Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Gujarati

(B) ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
ધાર પર લગાડવામાં આવતું સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક $\tau = F \times R$ આપે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(C) આપેલ કોણીય વેગ $\omega(t) = \alpha - \beta t$ છે.
સમય $t = 0$ પર,$\omega = \alpha$ છે.
જ્યારે $\omega(t) = 0$ થાય ત્યારે પદાર્થ સ્થિર થાય છે.
$\alpha - \beta t = 0 \implies t = \frac{\alpha}{\beta}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
$\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2$.
$\theta = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{1}{2} \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\alpha^2}{2 \beta}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.4 \,m$,દળ $M = 1 \,kg$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10 \,rad \,s^{-2}$.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \,m^2$.
ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = I \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tau = 0.08 \,kg \,m^2 \times 10 \,rad \,s^{-2} = 0.8 \,N \,m$.
કિનારી પર લાગતું સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક સાથે $\tau = F \times R$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.8 \,N \,m}{0.4 \,m} = 2 \,N$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.4 \,m$,દળ $M = 1 \,kg$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10 \,rad/s^2$.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1 \times (0.4)^2}{2} = \frac{0.16}{2} = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। વળી,કિનારી પર લાગતા સ્પર્શક બળ $F$ માટે,$\tau = RF$.
બંનેને સરખાવતા: $RF = I\alpha$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{0.08 \times 10}{0.4} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \,N$.

(A) આપેલ છે કે પૈડું શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
અચળ ટોર્ક $\tau$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ છે.
$t$ સમય પછી,કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right)t = \frac{\tau t}{I}$ થશે.
પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2} I \left(\frac{\tau t}{I}\right)^2 = \frac{1}{2} I \cdot \frac{\tau^2 t^2}{I^2} = \frac{\tau^2 t^2}{2 I}$ મળે છે.

(B) અક્ષથી $r$ અંતરે $F$ બળ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\tau = 25 \,N \times 0.4 \,m = 10 \,Nm$.
નક્કર નળાકારની તેની પોતાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ મળે.
$\alpha = \frac{10 \,Nm}{0.08 \,kg \cdot m^2} = 125 \,rad/s^2$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે અને સમાન કોણીય મંદન $\alpha$ છે.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 2\pi n$.
સમય $t$ પર,$\omega = \frac{\omega_0}{4}$.
તેથી,$(\frac{\omega_0}{4})^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n) \implies \frac{\omega_0^2}{16} = \omega_0^2 - 4\pi n\alpha$.
$4\pi n\alpha = \omega_0^2(1 - \frac{1}{16}) = \frac{15\omega_0^2}{16}$.
આમ,$2\alpha = \frac{15\omega_0^2}{32\pi n}$.
હવે,પંખો સ્થિર થાય ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0$ થાય.
ધારો કે પંખો બંધ કર્યા પછી સ્થિર થાય ત્યાં સુધીમાં કુલ $n'$ પરિભ્રમણ થાય છે.
$0^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n')$.
$2\alpha(2\pi n') = \omega_0^2$.
$2\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{15\omega_0^2}{32\pi n})(2\pi n') = \omega_0^2$.
$\frac{15n'}{16n} = 1 \implies n' = \frac{16n}{15}$.

(A) સળિયો એક છેડે ધરી પર રાખેલ છે. ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે ધરીથી $L/2$ અંતરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ધરી પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mg \cdot (L/2) \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$mg \frac{L}{2} \sin \theta = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{mg(L/2) \sin \theta}{mL^2/3} = \frac{mgL/2}{mL^2/3} \sin \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$.
આમ,કોણીય પ્રવેગ $\frac{3g \sin \theta}{2L}$ છે.

(C) આપેલ છે:
દળ $M = 25 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \ m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = 240 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad/s$,સમય $t = 20 \ s$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 8\pi}{20} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.5 \times 0.4\pi = 0.2\pi \ N \cdot m$.
ટોર્ક સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું હોવાથી,$\tau = F \times R$,તેથી $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(C) ટોર્ક $\tau$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે $\tau = I\alpha$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
બંને માટે ટોર્ક $\tau$ સમાન હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ દ્વારા મળે છે.
રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring}} = MR^2$ છે અને ડિસ્ક માટે $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}}$ હોવાથી,ડિસ્કનો કોણીય પ્રવેગ રિંગ કરતા વધારે હશે $(\alpha_{\text{disc}} > \alpha_{\text{ring}})$.
પરિણામે,સમાન સમયગાળા પછી ડિસ્ક રિંગની તુલનામાં વધુ કોણીય આવૃત્તિ (અથવા કોણીય વેગ) સાથે ફરશે.

(A) પાવર $(P)$ એ ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \tau \times \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $\tau = I \alpha$.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = (I \alpha) \times \omega$
કોણીય વેગ $(\omega)$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\omega = \frac{P}{I \alpha}$
$\omega = P(I \alpha)^{-1}$

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$ છે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$ અને $t = 20 \ s$ છે:
$0 = 8\pi - \alpha(20) \Rightarrow \alpha = \frac{8\pi}{20} = 0.4\pi \ rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં $M = 25 \ kg$ અને $R = 0.2 \ m$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau = F \cdot R$ પણ થાય છે,જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $F \cdot R = I \alpha
\Rightarrow F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{0.5 \times 0.4\pi}{0.2} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} = 4\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \ rad/s$.
લાગતો સમય $t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 4\pi}{10} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 0.05 \ kg \ m^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.05 \times 0.4\pi = 0.02\pi \ Nm$.
જેમ કે $\tau = F \times R$, તેથી બળ $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.02\pi}{0.1} = 0.2\pi \ N$.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = 1 \, J \cdot s$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = 4 \, J \cdot s$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 4 - 1 = 3 \, J \cdot s$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \, s$ છે.
તેથી, ટોર્ક $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3}{4} = 0.75 \, N \cdot m$ થાય.

(C) $1$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે: $\tau = I \alpha$,જે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ નું ભ્રમણકક્ષીય સમકક્ષ છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે: $\tau = p \times B$ (અથવા $\mu \times B$),જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્કને દર્શાવે છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે: સાચો સંબંધ $I = \frac{\tau}{\alpha}$ છે. આપેલ સંબંધ $I = \tau \times \alpha$ પરિમાણીય અને ભૌતિક રીતે ખોટો છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે: કોણીય વેગમાન માટે સાચો સંબંધ $L = I \omega$ છે. રેખીય વેગમાન $p = mv$ છે. સંબંધ $p = I \omega$ ભૌતિક રીતે ખોટો છે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં ખોટો સંબંધ પૂછવામાં આવ્યો છે અને $C$ અને $D$ બંને ખોટા છે,પરંતુ $C$ એ રોટેશનલ ડાયનેમિક્સની વ્યાખ્યાઓમાં સૌથી મૂળભૂત ભૂલ છે.

(A) આપેલ છે,વ્હીલની પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ,$f_0 = 1200 rpm = \frac{1200}{60} rps = 20 rps$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_0 = 2 \pi f_0 = 2 \pi \times 20 = 40 \pi rad/s$.
અંતિમ કોણીય આવૃત્તિ,$f = 3120 rpm = \frac{3120}{60} rps = 52 rps$.
અંતિમ કોણીય વેગ,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 52 = 104 \pi rad/s$.
લાગતો સમય,$t = 16 s$.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi rad/s^2$.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 2 \,kg$, ત્રિજ્યા $R = 1 \,m$, અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 10 \,rad/s$, સમય $t = 2 \,s$, પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
સૌ પ્રથમ, $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો:
$10 = 0 + \alpha(2) \implies \alpha = 5 \,rad/s^2$.
નક્કર ગોળાની તેની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}(2)(1)^2 = 0.8 \,kg \cdot m^2$ થાય.
ટોર્ક $\tau = I\alpha = 0.8 \times 5 = 4 \,N \cdot m$ મળે.
બળ $F$ સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું હોવાથી, $\tau = F \times R$ થાય.
તેથી, $F = \frac{\tau}{R} = \frac{4 \,N \cdot m}{1 \,m} = 4 \,N$.

(B) ફ્લાયવ્હીલનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ, $\omega_0 = 150 \text{ rev/minute}$.
તેને $\text{rad/s}$ માં ફેરવતા:
$\omega_0 = \frac{150 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 5\pi \text{ rad/s}$.
જ્યારે વ્હીલ સ્થિર થાય ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગ, $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
અચળ પ્રતિપ્રવેગ, $\alpha = -\pi \text{ rad/s}^2$ (ઋણ નિશાની ધીમા પડવાની સૂચક છે).
કોણીય ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$0 = 5\pi + (-\pi)t$.
$t = \frac{5\pi}{\pi} = 5 \text{ s}$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 0.8 \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.4 \ m$. દળ $M = 4 \ kg$. ટોર્ક $\tau = 2.56 \ N \ m$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.4)^2 = 2 \times 0.16 = 0.32 \ kg \ m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2.56}{0.32}$.
$\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$.

(C) કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે,જે $\tau = \frac{dL}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $L = I\omega$,તેથી $\frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha$ થાય.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 6 \ rad \ s^{-1}$
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 21 \ rad \ s^{-1}$
સમયગાળો $\Delta t = 1.5 \ s$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 100 \ g \ m^2 = 0.1 \ kg \ m^2$.
સૌ પ્રથમ,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t} = \frac{21 - 6}{1.5} = \frac{15}{1.5} = 10 \ rad \ s^{-2}$ ગણો.
હવે,કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર: $\frac{dL}{dt} = I \alpha = 0.1 \ kg \ m^2 \times 10 \ rad \ s^{-2} = 1 \ N \ m$ (અથવા $kg \ m^2 \ s^{-2}$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે:
પૈડાની ત્રિજ્યા,$r = 0.4 \,m$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 8 \,rad \,s^{-2}$
લટકાવેલ દળ,$m = 4 \,kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m \,s^{-2}$
ધાર પર લટકાવેલા દળના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = m \cdot g \cdot r$
વળી,ટોર્ક એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$\tau = I \cdot \alpha$
ટોર્ક માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$I \cdot \alpha = m \cdot g \cdot r$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I \cdot 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \cdot 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \,kg \,m^2$
તેથી,પૈડાની જડત્વની ચાકમાત્રા $2 \,kg \,m^2$ છે.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{dL}{dt}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = A_0$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 4 \,A_0$ આપેલ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \,s$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 4 \,A_0 - A_0 = 3 \,A_0$ છે.
તેથી, ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3 \,A_0}{4}$ થશે.

(A) આપેલ છે: પૈડાનું દળ $m = 20 \,kg$, ત્રિજ્યા $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 80 \,rpm = \frac{80 \times 2 \pi}{60} = \frac{8 \pi}{3} \,rad/s$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 5 \,rev = 5 \times 2 \pi = 10 \pi \,rad$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0$.
રોટેશનલ ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ:
$\alpha = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2 \theta} = \frac{0 - (8 \pi / 3)^2}{2 \times 10 \pi} = -\frac{64 \pi^2 / 9}{20 \pi} = -\frac{16 \pi}{45} \,rad/s^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau$ એ સ્પર્શક બળ $F$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે:
$\tau = I \alpha = F R$.
ચકતી માટે, $I = \frac{1}{2} m R^2$.
તેથી, $F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{1}{2} m R \alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 \times \left| -\frac{16 \pi}{45} \right| = 10 \times 0.3 \times \frac{16 \pi}{45} = 3 \times \frac{16 \pi}{45} = \frac{16 \pi}{15} \approx 1.06 \pi \,N$.

(B) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
અહીં કોણીય પ્રવેગ $\alpha = a$ આપેલ છે.
ભ્રમણ કરતી વસ્તુ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tau = I \alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = (\frac{1}{2} M R^2) \times a$ મળે.
તેથી,તકતી પર લાગતું ટોર્ક $\tau = \frac{M R^2 a}{2}$ થાય.

(D) $\text{આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા } I = 4 \,kg-m^2, \text{ટોર્ક } \tau = 8 \,N-m, \text{અને સમય } t = 20 \,s. \text{ પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ } \omega_0 = 0.
\text{સંબંધ } \tau = I \alpha \text{ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ } \alpha \text{ નીચે મુજબ મળે: }
\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{8}{4} = 2 \,rad/s^2.
\text{સમય } t \text{ માં કોણીય સ્થાનાંતર } \theta \text{ નીચે મુજબ મળે: }
\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \,rad.
\text{ટોર્ક દ્વારા થયેલું કાર્ય } W \text{ નીચે મુજબ મળે: }
W = \tau \theta = 8 \,N-m \times 400 \,rad = 3200 \,J.$

(B) આપેલ છે: દળ $M = 25 \,kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \,m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 240 \,rpm = \frac{240 \times 2 \pi}{60} \,rad/s = 8 \pi \,rad/s$,સમય $t = 20 \,s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \,rad/s$.
સૌ પ્રથમ,કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha$ શોધો:
$\alpha = \frac{\omega_i - \omega_f}{t} = \frac{8 \pi - 0}{20} = \frac{8 \pi}{20} = 0.4 \pi \,rad/s^2$.
ત્યારબાદ,ફ્લાયવ્હીલની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધો (તે તકતી છે તેમ ધારતા):
$I = M R^2 = 25 \times (0.2)^2 = 25 \times 0.04 = 1 \,kg \cdot m^2$.
છેલ્લે,ટોર્ક $\tau$ શોધો:
$\tau = I \alpha = 1 \times 0.4 \pi = 0.4 \pi \,Nm$.

(D) જ્યારે સળિયાના એક છેડે આઘાત $P$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું રેખીય વેગમાન $P = mv$ થાય છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = \frac{P}{m}$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય આઘાત $J = P \times \frac{L}{2}$ છે. કારણ કે $J = I\omega$,જ્યાં $I = \frac{mL^2}{12}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,તેથી $\omega = \frac{P(L/2)}{mL^2/12} = \frac{6P}{mL}$ મળે છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{P}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{6P}{mL}\right)^2$.
$K = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{36P^2}{m^2L^2}\right) = \frac{P^2}{2m} + \frac{3P^2}{2m} = \frac{4P^2}{2m} = \frac{2P^2}{m}$.

(B) અક્ષ $AB$ ની આસપાસ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ બે તકતીઓ અને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
દરેક તકતી માટે,અક્ષ $AB$ ડાબી તકતીના કેન્દ્રથી $10 \ \text{cm}$ $(R)$ અંતરે અને જમણી તકતીના કેન્દ્રથી $20 \ \text{cm}$ $(2R)$ અંતરે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{disc} = I_{cm} + md^2$.
ડાબી તકતી માટે: $I_1 = \frac{1}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{5}{4}mR^2$.
જમણી તકતી માટે: $I_2 = \frac{1}{4}mR^2 + m(2R)^2 = \frac{17}{4}mR^2$.
$L = 3R = 30 \ \text{cm}$ લંબાઈના સળિયા માટે,અક્ષ $AB$ એક છેડાથી $10 \ \text{cm}$ દૂરના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. $AB$ થી સળિયાના કેન્દ્રનું અંતર $d = 5 \ \text{cm} = R/2$ છે.
$I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(R/2)^2 = \frac{m(3R)^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{9mR^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{3mR^2}{4} + \frac{mR^2}{4} = mR^2$.
કુલ $I = I_1 + I_2 + I_{rod} = \frac{5}{4}mR^2 + \frac{17}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{22}{4}mR^2 + mR^2 = 5.5mR^2 + mR^2 = 6.5mR^2$.
આપેલ છે કે $m = 600 \ \text{g}$,$R = 10 \ \text{cm}$.
$I = 6.5 \times 600 \times (10)^2 = 6.5 \times 60000 = 390000 \ \text{g cm}^2 = 39 \times 10^4 \ \text{g cm}^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{43 \times 10^5}{39 \times 10^4} = \frac{430}{39} \approx 11.02 \ \text{rad/s}^2$.
આમ,કોણીય પ્રવેગ આશરે $11 \ \text{rad/s}^2$ છે.

(D) સળિયો નીચેના છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે ધરી પર રાખેલ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના છેડાથી $\frac{L}{2}$ અંતરે છે.
શરૂઆતમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી બિંદુથી $h_i = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ ઊંચાઈ પર છે.
જ્યારે સળિયો ટેબલને અથડાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી બિંદુ જેટલી જ સપાટી પર હોય છે,તેથી અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = 0$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta PE = Mg(h_f - h_i) = -Mg\frac{L}{6}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો એ પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જામાં વધારા બરાબર છે: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} I \omega^2$.
ધરી બિંદુની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ (જે છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે છે) સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $I = I_{cm} + M d^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2} - \frac{L}{3})^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
ઊર્જા સમીકરણમાં $I$ મૂકતા: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{9}) \omega^2$.
$Mg\frac{L}{6} = \frac{ML^2}{18} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{MgL}{6} \cdot \frac{18}{ML^2} = \frac{3g}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(A) કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે. તેથી,$\omega = \frac{L}{I}$.
પ્રથમ,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નું સ્થાન શોધો. ધારો કે $m$ દળ $x = 0$ પર છે અને $2m$ દળ $x = d$ પર છે. $CM$ નું સ્થાન $x_{cm} = \frac{m(0) + 2m(d)}{m + 2m} = \frac{2md}{3m} = \frac{2d}{3}$ છે.
$CM$ થી $m$ દળનું અંતર $r_1 = \frac{2d}{3}$ છે,અને $CM$ થી $2m$ દળનું અંતર $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ છે.
$CM$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(r_1)^2 + 2m(r_2)^2 = m(\frac{2d}{3})^2 + 2m(\frac{d}{3})^2$ છે.
$I = m(\frac{4d^2}{9}) + 2m(\frac{d^2}{9}) = \frac{4md^2 + 2md^2}{9} = \frac{6md^2}{9} = \frac{2}{3}md^2$.
કોણીય વેગના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $\omega = \frac{L}{\frac{2}{3}md^2} = \frac{3L}{2md^2}$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 1200\text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi\text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi\text{ rad/s}^2$.
નક્કર ગોળાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 5 \times (0.04\text{ m})^2 = 2 \times 0.0016 = 0.0032\text{ kg m}^2$.
લાગુ પાડેલ ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.0032 \times 4\pi = 0.0128\pi\text{ Nm}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 40\pi(10) + \frac{1}{2}(-4\pi)(10)^2 = 400\pi - 200\pi = 200\pi\text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$.