Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य वाहन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE$
चूंकि वाहनों को विराम अवस्था में लाया जाता है,इसलिए मंदक बल $F$ द्वारा रुकने की दूरी $S$ पर किया गया कार्य प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)$ के बराबर होता है:
$F \times S = KE$
रुकने की दूरी $S$ के लिए सूत्र:
$S = \frac{KE}{F}$
चूंकि लॉरी और कार दोनों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)$ समान है और उन पर समान मंदक बल $(F)$ लगाया जाता है,इसलिए दोनों के लिए रुकने की दूरी $S$ समान होगी।

(A) मान लीजिए कि गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा) $E_i = mgh$ है।
पहली उछाल के बाद,गेंद $h' = 0.80h$ की ऊँचाई तक पहुँचती है।
उछाल के बाद यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh' = mg(0.80h) = 0.80mgh$ है।
उछाल में नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = mgh - 0.80mgh = 0.20mgh$ है।
नष्ट हुई यांत्रिक ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta E}{E_i} = \frac{0.20mgh}{mgh} = 0.20$ है।

(C) दिया गया है $K \propto t$,अतः $K = \lambda t$,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,हमारे पास $\frac{1}{2}mv^2 = \lambda t$ है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2\lambda}{m}} t^{1/2}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \sqrt{\frac{2\lambda}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{\lambda}{2m}} t^{-1/2}$ है।
बल $F = ma = m \cdot \sqrt{\frac{\lambda}{2m}} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{\lambda m}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$ है।
अतः,$F \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$,जो कथन $(ii)$ से मेल खाता है।
अब,$F$ को चाल $v$ के पदों में व्यक्त करने पर: चूँकि $v \propto t^{1/2}$,इसलिए $t^{1/2} \propto v$ है। इस मान को बल के समीकरण में रखने पर,$F \propto \frac{1}{v}$ प्राप्त होता है।
अतः,$F$ पिंड की चाल के व्युत्क्रमानुपाती है,जो कथन $(iv)$ से मेल खाता है।
इसलिए,कथन $(ii)$ और $(iv)$ सही हैं।

(C) $20 \, cm$ की ऊँचाई $h_1$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $K_i = mgh_1$ है।
$10 \, cm$ की उछाल ऊँचाई $h_2$ पर गेंद की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $K_f = mgh_2$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = mg(h_1 - h_2)$ है।
मान रखने पर: $\Delta K = mg(20 - 10) \times 10^{-2} = mg \times 10 \times 10^{-2} \, J$.
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत हानि $= \frac{mg(h_1 - h_2)}{mgh_1} \times 100 = \frac{h_1 - h_2}{h_1} \times 100$.
प्रतिशत हानि $= \frac{20 - 10}{20} \times 100 = \frac{10}{20} \times 100 = 50 \%$.

(A) मान लीजिए कि दोनों पिंडों का द्रव्यमान $m$ है। पिंड $x$ का प्रारंभिक वेग $u_x = p/m$ है और पिंड $y$ का वेग $u_y = 0$ है।
आवेग $J$ पिंड के संवेग में परिवर्तन है। पिंड $x$ के लिए,$y$ द्वारा दिया गया आवेग $J = p_x' - p$ है,जहाँ $p_x'$ पिंड $x$ का अंतिम संवेग है। अतः,$p_x' = p - J$.
पिंड $y$ के लिए,प्राप्त आवेग $J = p_y' - 0$ है,इसलिए $p_y' = J$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_y' - v_x'}{u_x - u_y}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $p = mv$,हमारे पास $v_x' = \frac{p-J}{m}$ और $v_y' = \frac{J}{m}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $e = \frac{J/m - (p-J)/m}{p/m - 0} = \frac{J - p + J}{p} = \frac{2J - p}{p} = \frac{2J}{p} - 1$.

(D) किसी भी टक्कर में,ऊर्जा संरक्षण का नियम संतुष्ट होना चाहिए। यदि कोई गेंद फर्श से टकराती है और दोगुने वेग से वापस लौटती है,तो उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_f = \frac{1}{2} m (2v)^2 = 2mv^2)$ उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i = \frac{1}{2} mv^2)$ की चार गुना हो जाएगी। इसका अर्थ है कि निकाय पर कोई बाह्य कार्य किए बिना ऊर्जा में वृद्धि हो रही है,जो ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन करता है। इसलिए,ऐसी टक्कर भौतिक रूप से असंभव है।

(D) माना पहली गेंद का द्रव्यमान $m_1 = 2m$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ है। माना दूसरी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = m$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,दूसरी गेंद का अंतिम वेग $V_2$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V_2 = \left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right) u_2 + \left(\frac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) u_1$
मान रखने पर:
$V_2 = 0 + \left(\frac{2(2m)}{m + 2m}\right) v = \frac{4m}{3m} v = \frac{4}{3}v$
जब $m$ द्रव्यमान की गेंद $h$ ऊँचाई वाले घर्षणहीन समतल की चोटी पर पहुँचती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} m V_2^2 = mgh$
$V_2 = \frac{4}{3}v$ रखने पर:
$\frac{1}{2} m \left(\frac{4}{3}v\right)^2 = mgh$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} v^2 = gh$
$\frac{8}{9} v^2 = gh$
$v^2 = \frac{9gh}{8}$
$v = \sqrt{\frac{9gh}{8}}$

(B) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दो पिंड टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक सामान्य वेग $v$ के साथ चलते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v$
चूंकि संयुक्त द्रव्यमान एक सामान्य वेग $v$ के साथ चलता है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_{f} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2}$ होती है,जो शून्य नहीं है।
इसलिए,पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा का पूर्ण नुकसान नहीं होता है; केवल अधिकतम संभव नुकसान होता है।
अतः,कथन $B$ गलत है।

(B) मान लीजिए कि गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है। मान लीजिए कि लकड़ी की प्लेट के कारण मंदन $a_1$ है और लोहे की प्लेट के कारण मंदन $a_2$ है।
पहले मामले के लिए,गोली रुकने से पहले $4\,cm$ लकड़ी और $1\,cm$ लोहे से होकर गुजरती है। समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0 = u^2 - 2a_1(4) - 2a_2(1)$
$u^2 = 8a_1 + 2a_2$ --- (समीकरण $1$)
दूसरे मामले के लिए,गोली रुकने से पहले $2\,cm$ लोहे और $2\,cm$ लकड़ी से होकर गुजरती है:
$0 = u^2 - 2a_2(2) - 2a_1(2)$
$u^2 = 4a_2 + 4a_1$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ की तुलना करने पर:
$8a_1 + 2a_2 = 4a_2 + 4a_1$
$4a_1 = 2a_2$
$a_2 = 2a_1$

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक तख्ते की मोटाई $x$ है। गोली $2$ तख्तों को भेदने के बाद रुक जाती है,इसलिए कुल दूरी $s_1 = 2x$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u_1 = 100\, m/s$,और $a$ एकसमान मंदन है।
$0 = u_1^2 - 2a(s_1) \implies s_1 = \frac{u_1^2}{2a}$.
चूंकि $s_1 \propto u^2$,इसलिए $\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ होगा।
दिया गया है कि $u_2 = 2u_1$,तो $\frac{s_2}{s_1} = (2)^2 = 4$.
अतः,$s_2 = 4s_1 = 4(2x) = 8x$.
तख्तों की संख्या $n_2 = \frac{s_2}{x} = \frac{8x}{x} = 8$ होगी।

(A) कण का प्रारंभिक संवेग $P_i = m V_0$ है।
टक्कर के बाद,कण लोलक से चिपक जाता है,इसलिए निकाय का कुल द्रव्यमान $2m$ हो जाता है। मान लीजिए कि टक्कर के तुरंत बाद निकाय का वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m V_0 = (2m) v$
$v = \frac{V_0}{2}$
अब,निकाय एक लोलक के रूप में गति करता है और अधिकतम ऊँचाई $h$ तक ऊपर उठता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सबसे निचले बिंदु पर निकाय की गतिज ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} (2m) v^2 = (2m) g h$
समीकरण में $v = \frac{V_0}{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{2} (2m) \left( \frac{V_0}{2} \right)^2 = 2mgh$
$m \left( \frac{V_0^2}{4} \right) = 2mgh$
$h = \frac{V_0^2}{8g}$

(A) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v_0 + m(0) = (m + m)v$
$m v_0 = 2mv$
$v = v_0 / 2$
अब,संयुक्त द्रव्यमान प्रणाली के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,जब यह अधिकतम ऊँचाई $h$ तक पहुँचती है:
$\frac{1}{2}(2m)v^2 = (2m)gh$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$v = v_0 / 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{(v_0 / 2)^2}{2g} = \frac{v_0^2 / 4}{2g} = \frac{v_0^2}{8g}$

(D) बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
$1$. यदि घर्षण बल गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है,तो $\theta = 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $W = Fd \cos(180^{\circ}) = -Fd$ (ऋणात्मक)।
$2$. यदि किसी ब्लॉक को एक चलती हुई ट्रॉली पर रखा जाता है और वह स्थैतिक घर्षण के कारण उसके साथ गति करता है,तो घर्षण बल गति की दिशा में कार्य करता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ और $W = Fd \cos(0^{\circ}) = +Fd$ (धनात्मक)।
$3$. यदि कोई वस्तु स्थिर है या विस्थापन शून्य है,तो घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = 0$ (शून्य) होता है।
चूंकि भौतिक स्थिति के आधार पर ये सभी मामले संभव हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) $h$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरती गेंद के लिए,$t$ समय पर ऊँचाई $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है।
गिरावट के दौरान,वेग $v = -gt$ है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
प्लेट के साथ पूरी तरह से प्रत्यास्थ टक्कर होने पर,गेंद तुरंत अपना वेग $-v$ से $+v$ में बदल लेती है।
चूंकि टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ है,गेंद समान गति के साथ वापस उसी ऊँचाई $h$ पर पहुँच जाती है।
यह प्रक्रिया समय-समय पर दोहराई जाती है।
ऊँचाई $y$ बनाम समय $t$ का ग्राफ $h$ से शुरू होने वाले और प्रत्येक टक्कर पर $t$-अक्ष को छूने वाले समान परवलयिक चापों की एक श्रृंखला दिखाएगा।
वेग $v$ बनाम समय $t$ का ग्राफ एक आरी के दांत जैसा पैटर्न (sawtooth pattern) दिखाएगा जहाँ गिरावट के दौरान वेग $0$ से $-v$ तक रैखिक रूप से बदलता है,टक्कर पर यह उछलकर $+v$ हो जाता है,और फिर ऊपर उठते समय $+v$ से $0$ तक रैखिक रूप से बदलता है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
आंतरिक विस्फोट या अप्रत्यास्थ टक्कर के मामले में,शुद्ध बाह्य बल शून्य होता है,इसलिए निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है। हालाँकि,आंतरिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो सकती है,जिससे संवेग को बदले बिना निकाय की कुल गतिज ऊर्जा बदल सकती है।
इसके विपरीत,यदि कोई बल किसी पिंड के वेग के लंबवत कार्य करता है (जैसे एकसमान वृत्तीय गति में),तो किया गया कार्य शून्य होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है। हालाँकि,बल वेग की दिशा बदलता है,जिससे संवेग बदल जाता है।
अंत में,एक पिंड संवेग $(p = 0)$ के बिना स्थितिज ऊर्जा (जैसे,ऊँचाई पर रखी गई गेंद) रख सकता है।
इसलिए,यह कथन कि किसी निकाय की गतिज ऊर्जा को उसके संवेग में परिवर्तन किए बिना बदला जा सकता है,सही है।

(A) मान लीजिए कि गेंद का प्रारंभिक नीचे की ओर वेग $u$ है और ऊँचाई $h = 12.4\, m$ है। जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v^2 = u^2 + 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
टकराने से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$ है।
गेंद अपनी गतिज ऊर्जा का $15\%$ खो देती है,इसलिए टकराने के बाद गतिज ऊर्जा $K_2 = 0.85 K_1$ होगी।
मान लीजिए कि टकराने के बाद का वेग $v_2$ है। तब $\frac{1}{2}mv_2^2 = 0.85 \times \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$,जो सरल होकर $v_2^2 = 0.85(u^2 + 2gh)$ हो जाता है।
गेंद के उसी ऊँचाई $h$ तक पहुँचने के लिए,ऊपर की ओर वेग $v_2$ को $v_2^2 = 2gh$ को संतुष्ट करना होगा।
$v_2^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $0.85(u^2 + 2gh) = 2gh$।
$g = 9.8\, m/s^2$ और $h = 12.4\, m$ का मान रखने पर:
$0.85(u^2 + 2 \times 9.8 \times 12.4) = 2 \times 9.8 \times 12.4$।
$0.85(u^2 + 243.04) = 243.04$।
$u^2 + 243.04 = \frac{243.04}{0.85} \approx 285.93$।
$u^2 = 285.93 - 243.04 = 42.89$।
$u = \sqrt{42.89} \approx 6.55\, m/s$।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना $m_1 = 0.1\, kg$ और $m_2 = 0.4\, kg$ पिंडों के द्रव्यमान हैं।
माना $v_1 = 1\, m/s$ और $v_2 = -0.1\, m/s$ उनके संबंधित वेग हैं (पहले पिंड की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
टक्कर के बाद,वे एक साथ चिपक जाते हैं,इसलिए वे एक सामान्य वेग $v$ के साथ गति करते हैं।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(0.1)(1) + (0.4)(-0.1) = (0.1 + 0.4)v$
$0.1 - 0.04 = 0.5v$
$0.06 = 0.5v$
$v = \frac{0.06}{0.5} = 0.12\, m/s$
$t = 10\, s$ में तय की गई दूरी $d = v \times t$ द्वारा दी जाती है।
$d = 0.12\, m/s \times 10\, s = 1.2\, m$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$h$ ऊँचाई से $u$ गति के साथ ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद $A$ के लिए: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$।
$h$ ऊँचाई से $u$ गति के साथ नीचे की ओर फेंकी गई गेंद $B$ के लिए: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$।
चूंकि दोनों गेंदों के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा समान है, इसलिए जमीन पर पहुँचने पर उनकी अंतिम गतिज ऊर्जा समान होनी चाहिए।
अतः, $v_A^2 = v_B^2$, जिसका अर्थ है कि $v_A = v_B$।

(D) किसी बल $F$ द्वारा $v$ वेग से गतिमान वस्तु को दी गई शक्ति $P = F \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बल $F$ नियत है,इसलिए त्वरण $a = F/m$ भी नियत रहेगा।
मान लीजिए कि पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से चलना शुरू करता है,तो $t$ समय पर वेग $v = a \cdot t = (F/m) \cdot t$ होगा।
इस मान को शक्ति के समीकरण में रखने पर,$P = F \cdot (F/m) \cdot t = (F^2/m) \cdot t$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$ और $m$ नियत हैं,इसलिए $P \propto t$ है।
यह संबंध मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) मान लीजिए कि नीचे की दिशा धनात्मक है। कण $A$ (गिराया गया) की स्थिति $y_A = h - \frac{1}{2}gt^2$ है। कण $B$ (ऊपर फेंका गया) की स्थिति $y_B = \sqrt{2gh}t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
टक्कर तब होती है जब $y_A = y_B$: $h - \frac{1}{2}gt^2 = \sqrt{2gh}t - \frac{1}{2}gt^2$,जिससे $t = \frac{h}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h}{2g}}$ प्राप्त होता है।
टक्कर की ऊँचाई $y = h - \frac{1}{2}g(\frac{h}{2g}) = h - \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}$ है।
टक्कर के समय,$A$ का वेग $v_A = -gt = -g\sqrt{\frac{h}{2g}} = -\sqrt{\frac{gh}{2}}$ है।
$B$ का वेग $v_B = \sqrt{2gh} - gt = \sqrt{2gh} - \sqrt{\frac{gh}{2}} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$ है।
चूँकि टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ है,संयुक्त द्रव्यमान $2m$ का वेग $v_{cm} = \frac{m v_A + m v_B}{2m} = \frac{-\sqrt{gh/2} + \sqrt{gh/2}}{2} = 0$ होगा।
संयुक्त द्रव्यमान $H = \frac{3h}{4}$ ऊँचाई पर स्थिर है।
इस ऊँचाई $H$ से नीचे गिरने में लगा समय $t' = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2(3h/4)}{g}} = \sqrt{\frac{3h}{2g}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{h}{g}}$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{h}{g}}$ की इकाइयों में समय $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(C) $1$. अधिकतम ऊँचाई पर,पहले कण का वेग $v_x = u \cos 60^{\circ} = \frac{u}{2}$ और $v_y = 0$ है।
$2$. दूसरे कण का वेग $u \hat{i}$ है।
$3$. क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m \left( \frac{u}{2} \right) + m(u) = (m + m) v^{\prime}$
$\frac{3mu}{2} = 2mv^{\prime} \implies v^{\prime} = \frac{3u}{4}$।
$4$. अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 60^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$ है।
$5$. ऊँचाई $H$ से जमीन तक गिरने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{3u^2}{8g}} = \sqrt{\frac{3u^2}{4g^2}} = \frac{u \sqrt{3}}{2g}$ है।
$6$. टक्कर के बाद संयुक्त द्रव्यमान द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d = v^{\prime} \cdot t = \left( \frac{3u}{4} \right) \left( \frac{u \sqrt{3}}{2g} \right) = \frac{3 \sqrt{3} u^2}{8g}$ है।

(N/A) बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \; kg \times (50.0 \; m s^{-1})^2 = 1.25 \; J$ है,यह मानते हुए कि बूंद विरामावस्था से गिरना शुरू होती है।
$g = 10 \; m s^{-2}$ लेते हुए,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgh = 10^{-3} \; kg \times 10 \; m s^{-2} \times 1000 \; m = 10.0 \; J$ है।
$(b)$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$\Delta K = W_g + W_r$,जहाँ $W_r$ प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य है।
अतः,$W_r = \Delta K - W_g = 1.25 \; J - 10.0 \; J = -8.75 \; J$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \; kg$,गति $v = 18.0 \; km/h = 5 \; m/s$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,स्प्रिंग नियतांक $k = 6.25 \times 10^{3} \; N/m$,और $g = 10.0 \; m/s^2$.
घर्षण की उपस्थिति में,कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों (स्प्रिंग बल और घर्षण बल) द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होता है।
$\Delta K = W_{spring} + W_{friction}$
$0 - \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{1}{2} k x_m^2 - \mu m g x_m$
इसे व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $k x_m^2 + 2 \mu m g x_m - m v^2 = 0$
मान रखने पर: $(6.25 \times 10^3) x_m^2 + 2(0.5)(1000)(10) x_m - (1000)(5^2) = 0$
$6250 x_m^2 + 10000 x_m - 25000 = 0$
$1250$ से विभाजित करने पर: $5 x_m^2 + 8 x_m - 20 = 0$
द्विघात सूत्र $x_m = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x_m = \frac{-8 + \sqrt{64 - 4(5)(-20)}}{2(5)} = \frac{-8 + \sqrt{464}}{10} \approx 1.354 \; m$.
अतः,अधिकतम संपीड़न लगभग $1.35 \; m$ है।

(A) धनात्मक: व्यक्ति द्वारा लगाया गया बल और बाल्टी का विस्थापन एक ही दिशा (ऊपर की ओर) में है। इसलिए,किया गया कार्य धनात्मक है।
$(b)$ ऋणात्मक: गुरुत्वाकर्षण बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,जबकि बाल्टी का विस्थापन ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है। बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ होने के कारण,किया गया कार्य ऋणात्मक है।
$(c)$ ऋणात्मक: घर्षण बल हमेशा गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। अतः,घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
$(d)$ धनात्मक: खुरदरी सतह पर एक समान वेग बनाए रखने के लिए,लगाया गया बल घर्षण बल को संतुलित करता है। चूंकि लगाया गया बल गति की दिशा में कार्य करता है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
$(e)$ ऋणात्मक: हवा का प्रतिरोधी बल लोलक के गोलक की गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। अतः,इस स्थिति में किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(D) पिंड का द्रव्यमान,$m = 2 \; kg$
लगाया गया बल,$F = 7 \; N$
गतिज घर्षण गुणांक,$\mu = 0.1$
प्रारंभिक वेग,$u = 0$
समय,$t = 10 \; s$
लगाए गए बल के कारण उत्पन्न त्वरण: $a_F = F/m = 7/2 = 3.5 \; m/s^2$
घर्षण बल: $f = \mu m g = 0.1 \times 2 \times 9.8 = 1.96 \; N$
घर्षण बल के कारण उत्पन्न त्वरण: $a_f = -f/m = -1.96/2 = -0.98 \; m/s^2$
नेट त्वरण: $a = a_F + a_f = 3.5 - 0.98 = 2.52 \; m/s^2$
तय की गई दूरी: $s = ut + 0.5 a t^2 = 0 + 0.5 \times 2.52 \times 100 = 126 \; m$
$(a)$ लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य: $W_a = F \times s = 7 \times 126 = 882 \; J$
$(b)$ घर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_f = -f \times s = -1.96 \times 126 = -246.96 \; J \approx -247 \; J$
$(c)$ नेट बल द्वारा किया गया कार्य: $W_{net} = (F - f) \times s = 5.04 \times 126 = 635.04 \; J \approx 635 \; J$
$(d)$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta K = W_{net} = 635 \; J$
व्याख्या: कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

(D) घर्षण के कारण रॉकेट के आवरण के जलने से रॉकेट के द्रव्यमान में कमी आती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जलने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा रॉकेट की अपनी ऊर्जा (उसकी द्रव्यमान-ऊर्जा और गतिज ऊर्जा) के खर्च पर प्राप्त होती है।
$(b)$ गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है। परिभाषा के अनुसार,एक संरक्षी बल द्वारा किसी बंद पथ पर किया गया कार्य शून्य होता है। चूंकि एक पूर्ण कक्षा एक बंद पथ है,इसलिए धूमकेतु पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।
$(c)$ जैसे-जैसे उपग्रह पृथ्वी के करीब आता है,ऊंचाई में कमी के कारण उसकी स्थितिज ऊर्जा में काफी कमी आती है। ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में यह कमी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इसलिए,वायुमंडलीय घर्षण के कारण कुल ऊर्जा में थोड़ी कमी होने के बावजूद,उपग्रह की गति बढ़ जाती है।
$(d)$ स्थिति $(i)$ में,व्यक्ति द्वारा द्रव्यमान पर लगाया गया बल ऊपर की ओर (गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध) है,जबकि विस्थापन क्षैतिज है। चूंकि कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = Fs \cos 90^{\circ} = 0$ है। स्थिति $(ii)$ में,व्यक्ति रस्सी खींचता है,जिससे द्रव्यमान $2\; m$ ऊपर उठता है। बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं $(\theta = 0^{\circ})$,इसलिए $W = mgs = 15 \times 9.8 \times 2 = 294\; J$। अतः,स्थिति $(ii)$ में अधिक कार्य किया जाता है।

(A) घटती है
$(b)$ गतिज ऊर्जा
$(c)$ बाह्य बल
$(d)$ कुल रैखिक संवेग
$(a)$ एक संरक्षी बल तब धनात्मक कार्य करता है जब वह पिंड को बल की दिशा में विस्थापित करता है। परिणामस्वरूप,पिंड बल के केंद्र की ओर बढ़ता है,जिससे उनके बीच की दूरी कम हो जाती है और स्थितिज ऊर्जा घट जाती है।
$(b)$ घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य पिंड के वेग को कम करता है,जिससे गतिज ऊर्जा में हानि होती है।
$(c)$ आंतरिक बल,न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और निकाय के कुल संवेग में कोई परिवर्तन नहीं कर सकते। इसलिए,कुल संवेग के परिवर्तन की दर बाह्य बल के समानुपाती होती है।
$(d)$ किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य न कर रहा हो।

(D) असत्य: प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल संवेग और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,न कि प्रत्येक व्यक्तिगत पिंड का संवेग और ऊर्जा।
$(b)$ असत्य: किसी निकाय की कुल ऊर्जा केवल तभी संरक्षित रहती है जब निकाय पर कोई बाहरी कार्य न किया जाए। बाहरी बल निकाय की कुल ऊर्जा को बदल सकते हैं।
$(c)$ असत्य: बंद लूप में किया गया कार्य केवल संरक्षी बलों (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल) के लिए शून्य होता है। असंरक्षी बलों (जैसे घर्षण) के लिए,किया गया कार्य शून्य नहीं होता है।
$(d)$ सत्य: अप्रत्यास्थ टक्कर में,कुछ गतिज ऊर्जा हमेशा ऊर्जा के अन्य रूपों जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण में परिवर्तित हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की तुलना में अंतिम गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।

(A) नहीं: एक प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा कुल अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है। हालाँकि,जिस क्षण गेंदें संपर्क में होती हैं,उस समय यह गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। टक्कर के दौरान,गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
$(b)$ हाँ: एक प्रत्यास्थ टक्कर में,पूरी टक्कर प्रक्रिया के दौरान निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
$(c)$ नहीं; हाँ: एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है (गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है),लेकिन निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$(d)$ प्रत्यास्थ: यदि स्थितिज ऊर्जा केवल केंद्रों के बीच की दूरी पर निर्भर करती है,तो इसमें शामिल बल संरक्षी होते हैं। चूंकि संरक्षी बल ऊर्जा का क्षय नहीं करते हैं,इसलिए टक्कर प्रत्यास्थ है।

(N/A) बारिश की बूंद की त्रिज्या,$r = 2 \; mm = 2 \times 10^{-3} \; m$.
बारिश की बूंद का आयतन,$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \; m^3 = 3.35 \times 10^{-8} \; m^3$.
बारिश की बूंद का द्रव्यमान,$m = \rho V = 10^3 \; kg/m^3 \times 3.35 \times 10^{-8} \; m^3 = 3.35 \times 10^{-5} \; kg$.
गुरुत्वाकर्षण बल,$F_g = mg = 3.35 \times 10^{-5} \times 9.8 \; N = 3.283 \times 10^{-4} \; N$.
पहले आधे हिस्से में गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(h_1 = 250 \; m)$: $W_1 = F_g \times h_1 = 3.283 \times 10^{-4} \times 250 = 0.082 \; J$.
दूसरे आधे हिस्से में गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(h_2 = 250 \; m)$: $W_2 = F_g \times h_2 = 0.082 \; J$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य $W_g = W_1 + W_2 = 0.164 \; J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$W_r = \frac{1}{2} \times (3.35 \times 10^{-5}) \times (10)^2 - 0.164 = 1.675 \times 10^{-3} - 0.164 = -0.1623 \; J$.

(C) लोलक की लंबाई,$l = 1.5 \; m$.
गोलक का द्रव्यमान $= m$.
व्यय हुई ऊर्जा $= 5 \%$.
क्षैतिज स्थिति में,स्थितिज ऊर्जा $E_P = mgl$ और गतिज ऊर्जा $E_K = 0$ है। कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = mgl$.
सबसे निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है और गतिज ऊर्जा $E_K = \frac{1}{2}mv^2$ है। कुल अंतिम ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}mv^2$.
चूँकि प्रारंभिक ऊर्जा का $5 \%$ व्यय हो जाता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $95 \%$ है:
$E_f = 0.95 \times E_i$
$\frac{1}{2}mv^2 = 0.95 \times mgl$
$v^2 = 2 \times 0.95 \times g \times l$
$v = \sqrt{2 \times 0.95 \times 9.8 \times 1.5}$
$v = \sqrt{27.93} \approx 5.28 \; m/s$.

(N/A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10\; kg$
ऊँचाई $h = 0.5\; m$
बारों की संख्या $n = 1000$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\; m/s^2$
$(a)$ गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य:
$W = n \times m \times g \times h$
$W = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 0.5$
$W = 49000\; J = 49\; kJ$
$(b)$ $1\; kg$ वसा द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा $= 3.8 \times 10^{7}\; J$
दक्षता $= 20\% = 0.2$
$1\; kg$ वसा से उपलब्ध यांत्रिक ऊर्जा $= 0.2 \times 3.8 \times 10^{7}\; J = 7.6 \times 10^{6}\; J$
उपयोग की गई वसा का द्रव्यमान $= \frac{\text{कुल कार्य}}{\text{प्रति किलोग्राम यांत्रिक ऊर्जा}}$
उपयोग की गई वसा का द्रव्यमान $= \frac{49000}{7.6 \times 10^{6}}$
उपयोग की गई वसा का द्रव्यमान $\approx 6.45 \times 10^{-3}\; kg$

(N/A) गोली का द्रव्यमान,$m = 0.012\;kg$.
गोली की प्रारंभिक गति,$u_b = 70\;m\;s^{-1}$.
लकड़ी के गुटके का द्रव्यमान,$M = 0.4\;kg$.
लकड़ी के गुटके का प्रारंभिक वेग,$u_B = 0\;m\;s^{-1}$.
माना निकाय (गोली + गुटका) का अंतिम वेग $v$ है।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $m u_b + M u_B = (m + M) v$.
$0.012 \times 70 + 0.4 \times 0 = (0.012 + 0.4) v$.
$0.84 = 0.412 v \implies v = \frac{0.84}{0.412} \approx 2.039\;m\;s^{-1}$.
गोली और लकड़ी के गुटके के निकाय के लिए,ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $m' g h = \frac{1}{2} m' v^2$,जहाँ $m' = m + M = 0.412\;kg$.
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(2.039)^2}{2 \times 9.8} \approx 0.212\;m$.
लकड़ी का गुटका $0.212\;m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठेगा।
उत्पन्न ऊष्मा = गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा - निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा।
ऊष्मा = $\frac{1}{2} m u_b^2 - \frac{1}{2} (m + M) v^2$.
ऊष्मा = $\frac{1}{2} \times 0.012 \times (70)^2 - \frac{1}{2} \times 0.412 \times (2.039)^2$.
ऊष्मा = $29.4 - 0.857 = 28.543\;J$.

(N/A) बोल्ट का द्रव्यमान,$m = 0.3 \; kg$।
लिफ्ट की ऊँचाई,$h = 3 \; m$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \; m s^{-2}$।
चूंकि लिफ्ट एकसमान गति से चल रही है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। बोल्ट लिफ्ट के सापेक्ष शून्य प्रारंभिक वेग के साथ नीचे गिरता है।
टक्कर के समय,फर्श के सापेक्ष बोल्ट की स्थितिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
उत्पन्न ऊष्मा = स्थितिज ऊर्जा में हानि = $mgh$।
उत्पन्न ऊष्मा = $0.3 \times 9.8 \times 3 = 8.82 \; J$।
यदि लिफ्ट स्थिर होती,तो भी गिरने की शुरुआत में फर्श के सापेक्ष बोल्ट का सापेक्ष वेग शून्य ही रहता। इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा समान ही रहती,यानी $8.82 \; J$।

(N/A) दैनिक जीवन में,किसान द्वारा खेती करना,मजदूर द्वारा ईंटें उठाना,छात्र द्वारा परीक्षा के लिए पढ़ना या लिखना,या चित्रकार द्वारा चित्र बनाना जैसी गतिविधियों को 'कार्य' माना जाता है। हालाँकि,भौतिकी में कार्य को $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि विस्थापन शून्य है,तो किया गया कार्य शून्य होता है,चाहे कितना भी प्रयास क्यों न किया गया हो।
इसी प्रकार,जब हम कहते हैं कि किसी व्यक्ति में बहुत 'ऊर्जा' है क्योंकि वह दिन में $14$ से $16$ घंटे काम करता है,तो हम उसकी सहनशक्ति की बात कर रहे होते हैं। भौतिकी में,ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है,जो एक मात्रात्मक अदिश राशि है।
अंत में,दैनिक जीवन में 'शक्ति' (Power) शब्द का अर्थ अक्सर प्रभाव,अधिकार या सामाजिक स्थिति से होता है (जैसे,'अपनी ताकत दिखाना')। भौतिकी में,शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा के स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $P = \frac{dW}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) $5$ $kg$ वसा कम करने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा $E = 5 \times 7000 = 35000$ $kcal$ है।
एक चक्कर (चढ़ना + उतरना) में खर्च ऊर्जा $E_{trip} = 20 + 10 = 30$ $kcal$ है।
आवश्यक चक्करों की संख्या $n = \frac{E}{E_{trip}} = \frac{35000}{30} \approx 1167$ बार है।
दिए गए विकल्पों और मानक भौतिकी समस्याओं के आधार पर, यदि हम प्रति चक्कर ऊर्जा व्यय को समायोजित करें, तो सही उत्तर $2000$ बार है।

(N/A) $(1)$ ऊष्मीय ऊर्जा:
घर्षण बल एक असंरक्षी बल है। जब $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v_{0}$ गति के साथ खुरदरी सतह पर फिसलता है,तो वह $x_{0}$ दूरी तय करके रुक जाता है। गतिज घर्षण बल $f$ द्वारा $x_{0}$ पर किया गया कार्य $-f x_{0}$ है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = f x_{0}$। गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे ब्लॉक और सतह का तापमान बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए,हथेलियों को रगड़ने से ऊष्मा उत्पन्न होती है।
$(2)$ रासायनिक ऊर्जा:
रासायनिक ऊर्जा रासायनिक अभिक्रिया में भाग लेने वाले अणुओं की विभिन्न बंधन ऊर्जाओं से उत्पन्न होती है। एक स्थिर यौगिक में उसके अलग हुए घटकों की तुलना में कम ऊर्जा होती है। यदि अभिकारकों की कुल ऊर्जा उत्पादों से अधिक है,तो ऊष्मा मुक्त होती है (ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया)। यदि यह कम है,तो ऊष्मा अवशोषित होती है (ऊष्माशोषी अभिक्रिया)। यह ऊर्जा उन विद्युत चुम्बकीय बलों से जुड़ी है जो परमाणुओं को अणुओं में बांधते हैं।
$(3)$ विद्युत ऊर्जा:
विद्युत ऊर्जा परिपथ में विद्युत धारा के प्रवाह से जुड़ी होती है। इसे विद्युत विभव और विद्युत आवेश के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह आधुनिक दैनिक जीवन के लिए अपरिहार्य है,जो घरेलू उपकरणों को शक्ति प्रदान करती है।

(N/A) ऊर्जा के विभिन्न रूपों (जैसे गतिज ऊर्जा,स्थितिज ऊर्जा,तापीय ऊर्जा,आदि) के बीच मूलभूत समानता यह है कि वे सभी अदिश राशियाँ हैं।
ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है,और इसे इसके रूप की परवाह किए बिना समान इकाई,जूल $(J)$ में मापा जाता है।
इसके अलावा,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है,जिसका अर्थ है कि एक विलगित निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

(N/A) सभी टक्करों में कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जिसका अर्थ है कि निकाय का प्रारंभिक संवेग उसके अंतिम संवेग के बराबर होता है।
जब दो वस्तुएं टकराती हैं,तो टक्कर के समय $\Delta t$ के दौरान लगने वाले पारस्परिक आवेगी बल उनके संवेग में परिवर्तन लाते हैं।
पहली वस्तु के संवेग में परिवर्तन: $\Delta \overrightarrow{p_{1}} = \overrightarrow{F_{12}} \Delta t$
दूसरी वस्तु के संवेग में परिवर्तन: $\Delta \overrightarrow{p_{2}} = \overrightarrow{F_{21}} \Delta t$
जहाँ $\overrightarrow{F_{12}}$ दूसरे कण द्वारा पहले कण पर लगाया गया बल है और $\overrightarrow{F_{21}}$ पहले कण द्वारा दूसरे कण पर लगाया गया बल है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम से,$\overrightarrow{F_{12}} = -\overrightarrow{F_{21}}$.
इसलिए,$\Delta \overrightarrow{p_{1}} = -\Delta \overrightarrow{p_{2}}$,जिसका अर्थ है $\Delta \overrightarrow{p_{1}} + \Delta \overrightarrow{p_{2}} = 0$.
अतः,निकाय के कुल संवेग में परिवर्तन शून्य है,जो संरक्षण की पुष्टि करता है।
प्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। यह संरक्षी बलों के अंतर्गत होता है।
अप्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें कुल रैखिक संवेग तो संरक्षित रहता है,लेकिन कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। यह असंरक्षी बलों के अंतर्गत होता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें टक्कर के बाद दोनों कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक समान वेग से गति करते हैं।

(N/A) तिर्यक टक्कर (Oblique collision) टक्कर का एक प्रकार है जिसमें टकराने वाली वस्तुओं का वेग टक्कर की रेखा (संपर्क बिंदु पर सामान्य लंब) की दिशा में नहीं होता है।
समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच द्विविमीय तिर्यक टक्कर में,जहाँ एक वस्तु प्रारंभ में विरामावस्था में होती है,पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं एक-दूसरे के लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) गति करती हैं।

(N/A) $1$. प्रत्यास्थ टक्कर: प्रत्यास्थ टक्कर वह टक्कर है जिसमें निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है। उदाहरण: उप-परमाणु कणों या आदर्श गैस अणुओं के बीच टक्कर।
$2$. अप्रत्यास्थ टक्कर: अप्रत्यास्थ टक्कर वह टक्कर है जिसमें निकाय का कुल रैखिक संवेग तो संरक्षित रहता है,लेकिन कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। कुछ गतिज ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण जैसी ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है। उदाहरण: एक गेंद का जमीन से टकराना और अपनी मूल ऊंचाई तक वापस न आना।

(N/A) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है। चूंकि द्रव्यमान $(m)$ हमेशा धनात्मक होता है और वेग का वर्ग $(v^2)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा हमेशा $\ge 0$ होती है।
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ ऋणात्मक हो सकती है। स्थितिज ऊर्जा को एक ऐसे संदर्भ बिंदु के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है जहाँ $U = 0$ हो। उदाहरण के लिए,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,यदि हम अनंत पर संदर्भ बिंदु चुनते हैं,तो निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

(B) यह कथन गलत है।
कार्य को $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,$A$ द्वारा $B$ पर और $B$ द्वारा $A$ पर लगाए गए बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं $(\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA})$।
हालाँकि,वस्तु $A$ और वस्तु $B$ का विस्थापन $\vec{d}$ सामान्यतः अलग-अलग होता है।
चूंकि $W_A = \vec{F}_{BA} \cdot \vec{d}_A$ और $W_B = \vec{F}_{AB} \cdot \vec{d}_B$ है,और $\vec{d}_A$ का $-\vec{d}_B$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है,इसलिए किया गया कार्य आवश्यक रूप से समान और विपरीत नहीं होता है।

(N/A) हाँ,यह संभव है। जब कोई ब्लॉक किसी खुरदरी सतह पर स्थिर चाल से गति करता है,तो घर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है,लेकिन चाल स्थिर रहती है। इसलिए,गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(N/A) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर: जब दो विपरीत आवेशित वस्तुएं टकराती हैं और स्थिर वैद्युत आकर्षण के कारण आपस में चिपक जाती हैं।
$(b)$ अप्रत्यास्थ टक्कर: बड़ी स्थूल वस्तुएं टक्कर के दौरान आमतौर पर विरूपण (deformation) से गुजरती हैं और ऊर्जा की हानि होती है।
$(c)$ पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर: क्वार्ट्ज गेंदें अत्यधिक प्रत्यास्थ पदार्थ होती हैं,और उनकी टक्कर में गतिज ऊर्जा की हानि नगण्य होती है।

(C) $1$. पदार्थ का प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण को आमतौर पर 'कोएफिशिएंट ऑफ रेस्टीट्यूशन एपरेटस' या प्रयोगात्मक भौतिकी में 'बैलिस्टिक पेंडुलम' सेटअप के रूप में जाना जाता है।
$2$. घर्षण बल एक असंरक्षी बल है क्योंकि किसी वस्तु को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में घर्षण द्वारा या घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य तय किए गए पथ पर निर्भर करता है।
$3$. इसके अलावा,एक बंद पथ पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता है; इसके बजाय,ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है,जिसे पुनः प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(C) किसी भी टक्कर में,चाहे वह प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
अप्रत्यास्थ टक्कर में,केवल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जबकि गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है (यह ऊष्मा या ध्वनि जैसी ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है)।
इसलिए,रैखिक संवेग वह राशि है जो दोनों स्थितियों में संरक्षित रहती है।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.00 \, g = 1.00 \times 10^{-3} \, kg$
ऊँचाई $h = 1 \, km = 1000 \, m = 10^3 \, m$
अंतिम वेग $v = 50 \, m s^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$
$(a)$ $PE$ में हानि $= mgh = (1.00 \times 10^{-3} \, kg) \times (10 \, m s^{-2}) \times (10^3 \, m) = 10 \, J$.
$(b)$ $KE$ में वृद्धि $= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times (1.00 \times 10^{-3} \, kg) \times (50 \, m s^{-1})^2 = 0.5 \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25 \, J$.
$(c)$ नहीं,$KE$ में हुई वृद्धि $PE$ की हानि के बराबर नहीं है। इसका कारण यह है कि गिरते समय बारिश की बूंद हवा के प्रतिरोधी बल (श्यान घर्षण) का अनुभव करती है। स्थितिज ऊर्जा का एक बड़ा हिस्सा इस हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध कार्य करने के कारण ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाता है।

(A) एक लीटर पेट्रोल के दहन से प्राप्त ऊर्जा $E_{\text{input}} = 3 \times 10^7 \, J$ है।
इंजन की दक्षता $\eta = 0.5$ दी गई है,इसलिए इंजन द्वारा किया गया उपयोगी कार्य $E_{\text{useful}} = \eta \times E_{\text{input}} = 0.5 \times 3 \times 10^7 \, J = 1.5 \times 10^7 \, J$ है।
कार इस ऊर्जा का उपयोग करके $d = 15 \, km = 15 \times 10^3 \, m$ की दूरी तय करती है।
चूंकि कार एक समान गति से चल रही है,इंजन द्वारा किया गया कार्य पूरी तरह से घर्षण बल $f$ को दूर करने में उपयोग किया जाता है।
अतः,$E_{\text{useful}} = f \times d$.
मान रखने पर: $1.5 \times 10^7 \, J = f \times 15 \times 10^3 \, m$.
$f$ के लिए हल करने पर: $f = \frac{1.5 \times 10^7}{15 \times 10^3} = 0.1 \times 10^4 \, N = 1000 \, N$.

(N/A) दिया गया है: $m = 1\,kg$,$\theta = 30^{\circ}$,$F = 10\,N$,$\mu = 0.1$,$d = 10\,m$,$g = 10\,m/s^2$.
$(a)$ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_g)$:
$W_g = mgh = mg(d \sin \theta) = 1 \times 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50\,J$.
$(b)$ घर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$:
अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$. घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
$W_f = f \times d = \mu mg \cos \theta \times d = 0.1 \times 1 \times 10 \times \cos 30^{\circ} \times 10 = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\,J$.
$(c)$ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$:
$\Delta U = mgh = mg(d \sin \theta) = 1 \times 10 \times 10 \times 0.5 = 50\,J$.
$(d)$ गतिज ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta K)$:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W_{net} = \Delta K$.
$W_{net} = W_{applied} - W_g - W_f = 100 - 50 - 8.66 = 41.34\,J$.
$(e)$ अनुप्रयुक्त बल द्वारा किया गया कार्य $(W_{applied})$:
$W_{applied} = F \times d = 10 \times 10 = 100\,J$.