Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થિર $Z$-અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. પદાર્થનો કોઈપણ કણ $P$,$Z$-અક્ષને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ધારો કે $t=0$ સમયે કણ $P$ નું કોણીય સ્થાન $\theta_{0}$ છે અને $t$ સમયે તે $\theta_{0}+\theta$ છે. આમ,$t$ સમયમાં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ થાય છે.
$1$. કોણીય વેગ $(\omega)$: કોણીય સ્થાનાંતરના સમય સાથેના ફેરફારના દરને કોણીય વેગ કહે છે.
$\omega = \frac{d\theta}{dt}$. તેની દિશા સ્થિર $Z$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી તેને અદિશ તરીકે લઈ શકાય છે.
$2$. કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$: કોણીય વેગના સમય સાથેના ફેરફારના દરને કોણીય પ્રવેગ કહે છે.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$. તેવી જ રીતે,તેને અદિશ તરીકે લઈ શકાય છે.
રેખીય ગતિના સમીકરણો (અચળ પ્રવેગ $a$ માટે):
$v = v_{0} + at$
$x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})$
ચાકગતિના સમીકરણો (અચળ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે):
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$
$\theta = \theta_{0} + \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}$
$\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha(\theta - \theta_{0})$
સામ્યતા કોષ્ટક:
| રેખીય ગતિ | ચાકગતિ |
| :--- | :--- |
| સ્થાનાંતર $(x)$ | કોણીય સ્થાનાંતર $(\theta)$ |
| પ્રારંભિક વેગ $(v_{0})$ | પ્રારંભિક કોણીય વેગ $(\omega_{0})$ |
| અંતિમ વેગ $(v)$ | અંતિમ કોણીય વેગ $(\omega)$ |
| પ્રવેગ $(a)$ | કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ |

(A) કોઈપણ તંત્રની સ્વતંત્રતાની માત્રા એટલે તે તંત્રની સ્થિતિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર યામોની સંખ્યા.
જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થ એક નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેની સ્થિતિ માત્ર એક જ યામ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે,જે તે અક્ષની સાપેક્ષે ભ્રમણકોણ $\theta$ છે.
આમ,ગતિનું વર્ણન કરવા માટે માત્ર એક જ સ્વતંત્ર ચલ $\theta$ ની જરૂર હોવાથી,સ્વતંત્રતાની માત્રા $1$ છે.

(B) દઢ પદાર્થની ચાકગતિ માટે રેખીય ચલો $\vec{r}$,$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ બધા જ કણો માટે અલગ-અલગ હોય છે; તેઓ સમાન હોતા નથી.
જુદા જુદા કણોના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અલગ હોય છે. તેથી,રેખીય વેગ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ પણ દરેક કણ માટે અલગ હોય છે.
જોકે કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ બધા કણો માટે સમાન હોય છે,પરંતુ રેખીય પ્રવેગ $|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{v^2}{r})^2 + (r\alpha)^2}$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે. દરેક કણ માટે $r$ અલગ હોવાથી,રેખીય પ્રવેગ બધા કણો માટે સમાન હોતો નથી.

(B) ચાકગતિ કરતા દઢ પદાર્થના બધા જ કણોનો કોણીય વેગ $\omega$ સમાન હોય છે.
અહીં,$\omega = 10 \, rad/s$ આપેલ છે.
ભ્રમણાક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા કણનો રેખીય વેગ $v = r \omega$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ભ્રમણાક્ષથી $r = 10 \, cm$ અંતરે આવેલા કણ માટે:
$v = 10 \, cm \times 10 \, rad/s = 100 \, cm/s$.

(B) રેખીય વેગ $v$,કોણીય વેગ $\omega$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r \omega$ છે.
પ્રથમ કણ માટે: $v_1 = 10 \ cm \ s^{-1}$ અને $r_1 = 2 \ cm$.
તેથી,$\omega = \frac{v_1}{r_1} = \frac{10}{2} = 5 \ rad \ s^{-1}$.
ચાકગતિ કરતાં દઢ પદાર્થના તમામ કણો ભ્રમણાક્ષની આસપાસ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરે છે.
તેથી,$4 \ cm$ અંતરે આવેલા કણનો કોણીય વેગ પણ $5 \ rad \ s^{-1}$ જ રહેશે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ એ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોય છે.
આ દિશા વર્તુળાકાર માર્ગના સમતલને લંબ હોય છે.
આ દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જેમાં જમણા હાથની આંગળીઓને ભ્રમણની દિશામાં વાળતા,અંગૂઠો ભ્રમણાક્ષની દિશા દર્શાવે છે.

(B) પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ ઓછી હોય છે.
પૃથ્વી માટે કોણીય ઝડપ:
$\omega_{e} = \frac{2 \pi}{24 \times 3600} \text{ rad/s}$.
ઘડિયાળના કલાક કાંટા માટે કોણીય ઝડપ:
$\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
બંનેની સરખામણી કરતા:
$\frac{\omega_{e}}{\omega_{h}} = \frac{12 \times 3600}{24 \times 3600} = \frac{1}{2}$.
આથી,$\omega_{e} = \frac{1}{2} \omega_{h}$,જે દર્શાવે છે કે $\omega_{e} < \omega_{h}$.

(A) બારણાને એક $rigid$ $body$ (દ્રઢ પદાર્થ) માનવામાં આવે છે. દ્રઢ પદાર્થમાં,બાહ્ય બળની અસર હેઠળ તેના ઘટક કણો વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર અચળ રહે છે. જ્યારે આપણે બારણું ખોલવા કે બંધ કરવા માટે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ (હેન્ડલ) પર બળ લગાડીએ છીએ,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક સમગ્ર પદાર્થને નિશ્ચિત અક્ષ (મીંજા) ની આસપાસ ભ્રમણ કરાવે છે. કણો દ્રઢતાથી જોડાયેલા હોવાથી,એક બિંદુ પર લગાડેલું બળ સમગ્ર પદાર્થમાં અસરકારક રીતે વહન પામે છે,તેથી દરેક વ્યક્તિગત કણ પર બળ લગાડવાની જરૂર રહેતી નથી.

(N/A) ચાકગતિ કરતી વસ્તુના કોઈ કણ માટે,ભ્રમણાક્ષથી $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા કણનો રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) જેટલો હોય છે.
આ સંબંધ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$.

(N/A) ભ્રમણ કરતા પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega$ એ તેના કોણીય સ્થાન $\theta$ ના સમય $t$ ની સાપેક્ષે બદલાવના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,$\theta-t$ આલેખનો ઢાળ કોણીય વેગ $\omega$ દર્શાવે છે.
રેખાનો ઢાળ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d\theta}{dt} > 0$.
પરંપરા મુજબ,કોણીય સ્થાનમાં ધન ફેરફાર ($\theta$ માં વધારો) એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-clockwise) ભ્રમણ સૂચવે છે.
તેથી,પદાર્થ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ભ્રમણ કરી રહ્યો છે.

(A) ધારો કે $m_1 = 1\, kg$ અને $m_2 = 0.5\, kg$. ગરગડીનું દળ $M = 2\, kg$ અને ત્રિજ્યા $R = 0.1\, m$ છે.
$m_1$ બ્લોક માટે જે $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે:
$m_1 g - T_1 = m_1 a \implies 10 - T_1 = a$ $...(I)$
$m_2$ બ્લોક માટે જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે:
$T_2 - m_2 g = m_2 a \implies T_2 - 5 = 0.5 a$ $...(II)$
ગરગડીના પરિભ્રમણ માટે:
$(T_1 - T_2) R = I \alpha = (\frac{1}{2} M R^2) (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2} M R a$
$T_1 - T_2 = \frac{1}{2} M a = \frac{1}{2} (2) a = a$ $...(III)$
સમીકરણ $(I), (II),$ અને $(III)$ નો સરવાળો કરતા:
$(10 - T_1) + (T_2 - 5) + (T_1 - T_2) = a + 0.5 a + a$
$5 = 2.5 a$
$a = \frac{5}{2.5} = 2\, m/s^2$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વજનની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની કુલ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે (પૈડાની ચાકગતિ ઉર્જા + વજનની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા).
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mgh$
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$
દોરી સરકતી ન હોવાથી,વજનનો રેખીય વેગ $v$ અને પૈડાનો કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \omega r$ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $v = \omega r$ મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m(\omega r)^2$
$mgh = \frac{1}{2} (I + mr^2) \omega^2$
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{2 mgh}{I + mr^2}$

(B) આપેલ છે કે ફ્લાયવ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
પ્રથમ સેકન્ડ $(t = 1 \, s)$ માટે,પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta_1 = 5 \, rad$ છે:
$5 = 0(1) + \frac{1}{2} \alpha (1)^2 \implies \alpha = 10 \, rad/s^2$.
હવે,પ્રથમ બે સેકન્ડ $(t = 2 \, s)$ માં કુલ પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો શોધીએ:
$\theta_2 = 0(2) + \frac{1}{2} (10) (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \, rad$.
આગામી સેકન્ડમાં ($t = 1$ થી $t = 2$ સુધી) પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો એ $2 \, s$ માં કુલ ખૂણો અને $1 \, s$ માં ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 20 - 5 = 15 \, rad$.

(D) $m = 2\,kg$ દળના નીચે પડતા બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$ ...........$(1)$
$M = 4\,kg$ દળની ફરતી તકતી માટે ટોર્કનું સમીકરણ: $TR = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$ ...........$(2)$
દોરી લપસતી ન હોવાથી,બ્લોકનો રેખીય પ્રવેગ $a$ અને તકતીનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ: $a = R\alpha$ અથવા $\alpha = \frac{a}{R}$ ...........$(3)$
સમીકરણ $(3)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $TR = \frac{1}{2}MR^2(\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$
અહીં $M = 4\,kg$ અને $m = 2\,kg$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{1}{2}(4)a = 2a$
$T = 2a$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $mg - 2a = ma \implies (2)(10) - 2a = 2a$
$20 = 4a \implies a = 5\,m/s^2$
હવે,તણાવ $T$ ની ગણતરી કરતા: $T = 2a = 2(5) = 10\,N$.

(A) દળ $m_1$ ની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ $m_1$ અને $m_2$ ની ગતિ ઊર્જા અને ગરગડીની ચાકગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેમજ $m_2$ ની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$m_1$ એ $h$ અંતર નીચે પડે છે,$m_2$ એ $h$ અંતર ઉપર જાય છે,$v$ એ બંને દળ જ્યારે એકબીજાને પસાર કરે છે ત્યારની ઝડપ છે,અને $\omega = \frac{v}{R}$ એ ગરગડીની કોણીય ઝડપ છે.
સમીકરણમાં $\omega = \frac{v}{R}$ મૂકતા:
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} v^2 \left(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}\right)$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$
આમ,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 0 \, rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega = 100 \, rev/s = 100 \times 2\pi \, rad/s = 200\pi \, rad/s$.
સમય,$t = 4 \, s$.
ભ્રમણ ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$200\pi = 0 + \alpha(4) \Rightarrow \alpha = 50\pi \, rad/s^2$.
હવે,કાપેલ કોણ $\theta$ એ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા મળે છે:
$\theta = 0(4) + \frac{1}{2} (50\pi) (4)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times 50\pi \times 16 = 400\pi \, rad$.
આમ,કાપેલ કોણ $400\pi$ રેડિયન છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોકની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્ર (બ્લોક + તકતી) ની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
બ્લોકની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $m g h$
બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} m v^2$
તકતીની ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m r^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4} m v^2$
ઉર્જાને સરખાવતા: $m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2$
$m g h = \frac{3}{4} m v^2$
$v^2 = \frac{4 g h}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 g h}{3}} = 2 \sqrt{\frac{g h}{3}}$

(D) આપેલ કોણીય વેગ $\omega = \frac{k}{\theta}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,તેથી $\frac{d\theta}{dt} = \frac{k}{\theta}$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,$\theta d\theta = k dt$ મળે.
$t = 0$ સમયે $\theta = 0$ ની પ્રારંભિક શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\theta} \theta d\theta = \int_{0}^{t} k dt$.
આથી $\frac{\theta^2}{2} = kt$ મળે.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,$\theta^2 = 2kt$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sqrt{2kt}$.

(A) ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે ખીલી $P$ સુધીની ત્રિજ્યા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવે છે. મિજાગરા $O$ થી ખીલીનું આડું અંતર $x = 2r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વ્યાસ શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે ખીલી $v_0$ ની અચળ ઝડપથી આડી ગતિ કરે છે,તેથી $v_0 = \frac{dx}{dt}$.
$x = 2r \sin \theta$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2r \cos \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$
કારણ કે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,તેથી:
$v_0 = 2r \cos \theta \cdot \omega$
$\omega = \frac{v_0}{2r \cos \theta}$
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\cos 60^{\circ} = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{v_0}{2r \cdot 0.5} = \frac{v_0}{r}$.

(B) કણની સ્થિતિ ઊર્જા $V(r) = \frac{kr^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(\frac{kr^2}{2}) = -kr$ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = kr$ છે. આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $kr = \frac{mv^2}{r}$.
$r = R$ આગળ,આપણને $kR = \frac{mv^2}{R}$ મળે છે,જે $v^2 = \frac{kR^2}{m}$ આપે છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{k}{m}} R$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} R$ અને $r = R$ મૂકતા,આપણને $L = m \left( \sqrt{\frac{k}{m}} R \right) R = \sqrt{mk} R^2$ મળે છે. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega$ છે. પરિભ્રમણીય ગતિનું સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$24$ પરિભ્રમણ પછી વેગ $\frac{\omega_0}{3}$ થાય છે.
$(\frac{\omega_0}{3})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(24 \times 2\pi) \implies \frac{\omega_0^2}{9} - \omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies -\frac{8}{9}\omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{\omega_0^2}{54\pi}$.
હવે,$\frac{\omega_0}{3}$ થી $0$ (સ્થિર) સુધીની ગતિ માટે,ધારો કે વધારાના પરિભ્રમણ $\theta_2$ છે.
$0^2 = (\frac{\omega_0}{3})^2 + 2\alpha(\theta_2 \times 2\pi) \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{9} + 2(-\frac{\omega_0^2}{54\pi})(2\pi\theta_2)$.
$0 = \frac{\omega_0^2}{9} - \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \frac{\omega_0^2}{9} = \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \theta_2 = \frac{13.5}{9} = 3$.
આમ,પંખો બીજા $3$ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) રેખીય વેગ $\vec{v}$ એ કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{v} = \hat{i} [(-4)(6) - (1)(-6)] - \hat{j} [(3)(6) - (1)(5)] + \hat{k} [(3)(-6) - (-4)(5)]$
$\vec{v} = \hat{i} [-24 + 6] - \hat{j} [18 - 5] + \hat{k} [-18 + 20]$
$\vec{v} = -18 \hat{i} - 13 \hat{j} + 2 \hat{k}$

(A) ધારો કે ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે અને બોબનો રેખીય વેગ $v$ છે. સરકણ ન હોવાથી,$v = R\omega$ થાય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: બોબની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો = બોબની ગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો + ડિસ્કની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ડિસ્ક માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સમીકરણમાં $I$ અને $v = R\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}m(R\omega)^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega^2$
$mgh = \frac{3}{4}mR^2\omega^2$
$gh = \frac{3}{4}R^2\omega^2$
$\omega^2 = \frac{4gh}{3R^2}$
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$.

(C) સ્થિર સ્થિતિ $(\omega_0 = 0)$ થી શરૂ થતી પરિભ્રમણ ગતિ માટેનું ગતિશાસ્ત્રનું સમીકરણ $\theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલ ખૂણો $\theta_n = \theta(n) - \theta(n-1) = \frac{1}{2} \alpha [n^2 - (n-1)^2] = \frac{1}{2} \alpha (2n - 1)$ દ્વારા મળે છે.
$2^{\text{nd}}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha (2(2) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (3) = 1.5 \alpha$.
$3^{\text{rd}}$ સેકન્ડ માટે $(n=3)$:
$\theta^{\prime} = \frac{1}{2} \alpha (2(3) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (5) = 2.5 \alpha$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{\theta}{\theta^{\prime}} = \frac{1.5 \alpha}{2.5 \alpha} = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5}$ થાય.

(A) આપેલ સંબંધ $v = r \omega$ છે.
ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થમાં,બધા જ કણો ભ્રમણાક્ષની આસપાસ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ભ્રમણ કરે છે.
જોકે કણનો રેખીય વેગ $v$ એ અક્ષથી તેના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે ($v = r \omega$ મુજબ),પરંતુ કોણીય વેગ $\omega$ એ સમગ્ર દ્રઢ પદાર્થના ભ્રમણનો ગુણધર્મ છે.
તેથી,પદાર્થના તમામ કણો માટે $\omega$ અચળ રહે છે,ભલે તેમનું અક્ષથી અંતર $r$ ગમે તે હોય.
આમ,$\omega$ એ $r$ પર આધારિત નથી.

(A) પૈડાનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_{0} = 0 \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ,$\omega = 10 \ rad/s$.
લીધેલ સમય,$t = 5 \ s$.
ચાકગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$
$10 = 0 + \alpha \times 5$
$\alpha = \frac{10}{5} = 2 \ rad/s^{2}$.
હવે,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધવા માટે ચાકગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
$\theta = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^{2}$
$\theta = 0 + 25 = 25 \ rad$.

(D) દરવાજાને ખોલવા કે બંધ કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ અચળ હોય છે અને તે બળ $F$ અને મિજાગરાથી અંતર $d$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\tau = F \times d$
અહીં, મુક્ત છેડા પર $(d = 1.6 \,m)$ $1 \,N$ બળ લગાડતા ટોર્ક $\tau = 1 \,N \times 1.6 \,m = 1.6 \,N-m$ મળે છે।
હવે, મિજાગરાથી $d' = 0.4 \,m$ અંતરે જરૂરી બળ $F'$ શોધવા માટે: $F' = \frac{\tau}{d'} = \frac{1.6 \,N-m}{0.4 \,m} = 4 \,N$.

(D) કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ નિયમ મુજબ,જો આપણે આપણા જમણા હાથની આંગળીઓને પંખાના પરિભ્રમણની દિશામાં વાળીએ,તો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ઉપરથી જોતા પંખો ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે.
ધરી $Z$-અક્ષ પર હોવાથી,પરિભ્રમણ $XY$-સમતલમાં થાય છે.
જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા,અંગૂઠો નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે ઋણ $Z$-દિશામાં છે.
તેથી,કોણીય વેગની દિશા $-\hat{k}$ ની સાથે છે.

(D) ધારો કે સળિયો તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. છેડા $A$ નો વેગ લઘુત્તમ થાય તે માટે,સળિયાને લંબ $A$ નો વેગ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$B$ નો સળિયાને લંબ વેગ ઘટક $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ} = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$ છે.
સૂત્ર $v_{B\perp} = v_{A\perp} + \omega L$ નો ઉપયોગ કરતા,અને $v_{A\perp} = 0$ લેતા:
$1.5 = 0 + \omega \times 0.5$
$\omega = \frac{1.5}{0.5} = 3 \ rad/s$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $3 \ rad/s$ ઉપલબ્ધ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે,કોણીય મંદન $\propto \sqrt{\omega}$.
તેથી,$-\frac{d\omega}{dt} = k\sqrt{\omega}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પદોની ગોઠવણી અને સંકલન કરતા: $-\int_{\omega_0}^{\omega} \omega^{-1/2} d\omega = \int_{0}^{t} k dt$.
$-[2\sqrt{\omega}]_{\omega_0}^{\omega} = kt \Rightarrow 2(\sqrt{\omega_0} - \sqrt{\omega}) = kt$.
$\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$.
જ્યારે $\omega = 0$ હોય,ત્યારે કુલ સમય $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$.
સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\langle \omega \rangle = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \omega dt$.
$\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$ હોવાથી,$\omega = (\sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2})^2 = \omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}$.
$\omega$ નું $0$ થી $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\tau} (\omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}) dt = [\omega_0 t + \frac{k^2t^3}{12} - \frac{kt^2}{2}\sqrt{\omega_0}]_{0}^{\tau}$.
$\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ મૂકતા:
$= \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} + \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k} - \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k}$.
અંતે,$\langle \omega \rangle = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}/3k}{2\sqrt{\omega_0}/k} = \frac{\omega_0}{3}$.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે,પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ છે અને નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે.
વજનબળ $mg$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
નીચે પડતા $m$ દળના પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma \quad \dots(1)$
પોલા નળાકારની ભ્રમણગતિ માટે,ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ મળે:
$\tau = TR = I\alpha$
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે અને રેખીય પ્રવેગ તથા કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a = R\alpha$ (અથવા $\alpha = a/R$) છે:
$TR = (mR^2)(a/R)$
$T = ma \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$mg - ma = ma$
$mg = 2ma$
$a = g/2$

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોક માટે: $mg - T = ma \Rightarrow 2g - T = 2a \Rightarrow T = 2(g - a) = 2(10 - a) = 20 - 2a$.
ગરગડી માટે: ટોર્ક $\tau = T \cdot R = I \alpha$.
કારણ કે $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $a = R\alpha$,તેથી $T \cdot R = (\frac{1}{2}MR^2) \cdot (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}Ma$.
અહીં $M = 2 \ kg$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a = a$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $20 - 2a = a \Rightarrow 3a = 20 \Rightarrow a = \frac{20}{3} \ m/s^2$.

(A) ધારો કે $M = 3 \ kg$ એ ફ્લાયવ્હીલનું દળ છે,$R = 5 \ m$ તેની ત્રિજ્યા છે,અને $m = 3 \ kg$ એ લટકતું દળ છે. ફ્લાયવ્હીલની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}MR^{2}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,લટકતા દળ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા એ સિસ્ટમ (ફ્લાયવ્હીલ + દળ) દ્વારા મેળવેલી કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
કારણ કે $v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$. $I$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
આપેલ છે કે $m = 3 \ kg, M = 3 \ kg, h = 3 \ m, g = 10 \ m/s^{2}$:
$3 \times 10 \times 3 = \frac{1}{4}(3)v^{2} + \frac{1}{2}(3)v^{2} = \frac{3}{4}v^{2} + \frac{2}{4}(3)v^{2} = \frac{9}{4}v^{2}$
$90 = \frac{9}{4}v^{2} \implies v^{2} = 40 \ m^{2}/s^{2}$.
ફ્લાયવ્હીલની ગતિઊર્જા $K.E._{flywheel} = \frac{1}{2}I\omega^{2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2}$.
$K.E._{flywheel} = \frac{1}{4} \times 3 \times 40 = 30 \ J$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 0.4 \ kg$,$m_2 = 0.35 \ kg$,$R = 0.02 \ m$,$s = 0.81 \ m$,$t = 9 \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$0.81 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (9)^2$
$0.81 = \frac{81}{2} \cdot a \implies a = 0.02 \ m/s^2$.
દળ માટે ગતિના સમીકરણો:
$m_1g - T_1 = m_1a$
$T_2 - m_2g = m_2a$
ગરગડી માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$(T_1 - T_2)R = I \alpha = I \cdot \frac{a}{R} \implies T_1 - T_2 = \frac{Ia}{R^2}$.
દળના સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(m_1 - m_2)g - (T_1 - T_2) = (m_1 + m_2)a$
$(m_1 - m_2)g - \frac{Ia}{R^2} = (m_1 + m_2)a$
$I = \frac{R^2}{a} [(m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2)a]$
$I = \frac{(0.02)^2}{0.02} [(0.4 - 0.35)(9.8) - (0.4 + 0.35)(0.02)]$
$I = 0.02 [0.05 \times 9.8 - 0.75 \times 0.02]$
$I = 0.02 [0.49 - 0.015] = 0.02 \times 0.475 = 0.0095 \ kg \cdot m^2 = 9.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$.

(C) ધારો કે રીમની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગરગડીની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ એ રીમ અને બે સળિયાનો બનેલો છે.
$I = I_{\text{rim}} + 2 \times I_{\text{rod}}$
$I = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{M(2r)^2}{12} \right) = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{4Mr^2}{12} \right) = Mr^2 + \frac{2}{3}Mr^2 = \frac{5}{3}Mr^2$.
ધારો કે બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T_1, T_2$ છે.
ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$Mg - T_2 = Ma$ ... $(1)$
$T_1 - mg = ma$ ... $(2)$
$(T_2 - T_1)r = I \alpha = I \left( \frac{a}{r} \right) \implies T_2 - T_1 = \frac{I}{r^2} a = \frac{5}{3}Ma$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$,અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M - m)g = (M + m + \frac{5}{3}M)a$
$(M - m)g = (\frac{8}{3}M + m)a$
$a = \frac{(M - m)g}{\frac{8}{3}M + m}$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$2m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$2m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $(2m)gh$.
$m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $mgh$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ચોખ્ખો ઘટાડો = $(2m)gh - mgh = mgh$.
આ ઉર્જા બે દળની ગતિ ઉર્જા અને ગરગડીની ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા = $K_{m} + K_{2m} + K_{pulley} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $I = \frac{1}{2}Mr^2 = \frac{1}{2}(30m)r^2 = 15mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,$K_{pulley} = \frac{1}{2}(15mr^2)(\frac{v^2}{r^2}) = 7.5mv^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mv^2 + 7.5mv^2 = 9mv^2$.
$v^2 = \frac{gh}{9} = \frac{10 \times 3.6}{9} = 4$.
$v = 2 \ m/s$.

(B) એક દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,સળિયો બાકી રહેલી દોરીના આધાર બિંદુની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે. આ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા વજન $mg$ ને કારણે છે,જે આધાર બિંદુથી $l/2$ અંતરે છે.
$\tau = mg \cdot \frac{l}{2}$
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{3}$ એ સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષે જડત્વની આઘૂર્ણ છે:
$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2l}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a_c = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ દ્વારા મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg - T = m a_c$
$T = mg - m \left(\frac{3g}{4}\right)$
$T = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4}$