Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Gujarati

(D) ધારો કે સંપર્ક બિંદુની આસપાસ સળિયાનો કોણીય વેગ $\omega$ છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સંપર્ક બિંદુથી $L/2$ અંતરે છે.
$COM$ ના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_0$ આપેલ છે.
$COM$ સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ભ્રમણ કરતું હોવાથી,તેનો વેગ $v_{COM} = \omega (L/2)$ થાય.
આ વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{COM, y} = \omega (L/2) \cos \theta = v_0$ છે.
તેથી,$\omega = \frac{2v_0}{L \cos \theta}$.
સપાટીના સંપર્કમાં રહેલા સળિયાના છેડાનો સમક્ષિતિજ વેગ $v = \omega (L/2) \sin \theta$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \left( \frac{2v_0}{L \cos \theta} \right) \left( \frac{L}{2} \right) \sin \theta = v_0 \tan \theta$.

(B) અવલોકનકાર $O$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A$ નો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે બિંદુ $A$ ના વેગનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec v_A = \vec v_{cm} + \vec v_{A/cm}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે બિંદુ $A$ નો વેગ એ કોણીય વેગ અને સ્થાન સદિશના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec v_{A/cm} = \vec \omega \times \vec r = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 0 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat i(3 \times 2 - 4 \times 0) - \hat j(0 \times 2 - 4 \times 2) + \hat k(0 \times 0 - 3 \times 2)$
$= 6\hat i + 8\hat j - 6\hat k \text{ m/s}$
હવે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ ઉમેરતા:
$\vec v_A = (2\hat i + 3\hat j) + (6\hat i + 8\hat j - 6\hat k)$
$\vec v_A = (2+6)\hat i + (3+8)\hat j - 6\hat k = 8\hat i + 11\hat j - 6\hat k \text{ m/s}$

(D) આપેલ છે: $m = 0.5 \ kg$,$r = 0.2 \ m$,$s = 2.0 \ m$,$t = 8 \ s$,$g = 10 \ m/s^2$.
પ્રથમ,ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરીને નીચે પડતા દળનો પ્રવેગ $a$ શોધો. તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$.
$2.0 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (8)^2 \Rightarrow 2.0 = 32a \Rightarrow a = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \ m/s^2$.
હવે,દળ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લો: $mg - T = ma$,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે.
$T = m(g - a) = 0.5 \cdot (10 - \frac{1}{16}) = 0.5 \cdot (\frac{160 - 1}{16}) = 0.5 \cdot \frac{159}{16} = \frac{159}{32} \ N$.
પૈડા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = T \cdot r = I \cdot \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha = \frac{a}{r}$.
$T \cdot r = I \cdot \frac{a}{r} \Rightarrow I = \frac{T \cdot r^2}{a}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{(159/32) \cdot (0.2)^2}{1/16} = \frac{159}{32} \cdot 0.04 \cdot 16 = \frac{159 \cdot 0.04}{2} = 159 \cdot 0.02 = 3.18 \ kg \cdot m^2$.

(NONE) ધારો કે છેડા $A$ નું સ્થાન $(x, 0)$ અને છેડા $B$ નું સ્થાન $(0, y)$ છે. સળિયાની લંબાઈ $ell$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = ell^2$ થાય.
આપેલ છે કે છેડો $A$,$t=0$ સમયે $x=0$ થી અચળ વેગ $v_0$ થી ગતિ કરે છે,તેથી $x = v_0 t$.
આ કિંમતને પ્રતિબંધ સમીકરણમાં મૂકતા: $(v_0 t)^2 + y^2 = ell^2$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $y = \sqrt{\ell^2 - (v_0 t)^2}$ મળે છે,જે $y, t \ge 0$ માટે $(y, t)$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ચાપ દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ અને $C$ ખોટા છે.
વિકલ્પ $B$ માટે,છેડા $B$ નો વેગ $\vec{v}_B = \dot{y} \hat{j}$ છે. સળિયાની દિશામાં આ વેગનો ઘટક $v_{B, \text{rod}} = \dot{y} \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = y/\ell$.
$x^2 + y^2 = ell^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x \dot{x} + 2y \dot{y} = 0$ મળે,તેથી $\dot{y} = -\frac{x}{y} v_0$.
આમ,$v_{B, \text{rod}} = -\frac{x}{y} v_0 \cdot \frac{y}{\ell} = -\frac{x v_0}{\ell}$. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાતું નથી.
સળિયો દ્રઢ હોવાથી,સળિયાની દિશામાં $B$ નો વેગ એ સળિયાની દિશામાં $A$ ના વેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ. $A$ નો વેગ $v_0$ છે જે સળિયા સાથે $ heta$ ખૂણે છે (જ્યાં $\sin \theta = x/\ell$),તેથી $v_{A, \text{rod}} = v_0 \sin \theta = v_0 \frac{x}{\ell}$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ વિધાન સાચું નથી.

(D) $m_2$ દળ ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(m_2 g)$ અને ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ બળ $(T)$ છે. રેખીય પ્રવેગ $a_2$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$m_2 g - T = m_2 a_2$ --- $(1)$
નળાકારના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ:
$T R = I \alpha_2 = (\frac{1}{2} m_2 R^2) \alpha_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$T = \frac{1}{2} m_2 R \alpha_2$
$T$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m_2 g - \frac{1}{2} m_2 R \alpha_2 = m_2 a_2$
$m_2$ વડે ભાગતા:
$g - \frac{1}{2} R \alpha_2 = a_2$
$\alpha_2$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{1}{2} R \alpha_2 = g - a_2$
$\alpha_2 = \frac{2(g - a_2)}{R}$
આપેલ વિકલ્પોમાં આ પરિણામ મળતું ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) $m_2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે જે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ગતિનું સમીકરણ $m_2g - T = m_2a_2$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ છે.
નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે,ટોર્કનું સમીકરણ $\tau = I\alpha_2$ છે,જ્યાં $I = \frac{1}{2}m_2R^2$ એ નક્કર નળાકારની જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
ટોર્ક તણાવ $T$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $TR = I\alpha_2 = (\frac{1}{2}m_2R^2)\alpha_2$.
આમ,$T = \frac{1}{2}m_2R\alpha_2$.
ત્યાં કોઈ લપસણ ન હોવાથી,રેખીય પ્રવેગ $a_2$ એ કોણીય પ્રવેગ $\alpha_2$ સાથે $a_2 = R\alpha_2$ શરત દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$\alpha_2 = \frac{a_2}{R}$.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ આ મુજબ છે: $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0 + 2 \times 6}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4\ m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\ kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં ગતિ ઉર્જા $K_{cm} = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ છે,જ્યાં $v_{rel} = v_2 - v_1 = 6 - 0 = 6\ m/s$.
$K_{cm} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (6)^2 = 12\ J$.
$1\ kg$ બ્લોકના મહત્તમ વેગ સમયે,સ્પ્રિંગ ફરીથી તેની કુદરતી લંબાઈ પર હોય છે અને સાપેક્ષ વેગ ઉલટાય છે $(v_{rel} = -6\ m/s)$.
ગ્રાઉન્ડ ફ્રેમમાં $1\ kg$ બ્લોકનો વેગ $v_1 = v_{cm} + v_{1,cm}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં,$m_1v_{1,cm} + m_2v_{2,cm} = 0$,તેથી $v_{1,cm} = -\frac{m_2}{m_1+m_2} v_{rel} = -\frac{2}{3} \times (-6) = 4\ m/s$.
આમ,$v_{1,max} = v_{cm} + v_{1,cm} = 4 + 4 = 8\ m/s$.

(C) જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દરેક દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$ છે.
અથડામણ પછી,દડાઓના પાછા ફરવાનો વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_A = e_A v = 0.6 \times 10 = 6 \ m/s$ (ઉપરની તરફ)
$v_B = e_B v = 0.4 \times 10 = 4 \ m/s$ (ઉપરની તરફ)
સળિયો સખત હોવાથી,સળિયાની કોણીય ઝડપ $\omega$ એ વેગના તફાવતને સળિયાની લંબાઈ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$\omega = \frac{v_A - v_B}{L} = \frac{6 - 4}{0.4} = \frac{2}{0.4} = 5 \ rad/s$.

(C) ધારો કે $a_{cm}$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે અને $\alpha$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસનો કોણીય પ્રવેગ છે. સળિયાના જે છેડા પર દોરી જોડાયેલ છે તેનો પ્રવેગ $a = a_{cm} + \alpha (l/2)$ છે.
બ્લોક $m_1$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_1 g - T = m_1 a$.
સળિયા માટે,બળનું સમીકરણ $T = m a_{cm}$ છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ $T(l/2) = I \alpha = (ml^2/12) \alpha$ છે,જે આપે છે $T = (m l / 6) \alpha$,તેથી $a_{cm} = (l/6) \alpha$.
$\alpha = 6 a_{cm} / l$ ને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a = a_{cm} + (l/2)(6 a_{cm} / l) = a_{cm} + 3 a_{cm} = 4 a_{cm}$.
$T = m a_{cm}$ અને $a = 4 a_{cm}$ ને બ્લોકના સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1 g - m a_{cm} = m_1 (4 a_{cm}) \implies m_1 g = (4 m_1 + m) a_{cm}$.
આમ,$a_{cm} = \frac{m_1}{4 m_1 + m} g = \frac{g}{4 + (m/m_1)}$.
$a_{cm}$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે છેદ $4 + (m/m_1)$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડશે. જેમ $m_1 \to \infty$,તેમ $m/m_1 \to 0$,તેથી $a_{cm, max} = g/4$. તેથી,$n = 4$.

(D) $m_2$ દળ ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે,નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(m_2 g)$ અને ઉપરની તરફ તણાવ બળ $(T)$ લાગે છે.
રેખીય પ્રવેગ $a_2$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$m_2 g - T = m_2 a_2$ --- $(1)$
નળાકારના કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$T R = I \alpha_2 = \left( \frac{m_2 R^2}{2} \right) \alpha_2$
આને સાદું રૂપ આપતા:
$T = \frac{m_2 R \alpha_2}{2}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m_2 g - \frac{m_2 R \alpha_2}{2} = m_2 a_2$
$m_2$ વડે ભાગતા:
$g - \frac{R \alpha_2}{2} = a_2$
$\alpha_2$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R \alpha_2}{2} = g - a_2$
$\alpha_2 = \frac{2(g - a_2)}{R}$
આપેલ વિકલ્પોમાં આ પરિણામ મળતું ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) ધારો કે ટેબલ દ્વારા સળિયાના ડાબા છેડા પર લાગતું લંબબળ $N$ છે. સળિયાનું દળ શૂન્ય છે અને $m$ દળનો પદાર્થ કેન્દ્ર પર (પિવોટથી $l/2$ અંતરે) છે.
મુક્ત કર્યા પછી તરત જ,સળિયો ટેબલના ખૂણા (પિવોટ) ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે.
પિવોટની આસપાસ ટોર્ક $\tau = mg(l/2)$ છે.
પિવોટની આસપાસ $m$ દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(l/2)^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$mg(l/2) = m(l/2)^2 \alpha$,જેમાંથી $\alpha = g/(l/2) = 2g/l$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = \alpha(l/2) = (2g/l)(l/2) = g$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઉર્ધ્વ ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $mg - N = ma$.
$a = g$ મૂકતા,$mg - N = m(g)$,જેનો અર્થ છે કે $N = 0$.

(D) ધારો કે $M = 3.0\ kg$ એ બોબિનનું દળ છે,$R = 6.0\ cm$ એ બહારની ત્રિજ્યા છે,$r = 5.0\ cm$ એ અંદરની ત્રિજ્યા છે અને $m = 4.5\ kg$ એ લટકાવેલા બ્લોકનું દળ છે.
બોબિન સ્થિર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢળતી સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બોબિન પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે. આ બળનો ઢળતી સપાટીને સમાંતર ઘટક $Mg \sin \theta$ છે,જે સંપર્ક બિંદુથી $R$ અંતરે લાગે છે,જે બોબિનને નીચે તરફ ફેરવવા માટે $Mg \sin \theta \cdot R$ જેટલું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
દોરીમાં તણાવ લટકાવેલા બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે,$T = mg$. આ બળ સંપર્ક બિંદુથી $r$ અંતરે લાગે છે,જે બોબિનને ઉપરની તરફ ફેરવવા માટે $mg \cdot r$ જેટલું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
સંતુલન માટે: $Mg \sin \theta \cdot R = mg \cdot r$.
કિંમતો મૂકતા: $(3.0) \cdot g \cdot \sin \theta \cdot (6.0) = (4.5) \cdot g \cdot (5.0)$.
$18 \sin \theta = 22.5$.
$\sin \theta = \frac{22.5}{18} = 1.25$.
$\sin \theta$ નું મૂલ્ય $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ પરિસ્થિતિમાં બોબિન સ્થિર સંતુલનમાં રહી શકે નહીં. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,દોરી ખેંચાય તે પહેલાં બ્લોકનો વેગ $v$ શોધો. બ્લોક $R$ જેટલા અંતર સુધી મુક્ત પતન કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0$,$a=g$,અને $s=R$,આપણને $v = \sqrt{2gR}$ મળે છે.
$2$. ધારો કે દોરી ખેંચાયા પછી બ્લોકનો સામાન્ય વેગ અને પુલીની ધારનો સ્પર્શીય વેગ $v'$ છે. આઘાત $J$ બ્લોક પર ઉપરની તરફ અને પુલીની ધાર પર નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. બ્લોક માટે: $-J = mv' - mv = mv' - m\sqrt{2gR} \implies J = m(\sqrt{2gR} - v')$.
$4$. પુલી માટે: કોણીય આઘાત $J \cdot R = I\omega$ છે,જ્યાં $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને $\omega = \frac{v'}{R}$.
$5$. આ કિંમતો મૂકતા: $JR = (\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v'}{R}) \implies J = \frac{1}{2}mv'$.
$6$. $J$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m(\sqrt{2gR} - v') = \frac{1}{2}mv' \implies \sqrt{2gR} = \frac{3}{2}v' \implies v' = \frac{2}{3}\sqrt{2gR}$.
$7$. હવે,$J$ શોધો: $J = \frac{1}{2}m(\frac{2}{3}\sqrt{2gR}) = \frac{m\sqrt{2gR}}{3}$.
$8$. અંતે,$\frac{2m\sqrt{gR}}{J} = \frac{2m\sqrt{gR}}{\frac{m\sqrt{2}\sqrt{gR}}{3}} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. ભૂમિતિને ફરીથી તપાસતા,સાચો જવાબ $3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $v_r$ એ અર્ધગોલકની સાપેક્ષ કણનો વેગ છે અને $v$ એ આ ક્ષણે અર્ધગોલકનો સમક્ષિતિજ વેગ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,રેખીય વેગમાનનો સમક્ષિતિજ ઘટક સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે,તેથી કુલ સમક્ષિતિજ વેગમાન $0$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પર,ટેબલની સાપેક્ષ કણનો સમક્ષિતિજ વેગ અર્ધગોલકની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $(v_r \cos \theta - v)$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$4m(-v) + m(v_r \cos \theta - v) = 0$
$-4mv + mv_r \cos \theta - mv = 0$
$mv_r \cos \theta = 5mv$
$v_r \cos \theta = 5v$
$v_r = \frac{5v}{\cos \theta}$
અર્ધગોલકની સાપેક્ષ કણનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_r}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{5v}{R \cos \theta}$ મળે છે.

(A) આપણે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે સળિયાનું દળ $m$ છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ સપાટીથી ઊંચાઈ દ્વારા નક્કી થાય છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સપાટી પરના છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = \frac{L}{2} \sin \alpha$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = mgh = mg \frac{L}{2} \sin \alpha$.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે $(U_f = 0)$.
બધી જ સ્થિતિ ઉર્જા સપાટી પર સ્થિર રહેલા છેડાની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I$ એ સળિયાની તેના એક છેડાની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I = \frac{mL^2}{3}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_i = K_f$.
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) \omega^2$.
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = \frac{mL^2}{6} \omega^2$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{6mgL \sin \alpha}{2mL^2} = \frac{3g \sin \alpha}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{L}}$.

(B) કોઈપણ એક બિંદુવત દળ $m$ નો વિચાર કરો. ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક દળનું અંતર $r = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દળ સાથે જોડાયેલી બે દોરીઓમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
દરેક દોરી કેન્દ્ર તરફ જતી ત્રિજ્યા સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્ર તરફ દરેક દોરીના તણાવનો ઘટક $T \cos(45^\circ) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ છે.
દરેક દળ પર આવી બે દોરીઓ કાર્યરત હોવાથી,કુલ ત્રિજ્યાવર્તી બળ $2 \times \frac{T}{\sqrt{2}} = T\sqrt{2}$ થશે.
આને કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m{\omega ^2}r$ સાથે સરખાવતા:
$T\sqrt{2} = m{\omega ^2} \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$
$T\sqrt{2} = \frac{m{\omega ^2}l}{\sqrt{2}}$
$T = \frac{m{\omega ^2}l}{2}$

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ બળ $T$ છે અને તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a$ છે.
તકતીની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે:
$Mg - T = Ma$ $...(i)$
તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તેની ચાકગતિ માટે:
$TR = I\alpha$
દોરી લપસ્યા વગર ઉકેલાતી હોવાથી,રેખીય પ્રવેગ $a$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = R\alpha$ છે,તેથી $\alpha = a/R$.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2/2$ છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$TR = (MR^2/2)(a/R) = (MRa)/2$
$T = Ma/2$ $\Rightarrow a = 2T/M$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$Mg - T = M(2T/M)$
$Mg - T = 2T$
$Mg = 3T$
$T = Mg/3$

(B) રેખીય વેગ $\overrightarrow{v}$ એ કોણીય વેગ $\overrightarrow{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}$
$\overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ -5 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\overrightarrow{v} = \widehat{i}(3 \times 6 - 5 \times 4) - \widehat{j}(-5 \times 6 - 5 \times 3) + \widehat{k}(-5 \times 4 - 3 \times 3)$
$\overrightarrow{v} = \widehat{i}(18 - 20) - \widehat{j}(-30 - 15) + \widehat{k}(-20 - 9)$
$\overrightarrow{v} = -2\widehat{i} + 45\widehat{j} - 29\widehat{k}$

(B) દ્રઢ પદાર્થમાં,પદાર્થ પરના કોઈપણ બિંદુનો તે જ પદાર્થ પરના અન્ય કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગ અચળ હોય છે અને તે દ્રઢ પદાર્થના કોણીય વેગ જેટલો જ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે દ્રઢ પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega = 2 \ rad/s$ છે.
તેથી,બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ નો કોણીય વેગ પણ $\omega = 2 \ rad/s$ થશે.

(B) કોણીય વેગ $\omega = a - bt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થ સ્થિર થાય ત્યારે સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $\omega = 0$ લઈએ છીએ:
$a - bt = 0 \implies t = \frac{a}{b}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું સંકલન છે:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega \, dt = \int_{0}^{a/b} (a - bt) \, dt$.
પદનું સંકલન કરતા:
$\theta = \left[ at - \frac{bt^2}{2} \right]_{0}^{a/b}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\theta = a\left( \frac{a}{b} \right) - \frac{b}{2} \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b} - \frac{b a^2}{2b^2} = \frac{a^2}{b} - \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2}{2b}$.

(A) $m$ દળના નીચે પડતા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$ --- $(i)$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની ફરતી તકતી માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$RT = I\alpha$
અહીં $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\alpha = \frac{a}{R}$ હોવાથી:
$RT = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$
$T = \frac{Ma}{2}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$mg - \frac{Ma}{2} = ma$
$mg = ma + \frac{Ma}{2} = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{2m + M}$

(B) સપાટી લીસી હોવાથી સંપર્ક સપાટી પર કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લગાડવામાં આવેલું બળ છે અને $m$ એ ગોળાનું દ્રવ્યમાન છે.
બળ $F$ અને દ્રવ્યમાન $m$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ બળ જે ઊંચાઈ $h$ પર લગાડવામાં આવે છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,પ્રવેગને મહત્તમ કરવા માટે $h$ અને $R$ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ સંબંધની જરૂર નથી; તે કોઈપણ $h$ માટે અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે કેન્દ્ર પર લાગતું બળ $F$ છે અને સંપર્ક બિંદુ $p$ પર ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ગતિ માટે: $F - f = Ma$ (જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિ માટે: $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I = \frac{1}{2}MR^2$ એ નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$fR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$a = \alpha R$.
રેખીય ગતિના સમીકરણમાં $f = \frac{1}{2}MR\alpha$ મૂકતા: $F - \frac{1}{2}MR\alpha = M(\alpha R)$.
$F = \frac{1}{2}MR\alpha + MR\alpha = \frac{3}{2}MR\alpha$.
તેથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{2F}{3MR}$ થાય.

(D) પરિભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = (M/l) dr$ છે,જ્યાં $M$ એ સળિયાનું કુલ દળ છે.
ધરીથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x)$ એ સળિયાના $x$ થી $l$ સુધીના ભાગને ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ.
$T(x) = \int_{x}^{l} (dm) \omega^2 r = \int_{x}^{l} \left(\frac{M}{l}\right) dr \omega^2 r$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{l} \int_{x}^{l} r dr = \frac{M \omega^2}{l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{x}^{l}$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{2l} (l^2 - x^2)$
આ સમીકરણ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે. $x = 0$ પર,$T(0) = \frac{1}{2} M \omega^2 l$. $x = l$ પર,$T(l) = 0$. આ પરવલય આકારનો આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતી ડોલ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$ --- $(1)$
$M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$\tau = I \alpha = rT$
અહીં $I = \frac{1}{2}Mr^2$ અને $\alpha = \frac{a}{r}$ હોવાથી:
$\frac{1}{2}Mr^2 \left(\frac{a}{r}\right) = rT$
$T = \frac{1}{2}Ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma$
$mg = a \left(m + \frac{M}{2}\right)$
$mg = a \left(\frac{2m + M}{2}\right)$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$

(D) ધારો કે $m$ દળનો રેખીય પ્રવેગ $a$ છે અને નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે. રેખીય અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a = R\alpha$ છે,તેથી $\alpha = \frac{a}{R}$.
નીચે પડતા $m$ દળ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ ... $(1)$
ભ્રમણ કરતા નળાકાર માટે,ટોર્કનું સમીકરણ: $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I = \frac{1}{2}MR^2$. તેથી,$TR = \frac{1}{2}MR^2 \alpha$.
$\alpha = \frac{a}{R}$ મુકતા,$TR = \frac{1}{2}MR^2 (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$,જેનું સાદું રૂપ $T = \frac{1}{2}Ma$ મળે છે ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T$ ની કિંમત $(1)$ માં મુકતા:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$
$\alpha = \frac{a}{R}$ હોવાથી,$\alpha = \frac{2mg}{R(M + 2m)}$.
$t=0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા,$t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \alpha t = \frac{2mgt}{R(M + 2m)}$ થશે.

(A) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈ ધરાવતા પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ નાના ઘટકનું દળ $dm = (M/L) dx$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) x \omega^2 = (M/L) x \omega^2 dx$ છે.
નળીના બીજા છેડે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_0^L \frac{M}{L} \omega^2 x dx = \frac{M \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M \omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{ML\omega^2}{2}$.

(A) કોણીય વેગ $\omega(t) = \alpha - \beta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થ અટકે છે,ત્યારે કોણીય વેગ $\omega = 0$ થાય છે.
$\alpha - \beta t = 0$ લેતા,અટકવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\alpha}{\beta}$ મળે છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું સંકલન છે: $\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt$.
$\omega(t)$ નું પદ મૂકતા: $\theta = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
સંકલન કરતા: $\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2 = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{\alpha^2}{2\beta} = \frac{\alpha^2}{2\beta}$.
આમ,તે અટકે તે પહેલાં તેણે કાપેલ કોણ $\frac{\alpha^2}{2\beta}$ છે.

(B) ધારો કે $M = 2\,kg$ એ લટકાવેલું દળ છે,$R = 0.1\,m$ એ ફ્લાયવ્હીલની ત્રિજ્યા છે,અને $I = 0.1\,kg\cdot m^2$ એ તેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ધારો કે $a$ એ દળનો રેખીય પ્રવેગ છે અને $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે.
નીચે પડતા દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $Mg - T = Ma$ ...$(1)$
ફ્લાયવ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = T \cdot R = I \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
દોરી સરકતી ન હોવાથી,$a = R \alpha$,તેથી $T = \frac{I \alpha}{R}$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માં $T$ અને $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$Mg - \frac{I \alpha}{R} = M(R \alpha)$
$Mg = \alpha \left( \frac{I}{R} + MR \right) = \alpha \left( \frac{I + MR^2}{R} \right)$
$\alpha = \frac{MgR}{I + MR^2}$
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{2 \times 9.8 \times 0.1}{0.1 + 2 \times (0.1)^2} = \frac{1.96}{0.1 + 0.02} = \frac{1.96}{0.12} \approx 16.33\,rad/s^2$.

(D) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક સૂક્ષ્મ ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડનું દળ $dm = \frac{m}{l} dx$ છે.
આ ખંડને ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = \frac{m}{l} \omega^2 x dx$ છે.
આ બળ ખંડના બે છેડાઓ વચ્ચેના તણાવના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,એટલે કે $dF = T(x) - T(x+dx) = -dT$.
$x$ થી $l$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં $x=l$ પર તણાવ $T=0$ છે):
$\int_{T(x)}^{0} -dT = \int_{x}^{l} \frac{m}{l} \omega^2 x dx$.
$T(x) = \frac{m \omega^2}{l} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x}^{l} = \frac{m \omega^2}{l} \left( \frac{l^2 - x^2}{2} \right)$.
તેથી,$T = \frac{1}{2} \frac{m \omega^2}{l} (l^2 - x^2)$.

(A) ભ્રમણાક્ષથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{M}{L} dx$ છે.
આ ઘટક માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) x \omega^2 = \frac{M}{L} \omega^2 x dx$ છે.
બાહ્ય છેડા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = L$ સુધીના આ બળોનું સંકલન છે:
$F = \int_{0}^{L} dF = \int_{0}^{L} \frac{M}{L} \omega^2 x dx$
$F = \frac{M \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{M \omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{M \omega^2 L}{2}$.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m$ દળ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ $m$ દળની ગતિ ઉર્જા અને તકતીની ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} I\omega^{2}$
તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^{2}$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} MR^{2} \right) \left( \frac{v}{R} \right)^{2}$
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{4} Mv^{2}$
$mgh = v^{2} \left( \frac{2m + M}{4} \right)$
$v^{2} = \frac{4mgh}{2m + M}$
$v = \sqrt{\frac{4mgh}{2m + M}}$

(D) કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ એ અક્ષીય સદિશ છે. તેની દિશા હંમેશા વર્તુળાકાર ગતિના સમતલને લંબ હોય છે,જે ભ્રમણાક્ષને અનુરૂપ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો જમણા હાથની આંગળીઓને પરિભ્રમણની દિશામાં વાળવામાં આવે,તો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા દર્શાવે છે. આ આપેલી આકૃતિમાં સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ છે,જ્યાં સદિશ $\vec{\omega}$ એ ભ્રમણાક્ષ પર રહેલો છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળાની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ કુલ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા (ગોળાની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા + ડિસ્કની ચાકગતિ ઉર્જા) જેટલો હોય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mgh$
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
દોરી ડિસ્ક પર વીંટાળેલી હોવાથી,ગોળાનો રેખીય વેગ $v$ અને ડિસ્કની કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે.
ડિસ્કની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mr^2$ છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mr^2) \omega^2$
$v = r\omega$ મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2} m(r\omega)^2 + \frac{1}{4} mr^2 \omega^2$
$mgh = \frac{1}{2} mr^2 \omega^2 + \frac{1}{4} mr^2 \omega^2 = \frac{3}{4} mr^2 \omega^2$
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{4gh}{3r^2}$
$\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{g} = \Delta KE$
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
દોરી સરકતી ન હોવાથી,$v = \omega R$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) (\omega R)^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{\omega^{2}}{2} [(m_{1} + m_{2}) R^{2} + I]$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \sqrt{\frac{2(m_{1} - m_{2}) gh}{(m_{1} + m_{2}) R^{2} + I}}$

(N/A) દ્રઢ પદાર્થ એ કણોની એવી પ્રણાલી છે કે જેમાં કોઈપણ બે કણો વચ્ચેનું અંતર બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ પણ અચળ રહે છે.
$1$. દ્રઢ પદાર્થમાં,તેના તમામ ઘટક કણોના સાપેક્ષ સ્થાન સમય સાથે બદલાતા નથી.
$2$. દ્રઢ પદાર્થ એ એક આદર્શ ખ્યાલ (theoretical concept) છે,પરંતુ વાસ્તવિક દુનિયાની વસ્તુઓ જેવી કે સ્ટીલના બીમ અથવા પૈડાંને ઘણી વ્યવહારુ ગણતરીઓ માટે દ્રઢ પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય છે.
$3$. વિકૃત થઈ શકે તેવા ઘન પદાર્થથી વિપરીત,દ્રઢ પદાર્થને દબાવી,ખેંચી કે મરોડી શકાતો નથી.
$4$. ઉદાહરણ તરીકે: ફરતું પૈડું,ભમરડો અથવા સ્ટીલનો બીમ. ઘણા યાંત્રિક પ્રશ્નોમાં,આપણે નાની વિકૃતિઓ,કંપનો અથવા વળાંકને અવગણીને આ વસ્તુઓને દ્રઢ પદાર્થ તરીકે ગણીએ છીએ.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થ એટલે એવા કણોની સિસ્ટમ કે જેમાં કોઈપણ બે કણો વચ્ચેનું અંતર બાહ્ય બળો લાગવા છતાં અપરિવર્તિત રહે છે.
દ્રઢ પદાર્થનો આકાર અને કદ નિશ્ચિત હોય છે જે બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ બદલાતા નથી.
ઘન પદાર્થ એ દ્રવ્યની એવી અવસ્થા છે જેનો આકાર અને કદ નિશ્ચિત હોય છે,પરંતુ જ્યારે બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે તેનું વિરૂપણ (ખેંચાણ,દબાણ અથવા વળાંક) થઈ શકે છે.
મુખ્ય તફાવત એ છે કે દ્રઢ પદાર્થ એક આદર્શ ખ્યાલ છે જેમાં વિરૂપણ શૂન્ય હોય છે,જ્યારે ઘન પદાર્થ એ વાસ્તવિક દુનિયાની વસ્તુ છે જે સ્થિતિસ્થાપકતા અથવા પ્લાસ્ટિસિટી દર્શાવે છે,એટલે કે તેમાં વિરૂપણ થઈ શકે છે.
વ્યવહારમાં,કોઈ પણ વાસ્તવિક પદાર્થ સંપૂર્ણપણે દ્રઢ હોતો નથી; પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા બળો હેઠળ તમામ ઘન પદાર્થોમાં કંઈક અંશે વિરૂપણ જોવા મળે છે.

(N/A) ચાકગતિ એટલે દ્રઢ પદાર્થની એવી ગતિ જેમાં તેના તમામ કણો વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે અને આ તમામ વર્તુળોના કેન્દ્રો એક નિશ્ચિત સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે,જેને પરિભ્રમણની ધરી (axis of rotation) કહેવામાં આવે છે.
મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ:
$1$. પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
$2$. આ તમામ વર્તુળોના કેન્દ્રો એક જ રેખા પર હોય છે,જે પરિભ્રમણની ધરી બનાવે છે.
$3$. પરિભ્રમણની ધરી સ્થિર અથવા ગતિશીલ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ:
સીલિંગ ફેન (છતનો પંખો) ધ્યાનમાં લો. જ્યારે તે ફરે છે,ત્યારે પાંખિયા પરનો દરેક બિંદુ એક કેન્દ્રીય ઉભી ધરીની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. આ તમામ વર્તુળાકાર માર્ગોના કેન્દ્રો પંખાના સળિયા (પરિભ્રમણની ધરી) પર આવેલા હોવાથી,આ ચાકગતિનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં કુંભારનો ચાકડો,ભમરડો અને મેરી-ગો-રાઉન્ડનો સમાવેશ થાય છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થની કોઈ નિશ્ચિત અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિમાં,પદાર્થનો દરેક કણ એક વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જે અક્ષને લંબ સમતલમાં હોય છે અને તેનું કેન્દ્ર અક્ષ પર આવેલું હોય છે.
આકૃતિમાં,સંદર્ભ ફ્રેમની $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ દર્શાવેલ છે. ધારો કે $P_{1}$ એ દ્રઢ પદાર્થનો એક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલો કણ છે જે નિશ્ચિત અક્ષથી $r_{1}$ અંતરે છે. કણ $P_{1}$ એ $r_{1}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,જેનું કેન્દ્ર $C_{1}$ નિશ્ચિત અક્ષ પર છે. આ વર્તુળ અક્ષને લંબ સમતલમાં આવેલું છે.
દ્રઢ પદાર્થનો બીજો કણ $P_{2}$ એ નિશ્ચિત અક્ષથી $r_{2}$ અંતરે છે. કણ $P_{2}$ એ $r_{2}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,જેનું કેન્દ્ર $C_{2}$ અક્ષ પર છે.
$P_{1}$ અને $P_{2}$ દ્વારા વર્ણવેલા વર્તુળો અલગ-અલગ સમતલમાં હોઈ શકે છે,પરંતુ આ બંને સમતલો નિશ્ચિત અક્ષને લંબ હોય છે.
અક્ષ પરના કોઈપણ કણ માટે,જેમ કે $P_{3}$,$r_{3} = 0$ હોય છે. જ્યારે પદાર્થ ફરે છે ત્યારે આવા કણો સ્થિર રહે છે.
ભમરડાની ગતિમાં,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અક્ષ નિશ્ચિત ન પણ હોઈ શકે. ધારો કે ભમરડો એક નિશ્ચિત જગ્યાએ ફરે છે.

(B) દ્રઢ પદાર્થને એક આદર્શ પદાર્થ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં કોઈપણ બે કણો વચ્ચેનું અંતર,તેના પર લાગતા બાહ્ય બળને ધ્યાનમાં લીધા વિના,અચળ રહે છે.
દ્રઢ પદાર્થમાં,તેના ઘટક કણોના સાપેક્ષ સ્થાન બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ બદલાતા નથી.
જોકે કોઈ પણ વાસ્તવિક પદાર્થ સંપૂર્ણપણે દ્રઢ હોતો નથી,પરંતુ ઘણા પદાર્થો (જેમ કે સ્ટીલનો દડો અથવા લાકડાનો ટુકડો) ને મિકેનિક્સના હેતુ માટે દ્રઢ પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય છે.

(A) શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં,દ્રઢ પદાર્થનો દરેક કણ સમાંતર પથ પર ગતિ કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમયે,પદાર્થના તમામ કણોનો વેગ સદિશ સમાન હોય છે.
તેથી,કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થના દરેક કણનો વેગ સમાન હોય છે.

(N/A) ચાકગતિ એ પદાર્થની એવી ગતિ છે જેમાં તેના તમામ કણો એક નિશ્ચિત રેખા,જેને પરિભ્રમણની ધરી કહેવાય છે,તેની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
$1$. ચાકગતિ: જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થ નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે પદાર્થનો દરેક કણ એક વર્તુળમાં ગતિ કરે છે જેનું કેન્દ્ર ધરી પર હોય છે અને જેની ત્રિજ્યા તે કણનું ધરીથી લંબ અંતર હોય છે.
$2$. પરિભ્રમણની ધરી: પરિભ્રમણની ધરી એ એક નિશ્ચિત સીધી રેખા છે જેની આસપાસ દ્રઢ પદાર્થ ફરે છે. પદાર્થના તમામ કણો આ રેખાની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે,પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરે છે.

(A) જ્યારે ભમરડો સપાટી પર ફરે છે,ત્યારે તે એક અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ કરે છે.
આ ભ્રમણાક્ષ ભમરડાની અણી (જે જમીનના સંપર્કમાં છે) અને ભમરડાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ભમરડાની અણી જમીનના સંપર્કમાં હોવાથી અને ફરતી વખતે એક બિંદુ પર સ્થિર રહેતી હોવાથી,સંપર્ક બિંદુ સ્થિર રહે છે.
જોકે,ભ્રમણાક્ષ (અણી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા) પ્રિસેસનને કારણે સમય જતાં તેનું ઓરિએન્ટેશન બદલે છે.
તેથી,બિંદુ (અણી) સ્થિર રહે છે,જ્યારે રેખા (ભ્રમણાક્ષ) સ્થિર રહેતી નથી.

(N/A) શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ એ એક પ્રકારની ગતિ છે જેમાં દ્રઢ પદાર્થના તમામ કણો કોઈપણ આપેલ સમયે સમાન વેગ સાથે સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે.
આ પ્રકારની ગતિમાં,પદાર્થના દરેક કણનું સ્થાનાંતર સમાન હોય છે.
જો કોઈ પદાર્થ શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરતું હોય,તો તે કોઈપણ અક્ષની આસપાસ ફરતું નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર ફર્યા વગર નીચે સરકતો બ્લોક શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે છે.

(N/A) $1$. કોણીય સ્થાન: ફરતા દ્રઢ પદાર્થમાં રહેલા કણનું કોણીય સ્થાન એ આપેલ સમય $t$ પર પરિભ્રમણના સમતલમાં સંદર્ભ રેખા (સામાન્ય રીતે $x$-અક્ષ) સાથે બનાવેલા ખૂણા $\theta$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$2$. કોણીય સ્થાનાંતર: જ્યારે કોઈ કણ $\Delta t$ સમયના ગાળામાં $P$ થી $P^{\prime}$ સ્થાન પર જાય છે,ત્યારે તેના કોણીય સ્થાનમાં થતા ફેરફારને કોણીય સ્થાનાંતર કહેવાય છે,જેને $\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. કોણીય ઝડપ: સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\langle \omega \rangle$ એ કોણીય સ્થાનાંતર અને સમયના ગાળાનો ગુણોત્તર છે,$\langle \omega \rangle = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$. તત્કાલીન કોણીય ઝડપ $\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$ છે.
આકૃતિમાં,એક દ્રઢ પદાર્થ નિશ્ચિત અક્ષ $Oz$ ની આસપાસ ફરે છે. બધા કણો આ અક્ષને લંબ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $C$ કેન્દ્ર ધરાવતા $P$ બિંદુ પરના કણ માટે,$\Delta t$ સમયમાં કોણીય સ્થાનાંતર $\angle PCP^{\prime} = \Delta \theta$ છે.

કોણીય વેગ $(\vec{\omega})$ એ સદિશ રાશિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે તે મૂલ્ય અને ચોક્કસ દિશા બંને ધરાવે છે.
કોણીય વેગ સદિશની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને પદાર્થના પરિભ્રમણની દિશામાં વાળો, તો તમારો વિસ્તરેલો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશ $(\vec{\omega})$ ની દિશા દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે, જો જમણા હાથના સ્ક્રૂને પદાર્થના પરિભ્રમણની દિશામાં ફેરવવામાં આવે, તો સ્ક્રૂ જે દિશામાં આગળ વધે છે તે કોણીય વેગ સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ, કોણીય વેગ સદિશ હંમેશા પરિભ્રમણની ધરી પર હોય છે. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરતા પદાર્થ માટે, કોણીય વેગ બહારની તરફ (ધન) હોય છે, અને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પરિભ્રમણ માટે, તે અંદરની તરફ (ઋણ) હોય છે.

(N/A) ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે એક નિશ્ચિત અક્ષ (ધારો કે $Z$-અક્ષ) ની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
ધારો કે દ્રઢ પદાર્થનો એક કણ $P$ ભ્રમણ અક્ષથી $r_{\perp}$ જેટલા લંબ અંતરે છે.
જેમ પદાર્થ ભ્રમણ કરે છે,તેમ કણ $P$ એ $r_{\perp}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,જેનું કેન્દ્ર $C$ ભ્રમણ અક્ષ પર આવેલું છે.
નાના સમયગાળા $\Delta t$ માં,કણ વર્તુળના પરિઘ પર $\Delta s$ જેટલી ચાપની લંબાઈ કાપે છે,જે $\Delta \theta$ જેટલા કોણીય સ્થાનાંતરને અનુરૂપ છે.
ચાપની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અને ખૂણા વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta s = r_{\perp} \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુને $\Delta t$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\Delta s}{\Delta t} = r_{\perp} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ મળે છે.
જ્યારે $\Delta t \to 0$ થાય,ત્યારે ગુણોત્તર $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ એ રેખીય ઝડપ $v$ બને છે,અને $\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ એ કોણીય વેગ $\omega$ બને છે.
આમ,સંબંધ $v = r_{\perp} \omega$ છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ ભ્રમણ અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં કણનો સ્થાન સદિશ છે.

(A) જો કોઈ દ્રઢ પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોય,તો તે પદાર્થ નિશ્ચિત અક્ષ પર ભ્રમણ કરે છે તેમ કહેવાય.
આ વર્તુળાકાર માર્ગો એક જ સીધી રેખા પર કેન્દ્રિત હોય છે,જેને ભ્રમણાક્ષ કહેવામાં આવે છે.
આ ચકાસવા માટે,એ અવલોકન કરવું જરૂરી છે કે ગતિ દરમિયાન દરેક કણનું આ નિશ્ચિત રેખાથી અંતર અચળ રહે છે.
વધુમાં,દરેક કણ માટે ગતિનું સમતલ આ નિશ્ચિત રેખાને લંબ હોવું જોઈએ.

(C) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થનો કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ એ સદિશ રાશિ છે.
તેનું મૂલ્ય કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને ભ્રમણની દિશામાં વાળો,તો તમારો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,કોણીય વેગની દિશા હંમેશા ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોય છે.

(N/A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતી પદાર્થ માટે,કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ એ ભ્રમણ અક્ષની દિશામાં હોય છે.
$1$. મૂલ્ય: જો પદાર્થ કોણીય પ્રવેગ $(\alpha = d\omega/dt \neq 0)$ અનુભવે,તો કોણીય વેગનું મૂલ્ય $\omega$ સમય સાથે બદલાય છે. જો ભ્રમણ નિયમિત હોય,તો મૂલ્ય અચળ રહે છે.
$2$. દિશા: ભ્રમણ અક્ષ સ્થિર હોવાથી,કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા અચળ રહે છે (તે હંમેશા જમણા હાથના નિયમ મુજબ નક્કી થતી સ્થિર ભ્રમણ અક્ષની દિશામાં જ રહે છે).