Spring Force Questions in Hindi

(C) जब किसी स्प्रिंग को दोनों सिरों से समान परिमाण के बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,तो स्प्रिंग में उत्पन्न तनाव आरोपित बल $F$ के परिमाण के बराबर होता है।
इस स्थिति में,स्प्रिंग के दोनों सिरों को $5 \, N$ के बल से खींचा जा रहा है।
अतः,स्प्रिंग में तनाव $5 \, N$ है।

(C) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{F^2}{2k}$ है,जहाँ $F$ आरोपित बल है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि दोनों स्प्रिंगों को समान बल $F$ से खींचा जाता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा स्प्रिंग नियतांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $U \propto \frac{1}{k}$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$ होगा।
यहाँ $k_1 = 1500 \ N/m$ और $k_2 = 3000 \ N/m$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(C) सबसे पहले,हुक के नियम $F = kx$ का उपयोग करके स्प्रिंग का बल नियतांक $(k)$ ज्ञात करें,जहाँ $F = mg$ है।
दिया गया है: $m = 1.0\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और विस्तार $x = 2\,cm = 0.02\,m$ है।
$k = \frac{mg}{x} = \frac{1.0 \times 10}{0.02} = 500\,N/m$ है।
अब,जब स्प्रिंग की लंबाई $60\,cm$ हो जाती है,तो उसका कुल विस्तार ज्ञात करें। मूल लंबाई $50\,cm$ है,इसलिए कुल विस्तार $x_{total} = 60\,cm - 50\,cm = 10\,cm = 0.1\,m$ है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 250 \times 0.01 = 2.5\,J$।

(A) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यानयन बल $F = kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
जब स्प्रिंग से $m$ द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो लगाया गया बल द्रव्यमान के भार के बराबर होता है,$F = mg$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें $mg = kx$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विस्तार $x = \frac{mg}{k}$ है।
यहाँ $m = 20\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,और $k = 4000\, N/m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $x = \frac{20 \times 9.8}{4000} = \frac{196}{4000} = 0.049\, m$.
विस्तार को सेंटीमीटर में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें: $x = 0.049 \times 100 = 4.9\, cm$.

(A) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ होता है।
हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव $T$ और विस्तार $x$ के बीच संबंध $T = kx$ है।
इससे,हम विस्तार को $x = \frac{T}{k}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब $x$ के इस मान को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने के लिए आवश्यक बल $F = kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$L$ लंबाई की स्प्रिंग के लिए,स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{L}$।
यदि स्प्रिंग की लंबाई आधी कर दी जाए $(L' = L/2)$,तो नया स्प्रिंग नियतांक $k'$ होगा $k' = k \cdot (L/L') = k \cdot (L / (L/2)) = 2k$।
बल-विस्थापन ग्राफ का ढाल (slope) स्प्रिंग नियतांक $k$ के बराबर होता है। चूंकि नया स्प्रिंग नियतांक $k'$ मूल मान का दोगुना है,इसलिए रेखा $OA$ का ढाल बढ़ जाएगा।
$F-x$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के ढाल में वृद्धि का अर्थ है कि रेखा $F$-अक्ष की ओर स्थानांतरित हो जाएगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यानयन बल $F$ उसमें उत्पन्न विस्तार $l$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,$F \propto l$।
आनुपातिकता चिह्न को हटाने पर,हम एक स्प्रिंग नियतांक $k$ का उपयोग करते हैं:
$F = kl$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।

(D) प्रारंभिक स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब $l$ लंबाई की स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ व्यक्तिगत नियतांकों का योग होता है:
$K_{eq} = k' + k' = 2k + 2k = 4k$.
हुक के नियम के अनुसार,$F = kx$। मूल स्प्रिंग के लिए,$W = kx$।
समानांतर संयोजन के लिए,समान भार $W$ लगाया जाता है,इसलिए $W = K_{eq} \times x'$,जहाँ $x'$ नई वृद्धि है।
मान रखने पर: $kx = 4k \times x'$।
$x'$ के लिए हल करने पर,हमें $x' = \frac{kx}{4k} = \frac{x}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$।
मान लीजिए कि स्प्रिंग की कुल लंबाई $L$ है। दोनों टुकड़ों की लंबाई $l_1 = \frac{1}{3}L$ और $l_2 = \frac{2}{3}L$ है।
मान लीजिए $k_1$ और $k_2$ क्रमशः छोटे और बड़े टुकड़ों के बल नियतांक हैं।
चूंकि $k_1 l_1 = k_2 l_2 = kL$,इसलिए $\frac{k_1}{k_2} = \frac{l_2}{l_1}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{k_1}{k_2} = \frac{2/3 L}{1/3 L} = \frac{2}{1}$।
अतः,बल नियतांकों का अनुपात $2:1$ है।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $K$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $K \propto \frac{1}{l}$ या $Kl = \text{नियतांक}$.
जब $l$ लंबाई की स्प्रिंग को दो भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग के बल नियतांक और लंबाई का गुणनफल स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,स्प्रिंग की लंबाई $l$ और बल नियतांक $K$ है।
लंबाई का एक-चौथाई हिस्सा काट दिया जाता है,इसलिए स्प्रिंग की शेष लंबाई $l' = l - \frac{1}{4}l = \frac{3}{4}l$ है।
माना कि नया बल नियतांक $K'$ है।
संबंध $Kl = K'l'$ के अनुसार,हमें प्राप्त होता है:
$K \cdot l = K' \cdot (\frac{3}{4}l)$
$K = K' \cdot \frac{3}{4}$
$K' = \frac{4}{3}K$.

(C) श्रेणी क्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,प्रभावी बल नियतांक $k_{eff}$ का सूत्र है: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + \dots$
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{4k} + \frac{1}{8k} + \dots$
$\frac{1}{k}$ को कॉमन लेने पर: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
अतः,$\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k} \times 2 = \frac{2}{k}$.
इस प्रकार,$k_{eff} = \frac{k}{2}$.

(B) मान लीजिए कि स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $x$ है।
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और अधिकतम विस्तार के बिंदु पर क्षणिक रूप से रुक जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($Mg$ नीचे की ओर) और स्प्रिंग बल ($-Kx$ ऊपर की ओर) हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $Mgx$
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य = $-\frac{1}{2}Kx^2$
कुल कार्य को शून्य के बराबर रखने पर:
$Mgx - \frac{1}{2}Kx^2 = 0$
$Mgx = \frac{1}{2}Kx^2$
चूंकि $x \neq 0$,हम $x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$Mg = \frac{1}{2}Kx$
$x = \frac{2Mg}{K}$

(A) एक खिंची हुई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव बल $T = kx$ होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{T}{k}$।
ऊर्जा के सूत्र में $x$ का मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.

(A) माना $x_{max}$ अधिकतम संपीड़न है और $x_{eq}$ साम्यावस्था पर संपीड़न है।
$(i)$ अधिकतम संपीड़न के लिए,ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mgx_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
$(ii)$ साम्यावस्था पर,स्प्रिंग बल ब्लॉक के भार को संतुलित करता है:
$kx_{eq} = mg$
$x_{eq} = \frac{mg}{k}$

(A) चूंकि स्प्रिंग बल एक आंतरिक बल है,इसलिए निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है: $M_A \vec{a}_A + M_B \vec{a}_B = 0$.
दिया गया है: $M_A = 100 \ gm = 0.1 \ kg$,$M_B = 250 \ gm = 0.25 \ kg$.
गेंद $B$ का त्वरण,$\vec{a}_B = 10 \ cm/s^2$ (पश्चिम)।
समीकरण का उपयोग करते हुए: $\vec{a}_A = -\frac{M_B}{M_A} \vec{a}_B$.
$\vec{a}_A = -\frac{0.25 \ kg}{0.10 \ kg} \times (10 \ cm/s^2 \text{ पश्चिम})$.
$\vec{a}_A = -2.5 \times (10 \ cm/s^2 \text{ पश्चिम}) = -25 \ cm/s^2 \text{ पश्चिम}$.
ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है,इसलिए $\vec{a}_A = 25 \ cm/s^2$ पूर्व की ओर।

(B) जब पिंड को धीरे से छोड़ा जाता है,तो स्प्रिंग संतुलन की स्थिति में पहुँच जाती है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $kx = mg$,जिससे $x = \frac{mg}{k}$ प्राप्त होता है।
जब पिंड को अचानक छोड़ दिया जाता है,तो पिंड द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा अधिकतम विस्तार $y$ पर स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $mgy = \frac{1}{2}ky^2$.
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{2mg}{k}$.
चूंकि $x = \frac{mg}{k}$,इसलिए $y$ के समीकरण में यह मान रखने पर हमें $y = 2x$ प्राप्त होता है।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $k \propto 1/l$ या $kl = \text{स्थिरांक}$.
माना स्प्रिंग की कुल लंबाई $L$ है, इसलिए $kL = \text{स्थिरांक}$.
माना दो टुकड़ों की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है, जहाँ $l_1 + l_2 = L$.
दिया गया है कि $l_1 = 2l_2$, इसलिए $L = 2l_2 + l_2 = 3l_2$.
बड़े टुकड़े के लिए (लंबाई $l_1 = 2l_2$), माना बल नियतांक $k_1$ है।
$k_1 l_1 = kL$ का उपयोग करने पर, हमें $k_1 (2l_2) = k(3l_2)$ प्राप्त होता है।
$k_1$ के लिए हल करने पर, हमें $k_1 = \frac{3}{2}k$ प्राप्त होता है।

(D) मूल स्प्रिंग के लिए,बल नियतांक $k$ है और विस्तार $x = W/k$ है।
जब स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का बल नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य बल नियतांक $k_{eq} = k' + k' = 2k + 2k = 4k$ होता है।
उसी $W$ भार द्वारा उत्पन्न नया विस्तार $x' = W / k_{eq}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eq} = 4k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x' = W / (4k)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = W/k$,इसलिए $x' = x/4$ होगा।

(C) डोरी को काटने से पहले,प्रणाली संतुलन में है।
ब्लॉक $B$ के लिए: डोरी में तनाव $T$,ब्लॉक $B$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = mg$।
ब्लॉक $A$ के लिए: स्प्रिंग बल $kx$,दोनों ब्लॉक $A$ और $B$ के भार और तनाव $T$ को संतुलित करता है। $A$ के फ्री बॉडी डायग्राम से,$kx = T + 3mg = mg + 3mg = 4mg$।
डोरी को काटने के तुरंत बाद,तनाव $T$ शून्य हो जाता है,लेकिन स्प्रिंग बल $kx$ का मान $4mg$ ही रहता है क्योंकि स्प्रिंग अपनी लंबाई में तात्कालिक परिवर्तन नहीं करती है।
ब्लॉक $B$ के लिए: इस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,इसलिए इसका त्वरण $a_B = g$ (नीचे की ओर) है।
ब्लॉक $A$ के लिए: कुल बल $F_{net} = kx - 3mg = 4mg - 3mg = mg$ (ऊपर की ओर) है।
इसलिए,$A$ का त्वरण $a_A = \frac{F_{net}}{3m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$ (ऊपर की ओर) है।
अतः,$A$ और $B$ के त्वरण क्रमशः $\frac{g}{3}$ और $g$ हैं।

(A) मान लीजिए कि स्प्रिंग में अधिकतम विस्तार $x$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = $Mgx$।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} k x^2$।
दोनों को बराबर करने पर: $Mgx = \frac{1}{2} k x^2$।
$x$ के लिए हल करने पर (जहाँ $x \neq 0$): $x = \frac{2Mg}{k}$।

(A) माना स्प्रिंग की मूल लंबाई $L$ है। जब स्प्रिंग को $1:2:3$ के अनुपात में काटा जाता है,तो तीन खंडों की लंबाई $l_1 = L/6$,$l_2 = 2L/6$ और $l_3 = 3L/6$ होती है।
चूंकि बल नियतांक $k$ लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto 1/l)$,इसलिए नए बल नियतांक होंगे:
$k_1 = k(L/l_1) = 6k$
$k_2 = k(L/l_2) = 3k$
$k_3 = k(L/l_3) = 2k$
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य बल नियतांक $k'$ इस प्रकार होगा:
$1/k' = 1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 = 1/(6k) + 1/(3k) + 1/(2k) = (1+2+3)/(6k) = 6/(6k) = 1/k$
अतः,$k' = k$।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य बल नियतांक $k''$ इस प्रकार होगा:
$k'' = k_1 + k_2 + k_3 = 6k + 3k + 2k = 11k$।
इसलिए,अनुपात $k':k'' = k : 11k = 1:11$ है।

(B) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$।
इसका कारण यह है कि स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{G J}{R^2 n d^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है।
चूंकि फेरों की संख्या $n$ स्प्रिंग की लंबाई के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए हमारे पास $k \propto \frac{1}{n}$ है।
जब स्प्रिंग को दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नई स्प्रिंग में फेरों की संख्या $n' = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ हो जाती है।
इसलिए,नया स्प्रिंग नियतांक $k'$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $k' \times n' = k \times n$।
$k' \times \frac{n}{2} = k \times n$।
$k' = 2k$।

(B) $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए,कुल बल इस प्रकार है:
$F_{\text{net}} = 10 - T = m_1 a_1$
$m_1 = 2 \text{ kg}$ और $a_1 = 2 \text{ ms}^{-2}$ मान रखने पर:
$10 - T = 2 \times 2 = 4 \text{ N}$
$T = 10 - 4 = 6 \text{ N}$
$3 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए,स्प्रिंग बल $T$ उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है:
$F_{\text{net}} = T = m_2 a_2$
$T = 6 \text{ N}$ और $m_2 = 3 \text{ kg}$ मान रखने पर:
$6 = 3 \times a_2$
$a_2 = \frac{6}{3} = 2 \text{ ms}^{-2}$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक स्प्रिंग के कारण स्प्रिंग बल $F$ है।
प्रारंभ में,ब्लॉक संतुलन में है:
$2F = mg$
$2F = 3 \times 10 = 30 \; N$
$F = 15 \; N$
$t = 0$ पर,जब स्प्रिंग $A$ को काटा जाता है,तो स्प्रिंग $B$ में बल तात्कालिक रूप से नहीं बदलता है।
$t = 0$ पर ब्लॉक के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg - F = ma$
$30 - 15 = 3a$
$15 = 3a$
$a = 5 \; m/s^2$

(B) माना $2m$ द्रव्यमान वाले ऊपरी ब्लॉक का प्रारंभिक नीचे की ओर त्वरण $a$ है।
डोरी टूटने से पहले,निकाय संतुलन में है।
$m$ द्रव्यमान वाले निचले ब्लॉक के लिए,स्प्रिंग बल $F_s = kx = mg$ (ऊपर की ओर)।
$2m$ द्रव्यमान वाले ऊपरी ब्लॉक के लिए,डोरी में तनाव $T = 2mg + F_s = 2mg + mg = 3mg$ है।
डोरी टूटने के तुरंत बाद,तनाव $T$ शून्य हो जाता है,लेकिन स्प्रिंग बल $F_s$ का मान $mg$ ही रहता है (क्योंकि स्प्रिंग की लंबाई में तात्कालिक परिवर्तन नहीं हो सकता)।
अब,$2m$ द्रव्यमान वाले ऊपरी ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसका भार $2mg$ (नीचे की ओर) और स्प्रिंग बल $F_s = mg$ (नीचे की ओर) हैं।
ऊपरी ब्लॉक के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F_{net} = (2m)a$।
$2mg + F_s = (2m)a$।
$2mg + mg = (2m)a$।
$3mg = 2ma$।
अतः,$a = 3g/2$।

(B) माना स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब ब्लॉक $A$ को दीवार की ओर $x$ दूरी तक धकेला जाता है,तो स्प्रिंग $x$ से संकुचित हो जाती है।
ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है,जो दीवार की दिशा में है।
चूंकि ब्लॉक $B$ क्षैतिज दिशा में संतुलन में है,इसलिए दीवार से अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को स्प्रिंग बल को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$N = F_s = kx$।
यह दर्शाता है कि अभिलंब बल $N$ संपीड़न $x$ के सीधे आनुपातिक है $(N \propto x)$।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$N$ रैखिक रूप से बढ़ता है और जब $x = 0$ होता है,तो $N = 0$ होता है।
इस प्रकार,ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(B) ब्लॉक का वेग तब अधिकतम होता है जब उसका त्वरण शून्य होता है।
स्प्रिंग के किसी भी संपीड़न $x$ पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और स्प्रिंग बल $kx$ (ऊपर की ओर) हैं।
नेट बल $F_{net} = mg - kx$ है।
अधिकतम वेग के लिए,नेट बल शून्य होना चाहिए,इसलिए $mg - kx = 0$,जिससे $x = mg/k$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$ और $k = 2 \ kg/cm = 2 \ N/cm$ दिया गया है।
अतः,$x = (1 \ kg \times 10 \ m/s^2) / (2 \ N/cm) = 10 / 2 = 5 \ cm$।
मेज की सतह से ऊँचाई $h$,स्प्रिंग की मूल लंबाई में से संपीड़न $x$ को घटाने पर प्राप्त होती है।
$h = L - x = 20 \ cm - 5 \ cm = 15 \ cm$.

(D) छड़ $AB$ को क्षैतिज बनाए रखने के लिए,दोनों स्प्रिंगों में विस्तार $x$ समान होना चाहिए। मान लीजिए विस्तार $x$ है।
सिरों $A$ और $B$ पर स्प्रिंग द्वारा लगाए गए बल क्रमशः $F_A = k_1 x$ और $F_B = k_2 x$ हैं।
बिंदु $C$ के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए:
$\sum \tau_C = 0$
$(k_1 x) \cdot AC = (k_2 x) \cdot BC$
दोनों पक्षों से $x$ को हटाने पर:
$k_1 \cdot AC = k_2 \cdot BC$
$\frac{AC}{BC} = \frac{k_2}{k_1} \dots (i)$
हम जानते हैं कि $AC + BC = l$,इसलिए $BC = l - AC$। इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{AC}{l - AC} = \frac{k_2}{k_1}$
$k_1 \cdot AC = k_2 (l - AC)$
$k_1 \cdot AC = k_2 l - k_2 \cdot AC$
$AC (k_1 + k_2) = k_2 l$
$AC = \frac{l k_2}{k_1 + k_2}$

(A) स्प्रिंग की स्टिफनेस $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$।
माना स्प्रिंग की कुल लंबाई $L = l_{A} + l_{B}$ है।
दिए गए अनुपात $l_{A} : l_{B} = 2 : 3$ से,हम लिख सकते हैं $l_{A} = \frac{2}{5}L$ और $l_{B} = \frac{3}{5}L$।
चूंकि $k \cdot l = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $k_{A} \cdot l_{A} = k \cdot L$ होगा।
समीकरण में $l_{A} = \frac{2}{5}L$ रखने पर:
$k_{A} \cdot (\frac{2}{5}L) = k \cdot L$
$k_{A} = k \cdot \frac{L}{\frac{2}{5}L} = \frac{5}{2}k$।

(C) $5\ kg$ के ब्लॉक के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_s = m_1 a_1$ होता है।
$F_s = 5\ kg \times 2\ m/s^2 = 10\ N$.
$15\ kg$ के ब्लॉक के लिए,उस पर दाईं ओर कार्य करने वाला बल $F = 100\ N$ और बाईं ओर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल $F_s = 10\ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F - F_s = m_2 a_2$ होता है।
$100\ N - 10\ N = 15\ kg \times a_2$.
$90\ N = 15\ kg \times a_2$.
$a_2 = \frac{90}{15} = 6\ m/s^2$.

(B) स्थिति $1$: जब ब्लॉक को बहुत धीरे-धीरे नीचे किया जाता है,तो त्वरण हमेशा शून्य होता है। संतुलन की स्थिति में स्प्रिंग बल ब्लॉक के भार को संतुलित करता है।
$mg = kd$
$\therefore d = \frac{mg}{k}$
स्थिति $2$: जब ब्लॉक को स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई से अचानक छोड़ दिया जाता है,तो ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है और अपने अधिकतम विस्तार $x_{max}$ तक पहुँचता है जहाँ उसका वेग फिर से शून्य हो जाता है।
प्रारंभिक स्थिति (प्राकृतिक लंबाई) और अंतिम स्थिति (अधिकतम विस्तार) के बीच कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_{gravity} + W_{spring} = \Delta K$
$mgx_{max} - \frac{1}{2}kx_{max}^2 = 0 - 0$
$mgx_{max} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
चूंकि $d = \frac{mg}{k}$,इसलिए $x_{max} = 2d$.

(C) माना दाईं ओर की डोरी में तनाव $T_1$ है और बाईं ओर की स्प्रिंग में स्प्रिंग बल $F_s$ है।
बिंदु $O$ पर,बल संतुलन में हैं।
क्षैतिज दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $F_s \cos 37^\circ = T_1 \cos 53^\circ$।
चूंकि $\cos 37^\circ = 4/5$ और $\cos 53^\circ = 3/5$,इसलिए $F_s (4/5) = T_1 (3/5) \implies 4F_s = 3T_1 \implies T_1 = \frac{4}{3}F_s$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $F_s \sin 37^\circ + T_1 \sin 53^\circ = 200$।
$T_1$ का मान रखने पर: $F_s (3/5) + (\frac{4}{3}F_s) (4/5) = 200$।
$\frac{3}{5}F_s + \frac{16}{15}F_s = 200 \implies \frac{9+16}{15}F_s = 200 \implies \frac{25}{15}F_s = 200$।
$F_s = 200 \times \frac{15}{25} = 200 \times 0.6 = 120\, N$।
हुक के नियम $F_s = kx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 4\, cm = 0.04\, m$ है।
$120 = k \times 0.04 \implies k = \frac{120}{0.04} = 3000\, N/m$।

(C) स्प्रिंग का बल नियतांक $K$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $K \propto \frac{1}{\ell}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है।
जब स्प्रिंग को आधा काट दिया जाता है,तो नई लंबाई $\ell' = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
माना कि नया बल नियतांक $K'$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{K'}{K} = \frac{\ell}{\ell'} = \frac{\ell}{\ell / 2} = 2$.
अतः,नया बल नियतांक $K' = 2K$ होगा।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम $(COME)$ के अनुसार,कुल प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा कुल अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ है।
अधिकतम विस्तार $x$ के बिंदु पर,दोनों ब्लॉकों के बीच सापेक्ष वेग शून्य हो जाता है,जिसका अर्थ है कि दोनों ब्लॉक समान वेग से चलते हैं (द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में यह वेग शून्य है)।
स्प्रिंग की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $PE_f = \frac{1}{2}kx^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $KE_i = PE_f$.
$mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$.
$x^2 = \frac{2mv^2}{k}$.
$x = \sqrt{\frac{2mv^2}{k}}$.

(B) मान लीजिए कि $1 \, kg$ द्रव्यमान का त्वरण $a_1 = 10 \, m/s^2$ (दाईं ओर) है।
मान लीजिए कि $2 \, kg$ द्रव्यमान का त्वरण $a_2$ है।
स्प्रिंग द्वारा जुड़े दो द्रव्यमानों के निकाय के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर,निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल $F_{ext}$ प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के योग के बराबर होता है:
$F_{ext} = m_1 a_1 + m_2 a_2$
यहाँ $F_{ext} = 20 \, N$,$m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 2 \, kg$,और $a_1 = 10 \, m/s^2$ दिया गया है:
$20 = (1 \times 10) + (2 \times a_2)$
$20 = 10 + 2 a_2$
$10 = 2 a_2$
$a_2 = 5 \, m/s^2$
अतः,$2 \, kg$ द्रव्यमान का त्वरण $5 \, m/s^2$ है।

(A) मान लीजिए स्प्रिंग की मूल लंबाई $l$ है और स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब पिंड को क्षैतिज वृत्त में घुमाया जाता है,तो अभिकेंद्र बल स्प्रिंग बल $F = kx$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जहाँ $x$ विस्तार है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l + x$ है।
अभिकेंद्र बल $F = m r \omega^2 = m(l + x) \omega^2$ है।
स्थिति $1$: विस्तार $x_1 = 1\, cm$,कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$.
$k(1) = m(l + 1) \omega^2$ --- $(i)$
स्थिति $2$: विस्तार $x_2 = 5\, cm$,कोणीय वेग $\omega_2 = 2\omega$.
$k(5) = m(l + 5) (2\omega)^2 = 4m(l + 5) \omega^2$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5k}{k} = \frac{4m(l + 5) \omega^2}{m(l + 1) \omega^2}$
$5 = \frac{4(l + 5)}{l + 1}$
$5(l + 1) = 4(l + 5)$
$5l + 5 = 4l + 20$
$l = 15\, cm$.

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{\ell}$,जिसका अर्थ है $k\ell = C$ (एक नियतांक)।
दो टुकड़ों के लिए,हमारे पास $k_1 \ell_1 = C$ और $k_2 \ell_2 = C$ है।
इसलिए,$k_1 \ell_1 = k_2 \ell_2$।
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\ell_1 = n\ell_2$,इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{n\ell_2} = \frac{1}{n}$।

(A) $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग पर $F$ बल लगाने पर उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{F^2}{2K}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग पर समान बल $F$ लगाया गया है,इसलिए संचित ऊर्जा स्प्रिंग नियतांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{K}$.
अतः,ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{K_{B}}{K_{A}}$ होगा।
दिया गया है कि $K_{A} = 2 K_{B}$,इसलिए $\frac{K_{B}}{K_{A}} = \frac{1}{2}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$E_{B} = 2 E_{A}$ होगा।

(D) एक स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे संबंध $k \propto 1/l$ या $kl = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब $l$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली एक स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए टुकड़े की लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है।
चूंकि $k'l' = kl$,इसलिए हमारे पास $k'(l/2) = kl$ है।
$k'$ के लिए हल करने पर,हमें $k' = 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक आधे भाग का बल नियतांक $2k$ है।

(A) $2\,kg$ द्रव्यमान के लिए,कार्य करने वाले बल दाईं ओर $10\,N$ का अनुप्रयुक्त बल और बाईं ओर स्प्रिंग बल $F_s = kx$ हैं।
$2\,kg$ द्रव्यमान के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_{net} = ma$
$10 - kx = 2 \times 2$
$10 - kx = 4$
$kx = 6\,N$
अब,$3\,kg$ द्रव्यमान के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल स्प्रिंग बल $kx$ है जो उसे दाईं ओर खींच रहा है।
$3\,kg$ द्रव्यमान के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_{net} = ma$
$kx = 3 \times a_{3kg}$
$6 = 3 \times a_{3kg}$
$a_{3kg} = \frac{6}{3} = 2\,ms^{-2}$

(D) जब $k$ बल नियतांक वाली एक स्प्रिंग को $n$ बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का बल नियतांक $k' = nk$ हो जाता है।
यहाँ,स्प्रिंग को $3$ बराबर टुकड़ों में काटा गया है,इसलिए प्रत्येक टुकड़े का बल नियतांक $k' = 3k$ है।
जब इन $3$ टुकड़ों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य बल नियतांक $k_{eq}$ व्यक्तिगत बल नियतांकों का योग होता है:
$k_{eq} = k' + k' + k' = 3k' = 3(3k) = 9k$.

(B) माना $m_1 = 10\, kg$ और $m_2 = 20\, kg$ है। माना $f$ दोनों द्रव्यमानों पर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल है।
$10\, kg$ के द्रव्यमान के लिए,गति का समीकरण है: $f = m_1 a_1$,जहाँ $a_1 = 12\, m\, s^{-2}$ है।
अतः,$f = 10 \times 12 = 120\, N$ है।
$20\, kg$ के द्रव्यमान के लिए,बाह्य बल $F = 200\, N$ गति की दिशा में कार्य करता है,और स्प्रिंग बल $f$ विपरीत दिशा में कार्य करता है।
गति का समीकरण है: $F - f = m_2 a_2$ है।
मान रखने पर: $200 - 120 = 20 \times a_2$ है।
$80 = 20 \times a_2$ है।
$a_2 = \frac{80}{20} = 4\, m\, s^{-2}$ है।

(A) माना स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $\ell_{0}$ है और स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
हुक के नियम के अनुसार,$F = k(\text{extension}) = k(\ell - \ell_{0})$.
$F = 4\,N$ के लिए,लंबाई $\alpha$ है: $4 = k(\alpha - \ell_{0}) \dots(i)$
$F = 5\,N$ के लिए,लंबाई $\beta$ है: $5 = k(\beta - \ell_{0}) \dots(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $5 - 4 = k(\beta - \ell_{0}) - k(\alpha - \ell_{0}) \Rightarrow 1 = k(\beta - \alpha) \Rightarrow k = \frac{1}{\beta - \alpha}$.
$k$ का मान $(i)$ में रखने पर: $4 = \frac{1}{\beta - \alpha}(\alpha - \ell_{0}) \Rightarrow 4(\beta - \alpha) = \alpha - \ell_{0} \Rightarrow \ell_{0} = \alpha - 4\beta + 4\alpha = 5\alpha - 4\beta$.
$F = 9\,N$ के लिए,माना लंबाई $\gamma$ है: $9 = k(\gamma - \ell_{0}) \Rightarrow \gamma = \ell_{0} + \frac{9}{k}$.
$\ell_{0}$ और $k$ का मान रखने पर: $\gamma = (5\alpha - 4\beta) + 9(\beta - \alpha) = 5\alpha - 4\beta + 9\beta - 9\alpha = 5\beta - 4\alpha$.

(B) माना स्प्रिंग की मूल लंबाई $l$ है और स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
जब पिंड को क्षैतिज तल में घुमाया जाता है,तो अभिकेंद्र बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
प्रथम स्थिति में,कोणीय वेग $\omega$ है और विस्तार $x_1 = 1 \, cm$ है:
$m \omega^2 (l + x_1) = k x_1$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति में,कोणीय वेग $2\omega$ है और विस्तार $x_2 = 5 \, cm$ है:
$m (2\omega)^2 (l + x_2) = k x_2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4 \omega^2 (l + x_2)}{\omega^2 (l + x_1)} = \frac{k x_2}{k x_1}$
$4 \frac{l + 5}{l + 1} = \frac{5}{1}$
$4(l + 5) = 5(l + 1)$
$4l + 20 = 5l + 5$
$l = 15 \, cm$.
अतः,स्प्रिंग की मूल लंबाई $15 \, cm$ है।

(C) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$ या $kl = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए कि स्प्रिंग की कुल लंबाई $L$ है और उसका बल नियतांक $k$ है। स्प्रिंग को $l_1$ और $l_2$ लंबाई के दो टुकड़ों में इस प्रकार काटा जाता है कि $l_2 = 3l_1$ है।
कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 = l_1 + 3l_1 = 4l_1$ है।
मूल स्प्रिंग के लिए,$kL = C$,जहाँ $C$ एक नियतांक है।
$l_2$ लंबाई वाले लंबे टुकड़े के लिए,मान लीजिए नया बल नियतांक $k_2$ है। तब $k_2 l_2 = C$ होगा।
दोनों को बराबर करने पर,$kL = k_2 l_2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$k(4l_1) = k_2(3l_1)$।
$k_2$ के लिए हल करने पर,हमें $k_2 = \frac{4k}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) $F$ बल द्वारा खींचे गए स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $U = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि दोनों स्प्रिंग पर लगाए गए बल समान हैं,मान लीजिए $F_P = F_Q = F$ है।
स्प्रिंग $P$ में संचित ऊर्जा $U_P = \frac{F^2}{2k_P}$ है।
स्प्रिंग $Q$ में संचित ऊर्जा $U_Q = \frac{F^2}{2k_Q} = E$ है।
चूंकि $k_Q = \frac{k_P}{2}$,इसलिए $k_P = 2k_Q$ है।
इस मान को $U_P$ के व्यंजक में रखने पर:
$U_P = \frac{F^2}{2(2k_Q)} = \frac{1}{2} \left( \frac{F^2}{2k_Q} \right) = \frac{1}{2} E$.
अतः,स्प्रिंग $P$ में संचित ऊर्जा $E/2$ है।

(N/A) $1$. परिवर्ती बल का उदाहरण: दो वस्तुओं के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल जैसे-जैसे उनकी दूरी बदलती है,वैसे-वैसे बदलता है,या स्प्रिंग बल $F = -kx$ जहाँ बल विस्थापन $x$ पर निर्भर करता है।
$2$. हुक के नियम का सूत्र: $F = -kx$,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल (restoring force) है,$k$ स्प्रिंग नियतांक है,और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।

(N/A) स्प्रिंग नियतांक,जिसे $k$ द्वारा दर्शाया जाता है,स्प्रिंग की कठोरता का माप है। इसे स्प्रिंग के प्रति इकाई विस्तार या संपीड़न पर लगने वाले प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F$ को $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
इसलिए,स्प्रिंग नियतांक $k = |F/x|$ है।
स्प्रिंग नियतांक का $SI$ मात्रक न्यूटन प्रति मीटर है,जिसे $N/m$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) लगाया गया बल $F = 20\,dyne$ है।
स्प्रिंग में विस्तार $\Delta l = 1\,mm = 0.1\,cm$ है।
हुक के नियम के अनुसार,बल नियतांक $k = \frac{F}{\Delta l}$ होता है।
अतः,$k = \frac{20\,dyne}{0.1\,cm} = 200\,dyne/cm$।

(A) स्प्रिंग को खींचने के लिए आवश्यक बल हुक के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \Delta x$.
दिया गया है:
बल नियतांक $k = 0.5 \, Nm^{-1}$.
लंबाई में वृद्धि $\Delta x = 10 \, cm = 10 \times 10^{-2} \, m = 0.1 \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 0.5 \times 0.1 = 0.05 \, N$.
अतः,आवश्यक बल $0.05 \, N$ है।