Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Gujarati

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં, વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે, તેથી રેખીય વેગમાન $(p = mv)$ સંરક્ષિત રહેતું નથી કારણ કે કણ પર સતત કેન્દ્રગામી બળ લાગે છે.
જોકે, વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્રની સાપેક્ષે કણ પર લાગતું ટોર્ક $(\tau)$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે બળ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ (ત્રિજ્યાવર્તી) લાગે છે.
જેથી $\tau = \frac{dL}{dt} = 0$ હોવાથી, કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.

(C) કોઈપણ બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L_{initial} = L_{final}$
$I \omega = I' \omega'$
શરૂઆતમાં,રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
જ્યારે $m$ દળની બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ભ્રમણાક્ષથી $R$ અંતરે હોય છે. નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$MR^2 \omega = (M + 2m)R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2}$
$\omega' = \frac{\omega M}{M + 2m}$

(C) જ્યારે છોકરો ફરતા પ્લેટફોર્મ પર બેસે છે,ત્યારે પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ સિસ્ટમ (છોકરો + પ્લેટફોર્મ) પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

(C) કેન્દ્રીય બળના ક્ષેત્રમાં,બળ કણ અને બળના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
કારણ કે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ છે (કારણ કે $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ એકરેખસ્થ છે),તેથી કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} = 0$ થાય છે.
આથી,કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.

(B) રીંગનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે કણોને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_{initial} = L_{final}$.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$.
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega' = \frac{M\omega}{M + 2m}$ મળે છે.

(B) જેમ જેમ મણકા નીચે સરકે છે,તેમ તેમ પરિભ્રમણની અક્ષ $AO$ થી તેમનું અંતર વધે છે,જેના કારણે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માં વધારો થાય છે. પરિભ્રમણની અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ નું સંરક્ષણ થાય છે.
વધુમાં,મણકા પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને તાર દ્વારા લાગતું લંબબળ કાર્ય કરે છે (જે સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી કોઈ કાર્ય કરતું નથી),તેથી તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિજ + સ્થિતિજ) નું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે $(L = I\omega = \text{constant})$.
ચાકગતિની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^2}{2I}$ છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી, $K \propto \frac{1}{I}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે.
જ્યારે છોકરો હાથ ફેલાવે છે, ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = 2I$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{L^2}{2I_2} = \frac{L^2}{2(2I)} = \frac{1}{2} \left( \frac{L^2}{2I} \right) = \frac{K}{2}$ મળે.
તેથી, તંત્રની ગતિઊર્જા $K/2$ થશે.

(B) પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તેનું કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I\omega$ હોવાથી,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
જો ત્રિજ્યા $R$ ઘટે,તો જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$L = I\omega$ અચળ હોવાથી,$\omega = \frac{L}{I}$ થાય.
જેમ $I$ ઘટે છે,તેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ વધવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$O$ ની આસપાસ મણકાનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = mvR$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{ring} = mR^2$ છે.
રીંગની ધાર પર રહેલા મણકાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{bead} = mR^2$ છે.
જ્યારે મણકો રીંગની સાપેક્ષમાં સ્થિર થાય છે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{ring} + I_{bead} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,તેથી $mvR = I\omega$.
$mvR = (2mR^2)\omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \frac{mvR}{2mR^2} = \frac{v}{2R}$ મળે છે.

(C) દોરીને ખેંચવા માટે લાગુ પાડવામાં આવતું બળ ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી,વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે વસ્તુ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,વસ્તુનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$\therefore v_2 = v_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)$
હવે,નવી ગતિઊર્જા $(K_2)$ અને મૂળ ગતિઊર્જા $(K_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{\frac{1}{2} m v_2^2}{\frac{1}{2} m v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$
કોણીય વેગમાનના સમીકરણ પરથી $v_2/v_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કણનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mr_1^2 \omega_1 = mr_2^2 \omega_2$
બંને બાજુથી દળ $m$ ને દૂર કરતા:
$r_1^2 \omega_1 = r_2^2 \omega_2$
આપેલ છે કે $r_2 = 0.5\, r_1$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$r_1^2 \omega_1 = (0.5\, r_1)^2 \omega_2$
$r_1^2 \omega_1 = 0.25\, r_1^2 \omega_2$
બંને બાજુ $r_1^2$ વડે ભાગતા:
$\omega_1 = 0.25\, \omega_2$
$\omega_2 = \frac{\omega_1}{0.25} = 4\, \omega_1$

(D) બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I \omega = \text{અચળ}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી (જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે),$I_1 f_1 = I_2 f_2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
આ કિંમત સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $M k_1^2 f_1 = M k_2^2 f_2$.
દળ $M$ અચળ હોવાથી,$k_1^2 f_1 = k_2^2 f_2$.
તેથી,$\frac{k_1^2}{k_2^2} = \frac{f_2}{f_1}$.
અહીં $f_1 = 1 \text{ cy/sec}$ અને $f_2 = 16 \text{ cy/sec}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{k_1^2}{k_2^2} = \frac{16}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{16}{1}} = \frac{4}{1}$.
આમ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(D) તંત્ર તકતી અને બાળકનું બનેલું છે. પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (I + mR^2)\omega$ છે.
જ્યારે બાળક જમીનની સાપેક્ષે $v$ સ્પર્શક વેગ સાથે કૂદકો મારે છે,ત્યારે તકતીના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને બાળકનું કોણીય વેગમાન $L_{child} = mvR$ થાય છે.
ધારો કે તકતીનો નવો કોણીય વેગ $\omega'$ છે. તકતીનું અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I\omega'$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_i = L_{child} + L_f$
$(I + mR^2)\omega = mvR + I\omega'$
$\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$I\omega' = (I + mR^2)\omega - mvR$
$\omega' = \frac{(I + mR^2)\omega - mvR}{I}$

(D) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = mR^2\omega$ છે.
જ્યારે $M$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = mR^2 + M R^2 + M R^2 = (m + 2M)R^2$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_{initial} = L_{final}$.
$mR^2\omega = (m + 2M)R^2\omega'$
$\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{mR^2\omega}{(m + 2M)R^2} = \frac{\omega m}{(m + 2M)}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રીય બળ એવું બળ છે જે કણ અને બળના કેન્દ્ર (ઉગમબિંદુ) ને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર હોવાથી,ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય થાય છે.
જેથી $\vec{\tau} = 0$ હોવાથી,$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ ના સંબંધ પરથી કહી શકાય કે કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(B) તંત્ર તકતી અને જીવડાનું બનેલું છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જેમ જીવડું કિનારીથી કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ભ્રમણાક્ષથી જીવડાનું અંતર ઘટતું જાય છે, જેના કારણે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$L = I\omega$ અચળ હોવાથી, જેમ $I$ ઘટે છે, તેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ વધે છે.
જ્યારે જીવડું કેન્દ્રથી વ્યાસના બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ભ્રમણાક્ષથી અંતર વધે છે, જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે.
પરિણામે, જેમ $I$ વધે છે, તેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ ઘટે છે.
તેથી, તકતીની કોણીય ઝડપ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(B) તણાવબળ ત્રિજ્યાની દિશામાં લાગતું હોવાથી,વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v_0 R_0$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = m v_f (\frac{R_0}{2})$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,તેથી $m v_0 R_0 = m v_f (\frac{R_0}{2})$.
આના પરથી $v_f = 2 v_0$ મળે છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 4 K_i$.
આમ,અંતિમ ગતિઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતાં $4$ ગણી થાય છે.

(D) અવકાશયાત્રીઓ દ્વારા અનુભવાતું કૃત્રિમ ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $g = \omega^2 L$ ને કારણે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $L$ એ હબથી અંતર છે.
શરૂઆતમાં,કેન્દ્રિય હબની આસપાસ અવકાશયાત્રીઓની કુલ જડત્વની ક્ષણ $I = 2 \cdot (N \cdot m \cdot L^2) = 2Nm L^2$ છે.
જ્યારે બે અવકાશયાત્રીઓ હબમાં જાય છે,ત્યારે તેઓ પરિભ્રમણની ધરી પર હોય છે,તેથી તેમની જડત્વની ક્ષણ શૂન્ય થઈ જાય છે. નવી જડત્વની ક્ષણ $I' = 2 \cdot ((N-1) \cdot m \cdot L^2) = 2(N-1)m L^2$ છે.
કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $I\omega = I'\omega'$.
કિંમતો મૂકતા: $(2Nm L^2) \omega = (2(N-1)m L^2) \omega'$.
આનું સાદું રૂપ $N\omega = (N-1)\omega'$ થાય છે,તેથી $\omega' = \omega \cdot \frac{N}{N-1}$.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g' = \omega'^2 L$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{g'}{g} = \frac{\omega'^2 L}{\omega^2 L} = \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 = \left(\frac{N}{N-1}\right)^2$ છે.

(B) તંત્ર (પૃથ્વી + લોકો) નું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (I_E + I_P)\omega_0$ લો.
જ્યારે લોકો સપાટીની સાપેક્ષે $v_{rel}$ ઝડપે દોડે છે,ત્યારે પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે તેમનો વેગ $v = v_{rel} + \omega R$ (જો પૂર્વમાં દોડે તો) અથવા $v = \omega R - v_{rel}$ (જો પશ્ચિમમાં દોડે તો) થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$.
$I_E \omega_0 + I_P \omega_0 = I_E \omega + I_P (\omega + \frac{v_{rel}}{R})$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $(I_E + I_P)\omega_0 = (I_E + I_P)\omega + \frac{I_P v_{rel}}{R}$.
$\omega = \omega_0 - \frac{I_P v_{rel}}{(I_E + I_P)R}$.
આ પૂર્વ દિશામાં દોડતી વખતે નવો કોણીય વેગ દર્શાવે છે. જો પશ્ચિમ દિશામાં દોડવામાં આવે,તો $v_{rel}$ ની નિશાની બદલાય છે,જેના પરિણામે કોણીય વેગમાં વધારો થાય છે.

(D) ભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે તકતીની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_0 = \frac{1}{2} m_0 r^2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_0 \omega_0$ છે.
$t$ સમય પછી,શોષાયેલ પાણીનું દળ $m_w = \mu t$ છે. આ પાણી તકતીની કિનારી પર હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_w = m_w r^2 = (\mu t) r^2$ થશે.
તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_0 + I_w = \frac{1}{2} m_0 r^2 + \mu t r^2$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{\omega_0}{2}$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f \Rightarrow I_0 \omega_0 = I_f \omega_f$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2} m_0 r^2) \omega_0 = (\frac{1}{2} m_0 r^2 + \mu t r^2) \frac{\omega_0}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{\omega_0 r^2}{2}$ વડે ભાગતા: $m_0 = \frac{1}{2} m_0 + \mu t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $\mu t = \frac{1}{2} m_0 \Rightarrow t = \frac{m_0}{2\mu}$.

(B) તણાવ બળ કેન્દ્ર (છિદ્ર) તરફ લાગતું હોવાથી,કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,ડિસ્કનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે ડિસ્કનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v_1 R = m (\omega_0 R) R = m R^2 \omega_0$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = m v_2 (R/\eta) = m (\omega_f R/\eta) (R/\eta) = m (R^2/\eta^2) \omega_f$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f \Rightarrow m R^2 \omega_0 = m (R^2/\eta^2) \omega_f \Rightarrow \omega_f = \omega_0 \eta^2$.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_0 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (\omega_0 R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (\omega_f \frac{R}{\eta})^2 = \frac{1}{2} m (\omega_0 \eta^2 \frac{R}{\eta})^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega_0^2 \eta^2 = K_0 \eta^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ખેંચવાના બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિ ઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = K_f - K_0 = K_0 \eta^2 - K_0 = K_0 (\eta^2 - 1)$.

(B) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષ ગોળીનો વેગ $v_1$ છે અને સળિયાનો કોણીય વેગ $\omega$ છે.
બંદૂકનો વેગ (સળિયાના છેડે) $v_g = \omega \frac{l}{2}$ છે,જે ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બંદૂકની સાપેક્ષ ગોળીનો વેગ $v_{rel} = v_1 - (-v_g) = v_1 + \omega \frac{l}{2} = v$ છે.
તેથી,$v_1 = v - \omega \frac{l}{2}$.
ધરી (સળિયાનું કેન્દ્ર) ની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 0$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = \frac{m}{10} v_1 \frac{l}{2} - I_{total} \omega = 0$.
અહીં,$I_{total} = I_{rod} + I_{gun} = \frac{ml^2}{12} + m(\frac{l}{2})^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{4} = \frac{ml^2}{3}$.
તેથી,$\frac{m}{10} (v - \omega \frac{l}{2}) \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \omega$.
$\frac{1}{20} (v - \omega \frac{l}{2}) = \frac{l}{3} \omega$.
$v - \omega \frac{l}{2} = \frac{20l}{3} \omega$.
$v = \omega l (\frac{20}{3} + \frac{1}{2}) = \omega l (\frac{40+3}{6}) = \omega l \frac{43}{6}$.
$\omega = \frac{6v}{43l}$.

(C) કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે દ્રઢ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm} + I_{cm}\vec{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(4R, 3R)$ પર છે. વેગ $\vec{v} = \omega R \hat{i}$ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{cm} = 4R\hat{i} + 3R\hat{j}$ છે.
વેગમાન $\vec{P}_{cm} = M\vec{v} = M\omega R\hat{i}$ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કક્ષીય કોણીય વેગમાન: $\vec{L}_{orb} = \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm} = (4R\hat{i} + 3R\hat{j}) \times (M\omega R\hat{i}) = -3MR^2\omega \hat{k}$ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે સ્પિન કોણીય વેગમાન: $\vec{L}_{spin} = I_{cm}\vec{\omega} = (\frac{1}{2}MR^2)(-\omega \hat{k}) = -\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કુલ કોણીય વેગમાન: $\vec{L}_O = -3MR^2\omega \hat{k} - 0.5MR^2\omega \hat{k} = -3.5MR^2\omega \hat{k}$ છે.
હવે,બિંદુ $A (0, 3R)$ ની સાપેક્ષે તપાસીએ. સ્થાન સદિશ $\vec{r}' = 4R\hat{i}$ છે.
$\vec{L}_{orb, A} = \vec{r}' \times \vec{P}_{cm} = (4R\hat{i}) \times (M\omega R\hat{i}) = 0$ છે.
$\vec{L}_{spin, A} = I_{cm}\vec{\omega} = -\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ છે.
આમ,બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $-\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ મૂલ્ય સાથે બરાબર મળતું નથી,પરંતુ જો આપણે કક્ષીય કોણીય વેગમાન શૂન્ય થવાની બાબતને ધ્યાનમાં લઈએ,તો વિકલ્પ $C$ ને આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સંભવિત ઉત્તર તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(D) આ તંત્ર વર્તુળાકાર સ્ટેજ અને કાચબાનું બનેલું છે. પરિભ્રમણની અક્ષ પર તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $J$ સંરક્ષિત રહે છે.
$J = I \omega = \text{અચળ}$,જ્યાં $I$ એ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{stage}} + I_{\text{tortoise}} = I_{\text{stage}} + m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ કાચબાનું દળ છે અને $r$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
જેમ જેમ કાચબો વર્તુળાકાર સ્ટેજની જીવા પર ગતિ કરે છે,તેમ તેમ કેન્દ્ર (પરિભ્રમણની અક્ષ) થી તેનું અંતર $r$ પહેલા ઘટે છે જ્યાં સુધી તે જીવા પરના કેન્દ્રની સૌથી નજીકના બિંદુ સુધી પહોંચે નહીં,અને ત્યારબાદ તે જીવાના બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે ત્યારે તે વધે છે.
$I = I_{\text{stage}} + m r^2$ હોવાથી,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ પહેલા ઘટે છે,અને જેમ $r$ વધે છે તેમ તે વધે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\omega = J / I$. $J$ અચળ હોવાથી,$\omega$ એ $I$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી,જેમ $I$ ઘટે છે,તેમ $\omega$ વધે છે,અને જેમ $I$ વધે છે,તેમ $\omega$ ઘટે છે.
આમ,કોણીય વેગ $\omega(t)$ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ વર્તણૂકને અનુરૂપ છે.

(D) તણાવ બળ ત્રિજ્યાની દિશામાં લાગતું હોવાથી,પરિભ્રમણના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,દળનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $m$ એ દળ છે,$v_1$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,અને $r_1 = r$ એ પ્રારંભિક ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $v_2$ એ અંતિમ વેગ છે અને $r_2 = r/2$ એ અંતિમ ત્રિજ્યા છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_1 r = v_2 (r / 2)$
$v_2 = 2 v_1$
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} m v_1^2$ છે.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $KE_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (2 v_1)^2 = 4 (\frac{1}{2} m v_1^2) = 4 KE_1$ છે.
આમ,ગતિ ઊર્જા $4$ ના અવયવથી વધશે.

(A) ધારો કે તક્તિ $I$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1$ અને કોણીય ઝડપ $\omega_1$ છે.
ધારો કે તક્તિ $II$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ અને કોણીય ઝડપ $\omega_2$ છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ છે.
જ્યારે તક્તિઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2$ થાય છે.
ધારો કે તંત્રની અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$
$\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega^2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \left( \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 \right) - \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta K = \frac{I_1 I_2 (\omega_1 - \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,વ્યક્તિ અને પ્લેટફોર્મ એક અલગ સિસ્ટમ બનાવે છે જેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
તેથી,જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ ફેલાવે છે,ત્યારે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ વધે છે,જેના કારણે કોણીય વેગ $\omega$ ઘટે છે,પરંતુ તેમનો ગુણાકાર $L = I\omega$ અચળ રહે છે.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R \omega$ છે.
જમીન પરના કોઈ બિંદુ (ઉગમબિંદુ $O$) ની સાપેક્ષે ગબડતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$L_O = L_{cm} + L_{spin}$
$L_O = M v R + I_{cm} \omega$
અહીં $v = R \omega$ અને તકતીની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ હોવાથી:
$L_O = M (R \omega) R + (\frac{1}{2} M R^2) \omega$
$L_O = M R^2 \omega + \frac{1}{2} M R^2 \omega$
$L_O = \frac{3}{2} M R^2 \omega$

(A) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી:
$I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$
$\omega_f = \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i$
તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2$ છે.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2$ છે.
$\omega_f$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \omega_i \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_t^2}{I_t + I_b} \omega_i^2$.
ઘર્ષણને કારણે ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta K = K_i - K_f$ છે:
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} \frac{I_t^2}{I_t + I_b} \omega_i^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I_b I_t}{I_t + I_b} \omega_i^2$.

(C) રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = MR^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = \omega$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.
$R$ અંતરે બે $m$ દળ જોડ્યા પછી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ થાય છે.
તેથી,$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} (M + 2m)R^2 \left( \frac{M \omega}{M + 2m} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 - \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$.
$\Delta K = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( 1 - \frac{M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{M + 2m - M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{2m}{M + 2m} \right) = \frac{Mm}{(M + 2m)} \omega^2 R^2$.

(D) પથ્થરનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ રેખીય વેગ છે,$r$ ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગમાન અચળ હોવાથી,આપણી પાસે $mr^2\omega = C$ છે (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega = \frac{C}{mr^2}$.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T = m\omega^2r$.
તણાવના સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = m \left( \frac{C}{mr^2} \right)^2 r = m \left( \frac{C^2}{m^2r^4} \right) r = \frac{C^2}{mr^3} = \left( \frac{C^2}{m} \right) r^{-3}$.
આને $T = Ar^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{C^2}{m}$ અને $n = -3$ મળે છે.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$ .
સળિયાની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{ML^2}{12}$ છે. મણકા કેન્દ્ર પર હોવાથી,અક્ષથી તેમનું પ્રારંભિક અંતર $0$ છે. તેથી,$I_i = \frac{ML^2}{12}$ .
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega_0 = \left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0$ છે.
જ્યારે મણકા છેડા પર પહોંચે છે,ત્યારે અક્ષથી તેમનું અંતર $L/2$ હોય છે. અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = \frac{ML^2}{12} + 2 \left( m \left( \frac{L}{2} \right)^2 \right) = \frac{ML^2}{12} + \frac{2mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ છે.
$L_i = L_f$ નો ઉપયોગ કરતા: $\left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0 = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right) \omega_f$ .
$\omega_f$ માટે ઉકેલતા: $\omega_f = \frac{M\omega_0}{M + 6m}$.

(D) પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2})^2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{16} I_1 \omega_1^2 = \frac{9}{16} I_1 \omega_1^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 + (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2}) = (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f$.
$I_1 \omega_1 + \frac{1}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \frac{5}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac{5}{6} \omega_1$.
અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} I_1) (\frac{5}{6} \omega_1)^2 = \frac{3}{4} I_1 (\frac{25}{36} \omega_1^2) = \frac{25}{48} I_1 \omega_1^2$.
ઉર્જામાં ફેરફાર $E_f - E_i = I_1 \omega_1^2 (\frac{25}{48} - \frac{9}{16}) = I_1 \omega_1^2 (\frac{25 - 27}{48}) = -\frac{2}{48} I_1 \omega_1^2 = -\frac{I_1 \omega_1^2}{24}$.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,તકતી અને વંદો બંને સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 0$ છે.
ધારો કે તકતીનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. વંદો જમીનની સાપેક્ષે $V$ વેગથી ગતિ કરે છે. વંદાનું કોણીય વેગમાન $L_c = mvr = (\frac{M}{2})VR$ છે.
તકતીનું કોણીય વેગમાન $L_d = I\omega = (\frac{MR^2}{2})\omega$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ અંતિમ કોણીય વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $L_c + L_d = 0$.
$(\frac{M}{2})VR + (\frac{MR^2}{2})\omega = 0$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $(\frac{MR^2}{2})\omega = -(\frac{M}{2})VR$.
$\omega = -\frac{V}{R}$.
કોણીય વેગનું મૂલ્ય $\frac{V}{R}$ છે,અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તકતી વંદાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે તે માટે,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ લાગતું કુલ ટોર્ક $\vec{\tau}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ટોર્ક એ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{i} [(-6)(6) - (-12)(3)] - \hat{j} [(2)(6) - (-12)(\alpha)] + \hat{k} [(2)(3) - (-6)(\alpha)] = 0$
$\hat{i} [-36 + 36] - \hat{j} [12 + 12\alpha] + \hat{k} [6 + 6\alpha] = 0$
$0\hat{i} - (12 + 12\alpha)\hat{j} + (6 + 6\alpha)\hat{k} = 0$
આ સદિશ શૂન્ય થવા માટે,દરેક ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$12 + 12\alpha = 0 \Rightarrow 12\alpha = -12 \Rightarrow \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $-1$ છે.

(D) બાહ્ય ટોર્ક $(\tau_{ext})$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau_{ext} = \frac{dL}{dt}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય, તો $\tau_{ext} = 0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $\frac{dL}{dt} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે કોણીય વેગમાન $(L)$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
આને કોણીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
પૃથ્વી એક નક્કર ગોળો હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે. કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{n}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$
$R^2 \left(\frac{1}{T_1}\right) = \frac{R^2}{n^2} \left(\frac{1}{T_2}\right)$
$T_1 = 24 \ hr$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{24} = \frac{1}{n^2 T_2}$
$T_2 = \frac{24}{n^2} \ hr$

(B) તરવૈયો જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટાડવા માટે તેના શરીરને વાળે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
શરીરને વાળવાથી, દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે, જેનાથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
જેহেতু $L$ અચળ રહે છે, તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $(\omega)$ વધે છે.
આનાથી તરવૈયો ઝડપથી પરિભ્રમણ કરી શકે છે અને મર્યાદિત સમયમાં સફળતાપૂર્વક સોમરસોલ્ટ (કલાબાજી) પૂર્ણ કરી શકે છે.

(C) $1$. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે. જેમ દડા બહારની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega$ ઘટે છે.
$2$. તંત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં છે અને તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. ભ્રમણની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ છે. $L$ અચળ હોવાથી અને દડા બહારની તરફ જતાં $I$ વધતું હોવાથી,ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા $K$ ઘટવી જોઈએ.
$4$. દડા બહારની તરફ ગતિ કરે ત્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે કાર્ય કરે છે. આ કાર્ય ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જાના ભોગે થાય છે. તંત્ર અલગ હોવાથી અને કોઈ ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળો ન હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા (ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા + સ્થિતિ ઊર્જા) અચળ રહે છે. આમ,'તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જા ઘટશે' એ વિધાન ખોટું હોઈ શકે છે કારણ કે ત્રિજ્યાવર્તી ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે કારણ કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
પૃથ્વી એક ગોળો હોવાથી,તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે. કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ દિવસનો સમયગાળો છે.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2\pi}{24} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{n}\right)^2 \times \frac{2\pi}{T'}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{2}{5} M$ અને $2\pi$ ને દૂર કરતા:
$R^2 \times \frac{1}{24} = \frac{R^2}{n^2} \times \frac{1}{T'}$
$T'$ માટે ઉકેલતા:
$T' = \frac{24}{n^2} \text{ કલાક}$

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, $L = I\omega = \text{constant}$, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
જેમ કીડી ડિસ્કના કિનારેથી કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ભ્રમણાક્ષથી કીડીનું અંતર ઘટતું જાય છે, જેના કારણે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$L$ અચળ હોવાથી, $I$ ઘટતા કોણીય વેગ $\omega$ વધવો જોઈએ.
જેમ કીડી કેન્દ્રથી બીજા કિનારા તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ભ્રમણાક્ષથી અંતર વધે છે, જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે.
પરિણામે, કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી, ડિસ્કનો કોણીય વેગ પહેલા વધશે અને પછી ઘટશે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$.
તેથી,અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો (ઉર્જાનો વ્યય) = પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા - અંતિમ ગતિ ઉર્જા.
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2$.
$\omega_f$ ની કિંમત મૂકતા,$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right)^2 \omega_i^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left[ 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right]$.
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left[ \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{I_b I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i^2$.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L_{ang}$ સંરક્ષિત રહે છે.
$L_{initial} = L_{final}$
$I_1 \omega_0 = I_2 \omega_2$
શરૂઆતમાં,મણકા કેન્દ્રમાં હોવાથી,ભ્રમણાક્ષથી તેમનું અંતર $0$ છે. તેથી તંત્રની જડત્વની માત્રા ફક્ત સળિયા જેટલી જ છે:
$I_1 = \frac{ML^2}{12}$
જ્યારે મણકા સળિયાના છેડા પર પહોંચે છે,ત્યારે ભ્રમણાક્ષથી તેમનું અંતર $L/2$ થાય છે. તંત્રની નવી જડત્વની માત્રા:
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + 2 \times m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{2mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{(M + 6m)L^2}{12}$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{ML^2}{12} \omega_0 = \frac{(M + 6m)L^2}{12} \omega_2$
$\omega_2 = \frac{M\omega_0}{M + 6m}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક જેટલો હોય છે,જેને $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય $(\vec{\tau}_{ext} = 0)$,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,જો કોઈ પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય તો ગતિશીલ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, કારણ કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું નથી, તેથી કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે ચીકણું પ્રવાહી કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે અને તે ફેલાય છે, ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની અક્ષથી દૂર જાય છે, જેનાથી સિસ્ટમની જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) $I$ વધે છે.
જેમ કે $L = I\omega$ અચળ છે, $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ જેમ પ્રવાહી અંતે પ્લેટફોર્મ પરથી નીચે પડી જાય છે, તેમ સિસ્ટમનું દળ ઘટે છે, જેના કારણે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ફરીથી તેના મૂળ મૂલ્ય તરફ ઘટે છે.
પરિણામે, જેમ પ્રવાહી પ્લેટફોર્મ છોડે છે તેમ કોણીય વેગ $\omega$ ફરીથી વધે છે.

(A) કોઈપણ બાહ્ય ટોર્ક લાગુ પડતું ન હોવાથી,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
આપણે જાણીએ છીએ કે જડત્વની માત્રા $I$ ને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ના સંદર્ભમાં $I = MK^2$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $K_1/K_2$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$

(A) પૃથ્વી અને તેનું વાતાવરણ એક તંત્ર બનાવે છે. બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં આ તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I\omega = \text{constant}$
જ્યારે વાતાવરણમાં મોટા હવાના જથ્થાનું સ્થળાંતર થાય છે, ત્યારે પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ બદલાય છે, જે પૃથ્વી-વાતાવરણ તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં ફેરફાર લાવે છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહેવું જોઈએ, તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં થતો કોઈપણ ફેરફાર પૃથ્વીના કોણીય વેગ $(\omega)$ માં અનુરૂપ ફેરફાર લાવે છે.
આથી, હવાના જથ્થાનું સ્થળાંતર પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ઝડપમાં નાના અને છૂટાછવાયા ફેરફારોનું કારણ બને છે.
આમ, $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં,દરેક કણ પર લાગતું બળ બળના કેન્દ્ર અને કણને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે.
બળ ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર હોય છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\vec{r}$ અને $\vec{F}$ સમાંતર હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે અથડામણ પછી તંત્રની કોણીય વેગ $\omega$ છે.
સળિયાને લંબ $m$ દળના વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(\theta) = v \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
ધરી (સળિયાનું કેન્દ્ર) ની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_{initial} = L_{final}$
$m v_{\perp} r = I_{total} \omega$
$m \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\ell}{2}\right) = \left( I_{rod} + I_{mass} \right) \omega$
સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{M \ell^2}{12} = \frac{(4m) \ell^2}{12} = \frac{m \ell^2}{3}$ છે.
$\frac{\ell}{2}$ અંતરે રહેલા $m$ દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{mass} = m \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \frac{m \ell^2}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \left( \frac{m \ell^2}{3} + \frac{m \ell^2}{4} \right) \omega$
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \left( \frac{4m \ell^2 + 3m \ell^2}{12} \right) \omega$
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \frac{7m \ell^2}{12} \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \left( \frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} \right) \left( \frac{12}{7 m \ell^2} \right) = \frac{6 v}{7 \sqrt{2} \ell} = \frac{6 \sqrt{2} v}{14 \ell} = \frac{3 \sqrt{2}}{7} \frac{v}{\ell}$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_{1} = 40\; rev/min$.
અંતિમ કોણીય વેગ $= \omega_{2}$.
હાથ ફેલાવેલા હોય ત્યારે બાળકની જડત્વની આઘૂર્ણ $= I_{1}$.
હાથ વાળેલા હોય ત્યારે બાળકની જડત્વની આઘૂર્ણ $= I_{2}$.
બંને જડત્વની આઘૂર્ણ વચ્ચેનો સંબંધ: $I_{2} = \frac{2}{5} I_{1}$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
તેથી,$I_{2} \omega_{2} = I_{1} \omega_{1}$.
$\omega_{2} = \frac{I_{1}}{I_{2}} \omega_{1} = \frac{I_{1}}{\frac{2}{5} I_{1}} \times 40 = \frac{5}{2} \times 40 = 100\; rev/min$.
$(b)$ અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $E_{F} = \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}$.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $E_{I} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}$.
$\frac{E_{F}}{E_{I}} = \frac{\frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}}{\frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}} = \frac{2}{5} \times \left(\frac{100}{40}\right)^{2} = \frac{2}{5} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{4} = 2.5$.
તેથી,$E_{F} = 2.5 E_{I}$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં થયેલો વધારો બાળકે તેના હાથ વાળવા માટે કરેલા કાર્યને કારણે છે,જે તેની આંતરિક સ્નાયુબદ્ધ ઉર્જા દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે.