Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(B) माना धागे की लंबाई $l$ है। जब डिस्क को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो यह नत समतल पर अपने वृत्ताकार पथ के सबसे निचले बिंदु पर जाती है।
सबसे निचली स्थिति में,डिस्क $h = l \sin 30^\circ = l/2$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई नीचे उतरती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg(l \sin 30^\circ) = mg(l/2) = \frac{mgl}{2}$.
अतः,$mv^2 = mgl$.
सबसे निचले बिंदु पर,त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^\circ$ (केंद्र से दूर) हैं।
शुद्ध अभिकेंद्र बल $T - mg \sin 30^\circ = \frac{mv^2}{l}$ है।
$mv^2 = mgl$ और $\sin 30^\circ = 0.5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T - mg(0.5) = \frac{mgl}{l} = mg$.
$T = mg + 0.5mg = 1.5mg$.
इसलिए,तनाव $1.5mg$ है।

(B) $1$. जब $m_1$ द्रव्यमान की गेंद $h_1$ ऊँचाई से गिरती है,तो स्प्रिंग से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v = \sqrt{2gh_1}$ होता है।
$2$. मान लीजिए कि स्प्रिंग $x$ तक दबती है,ऊर्जा संरक्षण के अनुसार $\frac{1}{2} K x^2 = m_1 g h_1$. अतः,$x = \sqrt{\frac{2 m_1 g h_1}{K}}$.
$3$. स्प्रिंग $m_2$ पर एक आवेगी बल लगाती है। आवेग $J = \int F dt = \int K x dt$. स्प्रिंग के लिए,$m_2$ को स्थानांतरित आवेग $J = \sqrt{2 m_2 K E_{stored}} = \sqrt{2 m_2 K (m_1 g h_1)} = \sqrt{2 m_1 m_2 g h_1 K}$ है।
$4$. $m_2$ द्वारा प्राप्त वेग $v_2 = \frac{J}{m_2} = \sqrt{\frac{2 m_1 g h_1 K}{m_2}}$ है।
$5$. $m_2$ को $h_2$ ऊँचाई से गिरने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2 h_2}{g}}$ है।
$6$. क्षैतिज दूरी $R = v_2 t = 2 \sqrt{\frac{m_1 h_1 h_2 K}{m_2 g}}$. इस प्रकार के प्रश्नों के मानक संदर्भ में,परिणाम $R = 2\sqrt{\frac{m_1 h_1 h_2}{m_2}}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभ में,ब्लॉक $A$ और $B$ स्थिर हैं और $C$,$V_0$ वेग से दाईं ओर गति कर रहा है। चूंकि $C$ और $A$ के द्रव्यमान समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए पिंड $C$ अपना पूरा संवेग $m V_0$,पिंड $A$ को स्थानांतरित कर देता है। परिणामस्वरूप,पिंड $C$ रुक जाता है और $A$,$V_0$ वेग से दाईं ओर गति करना शुरू कर देता है। इस क्षण पर,स्प्रिंग असंपीड़ित है और पिंड $B$ अभी भी स्थिर है।
इस क्षण पर निकाय का संवेग $P = m V_0$ है।
अब,स्प्रिंग संकुचित होती है और पिंड $B$ गति में आता है। $t_0$ समय के बाद,स्प्रिंग का संपीड़न $x_0$ है और $A$ और $B$ का उभयनिष्ठ वेग $v$ है। चूंकि निकाय पर बाह्य बल शून्य है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m V_0 = m v + (2m) v$
$m V_0 = 3m v$
$v = \frac{V_0}{3}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$v = \frac{V_0}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{V_0}{3} \right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{V_0^2}{9} \right) + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{1}{6} m V_0^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} m V_0^2 - \frac{1}{6} m V_0^2$
$\frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{3-1}{6} m V_0^2 = \frac{2}{6} m V_0^2 = \frac{1}{3} m V_0^2$
$k = \frac{2}{3} \frac{m V_0^2}{x_0^2}$.

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमानों को $H$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है। टक्कर से ठीक पहले प्रत्येक द्रव्यमान का वेग $v = \sqrt{2gH}$ है।
टक्कर के बाद,द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ के वेग क्रमशः $v_1 = e_1 v = 0.8 \sqrt{2gH}$ और $v_2 = e_2 v = 0.4 \sqrt{2gH}$ हो जाते हैं,जो ऊपर की दिशा में निर्देशित हैं।
पृथक्करण का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 - v_2 = (0.8 - 0.4) \sqrt{2gH} = 0.4 \sqrt{2gH} = \frac{2}{5} \sqrt{2gH}$ है।
डोरी तब तन जाती है जब दो द्रव्यमानों के बीच सापेक्ष ऊर्ध्वाधर विस्थापन $l$ लंबाई की डोरी को उसकी पूरी लंबाई तक खींचने के लिए आवश्यक ऊर्ध्वाधर दूरी के बराबर हो जाता है,जबकि क्षैतिज पृथक्करण $a$ दिया गया है। ज्यामिति से,आवश्यक सापेक्ष ऊर्ध्वाधर विस्थापन $\Delta h = \sqrt{l^2 - a^2}$ है।
चूंकि सापेक्ष त्वरण शून्य है (दोनों ऊपर की ओर गुरुत्वाकर्षण $g$ के तहत हैं),लिया गया समय $t = \frac{\Delta h}{v_{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $t = \frac{\sqrt{l^2 - a^2}}{\frac{2}{5} \sqrt{2gH}} = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{l^2 - a^2}{2gH}}$.

(C) मान लीजिए कि वस्तु की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh$ है। जैसे ही वस्तु नीचे फिसलती है और रुकती है,यह पूरी स्थितिज ऊर्जा घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है। मान लीजिए $W_f$ घर्षण के विरुद्ध किया गया कुल कार्य है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W_f = mgh$ है।
वस्तु को उसी पथ पर उसकी प्रारंभिक स्थिति में वापस लाने के लिए,एक बाहरी बल को घर्षण को फिर से दूर करने के लिए कार्य करना होगा और साथ ही वस्तु की स्थितिज ऊर्जा को वापस $mgh$ तक बढ़ाना होगा।
वापसी की यात्रा में घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य आगे की यात्रा के समान ही होता है,जो $W_f = mgh$ है।
इसके अतिरिक्त,प्रारंभिक ऊंचाई तक पहुंचने के लिए वस्तु को $mgh$ के बराबर स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करनी होगी।
इसलिए,आवश्यक कुल कार्य $W_{total} = W_f + mgh = mgh + mgh = 2\,mgh$ होगा।

(B) टकराव से ठीक पहले प्रत्येक द्रव्यमान का वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
टकराव के बाद,दोनों द्रव्यमानों के वेग ऊपर की दिशा में $v_1 = e_1 v_0$ और $v_2 = e_2 v_0$ हो जाते हैं।
टकराव के तुरंत बाद द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ व्यक्तिगत वेगों के औसत द्वारा दिया जाता है:
$v_{cm} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{e_1 \sqrt{2gh} + e_2 \sqrt{2gh}}{2} = \frac{(e_1 + e_2) \sqrt{2gh}}{2}$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अधिकतम ऊंचाई $h'$ पर $v=0$,$u = v_{cm}$,और $a = -g$ है:
$0 = \left( \frac{(e_1 + e_2) \sqrt{2gh}}{2} \right)^2 - 2gh'$
$2gh' = \frac{(e_1 + e_2)^2 (2gh)}{4}$
$h' = \frac{(e_1 + e_2)^2 h}{4}$.

(C) आवेग (Impulse) $J$ बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$J = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 0.30 \ s \times 150 \ N = 22.5 \ N \cdot s$.
माना टक्कर के बाद वेग $v_A$ और $v_B$ हैं। $A$ की दिशा को धनात्मक लेने पर:
पिंड $A$ के लिए: $m_A v_A - m_A u_A = -J \implies 5(v_A - 4) = -22.5 \implies v_A - 4 = -4.5 \implies v_A = -0.5 \ m/s$.
पिंड $B$ के लिए: $m_B v_B - m_B u_B = J \implies 10(v_B - (-0.5)) = 22.5 \implies v_B + 0.5 = 2.25 \implies v_B = 1.75 \ m/s$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ इस प्रकार है:
$e = \frac{\text{पृथक्करण का वेग}}{\text{दृष्टिकोण का वेग}} = \frac{v_B - v_A}{u_A - u_B} = \frac{1.75 - (-0.5)}{4 - (-0.5)} = \frac{2.25}{4.5} = 0.5$.

(C) $1$. जब सायना सबसे निचले बिंदु पर बैग पकड़ती है,तो निकाय (सायना + बैग) एक अप्रत्यास्थ टक्कर का अनुभव करता है। संवेग संरक्षित रहता है,लेकिन गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है। इसलिए,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप $h_1 < h_0$ होता है।
$2$. जब सायना पीछे की ओर झूलते हुए फिर से सबसे निचले बिंदु पर पहुँचती है,तो वह एक निश्चित वेग $v$ के साथ गति कर रही होती है। जब वह बैग छोड़ती है,तो बैग $v$ वेग के साथ (क्षैतिज रूप से) गति करना जारी रखता है,जबकि सायना का वेग $v$ ही रहता है क्योंकि यह छोड़ना एक क्षैतिज पृथक्करण है। चूंकि निकाय का द्रव्यमान कम हो जाता है लेकिन सायना का वेग समान रहता है,इसलिए प्रति इकाई द्रव्यमान यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। इस प्रकार,सायना द्वारा प्राप्त ऊँचाई समान रहती है,$h_2 = h_1$.
$3$. इसलिए,संबंध $h_0 > h_1 = h_2$ है।

(C) कण को धीरे-धीरे ले जाने के लिए,बाहरी बल को गुरुत्वाकर्षण और घर्षण दोनों को दूर करना होगा।
किया गया कार्य $W = W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}}$.
चूंकि कण समान ऊंचाई से शुरू होता है और समाप्त होता है ($A$ और $E$ को जमीन पर मानते हुए,$h_A = h_E = 0$),गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कुल कार्य $mgh_E - mgh_A = 0$ है।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = \int \mu N \ ds = \mu \int mg \cos \theta \ ds = \mu mg \int \cos \theta \ ds$.
चूंकि $\int \cos \theta \ ds$ क्षैतिज विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है,इसलिए $\int \cos \theta \ ds = AE = 10 \ m$.
अतः,$W_f = \mu mg (AE) = 0.6 \times 3 \times 10 \times 10 = 180 \ J$.
कुल कार्य $W = 0 + 180 = 180 \ J$.

(A) मान लीजिए कि ऊपर की यात्रा के दौरान वायु प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $W_f$ है। चूंकि वायु प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य दोनों रास्तों के लिए समान है,इसलिए नीचे की यात्रा के दौरान भी कार्य $W_f$ ही होगा।
प्रक्षेपण बिंदु से अधिकतम ऊँचाई $H$ तक की ऊपर की यात्रा के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_g + W_f = \Delta KE$
$-mgH - W_f = 0 - \frac{1}{2}m(16)^2$
$mgH + W_f = 128m$ --- $(1)$
अधिकतम ऊँचाई $H$ से वापस प्रक्षेपण बिंदु तक की नीचे की यात्रा के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_g + W_f = \Delta KE$
$mgH - W_f = \frac{1}{2}m(8)^2 - 0$
$mgH - W_f = 32m$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2mgH = 160m$
$2gH = 160$
$2(10)H = 160$
$20H = 160$
$H = 8 \ m$.

(A) मान लीजिए कि आने वाली वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और उसका वेग $v$ है। गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है और संवेग $P = mv$ है। अतः,$m = \frac{P^2}{2E}$।
स्थिर द्रव्यमान $M$ के साथ सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,$M$ को स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $\Delta K = \frac{4mM}{(m+M)^2} E$ द्वारा दी जाती है।
इस समीकरण में $m = \frac{P^2}{2E}$ रखने पर:
$\Delta K = \frac{4(\frac{P^2}{2E})M}{(\frac{P^2}{2E} + M)^2} E = \frac{2P^2 M}{(\frac{P^2 + 2ME}{2E})^2} E = \frac{8ME P^2}{(P^2 + 2ME)^2}$।
मान लीजिए $f(P) = \frac{8ME P^2}{(P^2 + 2ME)^2}$। जब $P \to 0$,तब $f(P) \to 0$। जब $P \to \infty$,तब $f(P) \to 0$। चूंकि $P > 0$ के लिए $f(P) > 0$ है,इसलिए फलन अधिकतम तक बढ़ेगा और फिर घटेगा। अतः,स्थानांतरित ऊर्जा रैखिक संवेग $P$ के साथ पहले बढ़ती है और फिर घटती है।

(C) मान लीजिए कि $x$-अक्ष पूर्व दिशा में है और $y$-अक्ष उत्तर दिशा में है।
पहली कार का प्रारंभिक संवेग (उत्तर की ओर गति): $\vec{p}_1 = m(2v)\hat{j} = 2mv\hat{j}$.
दूसरी कार का प्रारंभिक संवेग (पूर्व से दक्षिण की ओर $\phi$ कोण पर गति): $\vec{p}_2 = m(v \cos \phi \hat{i} - v \sin \phi \hat{j}) = mv \cos \phi \hat{i} - mv \sin \phi \hat{j}$.
कुल प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_{initial} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = mv \cos \phi \hat{i} + (2mv - mv \sin \phi) \hat{j}$.
टक्कर के बाद,कारें $2m$ द्रव्यमान के साथ जुड़ जाती हैं और उनका वेग $\vec{V}' = V'_x \hat{i} + V'_y \hat{j}$ हो जाता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $2m V'_x = mv \cos \phi \implies V'_x = \frac{v \cos \phi}{2}$.
$2m V'_y = 2mv - mv \sin \phi \implies V'_y = \frac{v(2 - \sin \phi)}{2}$.
अंतिम वेग का परिमाण $V' = \sqrt{(V'_x)^2 + (V'_y)^2} = \sqrt{\left(\frac{v \cos \phi}{2}\right)^2 + \left(\frac{v(2 - \sin \phi)}{2}\right)^2}$.
$V' = \frac{v}{2} \sqrt{\cos^2 \phi + 4 - 4 \sin \phi + \sin^2 \phi} = \frac{v}{2} \sqrt{1 + 4 - 4 \sin \phi} = \frac{v}{2} \sqrt{5 - 4 \sin \phi}$.

(C) मान लीजिए कि गेंदों को दीवार तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। चूँकि गेंदों को ऐसी ऊँचाई से फेंका जाता है कि वे $2 \ m$ पर टकराती हैं और फेंकने वाले के पास वापस आ जाती हैं,इसलिए ऊर्ध्वाधर गति $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा निर्धारित होती है। $h = 2 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t^2 = 0.4 \ s^2$ प्राप्त होता है,यानी $t = \sqrt{0.4} \ s$.
क्षैतिज दूरियाँ $d_A = 5 \ m$ और $d_B = 10 \ m$ हैं। क्षैतिज वेग $v_A = \frac{5}{t}$ और $v_B = \frac{10}{t}$ हैं।
प्रत्यास्थ टक्कर पर प्रत्येक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2mv$ है। गेंद $A$ के लिए,$\Delta p_A = 2m(\frac{5}{t})$ और गेंद $B$ के लिए,$\Delta p_B = 2m(\frac{10}{t})$ है।
प्रति टक्कर चक्र कुल संवेग परिवर्तन $\Delta P_{total} = \Delta p_A + \Delta p_B = \frac{2m}{t}(5 + 10) = \frac{30m}{t}$ है।
औसत बल $F_{avg} = \frac{\Delta P_{total}}{2t} = \frac{30m}{2t^2} = \frac{15m}{t^2} = \frac{15 \times 0.2}{0.4} = 7.5 \ N$.

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: ब्लॉक $A$ के भार के कारण स्प्रिंग $x_0 = \frac{mg}{k}$ तक खिंची हुई है।
$2$. टक्कर: ब्लॉक $B$,ब्लॉक $A$ से टकराता है और उससे चिपक जाता है। रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से,$mv = (m+m)V$,जहाँ $V$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान का वेग है। अतः,$V = \frac{v}{2}$।
$3$. गति: संयुक्त द्रव्यमान $(2m)$ ऊपर की ओर गति करता है। स्प्रिंग शुरू में $x_0 = \frac{mg}{k}$ तक खिंची हुई है। स्प्रिंग के प्राकृतिक लंबाई प्राप्त करने के लिए,संयुक्त द्रव्यमान को $x_0$ दूरी ऊपर उठना होगा और क्षणिक रूप से विराम में आना होगा।
$4$. ऊर्जा संरक्षण: टक्कर के तुरंत बाद की स्थिति को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर मानें। टक्कर के तुरंत बाद कुल ऊर्जा संयुक्त द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का योग है। उच्चतम बिंदु (प्राकृतिक लंबाई) पर कुल ऊर्जा संयुक्त द्रव्यमान द्वारा प्राप्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा है।
$\frac{1}{2}(2m)V^2 + \frac{1}{2}k x_0^2 = (2m)g x_0$
$V = \frac{v}{2}$ और $x_0 = \frac{mg}{k}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2 = (2m)g(\frac{mg}{k})$
$\frac{mv^2}{4} + \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{2m^2g^2}{k}$
$\frac{mv^2}{4} = \frac{3m^2g^2}{2k}$
$v^2 = \frac{6mg^2}{k} \implies v = g\sqrt{\frac{6m}{k}}$।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta K$।
मान लीजिए स्प्रिंग का संपीड़न $x$ मीटर है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k \cdot x = -110x$ है।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2}kx^2 = -\frac{1}{2}(1000)x^2 = -500x^2$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(2)(4)^2 = -16\,J$ है।
पदों को बराबर करने पर: $-110x - 500x^2 = -16$।
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $500x^2 + 110x - 16 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर (धनात्मक मूल लेने पर):
$x = \frac{-110 + \sqrt{110^2 - 4(500)(-16)}}{2(500)} = \frac{-110 + \sqrt{12100 + 32000}}{1000} = \frac{-110 + \sqrt{44100}}{1000} = \frac{-110 + 210}{1000} = \frac{100}{1000} = 0.1\,m$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $x = 0.1\,m = 10\,cm$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) टक्कर के ठीक बाद ब्लॉक $C$ रुक जाएगा और ब्लॉक $A$ $v$ गति से चलना शुरू कर देगा।
अब,$A-B$ निकाय के लिए संवेग संरक्षण का नियम लागू करें:
$mv + 0 = (m + m)V'$
$V' = \frac{v}{2}$
अब,निकाय के लिए ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m + m)(V')^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$x_{\max}^2 = \frac{mv^2}{2K}$
$x_{\max} = v \sqrt{\frac{m}{2K}}$

(A) मान लीजिए गेंद की प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2$ है,जहाँ $h = 10 \, m$ है।
टक्कर के बाद,गेंद अपनी $50 \%$ ऊर्जा खो देती है,इसलिए टक्कर के ठीक बाद ऊर्जा $E_f = 0.5 \times E_i$ होगी।
गेंद फिर से उसी ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाती है,जिसका अर्थ है कि अधिकतम ऊँचाई पर इसकी स्थितिज ऊर्जा $mgh$ है।
ऊपर की गति के दौरान ऊर्जा संरक्षित रहती है,इसलिए टक्कर के ठीक बाद की ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए: $0.5 \times (mgh + \frac{1}{2}mv_0^2) = mgh$.
$m$ से भाग देने और $2$ से गुणा करने पर: $gh + \frac{1}{2}v_0^2 = 2gh$.
$v_0$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{2}v_0^2 = gh$.
$v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $14 \, m/s$ है।

(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-विमीय टक्कर के लिए,यदि प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं,तो अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - em_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{(1+e)m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{(1+e)m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - em_1}{m_1 + m_2} u_2$
यहाँ $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = v$ और $u_2 = 0$ दिया गया है:
$v_1 = \frac{m - em}{2m} v = \frac{1-e}{2} v$
$v_2 = \frac{(1+e)m}{2m} v = \frac{1+e}{2} v$
वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{1-e}{2} v}{\frac{1+e}{2} v} = \frac{1-e}{1+e}$

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कणों $A, B$ और $C$ के प्रारंभिक वेग क्रमशः $\vec{V}_{A_i}, \vec{V}_{B_i}$ और $\vec{V}_{C_i}$ हैं। समान द्रव्यमान $m$ होने के कारण और $120^{\circ}$ के कोण पर $V$ चाल से केंद्रक की ओर गति करने के कारण,उनका सदिश योग शून्य है: $m\vec{V}_{A_i} + m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_i} = 0$.
टक्कर के बाद,कण $A$ विराम अवस्था में आ जाता है (वेग $= 0$),और कण $B$ अपनी चाल $V$ के साथ अपने पथ पर वापस लौट जाता है (वेग $= -\vec{V}_{B_i}$)। मान लीजिए कण $C$ का अंतिम वेग $\vec{V}_{C_f}$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m\vec{V}_{A_i} + m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_i} = m(0) + m(-\vec{V}_{B_i}) + m\vec{V}_{C_f}$
चूंकि प्रारंभिक योग शून्य है:
$0 = -m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_f}$
$\vec{V}_{C_f} = \vec{V}_{B_i}$
अतः,टक्कर के बाद $C$ की चाल $V$ होगी।

(A) आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = F \cdot \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गाड़ियाँ शुरू में स्थिर हैं और उन पर समान समय अंतराल $\Delta t = 3\,s$ के लिए समान बल $F$ लगाया जाता है,इसलिए वे समान अंतिम संवेग $p$ प्राप्त करती हैं।
मान लीजिए $p_1 = p_2 = p$ है।
गतिज ऊर्जा $K$,संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाली हल्की गाड़ी के लिए,गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p^2}{2m}$ है।
$2m$ द्रव्यमान वाली भारी गाड़ी के लिए,गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p^2}{2(2m)} = \frac{p^2}{4m}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $K_1 = \frac{p^2}{2m}$ और $K_2 = \frac{p^2}{4m}$ है,यह स्पष्ट है कि $K_1 > K_2$ है।
अतः,हल्की गाड़ी की गतिज ऊर्जा भारी गाड़ी की गतिज ऊर्जा से अधिक है।

(B) वेग-समय ग्राफ से,त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{20}{0.3} = \frac{200}{3} \ m/s^2$ है। चूंकि द्रव्यमान $m = 0.4 \ kg$ है,इसलिए कुल बल $F_{net} = ma = 0.4 \times \frac{200}{3} = \frac{80}{3} \ N$ है,जो स्थिर है। अतः,विकल्प $B$ गलत है क्योंकि पहले ग्राफ में दिखाया गया बल केवल एक बल है,कुल बल नहीं।
$0 \le t \le 0.2 \ s$ के लिए,$F(t) = 800 \ N$ और $v(t) = \frac{20}{0.3}t = \frac{200}{3}t$ है। शक्ति $P = Fv = 800 \times \frac{200}{3}t = \frac{160000}{3}t$,जो एक रैखिक फलन (सीधी रेखा) है।
$0.2 \le t \le 0.3 \ s$ के लिए,$F(t)$ ढाल $m = \frac{0 - 800}{0.3 - 0.2} = -8000$ वाला एक रैखिक फलन है। इसलिए,$F(t) = 800 - 8000(t - 0.2) = 2400 - 8000t$। शक्ति $P = Fv = (2400 - 8000t) \times \frac{200}{3}t = 160000t - \frac{1600000}{3}t^2$,जो नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।

(A) $H = 10 \, m$ की ऊँचाई पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E_i = mgH$ है।
प्रभाव के बाद,ऊर्जा में $40 \%$ की हानि होती है,जिसका अर्थ है कि शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $60 \%$ है।
$E_f = E_i - 0.40 E_i = 0.60 E_i$.
चूँकि नई ऊँचाई $h^{\prime}$ पर स्थितिज ऊर्जा $E_f = mgh^{\prime}$ है,इसलिए $mgh^{\prime} = 0.60 mgH$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^{\prime} = 0.60 H$.
$H = 10 \, m$ रखने पर,$h^{\prime} = 0.60 \times 10 = 6 \, m$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$\mu = 0.2$,प्रारंभिक दूरी $d = 0.16 \ m$,प्रारंभिक वेग $u_1 = 1 \ m/s$,$u_2 = 0 \ m/s$.
मंदक $a = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \ m/s^2$.
टक्कर से ठीक पहले $2 \ kg$ ब्लॉक का वेग:
$v^2 = u^2 - 2ad \implies v^2 = (1)^2 - 2(2)(0.16) = 1 - 0.64 = 0.36 \implies v = 0.6 \ m/s$.
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए:
संवेग संरक्षण: $m_1 v = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 2(0.6) = 2v_1 + 4v_2 \implies 0.6 = v_1 + 2v_2$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(0.6 - 0) = 0.6$.
समीकरणों को हल करने पर: $v_1 + 2v_2 = 0.6$ और $v_2 - v_1 = 0.6$.
जोड़ने पर: $3v_2 = 1.2 \implies v_2 = 0.4 \ m/s$.
अतः $v_1 = v_2 - 0.6 = 0.4 - 0.6 = -0.2 \ m/s$.
टक्कर के बाद $2 \ kg$ ब्लॉक द्वारा तय की गई दूरी: $S_1 = \frac{v_1^2}{2a} = \frac{(-0.2)^2}{2(2)} = \frac{0.04}{4} = 0.01 \ m$.
टक्कर के बाद $4 \ kg$ ब्लॉक द्वारा तय की गई दूरी: $S_2 = \frac{v_2^2}{2a} = \frac{(0.4)^2}{2(2)} = \frac{0.16}{4} = 0.04 \ m$.
चूंकि $v_1$ ऋणात्मक है,$2 \ kg$ ब्लॉक बाईं ओर और $4 \ kg$ ब्लॉक दाईं ओर गति करता है। अंतिम दूरी $S_1 + S_2 = 0.01 + 0.04 = 0.05 \ m = 5 \ cm$ है।

(A) चूंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि अधिकतम विस्तार के क्षण पर दोनों ब्लॉकों का सामान्य वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m_2 v_0 = (m_1 + m_2) v \implies v = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2}$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अंतिम गतिज ऊर्जा और अधिकतम विस्तार $x_0$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$.
ऊर्जा समीकरण में $v$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$.
$m_2 v_0^2 = \frac{m_2^2 v_0^2}{m_1 + m_2} + k x_0^2$.
$k x_0^2 = m_2 v_0^2 \left( 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) = m_2 v_0^2 \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)$.
$x_0^2 = \frac{m_1 m_2 v_0^2}{k(m_1 + m_2)}$.
$x_0 = v_0 \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.

(C) मान लीजिए कि नत समतल के आधार (बिंदु $A$) पर कण का वेग $v$ है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_g = \Delta K.E.$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$\implies v = \sqrt{2gh}$.
बिंदु $C$ (क्षैतिज सतह पर) पर,वेग क्षैतिज दिशा में $v$ है: $\vec{P}_C = mv \hat{i}$.
बिंदु $A$ (नत समतल के निचले सिरे पर) पर,वेग $v$ है जो क्षैतिज के नीचे $\theta$ कोण पर है: $\vec{P}_A = mv \cos \theta \hat{i} - mv \sin \theta \hat{j}$.
$A$ और $C$ के बीच संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = \vec{P}_C - \vec{P}_A = (mv - mv \cos \theta) \hat{i} + mv \sin \theta \hat{j}$.
इसका परिमाण $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{(mv(1 - \cos \theta))^2 + (mv \sin \theta)^2}$.
$|\Delta \vec{P}| = mv \sqrt{1 + \cos^2 \theta - 2 \cos \theta + \sin^2 \theta} = mv \sqrt{2 - 2 \cos \theta}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए:
$|\Delta \vec{P}| = mv \sqrt{4 \sin^2(\theta/2)} = 2mv \sin(\theta/2)$.
$v = \sqrt{2gh}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\Delta \vec{P}| = 2m \sqrt{2gh} \sin(\theta/2)$ प्राप्त होता है।

(C) लिफ्टिंग तंत्र द्वारा किया गया कार्य $(W_{lift})$ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध,गतिज ऊर्जा प्रदान करने और घर्षण के विरुद्ध होना चाहिए।
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_g)$:
$W_g = mgh = 1000 \times 9.8 \times 20 = 196 \times 10^3\, J$
$2$. गतिज ऊर्जा प्रदान करने के लिए किया गया कार्य $(W_k)$:
$W_k = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 = 500 \times 16 = 8 \times 10^3\, J$
$3$. घर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$:
$W_f = F_f \times d = 500 \times 20 = 10 \times 10^3\, J$
लिफ्टिंग तंत्र द्वारा किया गया कुल कार्य:
$W_{lift} = W_g + W_k + W_f = (196 + 8 + 10) \times 10^3\, J = 214 \times 10^3\, J$

(D) चरण $1$: $C$ और $A$ के बीच टक्कर। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और दोनों का द्रव्यमान $m$ है,वे वेग का आदान-प्रदान करते हैं। ब्लॉक $C$ स्थिर हो जाता है,और ब्लॉक $A$,$v_0$ वेग से गति करने लगता है।
चरण $2$: टक्कर के बाद,ब्लॉक $A$ ब्लॉक $B$ की ओर बढ़ता है और स्प्रिंग को संकुचित करता है। जब स्प्रिंग $x_0$ तक संकुचित हो जाती है,तो $A$ और $B$ दोनों समान वेग $v$ से गति करते हैं।
चरण $3$: $(A+B)$ निकाय के लिए रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m v_0 = (m + 2m) v$
$m v_0 = 3m v$
$v = \frac{v_0}{3}$
चरण $4$: $(A+B)$ निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $(A+B)$ की अंतिम गतिज ऊर्जा + स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + 2m) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (3m) \left(\frac{v_0}{3}\right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$m v_0^2 = 3m \frac{v_0^2}{9} + k x_0^2$
$m v_0^2 = \frac{m v_0^2}{3} + k x_0^2$
$k x_0^2 = m v_0^2 - \frac{m v_0^2}{3} = \frac{2}{3} m v_0^2$
$k = \frac{2 m v_0^2}{3 x_0^2}$

(B) माना $m = 0.01 \, kg$ गोली का द्रव्यमान है,$M = 2 \, kg$ ब्लॉक का द्रव्यमान है,$u = 500 \, m/s$ गोली की प्रारंभिक गति है,$V_b$ गोली की अंतिम गति है,और $V_B$ टक्कर के तुरंत बाद ब्लॉक का वेग है।
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ को लागू करने पर:
$m \cdot u = m \cdot V_b + M \cdot V_B$
$0.01 \times 500 = 0.01 \times V_b + 2 \times V_B$
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2 \cdot V_B \quad \dots(1)$
टक्कर के बाद ब्लॉक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम $(COME)$ को लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V_B^2 = Mgh$
$V_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \, m/s$
समीकरण $(1)$ में $V_B = 1.4 \, m/s$ का मान रखने पर:
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2(1.4)$
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2.8$
$0.01 \cdot V_b = 2.2$
$V_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \, m/s$.

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,घर्षण जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
व्यक्ति और थैले दोनों के लिए,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgh$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = 0$ है।
नीचे पहुँचने पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_f = 0$ हो जाती है और गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
ऊर्जा को बराबर करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$।
वेग के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{2gh}$।
चूंकि व्यक्ति और थैला दोनों समान ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ से गिरते हैं और दोनों पर समान गुरुत्वीय त्वरण $g$ कार्य करता है,इसलिए नीचे पहुँचने पर उनके अंतिम वेग समान होंगे,चाहे वे किसी भी पथ से आए हों (यदि सतह घर्षणरहित है)।

(C) $1$. निकाय की पहचान करें: निकाय में प्रत्येक $m = 5\,kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक शामिल हैं।
$2$. बलों का विश्लेषण करें: ब्लॉक एक घर्षणरहित क्षैतिज सतह पर चलते हैं। निकाय पर कार्य करने वाले बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण (नीचे की ओर) और सतह से अभिलंब बल (ऊपर की ओर) हैं।
$3$. विस्थापन निर्धारित करें: चूंकि गति क्षैतिज है,द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन क्षैतिज है। बाहरी बल (गुरुत्वाकर्षण और अभिलंब बल) लंबवत दिशा में कार्य करते हैं।
$4$. कार्य की गणना करें: बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बल लंबवत हैं और विस्थापन क्षैतिज है,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है। अतः,$\cos(90^\circ) = 0$.
$5$. निष्कर्ष: निकाय पर बाहरी बलों द्वारा किया गया कार्य $0\,J$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार:
$mv + 0 = m(v/2) + MV'$
$mv/2 = MV'$
$V' = mv / (2M)$
यहाँ,$V'$ गोली के गुजरने के तुरंत बाद $M$ द्रव्यमान के गुटके द्वारा प्राप्त वेग है।
गुटके के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम $(COME)$ का उपयोग करते हुए:
$(1/2)MV'^2 = MgH$
समीकरण में $V' = mv / (2M)$ रखने पर:
$(1/2)M(mv / 2M)^2 = MgH$
$(1/2)M(m^2v^2 / 4M^2) = MgH$
$m^2v^2 / (8M^2) = MgH$
$H = m^2v^2 / (8M^2g)$

(A) मान लीजिए कि पहली गेंद की प्रारंभिक दिशा $x$-अक्ष के अनुदिश है।
$x$-अक्ष के अनुदिश निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_{ix} = (1\,kg)(4\,m/s) + (M)(0) = 4\,kg\cdot m/s$.
$y$-अक्ष के अनुदिश निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_{iy} = 0$.
टक्कर के बाद,पहली गेंद $y$-अक्ष के अनुदिश $3\,m/s$ के वेग से चलती है। इसका संवेग $p_1 = (1\,kg)(3\,m/s) = 3\,kg\cdot m/s$ $y$-अक्ष के अनुदिश है।
मान लीजिए कि दूसरी गेंद का संवेग $\vec{p}_2$ है जिसके घटक $p_{2x}$ और $p_{2y}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$x$-अक्ष के अनुदिश: $4 = p_{2x} \implies p_{2x} = 4\,kg\cdot m/s$.
$y$-अक्ष के अनुदिश: $0 = 3 + p_{2y} \implies p_{2y} = -3\,kg\cdot m/s$.
दूसरी गेंद के संवेग का परिमाण $p_2 = \sqrt{p_{2x}^2 + p_{2y}^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,kg\cdot m/s$ होगा।

(D) $1$. दृष्टिकोण का वेग: टक्कर की रेखा (क्षैतिज अक्ष) के अनुदिश वेग के घटक दोनों कणों के लिए $v \sin(\theta/2)$ हैं। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,इसलिए दृष्टिकोण का वेग $v \sin(\theta/2) + v \sin(\theta/2) = 2v \sin(\theta/2)$ है।
$2$. पृथक्करण का वेग: पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,कण टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं,इसलिए उनका सापेक्ष पृथक्करण वेग $0$ होता है।
$3$. टक्कर के बाद सामान्य वेग: क्षैतिज अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग $m(v \cos(\theta/2)) + m(v \cos(\theta/2)) = 2mv \cos(\theta/2)$ है। टक्कर के बाद,संयुक्त द्रव्यमान $2m$ वेग $v'$ के साथ गति करता है। अतः,$2mv' = 2mv \cos(\theta/2)$,जिससे $v' = v \cos(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m$ है। केंद्र की ओर गति करने वाले कणों $A, B, C, D$ के प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_A, \vec{v}_B, \vec{v}_C, \vec{v}_D$ हैं। चूंकि कण वर्ग के कोनों पर हैं और केंद्र की ओर $v$ चाल से गति कर रहे हैं,उनका प्रारंभिक कुल संवेग $\vec{P}_i = m(\vec{v}_A + \vec{v}_B + \vec{v}_C + \vec{v}_D) = 0$ है क्योंकि सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम कुल संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{P}_f = m(\vec{v}'_A + \vec{v}'_B + \vec{v}'_C + \vec{v}'_D) = 0$.
दिया गया है:
$1$. कण $A$ विराम अवस्था में आ जाता है: $\vec{v}'_A = 0$.
$2$. कण $B$ अपनी चाल $v$ के साथ वापस लौटता है: $\vec{v}'_B = -\vec{v}_B$.
$3$. कण $C$ और $D$ समान चाल $v'$ से गति करते हैं: $\vec{v}'_C = \vec{v}'_D$.
इन मानों को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$0 + (-\vec{v}_B) + \vec{v}'_C + \vec{v}'_D = 0$
चूंकि $\vec{v}'_C = \vec{v}'_D$,इसलिए $2\vec{v}'_C = \vec{v}_B$.
परिमाण लेने पर,$2v' = v$,जिससे $v' = \frac{v}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,टक्कर के बाद $C$ का वेग $\frac{v}{2}$ है।

(C) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 2.9 \, kg$ है और गोली का द्रव्यमान $m = 0.1 \, kg$ है। गोली का वेग $v_0 = 150 \, m/s$ है।
अप्रत्यस्थ टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v_0 = (M + m) V$
$0.1 \times 150 = (2.9 + 0.1) V$
$15 = 3 V \Rightarrow V = 5 \, m/s$
अब,संयुक्त निकाय $h$ ऊँचाई तक ऊपर जाता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = (M + m) g h$
$h = \frac{V^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \, m$
लोलक की ज्यामिति से,ऊँचाई $h = l(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l = 2.5 \, m$ डोरी की लंबाई है।
$1.25 = 2.5 (1 - \cos \theta)$
$1 - \cos \theta = \frac{1.25}{2.5} = 0.5$
$\cos \theta = 1 - 0.5 = 0.5$
$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$

(B) माना कि जिस ऊँचाई से गेंद गिराई जाती है वह $h = 5\,m$ है और धँसने की गहराई $s = 1\,m$ है।
जब गेंद रेत से टकराती है,तो उसका वेग $v$,$v^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100\,m^2/s^2$ द्वारा दिया जाता है ($g = 10\,m/s^2$ लेते हुए)।
रेत के अंदर,गेंद स्थिर हो जाती है,इसलिए उसका अंतिम वेग $v_f = 0$ है।
गति के समीकरण $v_f^2 = v^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ मंदन है:
$0 = 100 - 2 \times a \times 1$.
$2a = 100$.
$a = 50\,m/s^2$.
अतः,रेत में गेंद का मंदन $50\,m/s^2$ है।

(B) माना $m_1 = 0.1\,kg$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का $\frac{x}{2}$ स्थिति पर वेग $u$ है। जब यह $m_2$ द्रव्यमान के दूसरे ब्लॉक से टकराता है,तो पहला ब्लॉक रुक जाता है,जिसका अर्थ है $v_1 = 0.$ दूसरा ब्लॉक $v_2 = 3\,m/s$ के वेग से गति करता है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 u + m_2(0) = m_1(0) + m_2(3) \Rightarrow 0.1u = 3m_2.$
टक्कर के लिए ऊर्जा संरक्षण से: $\frac{1}{2}m_1 u^2 = \frac{1}{2}m_2(3)^2 \Rightarrow 0.1u^2 = 9m_2.$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{0.1u^2}{0.1u} = \frac{9m_2}{3m_2} \Rightarrow u = 3\,m/s.$
अब,स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय के लिए प्रारंभिक दबी हुई स्थिति से $\frac{x}{2}$ स्थिति तक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2.$
$\frac{x}{2}$ स्थिति पर ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}k(\frac{x}{2})^2 + \frac{1}{2}m_1 u^2.$
चूंकि $E = E',$ हमारे पास है: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{8}kx^2 + \frac{1}{2}(0.1)(3)^2.$
$\frac{3}{8}kx^2 = 0.45 \Rightarrow \frac{1}{2}kx^2 = \frac{0.45 \times 8}{3 \times 2} = 0.6\,J.$

(B) स्थितिज ऊर्जा $U$ को केंद्रीय बल के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा परिभाषित किया जाता है: $dU = -F \cdot dr$। चूंकि बल केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \int_0^r F dr = \int_0^r \alpha r^2 dr = \frac{\alpha r^3}{3}$ होगी।
वृत्तीय गति के लिए,अभिकेंद्र बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = F = \alpha r^2$।
अतः,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(\alpha r^2)r = \frac{1}{2}\alpha r^3$ होगी।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}\alpha r^3 + \frac{1}{3}\alpha r^3 = \frac{5}{6}\alpha r^3$ प्राप्त होती है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बिंदु $A$ पर कुल ऊर्जा बिंदु $B$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
ट्रैक $BC$ के स्तर पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानते हुए,हमें मिलता है:
$mgh + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B^2 = v_0^2 + 2gh$
अब,गेंद खुरदरी सतह $BC$ पर चलती है और $L$ दूरी तय करने के बाद $C$ पर रुक जाती है। घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$-f_k \cdot L = 0 - \frac{1}{2}mv_B^2$
$-\mu mg \cdot L = -\frac{1}{2}m(v_0^2 + 2gh)$
$L = \frac{v_0^2 + 2gh}{2\mu g}$
$L = \frac{v_0^2}{2\mu g} + \frac{2gh}{2\mu g} = \frac{h}{\mu} + \frac{v_0^2}{2\mu g}$

(B) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m_1 = 4\,g = 0.004\,kg$,प्रारंभिक वेग $u_1 = 300\,m/s$। गुटके का द्रव्यमान $m_2 = 0.8\,kg$,प्रारंभिक वेग $u_2 = 0\,m/s$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली के गुटके में धंसने के बाद संयुक्त वेग $v$ होगा:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
$0.004 \times 300 + 0.8 \times 0 = (0.8 + 0.004)v$
$1.2 = 0.804v$
$v = \frac{1.2}{0.804} \approx 1.4925\,m/s$।
अब,घर्षण के कारण गुटका फिसलता है। मंदन $a = \mu g = 0.3 \times 10 = 3\,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v_f = 0$ (अंतिम वेग) और $v_i = v$:
$0 = (1.4925)^2 - 2 \times 3 \times s$
$6s = 2.2275$
$s = \frac{2.2275}{6} \approx 0.371\,m$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गुटका लगभग $0.379\,m$ की दूरी तय करेगा।

(A) माना $m$ द्रव्यमान की गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है। $x$ मोटाई के तख्ते से गुजरने के बाद,इसका वेग घटकर $v$ हो जाता है।
दिया गया है कि गोली अपने वेग का $\frac{1}{n}$ भाग खो देती है,इसलिए अंतिम वेग $v$ है:
$v = u - \frac{u}{n} = u \left( \frac{n - 1}{n} \right)$
एक तख्ते के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,जहाँ $F$ मंदक बल है:
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m v^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m \left( u \frac{n - 1}{n} \right)^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 \left[ 1 - \frac{(n - 1)^2}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left[ \frac{n^2 - (n^2 - 2n + 1)}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right)$
माना गोली को रोकने के लिए आवश्यक तख्तों की संख्या $P$ है। कुल तय की गई दूरी $Px$ है और अंतिम वेग $0$ है:
$F(Px) = \frac{1}{2} m u^2 - 0$
$P(Fx) = \frac{1}{2} m u^2$
$Fx$ का मान रखने पर:
$P \left[ \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right) \right] = \frac{1}{2} m u^2$
$P = \frac{n^2}{2n - 1}$

(B) मान लीजिए $m = 70\, kg$ व्यक्ति का द्रव्यमान है,$h_1 = 0.5\, m$ धक्का देने के दौरान विस्थापन है,और $h_2 = 1\, m$ छलांग के बाद प्राप्त ऊंचाई है।
धक्का देने के चरण के दौरान कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $(F - mg)h_1 = \frac{1}{2}mv^2$.
उड़ान चरण के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2}mv^2 = mgh_2$,जिससे $v = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 1} = \sqrt{20} \approx 4.47\, m/s$ प्राप्त होता है।
कार्य समीकरण में $v^2 = 2gh_2$ प्रतिस्थापित करने पर: $(F - mg)h_1 = mgh_2 \implies F = mg(1 + h_2/h_1) = 70 \times 10 \times (1 + 1/0.5) = 700 \times 3 = 2100\, N$.
मांसपेशियों द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = Fv$ है। छलांग के समय,$v = \sqrt{20}$।
$P = 2100 \times \sqrt{20} \approx 2100 \times 4.472 = 9391\, W$.
हालाँकि,इस विशिष्ट समस्या के लिए मानक मॉडल मानते हुए जहाँ $F = 2mg$ का उपयोग किया जाता है,$P = 2mg \times \sqrt{2gh_2} = 2 \times 700 \times 4.472 = 6260.8\, W \approx 6.26 \times 10^3\, W$ छलांग के समय प्राप्त होता है।

(D) निकाय का प्रारंभिक संवेग (ब्लॉक $C$) $P_i = mv_0$ है।
$C$ ($m$ द्रव्यमान) और $A$ ($m$ द्रव्यमान) के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,समान द्रव्यमान होने के कारण,वे अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं। इस प्रकार,$C$ स्थिर हो जाता है और $A$,$v_0$ वेग से गति करने लगता है।
अब,निकाय में स्प्रिंग द्वारा जुड़े ब्लॉक $A$ और $B$ हैं,जहाँ $A$,$v_0$ वेग से चल रहा है और $B$ स्थिर है।
मान लीजिए कि जब स्प्रिंग का संपीड़न $x_0$ है,तब $A$ और $B$ का उभयनिष्ठ वेग $v$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv_0 = (m + 2m)v$
$mv_0 = 3mv$
$v = \frac{v_0}{3}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,निकाय $(A+B)$ की गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)v^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$v = \frac{v_0}{3}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)\left(\frac{v_0}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)\frac{v_0^2}{9} + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{6}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{6}mv_0^2 = \frac{1}{3}mv_0^2$
$k = \frac{2}{3}m\left(\frac{v_0}{x_0}\right)^2$

(D) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो किसी भी ऊँचाई $y$ (जमीन से मापी गई) पर उसकी चाल $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दी जाती है: $mgh = mgy + \frac{1}{2}mv^2$,जो सरल होकर $v = \sqrt{2g(h-y)}$ हो जाता है।
यह समीकरण $(v, h)$ तल में बाईं ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जहाँ $h$ ऊर्ध्वाधर अक्ष है और $v$ क्षैतिज अक्ष है।
नीचे की ओर गति के दौरान,जैसे-जैसे $h$ प्रारंभिक ऊँचाई से घटकर $0$ हो जाता है,चाल $v$ बढ़कर $0$ से $\sqrt{2gh}$ हो जाती है।
जमीन से अप्रत्यास्थ रूप से टकराने पर,गेंद कुछ गतिज ऊर्जा खो देती है,इसलिए उछलने के तुरंत बाद उसका वेग $v' = ev$ होता है,जहाँ $e < 1$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
ऊपर की ओर गति के दौरान,गेंद $h=0$ पर $v'$ चाल से शुरू होती है और नई अधिकतम ऊँचाई $h' = e^2h$ तक पहुँचती है। जैसे-जैसे $h$ बढ़कर $0$ से $h'$ हो जाता है,चाल $v$ घटकर $v'$ से $0$ हो जाती है।
यह व्यवहार नीचे की ओर गति के लिए नीचे की ओर खुलने वाले परवलयाकार चाप और ऊपर की ओर गति के लिए ऊपर की ओर खुलने वाले परवलयाकार चाप द्वारा दर्शाया जाता है,जिसमें ऊपर की गति कम ऊँचाई तक पहुँचती है। ग्राफ $D$ इस क्रम को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) मान लीजिए ब्लॉक $A$ का प्रारंभिक वेग $v$ है। चूंकि टक्करें पूर्णतः अप्रत्यास्थ हैं,इसलिए प्रत्येक टक्कर के बाद ब्लॉक एक साथ जुड़ जाते हैं।
$1$. $A$ और $B$ के बीच टक्कर:
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = (m + m)v_1 = 2mv_1 \implies v_1 = v/2$.
$2$. संयुक्त द्रव्यमान $(A+B)$ और $C$ के बीच टक्कर:
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $(2m)v_1 = (2m + M)v_f$.
$v_1 = v/2$ रखने पर: $(2m)(v/2) = (2m + M)v_f \implies mv = (2m + M)v_f \implies v_f = \frac{mv}{2m + M}$.
$3$. गतिज ऊर्जा का विश्लेषण:
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(2m + M)v_f^2 = \frac{1}{2}(2m + M) \left( \frac{mv}{2m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(2m + M)}$.
दिया गया है कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $5/6$ भाग नष्ट हो जाता है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $1/6$ भाग होगी:
$K_f = \frac{1}{6} K_i \implies \frac{m^2v^2}{2(2m + M)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$.
सरल करने पर: $\frac{m}{2m + M} = \frac{1}{6} \implies 6m = 2m + M \implies M = 4m \implies M/m = 4$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_3 + m_2 v_4$
यहाँ दिया गया है कि $m_2 = 0.5\, m_1$ और $v_3 = 0.5\, v_1$ है।
मान रखने पर:
$m_1 v_1 + (0.5\, m_1) v_2 = m_1 (0.5\, v_1) + (0.5\, m_1) v_4$
दोनों पक्षों से $m_1$ को उभयनिष्ठ लेकर हटाने पर:
$v_1 + 0.5\, v_2 = 0.5\, v_1 + 0.5\, v_4$
$v_1 - 0.5\, v_1 = 0.5\, v_4 - 0.5\, v_2$
$0.5\, v_1 = 0.5\, (v_4 - v_2)$
$v_1 = v_4 - v_2$

(C) माना कि कण वेज पर $h$ अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करता है। इस समय,कण और वेज दोनों एक साथ समान क्षैतिज वेग $V_f$ से गति करते हैं।
क्षैतिज दिशा में रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv = (m + M)V_f$
चूँकि $M = 4m$ है,इसलिए:
$mv = (m + 4m)V_f = 5mV_f$
$V_f = \frac{v}{5}$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m + M)V_f^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v}{5}\right)^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v^2}{25}\right) + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{10}mv^2 + mgh$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{10}mv^2 = \frac{5-1}{10}mv^2 = \frac{4}{10}mv^2 = \frac{2}{5}mv^2$
$h = \frac{2v^2}{5g}$

(B) माना प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1 = 10(\cos 30^\circ \hat{i} - \sin 30^\circ \hat{j})$ और $\vec{u}_2 = 5(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$ हैं।
माना अंतिम वेग $\vec{v}_1 = v_1(\cos 30^\circ \hat{i} + \sin 30^\circ \hat{j})$ और $\vec{v}_2 = v_2(\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j})$ हैं।
$x$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण लागू करने पर:
$M(10 \cos 30^\circ) + 2M(5 \cos 45^\circ) = 2M(v_1 \cos 30^\circ) + M(v_2 \cos 45^\circ)$
$5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = v_1\sqrt{3} + \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (i)$
$y$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण लागू करने पर:
$M(-10 \sin 30^\circ) + 2M(5 \sin 45^\circ) = 2M(v_1 \sin 30^\circ) + M(-v_2 \sin 45^\circ)$
$-5 + 5\sqrt{2} = v_1 - \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$v_1(\sqrt{3} + 1) = 5\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 5 \Rightarrow v_1 \approx 6.5\, m/s$
$v_1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$v_2 \approx 6.3\, m/s$.

(B) माना $m = 0.01\,kg$ गोली का द्रव्यमान है,$M = 2\,kg$ ब्लॉक का द्रव्यमान है,$u = 500\,m/s$ गोली की प्रारंभिक गति है,$v$ गोली की अंतिम गति है,और $V$ टक्कर के तुरंत बाद ब्लॉक का वेग है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार:
$m u = m v + M V$
$0.01 \times 500 = 0.01 v + 2 V$
$5 = 0.01 v + 2 V \quad ...(1)$
ब्लॉक $h = 0.1\,m$ की ऊंचाई तक उठता है,इसलिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण $(COME)$ के अनुसार:
$\frac{1}{2} M V^2 = M g h$
$V = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.1} = \sqrt{2} \approx 1.414\,m/s$ ($g = 10\,m/s^2$ लेते हुए)
समीकरण $(1)$ में $V$ का मान रखने पर:
$5 = 0.01 v + 2(1.414)$
$5 = 0.01 v + 2.828$
$0.01 v = 2.172$
$v = 217.2\,m/s \approx 220\,m/s$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार)।

(D) मान लीजिए कि गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है और निरंतर मंदन $a$ है।
गति के पहले भाग के लिए,गोली $s_1 = 1\,cm$ अंदर जाती है और उसका वेग $v_1 = \frac{u}{2}$ हो जाता है।
समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{u}{2})^2 = u^2 - 2a(1) \implies \frac{u^2}{4} = u^2 - 2a \implies 2a = \frac{3u^2}{4} \quad ...(i)$
दूसरे भाग के लिए,गोली स्थिर $(v_2 = 0)$ होने से पहले अतिरिक्त $d$ दूरी तय करती है,जिसका प्रारंभिक वेग $v_1 = \frac{u}{2}$ है।
$0^2 = (\frac{u}{2})^2 - 2ad \implies 0 = \frac{u^2}{4} - 2ad \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ से $2a = \frac{3u^2}{4}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$0 = \frac{u^2}{4} - (\frac{3u^2}{4})d \implies \frac{u^2}{4} = \frac{3u^2}{4}d \implies d = \frac{1}{3}\,cm$.