Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \, kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 60 \, rpm = 1 \, rps$,અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 0 \, rps$,અને સમય $t = 1 \, min = 60 \, s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $\tau = I \alpha = I \frac{\Delta \omega}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = I \frac{2\pi(n_2 - n_1)}{t}$.
$\tau = 2 \times \frac{2\pi(0 - 1)}{60} = \frac{-4\pi}{60} = -\frac{\pi}{15} \, N \cdot m$.
પૈડાને અટકાવવા માટે જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{15} \, N \cdot m$ છે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુને એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગ $\omega$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
ટોર્ક $\tau = 100\, Nm$
કોણીય ઝડપ $\omega = 100\, rad\, s^{-1}$
સૂત્ર $P = \tau \omega$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = (100\, Nm) \times (100\, rad\, s^{-1})$
$P = 10,000\, W$
કારણ કે $1\, kW = 1,000\, W$,તેથી:
$P = 10\, kW$.

(D) નળાકાર પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F = 20\,N$ અને $r = 0.5\,m$ છે.
$\tau = 20 \times 0.5 = 10\,N\cdot m$.
પોલા નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M r^2$ છે,જ્યાં $M = 5\,kg$ અને $r = 0.5\,m$ છે.
$I = 5 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25\,kg\cdot m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$10 = 1.25 \times \alpha$.
$\alpha = \frac{10}{1.25} = 8\,rad/s^2$.

(B) આપેલ છે: $r_1 = 0.05\,m$,$r_2 = 0.30\,m$,$I = 1500\,kg\cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau$ એ દરેક બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કનો સરવાળો છે:
$\tau = \tau_{10N} + \tau_{9N} - \tau_{12N}$
$\tau = (10 \times r_2) + (9 \times r_2) - (12 \times r_1 \times \cos(30^\circ))$
$\tau = (10 \times 0.3) + (9 \times 0.3) - (12 \times 0.05 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$\tau = 3 + 2.7 - (0.6 \times 0.866) = 5.7 - 0.5196 = 5.1804\,N\cdot m$.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{5.1804}{1500} \approx 0.00345\,rad/s^2 \approx 3.45 \times 10^{-3}\,rad/s^2$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $3 \times 10^{-3}\,rad/s^2$ છે.

(A) બેલ્ટના તણાવના તફાવતને કારણે પુલી પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = T_1 - T_2 = 135\,N - 45\,N = 90\,N$ છે.
મોટર પુલીની ત્રિજ્યા $r = 8\,cm = 0.08\,m$ છે.
બેલ્ટ પર મોટર દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F_{net} \times r = 90\,N \times 0.08\,m = 7.2\,Nm$ છે.
મોટરનો પાવર $P = \tau \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 200\,rad\,s^{-1}$ છે.
$P = 7.2\,Nm \times 200\,rad\,s^{-1} = 1440\,W$.
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા,$P = 1440 / 1000 = 1.44\,kW$.

(A) મિજાગરાવાળા છેડાને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = Mg \frac{L}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$Mg \frac{L}{2} = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$.
મીટર પટ્ટીની લંબાઈ $L = 1 \ m$ આપેલી હોવાથી,$L = 1$ મૂકતા:
$\alpha = \frac{3g}{2(1)} = \frac{3}{2} g \ rad/s^2$.

(B) મિજાગરાવાળા છેડાને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = \frac{5L}{6}$ છે.
$\tau = \left( \frac{Mg}{2} \right) \times \left( \frac{5L}{6} \right) = \frac{5MgL}{12}$.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{5MgL}{12} \times \frac{3}{ML^2}$.
$\alpha = \frac{5g}{4L}$.

(B) જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે મિજાગરા $P$ ની સાપેક્ષમાં સળિયા પર લાગતું એકમાત્ર ટોર્ક સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ એ મિજાગરા $P$ થી $L/2$ અંતરે લાગે છે.
મિજાગરા $P$ ની સાપેક્ષમાં ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tau = Mg \times \frac{L}{2}$
સળિયાના છેડા $P$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે:
$I = \frac{ML^2}{3}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના ચાકગતિના સમીકરણ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$Mg \times \frac{L}{2} = \left(\frac{ML^2}{3}\right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટેના ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = L_0$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 4L_0$ આપેલ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \ s$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 4L_0 - L_0 = 3L_0$ છે.
તેથી,અચળ ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3L_0}{4}$ થશે.

(B) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 720 \, rpm = \frac{720 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 24\pi \, rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0 \, rad/s$.
લાગતો સમય $t = 8 \, s$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રતિપ્રવેગ છે:
$0 = 24\pi - \alpha(8) \implies \alpha = \frac{24\pi}{8} = 3\pi \, rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau$ નું મૂલ્ય $\tau = I\alpha$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $I = \frac{24}{\pi} \, kg \cdot m^2$,તેથી:
$\tau = \left(\frac{24}{\pi}\right) \times (3\pi) = 72 \, N \cdot m$.

(A) કણ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
દળ $m = 2\, kg$,સ્થાન $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v} dt = (4\hat{i} - 2\hat{j}) + \int_0^t (2t^2\hat{i}) dt = (4 + \frac{2}{3}t^3)\hat{i} - 2\hat{j}$.
વેગ $\vec{v}(t) = 2t^2\hat{i}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m [((4 + \frac{2}{3}t^3)\hat{i} - 2\hat{j}) \times (2t^2\hat{i})] = 2 [0 - 2\hat{j} \times 2t^2\hat{i}] = 2 [4t^2\hat{k}] = 8t^2\hat{k}$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^2\hat{k}) = 16t\hat{k}$.
$t = 2\, s$ સમયે,$\vec{\tau} = 16(2)\hat{k} = 32\hat{k}\, N\cdot m$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.2\, m$,દળ $M = 5\, kg$,કોણીય વેગ $\omega = 2 + 6t$.
સૌ પ્રથમ,સમય $t$ ની સાપેક્ષે $\omega$ નું વિકલન કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 6t) = 6\, rad/s^2$.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.2)^2 = 0.5 \times 5 \times 0.04 = 0.1\, kg \cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha = 0.1 \times 6 = 0.6\, N \cdot m$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\tau = F \times R$,તેથી સ્પર્શક બળ $F$:
$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.6}{0.2} = 3\, N$.

(B) ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાન $L$ ના સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર: $\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 1\,J\cdot s$
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 5\,J\cdot s$
સમયગાળો $\Delta t = 5\,s$
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 5\,J\cdot s - 1\,J\cdot s = 4\,J\cdot s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{4\,J\cdot s}{5\,s} = 0.8\,N\cdot m$.
આમ,ટોર્ક $0.8\,N\cdot m$ છે,જે $\frac{4}{5}\,N\cdot m$ ની બરાબર છે.

(D) ટોર્ક $(\tau)$,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = I \alpha$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $(\tau)$ = $31.4 \, Nm$
કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ = $4\pi \, rad/s^2$
$\pi \approx 3.14$ ની કિંમત લેતા,$\alpha = 4 \times 3.14 = 12.56 \, rad/s^2$ મળે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$31.4 = I \times 12.56$
$I = \frac{31.4}{12.56} = 2.5 \, kg \cdot m^2$.

(B) આપેલ છે કે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_0 = 1.3 \, rev/sec$. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 1.3 = 2.6\pi \, rad/s$ છે.
તકતી સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \, rad/s$ અને સમય $t = 30 \, s$ છે.
કોણીય ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 2.6\pi + \alpha \times 30$.
$\alpha = - \frac{2.6\pi}{30} \approx - \frac{2.6 \times 3.14}{30} \approx - 0.27 \, rad/s^2$.
ઋણ નિશાની મંદન સૂચવે છે,તેથી કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય આશરે $0.27 \, rad/s^2$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2\; kg$,ત્રિજ્યા $R = 4\; cm = 0.04\; m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 3\; rpm = \frac{3 \times 2\pi}{60} = \frac{\pi}{10}\; rad/s$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2\pi \text{ પરિભ્રમણ} = 2\pi \times 2\pi = 4\pi^2\; rad$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (\frac{\pi}{10})^2 - 2\alpha(4\pi^2)$
$8\alpha\pi^2 = \frac{\pi^2}{100} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{800}\; rad/s^2$.
નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.04)^2 = 0.0016\; kg\cdot m^2$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha = 0.0016 \times \frac{1}{800} = 2 \times 10^{-6}\; Nm$.

(B) ધારો કે $m$ અને $r$ એ પોલા નળાકાર અને નક્કર ગોળા બંનેના દળ અને ત્રિજ્યા છે.
પોલા નળાકારની તેની પ્રમાણિત અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{c} = m r^{2}$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{s} = \frac{2}{5} m r^{2}$ છે.
આપણે સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે,$I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
બંને માટે લાગુ પાડવામાં આવેલ ટોર્ક $\tau$ સમાન હોવાથી,$\alpha = \frac{\tau}{I}$ મળે.
આમ,$\alpha \propto \frac{1}{I}$.
$I_{c} = m r^{2}$ અને $I_{s} = 0.4 m r^{2}$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $I_{s} < I_{c}$.
તેથી,$\alpha_{s} > \alpha_{c}$.
સંબંધ $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 0$ માટે,આપણને $\omega = \alpha t$ મળે છે.
$\alpha_{s} > \alpha_{c}$ હોવાથી,કોઈપણ આપેલા સમય $t$ માટે $\omega_{s} > \omega_{c}$ થશે.
આમ,નક્કર ગોળો વધુ કોણીય ઝડપ પ્રાપ્ત કરશે.

(A) પોલા નળાકારનું દળ,$m = 3\; kg$.
પોલા નળાકારની ત્રિજ્યા,$r = 40\; cm = 0.4\; m$.
લાગતું બળ,$F = 30\; N$.
પોલા નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 3 \times (0.4)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\; kg\; m^2$.
ટોર્ક,$\tau = F \times r = 30 \times 0.4 = 12\; Nm$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નીચે મુજબ મળે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12}{0.48} = 25\; rad\; s^{-2}$.
રેખીય પ્રવેગ $a$ એ $a = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 0.4 \times 25 = 10\; m\; s^{-2}$.

કોણીય પ્રવેગ એટલે પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુના કોણીય વેગમાં સમય સાથે થતો ફેરફાર.
તેને $\alpha$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તે એક સદિશ રાશિ છે.
કોણીય પ્રવેગનો $SI$ એકમ $\text{rad/s}^2$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-2}]$ છે.
જો પરિભ્રમણની ધરી નિશ્ચિત હોય,તો કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ અને કોણીય પ્રવેગ સદિશ $\vec{\alpha}$ ની દિશા અચળ રહે છે. આ પરિસ્થિતિમાં,કોણીય પ્રવેગને અદિશ રાશિ તરીકે ગણી શકાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$. કારણ કે કોણીય વેગ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ છે,તેથી કોણીય પ્રવેગને કોણીય સ્થાનાંતરના દ્વિતીય વિકલન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$.

કણના કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} + \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}$ મળે છે.
અહીં $\frac{d\vec{p}}{dt}$ એ રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે બળ $\vec{F}$ બરાબર છે અને $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ છે,તેથી $\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} + \vec{v} \times \vec{p}$ થાય.
કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{p}$ એક જ દિશામાં છે,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{p} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}$ મળે છે.
આમ,કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સમય દર એ કણ પર લાગતા ટોર્ક જેટલો હોય છે.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના સમય સાથેના ફેરફારનો દર $\frac{dL}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ભ્રમણગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,કોઈ સિસ્ટમ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાનના સમય સાથેના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$\tau = \frac{dL}{dt}$.
તેથી,કોણીય વેગમાનના સમય સાથેના ફેરફારના દર દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી ભૌતિક રાશિ ટોર્ક છે.

(N/A) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ચાકગતિ કરતા કણોના તંત્ર માટે,ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સંબંધ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau_{ext} = I \alpha$
જ્યાં:
- $\tau_{ext}$ એ પરિભ્રમણની અક્ષની આસપાસ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક છે.
- $I$ એ તે જ અક્ષની આસપાસ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા (Moment of Inertia) છે.
- $\alpha$ એ તંત્રનો કોણીય પ્રવેગ છે.
આ સમીકરણ રેખીય ગતિ માટેના ન્યૂટનના બીજા નિયમ $(F = ma)$ નું ચાકગતિનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ પર થતા કાર્યનો દર તેની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારાના દર જેટલો હોય છે. ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારાનો દર:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} I \omega^{2} \right)$
$P = \frac{1}{2} I \frac{d}{dt} (\omega^{2})$
દ્રઢ પદાર્થ માટે $I$ અચળ હોવાથી:
$P = \frac{1}{2} I \times 2 \omega \frac{d\omega}{dt}$
$P = I \omega \alpha$,જ્યાં $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક દ્વારા અપાતો પાવર $P = \tau \omega$ છે.
પાવર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\tau \omega = I \omega \alpha$
$\tau = I \alpha$
આ સમીકરણ રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ નું ચાકગતિનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે. આમ,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ લાગુ પાડેલા ટોર્ક $\tau$ ના સમપ્રમાણમાં અને પદાર્થની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
તે મુજબ,ભ્રમણાક્ષની આસપાસ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક $\tau_{ext}$,તે અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને તેના કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે: $\tau_{ext} = I \alpha$.

(N/A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{L}_{z} + \vec{L}_{\perp}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{L}_{z}}{dt} + \frac{d\vec{L}_{\perp}}{dt}$.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ હોવાથી,અક્ષને લંબ કોણીય વેગમાનનો ઘટક $\vec{L}_{\perp}$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{d\vec{L}_{\perp}}{dt} = 0$.
અક્ષની દિશામાં કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}$ જેટલો હોય છે,તેથી $\frac{d\vec{L}_{z}}{dt} = \vec{\tau}$.
આમ,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$.
જ્યાં $\vec{L}_{z} = I\omega\hat{k}$,જેમાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે:
$\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(I\omega\hat{k}) = I\frac{d\omega}{dt}\hat{k}$.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ હોવાથી,આપણને $\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ મળે છે.
અદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\tau = I\alpha$ છે,જે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નું ભ્રમણ ગતિ માટેનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે.

(B) કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો સમયદર એ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$
જ્યાં $\vec{L}$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $\vec{\tau}$ એ બાહ્ય ટોર્ક છે.

(A) ટોર્કનું મૂલ્ય $0$ છે।
જ્યારે પદાર્થ અચળ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતો હોય, ત્યારે કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 0$ થાય છે।
ટોર્કનું સૂત્ર $\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ હોવાથી, જો $\alpha = 0$ હોય, તો $\vec{\tau} = 0$ થાય।
વૈકલ્પિક રીતે, નિયમિત વર્તુળ ગતિમાં, પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ એ કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}_{c}$ છે જે કેન્દ્રની દિશામાં હોય છે।
ટોર્કની વ્યાખ્યા $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે। કેન્દ્રગામી બળ એ ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં (અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં) હોવાથી, $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ થાય છે।
તેથી, $|\vec{\tau}| = rF \sin(0^{\circ} \text{ અથવા } 180^{\circ}) = 0$।

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $(a)$ ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા મળે છે:
$a = \frac{F}{m} = \frac{20 \, N}{2 \, kg} = 10 \, m/s^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ ટોર્ક $(\tau)$ એ $\tau = F \times d$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી બળની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર છે. જો બળ $F$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતું હોય,તો લંબ અંતર $d = 0$ થાય.
તેથી,$\tau = F \times 0 = 0$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$0 = I \alpha \implies \alpha = 0 \, rad/s^2$.
જો કે,જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે બળ પરિઘ પર (સ્પર્શકની દિશામાં) લગાડવામાં આવે છે,તો $\tau = F \times r = 20 \times 0.1 = 2 \, N \cdot m$.
ઘન તકતી માટે,$I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.01 \, kg \cdot m^2$.
તેથી $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2}{0.01} = 200 \, rad/s^2$.
ગુણોત્તર $\frac{a}{\alpha} = \frac{10}{200} = \frac{1}{20}$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 20\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2\, m$,બળ $F = 20\, N$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 0$,અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 50\, rad/s$.
બળ $F$ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot R$ છે.
તકતીના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$:
$\alpha = \frac{F \cdot R}{\frac{1}{2} mR^2} = \frac{2F}{mR} = \frac{2 \times 20}{20 \times 0.2} = \frac{2}{0.2} = 10\, rad/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(50)^2 = 0^2 + 2(10)\Delta\theta$
$2500 = 20\Delta\theta$
$\Delta\theta = 125\, rad$.
એક પરિભ્રમણ એટલે $2\pi \approx 6.28\, rad$ હોવાથી,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$:
$n = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{125}{6.28} \approx 19.90$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$n = 20$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$,દળ $M = 10 \, \text{kg}$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 600 \, \text{rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} \, \text{rad/s} = 20\pi \, \text{rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \, \text{rad/s}$,સમય $\Delta t = 10 \, \text{s}$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, \text{kg m}^2$ છે.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{I(\omega_f - \omega_i)}{\Delta t}$ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\tau| = \frac{0.2 \times (20\pi - 0)}{10} = \frac{4\pi}{10} = 0.4\pi = 4\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ મળે.
$x\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ સાથે સરખાવતા,$x = 4$ મળે છે.

(A) લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot r = (12t - 3t^2) \cdot 1.5 = 18t - 4.5t^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$18t - 4.5t^2 = 4.5\alpha$,તેથી $\alpha = 4t - t^2$ મળે.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ હોવાથી,કોણીય વેગ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
જ્યારે $\omega = 0$ થાય ત્યારે ગતિની દિશા ઉલટાય છે,તેથી $t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0$,જેનો ઉકેલ $t = 6\,s$ મળે છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \int_{0}^{6} (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = [\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}]_{0}^{6} = \frac{2(216)}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36\,rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi}$ છે.
$\frac{K}{\pi}$ સાથે સરખાવતા,$K = 18$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
કાર્ય $W = P \cdot t$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
$v = r \omega$ હોવાથી,$P t = \frac{1}{2} m (r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$.
તેથી,$\omega^2 = \frac{2 P t}{m r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot t^{1/2}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot t^{1/2} \right)$.
$\alpha = \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2}$.
તેથી,$\alpha \propto t^{-1/2}$ અથવા $\alpha \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.

(A) આપેલ છે:
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 3 \, rad/s^2$
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 10 \, rad/s$
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 20 \, rad/s$
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega_2^2 = \omega_1^2 + 2 \alpha \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(20)^2 = (10)^2 + 2 \times 3 \times \theta$
$400 = 100 + 6 \theta$
$300 = 6 \theta$
$\theta = \frac{300}{6} = 50 \, rad$
આમ,પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $50 \, rad$ છે.

(A) આપેલ છે:
જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 2 \, kg \cdot m^2$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_0 = 30 \, rad/s$
અંતિમ કોણીય વેગ,$\omega_f = 0 \, rad/s$
અટકવા માટેનો સમય,$t = 15 \, s$
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega_f = \omega_0 + \alpha t$
$0 = 30 + \alpha(15)$
$\alpha = -30 / 15 = -2 \, rad/s^2$
કોણીય પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $|\alpha| = 2 \, rad/s^2$ છે.
સરેરાશ ટોર્ક નીચે મુજબ મળે:
$\tau = I |\alpha|$
$\tau = 2 \, kg \cdot m^2 \times 2 \, rad/s^2 = 4 \, N \cdot m$.

(A) તકતીની તેની કેન્દ્રીય ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના ચાકગતિના સમીકરણ મુજબ,ટોર્ક $\tau = I \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
સ્પર્શક બળ $F$ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ છે.
બંને ટોર્કના સમીકરણોને સરખાવતા: $F R = \frac{1}{2} M R^2 \alpha$.
કોણીય પ્રવેગ માટે ઉકેલતા: $\alpha = \frac{2 F}{M R}$.
તકતી $\omega$ જેટલી પ્રારંભિક કોણીય ઝડપથી $t$ સમયમાં સ્થિર થાય છે,તેથી કોણીય પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $\alpha = \frac{\omega}{t}$ થાય.
સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2 F}{M R} = \frac{\omega}{t}$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(A) હિન્જ પોઈન્ટ (અક્ષ) ની આસપાસ સળિયા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = r_{\perp} F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_{\perp}$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
ભૂમિતિ પરથી,$r_{\perp} = L \sin 30^{\circ} = L \times \frac{1}{2} = \frac{L}{2}$.
આમ,પ્રારંભિક ટોર્ક $\tau = F \times \frac{L}{2} = \frac{FL}{2}$ છે.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$\tau = I \alpha$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,પ્રારંભિક કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{FL/2}{ML^2/3} = \frac{FL}{2} \times \frac{3}{ML^2} = \frac{3F}{2ML}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $M = 1 \,kg$,ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,બળ $F = 30 \,N$.
લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ છે.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$F \times R = \left(\frac{2}{3}MR^2\right) \alpha$
$30 \times 0.1 = \left(\frac{2}{3} \times 1 \times (0.1)^2\right) \alpha$
$3 = \left(\frac{2}{3} \times 0.01\right) \alpha$
$3 = \frac{0.02}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3 \times 3}{0.02} = \frac{9}{0.02} = 450 \,rad/s^2$.

(C) તકતી પર તેના કેન્દ્રની આસપાસ લાગતું કુલ ટોર્ક $\tau$ એ બંને બળો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કનો સરવાળો છે.
બંને બળો કેન્દ્રથી $R$ અંતરે સ્પર્શકની દિશામાં લગાડવામાં આવતા હોવાથી,દરેક બળ $\tau_i = F \times R$ જેટલું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
બંને બળો એક જ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી કુલ ટોર્ક $\tau_{net} = F R + F R = 2 F R$ થશે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau_{net} = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$2 F R = (\frac{1}{2} M R^2) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{2 F R}{\frac{1}{2} M R^2} = \frac{4 F}{M R}$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 4 \,kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 240 \,rpm$,સમય $t = 1 \,min = 60 \,s$,અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \,rad/s$.
પ્રથમ,કોણીય વેગને $rpm$ માંથી $rad/s$ માં ફેરવો:
$\omega_0 = 240 \times \frac{2 \pi}{60} = 8 \pi \,rad/s$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રતિપ્રવેગ છે:
$0 = 8 \pi - \alpha(60) \implies \alpha = \frac{8 \pi}{60} = \frac{2 \pi}{15} \,rad/s^2$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I \alpha$ દ્વારા મળે છે:
$\tau = 4 \times \frac{2 \pi}{15} = \frac{8 \pi}{15} \,N \cdot m$.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = A_0$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 4 A_0$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \text{ s}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{4 A_0 - A_0}{4} = \frac{3 A_0}{4}$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $\frac{3 A_0}{4}$ છે.

(A) કિલકિત બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષમાં તકતી પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે છે.
જ્યારે રેખા $PC$ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે $P$ થી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર $R \cos \theta$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = mg(R \cos \theta)$ છે.
કિલકિત બિંદુ $P$ (જે પરિઘ પર છે) માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I = I_{cm} + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$mg(R \cos \theta) = \left( \frac{3}{2} mR^2 \right) \alpha$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{mgR \cos \theta}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{2g \cos \theta}{3R}$.

(B) કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી ટોર્ક જેટલો હોય છે,એટલે કે $\left|\frac{dL}{dt}\right| = \tau_{\text{net}}$.
કેન્દ્રથી $l$ અંતરે રહેલા દરેક દળ $m$ માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l\sin\alpha$ છે.
દરેક દળ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = mr\omega^2 = m(l\sin\alpha)\omega^2$ છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષે એક દળને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp} = l\cos\alpha$ એ ભ્રમણાક્ષથી બળ સદિશનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$\tau = (ml\sin\alpha\omega^2) \times (l\cos\alpha) = ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$.
કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ આવા બે દળો હોવાથી,તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક એક જ દિશામાં હોય છે.
તેથી,પરિણામી ટોર્ક $\tau_{\text{net}} = 2\tau = 2ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tau_{\text{net}} = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.
આમ,$\left|\frac{dL}{dt}\right| = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.

(B) નળાકાર પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
પદોને મૂકતા,આપણને $F \times R = (mR^2) \alpha$ મળે છે.
$\alpha$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\alpha = \frac{F}{mR}$ મળે છે.
અહીં $F = 52.5\,N$,$m = 5\,kg$,અને $R = 70\,cm = 0.7\,m$ આપેલ છે.
કિંમત ગણતા: $\alpha = \frac{52.5}{5 \times 0.7} = \frac{52.5}{3.5} = 15\,rad\,s^{-2}$.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.40 \ kg \cdot m^2$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,બળ $F = 40 \ N$,સમય $t = 10 \ s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$.
પૈડા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = 40 \times 0.1 = 4 \ N \cdot m$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$4 = 0.40 \times \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{4}{0.40} = 10 \ rad/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (10 \times 10) = 100 \ rad/s$.
આમ,$x = 100$.

(A) પૈડાની કિનારી પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: બળ $F = 10 \ N$,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \ m$,અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2 \ rad/s^2$.
ટોર્ક,જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = I \alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F \times R = I \alpha$
$10 \times 0.2 = I \times 2$
$2 = 2I$
$I = 1 \ kg \ m^2$.
આમ,પૈડાની જડત્વની આઘૂર્ણ $1 \ kg \ m^2$ છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
કારણ કે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$,તેથી સમીકરણ $B$ સાચું છે: $\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}) + (\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt})$.
અહીં $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ અને $\vec{p} = m\vec{v}$ હોવાથી,પદ $(\vec{v} \times m\vec{v}) = 0$ થાય છે. તેથી,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$,જે દર્શાવે છે કે સમીકરણ $C$ સાચું છે.
વળી,$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$ હોવાથી,સમીકરણ $E$ સાચું છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ થાય છે,તેથી સમીકરણ $D$ પણ સાચું છે.
સમીકરણ $A$ ખોટું છે કારણ કે $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ છે,$\vec{r} \times \vec{L}$ નથી.
આમ,$B, C, D$ અને $E$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{i} = 1800 \ rpm = 1800 \times \frac{2 \pi}{60} = 60 \pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_{f} = 2100 \ rpm = 2100 \times \frac{2 \pi}{60} = 70 \pi \ rad/s$.
બાહ્ય ટોર્ક $\tau_{ext} = 25 \pi \ Nm$.
સમય $t = 40 \ s$.
કોણીય ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega_{f} = \omega_{i} + \alpha t$:
$70 \pi = 60 \pi + \alpha(40) \implies 10 \pi = 40 \alpha \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \ rad/s^2$.
વ્યાસને અનુલક્ષીને ફરતી તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mR^2}{4}$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 \pi = \left( \frac{1 \times R^2}{4} \right) \times \frac{\pi}{4}$.
$25 = \frac{R^2}{16} \implies R^2 = 400 \implies R = 20 \ m$.
તકતીનો વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 20 = 40 \ m$ થાય.

(D) સમાન નક્કર તકતીની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} mR^2$
આપેલ કિંમતો ($m = 2 \ kg$,$R = 0.5 \ m$) મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 = 0.25 \ kg \cdot m^2$
કિનારી પર $(R = 0.5 \ m)$ લાગતા $F = 2.5 \ N$ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau$:
$\tau = F \times R = 2.5 \times 0.5 = 1.25 \ N \cdot m$
$\tau = I \alpha$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ છીએ:
$1.25 = 0.25 \times \alpha$
$\alpha = \frac{1.25}{0.25} = 5 \ rad/s^2$
ગરગડી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(\omega_0 = 0)$,તેથી $t = 10 \ s$ પછી કોણીય વેગ $\omega$:
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + 5 \times 10 = 50 \ rad/s$

(D) કોણીય ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$.
શરૂઆતમાં,$\theta_1 = 36 \times 2\pi$ રેડિયન પછી કોણીય વેગ $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{\omega_0}{2})^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(36 \times 2\pi)$.
$\frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 144\pi\alpha$,જે આપે છે $144\pi\alpha = \frac{3\omega_0^2}{4}$,તેથી $\alpha = \frac{3\omega_0^2}{576\pi} = \frac{\omega_0^2}{192\pi}$.
હવે,$\omega = \frac{\omega_0}{2}$ થી $\omega = 0$ સુધીની ગતિ માટે,ધારો કે વધારાના પરિભ્રમણ $n$ છે. કાપેલ ખૂણો $\theta_2 = n \times 2\pi$ છે.
$0^2 = (\frac{\omega_0}{2})^2 - 2\alpha(n \times 2\pi)$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{\omega_0^2}{4} = 2(\frac{\omega_0^2}{192\pi})(n \times 2\pi)$.
$\frac{1}{4} = \frac{4n\pi}{192\pi} = \frac{n}{48}$.
$n = \frac{48}{4} = 12$.
આમ,પંખો સ્થિર થતા પહેલા $12$ વધુ પરિભ્રમણ કરશે.

(C) એક છેડે લાગુ પાડવામાં આવેલ આઘાત $J$ તંત્રને રેખીય અને કોણીય વેગમાન બંને આપે છે.
$1$. રેખીય આઘાતનું સમીકરણ: $J = M_{total} v_{cm} \Rightarrow MV = (2M) v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{V}{2}$.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાતનું સમીકરણ: $J \times r = I_{cm} \omega$.
અહીં,$r = \frac{L}{2}$ અને $I_{cm} = M(\frac{L}{2})^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $(MV) \times \frac{L}{2} = (\frac{ML^2}{2}) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\frac{MVL}{2} = \frac{ML^2 \omega}{2} \Rightarrow \omega = \frac{V}{L}$.