Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Gujarati

(A) રેખીય વેગ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow v = \overrightarrow \omega \times \overrightarrow r$.
સદિશ ગુણાકાર માટે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow v = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i((-2)(-3) - (2)(4)) - \hat j((1)(-3) - (2)(0)) + \hat k((1)(4) - (-2)(0))$
$= \hat i(6 - 8) - \hat j(-3 - 0) + \hat k(4 - 0)$
$= -2\hat i + 3\hat j + 4\hat k$
રેખીય વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow v | = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (4)^2}$
$= \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \text{ એકમ}$.

(C) સ્થિર અક્ષની આસપાસ દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિમાં,પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ભ્રમણની અક્ષથી $r$ અંતરે રહેલા કોઈપણ કણ માટે,રેખીય વેગ $v$ એ $v = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
દ્રઢ પદાર્થ હોવાથી,બધા કણો સમાન સમયગાળામાં સમાન ખૂણે ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બધા સમાન કોણીય વેગ $\omega$ ધરાવે છે.
જો કે,ભ્રમણની અક્ષથી અંતર $r$ દરેક કણ માટે અલગ-અલગ હોવાથી,રેખીય વેગ $v = r\omega$ દરેક કણ માટે અલગ હશે.
તેથી,બધા કણો અલગ-અલગ રેખીય વેગ સાથે પરંતુ સમાન કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(D) શુદ્ધ ભ્રમણ ગતિમાં,દ્રઢ પદાર્થના તમામ કણો ભ્રમણ અક્ષની આસપાસ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે.
સંબંધ $v = \omega r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{r}$.
શુદ્ધ ભ્રમણ ગતિ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોણીય વેગ $\omega$ એ સમગ્ર પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને કોઈપણ ક્ષણે તમામ કણો માટે અચળ રહે છે,ભલે તેમનું અક્ષથી અંતર $r$ ગમે તે હોય.
જેમ જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ રેખીય ઝડપ $v$ પ્રમાણસર વધે છે જેથી ગુણોત્તર $\frac{v}{r}$ અચળ રહે.
તેથી,$\omega$ એ $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) જ્યારે કોઈ ગોળો તેના વ્યાસની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે ગોળાના તમામ કણો ભ્રમણાક્ષની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ભ્રમણાક્ષથી $r$ અંતરે રહેલા કોઈપણ કણ માટે,કોણીય વેગ $\omega$ તમામ કણો માટે સમાન હોય છે.
રેખીય વેગ $v = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે અલગ-અલગ કણો માટે $r$ અલગ-અલગ હોય છે,તેથી રેખીય ઝડપ $v$ પણ અલગ-અલગ હોય છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં કણનો રેખીય પ્રવેગ $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_c = \omega^2 r$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે અને $a_t = \alpha r$ એ સ્પર્શક પ્રવેગ છે. સમાન ભ્રમણ માટે,$\alpha = 0$,તેથી $a = \omega^2 r$.
ભ્રમણાક્ષ (વ્યાસ) પરના કણો માટે $r = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો રેખીય વેગ $v = 0$ અને તેમનો રેખીય પ્રવેગ $a = 0$ થાય છે.
તેથી,વ્યાસ પરના કણોને કોઈ રેખીય પ્રવેગ હોતો નથી.

(C) શુદ્ધ પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થ માટે,પરિભ્રમણ અક્ષ એ રેખા છે જેની આસપાસ પદાર્થના તમામ કણો વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થના કોઈપણ કણ $P$ નો વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા તેના વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ એ પરિભ્રમણ અક્ષને લંબ સમતલમાં હોવાથી,વેગ સદિશ $\vec{v}$ (અને તેથી એકમ સદિશ $\vec{B}$) હંમેશા પરિભ્રમણ અક્ષ (અને તેથી એકમ સદિશ $\vec{A}$) ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $|\vec{A}| = 1$,$|\vec{B}| = 1$,અને $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,આપણને $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1 \times 1 \times 0 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને $m$ દળનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે. નીચે પડતા $m$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ $(1)$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ફરતા નળાકાર માટે,ટોર્ક $\tau = T \cdot R$ છે. નળાકારની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે. $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha = \frac{a}{R}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,આપણને મળે છે: $T \cdot R = (\frac{1}{2}MR^2) \cdot (\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma = a(m + \frac{M}{2})$
$a = \frac{mg}{m + M/2} = \frac{2mg}{2m + M}$.
જો આપણે ધારીએ કે બંને દળ સમાન છે $(M = m)$,તો $a = \frac{2mg}{3m} = \frac{2g}{3}$.

(A) ધાર પર $F$ બળ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F R$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$F R = (\frac{1}{2} M R^2) \alpha$
$\alpha = \frac{F R}{\frac{1}{2} M R^2} = \frac{2F}{M R}$.
ધાર પરનો સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \alpha R$ દ્વારા મળે છે.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_t = (\frac{2F}{M R}) R = \frac{2F}{M}$.
આમ,સ્પર્શક પ્રવેગ $\frac{2F}{M}$ છે.

(D) ધારો કે ડોલનો રેખીય પ્રવેગ $a$ છે અને દોરડામાં તણાવ $T$ છે.
$m$ દળની ડોલ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ --- $(1)$
$M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યાના નળાકાર માટે,ટોર્ક $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{1}{2}Mr^2$ એ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha = \frac{a}{r}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
ટોર્ક $\tau = Tr$ પણ થાય છે.
ટોર્કના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Tr = (\frac{1}{2}Mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}Mra$.
તેથી,$T = \frac{1}{2}Ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$

(B) ધારો કે દરેક દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને દરેક દળ $m$ નો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
દરેક દળ $m$ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ ... $(1)$
નળાકાર માટે,બે દોરડાને કારણે કુલ ટોર્ક $\tau = 2TR$ છે.
નળાકારની તેના અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે: $2TR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
કારણ કે $a = \alpha R$,તેથી $\alpha = \frac{a}{R}$.
ટોર્ક સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $2TR = \frac{1}{2}MR^2(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$.
આમ,$2T = \frac{1}{2}Ma$,અથવા $T = \frac{1}{4}Ma$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $mg - \frac{1}{4}Ma = ma$.
$mg = ma + \frac{1}{4}Ma = a(m + \frac{M}{4}) = a(\frac{4m + M}{4})$.
તેથી,$a = \frac{4mg}{M + 4m}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બે દળોની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $2 \times (mgh) = 2mgh$.
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = ફરતા નળાકારની ગતિ ઉર્જા + નીચે પડતા બે દળોની ગતિ ઉર્જા.
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2 + 2 \times (\frac{1}{2} m v^2)$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2} M R^2$. વળી,$v = R \omega$.
$K.E. = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 + m (R \omega)^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2 + m R^2 \omega^2 = R^2 \omega^2 (\frac{M}{4} + m) = R^2 \omega^2 (\frac{M + 4m}{4})$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $2mgh = R^2 \omega^2 (\frac{M + 4m}{4})$.
$8mgh = R^2 \omega^2 (M + 4m)$.
$\omega^2 = \frac{8mgh}{R^2 (M + 4m)}$.
$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{8mgh}{M + 4m}}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચે પડતા વજન દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ તંત્રની ગતિ ઉર્જા (પૈડાની ચાકગતિ ઉર્જા અને વજનની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા) માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$
દોરી પૈડા પર વીંટાળેલી હોવાથી,વજનનો રેખીય વેગ $v$ અને પૈડાનો કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે.
ઉર્જા સમીકરણમાં $v = r\omega$ મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}m(r\omega)^2$
$mgh = \frac{1}{2}(I + mr^2)\omega^2$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{2mgh}{I + mr^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I + mr^2}}$

(D) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $m = 2\,kg$,પૈડાની ત્રિજ્યા $R = 0.5\,m$,અંતર $S = 5\,m$,સમય $t = 2\,s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2)^2$
$5 = 2a \implies a = 2.5\,m/s^2$.
પૈડા પર લટકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{g}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2.5 = \frac{10}{1 + \frac{I}{2 \cdot (0.5)^2}}$
$1 + \frac{I}{2 \cdot 0.25} = \frac{10}{2.5}$
$1 + \frac{I}{0.5} = 4$
$\frac{I}{0.5} = 3$
$I = 3 \cdot 0.5 = 1.5\,kg \cdot m^2$.

(B) સળિયો $O$ પર હિન્જ કરેલો છે. ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $L/2$ પર છે. શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે સ્થિતિ ઉર્જા $U = mg(L/2) \cos \theta$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારા બરાબર હોય છે: $mg(L/2)(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = \frac{mL^2}{3}$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $mg(L/2)(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2 \implies \omega^2 = \frac{3g}{L}(1 - \cos \theta)$.
અવસ્થા $(2)$ માટે,$\theta = 60^{\circ}$,$\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી $\omega_2^2 = \frac{3g}{L}(1 - 0.5) = \frac{1.5g}{L}$.
અવસ્થા $(4)$ માટે,$\theta = 180^{\circ}$,$\cos 180^{\circ} = -1$,તેથી $\omega_4^2 = \frac{3g}{L}(1 - (-1)) = \frac{6g}{L}$.
$\omega_4^2$ અને $\omega_2^2$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\omega_4^2}{\omega_2^2} = \frac{6g/L}{1.5g/L} = 4$.
તેથી,$\omega_4 = 2 \omega_2$.

(A) રેખીય વેગ $(v)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,જ્યાં $r$ એ ભ્રમણાક્ષથી પદાર્થનું લંબ અંતર છે.
પૃથ્વી એક દ્રઢ પદાર્થ તરીકે ભ્રમણ કરતી હોવાથી,પૃથ્વી પરના તમામ બિંદુઓ માટે કોણીય વેગ $(\omega)$ સમાન રહે છે.
જોકે,ભ્રમણાક્ષથી અંતર $(r)$ વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ $(r = R_e)$ હોય છે અને જેમ આપણે ધ્રુવો તરફ જઈએ તેમ તે ઘટતું જાય છે ($r = R_e \cos \phi$,જ્યાં $\phi$ એ અક્ષાંશ છે).
તેથી,રેખીય વેગ $(v)$ વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ હોય છે અને ધ્રુવો પર શૂન્ય હોય છે.

(D) $m$ દળ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ $(1)$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાના નળાકાર માટે,ટોર્કનું સમીકરણ: $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\alpha = \frac{a}{R}$.
તેથી,$TR = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $mg - \frac{1}{2}Ma = ma \implies mg = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$.
આમ,રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{2mg}{M + 2m}$ મળે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{a}{R} = \frac{2mg}{R(M + 2m)}$ છે.
તંત્ર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતું હોવાથી,$t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \alpha t = \frac{2mgt}{R(M + 2m)}$ થશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અચળ રેખીય વેગ $v = R_{cm}\omega$ થી ગતિ કરે છે.
રિંગના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા કોઈપણ કણ માટે,કણ દ્વારા અનુભવાતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m\omega^2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રિંગ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ગબડતી હોવાથી,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m\omega^2r$ છે.
અંદરની સપાટી પરના કણ માટે,ત્રિજ્યા $R_1$ છે,તેથી $F_1 = m\omega^2R_1$.
બહારની સપાટી પરના કણ માટે,ત્રિજ્યા $R_2$ છે,તેથી $F_2 = m\omega^2R_2$.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{m\omega^2R_1}{m\omega^2R_2} = \frac{R_1}{R_2}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થ નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતો હોય,ત્યારે પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળાકાર પથમાં ગતિ કરે છે.
દરેક વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર ભ્રમણ અક્ષ પર આવેલું હોય છે અને દરેક વર્તુળાકાર પથનું સમતલ ભ્રમણ અક્ષને લંબ હોય છે.
આ શરત ત્યારે સાચી ઠરે છે કે ભલે અક્ષ પદાર્થની અંદરથી પસાર થતી હોય કે પદાર્થની બહાર હોય,જ્યાં સુધી અક્ષ સંદર્ભ ફ્રેમમાં નિશ્ચિત હોય.
આમ,ભ્રમણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો અક્ષ નિશ્ચિત હોય,તો બધા જ કણો તે અક્ષની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.

(C) રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{v} = \hat{i}((4)(3) - (5)(-2)) - \hat{j}((3)(3) - (5)(1)) + \hat{k}((3)(-2) - (4)(1))$
$\vec{v} = \hat{i}(12 + 10) - \hat{j}(9 - 5) + \hat{k}(-6 - 4)$
$\vec{v} = 22\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$
આમ,રેખીય વેગ સદિશ $(22, -4, -10) \text{ m/s}$ છે.

(C) પદાર્થ દૃઢ પદાર્થ હોવાથી,ચાકગતિ દરમિયાન તેના દરેક કણોનો કોણીય વેગ $\omega$ સમાન હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ત્રણ કણો $A$,$B$ અને $C$ પરિભ્રમણની ધરી (ઊગમબિંદુ $O$) થી અનુક્રમે $r_1$,$r_2$ અને $r_3$ અંતરે છે અને તેઓ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરે છે.
કણનો રેખીય વેગ $v$ એ $v = r\omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $A$ માટે,રેખીય વેગ $v_1 = r_1\omega$.
કણ $B$ માટે,રેખીય વેગ $v_2 = r_2\omega$.
કણ $C$ માટે,રેખીય વેગ $v_3 = r_3\omega$.
અહીં $r_1$,$r_2$ અને $r_3$ અલગ-અલગ હોવાથી,રેખીય વેગ $v_1$,$v_2$ અને $v_3$ પણ અલગ-અલગ મળે છે.
તેથી,દૃઢ પદાર્થના પરિભ્રમણની ધરીથી અલગ-અલગ અંતરે રહેલા કણો સમાન કોણીય વેગથી પણ અલગ-અલગ રેખીય વેગથી ગતિ કરે છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1.5 \ m$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10 \ rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = (\frac{60}{\pi}) \ rpm$,સમય $t = 2.0 \ s$.
પ્રથમ,$\omega_0$ ને $rad/s$ માં ફેરવતા:
$\omega_0 = \frac{60}{\pi} \times \frac{2\pi}{60} = 2 \ rad/s$.
ચાકગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$\omega = 2 + (10 \times 2) = 2 + 20 = 22 \ rad/s$.
કોણીય સ્થાનાંતર માટે ચાકગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$:
$\theta = (2 \times 2) + \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 4 + (5 \times 4) = 4 + 20 = 24 \ rad$.

(C) બંને વ્હીલ સમઅક્ષીય રીતે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ભ્રમણ કરે છે.
ધારો કે નાના વ્હીલની ત્રિજ્યા $R$ છે અને મોટા વ્હીલની ત્રિજ્યા $2R$ છે.
વ્હીલ સાથે જોડાયેલી દોરી દ્વારા કાપેલું અંતર $s = r\theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ ભ્રમણનો ખૂણો છે.
સમાન સમયગાળા માટે,બંને વ્હીલ સમાન ખૂણા $\theta$ થી ભ્રમણ કરે છે.
નાના વ્હીલ પરની દોરી $A$ માટે: $x = R\theta$.
મોટા વ્હીલ પરની દોરી $B$ માટે: $y = (2R)\theta$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $y/x = (2R\theta) / (R\theta) = 2$.
તેથી,$y = 2x$.

(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $\ell = 1 \ m$ છે. સળિયો નીચેના છેડેથી જડિત છે. જ્યારે તે પડે છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જાનું રૂપાંતર ચાકગતિ ઉર્જામાં થાય છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = Mg \Delta h = Mg \left( \frac{\ell}{2} \right)$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I = \frac{M \ell^2}{3}$ એ જડિત બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \left( \frac{M \ell^2}{3} \right) \omega^2 = Mg \frac{\ell}{2}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{6} M \ell^2 \omega^2 = \frac{1}{2} Mg \ell$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = \frac{3g}{\ell}$.
મુક્ત છેડાની રેખીય ઝડપ $V = \omega \ell$ છે. તેથી,$V^2 = \omega^2 \ell^2 = \left( \frac{3g}{\ell} \right) \ell^2 = 3g \ell$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ અને $\ell = 1 \ m$ કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \ m/s$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} \ m/s = 15 \ m/s$.
ત્રિજ્યા $r = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 20$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 20 \times 2\pi \ rad = 40\pi \ rad$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{v_1}{r} = \frac{15}{0.5} = 30 \ rad \ s^{-1}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0$.
સમીકરણ $\omega_2^2 = \omega_1^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (30)^2 + 2 \times \alpha \times 40\pi$
$\alpha = -\frac{900}{80\pi} \approx -3.58 \ rad \ s^{-2}$.
રેખીય અંતર $d = n \times (2\pi r) = 20 \times 2 \times 3.14 \times 0.5 = 62.8 \ m$.

(C) નીચે પડતા દળ $m$ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ $(1)$
ભ્રમણ કરતા નળાકાર માટે,ટોર્કનું સમીકરણ: $\tau = I\alpha = I(a/r) = T \cdot r$,જે આપે છે $T = \frac{Ia}{r^2}$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $mg - \frac{Ia}{r^2} = ma$
$mg = a(m + \frac{I}{r^2}) = a(\frac{mr^2 + I}{r^2})$
આમ,પ્રવેગ $a = \frac{mgr^2}{I + mr^2}$
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$v^2 = 2 \cdot (\frac{mgr^2}{I + mr^2}) \cdot h$
$v = \sqrt{\frac{2mghr^2}{I + mr^2}}$

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને દળ $m$ નો પ્રવેગ $a$ છે.
નીચે તરફ ગતિ કરતા દળ $m$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ => $T = m(g - a)$ --- $(1)$
ભ્રમણ કરતી પુલી માટે,ટોર્ક $\tau = I\alpha = TR$.
પુલી નિયમિત તકતી હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$.
દોરી સરકતી ન હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{a}{R}$.
આ કિંમતો ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = TR$ => $\frac{1}{2}Ma = T$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $m(g - a) = \frac{1}{2}Ma$.
જો આપણે ધારીએ કે પુલીનું દળ $M$ એ દળ $m$ જેટલું જ છે,તો $m(g - a) = \frac{1}{2}ma$.
$m$ વડે ભાગતા: $g - a = \frac{a}{2}$ => $g = \frac{3a}{2}$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{2}{3}g$ મળે છે.

(C) ટેબલની અક્ષ શિરોલંબ હોવાથી તેનો કોણીય વેગ $\vec{\omega}_T$ શિરોલંબ દિશામાં છે.
ફ્લાય વ્હીલની અક્ષ સમક્ષિતિજ હોવાથી તેનો કોણીય વેગ $\vec{\omega}_F$ સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
પરિણામી કોણીય વેગ $\vec{\omega}_R$ એ આ બે લંબ કોણીય વેગોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{\omega}_R = \vec{\omega}_F + \vec{\omega}_T$
કારણ કે $\vec{\omega}_F$ અને $\vec{\omega}_T$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી પરિણામી કોણીય વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{\omega}_R| = \sqrt{\omega_F^2 + \omega_T^2}$
$|\vec{\omega}_R| = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000}$
$|\vec{\omega}_R| = 20\sqrt{5}\ rad/s$
પરિણામી સદિશ $\vec{\omega}_R$ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સમતલમાં રહે છે,જ્યાં $\theta = \tan^{-1}(\frac{\omega_T}{\omega_F}) = \tan^{-1}(\frac{20}{40}) = \tan^{-1}(0.5)$.

(C) રેખીય ગતિ માટે: $Mg - 2T = Ma$
કોણીય ગતિ માટે: $2TR = I\alpha$
અહીં,$I = \frac{MR^2}{2}$ અને $\alpha = \frac{a}{R}$ છે.
ટોર્ક સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા: $2TR = (\frac{MR^2}{2})(\frac{a}{R}) \implies 2TR = \frac{MRa}{2} \implies T = \frac{Ma}{4}$.
રેખીય ગતિના સમીકરણમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા: $Mg - 2(\frac{Ma}{4}) = Ma \implies Mg - \frac{Ma}{2} = Ma \implies Mg = \frac{3Ma}{2} \implies a = \frac{2}{3}g$.
હવે,તણાવ $T$ શોધીએ: $T = \frac{M}{4}(\frac{2}{3}g) = \frac{Mg}{6}$.

(A) રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{v} = \hat{i}((-2)(1) - (3)(1)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(1)) + \hat{k}((1)(1) - (-2)(1))$
$\vec{v} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 3) + \hat{k}(1 + 2)$
$\vec{v} = -5\hat{i} - \hat{j}(-2) + 3\hat{k}$
$\vec{v} = -5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$

(D) ભ્રમણ અક્ષથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = (m/l) dr$ છે.
આ ઘટકને ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dT = dm \omega^2 r = (m/l) \omega^2 r dr$ છે.
અક્ષથી $x$ અંતરે તણાવબળ $T$ શોધવા માટે,આપણે $x$ થી $l$ સુધી સંકલન કરીએ:
$T = \int_x^l dT = \int_x^l \frac{m}{l} \omega^2 r dr$
$T = \frac{m \omega^2}{l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_x^l$
$T = \frac{m \omega^2}{2l} (l^2 - x^2)$

(A) બિંદુ $m_1$ થી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સળિયાને $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તેની ચાકગતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} [m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2] \omega_0^2$
કાર્ય $W$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dW}{dx} = \frac{1}{2} \omega_0^2 [2 m_1 x + 2 m_2 (L - x)(-1)] = 0$
$m_1 x - m_2 (L - x) = 0$
$m_1 x - m_2 L + m_2 x = 0$
$(m_1 + m_2) x = m_2 L$
$x = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$

(C) દ્રઢ પદાર્થમાં,તમામ કણો એક જ અક્ષની આસપાસ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે.
રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,જ્યાં $r$ એ ભ્રમણની અક્ષથી કણનું અંતર છે.
દ્રઢ પદાર્થ માટે,તમામ કણો માટે $\omega$ અચળ હોય છે.
તેથી,$v \propto r$.
આનો અર્થ એ છે કે ભ્રમણની અક્ષથી અલગ-અલગ અંતરે રહેલા કણોની રેખીય ઝડપ અલગ-અલગ હશે,પરંતુ તેઓ બધા સમાન કોણીય ઝડપ ધરાવે છે.

(C) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad/s$.
કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (40\pi)^2 - 2(4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^2$
$\theta = 200\pi^2 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n$ એ $\theta = 2\pi n$ દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi^2}{2\pi} = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$n = 100 \times 3.14 = 314$ પરિભ્રમણ.

(D) કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ને અક્ષીય સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,તેની દિશા હંમેશા પદાર્થની ભ્રમણાક્ષ (axis of rotation) ની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે એક પાતળી રીંગને તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો દરેક કણ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે.
આ ત્રિજ્યાવર્તી બળ રીંગના દ્રવ્યમાં તણાવ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ તણાવને કારણે રીંગનો પરિઘ વધે છે,જેના પરિણામે રીંગની ત્રિજ્યા $R$ માં વધારો થાય છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીલ (નળાકાર) માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડતી વખતે તેનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $a = \frac{g}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{R^2}{2}$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}g$.

(A) ધારો કે $L$ લંબાઈ,$M$ દળ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક સમાન સળિયો એક છેડેથી અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરી રહ્યો છે.
પરિભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = (M/L) dx$ છે.
આ ઘટક માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = (M/L) \omega^2 x dx$ છે.
$x$ અંતરે તણાવ બળ $F(x)$ એ સળિયાના $x$ થી $L$ સુધીના ભાગને ફેરવવા માટે જરૂરી બળ છે.
$F(x) = \int_x^L (M/L) \omega^2 r dr = (M/L) \omega^2 [r^2/2]_x^L = (M \omega^2 / 2L) (L^2 - x^2)$.
તણાવ પ્રતિબળ $\sigma(x)$ એ $F(x)/A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sigma(x) = (M \omega^2 / 2AL) (L^2 - x^2)$.
આ સમીકરણ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને રજૂ કરે છે જ્યાં $\sigma$ એ $x = 0$ પર મહત્તમ છે અને $x = L$ પર $\sigma = 0$ છે.
આ આલેખ $A$ માં દર્શાવેલ વક્ર સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ધારો કે વેજનો વેગ $v$ છે અને વેજની સાપેક્ષમાં દડાનો વેગ $v_r$ છે.
$1$. સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
કોઈપણ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી,કુલ સમક્ષિતિજ વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર છે,તેથી અંતિમ કુલ સમક્ષિતિજ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$m v_{ball,x} + m v = 0 \implies v_{ball,x} = -v$
$2$. યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
દડાની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ દડા અને વેજની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$m g R \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v_b^2$
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v = (\frac{gR}{3\sqrt{2}})^{1/2}$

(C) જેમ જેમ દોરી ધરીની આસપાસ વીંટળાય છે,તેમ મુક્ત રીતે ગતિ કરી શકતી દોરીની લંબાઈ ઘટે છે. કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર કણથી સ્પર્શક બિંદુ સુધીનું અંતર $r = r_0 - a\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ કણના વેગને લંબ હોવાથી,ધરીના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય છે. આમ,ધરીના કેન્દ્રની આસપાસ કણનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,એક સરળ અભિગમ એ છે કે કણનો વેગ $v$ અચળ રહે છે કારણ કે તણાવ બળ હંમેશા વેગ સદિશને લંબ હોય છે.
શરૂઆતમાં,$v = r_0\omega_0$.
$\theta$ ખૂણે,અંતર $r = r_0 - a\theta$ છે,અને કોણીય વેગ $\omega$ છે.
$v$ અચળ હોવાથી,$v = r\omega = (r_0 - a\theta)\omega$.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $r_0\omega_0 = (r_0 - a\theta)\omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{r_0\omega_0}{r_0 - a\theta} = \frac{\omega_0}{1 - \frac{a\theta}{r_0}}$.

(A) ધારો કે થાંભલાની લંબાઈ $L = 5\, m$ અને તેનું દળ $m = 3\, kg$ છે. થાંભલો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 37^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
થાંભલો સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ સંતુલનમાં છે.
ધારો કે $N_1$ એ સમક્ષિતિજ સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ છે,$f$ એ પાયા પરનું ઘર્ષણ બળ છે,$N_2$ એ લીસી ઉભી દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે અને $mg$ એ થાંભલાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) પર લાગતું વજનબળ છે.
સ્થાનાંતરિત સંતુલન માટે:
સમક્ષિતિજ બળો: $f = N_2$
શિરોલંબ બળો: $N_1 = mg = 3 \times 10 = 30\, N$
ચાકગતિ સંતુલન માટે,આપણે પાયાના બિંદુ (ધારો કે $A$) ની સાપેક્ષે ટોર્ક લઈએ:
$\tau_{net} = 0$
$mg \times (\frac{L}{2} \cos 37^{\circ}) - N_2 \times (L \sin 37^{\circ}) = 0$
$mg \times \frac{5}{2} \times \frac{4}{5} = N_2 \times 5 \times \frac{3}{5}$
$30 \times 2 = N_2 \times 3$
$60 = 3 N_2 \Rightarrow N_2 = 20\, N$
તેથી,$f = N_2$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f = 20\, N$ થશે.

(A) સ્પૂલ સ્થિર રહે તે માટે,તે સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય સંતુલન એમ બંનેમાં હોવી જોઈએ.
$1$. સ્થાનાંતરિત સંતુલન: સ્પૂલ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આડા બળોને ધ્યાનમાં લેતા,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળનો ઘટક $F \cos \theta$ એ જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર કાર્યરત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ.
$f_s = F \cos \theta$
$2$. પરિભ્રમણીય સંતુલન: જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. બળ $F$ એ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે લાગુ કરવામાં આવે છે. સ્પૂલ પરિભ્રમણ ન કરે તે માટે,કેન્દ્રની આસપાસનું ટોર્ક સંતુલિત હોવું જોઈએ. સંપર્ક બિંદુ પર ઘર્ષણ $f_s$ (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) ને કારણે લાગતું ટોર્ક એ બળ $F$ (કેન્દ્રથી $r$ અંતરે) ને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f_s \times R = F \times r$
ટોર્ક સમીકરણમાં $f_s = F \cos \theta$ મૂકતા:
$(F \cos \theta) \times R = F \times r$
બંને બાજુ $F \times R$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta = \frac{r}{R}$
તેથી,ક્રાંતિક ખૂણો:
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{r}{R} \right)$

(A) ધારો કે $m_0$ દળનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે. $m_0$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$m_0g - T = m_0a$ ... $(1)$
નળાકારના પરિભ્રમણ માટે,ટોર્ક $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{1}{2}mr^2$ એ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha = \frac{a}{r}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
$Tr = I\alpha = \left(\frac{1}{2}mr^2\right) \left(\frac{a}{r}\right)$
$T = \frac{1}{2}ma$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m_0g - \frac{1}{2}ma = m_0a$
$m_0g = m_0a + \frac{1}{2}ma = a\left(m_0 + \frac{m}{2}\right)$
$a = \frac{m_0g}{m_0 + \frac{m}{2}} = \frac{2m_0g}{2m_0 + m}$

(B) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાનો નીચેનો છેડો શરૂઆતમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, L/2)$ પર છે.
જેમ સળિયો પડે છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોલંબ નીચેની તરફ ભોંયતળિયાના $(0,0)$ બિંદુ પર આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ સળિયાના નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે છે.
શરૂઆતમાં,બિંદુ $P$ ના યામ $(0, x)$ છે.
જ્યારે સળિયો પડે છે અને ભોંયતળિયા પર આડો થઈ જાય છે,ત્યારે નીચેનો છેડો ઉગમબિંદુથી $L$ અંતરે હોય છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોય છે.
અંતિમ આડી સ્થિતિમાં,બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન) થી $(L-x)$ અંતરે છે.
બિંદુ $P$ માટે $r$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ બનાવવા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેનું અંતર અચળ રહેવું જોઈએ.
શરૂઆતમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $P$ નું અંતર $r = |L/2 - x|$ છે.
અંતે,જ્યારે સળિયો આડો હોય,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $P$ નું અંતર $r = |L - x - L/2| = |L/2 - x|$ છે.
પથ ચતુર્થાંશ વર્તુળ હોવા માટે,શિરોલંબ સ્થાનાંતર આડા સ્થાનાંતર જેટલું હોવું જોઈએ. બિંદુ $P$ $x$ ઊંચાઈથી શરૂ થાય છે અને પ્રારંભિક આધારથી $L-x$ આડા અંતરે સમાપ્ત થાય છે.
$x = L/2 - x$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર) લેતા,આપણને $2x = L/2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = L/4$.

(A) ધારો કે નિસરણીના છેડાઓના યામ $(x, 0)$ અને $(0, y)$ છે. તેથી $x^2 + y^2 = L^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$.
આપેલ છે કે $dx/dt = -v$ (ભોંયતળિયા પરના છેડાની ઝડપ),તેથી $x(-v) + y(dy/dt) = 0 \Rightarrow dy/dt = xv/y = v \cot \alpha$.
નિસરણીનો કોણીય વેગ $\omega = |d\alpha/dt|$ છે. $x = L \cos \alpha$ હોવાથી,$dx/dt = -L \sin \alpha (d\alpha/dt) = -v$.
તેથી,$\omega = v / (L \sin \alpha)$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha_{ang} = d\omega/dt = (d\omega/d\alpha) \cdot (d\alpha/dt)$.
$d\omega/d\alpha = -(v / L \sin^2 \alpha) \cos \alpha$.
$d\alpha/dt = -\omega = -v / (L \sin \alpha)$ હોવાથી,$\alpha_{ang} = [-(v \cos \alpha) / (L \sin^2 \alpha)] \cdot [-v / (L \sin \alpha)] = (v^2 \cos \alpha) / (L^2 \sin^3 \alpha)$.
$\alpha = 45^o$ માટે: $\alpha_{ang} = (v^2 \cos 45^o) / (L^2 \sin^3 45^o) = (v^2 \cdot (1/\sqrt{2})) / (L^2 \cdot (1/\sqrt{2})^3) = (v^2 / \sqrt{2}) / (L^2 / 2\sqrt{2}) = 2v^2 / L^2$.

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. $A$ પર લગાડવામાં આવેલ આઘાત $J$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ રેખીય આઘાત અને કોણીય આઘાત ઉત્પન્ન કરે છે.
દળ સમાન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v_{cm}$ એ $J = M_{total} v_{cm} = (2m) v_{cm}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v_{cm} = \frac{J}{2m}$.
$C$ ની આસપાસ કોણીય આઘાત $J \times \frac{L}{2} = I_{cm} \omega$ છે,જ્યાં $I_{cm} = m(\frac{L}{2})^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{2}$.
આમ,$\frac{JL}{2} = \frac{mL^2}{2} \omega$,જે $\omega = \frac{J}{mL}$ આપે છે.
$A$ કણનો વેગ $v_A = v_{cm} + \omega r_A = \frac{J}{2m} + (\frac{J}{mL})(\frac{L}{2}) = \frac{J}{2m} + \frac{J}{2m} = \frac{J}{m}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પાટિયાનું દળ $M$ છે અને ગોળાનું દળ $m$ છે. પાટિયાનો પ્રવેગ $a_p$ અને ગોળાના કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_s$ છે.
જ્યારે પાટિયાને $F$ બળથી જમણી તરફ ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળા પર આગળની દિશામાં (જમણી તરફ) ઘર્ષણ બળ $f$ લાગે છે,જે રોલિંગ માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડે છે.
ગોળા માટે: $f = m a_s$ અને $\tau = f R = I \alpha = (\frac{2}{5} m R^2) \alpha$. સરક્યા વગરની ગતિ માટે,$a_s = R \alpha$,તેથી $f R = \frac{2}{5} m R^2 (\frac{a_s}{R}) = \frac{2}{5} m a_s R$,જે સૂચવે છે કે $f = \frac{2}{5} m a_s$.
જોકે,ગોળા પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = m a_s$ છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો ગોળો પ્રવેગિત થતો હોય. પાટિયા પર પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ $f$ લાગે છે. પાટિયા માટેનું સમીકરણ $F - f = M a_p$ છે.
$f = m a_s$ હોવાથી,$a_s = \frac{f}{m}$ મળે છે. શુદ્ધ રોલિંગ માટેની શરત $f = \frac{2}{5} m a_s$ છે,તેથી ઘર્ષણ બળ $f$ નું મૂલ્ય $\frac{2}{7} F \frac{m}{M+m}$ (આશરે) હોય છે. $a_s$ અને $a_p$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $a_s < a_p$ છે કારણ કે ગોળો માત્ર ઘર્ષણ બળ દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,જ્યારે પાટિયું બાહ્ય બળ $F$ અને ઘર્ષણ બળના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે.

(C) લટકતા દળ $m$ ની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે:
$mg - T = ma$ --- $(1)$
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગરગડીની ચાકગતિ માટે:
$T \cdot R = I \alpha$
દોરી સરકતી ન હોવાથી,દળનો રેખીય પ્રવેગ $a$ અને ગરગડીનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \alpha R$ છે,તેથી $\alpha = \frac{a}{R}$.
સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T \cdot R = (\frac{1}{2}mR^2) \cdot (\frac{a}{R})$
$T = \frac{1}{2}ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$mg - \frac{1}{2}ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}ma = \frac{3}{2}ma$
$a = \frac{2}{3}g$

(A) ધારો કે $m$ દળનો રેખીય પ્રવેગ $a$ છે અને નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે. દોરી સરકતી ન હોવાથી,$a = R\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{a}{R}$.
નીચે પડતા $m$ દળ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ . . . $(i)$
પોલા નળાકારની ભ્રમણ ગતિ માટે,ટોર્ક $\tau = I\alpha$ એ તણાવ બળ $T$ દ્વારા મળે છે:
$T \times R = I\alpha$
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ હોવાથી:
$T \times R = (mR^2) \times \left( \frac{a}{R} \right)$
$T = ma$ . . . (ii)
સમીકરણ (ii) ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$mg - ma = ma$
$mg = 2ma$
$a = \frac{g}{2}$

(B) ધારો કે રીંગનું દળ $m$ છે અને બ્લોકનું દળ $M$ છે. સિસ્ટમ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કુલ વેગમાન શૂન્ય છે.
બધી સપાટીઓ લીસી હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય આડા બળો ન હોવાથી,સિસ્ટમનું આડું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જેમ જેમ રીંગ વક્ર સળિયા પર નીચે સરકે છે,તેમ તે સળિયા પર આડું બળ લગાડે છે,જેના કારણે બ્લોક $M$ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે સૌથી નીચેના બિંદુએ રીંગનો આડો વેગ $v_m$ છે અને બ્લોક $M$ નો વેગ $V_M$ છે.
આડા વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_m - M V_M = 0$,જેનો અર્થ છે કે $v_m = (M/m) V_M$.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgH = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} M V_M^2$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $V_M = (m/M) v_m$ મૂકતા: $mgH = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} M (m/M)^2 v_m^2 = \frac{1}{2} m v_m^2 (1 + m/M)$.
$v_m$ માટે ઉકેલતા: $v_m = \sqrt{\frac{2gH}{1 + m/M}}$.
અહીં $(1 + m/M) > 1$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $v_m < \sqrt{2gH}$.

(A) ગોળા અને પાટિયા વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુ પર સરક્યા વગરની ગતિ માટેની શરત એ છે કે તેમના વેગ સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે $v_p$ એ પાટિયાનો જમણી તરફનો વેગ છે અને $v_c$ એ ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ડાબી તરફનો વેગ છે.
ગોળાના નીચેના બિંદુનો વેગ $v_c - R\omega$ (ડાબી તરફ) છે.
સરક્યા વગરની ગતિ માટે,ગોળાના નીચેના બિંદુનો વેગ પાટિયાના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ.
જમણી દિશાને ધન લેતા:
પાટિયાની સાપેક્ષમાં,ગોળા પરના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સંપર્ક બિંદુનો વેગ = $v_c$ (ડાબી) + $R\omega$ (ડાબી) = $v_p$ (જમણી).
સ્થાનાંતરના સંદર્ભમાં:
$s_c + R\Delta\theta = s_p$
$75 + 150 \Delta\theta = 100$
$150 \Delta\theta = 100 - 75 = 25$
$\Delta\theta = \frac{25}{150} = \frac{1}{6} \text{ rad}$.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 2m$ અને $m_2 = m$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેમના અંતર અનુક્રમે $r_1 = d$ અને $r_2 = 2d$ છે,જેથી $m_1 r_1 = m_2 r_2$ $(2m \cdot d = m \cdot 2d)$ થાય.
બંને તારાઓ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = mr^2\omega$.
ભારે તારા $(2m)$ માટે: $L_1 = (2m)d^2\omega = 2md^2\omega$.
હલકા તારા $(m)$ માટે: $L_2 = m(2d)^2\omega = 4md^2\omega$.
આમ,$L_2 > L_1$,એટલે કે હલકા તારાનું કોણીય વેગમાન વધારે છે.
રેખીય ઝડપ $v = r\omega$. ભારે તારા માટે,$v_1 = d\omega$. હલકા તારા માટે,$v_2 = 2d\omega$. આમ,$v_2 > v_1$,તેથી હલકા તારાની રેખીય ઝડપ વધારે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$. $K_1 = \frac{1}{2}(2m)(d\omega)^2 = md^2\omega^2$. $K_2 = \frac{1}{2}(m)(2d\omega)^2 = 2md^2\omega^2$. આમ,$K_2 > K_1$,તેથી હલકા તારાની ગતિ ઉર્જા વધારે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.