Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Gujarati

(A) માણસ અને પ્લેટફોર્મ સિસ્ટમની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{man+platform} = 7.6\; kg\; m^2$.
વજનની પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{w1} = 2 \times m r_1^2 = 2 \times 5 \times (0.9)^2 = 8.1\; kg\; m^2$.
કુલ પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_i = 7.6 + 8.1 = 15.7\; kg\; m^2$.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_i = 30\; rev/min$.
વજનની અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{w2} = 2 \times m r_2^2 = 2 \times 5 \times (0.2)^2 = 0.4\; kg\; m^2$.
કુલ અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_f = 7.6 + 0.4 = 8.0\; kg\; m^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.
$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{15.7 \times 30}{8.0} = 58.875\; rev/min \approx 58.88\; rev/min$.
$(b)$ ગતિ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2$ એ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2$ કરતા વધારે છે. ગતિ ઉર્જામાં આ વધારો માણસ દ્વારા તેના હાથને કેન્દ્રત્યાગી બળની વિરુદ્ધ અંદરની તરફ ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્યને કારણે છે.

(A) ગોળીનું દળ,$m = 10 \; g = 0.01 \; kg$.
ગોળીનો વેગ,$v = 500 \; m/s$.
દરવાજાની પહોળાઈ,$L = 1.0 \; m$.
દરવાજાનું દળ,$M = 12 \; kg$.
ગોળી કેન્દ્રમાં ખૂંપી જાય છે,તેથી મિજાગરાથી અંતર $r = L/2 = 0.5 \; m$ છે.
મિજાગરાની સાપેક્ષ ગોળીનું કોણીય વેગમાન: $L_{bullet} = mvr = 0.01 \times 500 \times 0.5 = 2.5 \; kg \cdot m^2/s$.
મિજાગરાની સાપેક્ષ દરવાજાની જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{door} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 12 \times (1.0)^2 = 4 \; kg \cdot m^2$.
મિજાગરાની સાપેક્ષ ગોળીની જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{bullet} = mr^2 = 0.01 \times (0.5)^2 = 0.0025 \; kg \cdot m^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{door} + I_{bullet} = 4 + 0.0025 = 4.0025 \; kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_{bullet} = I \omega$.
$\omega = \frac{2.5}{4.0025} \approx 0.6246 \; rad/s \approx 0.625 \; rad/s$.

(N/A) આપેલી આકૃતિ એક જ દ્રઢ પદાર્થની બે અલગ-અલગ પ્રકારની ગતિ દર્શાવે છે.
ધારો કે $P$ એ પદાર્થ પરનું કોઈ બિંદુ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ પર છે.
$O$ ના પથ એ પદાર્થના સ્થાનાંતરિત પથ $Tr_{1}$ અને $Tr_{2}$ છે. સમયની ત્રણ અલગ-અલગ ક્ષણો પર $O$ અને $P$ ના સ્થાન બંને આકૃતિઓમાં અનુક્રમે $(O_{1}, O_{2}, O_{3})$ અને $(P_{1}, P_{2}, P_{3})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
આકૃતિ $(a)$ માં,એવું જોવા મળે છે કે પદાર્થ ગતિ કરે ત્યારે તેનું અભિવિનય (orientation) બદલાતું નથી. રેખાખંડ $OP$ તમામ સ્થાનો પર સમક્ષિતિજ દિશા સાથે સમાન ખૂણો જાળવી રાખે છે.
$\therefore \alpha_{1} = \alpha_{2} = \alpha_{3}$
આવી ગતિને શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં,દ્રઢ પદાર્થના તમામ કણો,જેમ કે $O$ અને $P$,કોઈપણ ક્ષણે સમાન વેગ ધરાવે છે. આકૃતિ $(b)$ માં,જે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિનું સંયોજન દર્શાવે છે,$O$ અને $P$ ના વેગ અલગ-અલગ હોય છે કારણ કે પદાર્થ સ્થાનાંતરિત થવાની સાથે ફરે પણ છે. પરિણામે,$\alpha_{1} \neq \alpha_{2} \neq \alpha_{3}$.
આ પ્રકારની ગતિ એ શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિનું સંયોજન છે.
આવી ગતિનું બીજું ઉદાહરણ નળાકારની ગબડતી ગતિ છે. જ્યારે નળાકાર ઢાળ પરથી ગબડે છે,ત્યારે તેની ગતિ તેના કેન્દ્રીય અક્ષની આસપાસની ચાકગતિ અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનું સંયોજન હોય છે.
જો દ્રઢ પદાર્થની ગતિ કોઈ નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ન હોય અથવા સ્થિર ન હોય,તો તે કાં તો શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ હોય છે અથવા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિનું સંયોજન હોય છે.
જો પદાર્થની ગતિ કોઈ નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ મર્યાદિત હોય અથવા તેને ધરી પર જડિત કરવામાં આવી હોય,તો તેને ચાકગતિ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ચાકગતિ સ્થિર અક્ષ અથવા બદલાતી અક્ષની આસપાસ થઈ શકે છે.

(C) સંયુક્ત સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય ગતિ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થ એવી રીતે ગતિ કરે કે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે અને તે જ સમયે પદાર્થ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ફરે.
ઉદાહરણ તરીકે,રસ્તા પર ગબડતું પૈડું સ્થાનાંતરિત ગતિ (પૈડાનું કેન્દ્ર આગળ વધે છે) અને ભ્રમણીય ગતિ (પૈડું તેની ધરી પર ફરે છે) બંને દર્શાવે છે.

(N/A) કણોના તંત્રનું કોઈ બિંદુ (સંદર્ભ ફ્રેમના ઉગમબિંદુ તરીકે લેવાયેલ) ની સાપેક્ષે કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ માં થતો સમય સાથેનો ફેરફાર, તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}_{ext}$ ના સરવાળા બરાબર હોય છે.
$\therefore \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{\tau}_{ext}$
જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય, એટલે કે $\vec{\tau}_{ext} = 0$, તો:
$\frac{d \vec{L}}{d t} = 0$
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{L} = \text{અચળ}$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ: "જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય, તો તેનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે."
અહીં, $\vec{L} = \text{અચળ}$ એ ત્રણ અદિશ સમીકરણોને સમતુલ્ય છે:
$L_{x} = K_{1}, L_{y} = K_{2}, \text{ અને } L_{z} = K_{3}$
જ્યાં $K_{1}, K_{2}, \text{ અને } K_{3}$ અચળાંકો છે, અને $L_{x}, L_{y}, \text{ અને } L_{z}$ એ કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ના અનુક્રમે $X, Y, \text{ અને } Z$ અક્ષો પરના ઘટકો છે. કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે તેનો અર્થ એ છે કે આ દરેક ઘટકનું સંરક્ષણ થાય છે.

(N/A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ: જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગાણિતિક તારવણી:
નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતી ગતિ માટે કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = I \vec{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d \overrightarrow{L}}{d t} = I \frac{d \vec{\omega}}{d t} = I \vec{\alpha} = \vec{\tau}$.
જો બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\frac{d \overrightarrow{L}}{d t} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{L} = \text{અચળ}$.
ઉદાહરણ:
ધારો કે એક છોકરી સ્વિવેલ ખુરશી પર બેઠી છે અને તેના હાથ ફેલાવેલા છે. તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1$ અને કોણીય વેગ $\omega_1$ છે. જ્યારે તે તેના હાથ અંદરની તરફ ખેંચે છે,ત્યારે તેની જડત્વની આઘૂર્ણ ઘટીને $I_2$ થાય છે (જ્યાં $I_2 < I_1$). બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$. કારણ કે $I_2 < I_1$,તેથી $\omega_2 > \omega_1$ થાય. આમ,જ્યારે છોકરી તેના હાથ વાળે છે ત્યારે તેનો કોણીય વેગ વધે છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે ધ્રુવો પરનો બરફ પીગળીને વિષુવવૃત્ત તરફ વહે છે, ત્યારે પૃથ્વીનું દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર જાય છે.
આનાથી પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે.
કારણ કે $L$ અચળ છે, જો $I$ વધે, તો સમીકરણ $\omega = L/I$ ને સંતોષવા માટે કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી, પૃથ્વીનો કોણીય વેગ ઘટે છે.

(N/A) તક્તીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $v = R\omega$ જેટલા રેખીય વેગથી ગતિ કરે છે અને તે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને $\omega$ કોણીય ઝડપથી ચાકગતિ કરે છે.
બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને કુલ કોણીય વેગમાન $L$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે મળતું કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિને કારણે મળતા કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે.
$L = L_{cm} + L_{rot}$
$L = (Mv)R + I_{cm}\omega$
અહીં $v = R\omega$ અને $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ હોવાથી:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(D) ડિસ્ક સમાન દિશામાં ફરી રહી હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$
$L_{i} = (0.1 \times 10) + (0.2 \times 5) = 1 + 1 = 2 \; kg \cdot m^{2} \cdot s^{-1}$
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$
$2 = (0.1 + 0.2) \omega_{f} = 0.3 \omega_{f}$
$\omega_{f} = \frac{2}{0.3} = \frac{20}{3} \; rad \cdot s^{-1}$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega_{f}^{2}$
$K_{f} = \frac{1}{2}(0.3) \left(\frac{20}{3}\right)^{2} = 0.15 \times \frac{400}{9} = \frac{15}{100} \times \frac{400}{9} = \frac{60}{9} = 6.67 \; J$.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega_i = (I_{\text{person}} + I_{\text{platform}}) \omega_i$.
$I_{\text{person}} = mR^2 = 80R^2$ અને $I_{\text{platform}} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times R^2 = 100R^2$.
તેથી,$L_i = (80R^2 + 100R^2) \omega_i = 180R^2 \omega_i$.
જ્યારે વ્યક્તિ કેન્દ્ર પર પહોંચે છે,ત્યારે અક્ષથી તેનું અંતર $0$ થઈ જાય છે,તેથી $I_{\text{person}} = 0$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (0 + 100R^2) \omega_f = 100R^2 \omega_f$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા: $180R^2 \omega_i = 100R^2 \omega_f$.
$180 \times 5 = 100 \times \omega_f$.
$\omega_f = \frac{900}{100} = 9\, rpm$.

(C) ધારો કે મોટી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^{2}}{2}$ છે.
નાની તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{M(R/2)^{2}}{2} = \frac{MR^{2}}{8} = \frac{I}{4}$ થાય.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન:
$L_{i} = L_{f}$
$I\omega_{1} + I_{2}(0) = (I + I_{2})\omega_{2}$
$I\omega_{1} = (I + I/4)\omega_{2}$
$I\omega_{1} = \frac{5I}{4}\omega_{2} \Rightarrow \omega_{2} = \frac{4\omega_{1}}{5}$.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_{1} = \frac{1}{2}I\omega_{1}^{2}$ છે.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_{2} = \frac{1}{2}(I + I_{2})\omega_{2}^{2} = \frac{1}{2}(I + I/4)(\frac{4\omega_{1}}{5})^{2} = \frac{1}{2}(\frac{5I}{4})(\frac{16\omega_{1}^{2}}{25}) = \frac{1}{2}I\omega_{1}^{2}(\frac{4}{5})$.
ગુમાવેલી ઉર્જાની ટકાવારી $p\% = \frac{K_{1} - K_{2}}{K_{1}} \times 100\%$.
$p\% = \frac{K_{1} - \frac{4}{5}K_{1}}{K_{1}} \times 100\% = (1 - 0.8) \times 100\% = 20\%$.
આમ,$p$ નું મૂલ્ય $20$ છે.

(C) અથડામણ દરમિયાન ધરી (pivot) પર લાગતું આઘાતી બળ શૂન્ય હોવાથી,ધરીને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v L$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{total} \omega$,જ્યાં $I_{total} = I_{rod} + I_{particle} = \frac{M L^2}{3} + m L^2$.
$L_i = L_f$ લેતા:
$m v L = \left( \frac{M L^2}{3} + m L^2 \right) \omega$
આપેલ કિંમતો $(M = 0.9\, kg, m = 0.1\, kg, L = 1\, m, v = 80\, m/s)$ મૂકતા:
$0.1 \times 80 \times 1 = \left( \frac{0.9 \times 1^2}{3} + 0.1 \times 1^2 \right) \omega$
$8 = (0.3 + 0.1) \omega$
$8 = 0.4 \omega$
$\omega = \frac{8}{0.4} = 20\, rad/s$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$I\omega + 3I \times 0 = (I + 3I)\omega'$
$I\omega = 4I\omega'$
$\omega' = \frac{\omega}{4}$
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(KE)_i = \frac{1}{2}I\omega^2$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(KE)_f = \frac{1}{2}(I + 3I)(\omega')^2 = \frac{1}{2}(4I)\left(\frac{\omega}{4}\right)^2 = 2I \times \frac{\omega^2}{16} = \frac{I\omega^2}{8}$
ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta KE = (KE)_i - (KE)_f = \frac{1}{2}I\omega^2 - \frac{1}{8}I\omega^2 = \frac{3}{8}I\omega^2$
ગતિ ઊર્જામાં આંશિક ઘટાડો = $\frac{\Delta KE}{(KE)_i} = \frac{\frac{3}{8}I\omega^2}{\frac{1}{2}I\omega^2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$

(C) તકતી અને જીવડાના બનેલા તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = I_{disc} + I_{insect} = \frac{1}{2}MR^2 + mx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ તકતીનું દળ છે,$R$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે,$m$ એ જીવડાનું દળ છે,અને $x$ એ કેન્દ્રથી જીવડાનું અંતર છે.
જેમ જીવડું કિનારી $(x = R)$ થી કેન્દ્ર $(x = 0)$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $x$ ઘટે છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
જેમ જીવડું કેન્દ્ર $(x = 0)$ થી વ્યાસના બીજા છેડા $(x = R)$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $x$ વધે છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\omega = \frac{L}{I}$. જ્યારે $I$ ઘટે છે,ત્યારે $\omega$ વધે છે,અને જ્યારે $I$ વધે છે,ત્યારે $\omega$ ઘટે છે.
આમ,તકતીની કોણીય ઝડપ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(B) ધારો કે તકતીનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે $v$ વેગથી ગતિ કરતો $m$ દળનો કણ તકતીની કિનારી પર અથડાય છે,ત્યારે તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = mvr$.
તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{disc} + I_{particle} = \frac{1}{2}MR^2 + mR^2 = (\frac{M}{2} + m)R^2 = \frac{M+2m}{2}R^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,તેથી $mvR = I_f \omega$.
$mvR = \frac{M+2m}{2}R^2 \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega = \frac{2mvR}{(M+2m)R^2} = \frac{2mv}{R(M+2m)}$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન અને અંતિમ કોણીય વેગમાન સમાન રહે છે.
તકતીની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} M R^{2}$ છે.
તકતીની ધાર પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) $m$ દળના બે ગોળાઓ જોડ્યા પછી તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + m R^{2} + m R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + 2 m R^{2} = R^{2} (\frac{M}{2} + 2m) = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m)$ થાય.
$L_{initial} = L_{final}$ લેતા:
$I_{1} \omega_{1} = I_{2} \omega_{2}$
$\frac{1}{2} M R^{2} \omega_{1} = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m) \omega_{2}$
$\omega_{2}$ માટે ઉકેલતા:
$\omega_{2} = \left(\frac{M}{M + 4m}\right) \omega_{1}$.

(C) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega = 2 \; rad \; s^{-1}$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega = (M R^2) \times 2 = 2 M R^2$.
જ્યારે $m$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના સામસામેના છેડાઓ પર જોડવામાં આવે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega'$ છે. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$I \omega = I' \omega'$
$2 M R^2 = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{2 M}{M + 2m} \; rad \; s^{-1}$.

(B) જ્યારે માણસ ટ્રેનમાંથી ઉતરે છે,ત્યારે પ્લેટફોર્મ પરના સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં તેનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$L_{\text{initial}} = L_{\text{final}}$
શરૂઆતમાં,માણસ $m$ દળના કણ તરીકે વર્તે છે જે જમીનથી $h = l/2$ ઊંચાઈએ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. તેથી,$L_{\text{initial}} = m v (l/2)$.
ઉતર્યા પછી,માણસ જમીન પર સ્થિર એક છેડાની આસપાસ ફરતા $l$ લંબાઈના દ્રઢ સળિયા તરીકે વર્તે છે. એક છેડાની સાપેક્ષમાં સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{3}$ છે.
તેથી,$m v (l/2) = I \omega$
$m v (l/2) = \left( \frac{m l^2}{3} \right) \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{3 v (l/2)}{l^2} = \frac{3 v}{2 l}$
અહીં $v = 2 \, m/s$ અને $l = 1.5 \, m$ આપેલ છે:
$\omega = \frac{3 \times 2}{2 \times 1.5} = \frac{6}{3} = 2 \, rad/s$.

(D) $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને ગોળી અને બ્લોકના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,$AB$ ને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રથમ,સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને બ્લોકની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો:
$I_{AB} = I_{CM} + Mh^2$
અહીં $I_{CM} = 2Ma^2/3$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $AB$ અક્ષ સુધીનું અંતર $h = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ છે.
$I_{AB} = \frac{2}{3}Ma^2 + M(\sqrt{2}a)^2 = \frac{2}{3}Ma^2 + 2Ma^2 = \frac{8}{3}Ma^2$.
હવે,$AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$L_{initial} = L_{final}$
$mvr = I_{AB}\omega$
જ્યાં $r = 4a/3$ એ $AB$ અક્ષથી ગોળીના પથનું લંબ અંતર છે.
$m v (\frac{4a}{3}) = (\frac{8}{3}Ma^2) \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{mv(4a/3)}{8Ma^2/3} = \frac{4mva}{8Ma^2} = \frac{mv}{2Ma}$.

(D) તકતીઓના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega \quad ...(i)$
જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $\omega_1$ તથા $\omega_2$ એ તેમની કોણીય ઝડપ છે. $\omega$ એ બંને તકતીઓના સંયોજનની કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$I_1 = 4.25 \,kg \cdot m^2, \omega_1 = 15 \,rps$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં,ધન લેતા)
$I_2 = 1.80 \,kg \cdot m^2, \omega_2 = -25 \,rps$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં,ઋણ લેતા)
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$
$(4.25 \times 15) + (1.80 \times -25) = (4.25 + 1.80) \omega$
$63.75 - 45 = 6.05 \omega$
$18.75 = 6.05 \omega$
$\omega = \frac{18.75}{6.05} \approx 3.099 \,rps$
પરિણામ ધન હોવાથી,દિશા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આમ,નવો કોણીય વેગ આશરે $3 \,rps$ અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સિસ્ટમના કોણીય વેગમાન $L$ માં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બાહ્ય ટોર્ક $\tau$ જેટલો હોય છે,જે સમીકરણ $\tau = \frac{dL}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે સિસ્ટમ પર લાગતો બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય $(\tau = 0)$,ત્યારે કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{dt} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન $L$ સમય સાથે અચળ રહે છે. આ રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમનું પરિભ્રમણીય સમકક્ષ છે,જ્યાં જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય તો રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(B) કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = I\vec{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જો જડત્વની માત્રા $I$ બદલાય,તો $\vec{L}$ ને અચળ રાખવા માટે $\vec{\omega}$ બદલાવવું જોઈએ.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે જો $\vec{L}$ અચળ હોય અને $\vec{\omega}$ ને અચળ રાખવામાં આવે,તો $I$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ. આમ,જો $\vec{\omega}$ અને $I$ અચળ હોય તો $\vec{L}$ બદલી શકાતું નથી.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $I$ બદલી શકાય છે (દા.ત. દળનું વિતરણ બદલીને),જેના પરિણામે $\vec{L}$ અચળ રહેતી વખતે $\vec{\omega}$ માં ફેરફાર થશે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $I$ અને $\vec{\omega}$ બંને એકસાથે બદલાઈ શકે છે જેથી તેમનો ગુણાકાર $I\vec{\omega}$ અચળ રહે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(D) પૃથ્વી તેની ભ્રમણ ગતિ માટે એક અલગ તંત્ર (isolated system) છે,તેથી તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે.
જ્યારે પૃથ્વીના પેટાળમાંથી ખનિજો કાઢીને સપાટી પર બહુમાળી ઇમારતો બાંધવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વીનું દળ વિતરણ ભ્રમણાક્ષથી દૂર જાય છે.
આનાથી પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે $(I = \sum mr^2)$.
જેમ કે કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે (કારણ કે $L = I\omega$ પરથી $\omega = L/I$ મળે છે).
કોણીય વેગ $\omega$ એ આવર્તકાળ $T$ સાથે $\omega = 2\pi/T$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $\omega$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,દિવસની લંબાઈ વધે છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 20 \, rad/s$ છે.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} mr^2 = \frac{1 \times (0.1)^2}{2} = 0.005 \, kg \cdot m^2$ છે.
જ્યારે $M = 0.5 \, kg$ દળ પરિઘ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + Mr^2 = 0.005 + 0.5 \times (0.1)^2 = 0.005 + 0.005 = 0.01 \, kg \cdot m^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.005 \times 20 = 0.01 \times \omega_2$.
$\omega_2 = \frac{0.1}{0.01} = 10 \, rad/s$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં ધરીની આસપાસ મીણનું કોણીય વેગમાન એ અથડામણ પછી તંત્ર (સ્ટીક + મીણ) ના કોણીય વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
અથડામણ પહેલાં મીણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,$v = 5 \,m/s$,અને $r = 0.5 \,m$ (કારણ કે સ્ટીક એક મીટરની છે અને તે કેન્દ્ર પર ધરી ધરાવે છે,તેથી કેન્દ્રથી છેડા સુધીનું અંતર $0.5 \,m$ છે).
$L = 0.02 \times 5 \times 0.5 = 0.05 \,kg \cdot m^2/s$.
અથડામણ પછી તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ છે,જ્યાં $I = 0.02 \,kg \cdot m^2$ એ ધરીની આસપાસ સ્ટીક અને મીણની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $0.05 = 0.02 \times \omega$.
$\omega = \frac{0.05}{0.02} = 2.5 \,rad/s$.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે તરવૈયો તેના હાથ અને પગને અંદરની તરફ ખેંચે છે,ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે,જેનાથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
કારણ કે $L = I\omega$ અચળ છે,તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $(\omega)$ માં વધારો થાય છે.
કોણીય વેગમાં આ વધારો તરવૈયાને ઝડપથી ફરવા અને હવામાં સરળતાથી લૂપ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

(C) ધારો કે તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 90 \text{ rpm} = 90 \times \frac{2\pi}{60} = 3\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 60 \text{ rpm} = 60 \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi \text{ rad/s}$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_1 = L_2$.
$I \omega_1 = (I + mr^2) \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $I(3\pi) = (I + mr^2)(2\pi)$.
$3I = 2I + 2mr^2$.
$I = 2mr^2$.

(D) ગોળા પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,જેનો અર્થ છે કે $I_i \omega_0 = I_f \omega'$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{2}{5} m r^2 \omega_0 = \frac{2}{5} m \left(\frac{r}{\eta}\right)^2 \omega'$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $r^2 \omega_0 = \frac{r^2}{\eta^2} \omega'$.
$\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega' = \eta^2 \omega_0$ મળે છે.

(D) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કદ મૂળ કદના $\frac{1}{64}$ ગણું થઈ જાય,તો $\frac{V'}{V} = \frac{1}{64} = \left(\frac{R'}{R}\right)^3$. આમ,$\frac{R'}{R} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $R' = \frac{R}{4}$.
પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોવાથી,તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે. નક્કર ગોળાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} M R^2 \omega_1 = \frac{2}{5} M (R')^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \left(\frac{R}{4}\right)^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \frac{R^2}{16} \omega_2$
$\omega_2 = 16 \omega_1$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\frac{2\pi}{T_2} = 16 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)$,જે સૂચવે છે કે $T_2 = \frac{T_1}{16}$.
$T_1 = 24 \text{ h}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $T_2 = \frac{24}{16} \text{ h}$ મળે છે.
આને $\frac{24}{x} \text{ h}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(A) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની માત્રા છે.
સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્યરત ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા એ જડત્વની માત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $K \propto \frac{1}{I}$.
ધારો કે $I_i$ અને $K_i = E$ એ અનુક્રમે પ્રારંભિક જડત્વની માત્રા અને પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા છે.
ધારો કે $I_f$ અને $K_f$ એ અનુક્રમે અંતિમ જડત્વની માત્રા અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $I_f = 3I_i$,તેથી:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{I_i}{I_f} = \frac{I_i}{3I_i} = \frac{1}{3}$.
આમ,$K_f = \frac{K_i}{3} = \frac{E}{3}$.
આને $\frac{E}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 = 10 \,kg \cdot m^2$ છે।
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega_i = 10 \times 10 = 100 \,kg \cdot m^2/s$ છે।
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \,J$ છે।
જ્યારે એક સમાન તકતી ઉપર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I + I = 2I = 20 \,kg \cdot m^2$ થાય છે।
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L_i = L_f$, તેથી $100 = I_f \omega_f = 20 \omega_f$।
આમ, અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{100}{20} = 5 \,rad/s$ છે।
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2 = 10 \times 25 = 250 \,J$ છે।
વ્યય થતી ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = 500 \,J - 250 \,J = 250 \,J$ છે।

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{2}{5}MR^2\right) \frac{2\pi}{T_1} = \left(\frac{2}{5}M(\frac{3}{4}R)^2\right) \frac{2\pi}{T_2}$
$R^2 \cdot \frac{1}{T_1} = (\frac{3}{4}R)^2 \cdot \frac{1}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{T_2}$
$T_2 = \frac{9}{16} \cdot T_1$
અહીં $T_1 = 24$ કલાક આપેલ છે:
$T_2 = \frac{9}{16} \times 24 = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ કલાક.
આમ,દિવસનો સમયગાળો $13$ કલાક $30$ મિનિટ થશે.

(C) પ્રથમ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$ છે.
જ્યારે $M/2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી તકતીને સહ-અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (M/2) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,એટલે કે $I_1 \omega = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2} MR^2) \omega = (\frac{3}{4} MR^2) \omega_2$.
નવા કોણીય વેગ $\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = \frac{1/2}{3/4} \omega = \frac{2}{3} \omega$.

(A) તકતીની તેની કેન્દ્રીય ધરીને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.4)^2 = 4 \ kg \ m^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 10 \ rad \ s^{-1}$ છે.
જ્યારે બે રીંગને તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવી જોઈએ. $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દરેક રીંગ માટે,તેની પોતાની કેન્દ્રીય ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $mr^2$ છે. ભ્રમણની ધરીથી દરેક રીંગના કેન્દ્રનું અંતર $r = 0.2 \ m$ છે. આમ,તકતીની ધરીને અનુલક્ષીને એક રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{ring} = mr^2 + mr^2 = 2mr^2 = 2 \times 6.25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \ m^2$ છે.
બે રીંગ મૂક્યા પછી તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{disc} + 2 \times I_{ring} = 4 + 2 \times 0.5 = 5 \ kg \ m^2$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10 = 5 \times \omega_2$.
$\omega_2 = \frac{40}{5} = 8 \ rad \ s^{-1}$.

(D) તંત્ર (પ્લેટફોર્મ + બે દડા) શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 0$ છે.
દડાઓ છોડ્યા પછી,કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ કરવા માટે પ્લેટફોર્મ દડાઓને મળેલા કોણીય વેગમાનની વિરુદ્ધ દિશામાં $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે.
ભ્રમણની ધરીની આસપાસ બે દડાઓનું કોણીય વેગમાન $L_{balls} = 2 \times (mvr) = 2mvr$ છે.
પ્લેટફોર્મનું કોણીય વેગમાન $L_{platform} = I\omega = \left(\frac{MR^2}{2}\right)\omega$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ કોણીય વેગમાન શૂન્ય રહે છે:
$L_{balls} + L_{platform} = 0$
$2mvr + \left(\frac{MR^2}{2}\right)\omega = 0$
મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\omega = \frac{4mvr}{MR^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m = 0.05 \ kg, M = 0.45 \ kg, v = 9 \ m/s, r = 0.25 \ m, R = 0.5 \ m$
$\omega = \frac{4 \times 0.05 \times 9 \times 0.25}{0.45 \times (0.5)^2} = 4 \ rad/s$

(D) સિસ્ટમની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + 0 = MR^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ છે.
આપેલ ક્ષણે,કોણીય ઝડપ $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ છે.
આ ક્ષણે સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ છે,જ્યાં $r_1 = \frac{3}{5} R$ અને $r_2$ એ બીજા દળનું અંતર છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.

(A) બળ $\vec{F} = -k(x \hat{i} + y \hat{j})$ એ $z$-અક્ષ તરફ લાગતું કેન્દ્રીય બળ છે. ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય છે કારણ કે બળ સદિશ હંમેશા $xy$-સમતલમાં છે. કોણીય વેગમાનનો $z$-ઘટક $L_z = m(x v_y - y v_x)$ સંરક્ષિત રહે છે.
$t=0$ સમયે,$\vec{r}_0 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 0)$ અને $\vec{v}_0 = (-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{2}{\pi})$ છે.
કોણીય વેગમાનનો $z$-ઘટક $L_z = m(x_0 v_{y0} - y_0 v_{x0}) = 1 \times [(\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})(-\sqrt{2})] = 1 + 2 = 3 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.
$L_z$ સંરક્ષિત હોવાથી,કોઈપણ સમયે $x v_y - y v_x = 3 \ m^2 \ s^{-1}$ થશે.

(B) નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
તેથી,$M \propto R^3$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ થી બદલાઈને $R/2$ થાય છે,ત્યારે દળ $M$ થી બદલાઈને $M' = M \cdot (1/2)^3 = M/8$ થાય છે.
ગોળા પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_1 = L_2$.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5}M'(R/2)^2)\omega_2$.
$(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{M}{8} \cdot \frac{R^2}{4})\omega_2$.
$MR^2 \omega_1 = (\frac{M R^2}{32}) \omega_2$.
$\omega_2 = 32 \omega_1$.
આને $x\omega_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 32$ મળે છે.

(D) કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી, સૂર્ય પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
$L = I \omega = \text{અચળ}$
સમાન ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી, $I \propto R^2$.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1$ અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R_2 = 2 R_1$ આપેલ છે, તેથી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} M (2 R_1)^2 = 4 \times (\frac{2}{5} M R_1^2) = 4 I_1$ થશે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $I_1 \omega_1 = (4 I_1) \omega_2$, જે આપણને $\omega_2 = \frac{\omega_1}{4}$ આપે છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી, $\frac{2 \pi}{T_2} = \frac{1}{4} \times \frac{2 \pi}{T_1}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_2 = 4 T_1$ મળે છે.
$T_1 = 27$ દિવસ આપેલ હોવાથી, નવો સમયગાળો $T_2 = 4 \times 27 = 108$ દિવસ થશે.

(C) પ્રથમ તકતીની તેના ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$.
$I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega_2$,જ્યાં $I_2$ એ બીજી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) R^2 = \frac{1}{4} I_1$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના સમીકરણમાં $I_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_1 \omega = (I_1 + \frac{1}{4} I_1) \omega_2$
$I_1 \omega = \frac{5}{4} I_1 \omega_2$
$\omega_2 = \frac{4}{5} \omega$.

(A) વિધાન સાચું છે કારણ કે,બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે. જો જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ બદલાય,તો $L$ ને અચળ રાખવા માટે કોણીય વેગ $\omega$ બદલાવો જોઈએ.
જોકે,પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ એ $I$ પર આધાર રાખે છે. $L$ અચળ હોવાથી,જો $I$ બદલાય,તો $K$ પણ બદલાશે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = I\omega$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જે સીધી રીતે પદાર્થની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ પર આધાર રાખે છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(C) શંકુ આકારના લોલકમાં,પદાર્થ (bob) અચળ ઝડપે સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. પદાર્થ પર લાગતા બળો તણાવ $(T)$ અને વજન $(mg)$ છે.
ઊભી ધરી નિલંબન બિંદુ અને વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તણાવ બળ નિલંબન બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને વજન બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. આ બંને બળો ઊભી ધરીમાંથી પસાર થાય છે અથવા તેને સમાંતર છે,જેના પરિણામે ઊભી ધરીની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય થાય છે.
ઊભી ધરીની આસપાસ ચોખ્ખું ટોર્ક $(\tau_{net} = 0)$ હોવાથી,આ ધરીની આસપાસ કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહે છે (અચળ રહે છે).
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત $(COAM)$ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
શરૂઆતમાં,છોકરો કેન્દ્ર પર છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $0$ છે. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 100 \ kg\ m^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{10} \ rad/s$ છે.
જ્યારે છોકરો કેન્દ્રથી $2 \ m$ દૂર જાય છે,ત્યારે તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{boy} = mr^2 = 20 \times (2)^2 = 80 \ kg\ m^2$ થાય છે.
નવી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = 100 + 80 = 180 \ kg\ m^2$ છે.
ધારો કે નવો સમયગાળો $T_2$ છે,તેથી $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$.
આ કિંમતોને $COAM$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$100 \times \frac{2\pi}{10} = 180 \times \frac{2\pi}{T_2}$
$10 = \frac{180}{T_2}$
$T_2 = \frac{180}{10} = 18 \ s$.

(A) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = Mr^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે કણોને અક્ષથી $r$ અંતરે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = Mr^2 + mr^2 + mr^2 = (M+2m)r^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L_i = L_f$.
$Mr^2 \omega = (M+2m)r^2 \omega'$.
નવી કોણીય ઝડપ $\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega' = \frac{Mr^2 \omega}{(M+2m)r^2} = \frac{\omega M}{M+2m}$ મળે છે.

(D) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે તક્તિઓને જોડવામાં આવે ત્યારે તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ છે.
જ્યારે તક્તિઓ સાથે ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે તેઓ $I = I_1 + I_2$ જેટલી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા અને $\omega$ જેટલી સામાન્ય કોણીય ઝડપ ધરાવતું એક તંત્ર બનાવે છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I_1 + I_2) \omega$ છે.
$L_i = L_f$ લેતા,આપણને $\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$ મળે છે.
તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$.
$K = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1$ છે અને અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = 0.75 I_1 = \frac{3}{4} I_1$ છે.
સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે,તેથી $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
આમ,$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2} \omega_1 = \frac{I_1}{0.75 I_1} \omega_1 = \frac{4}{3} \omega_1$.
પ્રારંભિક પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા $K_1 = \frac{L^2}{2 I_1}$ છે.
અંતિમ પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા $K_2 = \frac{L^2}{2 I_2} = \frac{L^2}{2 (0.75 I_1)} = \frac{L^2}{1.5 I_1} = \frac{4}{3} K_1$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = (\frac{4}{3} - 1) \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 \approx 33.3 \%$ છે.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega_1$,જ્યાં $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ અને $\omega_1 = \omega$ છે.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{\text{disc1}} + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{3}) R^2 = \frac{1}{2} R^2 (M + \frac{M}{3}) = \frac{1}{2} R^2 (\frac{4M}{3}) = \frac{2}{3} M R^2$ થાય.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{2}{3} M R^2) \omega_2$.
$\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = \frac{1/2}{2/3} \omega = \frac{3}{4} \omega$ મળે.

(A) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે: $L = I \omega = I^{\prime} \omega^{\prime}$.
આપેલ છે કે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime} = 2I$ છે,તેથી $2I \omega^{\prime} = I \omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{\prime} = \frac{\omega}{2}$.
નવી ગતિઊર્જા $K^{\prime} = \frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{\prime 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$K^{\prime} = \frac{1}{2} (2I) \left( \frac{\omega}{2} \right)^2 = I \left( \frac{\omega^2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} I \omega^2 \right) = \frac{K}{2}$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન:
$I_1 \omega_1 = (I_1 + I_2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{I_1 \omega_1}{I_1 + I_2}$
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2$ છે.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega_2^2$ છે.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $\omega_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_1^2 \omega_1^2}{I_1 + I_2}$.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta E = E_1 - E_2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 - \frac{1}{2} \frac{I_1^2 \omega_1^2}{I_1 + I_2}$.
$\Delta E = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 \left( 1 - \frac{I_1}{I_1 + I_2} \right) = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 \left( \frac{I_1 + I_2 - I_1}{I_1 + I_2} \right)$.
$\Delta E = \frac{1}{2} \left[ \frac{I_1 I_2}{I_1 + I_2} \right] \omega_1^2$.

(A) કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રથમ તકતીની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
શરૂઆતમાં,$L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$.
જ્યારે $\frac{M}{2}$ દળની બીજી તકતી પ્રથમ તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{2}) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $I_1 \omega = I_2 \omega_2$.
$\frac{1}{2} MR^2 \omega = \frac{3}{4} MR^2 \omega_2$.
$\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) \omega = \frac{2}{3} \omega$.