प्लांक नियतांक h,प्रकाश की गति c,और गुरुत्वाक | vedclass

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Question

(C) नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:$h = [M L^2 T^{-1}]$$c = [L T^{-1}]$$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G

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$(A, C, D)$

Vedclass · Answer

(C) नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:$h = [M L^2 T^{-1}]$$c = [L T^{-1}]$$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G^d$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$घातों की तुलना करने पर:$a - d = 1 \implies a = 1 + d$$2a + b + 3d = 0$$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.अतः $a = 1/2$ और $b = 1/2$.इस प्रकार,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.इसी प्रकार लंबाई $L = k h^x c^y G^z$ के लिए:$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$$x - z = 0 \implies x = z$$2x + y + 3z = 1$$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.अतः $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.इन संबंधों से:$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$अतः,विकल्प $(A), (C), (D)$ सही हैं।

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