Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Gujarati

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
તેથી,$\omega \propto \frac{1}{I}$.
ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $E_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega \propto \frac{1}{I}$ મૂકતા,આપણને $E_R \propto I \times \left(\frac{1}{I}\right)^2 = \frac{1}{I}$ મળે છે.
અહીં પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I$ અને અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = 2I$ છે.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$.
આમ,નવી ગતિ ઊર્જા $E_2 = \frac{E_1}{2} = \frac{K}{2}$ થશે.

(A) રિંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = MR^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતા $4$ બિંદુવત કણોને બે પરસ્પર લંબ વ્યાસના છેડાઓ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે બધા પરિભ્રમણ અક્ષથી $R$ અંતરે હોય છે.
તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે $(L_{initial} = L_{final})$.
$MR^2\omega = (M + 4m)R^2\omega'$
બંને બાજુ $R^2$ વડે ભાગતા,આપણને $M\omega = (M + 4m)\omega'$ મળે છે.
તેથી,નવો કોણીય વેગ $\omega' = \left( \frac{M}{M + 4m} \right)\omega$ થશે.

(A) જ્યારે ધ્રુવો પરનો બરફ ઓગળીને વિષુવવૃત્ત તરફ વહે છે,ત્યારે દળનું વિતરણ ભ્રમણ અક્ષથી દૂર જાય છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum mr^2$ હોવાથી,જેમ દળ અક્ષથી દૂર જાય છે,તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
જો $I$ વધે,તો કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega$ માં ઘટાડો થવાથી દિવસની લંબાઈ $T$ વધે છે (દિવસ લાંબો બને છે).

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega$.
જ્યારે માણસ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે જાય છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + mr^2$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I_1 + mr^2) \omega_2$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$I_1 \omega = (I_1 + mr^2) \omega_2$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = \frac{I_1 \omega}{I_1 + mr^2}$ થશે.

(A) જ્યારે કણ પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોય ત્યારે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,એટલે કે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ p & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12p)) + \hat{k}(6 - (-6p))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12p) + \hat{k}(6 + 6p)$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે,$\vec{\tau} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$12 + 12p = 0$ અને $6 + 6p = 0$
$12 + 12p = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $12p = -12$ મળે છે,તેથી $p = -1$.
તે જ રીતે,$6 + 6p = 0$ પણ $p = -1$ આપે છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ rad/s$.
પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{table} + I_{man} = 100 + 50(0)^2 = 100 \ kg \cdot m^2$.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{table} + I_{man} = 100 + 50(2)^2 = 100 + 200 = 300 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2 \Rightarrow I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
$100 \times \frac{\pi}{5} = 300 \times \omega_2$.
$20\pi = 300 \omega_2$.
$\omega_2 = \frac{20\pi}{300} = \frac{\pi}{15} \ rad/s$.

(D) શરૂઆતમાં,રિંગના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ $v_0 = 0$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે.
જ્યારે રિંગ સરકવાનું બંધ કરે છે,ત્યારે ધારો કે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ છે.
રિંગ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$ ની શરત સંતોષાવી જોઈએ.
સપાટી પરના બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_i = L_f$
$I_{cm}\omega_0 + mvr_0 = I_{cm}\omega + mvr$
રિંગ માટે $I_{cm} = mr^2$ હોવાથી:
$mr^2\omega_0 + 0 = mr^2\omega + mvr$
$mr^2\omega_0 = mr^2(\frac{v}{r}) + mvr$
$mr^2\omega_0 = mrv + mvr$
$mr^2\omega_0 = 2mvr$
$v = \frac{r\omega_0}{2}$

(C) અથડામણ દરમિયાન બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે પદાર્થનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = Mv \times r$ છે,જ્યાં $r = OC = L/4$.
તેથી,$L_i = Mv(L/4)$.
અથડામણ પછી,પદાર્થ સળિયા સાથે ચોંટી જાય છે (અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા),અને તંત્ર $\omega$ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે.
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ સળિયા અને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I = I_{rod} + I_{particle} = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16} = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા: $L_i = I\omega$.
$Mv(L/4) = (7ML^2/48) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{MvL}{4} \times \frac{48}{7ML^2} = \frac{12v}{7L}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{1}{64} V_1$ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{64}$ મળે.
ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = \frac{R_1}{4}$.
પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \implies I_1 \left( \frac{2\pi}{T_1} \right) = I_2 \left( \frac{2\pi}{T_2} \right)$.
પૃથ્વી એક નક્કર ગોળો હોવાથી,$I = \frac{2}{5}MR^2$.
આ કિંમત મૂકતા,$\left( \frac{2}{5} M R_1^2 \right) \frac{1}{T_1} = \left( \frac{2}{5} M R_2^2 \right) \frac{1}{T_2}$.
$T_2 = T_1 \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$.
અહીં $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ અને $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $T_2 = 24 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 24 \times \frac{1}{16} = 1.5 \text{ કલાક}$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_{initial} = L_{final}$
$I\omega + mvR = (I + mR^2)\omega'$
જ્યાં $I$ એ ઘન નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I = \frac{1}{2}MR^2$.
$I = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 = 0.04 \ kg \cdot m^2$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I\omega + mvR = (0.04 \times 3) + (0.5 \times 5 \times 0.2) = 0.12 + 0.5 = 0.62 \ kg \cdot m^2/s$.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I + mR^2 = 0.04 + (0.5 \times (0.2)^2) = 0.04 + 0.02 = 0.06 \ kg \cdot m^2$.
$L_i = I_f \omega'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.62 = 0.06 \times \omega'$
$\omega' = \frac{0.62}{0.06} = \frac{62}{6} \approx 10.33 \ rad/s$.
આમ,કોણીય વેગ $10.3 \ rad/s$ છે.

(A) ધારો કે અથડામણ બાદ લાકડીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = MV \implies V = \frac{mv}{M}$
લાકડીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mvd = I\omega \implies \omega = \frac{mvd}{I}$,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{12}$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે તેમ ધારતા,ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$V$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા:
$mv^2 = M(\frac{mv}{M})^2 + I(\frac{mvd}{I})^2$
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{m^2v^2d^2}{I}$
$mv^2$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{m}{M} + \frac{md^2}{I} = \frac{m}{M} + \frac{md^2}{ML^2/12} = \frac{m}{M}(1 + \frac{12d^2}{L^2})$
$1 = \frac{m}{M}(\frac{L^2 + 12d^2}{L^2})$
$m = \frac{ML^2}{L^2 + 12d^2}$

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહેશે $(L_1 = L_2)$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $L_1 = mr_1^2\omega_1$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે: $L_2 = mr_2^2\omega_2$.
બંનેને સરખાવતા: $mr_1^2\omega_1 = mr_2^2\omega_2$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\omega_2 = \omega_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ મળે છે.
અહીં $r_1 = 0.8 \ m$,$r_2 = 1 \ m$ અને $\omega_1 = 44 \ rad \ s^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega_2 = 44 \times \left( \frac{0.8}{1} \right)^2 = 44 \times 0.64$.
$\omega_2 = 28.16 \ rad \ s^{-1}$.

(B) રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ છે.
રીંગનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I \omega = M R^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$I' = I + 2(m R^2) = M R^2 + 2m R^2 = (M + 2m) R^2$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L' = L$.
$(M + 2m) R^2 \omega' = M R^2 \omega$.
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન: $I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$.
તેથી,અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = \frac{I_t \omega_i}{I_t + I_b}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2$ છે.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t \omega_i}{I_t + I_b} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_t^2 \omega_i^2}{I_t + I_b}$ છે.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta E = K_i - K_f = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} \frac{I_t^2 \omega_i^2}{I_t + I_b}$.
આ પદનું સાદુરૂપ આપતા: $\Delta E = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right) = \frac{1}{2} \frac{I_t I_b}{I_t + I_b} \omega_i^2$.

(C) તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 0$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f$ પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્લેટફોર્મનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. માણસનું કોણીય વેગમાન $L_m = m v R$ અને પ્લેટફોર્મનું કોણીય વેગમાન $L_p = I \omega$ છે.
કુલ કોણીય વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,માણસ અને પ્લેટફોર્મ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે: $m v R - I \omega = 0$.
$\omega = \frac{m v R}{I} = \frac{50 \times 1 \times 2}{200} = 0.5 \, rad/s$.
જમીનની સાપેક્ષે માણસનો કોણીય વેગ $\omega_m = \frac{v}{R} = \frac{1}{2} = 0.5 \, rad/s$ છે.
પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે માણસનો કોણીય વેગ $\omega_r = \omega_m + \omega = 0.5 + 0.5 = 1 \, rad/s$ છે.
એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{2\pi}{\omega_r} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \, s$ છે.

(C) તણાવ બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું હોવાથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,દળ $m$ નું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v_0 R_0$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = m v R$,જ્યાં $R = \frac{R_0}{2}$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$:
$m v_0 R_0 = m v \left( \frac{R_0}{2} \right)$
$v = 2 v_0$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 2 m v_0^2$ થાય.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે,કણ પર લાગતું પરિણામી ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{R} \times \overrightarrow{F}$.
અહીં $\overrightarrow{R} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$ અને $\overrightarrow{F} = \alpha \hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12\alpha)) + \hat{k}(6 - (-6\alpha))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12\alpha) + \hat{k}(6 + 6\alpha)$
$\overrightarrow{\tau} = 0$ હોવા માટે,$\hat{j}$ અને $\hat{k}$ બંને ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$12 + 12\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $-1$ છે.

(D) સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = I_1 \omega = \frac{ML^2}{12} \omega$.
જ્યારે $\frac{M}{3}$ દળના બે પદાર્થોને છેડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ નીચે મુજબ મળે:
$I_2 = I_{\text{rod}} + I_{\text{objects}} = \frac{ML^2}{12} + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{3ML^2}{12} = \frac{ML^2}{4}$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$\frac{ML^2}{12} \omega = \frac{ML^2}{4} \omega'$
$\omega' = \frac{4}{12} \omega = \frac{1}{3} \omega$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I\omega_1 + I\omega_2$.
ધારો કે સંયુક્ત તંત્રની અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I + I)\omega = 2I\omega$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$:
$I\omega_1 + I\omega_2 = 2I\omega \implies \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2}I\omega_1^2 + \frac{1}{2}I\omega_2^2 = \frac{1}{2}I(\omega_1^2 + \omega_2^2)$.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 = I \left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \right)^2 = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = E_i - E_f = \frac{I}{2}(\omega_1^2 + \omega_2^2) - \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
$\Delta E = \frac{I}{4} [2\omega_1^2 + 2\omega_2^2 - \omega_1^2 - \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2] = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2) = \frac{I}{4}(\omega_1 - \omega_2)^2$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,ગોળો મુક્ત અવકાશમાં મુક્તપણે ફરી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી $({\tau_{ext}} = 0)$.
જેથી ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,તેથી કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહેવું જોઈએ.
જ્યારે ગોળાની ત્રિજ્યા વધે છે,ત્યારે તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટશે અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K = \frac{L^2}{2I})$ પણ બદલાશે. તેથી,માત્ર કોણીય વેગમાન જ અચળ રહે છે.

(C) ટોર્ક અને કોણીય વેગમાન વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
જો બાહ્ય ટોર્ક $\tau = 0$ હોય,તો $\frac{dL}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ અને કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ચોખ્ખું ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{L}$ એક અચળ સદિશ છે.
અચળ સદિશનું મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ હોય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = mr^2\omega = \text{અચળ}$.
અહીં દળ $m$ અચળ હોવાથી,$r_1^2\omega_1 = r_2^2\omega_2$ થાય.
આપેલ છે: $r_1 = 0.8 \ m$,$\omega_1 = 44 \ rad/s$,$r_2 = 1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.8)^2 \times 44 = (1)^2 \times \omega_2$.
$0.64 \times 44 = \omega_2$.
$\omega_2 = 28.16 \ rad/s$.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}_{ext}$ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સંરક્ષિત રહે છે.
આ સંબંધ $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ પરથી તારવવામાં આવે છે.
જો $\vec{\tau}_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{L} = \text{અચળ}$.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોવું જોઈએ.

(C) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન એ અંતિમ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
અહીં,પ્રથમ રીંગની કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = MR^2$ છે.
જ્યારે બીજી રીંગને અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + I_{ring2} = MR^2 + (\frac{M}{4})R^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય છે.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$MR^2 \omega = (\frac{5}{4}MR^2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{4}{5} \omega$.

(A) નૃત્યાંગના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 20 \ rad/s$,અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 10 \ rad/s$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $I \times 20 = I_2 \times 10$.
નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2$ માટે ઉકેલતા: $I_2 = \frac{20}{10} I = 2I$.

(D) જ્યારે બાળક ફરતી ચકતી પર બેસે છે,ત્યારે ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને તંત્ર (ચકતી + બાળક) પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ચોખ્ખું બાહ્ય ટોર્ક $\tau_{ext} = 0$ હોય,તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગુ કરવામાં આવતું નથી,ત્યારે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
$L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
આપણે જાણીએ છીએ કે જડત્વની આઘૂર્ણ $I = MK^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}}$
આમ,ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$ થાય છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I \omega = \text{અચળ}$.
પૃથ્વીને નક્કર ગોળા તરીકે ગણતા, તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
શરૂઆતમાં, $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ અને સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે, $R_2 = \frac{R}{2}$, ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5}M(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{4}I_1$ થાય છે.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $I_1 (\frac{2\pi}{T_1}) = I_2 (\frac{2\pi}{T_2})$.
કિંમતો મૂકતા: $I_1 (\frac{2\pi}{24}) = (\frac{1}{4}I_1) (\frac{2\pi}{T_2})$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{24} = \frac{1}{4T_2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \text{ કલાક}$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય,તો કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
પ્લાસ્ટિકનું ટીપું તકતીને ચોંટી જતું હોવાથી,તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માં વધારો થાય છે.
જેમ કે $L = I\omega$ અને $L$ અચળ છે,તેથી $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,માત્ર કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ અંદરની તરફ વાળે છે, ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની અક્ષની નજીક આવે છે, જેનાથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
$L$ અચળ હોવાથી, જો $I$ ઘટે, તો તેને સંતુલિત કરવા માટે કોણીય વેગ $(\omega)$ વધવો જોઈએ.
તેથી, જડત્વની ચાકમાત્રા ઘટે છે અને કોણીય વેગ વધે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જોડાણ પહેલાનું કુલ કોણીય વેગમાન એ જોડાણ પછીના કુલ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = (I_1 + I_2)\omega$
જ્યાં $\omega$ એ તંત્રનો સામાન્ય કોણીય વેગ છે.
તેથી,સામાન્ય કોણીય વેગ $\omega = \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2}$ થશે.
તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I_{total} \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $K = \frac{(I_1\omega_1 + I_2\omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ મળે છે.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય, તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે।
ગાણિતિક રીતે, જો $\tau_{ext} = 0$ હોય, તો $\frac{dL}{dt} = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $L = \text{અચળ}$।
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે તે ફક્ત બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં જ સંરક્ષિત રહે છે।
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે કોણીય વેગમાન એ જડત્વની ચાકમાત્રા અને કોણીય વેગનો ગુણાકાર છે $(L = I\omega)$।
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે તે માટે ટોર્ક શૂન્ય હોવું જરૂરી છે, માત્ર અચળ હોવું પૂરતું નથી।
તેથી, સાચો જવાબ $D$ છે।

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોય,તો કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
$L = I \omega$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ ફેલાવે છે,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે કારણ કે દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર જાય છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ ને અચળ રાખવા માટે,કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટે છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
પૃથ્વી ગોળાકાર હોવાથી, તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
તેથી, $I \propto R^2$.
$L = I\omega = I \cdot \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી, $I_1 \cdot \frac{1}{T_1} = I_2 \cdot \frac{1}{T_2}$ મળે, જે સૂચવે છે કે $T \propto I \propto R^2$.
જો ત્રિજ્યા $R$ ઘટીને $R' = \frac{R}{2}$ થાય, તો નવો સમયગાળો $T' = T \cdot (\frac{R'}{R})^2 = T \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{T}{4}$ થાય.
વર્તમાન દિવસનો સમયગાળો $T = 24 \text{ કલાક}$ હોવાથી, નવો સમયગાળો $T' = \frac{24}{4} = 6 \text{ કલાક}$ થશે.
દિવસના સમયગાળામાં થતો ઘટાડો $\Delta T = T - T' = 24 - 6 = 18 \text{ કલાક}$ છે.

(A) ફરતી ચકતીનો કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{1}{2}MR^2$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,એટલે કે $L = \text{અચળ}$.
તેથી,$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર મૂકતા: $(\frac{1}{2}MR_1^2)\omega_1 = (\frac{1}{2}MR_2^2)\omega_2$.
આપેલ છે કે $R_2 = \frac{R_1}{2}$,તેથી $R_1^2\omega_1 = (\frac{R_1}{2})^2\omega_2$.
$R_1^2\omega_1 = \frac{R_1^2}{4}\omega_2$.
$\omega_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega_2 = 4\omega_1$.
આમ,કોણીય વેગ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણો થઈ જશે.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે બરફ પીગળે છે,ત્યારે પાણી ટેબલની સપાટી પર ફેલાઈ જાય છે,જેનાથી પરિભ્રમણની ધરીથી દળનું અંતર વધે છે.
દળના વિતરણમાં આ વધારો તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં વધારો કરે છે.
જેમ કે $L$ અચળ રહે છે અને $I$ વધે છે,તેથી સમીકરણ $\omega = L/I$ ને સંતોષવા માટે કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી,તંત્રની પરિભ્રમણ ઝડપ $\omega$ કરતા ઓછી થઈ જશે.

(B) ભ્રમણકક્ષાની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $E \propto \frac{1}{I}$ પરથી સ્પષ્ટ છે કે જો જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ વધે,તો ગતિઊર્જા $E$ ઘટવી જોઈએ.
પ્રથમ સ્થિતિમાં,$I_1 = 1 \ kg \cdot m^2$. બીજી સ્થિતિમાં,$I_2 = 2 \ kg \cdot m^2$.
$I_2 > I_1$ હોવાથી,બીજી સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા પ્રથમ સ્થિતિ કરતા ઓછી હશે.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, જ્યારે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય ત્યારે $L = I\omega = \text{અચળ}$ રહે છે.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથને શરીરની નજીક લાવે છે, ત્યારે તંત્રની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ ઘટે છે કારણ કે દળનું વિતરણ ભ્રમણાક્ષની નજીક આવે છે.
જેથી $L$ અચળ રહેતું હોવાથી, જો $I$ ઘટે, તો કોણીય વેગ $(\omega)$ વધવો જોઈએ.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે કોણીય વેગ વધે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય,તો કોણીય વેગમાન $(L = I\omega)$ અચળ રહે છે.
જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ અંદરની તરફ ખેંચે છે,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
જેহেতু $L = I\omega$ અચળ છે,જો $I$ ઘટે,તો કોણીય વેગ $(\omega)$ વધવો જોઈએ,જેના કારણે વ્યક્તિ ઝડપથી ફરે છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L$ અચળ હોવાથી અને $I$ ઘટતું હોવાથી,ગતિ ઉર્જા $(K)$ માં વધારો થાય છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે વ્યક્તિ દળને નીચે પાડે છે,ત્યારે સિસ્ટમની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ ઘટે છે કારણ કે પરિભ્રમણની ધરીથી અમુક અંતરે રહેલું દળ સિસ્ટમમાંથી દૂર થાય છે.
જેহেতু $L = I\omega$ અચળ રહે છે,જો $I$ ઘટે,તો કોણીય વેગ $\omega$ વધવો જોઈએ.
તેથી,નવો કોણીય વેગ પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega$ કરતા વધારે હશે.

(A) જ્યારે દોરીને નીચેની તરફ ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે હાથ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાની દિશામાં (કેન્દ્ર તરફ) લાગે છે.
બળ ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી,વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય થાય છે,કારણ કે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ (અથવા સંદર્ભ મુજબ $0^{\circ}$) છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $L = mvr$ નું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(A) તેના હાથ અને પગને અંદરની તરફ ખેંચવાથી,તરવૈયો તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ ઘટાડે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,$L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જેમ $I$ ઘટે છે,તેમ કોણીય વેગ $(\omega)$ વધે છે,જે તરવૈયાને વધુ સરળતાથી પલટી મારવામાં મદદ કરે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે બે ડિસ્કના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_{i} = I_{1}\omega + I_{2}(0) = I_{1}\omega$.
ડિસ્કને જોડ્યા પછી તંત્રનું અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$,જ્યાં $\omega_{f}$ એ અંતિમ કોણીય વેગ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $I_{1}\omega = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$.
અંતિમ કોણીય વેગ માટે ઉકેલતા: $\omega_{f} = \frac{I_{1}\omega}{I_{1} + I_{2}}$.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોય,તો કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે. કારણ કે ગોળો મુક્ત અવકાશમાં પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે,તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું નથી. તેથી,જો ત્રિજ્યા બદલવામાં આવે તો પણ કોણીય વેગમાન અપરિવર્તિત રહેશે.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ અને કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
જો બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{L} = \text{અચળ}$.
તેથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે તરવૈયા તેમના શરીરને વાળે છે, ત્યારે તેઓ તેમના દળને પરિભ્રમણની ધરીની નજીક લાવે છે.
આ ક્રિયા તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરે છે.
જેহেতু $L$ અચળ રહે છે, તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $(\omega)$ માં વધારો થાય છે, જે તરવૈયાને વધુ અસરકારક રીતે પલટી મારવામાં મદદ કરે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે,જે સમીકરણ $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો કુલ બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
તેથી,જો તંત્ર પર કુલ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું હોય,તો કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જેમ જેમ વ્યક્તિ પ્લેટના કિનારેથી કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ભ્રમણાક્ષથી વ્યક્તિનું અંતર ઘટે છે.
આના પરિણામે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં ઘટાડો થાય છે $(I = \sum mr^2)$.
કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહેતું હોવાથી અને $I$ ઘટતું હોવાથી, $L$ ને અચળ રાખવા માટે કોણીય વેગ $(\omega = L/I)$ વધવો જોઈએ.