Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Gujarati

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના ભ્રમણીય સમકક્ષ મુજબ,દ્રઢ પદાર્થ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ સંબંધ $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
અહીં ટોર્ક $\tau$ અચળ છે અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,પદાર્થ કોણીય પ્રવેગ અનુભવે છે.

(A) ટોર્ક $(\tau)$,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tau = I \alpha$.
જડત્વની ચાકમાત્રા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $I = \frac{\tau}{\alpha}$.
આપેલ છે: $\tau = 31.4 \, N \cdot m$ અને $\alpha = 4\pi \, rad/s^2$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\alpha = 4 \times 3.14 = 12.56 \, rad/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{31.4}{12.56} = 2.5 \, kg \cdot m^2$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રા $2.5 \, kg \cdot m^2$ છે.

(B) ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $ \tau = I \alpha $ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $ I $ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $ \alpha $ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે બાહ્ય ટોર્ક $ \tau = 0 $ છે.
કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $ I $ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં, તેથી $ \alpha = 0 $ થાય.
આમ, તંત્રનો કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(C) આપેલ છે: પાવર $P = 100 \, kW = 100 \times 10^3 \, W$.
કોણીય ઝડપ $n = 1800 \, rpm = \frac{1800}{60} \, rev/s = 30 \, rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 30 = 60\pi \, rad/s$.
પાવર $P$,ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \tau \omega$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{100 \times 10^3}{60\pi} \, N-m$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\tau = \frac{100000}{188.495} \approx 530.5 \, N-m$,જે આશરે $531 \, N-m$ થાય છે.

(A) ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
અહીં કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 4A_0 - A_0 = 3A_0$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \ s$ છે.
તેથી,અચળ ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3A_0}{4}$ થશે.

(A) કોઈ નિશ્ચિત અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,પદાર્થ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે $\tau = I\alpha$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નું ભ્રમણીય સમકક્ષ સ્વરૂપ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ kg$,ત્રિજ્યા $r = 30 \ cm = 0.3 \ m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 10 \ rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0 \ rad/s$,સમય $t = 10 \ s$.
સૌ પ્રથમ,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ની ગણતરી કરો:
$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - 10}{10} = -1 \ rad/s^2$.
કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\alpha| = 1 \ rad/s^2$ છે.
હવે,પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધો:
$I = m r^2 = 10 \times (0.3)^2 = 10 \times 0.09 = 0.9 \ kg \cdot m^2$.
છેલ્લે,ટોર્ક $\tau$ ની ગણતરી કરો:
$\tau = I |\alpha| = 0.9 \times 1 = 0.9 \ N \cdot m$.

(C) આપેલ છે: જડત્વની આઘૂર્ણ $I = 2 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 60 \; rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \; rad/s = 2\pi \; rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \; rad/s$,સમય $t = 1 \; minute = 60 \; s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \; rad/s^2$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = |I \alpha| = 2 \times \left| -\frac{\pi}{30} \right| = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \; N \cdot m$.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 5 \times 10^{-3} \ kg \ m^2$, પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 20 \ rev/s$, અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 0 \ rev/s$, સમય $t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નીચે મુજબ મળે: $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{2\pi(n_2 - n_1)}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{2\pi(0 - 20)}{10} = -4\pi \ rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau$ નું મૂલ્ય $\tau = I|\alpha|$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = (5 \times 10^{-3}) \times (4\pi) = 20\pi \times 10^{-3} = 2\pi \times 10^{-2} \ N \ m$.
આમ, જરૂરી મૂલ્ય $2\pi$ છે.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 200 \, kg \cdot m^2$,ટોર્ક $\tau = 1000 \, N \cdot m$,સમય $t = 3 \, s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \, rad/s$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \, rad/s^2$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \, rad/s$.

(A) પૃથ્વીનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T}$ rad/s છે,જ્યાં $T = 86400 \, s$. અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0$ છે. લીધેલ સમય $t = 86400 \, s$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - \frac{2\pi}{86400}}{86400} = -\frac{2\pi}{(86400)^2} \, rad/s^2$ છે.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{2}{5}MR^2$ એ પૃથ્વીની જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક સાથે $\tau = FR$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{2}{5}MR\alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $M = 6 \times 10^{24} \, kg$,$R = 6.4 \times 10^6 \, m$,અને $\alpha = \frac{2\pi}{(86400)^2}$.
$F = \frac{2}{5} \times (6 \times 10^{24}) \times (6.4 \times 10^6) \times \frac{2\pi}{(86400)^2} \approx 1.3 \times 10^{22} \, N$.

(A) કોઈ પદાર્થ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ તેના કોણીય વેગમાન $L$ માં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = 2L$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = 5L$.
સમયગાળો $\Delta t = 3 \ s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{L_2 - L_1}{\Delta t} = \frac{5L - 2L}{3} = \frac{3L}{3} = L$.
આમ,પૈડાં પર લાગતા ટોર્કનું મૂલ્ય $L$ છે.

(A) આપેલ છે: ટોર્ક $\tau = 30 \, N \cdot m$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \, kg \cdot m^2$,સમય $t = 10 \, s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
સૌ પ્રથમ,$\tau = I\alpha$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{30}{2} = 15 \, rad/s^2$.
હવે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધવા માટે ચાકગતિના ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણનો ઉપયોગ કરો:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 15 \times (10)^2 = 0.5 \times 15 \times 100 = 750 \, rad$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સિવાયના કોઈ બિંદુ પર બળ લાગે છે,ત્યારે તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું બળ અને ટોર્ક બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
ન્યૂટનના રેખીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,રેખીય પ્રવેગ $a$ બદલાય છે.
ન્યૂટનના ભ્રમણ ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\tau = I\alpha$,ટોર્ક $\tau$ ને કારણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,રેખીય અને કોણીય બંને પ્રવેગ બદલાય છે.

(B) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં $K = 1500 \ J$ અને $I = 1.2 \ kg \cdot m^2$ આપેલ છે,તેથી:
$1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$
$1500 = 0.6 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$
$\omega = 50 \ rad/s$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha = 25 \ rad/s^2$:
$50 = 0 + 25 \times t$
$t = \frac{50}{25} = 2 \ s$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 20 \ rev/s$
અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 0 \ rev/s$
સમય $t = 20 \ s$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \times 20 = 40\pi \ rad/s$
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\pi n_2 = 0 \ rad/s$
ગતિના સમીકરણ $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 40\pi + \alpha(20)$
$\alpha = -\frac{40\pi}{20} = -2\pi \ rad/s^2$
આમ,કોણીય પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $2\pi \ rad/s^2$ છે.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 20 \ rev/s$,અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 0 \ rev/s$,સમય $t = 10 \ s$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \times 20 = 40\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\pi n_2 = 0 \ rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi \ rad/s^2$.
જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = I|\alpha|$ છે.
$\tau = (5 \times 10^{-3}) \times 4\pi = 20\pi \times 10^{-3} = 2\pi \times 10^{-2} \ N \cdot m$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x (\lambda_0 x) dx}{\int_{0}^{L} (\lambda_0 x) dx} = \frac{\lambda_0 [x^3/3]_0^L}{\lambda_0 [x^2/2]_0^L} = \frac{L^3/3}{L^2/2} = \frac{2L}{3}$.
સળિયાનું કુલ દળ $M$:
$M = \int_{0}^{L} \lambda_0 x dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2}$.
હિન્જ $O$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = \int x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 (\lambda_0 x) dx = \lambda_0 \int_{0}^{L} x^3 dx = \frac{\lambda_0 L^4}{4}$.
દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,હિન્જ $O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે:
$\tau = Mg \times X_{cm} = \left( \frac{\lambda_0 L^2}{2} \right) g \left( \frac{2L}{3} \right) = \frac{\lambda_0 g L^3}{3}$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_0 g L^3}{3} = \left( \frac{\lambda_0 L^4}{4} \right) \alpha$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{\lambda_0 g L^3}{3} \times \frac{4}{\lambda_0 L^4} = \frac{4g}{3L}$.

(A) મિજાગરાની સાપેક્ષ સળિયા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mg \cdot r_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ મિજાગરાથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ થાય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મિજાગરાથી $l/2$ અંતરે છે.
લંબ અંતર $r_{\perp} = \frac{l}{2} \cos(90^{\circ} - \theta) = \frac{l}{2} \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ કોણીય પ્રવેગ છે.
$mg \left( \frac{l}{2} \sin \theta \right) = I \alpha$.
$I = \frac{ml^2}{3}$ આપેલ હોવાથી:
$mg \frac{l}{2} \sin \theta = \left( \frac{ml^2}{3} \right) \alpha$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{mg \frac{l}{2} \sin \theta}{\frac{ml^2}{3}} = \frac{3g \sin \theta}{2l}$.
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\alpha = \frac{3g}{2l} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3g}{2\sqrt{2}l}$.

(A) ગરગડી પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot R = (20t - 5t^2) \cdot 2 = 40t - 10t^2 \ N \cdot m$ છે.
$\tau = I \alpha$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{40t - 10t^2}{10} = 4t - t^2 \ rad/s^2$ મળે.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
ગતિની દિશા ત્યારે ઉલટાય છે જ્યારે $\omega = 0$ ($t > 0$ માટે):
$2t^2 - \frac{t^3}{3} = 0 \Rightarrow t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0 \Rightarrow t = 6 \ s$.
હવે,$t = 0$ થી $t = 6$ સુધી $\omega$ નું સંકલન કરીને કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધીએ:
$\theta = \int_0^6 (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = [\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}]_0^6 = \frac{2(216)}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36 \ rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73$.
આમ,$5.73$ એ $3$ અને $6$ ની વચ્ચે હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્પેસ સ્ટેશનની તેના કેન્દ્રીય અક્ષની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
બે રોકેટ,જેમાંથી દરેક કેન્દ્રથી $R$ અંતરે $T$ જેટલો થ્રસ્ટ આપે છે,તે કુલ ટોર્ક $\tau = 2TR$ ઉત્પન્ન કરે છે.
કોણીય આવેગ-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,કોણીય આવેગ એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $\int \tau dt = L_f - L_i.$
ધારો કે સ્ટેશન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(L_i = 0)$,તેથી $2TRt = I\omega = MR^2\omega.$
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની નકલ કરવા માટે,કિનારી પરનો ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $g$ હોવો જોઈએ,તેથી $a_r = \omega^2R = g.$
કોણીય વેગ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત આવેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $2TRt = MR^2 \sqrt{\frac{g}{R}} = M\sqrt{gR^3}.$
સમય $t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{M\sqrt{gR^3}}{2TR} = \frac{M\sqrt{gR}}{2T}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 720 \text{ rpm} = \frac{720}{60} \text{ rev/s} = 12 \text{ rev/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \text{ rev/s}$.
લાગતો સમય $t = 8 \text{ s}$.
ટોર્ક અચળ હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ અચળ રહેશે,તેથી આપણે કુલ સ્થાનાંતર (પરિભ્રમણની સંખ્યા $\theta$) શોધવા માટે સરેરાશ કોણીય વેગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$\theta = \left( \frac{\omega + \omega_0}{2} \right) \times t$
$\theta = \left( \frac{0 + 12}{2} \right) \times 8$
$\theta = 6 \times 8 = 48 \text{ પરિભ્રમણ}$.

(D) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ને સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $\omega$ ના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે સમય સાથે કોણીય પ્રવેગમાં થતો ફેરફાર જાણી શકીએ છીએ,પરંતુ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ વિશે કોઈ માહિતી નથી.
પરિભ્રમણની દિશા કોણીય વેગ $\omega(t) = \omega_0 + \int \alpha dt$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે,અને $\omega_0$ અજ્ઞાત હોવાથી,માત્ર આપેલ આલેખ પરથી પરિભ્રમણની દિશા (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કે વિરુદ્ધ દિશામાં) નક્કી કરવી અશક્ય છે.
તેથી,આપેલ માહિતી પરિભ્રમણની દિશા નક્કી કરવા માટે અપૂરતી છે.

(A) ક્યુ (cue) દ્વારા આપવામાં આવતો આઘાત $J$ બોલને રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાન બંને આપે છે.
રેખીય વેગમાન: $J = mv_0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત: $\tau \Delta t = J \times h = I \omega_0$.
$J = mv_0$ મૂકતા,આપણને મળે છે $mv_0h = I \omega_0$.
ઘન ગોળાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $mv_0h = (\frac{2}{5}mr^2) \omega_0$.
$\omega_0$ માટે ઉકેલતા: $\omega_0 = \frac{mv_0h}{\frac{2}{5}mr^2} = \frac{5v_0h}{2r^2}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા સમાન અર્ધગોળાકાર વાટકાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ તેની વર્તુળાકાર ધારના કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે હોય છે.
જ્યારે ધાર પર સમક્ષિતિજ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે $COM$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = F \cdot (R/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધગોળાકાર વાટકાની તેની $COM$ માંથી પસાર થતી અને ધારને સમાંતર અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{COM} = I_{axis} - m(R/2)^2$ છે,જ્યાં $I_{axis} = (2/3)MR^2$ એ ધારના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આમ,$I_{COM} = \frac{2}{3}MR^2 - m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{3}MR^2 - \frac{1}{4}MR^2 = \frac{8-3}{12}MR^2 = \frac{5}{12}MR^2$.
સંબંધ $\tau = I_{COM} \cdot \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F \cdot \frac{R}{2} = \left(\frac{5}{12}MR^2\right) \alpha$
$\alpha = \frac{F \cdot R / 2}{5/12 \cdot MR^2} = \frac{F \cdot R}{2} \cdot \frac{12}{5MR^2} = \frac{6F}{5MR}$.

(A) ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = F \cdot R = I \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $F = (20t - 5t^2) \ N$,$R = 2 \ m$,અને $I = 10 \ kg \ m^2$.
$(20t - 5t^2) \cdot 2 = 10 \alpha \implies \alpha = 4t - t^2$.
કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટે $\alpha$ નું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધવા માટે $\omega$ નું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\theta = \int (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = \frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}$.
જ્યારે $\omega = 0$ થાય ત્યારે ગતિની દિશા ઉલટાય છે:
$2t^2 - \frac{t^3}{3} = 0 \implies t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0 \implies t = 6 \ s$.
$t = 6 \ s$ પર કોણીય સ્થાનાંતરની ગણતરી કરતા:
$\theta = \frac{2(6)^3}{3} - \frac{6^4}{12} = \frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73$.

(A) મૂળ સળિયાનું દળ $m$ અને લંબાઈ $2l$ છે. $l/2$ લંબાઈ (દળ $m/4$) કાપ્યા પછી,બાકી રહેલા સળિયાની લંબાઈ $3l/2$ અને દળ $3m/4$ છે. $l/2$ લંબાઈનો કાપેલો ટુકડો બાકી રહેલા સળિયાની ઉપર મૂકવામાં આવે છે. પીવટ મૂળ સળિયાના કેન્દ્રમાં છે.
પીવટની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = I_{\text{rod}} + I_{\text{piece}} = \left[ \frac{1}{12} \left( \frac{3m}{4} \right) \left( \frac{3l}{2} \right)^2 + \left( \frac{3m}{4} \right) \left( \frac{l}{4} \right)^2 \right] + \left[ \frac{1}{12} \left( \frac{m}{4} \right) \left( \frac{l}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{4} \right) \left( \frac{l}{4} \right)^2 \right]$
$= \frac{3m}{4} \left( \frac{3l^2}{16} + \frac{l^2}{16} \right) + \frac{m}{4} \left( \frac{l^2}{48} + \frac{l^2}{16} \right) = \frac{3m}{4} \left( \frac{4l^2}{16} \right) + \frac{m}{4} \left( \frac{4l^2}{48} \right) = \frac{3ml^2}{16} + \frac{ml^2}{48} = \frac{9ml^2 + ml^2}{48} = \frac{10ml^2}{48} = \frac{5ml^2}{24}$.
પીવટની આસપાસ ટોર્ક $\tau$:
$\tau = \left( \frac{3m}{4} \right) g \left( \frac{l}{4} \right) - \left( \frac{m}{4} \right) g \left( \frac{l}{4} \right) = \frac{2mg}{4} \cdot \frac{l}{4} = \frac{mgl}{8}$.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mgl}{8} = \left( \frac{5ml^2}{24} \right) \alpha \implies \alpha = \frac{mgl}{8} \cdot \frac{24}{5ml^2} = \frac{3g}{5l}$.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_{0} = 0\, rad/s$ (કારણ કે પૈડું સ્થિર છે).
કોણીય સ્થાનાંતર,$\theta = 200\, rad$.
સમય,$t = 5\, s$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
$\omega_{0} = 0$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\alpha = \frac{2 \theta}{t^{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{2 \times 200}{(5)^{2}} = \frac{400}{25} = 16\, rad/s^{2}$.

(A) મિજાગરા $B$ ની સાપેક્ષમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau$,જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર ($B$ થી $l/2$ અંતરે) લાગે છે,તે $\tau = mg \times \frac{l}{2}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau = I\alpha$,જ્યાં $I$ એ મિજાગરા $B$ ની સાપેક્ષમાં સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે $(I = \frac{ml^2}{3})$.
આમ,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mg(l/2)}{ml^2/3} = \frac{3g}{2l}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = \alpha r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = l/2$ એ મિજાગરાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
તેથી,$a = \left(\frac{3g}{2l}\right) \times \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{3}{4} g$.

(B) જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે મિજાગરાની સાપેક્ષ સળિયા પર લાગતું એકમાત્ર ટોર્ક સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે હોય છે.
મિજાગરાની સાપેક્ષ ટોર્ક $\tau = Mg \cdot \frac{L}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સમાન સળિયાની એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$Mg \cdot \frac{L}{2} = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$.

(C) આપેલ છે: પોલા નળાકારનું દળ $M = 3 \, kg$.
પોલા નળાકારની ત્રિજ્યા $R = 40 \, cm = 0.4 \, m$.
લાગતું બળ $F = 30 \, N$.
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = 30 \, N \times 0.4 \, m = 12 \, Nm$.
પોલા નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
$I = 3 \, kg \times (0.4 \, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48 \, kg \, m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12 \, Nm}{0.48 \, kg \, m^2} = 25 \, rad \, s^{-2}$.

(C) આપેલ છે: ડિસ્કનું દળ $M = 20 \, kg$,ત્રિજ્યા $R = 20 \, cm = 0.2 \, m$,બળ $F = 25 \, N$.
ફ્લાયવ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tau = 25 \, N \times 0.2 \, m = 5 \, N \cdot m$.
ડિસ્કની તેના કેન્દ્રીય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \, kg \cdot m^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$5 = 0.4 \times \alpha$.
$\alpha = \frac{5}{0.4} = 12.5 \, rad/s^2$.

(C) ફ્લાયવ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 10 \, N$ અને $r = 0.2 \, m$ આપેલ છે,તેથી $\tau = 10 \times 0.2 = 2 \, N \cdot m$ મળે.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ પરથી,જ્યાં $I = 0.4 \, kg \cdot m^2$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,આપણને $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2}{0.4} = 5 \, rad \cdot s^{-2}$ મળે છે.
ધારો કે ફ્લાયવ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(\omega_1 = 0)$,તો $t = 4 \, s$ સમય પછી કોણીય ઝડપ $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\omega_2 = 0 + (5 \times 4) = 20 \, rad \cdot s^{-1}$ થાય.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 50\,kg-m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 20\,rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0\,rad/s$,અને સમય $t = 10\,s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નીચે મુજબ મળે છે: $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 20}{10} = -2\,rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = I \alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 50 \times (-2) = -100\,N-m$.
પદાર્થને રોકવા માટે જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $100\,N-m$ છે.

(D) કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$
ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \left(\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}\right) + \left(\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}\right)$
કારણ કે વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ છે,તેથી પદ $\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}$ એ $\vec{v} \times (m\vec{v}) = 0$ બને છે,કારણ કે સમાંતર સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0 + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d\vec{L}}{dt} - \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = 0$ મળે છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ નું ભ્રમણીય સ્વરૂપ ટોર્ક,જડત્વની ચાકમાત્રા અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,ટોર્ક $\tau$ ને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\tau = I\alpha$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\tau = I\alpha$ છે.

(B) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સંબંધ $\tau = I \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (Moment of Inertia) છે. તેથી,$\alpha = \frac{\tau}{I}$.
બંને કિસ્સાઓમાં,ટોર્ક $\tau = F \times L$ સમાન છે,જ્યાં $L$ એ સ્કેલની કુલ લંબાઈ છે.
ધારો કે $m_w$ એ લાકડાના અડધા ભાગનું દળ છે અને $m_s$ એ સ્ટીલના અડધા ભાગનું દળ છે. સ્ટીલ લાકડા કરતાં વધુ ઘનતા ધરાવતું હોવાથી,$m_s > m_w$.
કિસ્સા $(a)$ માં,પીવટ લાકડાના ભાગના કેન્દ્રમાં છે. જડત્વની આઘૂર્ણ $I_a$ એ $O$ ની આસપાસ લાકડાના ભાગની અને $O$ ની આસપાસ સ્ટીલના ભાગની જડત્વની આઘૂર્ણનો સરવાળો છે.
કિસ્સા $(b)$ માં,પીવટ સ્ટીલના ભાગના કેન્દ્રમાં છે. જડત્વની આઘૂર્ણ $I_b$ એ $O'$ ની આસપાસ સ્ટીલના ભાગની અને $O'$ ની આસપાસ લાકડાના ભાગની જડત્વની આઘૂર્ણનો સરવાળો છે.
કારણ કે ભારે દળ (સ્ટીલ) કિસ્સા $(b)$ માં પીવટની નજીક છે,તેથી જડત્વની આઘૂર્ણ $I_b$ એ $I_a$ કરતા ઓછી છે $(I_b < I_a)$.
કારણ કે $\alpha \propto \frac{1}{I}$,ઓછી જડત્વની આઘૂર્ણ વધુ કોણીય પ્રવેગમાં પરિણમે છે. તેથી,$(b)$ માં વધુ કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે.

(A) આપેલ છે: જડત્વની આઘૂર્ણ $I = 5 \times 10^{-3} \, kg \, m^2$, પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 20 \, rev/sec$, સમય $t = 10 \, sec$, અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 2 \pi n = 2 \pi \times 20 = 40 \pi \, rad/sec$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega_f = \omega_i + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = 40 \pi + \alpha \times 10$ મળે છે.
આમ, કોણીય પ્રવેગ $\alpha = -4 \pi \, rad/sec^2$.
જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = |I \alpha| = 5 \times 10^{-3} \times 4 \pi = 20 \pi \times 10^{-3} = 2 \pi \times 10^{-2} \, N-m$ થાય.
તેથી, જરૂરી મૂલ્ય $2 \pi$ છે.

(B) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $\ell = 0.5\,m$ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરીથી $\frac{\ell}{2}$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $30^o$ ના ખૂણે હોય,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ સ્થિતિથી ઊંચાઈ $h = \frac{\ell}{2} \sin(30^o) = \frac{\ell}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\ell}{4}$ થાય.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ કોણીય ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg h = \frac{1}{2} I \omega^2$
જ્યાં $I = \frac{m\ell^2}{3}$ એ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$mg \left( \frac{\ell}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{m\ell^2}{3} \right) \omega^2$
$g \frac{\ell}{4} = \frac{\ell^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{6g}{4\ell} = \frac{3g}{2\ell}$
$g = 10\,ms^{-2}$ અને $\ell = 0.5\,m$ કિંમતો મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{3 \times 10}{2 \times 0.5} = \frac{30}{1} = 30$
$\omega = \sqrt{30}\,rad\,s^{-1}$.

(A) કિલકિત બિંદુ $P$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક $\tau$ એ બે દળોને કારણે લાગતા ટોર્કના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$\tau = (5M_0g)(l) - (2M_0g)(2l) = 5M_0gl - 4M_0gl = M_0gl$.
કિલકિત બિંદુ $P$ ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ બંને દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I = (5M_0)(l)^2 + (2M_0)(2l)^2 = 5M_0l^2 + 8M_0l^2 = 13M_0l^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha = \frac{M_0gl}{13M_0l^2} = \frac{g}{13l}$.

(A) કોણીય આવેગ એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$\tau \Delta t = \Delta L$
ટેબલની ધારને પીવટ પોઈન્ટ તરીકે લેતા,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = mg \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = I \omega$
સળિયો ધારની આસપાસ ફરે છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m\ell^2}{3}$ છે.
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = \frac{m\ell^2}{3} \omega$
$\omega = \frac{3g \Delta t}{2\ell} = \frac{3 \times 10 \times 0.01}{2 \times 0.3} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\, rad/s$
સળિયાને જમીન પર અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\, s$ છે.
આ સમય દરમિયાન સળિયા દ્વારા પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \omega t = 0.5 \times 1 = 0.5\, radian$ છે.

(D) તકતીની ચાકગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = K\theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે કોણીય વેગ $\omega$ ને નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ:
$\omega^2 = \frac{2K\theta^2}{I} \implies \omega = \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \quad \dots(1)$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાં થતો ફેરફાર છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right) = \sqrt{\frac{2K}{I}} \frac{d\theta}{dt}$
કારણ કે $\frac{d\theta}{dt} = \omega,$ સમીકરણ $(1)$ માંથી $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha = \sqrt{\frac{2K}{I}} \left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right)$
$\alpha = \frac{2K}{I}\theta.$

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.5\, kg\, m^2$,ચાકગતિ ઉર્જા $K = 1200\, J$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 20\, rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1200 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times \omega^2$.
$1200 = 0.75 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1200}{0.75} = 1600$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{1600} = 40\, rad/s$.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$40 = 0 + 20 \times t$.
$t = \frac{40}{20} = 2\, s$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5\,g = 5 \times 10^{-3}\,kg$,ત્રિજ્યા $r = 1\,cm = 10^{-2}\,m$,સમય $t = 5\,s$,અંતિમ આવૃત્તિ $f = 25\,rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 25 = 50\pi\,rad/s$.
અક્ષ $AB$ (તકતીને સ્પર્શક) ની આસપાસ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha = \frac{\omega}{t}$:
$\tau = I \times \frac{\omega}{t} = \left(\frac{3}{2}mr^2\right) \times \frac{\omega}{t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{3}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})^2 \times \frac{50\pi}{5}$.
$\tau = \frac{3}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times 10^{-4} \times 10\pi$.
$\tau = 7.5 \times 10^{-7} \times 10\pi = 7.5\pi \times 10^{-6} \approx 23.56 \times 10^{-6} = 2.356 \times 10^{-5}\,Nm$.
આપેલા વિકલ્પોને આધારે,સૌથી નજીકની કિંમત $2.0 \times 10^{-5}\,Nm$ છે.

(A) કોણીય વેગ $\omega(t) = \alpha - \beta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\omega(t) = 0$ થાય ત્યારે પદાર્થ સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha - \beta t = 0$,તેથી સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\alpha}{\beta}$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું સંકલન છે: $\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt$.
$\omega(t)$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $\theta = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\theta = [\alpha t - \frac{1}{2}\beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા: $\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2}\beta(\frac{\alpha}{\beta})^2 = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{\alpha^2}{2\beta} = \frac{\alpha^2}{2\beta}$.

(B) પાવર $(P)$, ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \tau \times \omega$.
આપેલ છે:
પાવર $(P) = 1.2 \, kW = 1200 \, W$.
કોણીય વેગ $(\omega) = 600 \, rad/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1200 = \tau \times 600$.
ટોર્ક $(\tau)$ માટે ગણતરી કરતા:
$\tau = \frac{1200}{600} = 2 \, N-m$.
તેથી, પથ્થર પર લાગતું અસરકારક ટોર્ક $2 \, N-m$ છે.

(D) પ્રતિરોધક ટોર્ક અચળ છે,તેથી કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha$ પણ અચળ રહેશે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $n$ પરિભ્રમણ માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1 = 2\pi n$ છે. અંતિમ કોણીય વેગ $\frac{\omega_0}{2}$ છે.
$\left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n) \implies \frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 4\pi n\alpha \implies 4\pi n\alpha = \frac{3\omega_0^2}{4} \implies \alpha = \frac{3\omega_0^2}{16\pi n} \quad ...(i)$
આગળના $\theta_2$ પરિભ્રમણ માટે (જ્યાં $\theta_2 = 2\pi n'$),ડિસ્ક સ્થિર થાય છે $(\omega = 0)$:
$0^2 = \left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 - 2\alpha(2\pi n') \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{4} - 4\pi n'\alpha \implies 4\pi n'\alpha = \frac{\omega_0^2}{4} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4\pi n'\alpha}{4\pi n\alpha} = \frac{\omega_0^2 / 4}{3\omega_0^2 / 4} \implies \frac{n'}{n} = \frac{1}{3} \implies n' = \frac{n}{3}$.
આમ,ડિસ્ક સ્થિર થતા પહેલા $\frac{n}{3}$ જેટલા વધુ પરિભ્રમણ કરશે.

(B) આપેલ છે: $r_1 = 0.05 \, m$,$r_2 = 0.30 \, m$,$I = 5100 \, kg \cdot m^2$.
વ્હીલ પર લાગતા બળો:
$1$. $10 \, N$ નું બળ $r_2$ પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે (ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક).
$2$. $9 \, N$ નું બળ $r_2$ પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે (ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક).
$3$. $12 \, N$ નું બળ $r_1$ પર સમક્ષિતિજ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે લાગે છે. તેનો લંબ ઘટક $12 \sin(30^\circ) = 12 \times 0.5 = 6 \, N$ છે (એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક).
કુલ ટોર્ક $\tau_{net} = (10 \times 0.30) + (9 \times 0.30) - (6 \times 0.05) = 3.0 + 2.7 - 0.3 = 5.4 \, N \cdot m$.
$\tau_{net} = I \alpha$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$5.4 = 5100 \times \alpha$
$\alpha = \frac{5.4}{5100} = \frac{54}{51000} \approx 1.058 \times 10^{-3} \, rad/s^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $10^{-3} \, rad/s^2$ છે.

(D) આપેલ છે:
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.20\, kg-m^2$
ત્રિજ્યા $r = 20\, cm = 0.2\, m$
બળ $F = 20\, N$
સમય $t = 5\, s$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$
પૈડા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = r \times F = 0.2\, m \times 20\, N = 4\, N-m$ છે.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{4}{0.20} = 20\, rad/s^2$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (20)(5) = 100\, rad/s$.