Work Done by Spring and Potential Energy of Spring Questions in Hindi

(C) किसी स्प्रिंग को $F$ बल द्वारा खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग को समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,इसलिए किया गया कार्य बल नियतांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $W \propto \frac{1}{k}$।
यह दिया गया है कि $k_1 > k_2$,इसलिए $\frac{1}{k_1} < \frac{1}{k_2}$ होगा।
अतः,$W_1 < W_2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि दूसरी स्प्रिंग के मामले में अधिक कार्य किया जाता है।

(A) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: बल नियतांक $k = 10\, N/m$,प्रारंभिक खिंचाव $x_1 = 0.20\, m$,और अंतिम खिंचाव $x_2 = 0.25\, m$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$ है।
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{1}{2} \times 10 \times [(0.25)^2 - (0.20)^2]$।
$\Delta U = 5 \times (0.0625 - 0.0400)$।
$\Delta U = 5 \times 0.0225 = 0.1125\, J$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि लगभग $0.1\, J$ है।

(A) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $x = S$ के लिए,$U_1 = \frac{1}{2} k S^2 = 10 \, J$ है।
हमें इसे अतिरिक्त $S$ दूरी तक खींचने के लिए किया गया कार्य ज्ञात करना है,जिसका अर्थ है कि अंतिम विस्तार $x_2 = S + S = 2S$ है।
किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1$।
$U_2 = \frac{1}{2} k (2S)^2 = \frac{1}{2} k (4S^2) = 4 \times (\frac{1}{2} k S^2) = 4 \times 10 = 40 \, J$।
अतः,$W = 40 \, J - 10 \, J = 30 \, J$।

(D) हुक के नियम के अनुसार स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{F}{x}$ होता है।
यहाँ $F = 10 \, N$ और $x = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है।
अतः,$k = \frac{10}{1 \times 10^{-3}} = 10^4 \, N/m$।
स्प्रिंग को $x = 40 \, mm = 40 \times 10^{-3} \, m$ विस्थापित करने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (40 \times 10^{-3})^2$।
$W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (1600 \times 10^{-6}) = \frac{1}{2} \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-3} = 0.5 \times 16 = 8 \, J$।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर पिंड की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K.E. = P.E._{spring}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
दिया गया है: $m = 0.1 \ kg$,$v = 10 \ m/s$,$k = 1000 \ N/m$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.1 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times x^2$
$0.1 \times 100 = 1000 \times x^2$
$10 = 1000 \times x^2$
$x^2 = \frac{10}{1000} = 0.01$
$x = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$.

(B) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.
दिया गया है:
बल नियतांक $k = 800\, N/m$.
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 5\, cm = 0.05\, m$.
अंतिम विस्तार $x_2 = 15\, cm = 0.15\, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.0200$
$W = 8\, J$.

(C) स्प्रिंग में संग्रहीत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$x_1 = 2 \, cm$ के लिए,ऊर्जा $U_1 = 100 \, J$ है।
अतः,$100 = \frac{1}{2} k (2)^2 \implies 100 = 2k \implies k = 50 \, J/cm^2$ है।
जब स्प्रिंग को $2 \, cm$ और खींचा जाता है,तो नया विस्तार $x_2 = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ हो जाता है।
नई स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} (50) (4)^2 = 25 \times 16 = 400 \, J$ है।
संग्रहीत ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_2 - U_1 = 400 \, J - 100 \, J = 300 \, J$ है।

(D) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
दिया गया है,$x_1 = 2 \,mm$ के लिए,$U_1 = 4 \,J$ है।
जब स्प्रिंग को $x_2 = 10 \,mm$ तक खींचा जाता है,तो नई स्थितिज ऊर्जा $U_2$ विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है $(U \propto x^2)$।
इसलिए,$\frac{U_2}{U_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{U_2}{4} = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = (5)^2 = 25$।
अतः,$U_2 = 4 \times 25 = 100 \,J$।

(C) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक $k = 5 \times 10^3 \, N/m$.
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
अंतिम विस्तार $x_2 = 5 \, cm + 5 \, cm = 10 \, cm = 0.10 \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times ((0.10)^2 - (0.05)^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times (0.01 - 0.0025)$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \, J$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर पिंड की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना $m = 0.5\,kg$ द्रव्यमान है,$v = 1.5\,m/s$ वेग है,और $k = 50\,N/m$ स्प्रिंग नियतांक है।
पिंड की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $P.E. = \frac{1}{2}kx^2$ है।
दोनों ऊर्जाओं की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^2 = \frac{mv^2}{k}$
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = v\sqrt{\frac{m}{k}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$x = 1.5 \times \sqrt{\frac{0.5}{50}}$
$x = 1.5 \times \sqrt{0.01}$
$x = 1.5 \times 0.1 = 0.15\,m$.
अतः,अधिकतम संपीड़न $0.15\,m$ है।

(C) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} k x^2$।
चूंकि स्प्रिंग नियतांक $k$ स्थिर है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है: $U \propto x^2$।
प्रारंभ में,$x_1 = 1 \, cm$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1 = U$ है।
जब स्प्रिंग को $x_2 = 4 \, cm$ तक खींचा जाता है,तो नई स्थितिज ऊर्जा $U_2$ होगी:
$U_2 = \frac{1}{2} k (x_2)^2 = \frac{1}{2} k (4 \, cm)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} k (1 \, cm)^2) = 16 U$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $16U$ हो जाएगी।

(B) स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
स्प्रिंग को विस्तारित करने के लिए किसी बाहरी कारक द्वारा किए गए कार्य की गणना करने के लिए,हम बाहरी बल $F_{ext} = -F = kx$ लागू करते हैं।
किया गया कार्य $W$ विस्थापन पर बल का समाकलन है:
$W = \int_{0}^{x_1} F_{ext} dx = \int_{0}^{x_1} kx dx$
$W = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = k \left( \frac{x_1^2}{2} - 0 \right)$
$W = \frac{1}{2} k x_1^2$
अतः,स्प्रिंग को विस्तारित करने में किया गया कार्य $\frac{1}{2} k x_1^2$ है।

(D) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $U \propto x^2$ है।
दिया गया है कि $x_1 = 0.02\, m$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1 = U$ है।
$x_2 = 0.1\, m$ के लिए,मान लीजिए स्थितिज ऊर्जा $U_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{0.1}{0.02} \right)^2 = (5)^2 = 25$।
अतः,$U_2 = 25U$।

(B) $x$ दूरी से संकुचित या विस्तारित स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$PE = \frac{1}{2} k x^2$
जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि स्प्रिंग को $a$ दूरी से संकुचित किया गया है,इसलिए सूत्र में $x = a$ रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} k a^2$
चूंकि $\frac{1}{2}$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है:
$PE \propto a^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि ब्लॉक की प्रारंभिक स्थिति गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(U_g = 0)$ है।
जब ब्लॉक स्प्रिंग के ऊपर $h$ ऊँचाई पर होता है,तो उसकी कुल ऊर्जा $E_i = 0$ होती है (क्योंकि यह विरामावस्था में है और संदर्भ स्तर पर है)।
जब स्प्रिंग अधिकतम $x$ दूरी तक संकुचित होती है,तो ब्लॉक सबसे निचले बिंदु पर क्षण भर के लिए रुक जाता है।
ब्लॉक का अपनी प्रारंभिक स्थिति से कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(h + x)$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_g = -mg(h + x)$ है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ है।
चूँकि कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,इसलिए गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$.

(C) जब $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v$ वेग से गति करते हुए स्प्रिंग से टकराता है,तो अधिकतम संपीड़न $L$ पर उसकी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} K L^2$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{K}{M} L^2 \implies v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
ब्लॉक का संवेग $P$,$P = Mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$P = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right) = \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}} L = \sqrt{MK} L$
अतः,ब्लॉक का अधिकतम संवेग $\sqrt{MK} L$ है।

(D) $l$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k l^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इसका अर्थ है कि $U \propto l^2$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = V$ है जब विस्तार $l_1 = 2 \, cm$ है।
हमें $l_2 = 10 \, cm$ के विस्तार के लिए स्थितिज ऊर्जा $U_2$ ज्ञात करनी है।
समानुपातिकता $U \propto l^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2$
$\frac{U_2}{V} = \left( \frac{10}{2} \right)^2 = (5)^2 = 25$
अतः,$U_2 = 25V$.

(B) एक विस्तारित स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ होता है।
हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव $T$ और विस्तार $x$ के बीच संबंध $T = kx$ होता है।
इससे,हम विस्तार को $x = \frac{T}{k}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$x$ के इस मान को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) बल नियतांक $K$ वाली स्प्रिंग में $x$ विस्तार पर संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}Kx^2$ द्वारा दी जाती है।
$l_1$ विस्तार पर,संचित स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}Kl_1^2$ है।
$l_2$ विस्तार पर,संचित स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}Kl_2^2$ है।
विस्तार को $l_1$ से $l_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}Kl_2^2 - \frac{1}{2}Kl_1^2$
$W = \frac{1}{2}K(l_2^2 - l_1^2)$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4\, kg$,विस्तार $x_1 = 2\, cm = 0.02\, m$,अंतिम विस्तार $x_2 = 5\, cm = 0.05\, m$,$g = 9.8\, m/s^2$.
सबसे पहले,हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग नियतांक $K$ ज्ञात करें: $F = Kx_1 \implies mg = Kx_1$.
$K = \frac{mg}{x_1} = \frac{4 \times 9.8}{0.02} = \frac{39.2}{0.02} = 1960\, N/m$.
बाहरी एजेंट द्वारा स्प्रिंग को $x_2$ तक खींचने के लिए किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} K x_2^2$ द्वारा दिया जाता है।
$W = \frac{1}{2} \times 1960 \times (0.05)^2$.
$W = 980 \times 0.0025 = 2.45\, J$.

(C) स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = \frac{F^2}{2K}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ खिंचाव बल है और $K$ बल नियतांक है।
दिया गया है कि प्रत्यास्थ ऊर्जा समान है,इसलिए $U_1 = U_2$.
अतः,$\frac{F_1^2}{2K_1} = \frac{F_2^2}{2K_2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{F_1^2}{F_2^2} = \frac{K_1}{K_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{F_1}{F_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$F_1:F_2$ का अनुपात $\sqrt{K_1}:\sqrt{K_2}$ है।

(A) $F$ बल द्वारा खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{F^2}{2K}$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग के लिए बल $F$ समान है,इसलिए $U \propto \frac{1}{K}$ होगा।
अतः,दोनों स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{K_2}{K_1}$ होगा।
दिए गए मान $K_1 = 1500 \, N/m$ और $K_2 = 3000 \, N/m$ रखने पर,हमें $\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(B) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है।
हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव $T$ और विस्तार $x$ के बीच संबंध $T = K x$ होता है।
इससे,हम विस्तार को $x = \frac{T}{K}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के इस मान को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} K \left( \frac{T}{K} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} K \left( \frac{T^2}{K^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2K}$.

(C) एक खिंचे हुए स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2}kh^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $h$ विस्तार है।
जब पिंड संतुलन में होता है,तो नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है।
अतः,$mg = kh$,जिसका अर्थ है $k = \frac{mg}{h}$।
$k$ के इस मान को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$P.E. = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{h} \right) h^2$.
$P.E. = \frac{1}{2} mgh$.

(C) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है।
प्रारंभ में,$x_1 = 2 \ cm$ के लिए,ऊर्जा $U_1 = 100 \ J = \frac{1}{2}k(2)^2$ है।
जब स्प्रिंग को $2 \ cm$ और खींचा जाता है,तो कुल विस्तार $x_2 = 2 \ cm + 2 \ cm = 4 \ cm$ हो जाता है।
$x_2$ पर संचित कुल ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}k(4)^2 = \frac{1}{2}k(16)$ है।
चूंकि $U_1 = \frac{1}{2}k(4) = 100 \ J$,इसलिए $\frac{1}{2}k = 25 \ J/cm^2$ है।
अतः,$U_2 = 25 \times 16 = 400 \ J$ होगा।
संचित अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta U = U_2 - U_1 = 400 \ J - 100 \ J = 300 \ J$ है।

(D) $x$ लंबाई तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}Kx^2$ है।
जब स्प्रिंग को अतिरिक्त $y$ लंबाई तक खींचा जाता है,तो कुल विस्तार $(x + y)$ हो जाता है।
स्प्रिंग में संचित कुल स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}K(x + y)^2$ है।
दूसरे खिंचाव में किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}K(x + y)^2 - \frac{1}{2}Kx^2$
$W = \frac{1}{2}K(x^2 + 2xy + y^2) - \frac{1}{2}Kx^2$
$W = \frac{1}{2}K(x^2 + 2xy + y^2 - x^2)$
$W = \frac{1}{2}K(2xy + y^2)$
$W = \frac{1}{2}Ky(2x + y)$.

(B) एक स्प्रिंग को $x$ विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$ होता है।
प्रथम स्थिति के लिए ($10 \ cm$ से $20 \ cm$): $W_1 = \frac{1}{2} k (20^2 - 10^2) = \frac{1}{2} k (400 - 100) = 150 k$.
द्वितीय स्थिति के लिए ($20 \ cm$ से $30 \ cm$): $W_2 = \frac{1}{2} k (30^2 - 20^2) = \frac{1}{2} k (900 - 400) = 250 k$.
दोनों की तुलना करने पर,$W_1 < W_2$ प्राप्त होता है। अतः,$10 \ cm$ से $20 \ cm$ तक स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $20 \ cm$ से $30 \ cm$ तक खींचने में किए गए कार्य से कम है।

(D) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
चूंकि सूत्र में $x$ का वर्ग है,इसलिए किसी भी गैर-शून्य विस्थापन $(x \neq 0)$ के लिए स्थितिज ऊर्जा $U$ हमेशा धनात्मक होती है।
चाहे स्प्रिंग को खींचा जाए $(x > 0)$ या दबाया जाए $(x < 0)$,विस्थापन का परिमाण बढ़ने पर $x^2$ का मान बढ़ता है।
इसलिए,जब भी स्प्रिंग को उसकी प्राकृतिक लंबाई से खींचा या दबाया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा हमेशा बढ़ती है।

(D) $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग पर $F$ बल द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{F^2}{2k}$ होता है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग के लिए बल $F$ समान है,इसलिए किया गया कार्य बल नियतांक $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(W \propto \frac{1}{k})$।
दिया गया है कि $k_1 < k_2$,इसलिए $\frac{1}{k_1} > \frac{1}{k_2}$ होगा।
अतः,$W_1 = \frac{F^2}{2k_1} > W_2 = \frac{F^2}{2k_2}$।
इस प्रकार,कथन-$1$ सत्य है क्योंकि $S_1$ पर किया गया कार्य वास्तव में $S_2$ पर किए गए कार्य से अधिक है।
कथन-$2$ $(k_1 < k_2)$ भी सत्य है और यही कारण है कि $W_1 > W_2$ होता है।
इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम संपीड़न पर पिंड की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना $m = 0.5 \ kg$,$v = 1.5 \ m/s$,$k = 50 \ N/m$,और $x$ अधिकतम संपीड़न है।
गतिज ऊर्जा = प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2$
$mv^2 = kx^2$
$0.5 \times (1.5)^2 = 50 \times x^2$
$0.5 \times 2.25 = 50 \times x^2$
$1.125 = 50 \times x^2$
$x^2 = \frac{1.125}{50} = 0.0225$
$x = \sqrt{0.0225} = 0.15 \ m$
अतः,स्प्रिंग का अधिकतम संपीड़न $0.15 \ m$ होगा।

(C) गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है और स्प्रिंग को $x$ दूरी तक संकुचित करती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गेंद का कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(h + x)$ है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा में कमी $mg(h + x)$ है।
स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\frac{1}{2}kx^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$.
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{2mg(h + x)}{x^2}$.

(B) माना स्प्रिंग में अधिकतम विस्तार $x$ है। अधिकतम विस्तार के बिंदु पर ब्लॉक का वेग शून्य होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर,ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = $Mgx$
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} k x^2$
दोनों को बराबर करने पर: $Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
$x$ के लिए हल करने पर ($x \neq 0$ होने के कारण): $x = \frac{2Mg}{k}$

(C) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
चूंकि लगाया गया बल $F$ समान है,हम संबंध $F = kx$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $x = \frac{F}{k}$।
इस मान को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $U = \frac{1}{2} k (\frac{F}{k})^2 = \frac{F^2}{2k}$।
चूंकि $F$ स्थिर है,इसलिए $U \propto \frac{1}{k}$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$ होगा।
दिया गया है कि $k_1 = 1500 \ N/m$ और $k_2 = 3000 \ N/m$,इसलिए $\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) दिया है: प्राकृतिक लंबाई $L_0 = 10 \ cm$,विस्तार $x_1 = 2 \ cm = 0.02 \ m$,द्रव्यमान $m = 20 \ g = 0.02 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$.
संतुलन की स्थिति में,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $k x_1 = mg$.
$k(0.02) = 0.02 \times 10 \implies k = 10 \ N/m$.
स्प्रिंग की कुल लंबाई $14 \ cm$ हो जाती है,इसलिए नया विस्तार $x_2 = 14 \ cm - 10 \ cm = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x_2^2$ द्वारा दी जाती है।
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.04)^2 = 5 \times 0.0016 = 0.008 \ J = 8 \times 10^{-3} \ J$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक द्वारा $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई नीचे उतरने पर खोई गई स्थितिज ऊर्जा,अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग द्वारा प्राप्त प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U_g = mgh$ है।
स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U_s = \frac{1}{2} Kx^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर:
$mgh = \frac{1}{2} Kx^2$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^2 = \frac{2mgh}{K}$
$x = \sqrt{\frac{2mgh}{K}}$

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए कि स्प्रिंग से टकराने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग $v$ है।
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} k L^2$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{k L^2}{M} \implies v = L \sqrt{\frac{k}{M}}$
ब्लॉक का संवेग $p = Mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$p = M \left( L \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = L \sqrt{M^2 \cdot \frac{k}{M}} = L \sqrt{Mk} = \sqrt{Mk} \, L$
अतः,ब्लॉक का अधिकतम संवेग $\sqrt{Mk} \, L$ है।

(A) $s$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}ks^2 = 10 \ J$ है।
जब स्प्रिंग को अतिरिक्त $s$ दूरी तक खींचा जाता है,तो कुल विस्तार $x = s + s = 2s$ हो जाता है।
इस नए विस्तार पर स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}k(2s)^2 = \frac{1}{2}k(4s^2) = 4 \times (\frac{1}{2}ks^2)$ होगी।
$U_1 = 10 \ J$ का मान रखने पर,$U_2 = 4 \times 10 \ J = 40 \ J$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग को $s$ से $2s$ तक खींचने के लिए किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = U_2 - U_1 = 40 \ J - 10 \ J = 30 \ J$.

(B) हुक के नियम के अनुसार स्प्रिंग में तनाव (बल) $T = kx$ होता है,जहाँ $x$ विस्तार है।
इससे,विस्तार $x = \frac{T}{k}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है।
$x$ का मान सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T}{k} \right)^2 = \frac{1}{2}k \left( \frac{T^2}{k^2} \right) = \frac{T^2}{2k}$.

(D) जब स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचा जाता है,तो उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}kx^2$ होती है।
जब स्प्रिंग को कुल $(x + y)$ दूरी तक खींचा जाता है,तो उसकी अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}k(x + y)^2$ होती है।
दूसरे खिंचाव के दौरान किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}k(x + y)^2 - \frac{1}{2}kx^2$
$W = \frac{1}{2}k(x^2 + 2xy + y^2 - x^2)$
$W = \frac{1}{2}k(2xy + y^2)$
$W = \frac{1}{2}ky(2x + y)$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक द्वारा खोई गई गतिज ऊर्जा,स्प्रिंग द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए कि स्प्रिंग में अधिकतम संपीड़न $d$ है।
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m = \frac{W}{g}$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
अधिकतम संपीड़न पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kd^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kd^2$.
$m = \frac{W}{g}$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{W}{g} \right) v^2 = \frac{1}{2}kd^2$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$d^2 = \frac{Wv^2}{kg}$.
अतः,$d = v\sqrt{\frac{W}{kg}}$.

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k = 100 \ N/m$ है।
स्प्रिंग का विस्थापन $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$ है।
स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य सूत्र $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2$
$W = 50 \times 0.0025$
$W = 0.125 \ J$.

(B) स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य स्प्रिंग में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है,जो $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} k x_2^2 - \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
दिया गया है: $k = 800 \ N/m$,$x_1 = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$x_2 = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.02 = 8 \ J$.

(C) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}kx^2 = 10 \ J$ है।
जब स्प्रिंग को अतिरिक्त $x$ दूरी तक खींचा जाता है,तो कुल विस्तार $x + x = 2x$ हो जाता है।
नई स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}k(2x)^2 = \frac{1}{2}k(4x^2) = 4 \times (\frac{1}{2}kx^2) = 4 \times 10 = 40 \ J$ है।
अतिरिक्त दूरी तक खींचने के लिए किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = U_2 - U_1 = 40 \ J - 10 \ J = 30 \ J$.

(B) स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने के लिए किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 5 \times 10^3 \ N/m$,$x_1 = 5 \ cm = 0.05 \ m$,और $x_2 = 5 \ cm + 5 \ cm = 10 \ cm = 0.10 \ m$ है।
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times [(0.10)^2 - (0.05)^2]$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times [0.01 - 0.0025]$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \ J$.

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2} kx^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$
ऊँचाई $h = 4.9 \ m$
स्प्रिंग नियतांक $k = 400 \ N/m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$0.04 \times 9.8 \times 4.9 = \frac{1}{2} \times 400 \times x^2$
$1.9208 = 200 \times x^2$
$x^2 = \frac{1.9208}{200} = 0.009604$
$x = \sqrt{0.009604} = 0.098 \ m$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $x = 0.098 \times 100 = 9.8 \ cm$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कण द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,स्प्रिंग द्वारा प्राप्त प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mg(h + x) = \frac{1}{2} kx^2$
प्रथम स्थिति के लिए: $m = 0.1 \; kg$,$h_1 = 0.24 \; m$,$x_1 = 0.01 \; m$.
$mg(0.24 + 0.01) = \frac{1}{2} k(0.01)^2$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $h_2 = h$,$x_2 = 0.04 \; m$.
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} k(0.04)^2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h + 0.04}{0.24 + 0.01} = \frac{(0.04)^2}{(0.01)^2}$
$\frac{h + 0.04}{0.25} = \frac{0.0016}{0.0001} = 16$
$h + 0.04 = 16 \times 0.25 = 4$
$h = 4 - 0.04 = 3.96 \; m$

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई प्राप्त करती है,तो स्प्रिंग में संचित प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्प्रिंग का प्रारंभिक संपीड़न,$x = \frac{{\ell _0}}{2}$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2}k \left( \frac{{\ell _0}}{2} \right)^2 = \frac{1}{8}k \ell_0^2$.
ब्लॉक की अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$U_i = K_f$.
$\frac{1}{8}k \ell_0^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = \frac{k \ell_0^2}{4m}$.
$v = \frac{{\ell _0}}{2}\sqrt {\frac{k}{m}}$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$h$ ऊंचाई और संपीड़न $x$ पर कण की स्थितिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mg(h + x) = \frac{1}{2} K x^2$
स्थिति $I$: $m = 0.1 \ kg$,$h_1 = 0.24 \ m$,$x_1 = 0.01 \ m$
$mg(0.24 + 0.01) = \frac{1}{2} K (0.01)^2$
$mg(0.25) = \frac{1}{2} K (0.0001) \quad ... (1)$
स्थिति $II$: $m = 0.1 \ kg$,$h_2 = h$,$x_2 = 0.04 \ m$
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} K (0.04)^2$
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} K (0.0016) \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h + 0.04}{0.25} = \frac{0.0016}{0.0001} = 16$
$h + 0.04 = 16 \times 0.25$
$h + 0.04 = 4$
$h = 4 - 0.04 = 3.96 \ m$

(A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक की गति $v$ है और $M$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक की गति $V$ है।
चूंकि सतह घर्षणरहित है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा और रैखिक संवेग संरक्षित रहते हैं।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = अंतिम गतिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2 \quad \dots(1)$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार (प्रारंभिक संवेग शून्य है):
$m v = M V \implies v = \frac{M V}{m} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $v$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$K x^2 = m \left( \frac{M V}{m} \right)^2 + M V^2$
$K x^2 = \frac{M^2 V^2}{m} + M V^2 = M V^2 \left( \frac{M}{m} + 1 \right) = M V^2 \left( \frac{M+m}{m} \right)$
$V^2 = \frac{K x^2 m}{M(M+m)}$
$V = \sqrt{\frac{Km}{M(M+m)}} \cdot x$

(D) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $U \propto x^2$ है।
प्रारंभिक विस्थापन $x_1 = 2 \ cm$ और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = U$ दी गई है।
नया विस्थापन $x_2 = 10 \ cm$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करने पर: $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{10 \ cm}{2 \ cm} \right)^2 = (5)^2 = 25$.
अतः,नई स्थितिज ऊर्जा $U_2 = 25 U$ होगी।