Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि कण को $h$ ऊँचाई से $u_x = u$ के प्रारंभिक क्षैतिज वेग के साथ मुक्त किया जाता है।
किसी भी समय $t$ पर, क्षैतिज वेग घटक $v_x = u$ (स्थिर) है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = gt$ है।
समय $t$ पर कण का कुल वेग $v$, $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = u^2 + (gt)^2$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $E$, $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + g^2t^2)$ द्वारा दी जाती है।
इस समीकरण को $E = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mg^2t^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $E = At^2 + B$ के रूप में है, जहाँ $A = \frac{1}{2}mg^2$ और $B = \frac{1}{2}mu^2$ है।
चूँकि $A > 0$ है, $E$ बनाम $t$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है, जिसका $t = 0$ पर एक गैर-शून्य $y$-अन्तःखंड (जहाँ $E = \frac{1}{2}mu^2$) है।
इसलिए, सही ग्राफ वह है जो $E$-अक्ष पर एक धनात्मक मान से शुरू होकर परवलयिक वृद्धि दिखाता है।

(C) $1$. किसी भी टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
$2$. एक प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
$3$. एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,लेकिन कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है (कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण के रूप में नष्ट हो जाती है)।
$4$. इसलिए,कथन $C$ सही है क्योंकि यह सही ढंग से बताता है कि अप्रत्यास्थ टक्कर में संवेग संरक्षित रहता है जबकि गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

(D) कार्य को $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\theta$ बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{s}$ के बीच का कोण है।
एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर (त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर) कार्य करता है।
वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु के लिए विस्थापन सदिश हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्या (और इसलिए बल) हमेशा स्पर्शरेखा (विस्थापन) के लंबवत होती है,इसलिए पथ के प्रत्येक बिंदु पर कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = F s \cos(90^{\circ}) = F s (0) = 0$ है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए,कुल किया गया कार्य शून्य होता है।

(C) $20 \ cm$ की ऊँचाई पर वस्तु की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh$ है।
पृथ्वी से टकराने के बाद,यांत्रिक ऊर्जा का $75\%$ ह्रास हो जाता है।
अतः,शेष यांत्रिक ऊर्जा $E_f = E_i - 0.75 E_i = 0.25 E_i = \frac{1}{4} E_i$ है।
माना वस्तु द्वारा प्राप्त नई ऊँचाई $h'$ है। अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh'$ है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $mgh' = \frac{1}{4} mgh$.
इस प्रकार,$h' = \frac{h}{4} = \frac{20 \ cm}{4} = 5 \ cm$.

(A) प्रेक्षक नत समतल पर स्थित है। चूंकि ब्लॉक वेज पर नहीं फिसलता है,इसलिए नत समतल के सापेक्ष इसका विस्थापन शून्य है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ होता है।
चूंकि नत समतल पर स्थित प्रेक्षक के सापेक्ष विस्थापन $\vec{S} = 0$ है,इसलिए इस प्रेक्षक द्वारा देखे जाने पर ब्लॉक पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।

(C) पंप का आउटपुट पावर $P_{out} = \frac{mgh}{t} = \rho V g h / t$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ पानी का घनत्व है。
दिया गया है: $h = 30 \ m$, $V/t = 0.5 \ m^3/min = \frac{0.5}{60} \ m^3/s$, और दक्षता $\eta = 0.70$.
$P_{out} = 10^3 \times \frac{0.5}{60} \times 9.8 \times 30 = 1000 \times \frac{0.5}{2} \times 9.8 = 500 \times 4.9 = 2450 \ W$.
इनपुट पावर $P_{in}$ और आउटपुट पावर के बीच संबंध $\eta = P_{out} / P_{in}$ है。
अतः, $P_{in} = P_{out} / \eta = 2450 / 0.70 = 3500 \ W$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उच्चतम बिंदु पर खोई गई स्थितिज ऊर्जा निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$PE_{top} - PE_{bottom} = KE_{bottom}$
$mg(h_2 - h_1) = \frac{1}{2}mv_{max}^2$
$v_{max} = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$
यहाँ $g = 10 \ ms^{-2}$,$h_2 = 2 \ m$,और $h_1 = 0.75 \ m$ दिया गया है।
$v_{max} = \sqrt{2 \times 10 \times (2 - 0.75)}$
$v_{max} = \sqrt{20 \times 1.25}$
$v_{max} = \sqrt{25} = 5 \ ms^{-1}$.

(D) आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
दोनों गेंदों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $KE_i = 2 \times (\frac{1}{2} \times m \times v^2) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 5^2) = 50 \ J$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा: $KE_f = 0 \ J$ (क्योंकि वे स्थिर हो जाती हैं)।
आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta KE = KE_f - KE_i = 0 - 50 = -50 \ J$.
हालाँकि,उन्हें स्थिर करने के लिए किए गए कार्य के परिमाण पर विचार करते हुए,इसका मान $50 \ J$ है।

(D) मान लीजिए द्रव्यमान $m$ है। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,इसलिए टक्कर के बाद कण अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
प्रारंभ में,कणों की गति $v$ और $2v$ है। मान लीजिए कोणीय गति $\omega$ और $2\omega$ है। पहली टक्कर पर दोनों कणों द्वारा तय किया गया कुल कोण $2\pi$ है। अतः,$\omega t_1 + 2\omega t_1 = 2\pi$,जिससे $t_1 = \frac{2\pi}{3\omega}$ प्राप्त होता है।
इस समय पर,पहले कण ने $\theta_1 = \omega t_1 = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ का कोण तय किया है और दूसरे ने $240^\circ$ का।
पहली प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,वे वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं। अब,जो कण $2v$ वेग से चल रहा था वह $v$ वेग से चलेगा और इसके विपरीत।
दूसरी टक्कर के लिए,सापेक्ष कोणीय गति अभी भी $3\omega$ है,इसलिए लगा समय $t_2 = \frac{2\pi}{3\omega}$ है।
इस समय में,जिस कण का वेग $v$ था (अब $2v$) वह अतिरिक्त $240^\circ$ का कोण तय करता है,और दूसरा $120^\circ$ तय करता है।
$v$ वेग से शुरू करने वाले कण द्वारा तय किया गया कुल कोण $120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$ है। यह कण दूसरी टक्कर पर बिंदु $A$ पर पहुँच जाता है।
दूसरा कण भी उसी समय बिंदु $A$ पर पहुँच जाता है। इस प्रकार,दोनों के बिंदु $A$ पर पहुँचने के लिए पहली टक्कर के बाद केवल $1$ और टक्कर की आवश्यकता है।

(B) लिफ्ट की मोटर द्वारा किया गया कार्य $(W)$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का योग है।
$W = \Delta PE + \Delta KE + W_{\text{friction}}$
$W = mgh + \frac{1}{2}mv^2 + Fs$
दिया गया है: $m = 2000 \ kg$,$h = 25 \ m$,$v = 3 \ ms^{-1}$,$F = 500 \ N$,$g = 9.8 \ ms^{-2}$.
$W = (2000 \times 9.8 \times 25) + (\frac{1}{2} \times 2000 \times 3^2) + (500 \times 25)$
$W = 490000 + 9000 + 12500$
$W = 511500 \ J$
$kJ$ में बदलने पर: $W = 511.5 \ kJ$.

(A) प्रथम स्थिति में,कुल ऊर्जा $E_1$ प्रक्षेपण बिंदु पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E_1 = \frac{1}{2} m v^2 + mgh = \frac{1}{2} m (12)^2 + m(10)(12) = 72m + 120m = 192m$.
दूसरी स्थिति में,गेंद को इस प्रकार फेंका जाता है कि वह केवल $h = 12 \ m$ की ऊँचाई तक पहुँचे। इस ऊँचाई पर,उसका अंतिम वेग $0$ हो जाता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,आवश्यक ऊर्जा $E_2$ उस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E_2 = mgh = m(10)(12) = 120m$.
बचाई गई ऊर्जा $E_1 - E_2 = 192m - 120m = 72m$ है।
ऊर्जा बचत का प्रतिशत $\frac{E_1 - E_2}{E_1} \times 100 = \frac{72m}{192m} \times 100 = 37.5\% \approx 38\%$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा में हुई हानि घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य
$mgh = \int \mu N ds$
चूंकि कोण $\theta$ छोटा है,हम अभिलंब बल $N \approx mg \cos \theta \approx mg$ मान सकते हैं।
अतः,$mgh = \mu mg s$
$s = \frac{h}{\mu} = \frac{1 \ cm}{0.01} = \frac{0.01 \ m}{0.01} = 1 \ m$.
इसलिए,कण द्वारा तय की गई कुल दूरी $1 \ m$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j}$ है।
टक्कर के बाद,कण आपस में चिपक जाते हैं और $(M + m)$ द्रव्यमान का एक एकल पिंड बन जाता है जो $\vec{V}'$ वेग से गति करता है।
अंतिम संवेग $\vec{P}_f = (M + m) \vec{V}'$ है।
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ रखने पर:
$M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j} = (M + m) \vec{V}'$।
अतः,अंतिम वेग $\vec{V}' = \frac{M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j}}{M + m} = \frac{M \hat{i} + m \hat{j}}{M + m} V_0$ होगा।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.18 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 2 \ N/m$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$,विस्थापन $x = 0.06 \ m$,प्रारंभिक वेग $V = N/10 \ m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$
$-(\mu mg)x - \frac{1}{2}kx^2 = 0 - \frac{1}{2}mV^2$
मान रखने पर:
$-(0.1 \times 0.18 \times 10 \times 0.06) - \frac{1}{2} \times 2 \times (0.06)^2 = -\frac{1}{2} \times 0.18 \times V^2$
$-(0.0108) - (0.0036) = -0.09 V^2$
$-0.0144 = -0.09 V^2$
$V^2 = \frac{0.0144}{0.09} = 0.16$
$V = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
दिया गया है कि $V = N/10$,इसलिए $0.4 = N/10 \implies N = 4$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta K$.
यहाँ,कुल कार्य गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$ और घर्षण जैसे असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य $(W_{nc})$ का योग है।
चूँकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है और अंत में रुक जाता है,इसलिए $\Delta K = 0$.
$W_g + W_{nc} = 0$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mg \Delta h$ है,जहाँ $\Delta h$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।
दिया गया है: $m = 1 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,और $\Delta h = 0.2 \ m$.
$W_g = 1 \times 9.8 \times 0.2 = 1.96 \ J$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $1.96 + W_{nc} = 0$.
अतः,$W_{nc} = -1.96 \ J$.

(A) मान लीजिए स्प्रिंग में $x$ मीटर का संकुचन होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन स्प्रिंग बल और घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ (अधिकतम संकुचन पर)।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2} k x^2$.
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k x = -15x$.
$W_{net} = \Delta K$ का उपयोग करने पर: $0 - 16 = -\frac{1}{2} (10,000) x^2 - 15x$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $5000x^2 + 15x - 16 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-15 + \sqrt{15^2 - 4(5000)(-16)}}{2(5000)} = \frac{-15 + \sqrt{225 + 320000}}{10000} \approx \frac{-15 + 565.8}{10000} \approx 0.055 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $x = 0.055 \times 100 = 5.5 \ cm$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $m_A v_A + m_B v_B$
दिया गया है: $m_A = 200 \ g = 0.2 \ kg$,$m_B = 400 \ g = 0.4 \ kg$,$v_A = 0.3 \ m/s$.
चूंकि गेंदें एक-दूसरे की ओर गति कर रही हैं,इसलिए $A$ का वेग धनात्मक $(v_A = 0.3 \ m/s)$ और $B$ का वेग ऋणात्मक $(v_B)$ लें।
प्रारंभिक संवेग = $(0.2 \times 0.3) + (0.4 \times v_B)$.
टक्कर के बाद दोनों गेंदें स्थिर हो जाती हैं,इसलिए अंतिम संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0.06 + 0.4 v_B = 0$
$0.4 v_B = -0.06$
$v_B = -\frac{0.06}{0.4} = -0.15 \ m/s$.
अतः,गेंद $B$ का वेग $-0.15 \ m/s$ है।

(D) इंजन द्वारा किया गया कार्य ट्रेन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)$
दिया गया है: $m = 3 \times 10^6 \ kg$,$v_1 = 5 \ m/s$,$v_2 = 25 \ m/s$,$t = 5 \ minutes = 300 \ s$.
$W = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^6) \times (25^2 - 5^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^6 \times (625 - 25)$
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^6 \times 600 = 900 \times 10^6 \ J$.
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{900 \times 10^6 \ J}{300 \ s} = 3 \times 10^6 \ W$.
चूँकि $1 \ MW = 10^6 \ W$,इसलिए शक्ति $3 \ MW$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{gravity} + W_{friction} = \Delta K$.
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और क्षैतिज सतह पर रुक जाता है,इसलिए $\Delta K = 0$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgh$ है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f \cdot S = -\mu N \cdot S = -\mu mg \cdot S$ है।
योग को शून्य के बराबर रखने पर: $mgh - \mu mgS = 0$.
$mg$ से विभाजित करने पर: $h - \mu S = 0$.
$S$ के लिए हल करने पर: $S = \frac{h}{\mu}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $S = \frac{1.0}{0.20} = 5 \ m$.

(B) क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$mv = MV + m(v/2)$
जहाँ $V$ टक्कर के तुरंत बाद गुटके का वेग है।
$MV = mv - mv/2 = mv/2$
$V = mv / 2M$
अब,गुटके के $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठने के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$(1/2)MV^2 = Mgh$
$h = V^2 / 2g$
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$h = (mv / 2M)^2 / 2g = (m^2v^2 / 4M^2) / 2g = m^2v^2 / 8M^2g$

(C) माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है,ऊँचाई $h = 12 \ m$ है और उस ऊँचाई पर वेग $v = 12 \ m/s$ है। माना $g = 10 \ m/s^2$ है।
पहले मामले में,आदमी द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$E_1 = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
$E_1 = m(10)(12) + \frac{1}{2}m(12)^2 = 120m + 72m = 192m$
दूसरे मामले में,आदमी गेंद को इस तरह फेंकता है कि वह शून्य वेग के साथ केवल $h$ ऊँचाई तक पहुँचे:
$E_2 = mgh = m(10)(12) = 120m$
बचाई गई ऊर्जा $\Delta E = E_1 - E_2 = 192m - 120m = 72m$ है।
बचाई गई ऊर्जा का प्रतिशत:
$\text{Percentage} = \left( \frac{\Delta E}{E_1} \right) \times 100 = \left( \frac{72m}{192m} \right) \times 100 = \left( \frac{3}{8} \right) \times 100 = 37.5\% \approx 38\%$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_{gravity} + W_{friction} + W_{spring} = \Delta KE = 0$ (चूंकि ब्लॉक स्थिर अवस्था से शुरू होता है और अंत में भी स्थिर हो जाता है)।
मान लीजिए स्प्रिंग में संपीड़न $x$ है।
ब्लॉक द्वारा तय की गई कुल दूरी $(0.5 + x) \ m$ है।
$W_{gravity} = mg(0.5 + x) \sin 30^\circ = 2 \times 10 \times (0.5 + x) \times 0.5 = 10(0.5 + x) = 5 + 10x$.
$W_{friction} = -\mu N (0.5 + x) = -\mu mg \cos 30^\circ (0.5 + x) = -0.3 \times 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (0.5 + x) = -3\sqrt{3}(0.5 + x) \approx -2.598 - 5.196x$.
$W_{spring} = -\frac{1}{2}kx^2 = -\frac{1}{2} \times 4000 \times x^2 = -2000x^2$.
कुल कार्य का योग: $(5 + 10x) - (2.598 + 5.196x) - 2000x^2 = 0$.
$2.402 + 4.804x - 2000x^2 = 0$.
द्विघात समीकरण $2000x^2 - 4.804x - 2.402 = 0$ को हल करने पर:
$x = \frac{4.804 + \sqrt{(4.804)^2 - 4(2000)(-2.402)}}{2(2000)} \approx 0.03587 \ m \approx 35.87 \ mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $34.67 \ mm$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 1200 \ kg$,चाल $v = 10 \ m/s$,तनाव $f = 1000 \ N$.
भाग $1$: समतल सड़क पर द्रव्यमान पर प्रयुक्त शक्ति:
$P = f \times v = 1000 \ N \times 10 \ m/s = 10^4 \ W$.
भाग $2$: ढलान पर चलते समय तनाव:
$6 \ m$ लंबाई में $1 \ m$ ऊंचाई वाले ढलान के लिए,$\sin \theta = \frac{1}{6}$.
ढलान पर स्थिर चाल से चलने के लिए,आवश्यक बल $F$ को तनाव $f$ और ढलान के अनुदिश भार के घटक को संतुलित करना होगा:
$F = f + Mg \sin \theta$
$F = 1000 \ N + (1200 \ kg \times 9.8 \ m/s^2 \times \frac{1}{6})$
$F = 1000 \ N + (200 \times 9.8) \ N$
$F = 1000 \ N + 1960 \ N = 2960 \ N$.

(D) उड़ान का समय $T = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद गेंद का वेग $v_b$ और गोली का वेग $v_u$ है।
गेंद के लिए: $20 = v_b \times T \implies v_b = 20 \ m/s$.
गोली के लिए: $100 = v_u \times T \implies v_u = 100 \ m/s$.
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m_{bullet} V = m_{ball} v_b + m_{bullet} v_u$
$0.01 \times V = 0.2 \times 20 + 0.01 \times 100$
$0.01 V = 4 + 1$
$0.01 V = 5$
$V = 500 \ m/s$.

(A) टक्कर के दौरान रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v_1 = (m + M) v'$
$v' = \frac{m v_1}{m + M} \quad \dots(i)$
टक्कर के बाद गुटका-गोली निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} (m + M) (v')^2 = (m + M) gh$
$(v')^2 = 2gh$
$v' = \sqrt{2gh} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $v'$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\sqrt{2gh} = \frac{m v_1}{m + M}$
$v_1 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2gh}$

(A) जब मनका $A$ ऊपर से नीचे फिसलकर $B$ से टकराता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = m_1 g (2R)$
$\therefore v_1^2 = 4gR \implies v_1 = \sqrt{4gR} \quad ... (1)$
चूंकि टक्कर के बाद मनका $A$ स्थिर हो जाता है,इसलिए उसका सारा संवेग मनके $B$ को स्थानांतरित हो जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\therefore v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1 = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{4gR} \quad ... (2)$
टक्कर के बाद,मनका $B$ केंद्र $O$ की ऊंचाई तक पहुँच जाता है,जो $R$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन है। उसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_2 g R$
$\therefore v_2^2 = 2gR \implies v_2 = \sqrt{2gR}$
समीकरण $(2)$ में $v_2$ का मान रखने पर: $\sqrt{2gR} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{4gR}$
$\therefore \frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{4gR}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) और $B$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए:
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m(9) = m(v_A) + 2m(v_B) \implies 9 = v_A + 2v_B \dots(i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e=1$ का उपयोग करते हुए: $v_B - v_A = e(u_A - u_B) = 1(9 - 0) = 9 \implies v_B - v_A = 9 \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $3v_B = 18 \implies v_B = 6 \ m/s$.
$B$ और $C$ के बीच पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए:
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $(2m)(v_B) + m(0) = (2m + m)v_f$
$2m(6) = 3m(v_f)$
$12m = 3m(v_f)$
$v_f = 4 \ m/s$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$1 \cdot u = -1 \cdot 2 + 5 \cdot v \implies 5v - 2 = u \quad \dots (i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e=1$ की परिभाषा से:
$1 = \frac{v - (-2)}{u} \implies v + 2 = u \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \; ms^{-1}$
$u = 1 + 2 = 3 \; ms^{-1}$
विकल्पों की जाँच:
$(A)$ निकाय का कुल संवेग $= 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \; kg \; ms^{-1}$। यह कथन सही है।
$(B)$ टक्कर के बाद $5 \; kg$ द्रव्यमान का संवेग $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \; kg \; ms^{-1}$।
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $0.05 \; J$ नहीं है।
$(D)$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot u^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3^2 = 4.5 \; J$।

(D) टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m u = (M + m) v$
दिया गया है: $m = 10^{-2} \ kg$,$u = 2 \times 10^2 \ m/s$,$M = 1 \ kg$.
$10^{-2} \times (2 \times 10^2) = (1 + 10^{-2}) v$
$2 = 1.01 v \Rightarrow v = \frac{2}{1.01} \approx 1.98 \ m/s$
अब,संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा ऊँचाई $h$ तक पहुँचने पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} (M + m) v^2 = (M + m) gh$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{(2/1.01)^2}{2 \times 9.8} = \frac{3.92}{19.6} \approx 0.2 \ m$

(C) मुक्त निकाय आरेख (free body diagram) से,ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं:
$F \sin \theta + N = Mg$
$N = Mg - F \sin \theta$
ब्लॉक को खींचने के लिए आवश्यक क्षैतिज बल घर्षण बल $f$ द्वारा संतुलित होता है:
$F \cos \theta = f = \mu N$
$F \cos \theta = \mu (Mg - F \sin \theta)$
$F$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$F \cos \theta = \mu Mg - \mu F \sin \theta$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu Mg$
$F = \frac{{\mu Mg}}{{\cos \theta + \mu \sin \theta}}$
$d$ दूरी तक ब्लॉक को ले जाने के लिए किया गया कार्य $W$ है:
$W = F \cdot d = \frac{{\mu Mgd}}{{\cos \theta + \mu \sin \theta}}$

(A) $(1)$ आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = F \cdot s = 60 \times 5 = 300 \ J$.
$(2)$ स्थितिज ऊर्जा $U = mgh = 5 \times 9.8 \times 5 = 245 \ J$.
$(3)$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल कार्य के बराबर होता है: $K = W_{net} = W_f + W_g = 300 - 245 = 55 \ J$.
$(4)$ चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $55 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2$. अतः,$v^2 = \frac{55 \times 2}{5} = 22$. इसलिए,$v = \sqrt{22} \approx 4.69 \ m/s$.

(C) बिंदु $P$ पर (जो वृत्ताकार पथ के केंद्र के क्षैतिज स्तर पर है),अभिकेंद्र बल अभिलंब बल $N$ द्वारा प्रदान किया जाता है। दिया गया है कि अभिकेंद्र बल $mg$ है,इसलिए:
$\frac{mv_P^2}{R} = mg$
$\therefore v_P^2 = Rg$
निम्नतम बिंदु $L$ और बिंदु $P$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_P^2 + mgR$
$v_P^2 = Rg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$
$v_L^2 = 3gR$
स्प्रिंग में संचित प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा बिंदु $L$ पर ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv_L^2$
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m(3gR)$
$kx^2 = 3mgR$
$x = \sqrt{\frac{3mgR}{k}}$

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
अनुप्रयुक्त बल द्वारा किया गया कार्य $W_F = F \times S = 25 \,N \times 10 \,m = 250 \,J$.
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k \times S = -(\mu \,mg) \times S$.
$W_f = -(0.2 \times 5 \,kg \times 10 \,m/s^2) \times 10 \,m = -10 \,N \times 10 \,m = -100 \,J$.
कुल कार्य $W_{net} = W_F + W_f = 250 \,J - 100 \,J = 150 \,J$.
अतः,ब्लॉक द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $150 \,J$ है।

(A) चरण $1$: कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरणों का उपयोग करके नत समतल के निचले सिरे पर ब्लॉक का वेग ज्ञात करें।
$v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$a = g \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s^2$,और $s = 2 \, m$ है:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 2 = 20 \, m^2/s^2$.
चरण $2$: खुरदरी सतह पर तय की गई दूरी ज्ञात करें।
क्षैतिज सतह पर,घर्षण के कारण उत्पन्न मंदन $a' = \mu g = 0.25 \times 10 = 2.5 \, m/s^2$ है।
$v_f^2 = v^2 - 2a'S$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_f = 0$ (अंतिम वेग शून्य है):
$0 = 20 - 2 \times 2.5 \times S$.
$5S = 20 \implies S = 4 \, m$.

(A) किया गया कुल कार्य क्षैतिज सतह पर किए गए कार्य और ऊँचाई पर उठाते समय गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का योग है।
$1$. क्षैतिज सतह पर किया गया कार्य $(W_1)$:
$W_1 = F \times s = 8 \ N \times 1 \ m = 8 \ J$
$2$. ब्लॉक को उठाने के लिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_2)$:
$W_2 = mgh = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 2 \ m = 20 \ J$
$3$. कुल कार्य $(W_{total})$:
$W_{total} = W_1 + W_2 = 8 \ J + 20 \ J = 28 \ J$

(D) वस्तु पर कार्य करने वाला परिणामी बल $F$ दो लंबवत बलों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है: $F = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ N$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = F / m = 5 \ N / 10 \ kg = 0.5 \ m/s^2$ है।
स्थिर अवस्था $(u = 0)$ से शुरू करके $t = 10 \ s$ समय के बाद वेग $v = u + at = 0 + (0.5 \ m/s^2)(10 \ s) = 5 \ m/s$ होगा।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times (5 \ m/s)^2 = 5 \times 25 = 125 \ J$ होगी।

(D) प्रारंभिक संवेग $P_1 = 10\; kg\; m/s$ है। बल $F = 0.2\; N$,$t = 10\; s$ समय के लिए कार्य करता है।
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन $\Delta P = F \times t$ है।
$P_2 - P_1 = F \times t$
$P_2 = P_1 + F \times t = 10 + (0.2 \times 10) = 10 + 2 = 12\; kg\; m/s$।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = \frac{P_2^2}{2m} - \frac{P_1^2}{2m} = \frac{1}{2m} (P_2^2 - P_1^2)$ है।
मान रखने पर,$\Delta K = \frac{1}{2 \times 5} (12^2 - 10^2) = \frac{1}{10} (144 - 100) = \frac{44}{10} = 4.4\; J$।

(B) माना चेन की कुल लंबाई $L = 2 \ m$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
जब चेन का आधा हिस्सा किनारे पर लटकता है,तो लटकने वाली लंबाई $l = L/2 = 1 \ m$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h_1 = l/2 = 0.5 \ m$ नीचे है।
मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान केंद्र किनारे से $h_2 = (L-l)/2 = 0.5 \ m$ की दूरी पर है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = -(M/2)g(l/2) + (M/2)g(0) = -MgL/8$।
जब पूरी चेन मेज छोड़ती है तो अंतिम स्थितिज ऊर्जा (द्रव्यमान केंद्र किनारे से $L/2$ नीचे होता है): $PE_f = -Mg(L/2) = -MgL/2$।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = PE_i - PE_f = -MgL/8 - (-MgL/2) = 3MgL/8$।
यह परिवर्तन अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर है: $1/2 M v^2 = 3MgL/8$।
$v^2 = 3gL/4 = 3(10)(2)/4 = 15$।
$v = \sqrt{15} \approx 3.87 \ m/s$,जो लगभग $4 \ m/s$ है।

(C) माना प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m_1 v_1 = 1 \times 0.4 = 0.4 \ kg \cdot m/s$ x-अक्ष की दिशा में है।
टक्कर के बाद,पहली गेंद y-अक्ष की दिशा में $p_{1f} = 1 \times 0.3 = 0.3 \ kg \cdot m/s$ संवेग के साथ गति करती है।
माना दूसरी गेंद का संवेग $\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j}$ है।
x-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$p_{ix} = p_{1fx} + P_x \implies 0.4 = 0 + P_x \implies P_x = 0.4 \ kg \cdot m/s$.
y-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$p_{iy} = p_{1fy} + P_y \implies 0 = 0.3 + P_y \implies P_y = -0.3 \ kg \cdot m/s$.
दूसरी गेंद के संवेग का परिमाण:
$P = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{(0.4)^2 + (-0.3)^2} = \sqrt{0.16 + 0.09} = \sqrt{0.25} = 0.5 \ kg \cdot m/s$.

(A) $1$. टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार (मान लीजिए कि गोली गुटके में धँस जाती है):
$mv = (m + M)V$,जहाँ $V$ टक्कर के तुरंत बाद गोली और गुटके का उभयनिष्ठ वेग है।
$2$. टक्कर के बाद,संयुक्त निकाय $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh$
$V^2 = 2gh$
$V = \sqrt{2gh}$
$3$. संवेग समीकरण में $V$ का मान रखने पर:
$mv = (m + M)\sqrt{2gh}$
$v = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का संवेग और टक्कर के बाद का संवेग बराबर होता है।
$mv + M(0) = m(v/2) + MV$
$mv = mv/2 + MV$
$MV = mv/2$
$V = mv / 2M$
यहाँ,$V$ गोली के गुजरने के तुरंत बाद लकड़ी के गुटके का वेग है।
गुटका तब $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है जहाँ उसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$1/2 MV^2 = Mgh$
$h = V^2 / 2g$
$V$ का मान रखने पर:
$h = (mv / 2M)^2 / 2g$
$h = (m^2v^2 / 4M^2) / 2g$
$h = m^2v^2 / 8M^2g$

(B) भोजन से प्राप्त कुल ऊर्जा $E = 10^5 \ calories$ है।
चूंकि $1 \ calorie = 4.2 \ J$,जूल में ऊर्जा $E = 10^5 \times 4.2 \ J = 4.2 \times 10^5 \ J$ होगी।
व्यक्ति की दक्षता $28\%$ है,इसलिए किया गया उपयोगी कार्य $W$ कुल ऊर्जा का $28\%$ है:
$W = 0.28 \times 4.2 \times 10^5 \ J = 1.176 \times 10^5 \ J$.
$h$ ऊँचाई तक चढ़ने में किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा के सूत्र $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m = 60 \ kg$ और $g = 9.8 \ m/s^2$ है।
कार्य को बराबर करने पर: $60 \times 9.8 \times h = 1.176 \times 10^5$.
$588 \times h = 117600$.
$h = \frac{117600}{588} = 200 \ m$.

(C) ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $W_{total} = 300\, J$ है।
यह कार्य ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाने और घर्षण को दूर करने के लिए उपयोग किया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta U = 2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 200\, J$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$ कुल कार्य और गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का अंतर है:
$W_f = W_{total} - \Delta U$
$W_f = 300\, J - 200\, J = 100\, J$.

(D) वस्तु की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ इस प्रकार है: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200\,J$.
वायु घर्षण की अनुपस्थिति में प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = 200\,J$.
$m = 1\,kg$ और $g = 10\,m/s^2$ का उपयोग करने पर,सैद्धांतिक अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{200}{1 \times 10} = 20\,m$ प्राप्त होती है।
हालाँकि,वायु घर्षण के कारण वस्तु केवल $h' = 18\,m$ की ऊँचाई तक पहुँचती है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh' = 1 \times 10 \times 18 = 180\,J$ है।
वायु घर्षण के कारण नष्ट हुई ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और अंतिम स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है: $\Delta E = K_i - U_f = 200\,J - 180\,J = 20\,J$.

(D) माना टक्कर के बाद गोले $A$ का वेग $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $v'$ है।
$x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_2 v = m_1 v' \cos \theta + m_2(0)$
$m_1 v' \cos \theta = m_2 v \quad ... (i)$
$y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$0 = m_1 v' \sin \theta + m_2 \left(\frac{v}{2}\right)$
$m_1 v' \sin \theta = -\frac{m_2 v}{2} \quad ... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{m_1 v' \sin \theta}{m_1 v' \cos \theta} = \frac{-m_2 v / 2}{m_2 v}$
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$
$\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ जो $x$-अक्ष के साथ कोण है।

(B) मान लीजिए कि $2m$ द्रव्यमान वाले तीसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}'$ है।
प्रारंभिक संवेग,$\vec{P}_i = 0$ (चूंकि पिंड विरामावस्था में है)।
अंतिम संवेग,$\vec{P}_f = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$.
$0 = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
$\vec{v}' = -\frac{v}{2} \hat{i} - \frac{v}{2} \hat{j}$.
$v'$ का परिमाण $v' = \sqrt{(-\frac{v}{2})^2 + (-\frac{v}{2})^2} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
विस्फोट के कारण उत्पन्न कुल गतिज ऊर्जा तीनों टुकड़ों की गतिज ऊर्जा का योग है:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) (v')^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v}{\sqrt{2}})^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v^2}{2}) = \frac{3}{2} m v^2 = 1.5 m v^2$.

(D) मान लीजिए गेंद का द्रव्यमान $m$ है,ऊँचाई $h = 20 \, m$ है,और जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग $v$ है।
नीचे की गति के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 + 2gh \quad ... (i)$
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो वह अपनी गतिज ऊर्जा का $50\%$ खो देती है। शेष गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4}mv^2$ है।
यह शेष ऊर्जा गेंद को उसी ऊँचाई $h$ तक वापस उछलने में सक्षम बनाती है:
$\frac{1}{4}mv^2 = mgh$
$v^2 = 4gh$
$v^2 = 4gh$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$4gh = v_0^2 + 2gh$
$v_0^2 = 2gh$
$v_0 = \sqrt{2gh}$
यहाँ $g = 10 \, m/s^2$ और $h = 20 \, m$ दिया गया है:
$v_0 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.

(B) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 10\, g = 0.01\, kg$
गोली की प्रारंभिक गति,$u = 400\, m s^{-1}$
ब्लॉक का द्रव्यमान,$M = 2\, kg$
ब्लॉक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई,$h = 10\, cm = 0.1\, m$
मान लीजिए कि टक्कर के तुरंत बाद ब्लॉक की गति $v_1$ है और ब्लॉक से बाहर निकलने के बाद गोली की गति $v$ है।
टक्कर के बाद ब्लॉक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} M v_1^2 = Mgh$
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4\, m s^{-1}$
($g = 9.8\, m s^{-2}$ का उपयोग करते हुए)।
टक्कर के दौरान निकाय (गोली + ब्लॉक) के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$mu = Mv_1 + mv$
$0.01 \times 400 = 2 \times 1.4 + 0.01 \times v$
$4 = 2.8 + 0.01v$
$0.01v = 1.2$
$v = 120\, m s^{-1}$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$,ऊँचाई $h = 1\,km = 1000\,m$,अंतिम वेग $v = 50\,m s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m s^{-2}$।
$(i)$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$: $W_g = mgh = 10^{-3} \times 10 \times 1000 = 10\,J$।
(ii) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
मान रखने पर: $10 + W_r = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (50)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25\,J$।
अतः,$W_r = 1.25 - 10 = -8.75\,J$।

(D) $m_1$ और $m_2$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ $m_2$ प्रारंभ में विराम अवस्था में है:
$1$. यदि $m_1 \gg m_2$ है,तो $m_2$ का अंतिम वेग $v_2 = \frac{2m_1}{m_1+m_2} u_1 \approx 2u_1$ होता है। अतः,विकल्प $(b)$ गलत है क्योंकि यह $4u_1$ होने का दावा करता है।
$2$. एक तिर्यक प्रत्यास्थ टक्कर में जहाँ $m_1 = m_2$ हो और $m_2$ विराम अवस्था में हो,टक्कर के बाद दोनों गेंदें एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर गति करती हैं। अतः,विकल्प $(c)$ भी गलत है क्योंकि यह विपरीत दिशाओं में गति करने का दावा करता है।
$3$. चूंकि $(b)$ और $(c)$ दोनों गलत कथन हैं,इसलिए विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।