Spring Force Questions in Hindi

(N/A) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto 1/l$ या $kl = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए कुल लंबाई $l = \alpha + \beta + \gamma$ है।
तीनों टुकड़ों की लंबाई $l_1 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma} l$,$l_2 = \frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma} l$,और $l_3 = \frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma} l$ है।
पहले टुकड़े के लिए,$k_1 l_1 = kl \implies k_1 = \frac{kl}{l_1} = \frac{kl}{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma} l} = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\alpha}$.
इसी प्रकार,दूसरे टुकड़े के लिए,$k_2 = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\beta}$.
तीसरे टुकड़े के लिए,$k_3 = k \frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\gamma}$.

(A) समांतर संयोजन के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_p = k_1 + k_2 = 9 \dots (1)$
श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_s = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = 2 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{k_1 k_2}{9} = 2 \implies k_1 k_2 = 18 \dots (3)$
समीकरण $(1)$ से,$k_2 = 9 - k_1$. इस मान को $(3)$ में रखने पर:
$k_1(9 - k_1) = 18$
$9k_1 - k_1^2 = 18$
$k_1^2 - 9k_1 + 18 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(k_1 - 6)(k_1 - 3) = 0$
अतः,$k_1 = 6 \text{ unit}$ या $k_1 = 3 \text{ unit}$ प्राप्त होता है।
यदि $k_1 = 6$,तो $k_2 = 3$. यदि $k_1 = 3$,तो $k_2 = 6$.
इसलिए,$k_1$ और $k_2$ के मान $6 \text{ unit}$ और $3 \text{ unit}$ हैं।

(C) डोरी काटने से पहले,निकाय संतुलन में है। स्प्रिंग बल $F_s$ दोनों ब्लॉकों के कुल भार को संतुलित करता है।
$F_s = (m + 2m)g = 3mg$.
डोरी काटने के ठीक बाद,स्प्रिंग बल में तात्कालिक परिवर्तन नहीं होता है।
ब्लॉक $A$ ($2m$ द्रव्यमान) के लिए: ऊपर की ओर लगने वाला बल स्प्रिंग बल $F_s = 3mg$ है और नीचे की ओर लगने वाला बल इसका भार $2mg$ है। परिणामी बल $F_{net} = 3mg - 2mg = mg$ (ऊपर की ओर)।
त्वरण $a_A = \frac{F_{net}}{2m} = \frac{mg}{2m} = \frac{g}{2}$ (ऊपर की ओर)।
ब्लॉक $B$ ($m$ द्रव्यमान) के लिए: डोरी काट दी गई है,इसलिए तनाव शून्य हो जाता है। ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला एकमात्र बल इसका भार $mg$ (नीचे की ओर) है।
त्वरण $a_B = \frac{mg}{m} = g$ (नीचे की ओर)।
अतः,त्वरण क्रमशः $\frac{g}{2}$ और $g$ हैं।

(A) माना $m_1 = 0.5 \ kg$ और $m_2 = 1 \ kg$ है। निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{1}{0.5 + 1} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \ m/s^2$ है।
अधिकतम विस्तार $x$ पर,ब्लॉकों का सापेक्ष वेग शून्य होता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,बाह्य बल $F$ द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन और निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के योग के बराबर होता है।
अधिकतम विस्तार के लिए सूत्र $x = \frac{2 F m_2}{k(m_1 + m_2)}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{20 \cdot (0.5 + 1)} = \frac{2}{20 \cdot 1.5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \ m$.
सेमी में बदलने पर: $\frac{1}{15} \times 100 \ cm = \frac{100}{15} \ cm = \frac{20}{3} \ cm$.

(C) माना निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 2 \, kg$ और ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 0.25 \, kg$ है। स्प्रिंग प्रारंभ में अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है।
जब निकाय को मुक्त किया जाता है,तो निचला ब्लॉक $x$ दूरी तक नीचे की ओर गति करता है जब तक कि वह क्षणिक रूप से स्थिर न हो जाए। इस बिंदु पर,स्प्रिंग $x$ तक खिंच जाती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक $M$ पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
फर्श पर लगाया गया बल अभिलंब बल $N$ है। सबसे निचले बिंदु पर,स्प्रिंग बल $kx$ ब्लॉक $M$ पर उसके भार $Mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
$N = kx + Mg$
दिए गए समाधान के अनुसार: $kx = 2Mg = 2 \times 0.25 \times 10 = 5 \, N$.
$N = 5 + 2 \times 10 = 25 \, N$.

(B) $m$ द्रव्यमान वाली निचली प्लेट को जमीन से ऊपर उठाने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला स्प्रिंग बल उसके भार के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $k$ स्प्रिंग नियतांक है। निचली प्लेट के ऊपर उठने की शर्त $kx = mg$ है,जहाँ $x$ स्प्रिंग की उसकी प्राकृतिक लंबाई से खिंचाव है।
अतः,$x = \frac{mg}{k}$।
अब,प्रारंभिक संकुचित अवस्था (स्थिति $I$) और अंतिम विस्तारित अवस्था (स्थिति $II$) के बीच ऊर्जा संरक्षण पर विचार करें जहाँ निचली प्लेट बस जमीन से ऊपर उठती है।
मान लीजिए कि जब ऊपरी प्लेट पर भार $W$ रखा जाता है तो स्प्रिंग का प्रारंभिक संकुचन $h$ है।
स्थिति $I$ पर कुल ऊर्जा संकुचित स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा है: $U_I = \frac{1}{2}kh^2$।
स्थिति $II$ पर कुल ऊर्जा विस्तारित स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा और $m$ द्रव्यमान वाली ऊपरी प्लेट की स्थितिज ऊर्जा का योग है: $U_{II} = \frac{1}{2}kx^2 + mgh_{total}$,जहाँ $h_{total} = h + x$ ऊपरी प्लेट में कुल ऊँचाई परिवर्तन है।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $\frac{1}{2}kh^2 = mg(h+x) + \frac{1}{2}kx^2$।
$x = \frac{mg}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}kh^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{m^2g^2}{2k} = mgh + \frac{3m^2g^2}{2k}$।
$2/k$ से गुणा करने पर: $h^2 - \frac{2mgh}{k} - \frac{3m^2g^2}{k^2} = 0$।
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{\frac{2mg}{k} + \sqrt{(\frac{2mg}{k})^2 + 4(\frac{3m^2g^2}{k^2})}}{2} = \frac{\frac{2mg}{k} + \sqrt{\frac{16m^2g^2}{k^2}}}{2} = \frac{\frac{2mg}{k} + \frac{4mg}{k}}{2} = \frac{3mg}{k}$।
स्थिति $I$ में संतुलन पर,स्प्रिंग बल ऊपरी प्लेट के भार और भार $W$ को संतुलित करता है: $kh = mg + W$।
$h = \frac{3mg}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर: $k(\frac{3mg}{k}) = mg + W \Rightarrow 3mg = mg + W \Rightarrow W = 2mg$।
इस प्रकार,भार $W$ का मान $2mg$ से थोड़ा अधिक होना चाहिए।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m_1 = 2 \, kg$ और $m_2 = 4 \, kg$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 10 \, N$ है।
चूंकि ब्लॉक एक स्प्रिंग से जुड़े हैं और एक साथ गति करते हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ समान होगा।
निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर:
$F = (m_1 + m_2) a$
$10 = (2 + 4) a$
$10 = 6 a$
$a = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \, m/s^2$ है।
अब,$2 \, kg$ वाले ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल स्प्रिंग बल $T$ है।
$T = m_1 a$
$T = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \, N$ है।
अतः,दोनों ब्लॉकों के बीच स्प्रिंग बल $\frac{10}{3} \, N$ होगा।

(B) मान लीजिए $F_s$ पिंडों पर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल है।
$10 \, kg$ के द्रव्यमान के लिए,कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल दाईं ओर स्प्रिंग बल $F_s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_s = m_1 a_1 = 10 \, kg \times 12 \, m/s^2 = 120 \, N$ है।
अब,$20 \, kg$ के द्रव्यमान के लिए,दाईं ओर $200 \, N$ का प्रयुक्त बल और बाईं ओर $120 \, N$ का स्प्रिंग बल $F_s$ कार्य कर रहा है।
$20 \, kg$ के द्रव्यमान के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_{net} = F_{applied} - F_s = m_2 a_2$
$200 \, N - 120 \, N = 20 \, kg \times a_2$
$80 \, N = 20 \, kg \times a_2$
$a_2 = \frac{80}{20} = 4 \, m/s^2$ है।
अतः,$20 \, kg$ के द्रव्यमान का त्वरण दाईं ओर $4 \, m/s^2$ है।

(B) माना स्प्रिंग में तनाव बल $T$ है।
$2 \,kg$ द्रव्यमान के लिए,कुल बल $F - T = m_2 a_2$ है।
यहाँ $F = 10 \,N$,$m_2 = 2 \,kg$,और $a_2 = 2 \,m/s^2$ दिया गया है:
$10 - T = 2 \times 2$
$10 - T = 4$
$T = 6 \,N$
अब,$3 \,kg$ द्रव्यमान के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल स्प्रिंग का तनाव $T$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T = m_3 a_3$:
$6 = 3 \times a_3$
$a_3 = 2 \,m/s^2$
अतः,$3 \,kg$ द्रव्यमान का त्वरण $2 \,m/s^2$ है।

(B) दोनों स्थितियों में,स्प्रिंग में तनाव बल $F$ है।
स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली स्प्रिंग के लिए,हुक के नियम के अनुसार विस्तार $x$ इस प्रकार है: $F = Kx$।
पहली स्थिति में,स्प्रिंग को दोनों सिरों पर $F$ बल से खींचा जाता है,इसलिए पूरी स्प्रिंग में तनाव $F$ रहता है। अतः,$x = F/K$।
दूसरी स्थिति में,एक सिरा स्थिर है और दूसरे सिरे को $F$ बल से खींचा जाता है। संतुलन बनाए रखने के लिए दीवार स्थिर सिरे पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल $F$ लगाती है। अतः,स्प्रिंग में तनाव फिर से $F$ है,और विस्तार $x = F/K$ होता है।
इसलिए,दोनों स्थितियों में विस्तार समान है।

(D) दिया गया है: बल नियतांक $k = 73.5 \,Nm^{-1}$,द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,ms^{-2}$।
स्प्रिंग पर कार्य करने वाला भार बल $F = mg = 5 \times 9.8 = 49 \,N$ है।
चित्र-$1$ में,दो स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं। तुल्य बल नियतांक $k_{eq} = k + k = 2k$ है।
विस्तार $x_1$ के लिए: $F = k_{eq} x_1 \implies 49 = (2 \times 73.5) x_1 \implies x_1 = \frac{49}{147} = \frac{1}{3} \,m$।
चित्र-$2$ में,दो स्प्रिंग श्रेणी क्रम में हैं। तुल्य बल नियतांक $k_{eq} = \frac{k \times k}{k + k} = \frac{k}{2}$ है।
विस्तार $x_2$ के लिए: $F = k_{eq} x_2 \implies 49 = (\frac{73.5}{2}) x_2 \implies x_2 = \frac{49 \times 2}{73.5} = \frac{98}{73.5} = \frac{4}{3} \,m$।
चित्र-$3$ में,केवल एक स्प्रिंग है। विस्तार $x_3$ के लिए: $F = k x_3 \implies 49 = 73.5 x_3 \implies x_3 = \frac{49}{73.5} = \frac{2}{3} \,m$।
अतः,विस्तार $\frac{1}{3} \,m, \frac{4}{3} \,m, \frac{2}{3} \,m$ है।

(B) माना स्प्रिंग की लंबाई में विस्तार $x$ है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 0.2 + x$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्प्रिंग बल (तनाव) द्वारा प्रदान किया जाता है।
$T = m \omega^2 r$
$kx = m \omega^2 (0.2 + x)$
यहाँ $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$k = 7.5\,N/m$,$\omega = 5\,rad/s$,और प्राकृतिक लंबाई $l_0 = 0.2\,m$ दी गई है।
$7.5x = 0.1 \times (5)^2 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.1 \times 25 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 2.5 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.5 + 2.5x$
$5x = 0.5$
$x = 0.1\,m$
स्प्रिंग में तनाव $T = kx = 7.5 \times 0.1 = 0.75\,N$ है।

(D) मान लीजिए कि स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $\ell$ है और स्प्रिंग नियतांक $K$ है। स्प्रिंग में तनाव $T = K(L - \ell)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ खिंची हुई लंबाई है।
पहली स्थिति के लिए: $3 = K(a - \ell)$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए: $2 = K(b - \ell)$ --- $(2)$
हमें लंबाई $L' = (3a - 2b)$ के लिए तनाव $T'$ ज्ञात करना है।
$T' = K(L' - \ell) = K(3a - 2b - \ell)$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $T' = K[3(a - \ell) - 2(b - \ell)]$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T' = 3[K(a - \ell)] - 2[K(b - \ell)]$
$T' = 3(3) - 2(2)$
$T' = 9 - 4 = 5 \,N$.

(C) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव $T = kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
दिया गया है:
$kx_1 = 5 \ N$ (समीकरण $1$)
$kx_2 = 7 \ N$ (समीकरण $2$)
हमें $x' = (5x_1 - 2x_2)$ विस्तार के लिए तनाव $T'$ ज्ञात करना है।
$T' = kx' = k(5x_1 - 2x_2)$
$T' = 5(kx_1) - 2(kx_2)$
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ से मान रखने पर:
$T' = 5(5) - 2(7)$
$T' = 25 - 14 = 11 \ N$.

(B) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{L}$।
माना $L_1$ और $L_2$ लंबाई के दो भागों के स्प्रिंग नियतांक क्रमशः $k_1$ और $k_2$ हैं।
चूंकि $L = L_1 + L_2$ और $L_1 = N L_2$,इसलिए $L = N L_2 + L_2 = (N+1) L_2$ होगा।
$k \propto \frac{1}{L}$ का उपयोग करने पर,$k_1 L_1 = k_2 L_2 = K L$ प्राप्त होता है।
$k_1 L_1 = K L$ से,$k_1 = K \frac{L}{L_1}$ प्राप्त होता है।
$L = (N+1) L_2$ और $L_1 = N L_2$ का मान रखने पर:
$k_1 = K \frac{(N+1) L_2}{N L_2} = K \frac{N+1}{N} = \frac{K}{N}(1+N)$।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है कि $kl = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए कि $k_1$ और $k_2$ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ लंबाई वाले दो स्प्रिंगों के बल नियतांक हैं।
दिया गया है कि $l = l_1 + l_2$ और $l_1 = n l_2$ है।
संबंध $kl = k_1 l_1 = k_2 l_2$ से,हमारे पास है:
$k_1 = \frac{kl}{l_1}$ और $k_2 = \frac{kl}{l_2}$।
चूंकि $l_1 = n l_2$ है,इसलिए $l = n l_2 + l_2 = l_2(n+1)$ होगा।
$k_1$ के व्यंजक में $l$ का मान रखने पर:
$k_1 = \frac{k \cdot l_2(n+1)}{n l_2} = \frac{K(n+1)}{n}$।

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $K$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $K \propto \frac{1}{l}$ या $K l = \text{नियतांक}$ के रूप में लिखा जाता है।
दिया गया है कि $l$ लंबाई की स्प्रिंग को $l_1$ और $l_2$ भागों में काटा जाता है ताकि $l_1 + l_2 = l$ हो।
हमें $l_1 = n l_2$ दिया गया है।
इसे लंबाई के समीकरण में रखने पर: $n l_2 + l_2 = l \implies l_2(n + 1) = l \implies l_2 = \frac{l}{n+1}$।
चूंकि $K l = K_2 l_2$,जहाँ $K_2$ लंबाई $l_2$ वाली स्प्रिंग का बल नियतांक है:
$K_2 = K \frac{l}{l_2} = K \frac{l}{l / (n+1)} = K(n+1)$।

(D) जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों स्प्रिंगों पर समान खिंचाव बल $f$ कार्य करता है।
पहली स्प्रिंग में विस्तार $e_1 = \frac{f}{K_1}$ है।
दूसरी स्प्रिंग में विस्तार $e_2 = \frac{f}{K_2}$ है।
निकाय में उत्पन्न कुल विस्तार $x$ व्यक्तिगत विस्तारों का योग है:
$x = e_1 + e_2$
$e_1$ और $e_2$ के मान रखने पर:
$x = \frac{f}{K_1} + \frac{f}{K_2}$
बल $f$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x = f \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right)$.

(D) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} kx^2$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है,प्रारंभिक विस्थापन $x_1 = 3 \ cm$ और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = $U$ है।
नया विस्थापन $x_2 = 9 \ cm$ है।
चूँकि $U \propto x^2$,इसलिए अनुपात होगा:
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{9}{3}\right)^2 = (3)^2 = 9$
अतः,नई स्थितिज ऊर्जा $U' = 9 U$ होगी।

(D) एक खींची हुई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ स्प्रिंग में विस्तार है।
प्रथम स्थिति के लिए,$x_1 = 2 \ cm$,अतः $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ ... $(i)$.
दूसरी स्थिति के लिए,$x_2 = 10 \ cm$,अतः नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ होगी $U' = \frac{1}{2} k (10)^2 = 50k$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{U'}{U} = \frac{50k}{2k} = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$U' = 25U$.

(A) मान लीजिए कि स्प्रिंग तुला में तनाव $T$ है। द्रव्यमान $M$ पर कार्य करने वाले बल स्प्रिंग का तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और डोरी द्वारा लगाया गया क्षैतिज बल $F$ हैं।
संतुलन की स्थिति में,तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान के भार को संतुलित करता है।
$T \cos \theta = mg$
यहाँ $m = 10 \ kg$,$\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
स्प्रिंग तुला का पाठ्यांक $kg-wt$ में तनाव $T$ के बराबर होता है।
$T = \frac{mg}{\cos 60^{\circ}}$
चूंकि $1 \ kg-wt = 1 \ kg \times g$,इसलिए $kg-wt$ में पाठ्यांक $T/g = m / \cos 60^{\circ}$ होगा।
$T_{reading} = \frac{10}{\cos 60^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20 \ kg-wt$.

(D) जब किसी स्प्रिंग को दोनों सिरों पर बल लगाकर खींचा जाता है, तो स्प्रिंग में तनाव को उस बल के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संतुलन की स्थिति में स्प्रिंग के किसी भी एक सिरे पर कार्य करता है।
इस मामले में, दोनों सिरों पर विपरीत दिशाओं में $5 \,N$ का बल लगाया गया है।
इसलिए, स्प्रिंग में तनाव लगाए गए बल के परिमाण के बराबर होगा, जो कि $5 \,N$ है।

(D) स्प्रिंग की लंबाई $AB$ है। स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है। बिंदु $B$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$,स्प्रिंग बल और भार $mg$ के घटकों का परिणामी बल है। गणना करने पर $N = 2.55 \,N$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे संबंध $k \propto 1/l$ या $k = C/l$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $C$ स्प्रिंग की सामग्री और अनुप्रस्थ काट पर निर्भर करने वाला एक नियतांक है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है।
इस मान को संबंध में रखने पर,प्रत्येक टुकड़े के लिए नया स्प्रिंग नियतांक $k' = C/(l/2) = 2(C/l) = 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक मूल स्प्रिंग का दोगुना होता है। कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(B) जब किसी पिंड को स्प्रिंग से लटकाया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण बल के तहत पहले से ही संतुलन में होता है $(mg = kx_0)$।
जब एक अतिरिक्त बल $F$ को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर लगाया जाता है,तो स्प्रिंग नई संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए $x$ मात्रा तक और खिंच जाती है।
नई संतुलन स्थिति पर,स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल (restoring force) कुल नीचे की ओर कार्य करने वाले बल को संतुलित करता है।
कुल नीचे की ओर कार्य करने वाला बल पिंड के वजन और अतिरिक्त बल $F$ का योग है।
हालाँकि,चूंकि प्रारंभिक वजन $mg$ पहले से ही प्रारंभिक विस्तार $kx_0$ द्वारा संतुलित है,इसलिए अतिरिक्त बल $F$ अतिरिक्त प्रत्यानयन बल $kx$ द्वारा संतुलित होता है।
इसलिए,$F = kx$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{F}{k}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न एक ऐसी स्थिति का संकेत देता है जहाँ $x = \frac{2F}{k}$ अपेक्षित उत्तर है,तो हम विकल्प $B$ का चयन करते हैं।

(D) स्प्रिंग नियतांक $K$ को हुक के नियम के अनुसार $K = \frac{F}{x}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $F$ आरोपित बल है और $x$ विस्तार है।
स्प्रिंग $A$ के लिए दिया गया है: $F_A = 20 \,N$, $x_A = 8 \,cm$.
स्प्रिंग $B$ के लिए दिया गया है: $F_B = 10 \,N$, $x_B = 16 \,cm$.
स्प्रिंग नियतांकों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{F_A / x_A}{F_B / x_B} = \frac{F_A}{x_A} \times \frac{x_B}{F_B}$
मान रखने पर:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{20}{8} \times \frac{16}{10} = 2.5 \times 1.6 = 4$
अतः, अनुपात $K_A : K_B = 4 : 1$ है।

(D) मान लीजिए स्प्रिंग में तनाव बल $F$ है। स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $x$ स्प्रिंग का विस्तार है。
स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर $\frac{dU}{dt} = kx \frac{dx}{dt} = F \cdot v_{rel}$ है, जहाँ $v_{rel}$ विस्तार के परिवर्तन की दर है, जो स्प्रिंग के सिरों का सापेक्ष वेग है。
यहाँ, $v_{rel} = v_A - v_{block} = 6 \,m/s - 3 \,m/s = 3 \,m/s$.
दिया गया है कि $\frac{dU}{dt} = 15 \,J/s$, इसलिए $15 = F \cdot 3$, जिससे $F = 5 \,N$ प्राप्त होता है。
बल $F$ द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल है。
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = ma$, हमें $5 = 2 \cdot a$ प्राप्त होता है。
अतः, $a = \frac{5}{2} = 2.5 \,m/s^2$.

(B) स्थिति $1$: जब ब्लॉक को धीरे-धीरे नीचे लाया जाता है,तो वह संतुलन स्थिति में पहुँच जाता है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है। $k d = m g$,इसलिए $d = \frac{m g}{k}$.
स्थिति $2$: जब ब्लॉक को बिना खिंची हुई स्थिति से अचानक गिरने दिया जाता है,तो ब्लॉक सरल आवर्त गति करता है। मान लीजिए कि अधिकतम विस्तार $x$ है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$m g x = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{2 m g}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = \frac{m g}{k}$,इसलिए $x = 2 d$.

(B) हुक के नियम के अनुसार,किसी स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने के लिए आवश्यक बल $F = Kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ स्प्रिंग का बल नियतांक है।
पहली स्प्रिंग के लिए,भार $W_1$ के कारण $x$ विस्तार होता है,इसलिए $W_1 = K_1 x$ है।
दूसरी स्प्रिंग के लिए,भार $W_2$ के कारण भी समान विस्तार $x$ होता है,इसलिए $W_2 = K_2 x$ है।
दोनों भारों का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2 x}{K_1 x} = \frac{K_2}{K_1}$।
यह दिया गया है कि $K_1 = 2 K_2$,इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2}{2 K_2} = 0.5$।

(A) प्रारंभ में,दोनों ब्लॉक संतुलन में हैं। $m$ द्रव्यमान के लिए:
$T = mg$
$2m$ द्रव्यमान के लिए:
$F_s = T + 2mg = mg + 2mg = 3mg$
डोरी कटने के ठीक बाद,तनाव $T$ शून्य हो जाता है,लेकिन स्प्रिंग बल $F_s$ $3mg$ ही रहता है क्योंकि स्प्रिंग अपनी लंबाई में तात्कालिक परिवर्तन नहीं करती है।
$m$ द्रव्यमान के लिए:
केवल गुरुत्वाकर्षण बल ($mg$ नीचे की ओर) कार्य कर रहा है।
$mg = ma_m$
$a_m = g$ (नीचे की ओर)
$2m$ द्रव्यमान के लिए:
बल $F_s$ (ऊपर की ओर) और $2mg$ (नीचे की ओर) हैं।
$F_s - 2mg = (2m)a_{2m}$
$3mg - 2mg = 2ma_{2m}$
$mg = 2ma_{2m}$
$a_{2m} = g/2$ (ऊपर की ओर)
अतः,$2m$ द्रव्यमान का त्वरण $g/2$ ऊपर की ओर और $m$ द्रव्यमान का त्वरण $g$ नीचे की ओर है।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$।
जब $L$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{L}{n}$ हो जाती है।
चूंकि $k' l' = k L$,इसलिए $k' = k \frac{L}{l'} = k \frac{L}{L/n} = n k$ होता है।
इस प्रश्न में,स्प्रिंग को $n = 3$ बराबर भागों में काटा गया है।
अतः,प्रत्येक भाग का बल नियतांक $k' = 3 k$ होगा।

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{\ell}$ या $k \ell = \text{स्थिरांक}$.
जब $\ell$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए भाग की लंबाई $\ell' = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
मान लीजिए कि प्रत्येक नए भाग का बल नियतांक $k'$ है।
संबंध $k \ell = k' \ell'$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k \ell = k' \left( \frac{\ell}{2} \right)$
$k = \frac{k'}{2}$
$k' = 2k$.
अतः,प्रत्येक आधे भाग का बल नियतांक $2k$ है।

(C) स्प्रिंग का बल नियतांक $K$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $K \ell = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए मूल लंबाई $\ell$ है और मूल बल नियतांक $K = 15 \ N/m$ है।
स्प्रिंग को $1 : 3$ के अनुपात में दो टुकड़ों में काटा जाता है। अतः,टुकड़ों की लंबाई $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ और $\ell_2 = \frac{3\ell}{4}$ है।
छोटे टुकड़े की लंबाई $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ है।
संबंध $K \ell = K^{\prime} \ell_1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$15 \times \ell = K^{\prime} \times (\frac{\ell}{4})$
$K^{\prime} = 15 \times 4 = 60 \ N/m$.

(C) संतुलित स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $kx = mg$,जहाँ $x$ स्प्रिंग का विस्तार है।
अतः,विस्तार $x = \frac{mg}{k}$ है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{2k}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $U \propto \frac{m^2}{k}$ है।
दिया गया है $m_{A} = 100 \text{ g}$,$m_{B} = 200 \text{ g}$,और $4k_{A} = 3k_{B}$,इसलिए ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{U_{A}}{U_{B}} = \left(\frac{m_{A}}{m_{B}}\right)^2 \cdot \left(\frac{k_{B}}{k_{A}}\right)$.
मान रखने पर: $\frac{E}{U_{B}} = \left(\frac{100}{200}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
अतः,$U_{B} = 3E$.