Inelastic Collision Questions in Hindi

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_A v_A + m_B v_B$
दिया गया है: $m_A = 0.2 \, kg$,$m_B = 0.4 \, kg$,$v_A = 0.3 \, m/s$।
चूंकि गेंदें विपरीत दिशाओं में गति कर रही हैं,$A$ की दिशा को धनात्मक लें। अतः,$v_A = +0.3 \, m/s$ और $v_B$ ऋणात्मक होगा।
अंतिम संवेग $P_f = 0$ (क्योंकि दोनों गेंदें स्थिर हो जाती हैं)।
$m_A v_A + m_B v_B = 0$
$(0.2 \, kg)(0.3 \, m/s) + (0.4 \, kg)(v_B) = 0$
$0.06 + 0.4 v_B = 0$
$0.4 v_B = -0.06$
$v_B = -\frac{0.06}{0.4} = -0.15 \, m/s$.

(B) मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 5 \, m$ है और उछलने के बाद की ऊँचाई $h_2 = 1.8 \, m$ है।
टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ है और टक्कर के ठीक बाद का वेग $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ वेगों के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$e = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2gh_1}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$e = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
उछलने के बाद का वेग $v_2 = e v_1 = \frac{3}{5} v_1$ है।
वेग में कमी $\Delta v = v_1 - v_2 = v_1 - \frac{3}{5} v_1 = \frac{2}{5} v_1$ है।
अतः,वह कारक जिससे गेंद अपने वेग को खो देती है,$\frac{\Delta v}{v_1} = \frac{2}{5}$ है।

(A) $n$ उछालों के बाद गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h_n$ का सूत्र $h_n = h_0 \cdot e^{2n}$ है,जहाँ $h_0$ प्रारंभिक ऊँचाई है,$e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है और $n$ उछालों की संख्या है।
दिया गया है: प्रारंभिक ऊँचाई $h_0 = 32 \ m$,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.5 = 1/2$,और उछालों की संख्या $n = 2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$h_2 = 32 \times (1/2)^{2 \times 2}$
$h_2 = 32 \times (1/2)^4$
$h_2 = 32 \times (1/16)$
$h_2 = 2 \ m$.
अतः,दूसरी उछाल के बाद गेंद $2 \ m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठेगी।

(D) जब कोई पिंड किसी सतह से टकराकर वापस उछलता है,तो उसकी नई ऊँचाई $h'$ ज्ञात करने का सूत्र $h' = h \cdot e^2$ है,जहाँ $h$ प्रारंभिक ऊँचाई है और $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
दिया गया है:
प्रारंभिक ऊँचाई $h = 1 \, m$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.6$
सूत्र में मान रखने पर:
$h' = 1 \times (0.6)^2$
$h' = 1 \times 0.36$
$h' = 0.36 \, m$
अतः,पिंड $0.36 \, m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगा।

(D) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो पहली टक्कर से ठीक पहले का वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ होता है।
जमीन के साथ पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ हो जाता है।
पहली टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = ev_1 = e^2\sqrt{2gh}$ हो जाता है।
दूसरी टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{e^4(2gh)}{2g} = e^4h$ है।
सामान्यतः,$n$ टक्करों के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = h e^{2n}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,ऊँचाई $h_2 = h e^{2(2)} = e^4h$ होगी।

(A) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 10\,m$ है और उछाल के बाद की ऊँचाई $h_2$ है।
चूंकि पिंड टक्कर के दौरान अपनी $20\%$ ऊर्जा खो देता है,इसलिए शेष ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $80\%$ है।
अतः,$mgh_2 = 0.80 \times mgh_1$.
यह सरल होकर $\frac{h_2}{h_1} = 0.8$ देता है।
फर्श से उछलने वाले पिंड के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ का मान $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{0.8} \approx 0.894$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक लगभग $0.89$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
दिया गया है: $u_1 = 3 \, ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$v_1 = 2 \, ms^{-1}$,$v_2 = 5 \, ms^{-1}$.
मान रखने पर:
$m_1(3) + m_2(0) = m_1(2) + m_2(5)$
$3m_1 = 2m_1 + 5m_2$
$3m_1 - 2m_1 = 5m_2$
$m_1 = 5m_2$
अतः,अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = 5$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m = 40\, kg$ है।
पहले पिंड का वेग $v_1 = 10\, m/s$ और दूसरे पिंड का वेग $v_2 = -7\, m/s$ है (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं)।
मान लीजिए संयुक्त पिंड का अंतिम वेग $v$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$
मान रखने पर: $(40 \times 10) + (40 \times -7) = (40 + 40)v$
$400 - 280 = 80v$
$120 = 80v$
$v = 120 / 80 = 1.5\, m/s$.
अतः,संयोजन का वेग $1.5\, m/s$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
टक्कर से पहले निकाय का संवेग = $M u + m(0) = M u$
टक्कर के बाद निकाय का संवेग = $M v + m u$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग को बराबर करने पर:
$M u = M v + m u$
$v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$M v = M u - m u$
$M v = (M - m) u$
$v = \frac{M - m}{M} u$

(A) $100\, m$ की ऊँचाई $H$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgH$ है।
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो उसकी $20\%$ ऊर्जा नष्ट हो जाती है,जिसका अर्थ है कि $80\%$ ऊर्जा शेष रहती है।
टक्कर के बाद गेंद जिस अधिकतम ऊँचाई $h$ तक पहुँचती है,वहाँ उसकी स्थितिज ऊर्जा $PE_f = mgh$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$PE_f = 0.80 \times PE_i$ है।
अतः,$mgh = 0.80 \times mgH$।
दोनों पक्षों से $mg$ को हटाने पर,हमें $h = 0.80 \times H$ प्राप्त होता है।
$H = 100\, m$ रखने पर,$h = 0.80 \times 100 = 80\, m$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि गेंद को $h = 20 \ m$ की ऊँचाई से $v$ वेग के साथ लंबवत नीचे की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।
प्रक्षेपण बिंदु $A$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ है।
फर्श के साथ टक्कर के दौरान,गेंद अपनी $50\%$ ऊर्जा खो देती है। शेष ऊर्जा $E_f = 0.5 \times E_i = 0.5 \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgh \right)$ है।
टक्कर के बाद,गेंद उसी ऊँचाई $h$ तक वापस उछलती है। इस अधिकतम ऊँचाई पर,इसका वेग शून्य होता है,इसलिए इसकी कुल ऊर्जा केवल स्थितिज ऊर्जा होती है: $E_{final} = mgh$.
टक्कर के बाद की ऊर्जा को $h$ ऊँचाई तक पहुँचने के लिए आवश्यक ऊर्जा के बराबर करने पर: $0.5 \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgh \right) = mgh$.
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने और सरल करने पर: $\frac{1}{4}v^2 + \frac{1}{2}gh = gh$.
$\frac{1}{4}v^2 = \frac{1}{2}gh$.
$v^2 = 2gh$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.

(A) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है और वह जमीन के साथ अप्रत्यास्थ टक्कर करती है,तो प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पहली टक्कर के बाद,गेंद का वेग $v_1 = ev_0$ हो जाता है,जहाँ $v_0 = \sqrt{2gh}$ पहली टक्कर से ठीक पहले का वेग है।
पहली टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(ev_0)^2}{2g} = e^2 h$ है।
इसी प्रकार,दूसरी टक्कर के बाद,प्राप्त ऊँचाई $h_2 = e^2 h_1 = e^2 (e^2 h) = e^4 h$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$ वीं टक्कर के बाद,प्राप्त ऊँचाई $h_n = h e^{2n}$ है।
तीसरी टक्कर $(n = 3)$ के लिए,प्राप्त ऊँचाई $h_3 = h e^{2(3)} = h e^6$ है।

(A) माना द्रव्यमान $A$,$v$ वेग से गति करता है और विराम अवस्था में स्थित द्रव्यमान $B$ से अप्रत्यास्थ रूप से टकराता है।
प्रश्न के अनुसार,टक्कर के बाद द्रव्यमान $A$ लंबवत दिशा में $\frac{v}{\sqrt{3}}$ वेग से गति करता है। माना द्रव्यमान $B$,क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $V$ वेग से गति करता है।
निकाय का प्रारंभिक क्षैतिज संवेग (टक्कर से पहले) $= mv$.
निकाय का अंतिम क्षैतिज संवेग (टक्कर के बाद) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) \cos(90^{\circ}) + mV \cos \theta = mV \cos \theta$.
क्षैतिज रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = mV \cos \theta \implies v = V \cos \theta$ $...(i)$.
निकाय का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर संवेग (टक्कर से पहले) $= 0$.
निकाय का अंतिम ऊर्ध्वाधर संवेग (टक्कर के बाद) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta$.
ऊर्ध्वाधर रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: $m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta = 0 \implies \frac{v}{\sqrt{3}} = V \sin \theta$ $...(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$v^2 + \frac{v^2}{3} = V^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$.
$\frac{4v^2}{3} = V^2$.
$V = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(D) समान द्रव्यमान वाले दो गोलों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक गोला प्रारंभ में स्थिर होता है,टक्कर के बाद दोनों गोले एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर गति करते हैं।
हालाँकि,एक अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
इस स्थिति में,टक्कर के बाद दोनों गोलों के वेगों के बीच का कोण $90^{\circ}$ नहीं होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक अप्रत्यास्थ (inelastic) टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे। इसी प्रकार,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार निकाय की कुल ऊर्जा (ऊष्मा,ध्वनि आदि सहित) संरक्षित रहती है। हालाँकि,निकाय की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि इसका कुछ हिस्सा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा जैसे ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए,वह राशि जो संरक्षित नहीं रहती है,वह गतिज ऊर्जा है।

(B) किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,क्योंकि इसका कुछ हिस्सा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा जैसे अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,एक अप्रत्यास्थ टक्कर में केवल संवेग ही संरक्षित रहता है।

(C) एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,गेंद की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि इसका कुछ हिस्सा ऊष्मा या ध्वनि जैसी ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है।
हालाँकि,गेंद और पृथ्वी से बनी प्रणाली के लिए,टक्कर के दौरान प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी बल की अनुपस्थिति में,प्रणाली का कुल संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,गेंद और पृथ्वी का कुल संवेग संरक्षित रहता है।

(B) मान लीजिए कि पहले पिंड की प्रारंभिक चाल $u_1$ है और दूसरे पिंड की प्रारंभिक चाल $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद उनकी चालें क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u_1 + m(0) = m v_1 + m v_2$,जो सरल होकर $u_1 = v_1 + v_2$ हो जाता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u_1}$।
$u_1 = v_1 + v_2$ को $e$ के समीकरण में रखने पर: $e = \frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e(v_1 + v_2) = v_2 - v_1 \implies ev_1 + ev_2 = v_2 - v_1$।
$v_1$ और $v_2$ के पदों को समूहित करने पर: $v_1(1 + e) = v_2(1 - e)$।
अतः,उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - e}{1 + e}$ है।

(D) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$h$ ऊँचाई से गिराई गई गेंद के लिए,पहली टक्कर से ठीक पहले का वेग $u = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = e \cdot u = e\sqrt{2gh}$ है।
पहली उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e\sqrt{2gh})^2}{2g} = e^2h$ है।
इसी प्रकार,दूसरी उछाल के बाद,प्राप्त ऊँचाई $h_2 = e^2 h_1 = e^2(e^2h) = e^4h$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n^{th}$ उछाल के बाद,प्राप्त ऊँचाई $h_n = e^{2n}h$ होगी।

(C) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो पहली टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_1 = \sqrt{2gh}$ होता है।
जमीन के साथ पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1' = e v_1 = e \sqrt{2gh}$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) है।
पहली टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{(v_1')^2}{2g} = \frac{e^2 (2gh)}{2g} = he^2$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2' = e v_1' = e(e \sqrt{2gh}) = e^2 \sqrt{2gh}$ हो जाता है।
दूसरी टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{(v_2')^2}{2g} = \frac{(e^2 \sqrt{2gh})^2}{2g} = \frac{e^4 (2gh)}{2g} = he^4$ है।
अतः,दूसरी टक्कर के बाद गेंद $he^4$ की ऊँचाई तक पहुँचेगी।

(C) मान लीजिए कि संघट्ट (impact) से ठीक पहले वस्तु का वेग $v_1$ है और संघट्ट के ठीक बाद वेग $v_2$ है।
संघट्ट से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_1$ है, जहाँ $h_1 = 10 \ m$ है।
संघट्ट के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = mgh_2$ है, जहाँ $h_2 = 2.5 \ m$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि इस प्रकार दी जाती है:
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{K_1 - K_2}{K_1} \times 100$
मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{mgh_1 - mgh_2}{mgh_1} \times 100 = \frac{h_1 - h_2}{h_1} \times 100$
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{10 - 2.5}{10} \times 100 = \frac{7.5}{10} \times 100 = 75\%$

(C) माना टक्कर के बाद दोनों गोलों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं。
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mu + m(0) = mv_1 + mv_2$, जिसे सरल करने पर $v_1 + v_2 = u$ प्राप्त होता है。
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$。
यहाँ $e = \frac{1}{2}$, $u_1 = u$, और $u_2 = 0$ दिया गया है, इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{v_2 - v_1}{u}$, जिसका अर्थ है $v_2 - v_1 = \frac{u}{2}$。
अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) v_1 + v_2 = u$
$2) -v_1 + v_2 = \frac{u}{2}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2v_2 = \frac{3u}{2} \implies v_2 = \frac{3u}{4}$。
समीकरणों को घटाने पर: $2v_1 = u - \frac{u}{2} = \frac{u}{2} \implies v_1 = \frac{u}{4}$。
उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{u/4}{3u/4} = \frac{1}{3}$ है。

(C) माना पहले पिंड का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1 = v\hat{i}$ है और दूसरे पिंड का वेग $\vec{u}_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,पहले पिंड का वेग $\vec{v}_1 = \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$ है।
माना दूसरे पिंड का वेग $\vec{v}_2 = v_{2x}\hat{i} + v_{2y}\hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$x$-अक्ष पर: $mv = mv_{2x} \implies v_{2x} = v$.
$y$-अक्ष पर: $0 = m(\frac{v}{\sqrt{3}}) + mv_{2y} \implies v_{2y} = -\frac{v}{\sqrt{3}}$.
दूसरे पिंड की चाल का परिमाण $v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{v^2 + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{v^2 + \frac{v^2}{3}} = \sqrt{\frac{4v^2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$ होगा।

(B) दीवार $\hat{j}$ अक्ष के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि दीवार $y$-दिशा में है। दीवार का अभिलंब $x$-दिशा $(\hat{i})$ में है।
टक्कर से पहले,वेग के घटक $v_x = 2 \text{ m/s}$ और $v_y = 2 \text{ m/s}$ हैं।
टक्कर के दौरान,दीवार के समानांतर वेग का घटक $(v_y)$ अपरिवर्तित रहता है क्योंकि दीवार चिकनी है।
अतः,$v_y' = v_y = 2 \text{ m/s}$।
दीवार के लंबवत वेग का घटक $(v_x)$ प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार बदलता है:
$v_x' = -e \cdot v_x = -(1/2) \cdot 2 = -1 \text{ m/s}$।
इसलिए,अंतिम वेग सदिश $\vec{v} = v_x'\hat{i} + v_y'\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ होगा।

(D) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h_0$ है और पहले संघट्ट से ठीक पहले वेग $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है।
संघट्ट से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_0$ है।
उछाल के बाद,वेग $v_1 = ev_0$ हो जाता है।
उछाल के बाद गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(ev_0)^2 = e^2 K_i$ होती है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = K_i(1 - e^2)$ है।
प्रतिशत हानि $= \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = (1 - e^2) \times 100$ है।
यहाँ $e = 0.5$ दिया गया है,अतः प्रतिशत हानि $= (1 - (0.5)^2) \times 100 = (1 - 0.25) \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$।

(C) माना कि टक्कर से ठीक पहले वस्तु का वेग $v_1$ है और टक्कर के ठीक बाद वस्तु का वेग $v_2$ है।
ऊर्जा संरक्षण या गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
गिरते समय: $v_1^2 = 2gh_1$,जहाँ $h_1 = 10 \ m$.
उछलते समय: $v_2^2 = 2gh_2$,जहाँ $h_2 = 2.5 \ m$.
वेगों के वर्गों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{2gh_1}{2gh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{2.5} = 4$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,टक्कर से ठीक पहले के वेग और टक्कर के ठीक बाद के वेग का अनुपात $2:1$ है।

(A) माना कि पहली गेंद का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = 2m$ है।
प्रारंभिक वेग $u_1 = 1.5 \ m/s$ और $u_2 = 0 \ m/s$ हैं।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.6$ है।
पहली गेंद का अंतिम वेग इस प्रकार है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{m - 0.6(2m)}{m + 2m} \right) (1.5) = \left( \frac{1 - 1.2}{3} \right) (1.5) = \left( \frac{-0.2}{3} \right) (1.5) = -0.1 \ m/s$.
दूसरी गेंद का अंतिम वेग $e$ की परिभाषा का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow 0.6 = \frac{v_2 - (-0.1)}{1.5 - 0} \Rightarrow 0.6 = \frac{v_2 + 0.1}{1.5}$.
$v_2 + 0.1 = 0.6 \times 1.5 = 0.9 \Rightarrow v_2 = 0.8 \ m/s$.
अतः,टक्कर के बाद वेग $-0.1 \ m/s$ और $0.8 \ m/s$ हैं।

(A) मान लीजिए कि पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का प्रारंभिक वेग $v = \sqrt{2gh}$ है। $h$ ऊँचाई से गिरने में लगा समय $t = \sqrt{2h/g}$ है।
जमीन के साथ पहली टक्कर के बाद,गेंद का वेग $v_1 = ev$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावर्तन गुणांक है।
पहली उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = v_1^2 / (2g) = (ev)^2 / (2g) = e^2 (v^2 / 2g) = e^2 h$ है।
पहली उछाल के बाद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = v_1 / g = ev / g = et$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = ev_1 = e^2v$ हो जाता है।
दूसरी उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2 = v_2^2 / (2g) = (e^2v)^2 / (2g) = e^4 (v^2 / 2g) = e^4 h$ है।
दूसरी उछाल के बाद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = v_2 / g = e^2v / g = e^2t$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$ उछाल के बाद,प्राप्त ऊँचाई $h_n = e^{2n}h$ है।
$n$-वीं उछाल के बाद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_n = e^nt$ है।

(B) मान लीजिए कि गेंद $h_1$ ऊँचाई से गिरती है और उछलने के बाद $h_2$ ऊँचाई प्राप्त करती है। प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,यदि टक्कर से ठीक पहले और बाद में गेंद का वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ है,तो $e = \frac{v_2}{v_1}$ होता है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
खोए गए वेग का अंश $\frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार,पहली टक्कर के ठीक बाद वेग $v_1 = ev$ होता है।
दूसरी टक्कर के ठीक बाद वेग $v_2 = ev_1 = e(ev) = e^2v$ होता है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$ वीं टक्कर के ठीक बाद वेग $v_n = e^n v$ होगा।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_n = e^n \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है। पहली टक्कर से ठीक पहले वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ हो जाता है। प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = ev_1 = e^2v$ हो जाता है। प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ है।
सामान्य तौर पर,$n$ वीं टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = e^{2n}h$ है।
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $S$ प्रारंभिक गिरावट और बाद के ऊपर और नीचे के रास्तों का योग है:
$S = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$S = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$S = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + ...)$
अनंत ज्यामितीय श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=e^2$:
$S = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(A) माना कि पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v_0$ है और पहली टक्कर के ठीक बाद वेग $u_1$ है। तब $u_1 = e v_0$ होता है।
दूसरी टक्कर के बाद,$u_2 = e u_1 = e^2 v_0$ होता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$n$ टक्करों के बाद वेग $u_n = e^n v_0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $h$ ऊँचाई से गिरने वाली वस्तु का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
अतः,$u_n = \sqrt{2gh_n}$ और $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है।
इन मानों को समीकरण $u_n = e^n v_0$ में रखने पर,हमें $\sqrt{2gh_n} = e^n \sqrt{2gh_0}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2gh_0}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^n = \sqrt{\frac{h_n}{h_0}}$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$(2 \ kg)(1.5 \ ms^{-1}) + (3 \ kg)(0) = (2 \ kg)(v_1) + (3 \ kg)(1 \ ms^{-1})$
$3 = 2v_1 + 3$
$2v_1 = 0 \implies v_1 = 0 \ ms^{-1}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i)$:
$KE_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (1.5)^2 + 0 = 2.25 \ J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_f)$:
$KE_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0)^2 + \frac{1}{2} \times 3 \times (1)^2 = 1.5 \ J$
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE)$:
$\Delta KE = KE_i - KE_f = 2.25 \ J - 1.5 \ J = 0.75 \ J$

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
टक्कर से पहले का संवेग $P_i = mv + (nm)(kv)$ है।
टक्कर के बाद का संवेग $P_f = m(0) + (nm)V$ है,जहाँ $V$ दूसरी वस्तु का अंतिम वेग है।
$P_i$ और $P_f$ को बराबर करने पर:
$mv + nmkv = nmV$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$v + nkv = nV$
$V = \frac{v + nkv}{n} = \frac{(1 + nk)v}{n}$.

(B) प्रारंभिक गति की दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग $P_i = m \times 9 + m \times 0 = 9m$.
अंतिम संवेग $P_f = mv \cos 30^\circ + mv \cos 30^\circ = 2mv \cos 30^\circ$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग को बराबर करने पर:
$9m = 2mv \cos 30^\circ$.
$9 = 2v \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$9 = v \sqrt{3}$.
$v = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \ m/s$.
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $v \approx 3 \times 1.732 = 5.196 \ m/s \approx 5.2 \ m/s$.

(C) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाले दो पिंडों के बीच एक-विमीय टक्कर के लिए,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - em_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2(1 + e)}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{m_1(1 + e)}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - em_1}{m_1 + m_2}u_2$
यहाँ $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ दिया गया है:
$v_1 = \frac{m - em}{2m}u = \frac{1 - e}{2}u$
$v_2 = \frac{m(1 + e)}{2m}u = \frac{1 + e}{2}u$
अंतिम वेगों का अनुपात है:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - e}{1 + e}$
$e = 1/2$ रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.

(A) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 20 \ m$ है।
चूंकि गेंद टक्कर के दौरान अपनी $20\%$ ऊर्जा खो देती है,इसलिए टक्कर के बाद शेष ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $80\%$ होगी।
स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ होती है,इसलिए पहली टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2$,$h_1$ का $80\%$ होगी।
$h_2 = 0.80 \times h_1 = 0.80 \times 20 \ m = 16 \ m$।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ का सूत्र $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{\frac{16}{20}} = \sqrt{0.8}$।
वर्गमूल की गणना करने पर,$e \approx 0.89$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ है,जहाँ $h_1 = 5 \ m$ है।
टकराने के बाद,जमीन छोड़ने के तुरंत बाद गेंद का वेग $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ है,जहाँ $h_2 = 1.8 \ m$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
खोए गए वेग का अंश $\frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ होगा।

(A) दिया गया है: $m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$u_1 = 2 \, m/s$,$u_2 = 0$,और $e = 0.5$।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m(2) + 2m(0) = m v_1 + 2m v_2$
$2 = v_1 + 2v_2$ ... $(i)$
प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
$0.5 = \frac{v_2 - v_1}{2 - 0}$
$1 = v_2 - v_1$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = 2 + 1$
$3v_2 = 3 \Rightarrow v_2 = 1 \, m/s$
$v_2$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$1 = 1 - v_1 \Rightarrow v_1 = 0 \, m/s$
अतः,टक्कर के बाद वेग $0 \, m/s$ और $1 \, m/s$ होंगे।

(B) दो कणों की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$ है।
टक्कर के दौरान,एक कण उत्तेजित अवस्था में जाने के लिए $\varepsilon$ ऊर्जा का अवशोषण करता है।
इसलिए,कणों की कुल अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से $\varepsilon$ कम होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K_i = K_f + \varepsilon$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \varepsilon$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 - \varepsilon = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

(B) माना $4m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का अंतिम वेग $v'$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $= v$.
$4m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $= 0$.
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का अंतिम वेग $= 0$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv + 4m(0) = m(0) + 4mv'$
$mv = 4mv'$
$v' = v/4$
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग}}$
$e = \frac{v' - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = 0.25$

(A) माना कि टकराने से पहले ओले का वेग $u$ है और टकराने के बाद वेग $v$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,सतह के समानांतर कोई आवेगी बल नहीं लगता है। अतः,सतह के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है:
$u \sin 30^{\circ} = v \sin 60^{\circ}$ $(1)$
सतह के लंबवत घटक के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को अलग होने के वेग और पास आने के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v \cos 60^{\circ} = e (u \cos 30^{\circ})$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v \cos 60^{\circ}}{v \sin 60^{\circ}} = \frac{e u \cos 30^{\circ}}{u \sin 30^{\circ}}$
$\cot 60^{\circ} = e \cot 30^{\circ}$
चूंकि $\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ है:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = e (\sqrt{3})$
$e = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

(C) पहली बार गिरने में लगा समय $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
$h = 5\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ के लिए,$t_0 = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\,s$ प्राप्त होता है।
बाद के उछालों के लिए लगा समय $t_n = 2e^n t_0$ द्वारा दिया जाता है।
कुल समय $T = t_0 + 2e t_0 + 2e^2 t_0 + \dots = t_0 [1 + 2(e + e^2 + e^3 + \dots)]$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = e$ और $r = e$,हमें $T = t_0 [1 + 2(\frac{e}{1-e})]$ प्राप्त होता है।
$t_0 = 1\,s$ और $e = 1/2$ रखने पर:
$T = 1 \times [1 + 2(\frac{1/2}{1 - 1/2})] = 1 \times [1 + 2(1)] = 3\,s$.

(B) मान लीजिए कि टक्कर से पहले गेंद का वेग $v$ है। क्षैतिज घटक $v_x = v \sin(45^o)$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \cos(45^o)$ है।
टक्कर के बाद,क्षैतिज घटक $v_x' = v_x = v \sin(45^o)$ रहता है क्योंकि सतह चिकनी है।
ऊर्ध्वाधर घटक बदलकर $v_y' = e v_y = e v \cos(45^o)$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है $(0 \leq e \leq 1)$।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है। तब $\tan(\theta) = \frac{v_x'}{v_y'} = \frac{v \sin(45^o)}{e v \cos(45^o)} = \frac{1}{e} \tan(45^o) = \frac{1}{e}$।
चूंकि $e \leq 1$,इसलिए $\frac{1}{e} \geq 1$ होता है।
अतः,$\tan(\theta) \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta \geq 45^o$।
इस प्रकार,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $45^o$ से कम नहीं हो सकता है। दिए गए विकल्पों में से,$30^o$,$45^o$ से कम है,इसलिए यह संभव नहीं है।

(B) गोले का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} \ m/s$ है।
चूंकि दीवार $y$-अक्ष ($\hat{j}$ सदिश) के समानांतर है,इसलिए यह $x$-अक्ष के लंबवत है।
टक्कर के दौरान,आवेग केवल दीवार के लंबवत दिशा में यानी $x$-दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,दीवार के समानांतर वेग का घटक ($y$-घटक) अपरिवर्तित रहता है: $v_y = u_y = 2 \hat{j} \ m/s$.
$x$-घटक के लिए,हम प्रत्यावस्थान गुणांक $e = -\frac{v_x}{u_x}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $u_x = 2 \ m/s$ और $e = 1/2$ है।
$v_x = -e \cdot u_x = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \ m/s$.
अतः,टक्कर के बाद वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = -1 \hat{i} + 2 \hat{j} \ m/s$ होगा।

(B) संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$
दिया गया है: $m_{1} = 1 \ kg$,$u_{1} = 21 \ m/s$,$m_{2} = 2 \ kg$,$u_{2} = -4 \ m/s$ (विपरीत दिशा)।
टक्कर के बाद: $v_{1} = 1 \ m/s$।
मान रखने पर:
$1(21) + 2(-4) = 1(1) + 2 v_{2}$
$21 - 8 = 1 + 2 v_{2}$
$13 = 1 + 2 v_{2}$
$12 = 2 v_{2} \Rightarrow v_{2} = 6 \ m/s$।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}}$
$e = \frac{6 - 1}{21 - (-4)} = \frac{5}{25} = 0.2$.

(D) माना कि टक्कर से पहले गोले का वेग $u$ है और टक्कर के बाद $v = 0.1 \ m/s$ है। अभिलंब के साथ उछाल का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
चूंकि दीवार चिकनी है,दीवार के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है: $u \sin \theta = v \sin 60^{\circ}$।
दीवार के लंबवत वेग का घटक प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के अनुसार बदलता है: $v \cos 60^{\circ} = e (u \cos \theta)$।
दिया गया है $e = 1/3$,$v = 0.1$,और $\theta = 60^{\circ}$:
$u \sin \theta = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3}$।
$u \cos \theta = \frac{0.1 \times 0.5}{1/3} = 0.15$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m ((u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2) = \frac{1}{2} m (0.0075 + 0.0225) = \frac{1}{2} m (0.03)$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.01)$।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m (0.02)$।
प्रतिशत हानि $= \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{0.02}{0.03} \times 100 = 66 \frac{2}{3}\%$.

(D) मान लीजिए गेंद का वेग $\vec{v}_b = -4 \hat{j} \ m/s$ है और कार्ट का वेग $\vec{v}_c = 4 \hat{i} \ m/s$ है। कार्ट का झुकाव $45^\circ$ है।
कार्ट के फ्रेम में,गेंद का वेग $\vec{v}_{b/c} = \vec{v}_b - \vec{v}_c = -4 \hat{i} - 4 \hat{j} \ m/s$ है।
झुकी हुई सतह पर लंबवत दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है। सतह से दूर जाने वाला इकाई लंबवत सदिश $\hat{n} = \cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ है।
एक विशाल वस्तु के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,कार्ट के फ्रेम में गेंद का लंबवत घटक उलट जाता है,जबकि सतह के समानांतर घटक अपरिवर्तित रहता है।
टक्कर से पहले कार्ट के फ्रेम में गेंद का वेग $\vec{v}_{b/c} = -4 \hat{i} - 4 \hat{j}$ है।
लंबवत दिशा में वेग का घटक $v_n = \vec{v}_{b/c} \cdot \hat{n} = (-4 \hat{i} - 4 \hat{j}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2} \ m/s$ है।
टक्कर के बाद,लंबवत घटक $v'_n = -v_n = 4\sqrt{2} \ m/s$ हो जाता है।
टक्कर के बाद कार्ट के फ्रेम में गेंद का वेग $\vec{v}'_{b/c} = \vec{v}_{b/c} - 2v_n \hat{n} = (-4 \hat{i} - 4 \hat{j}) - 2(-4\sqrt{2})(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = (-4 + 4\sqrt{2}) \hat{i} + (-4 + 4\sqrt{2}) \hat{j}$ है।
ग्राउंड फ्रेम में वापस आने पर: $\vec{v}'_b = \vec{v}'_{b/c} + \vec{v}_c = 4\sqrt{2} \hat{i} + (4\sqrt{2} - 4) \hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,उछलती हुई गेंद का वेग $4 \sqrt{5} \ m/s$ है।

(C) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h$ है। फर्श से टकराने से ठीक पहले गेंद की गति $v$ समीकरण $v^2 = 2gh$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $v = \sqrt{2gh}$।
टकराने के बाद,नई गति $v'$,$v$ का $80\%$ है,इसलिए $v' = 0.8v = 0.8\sqrt{2gh}$।
जब गेंद अपनी नई अधिकतम ऊँचाई $h'$ तक पहुँचती है,तो उस बिंदु पर उसका अंतिम वेग $0$ होता है। समीकरण $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (v')^2 = 2(-g)h'$
$(0.8\sqrt{2gh})^2 = 2gh'$
$0.64 \times 2gh = 2gh'$
$h' = 0.64h$.

(A) चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए सतह के समानांतर कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है। अतः,सतह के समानांतर वेग का घटक स्थिर रहता है।
$v \sin \beta = u \sin \alpha$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को अभिलंब दिशा में पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$e = \frac{\text{अभिलंब दिशा में पृथक्करण का वेग}}{\text{अभिलंब दिशा में दृष्टिकोण का वेग}} = \frac{v \cos \beta}{u \cos \alpha}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $\frac{v}{u} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ है।
इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$e = \left( \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \right) \left( \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} \right)$
$e = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$e = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$