બે કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમની વચ્ચેના અંતરને કેવી રીતે વિભાજિત કરે છે?

ચાર સમાન ગોળાઓ, દરેકની ત્રિજ્યા $10 \,cm$ અને સમાન દળ $1 \,kg$ છે, તેમને એક સમક્ષિતિજ સપાટી પર એકબીજાને સ્પર્શે તે રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે જેથી તેમના કેન્દ્રો $20 \,cm$ બાજુવાળા ચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત હોય. કોઈપણ ગોળાના કેન્દ્રથી તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર કેટલું છે?

ત્રણ સમાન ગોળાઓ,દરેકનું દળ $1 \ kg$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજાને સ્પર્શે છે અને તેમના કેન્દ્રો એક સીધી રેખા પર છે. જો તેમના કેન્દ્રોને અનુક્રમે $P, Q, R$ તરીકે ચિહ્નિત કરવામાં આવે,તો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $P$ થી અંતર કેટલું હશે?

$R$ ત્રિજ્યાની એક સમાન તકતીને $2R$ ત્રિજ્યાની બીજી સમાન તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,જે સમાન દ્રવ્ય અને સમાન જાડાઈની બનેલી છે. બંને તકતીઓની પરિધિ એકબીજાને સ્પર્શે છે. મોટી તકતીના કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈને તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોની એક સિસ્ટમ છે. જો દળ $m_1$ ને સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર સુધી ધકેલવામાં આવે,તો દળ $m_2$ ને કેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવું જોઈએ જેથી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાય નહીં?

સમાન જાડાઈ અને ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પરંતુ અલગ-અલગ દ્રવ્યની બનેલી બે સમાન પ્લેટો,જેમાં એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ આકારની અને બીજી લંબચોરસ આકારની છે,તેમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડીને એક સંયુક્ત પદાર્થ બનાવવામાં આવે છે. જો આ સંયુક્ત પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમની સામાન્ય બાજુના મધ્યબિંદુ પર સ્થિત હોય,તો ત્રિકોણ અને લંબચોરસના દ્રવ્યમાનનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?