्षी होते हैं क्योंकि उनके द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है और वे अक्सर यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मा में नष्ट कर देते हैं।
इसलिए,क्षेत्र बल आमतौर पर संरक्षी होते हैं,और संपर्क बल आमतौर पर असंरक्षी होते हैं।

(N/A) संरक्षी बल: यदि किसी बल द्वारा किसी वस्तु पर किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है। ऐसे क्षेत्र को संरक्षी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल,स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल।
असंरक्षी बल: यदि किसी बल द्वारा किसी वस्तु पर किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है,तो उस बल को असंरक्षी बल कहा जाता है। ऐसे बल द्वारा एक बंद पथ के चारों ओर किसी वस्तु को ले जाने में किया गया कार्य शून्य नहीं होता है। ऐसे क्षेत्र को असंरक्षी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण के लिए,घर्षण बल और श्यानता बल।

(N/A) एक संरक्षी बल $F$ के लिए,एक छोटे विस्थापन $\Delta x$ के दौरान बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,$\Delta K = W$।
अतः,$\Delta K = F \Delta x$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तनों का योग शून्य होता है: $\Delta K + \Delta V = 0$।
समीकरण में $\Delta K = F \Delta x$ रखने पर,हमें $F \Delta x + \Delta V = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमारे पास $F \Delta x = -\Delta V$ है।
इसलिए,$F = -\frac{\Delta V}{\Delta x}$।
सीमा $\Delta x \to 0$ पर,यह $F = -\frac{dV}{dx}$ हो जाता है।
इस प्रकार,संरक्षी बल के लिए,बल विस्थापन के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक अवकलन होता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक वस्तु एक संरक्षी बल $F$ के प्रभाव में सूक्ष्म विस्थापन $dx$ से गुजरती है।
इस संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $dW = F dx$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,अर्थात $dW = dK$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,संरक्षी बल के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + V$ स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है $dE = 0$।
इसलिए,$dK + dV = 0$,जो दर्शाता है कि $dK = -dV$।
$dW = dK$ और $dW = F dx$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F dx = -dV$ प्राप्त होता है।
अतः,$F = -\frac{dV}{dx}$।
इस प्रकार,संरक्षी बल के लिए,बल विस्थापन के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक अवकलन के बराबर होता है।

(N/A) संरक्षी बल वह बल है जिसमें दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में किया गया कुल कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है। इसके उदाहरण हैं: $1$. गुरुत्वाकर्षण बल,$2$. स्थिर-वैद्युत बल,$3$. स्प्रिंग बल (प्रत्यास्थ बल)।
असंरक्षी बल वह बल है जिसमें किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है। इसके उदाहरण हैं: $1$. घर्षण बल,$2$. श्यान बल (Viscous force),$3$. वायु प्रतिरोध।

(A) एक संरक्षी बल $F(x)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में ऋणात्मक परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = -\Delta V$
चूंकि एक छोटे विस्थापन $dx$ पर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $dW = F dx$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$F dx = -dV$
$F = -\frac{dV}{dx}$
अतः,विस्थापन के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक अवकलन संरक्षी बल प्रदान करता है।

(N/A) जब किसी निकाय पर असंरक्षी बल (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) कार्य करते हैं,तो कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। इसके बजाय,इन असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य $(W_{nc})$ निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $W_{nc} = \Delta E = \Delta K + \Delta U$,जहाँ $\Delta K$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta U$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है।
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $E_f - E_i = W_{nc}$,जहाँ $E_f$ अंतिम यांत्रिक ऊर्जा है और $E_i$ प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा है।
यह दर्शाता है कि असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य निकाय की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन का कारण बनता है,जो अक्सर ऊष्मा या ध्वनि के रूप में क्षय हो जाता है।

(N/A) $(1)$ यदि किसी कण द्वारा दो बिंदुओं के बीच गति करने पर किया गया कार्य केवल उसके प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि लिए गए पथ पर,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
$(2)$ यदि किसी कण द्वारा किसी भी बंद पथ (closed path) पर गति करने में किया गया कुल कार्य शून्य होता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
$(3)$ यदि किसी बल $F$ को एक अदिश स्थितिज ऊर्जा फलन $U$ के ऋणात्मक प्रवणता (negative gradient) के रूप में व्यक्त किया जा सके,अर्थात $F = -\nabla U$,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।

(N/A) $(1)$ संरक्षी बल पथ पर निर्भर नहीं करते हैं। संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
$(2)$ एक बंद लूप में संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है। गणितीय रूप से,$\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$।
$(3)$ संरक्षी बलों के लिए एक स्थितिज ऊर्जा फलन $V$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि $\vec{F} = -\nabla V$ हो। यह यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण की अनुमति देता है,जहाँ $K + V = \text{स्थिरांक}$।
$(4)$ सभी बल संरक्षी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए,घर्षण एक असंरक्षी बल है। असंरक्षी बलों की उपस्थिति में,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है और ऊर्जा ऊष्मा $(Q)$ के रूप में नष्ट हो जाती है। संशोधित नियम $K + V + Q = \text{स्थिरांक}$ है।
$(5)$ स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ बिंदु स्वेच्छ (arbitrary) होता है। हम सुविधा के आधार पर शून्य स्तर चुनते हैं (जैसे,स्प्रिंग के लिए $x=0$,गुरुत्वाकर्षण के लिए पृथ्वी की सतह,या सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के लिए अनंत दूरी)। केवल स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta V)$ भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है।

(A) स्प्रिंग बल हुक के नियम $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
एक बल को संरक्षी कहा जाता है यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
स्प्रिंग बल के लिए,स्थिति $x_1$ से $x_2$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$ है।
चूंकि किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों ($x_1$ और $x_2$) पर निर्भर करता है,न कि लिए गए पथ पर,इसलिए स्प्रिंग बल एक संरक्षी बल है।

(N/A) $1$. संरक्षी बलों के लिए: यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम बताता है कि यदि किसी निकाय पर केवल संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्थिर-वैद्युत बल) कार्य करते हैं,तो कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = K + U)$ स्थिर रहती है। गणितीय रूप से,$\Delta E = \Delta K + \Delta U = 0$,जिसका अर्थ है $E_{initial} = E_{final}$।
$2$. गैर-संरक्षी बलों के लिए: जब किसी निकाय पर गैर-संरक्षी बल (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) कार्य करते हैं,तो कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। इसके बजाय,गैर-संरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य $(W_{nc})$ कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{nc} = \Delta E = (K_f + U_f) - (K_i + U_i)$। यह कार्य आमतौर पर ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाता है।

(B) यदि किसी वस्तु को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में बल द्वारा या बल के विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि किसी कण को किसी भी बंद पथ पर घुमाने में बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है,तो वह बल संरक्षी है।
संरक्षी बलों के गुण:
$1$. किया गया कार्य अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है।
$2$. एक बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है।
$3$. बल स्थितिज ऊर्जा फलन का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) होता है,अर्थात $F = -\nabla U$।
गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर वैद्युत बल इसके उदाहरण हैं।

(A) एक संरक्षी बल $F(x)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक मान के बराबर होता है: $W = -\Delta U$।
अति सूक्ष्म विस्थापन $dx$ के लिए,किया गया कार्य $dW = F(x) dx$ है।
अतः,$F(x) dx = -dU$,जिसका अर्थ है $F(x) = -\frac{dU}{dx}$।
इसलिए,स्थिति के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक अवकलज बल प्रदान करता है।

(N/A) किसी बल को संरक्षी बल तब कहा जाता है जब:
$(1)$ बल द्वारा किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र हो,अर्थात यह केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है।
$(2)$ एक बंद लूप (closed loop) में बल द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य हो।

(B) नहीं,असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है।
$1$. यदि किसी वस्तु पर बल लगाया जाता है लेकिन वह विस्थापित नहीं होती है,तो घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।
$2$. यदि किसी वस्तु की गति घर्षण के कारण होती है (उदाहरण के लिए,गतिमान तख्ते पर रखा गया ब्लॉक),तो वस्तु पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक हो सकता है।
$3$. सामान्यतः,जब घर्षण बल सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है तो यह ऋणात्मक कार्य करता है,लेकिन यह सभी असंरक्षी बलों के लिए एक सार्वभौमिक नियम नहीं है।

(N/A) नहीं,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहेगी।
गिरते समय,पिंड वायु के प्रतिरोध बल (ड्रैग) का अनुभव करता है,जो एक असंरक्षी बल है।
इस प्रतिरोध बल के विरुद्ध किया गया कार्य कुछ यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित कर देता है।
परिणामस्वरूप,गतिज ऊर्जा $(KE)$ में हुई वृद्धि,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में हुई हानि से कम होती है,जिसका अर्थ है कि कुल यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ घटती जाती है।

(N/A) नहीं,एक बंद लूप के अनुदिश पिंड को गति कराने में किया गया कार्य आवश्यक रूप से शून्य नहीं होता है।
कार्य केवल तभी शून्य होता है जब पिंड पर कार्य करने वाले बल संरक्षी बल (conservative forces) हों।
संरक्षी बल वह बल है जिसमें दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में किया गया कुल कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
संरक्षी बलों के उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल शामिल हैं।
इसके विपरीत,घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे असंरक्षी बल ऊर्जा का क्षय करते हैं,जिसका अर्थ है कि एक बंद लूप पर किया गया कार्य शून्य नहीं होता है।

(B) संरक्षी बल वह बल है जिसमें दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में किया गया कुल कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है। इसके उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल शामिल हैं।
असंरक्षी बल वह बल है जिसमें किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है। इसके उदाहरणों में घर्षण बल और वायु प्रतिरोध शामिल हैं।
अतः,$(1)$ संरक्षी बल का मिलान $(b)$ गुरुत्वाकर्षण बल से होता है,और $(2)$ असंरक्षी बल का मिलान $(a)$ घर्षण बल से होता है।
सही मिलान $(1-b), (2-a)$ है।

(A) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $F = -\frac{dU}{dr}$ है।
दिया गया है $U = \frac{a}{r^2} - \frac{b}{r}$,इसलिए $F = -\frac{d}{dr}(\frac{a}{r^2} - \frac{b}{r}) = -(-\frac{2a}{r^3} + \frac{b}{r^2}) = \frac{2a}{r^3} - \frac{b}{r^2}$।
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{2a}{r^3} - \frac{b}{r^2}) = -\frac{6a}{r^4} + \frac{2b}{r^3} = 0$।
इससे हमें $r = \frac{3a}{b}$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ और $b = 4$ रखने पर,$r = \frac{3(2)}{4} = 1.5 = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$r = \frac{3}{2}$ का मान $F$ के व्यंजक में रखने पर:
$F = \frac{2(2)}{(3/2)^3} - \frac{4}{(3/2)^2} = \frac{4}{27/8} - \frac{4}{9/4} = \frac{32}{27} - \frac{16}{9} = \frac{32 - 48}{27} = -\frac{16}{27} \ N$।

(A) कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_{\text{mech}} = K.E. + U = 8 \, J$ है।
$(A)$ $x = x_{3}$ पर,आलेख से,$U = 4 \, J$ है। इसलिए,$K.E. = E_{\text{mech}} - U = 8 - 4 = 4 \, J$ है। कथन में $K.E. = 10 \, J$ दिया गया है,जो गलत है।
$(B)$ $x = x_{2}$ पर,आलेख से,$U = 0 \, J$ है। इसलिए,$K.E. = 8 - 0 = 8 \, J$ है। चूँकि $U$ न्यूनतम है,$K.E.$ अधिकतम है,और कण सबसे तेज़ गति से चलता है। यह कथन सही है।
$(C)$ $x < x_{1}$ पर,आलेख से,$U = 8 \, J$ है। इसलिए,$K.E. = 8 - 8 = 0 \, J$ है। कण स्थिर है,जो सबसे धीमी गति है। यह कथन सही है।
$(D)$ $x > x_{4}$ पर,आलेख से,$U = 6 \, J$ (स्थिर) है। इसलिए,$K.E. = 8 - 6 = 2 \, J$ (स्थिर) है। यह कथन भी सही है।

(A) कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\alpha x^3 - \beta x^4$ है।
चूँकि $F = -\frac{dU}{dx}$,इसलिए $\frac{dU}{dx} = \alpha x^3 + \beta x^4$ होगा।
$x = 0$ पर,$\frac{dU}{dx} = 0$ है,जिसका अर्थ है कि कण संतुलन में है।
स्थिरता निर्धारित करने के लिए,हम $x = 0$ पर स्थितिज ऊर्जा $U$ के अवकलजों की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2U}{dx^2} = 3\alpha x^2 + 4\beta x^3$,जो $x = 0$ पर $0$ है।
$\frac{d^3U}{dx^3} = 6\alpha x + 12\beta x^2$,जो $x = 0$ पर $0$ है।
$\frac{d^4U}{dx^4} = 6\alpha + 24\beta x$,जो $x = 0$ पर $6\alpha$ है।
चूँकि $\alpha > 0$ है,$x = 0$ पर पहला गैर-शून्य अवकलज सम क्रम ($4$था अवकलज) का है और धनात्मक है। यह इंगित करता है कि $U$ का मान $x = 0$ पर न्यूनतम है।
अतः,कण स्थायी संतुलन में है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल ऊर्जा स्थिर रहती है: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
$x = +\infty$ पर, स्थितिज ऊर्जा $U_i = V(\infty) = \frac{K}{e^{\infty} + e^{-\infty}} = 0$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = K$ है।
$x = 0$ पर, स्थितिज ऊर्जा $U_f = V(0) = \frac{K}{e^0 + e^0} = \frac{K}{1 + 1} = \frac{K}{2}$ है।
मान लीजिए $x = 0$ पर कण की चाल $v$ है। तब अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $K + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{K}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = K - \frac{K}{2} = \frac{K}{2}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $mv^2 = K \Rightarrow v^2 = \frac{K}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{K}{m}}$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) संतुलन के लिए,बल $F$ शून्य होना चाहिए।
$F = 2x^2 - 3x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4x + x - 2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 \Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
अतः,संतुलन स्थितियाँ $x = 2$ और $x = -1/2$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा $U$ और बल के बीच संबंध $F = -dU/dx$ है,इसलिए $dU/dx = -F$.
स्थायी संतुलन के लिए शर्त यह है कि स्थितिज ऊर्जा $U$ न्यूनतम हो,जिसका अर्थ है $d^2U/dx^2 > 0$.
चूंकि $dU/dx = -F$,हमें $d^2U/dx^2 = -dF/dx$ प्राप्त होता है।
अवकलन करने पर: $dF/dx = d/dx(2x^2 - 3x - 2) = 4x - 3$.
इसलिए,$d^2U/dx^2 = -(4x - 3) = 3 - 4x$.
$x = -1/2$ पर: $d^2U/dx^2 = 3 - 4(-1/2) = 3 + 2 = 5 > 0$. चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,$x = -1/2$ स्थायी संतुलन की स्थिति है।
$x = 2$ पर: $d^2U/dx^2 = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5 < 0$. चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,$x = 2$ अस्थायी संतुलन की स्थिति है।