અ Gujarati
Apparent weight and Pseudo Force Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Newton's Laws of Motion and Friction · Apparent weight and Pseudo Force
157+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 47 of 157 questions in Gujarati
101
MediumMCQ
સ્થિર અવસ્થામાં ટેન્કરમાં રહેલા તેલની મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ હોય છે. જો ટેન્કર પ્રવેગિત થવાનું શરૂ કરે,તો મુક્ત સપાટી $\theta$ ખૂણે નમશે. જો પ્રવેગ $a \ m/s^2$ હોય,તો મુક્ત સપાટીનો ઢાળ કેટલો હશે?
A
$\tan \theta = a/g$
B
$\tan \theta = g/a$
C
$\cos \theta = a/g$
D
$\sin \theta = a/g$
Solution
(A) જ્યારે ટેન્કર પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેલ પર આભાસી બળ (pseudo force) લાગે છે અને તેથી તેની સપાટી સમક્ષિતિજ રહેતી નથી.
તેલની સપાટી પર રહેલા $dm$ દળના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $dm \cdot g$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આભાસી બળ $dm \cdot a$ જે પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ લાગે છે.
ટેન્કરના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં સપાટી સંતુલનમાં રહે તે માટે,સપાટીના ઘટક પર લાગતું પરિણામી બળ સપાટીને લંબ હોવું જોઈએ. અથવા,નમેલી સપાટીને સમાંતર બળોના ઘટકો લેતા:
સપાટીને સમાંતર આભાસી બળનો ઘટક $(dm \cdot a) \cos \theta$ છે.
સપાટીને સમાંતર વજનબળનો ઘટક $(dm \cdot g) \sin \theta$ છે.
સપાટીને સમાંતર સંતુલન માટે:
$(dm \cdot a) \cos \theta = (dm \cdot g) \sin \theta$
બંને બાજુને $(dm \cdot \cos \theta)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
આમ,મુક્ત સપાટીનો ઢાળ $\frac{a}{g}$ છે.
તેલની સપાટી પર રહેલા $dm$ દળના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $dm \cdot g$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આભાસી બળ $dm \cdot a$ જે પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ લાગે છે.
ટેન્કરના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં સપાટી સંતુલનમાં રહે તે માટે,સપાટીના ઘટક પર લાગતું પરિણામી બળ સપાટીને લંબ હોવું જોઈએ. અથવા,નમેલી સપાટીને સમાંતર બળોના ઘટકો લેતા:
સપાટીને સમાંતર આભાસી બળનો ઘટક $(dm \cdot a) \cos \theta$ છે.
સપાટીને સમાંતર વજનબળનો ઘટક $(dm \cdot g) \sin \theta$ છે.
સપાટીને સમાંતર સંતુલન માટે:
$(dm \cdot a) \cos \theta = (dm \cdot g) \sin \theta$
બંને બાજુને $(dm \cdot \cos \theta)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
આમ,મુક્ત સપાટીનો ઢાળ $\frac{a}{g}$ છે.
0 likes
View Solution102
MediumMCQ
$M$ દળ અને $\alpha$ ખૂણાવાળો એક લાકડાનો વેજ (wedge) લીસી સપાટી પર સ્થિર છે. $m$ દળનો એક બ્લોક વેજ પર રાખવામાં આવ્યો છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વેજ પર $F$ બળ એવી રીતે લગાડવામાં આવે છે કે જેથી બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે. તો બળ $F$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$(M+m) g \tan \alpha$
B
$g \tan \alpha$
C
$m g \cos \alpha$
D
$(M+m) g \operatorname{cosec} \alpha$
Solution
(A) ધારો કે વેજનો પ્રવેગ ડાબી બાજુ $a$ છે. બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,બ્લોક પણ ડાબી બાજુ સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે.
સમગ્ર તંત્ર (વેજ + બ્લોક) માટે,કુલ બળ $F = (M+m) a \dots (i)$ છે.
હવે,વેજના નોન-ઇનર્શિયલ ફ્રેમમાં $m$ દળના બ્લોકનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ.
$2$. લંબબળ $N$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ છે.
$3$. સ્યુડો બળ $ma$ જે જમણી તરફ આડું લાગે છે.
બ્લોક વેજ પર સ્થિર રહે તે માટે,ઢાળની દિશામાં સ્યુડો બળનો ઘટક અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = g \tan \alpha \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = (M+m) g \tan \alpha$.
સમગ્ર તંત્ર (વેજ + બ્લોક) માટે,કુલ બળ $F = (M+m) a \dots (i)$ છે.
હવે,વેજના નોન-ઇનર્શિયલ ફ્રેમમાં $m$ દળના બ્લોકનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ.
$2$. લંબબળ $N$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ છે.
$3$. સ્યુડો બળ $ma$ જે જમણી તરફ આડું લાગે છે.
બ્લોક વેજ પર સ્થિર રહે તે માટે,ઢાળની દિશામાં સ્યુડો બળનો ઘટક અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = g \tan \alpha \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = (M+m) g \tan \alpha$.
0 likes
View Solution103
MediumMCQ
સ્થિર લિફ્ટની અંદર સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર ઉભેલી વ્યક્તિનું માપ $60 \, kg$ છે. જો લિફ્ટ $1.8 \, m/s^{2}$ ના સમાન નીચે તરફના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે,તો તે વ્યક્તિનું વજન $_{-} N$ થશે. $[g = 10 \, m/s^{2}]$
A
$486$
B
$492$
C
$512$
D
$456$
Solution
(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે લંબબળ $N$ એ વ્યક્તિના વજન જેટલું હોય છે:
$N = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$
જ્યારે લિફ્ટ $a = 1.8 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આપણે લિફ્ટના સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી ગતિનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ. આ અજડત્વીય ફ્રેમમાં,સ્યુડો ફોર્સ $F_{p} = ma$ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
આભાસી વજન $N'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N' = mg - ma = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N' = 60 \times (10 - 1.8)$
$N' = 60 \times 8.2$
$N' = 492 \, N$
$N = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$
જ્યારે લિફ્ટ $a = 1.8 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આપણે લિફ્ટના સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી ગતિનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ. આ અજડત્વીય ફ્રેમમાં,સ્યુડો ફોર્સ $F_{p} = ma$ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
આભાસી વજન $N'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N' = mg - ma = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N' = 60 \times (10 - 1.8)$
$N' = 60 \times 8.2$
$N' = 492 \, N$
0 likes
View Solution104
MediumMCQ
એક વ્યક્તિ લિફ્ટમાં ઉભી છે. કઈ પરિસ્થિતિમાં તેને વજનમાં ઘટાડો અનુભવાય છે?
A
જ્યારે લિફ્ટ અચળ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે
B
જ્યારે લિફ્ટ અચળ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે
C
જ્યારે લિફ્ટ સમાન વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે
D
જ્યારે લિફ્ટ સમાન વેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે
Solution
(B) ધારો કે વ્યક્તિનું દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે વ્યક્તિ માટે ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$mg - N = ma$
જ્યાં $N$ એ લંબબળ (આભાસી વજન) છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$N = m(g - a)$
અહીં $N < mg$ હોવાથી,જ્યારે લિફ્ટ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે ત્યારે વ્યક્તિને વજનમાં ઘટાડો અનુભવાય છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે વ્યક્તિ માટે ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$mg - N = ma$
જ્યાં $N$ એ લંબબળ (આભાસી વજન) છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$N = m(g - a)$
અહીં $N < mg$ હોવાથી,જ્યારે લિફ્ટ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે ત્યારે વ્યક્તિને વજનમાં ઘટાડો અનુભવાય છે.
0 likes
View Solution105
EasyMCQ
એક $M$ દળનો બ્લોક એક બોક્સની અંદર મૂકેલો છે જે $a$ પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ નીચે ઉતરે છે. બ્લોક બોક્સના તળિયા પર તેના વજનના ચોથા ભાગ જેટલું બળ લગાડે છે. $a$ નું મૂલ્ય ............. હશે.
A
$\frac{g}{4}$
B
$\frac{g}{2}$
C
$\frac{3g}{4}$
D
$g$
Solution
(C) ધારો કે બ્લોકનું દળ $M$ છે. બ્લોક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ $Mg$ છે.
બોક્સના તળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ તેના વજનના ચોથા ભાગ જેટલું આપેલું છે,તેથી $N = \frac{Mg}{4}$.
જેহেতু બોક્સ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$Mg - N = Ma$
$N$ ની કિંમત મૂકતા:
$Mg - \frac{Mg}{4} = Ma$
$\frac{3Mg}{4} = Ma$
$a = \frac{3g}{4}$
બોક્સના તળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ તેના વજનના ચોથા ભાગ જેટલું આપેલું છે,તેથી $N = \frac{Mg}{4}$.
જેহেতু બોક્સ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$Mg - N = Ma$
$N$ ની કિંમત મૂકતા:
$Mg - \frac{Mg}{4} = Ma$
$\frac{3Mg}{4} = Ma$
$a = \frac{3g}{4}$
0 likes
View Solution106
DifficultMCQ
ત્રણ દળ $M = 100 \, kg$,$m_{1} = 10 \, kg$ અને $m_{2} = 20 \, kg$ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક તંત્રમાં ગોઠવવામાં આવ્યા છે. બધી સપાટીઓ ઘર્ષણરહિત છે અને દોરીઓ અસ્થિતિસ્થાપક અને વજનરહિત છે. ગરગડીઓ પણ વજનરહિત અને ઘર્ષણરહિત છે. તંત્ર પર એક બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે જેથી દળ $m_{2}$ એ $2 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. $F$ નું મૂલ્ય $...... \, N$ છે. ($g = 10 \, m/s^{2}$ લો)
A
$3360$
B
$3380$
C
$3120$
D
$3240$
Solution
(C) ધારો કે $100 \, kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ જમણી તરફ $a_{1}$ છે.
$m_{2} = 20 \, kg$ ના બ્લોક માટે,તે $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $a_{y} = 2 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. દોરીમાં તણાવ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $20g$ નીચેની તરફ લાગે છે. સ્યુડો બળ $20a_{1}$ સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
$m_{2}$ માટે શિરોલંબ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - m_{2}g = m_{2}a_{y}$
$T - 20(10) = 20(2)$
$T - 200 = 40 \Rightarrow T = 240 \, N$.
હવે,$100 \, kg$ ના બ્લોક પર રહેલા $m_{1} = 10 \, kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તે દોરી દ્વારા $20 \, kg$ ના બ્લોક સાથે જોડાયેલ છે. $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_{x} = 2 \, m/s^{2}$ છે (કારણ કે દોરી અસ્થિતિસ્થાપક છે,તેથી $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $m_{2}$ ના શિરોલંબ પ્રવેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ).
$m_{1}$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T = m_{1}a_{1} \Rightarrow 240 = 10a_{1} \Rightarrow a_{1} = 24 \, m/s^{2}$.
છેલ્લે,સમગ્ર તંત્ર $(M + m_{1} + m_{2})$ ને $a_{1}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતું ધ્યાનમાં લેતા:
$F = (M + m_{1} + m_{2})a_{1}$
$F = (100 + 10 + 20) \times 24$
$F = 130 \times 24 = 3120 \, N$.
$m_{2} = 20 \, kg$ ના બ્લોક માટે,તે $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $a_{y} = 2 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. દોરીમાં તણાવ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $20g$ નીચેની તરફ લાગે છે. સ્યુડો બળ $20a_{1}$ સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
$m_{2}$ માટે શિરોલંબ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - m_{2}g = m_{2}a_{y}$
$T - 20(10) = 20(2)$
$T - 200 = 40 \Rightarrow T = 240 \, N$.
હવે,$100 \, kg$ ના બ્લોક પર રહેલા $m_{1} = 10 \, kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તે દોરી દ્વારા $20 \, kg$ ના બ્લોક સાથે જોડાયેલ છે. $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_{x} = 2 \, m/s^{2}$ છે (કારણ કે દોરી અસ્થિતિસ્થાપક છે,તેથી $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $m_{2}$ ના શિરોલંબ પ્રવેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ).
$m_{1}$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T = m_{1}a_{1} \Rightarrow 240 = 10a_{1} \Rightarrow a_{1} = 24 \, m/s^{2}$.
છેલ્લે,સમગ્ર તંત્ર $(M + m_{1} + m_{2})$ ને $a_{1}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતું ધ્યાનમાં લેતા:
$F = (M + m_{1} + m_{2})a_{1}$
$F = (100 + 10 + 20) \times 24$
$F = 130 \times 24 = 3120 \, N$.
0 likes
View Solution107
DifficultMCQ
એક છોકરી ટ્રેનની બારીમાંથી સફરજન નીચે ફેંકે છે,જે ટ્રેન સીધા પાટા પર અચળ દરે વધતી ઝડપ સાથે ગતિ કરી રહી છે. છોકરી દ્વારા જોવામાં આવતા પડતા સફરજનનો ગતિપથ કેવો હશે?
A
પરવલયાકાર અને ગતિ કરતી ટ્રેનની દિશામાં
B
પરવલયાકાર અને ગતિ કરતી ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં
C
ઢળતી સીધી રેખા જે ગતિ કરતી ટ્રેનની દિશામાં હોય
D
ઢળતી સીધી રેખા જે ગતિ કરતી ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય
Solution
(D) જ્યારે સફરજન મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ (પ્રવેગી ટ્રેન) માં હોય છે.
આ ફ્રેમમાં,સફરજન બે અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$a_2 = g$ (નીચેની તરફ).
$2$. આભાસી પ્રવેગ (pseudo-acceleration),$a_1 = -a$ (ટ્રેનના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં,જ્યાં $a$ એ ટ્રેનનો પ્રવેગ છે).
બંને પ્રવેગ અચળ હોવાથી અને નિશ્ચિત દિશામાં કાર્યરત હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a_{\text{net}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ નું મૂલ્ય અને દિશા પણ અચળ રહે છે.
છોકરીની સાપેક્ષમાં સફરજનનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,સફરજન પરિણામી પ્રવેગ સદિશની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.
તેથી,છોકરી દ્વારા જોવામાં આવતા પડતા સફરજનનો ગતિપથ ગતિ કરતી ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં એક ઢળતી સીધી રેખા હશે.
આ ફ્રેમમાં,સફરજન બે અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$a_2 = g$ (નીચેની તરફ).
$2$. આભાસી પ્રવેગ (pseudo-acceleration),$a_1 = -a$ (ટ્રેનના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં,જ્યાં $a$ એ ટ્રેનનો પ્રવેગ છે).
બંને પ્રવેગ અચળ હોવાથી અને નિશ્ચિત દિશામાં કાર્યરત હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a_{\text{net}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ નું મૂલ્ય અને દિશા પણ અચળ રહે છે.
છોકરીની સાપેક્ષમાં સફરજનનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,સફરજન પરિણામી પ્રવેગ સદિશની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.
તેથી,છોકરી દ્વારા જોવામાં આવતા પડતા સફરજનનો ગતિપથ ગતિ કરતી ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં એક ઢળતી સીધી રેખા હશે.
0 likes
View Solution108
DifficultMCQ
એક પાટિયું $a \hat{i}$ જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે. $l$ બાજુવાળો એક સમાન ખરબચડો ઘનાકાર બ્લોક પાટિયા પર સ્થિર છે અને પાટિયાની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે. ધારો કે કોઈ ક્ષણે બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, l/2)$ પર છે. જો $a = g/10$ હોય,તો તે ક્ષણે પાટિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ કયા બિંદુએ કાર્ય કરે છે?
A
$(0,0)$
B
$(-l/20, 0)$
C
$(-l/10, 0)$
D
$(l/10, 0)$
Solution
(B) પાટિયાના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળો સ્યુડો ફોર્સ $ma$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર પાછળની તરફ),વજન $mg$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ),સ્થિત ઘર્ષણ $f$ (તળિયે) અને લંબબળ $N$ (તળિયે કેન્દ્ર રેખાથી $x$ અંતરે) છે.
બ્લોક રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સ્યુડો ફોર્સ $ma$ અને વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે તેમની કાર્યરેખા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ઘર્ષણ $f$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_f = f \cdot (l/2)$ છે.
લંબબળ $N$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_N = N \cdot x$ છે.
$\tau_N = \tau_f$ લેતા,આપણને $N \cdot x = f \cdot (l/2)$ મળે છે.
$N = mg$ અને $f = ma$ હોવાથી,$mg \cdot x = ma \cdot (l/2)$ મળે.
આમ,$x = (a/g) \cdot (l/2)$.
$a = g/10$ આપેલ હોવાથી,$x = (1/10) \cdot (l/2) = l/20$ મળે.
સ્યુડો ફોર્સ ધન $x$-દિશામાં લાગે છે (બ્લોકની ફ્રેમની સાપેક્ષમાં તે પાછળની તરફ લાગે છે),તેથી ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબબળ ઋણ $x$-દિશામાં ખસવું જોઈએ. તેથી,તે બિંદુ $(-l/20, 0)$ છે.
બ્લોક રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સ્યુડો ફોર્સ $ma$ અને વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે તેમની કાર્યરેખા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ઘર્ષણ $f$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_f = f \cdot (l/2)$ છે.
લંબબળ $N$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_N = N \cdot x$ છે.
$\tau_N = \tau_f$ લેતા,આપણને $N \cdot x = f \cdot (l/2)$ મળે છે.
$N = mg$ અને $f = ma$ હોવાથી,$mg \cdot x = ma \cdot (l/2)$ મળે.
આમ,$x = (a/g) \cdot (l/2)$.
$a = g/10$ આપેલ હોવાથી,$x = (1/10) \cdot (l/2) = l/20$ મળે.
સ્યુડો ફોર્સ ધન $x$-દિશામાં લાગે છે (બ્લોકની ફ્રેમની સાપેક્ષમાં તે પાછળની તરફ લાગે છે),તેથી ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબબળ ઋણ $x$-દિશામાં ખસવું જોઈએ. તેથી,તે બિંદુ $(-l/20, 0)$ છે.
0 likes
View Solution109
AdvancedMCQ
એક સાદું લોલક એક બ્લોક સાથે જોડાયેલું છે જે નીચે દર્શાવ્યા મુજબ $\alpha$ ખૂણો ધરાવતા ઢળતા સમતલ $ABC$ પર ઘર્ષણ વિના સરકે છે. જ્યારે બ્લોક નીચે સરકે છે,ત્યારે લોલક એવી રીતે દોલન કરે છે કે તેની મધ્યમાન સ્થિતિમાં દોરીની દિશા ........... હોય છે.
A
ઢળતા સમતલ $AC$ ને લંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે
B
ઢળતા સમતલ $AC$ ને સમાંતર
C
શિરોલંબ નીચેની તરફ
D
ઢળતા સમતલ $AC$ ને લંબ
Solution
(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
જ્યારે બ્લોક $a = g \sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે,ત્યારે આપણે બ્લોકના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં લોલકના ગોળાની ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$(i)$ બ્લોકની ફ્રેમમાં લોલકના ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ) અને આભાસી બળ $ma = mg \sin \alpha$ (ઢળતા સમતલને સમાંતર ઉપરની તરફ) છે.
$(ii)$ ગોળા દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\vec{g}$ અને આભાસી પ્રવેગ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$(iii)$ લોલકની મધ્યમાન સ્થિતિ આ અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff}$ ની દિશાને અનુરૂપ હોય છે.
$(iv)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સમતલને લંબ $(mg \cos \alpha)$ અને સમતલને સમાંતર $(mg \sin \alpha)$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમાંતર ઘટક $mg \sin \alpha$ એ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા આભાસી બળ $mg \sin \alpha$ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થાય છે.
$(v)$ આમ,અસરકારક બળનો બાકી રહેલો એકમાત્ર ઘટક $mg \cos \alpha$ છે,જે ઢળતા સમતલ $AC$ ને લંબ રૂપે લાગે છે. તેથી,લોલકની દોરી તેની મધ્યમાન સ્થિતિમાં ઢળતા સમતલને લંબ રૂપે ગોઠવાય છે.
જ્યારે બ્લોક $a = g \sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે,ત્યારે આપણે બ્લોકના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં લોલકના ગોળાની ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$(i)$ બ્લોકની ફ્રેમમાં લોલકના ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ) અને આભાસી બળ $ma = mg \sin \alpha$ (ઢળતા સમતલને સમાંતર ઉપરની તરફ) છે.
$(ii)$ ગોળા દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\vec{g}$ અને આભાસી પ્રવેગ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$(iii)$ લોલકની મધ્યમાન સ્થિતિ આ અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff}$ ની દિશાને અનુરૂપ હોય છે.
$(iv)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સમતલને લંબ $(mg \cos \alpha)$ અને સમતલને સમાંતર $(mg \sin \alpha)$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમાંતર ઘટક $mg \sin \alpha$ એ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા આભાસી બળ $mg \sin \alpha$ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થાય છે.
$(v)$ આમ,અસરકારક બળનો બાકી રહેલો એકમાત્ર ઘટક $mg \cos \alpha$ છે,જે ઢળતા સમતલ $AC$ ને લંબ રૂપે લાગે છે. તેથી,લોલકની દોરી તેની મધ્યમાન સ્થિતિમાં ઢળતા સમતલને લંબ રૂપે ગોઠવાય છે.
0 likes
View Solution110
MediumMCQ
એક લંબચોરસ બોક્સમાં પાણી ભરેલું છે. તેને $a$ પ્રવેગ સાથે જમણી તરફ ખેંચવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ પાણીની સપાટીનો સાચો આકાર દર્શાવે છે?
A
B
C
D
Solution
(D) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા પાત્રને $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્રવાહીના કણો પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $-a$ (ડાબી તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
આમ,$g_{\text{eff}} = g + (-a)$.
સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીની સપાટી હંમેશા અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
જેহেতু $g_{\text{eff}}$ નીચેની તરફ અને ડાબી તરફ કાર્યરત છે,તેથી પાણીની સપાટી એવી રીતે નમશે કે જેથી તે ડાબી બાજુએ ઊંચી અને જમણી બાજુએ નીચી રહે,જે $g_{\text{eff}}$ સદિશને લંબ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
તેથી,સાચો આકાર એક સીધી નમેલી સપાટી છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.
આમ,$g_{\text{eff}} = g + (-a)$.
સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીની સપાટી હંમેશા અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
જેহেতু $g_{\text{eff}}$ નીચેની તરફ અને ડાબી તરફ કાર્યરત છે,તેથી પાણીની સપાટી એવી રીતે નમશે કે જેથી તે ડાબી બાજુએ ઊંચી અને જમણી બાજુએ નીચી રહે,જે $g_{\text{eff}}$ સદિશને લંબ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
તેથી,સાચો આકાર એક સીધી નમેલી સપાટી છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.
0 likes
View Solution111
DifficultMCQ
એક લિફ્ટની અંદર આદર્શ ગરગડી પરથી પસાર થતી દળરહિત દોરીની મદદથી $2 \,kg$ અને $4 \,kg$ દળના બે બ્લોક લટકાવેલા છે. લિફ્ટ $\frac{g}{2}$ જેટલા પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે. બ્લોક્સ વચ્ચે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ .......... $N$ હશે ($g=10 \,m/s^2$ લો).
A
$40$
B
$60$
C
$80$
D
$20$
Solution
(A) લિફ્ટના ફ્રેમમાં,બંને બ્લોક્સ નીચેની તરફ આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma$ અનુભવે છે,જ્યાં $a = \frac{g}{2}$.
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે: અસરકારક નીચેની તરફનું બળ $W_{eff} = m_1(g + a) = 4(g + \frac{g}{2}) = 4(\frac{3g}{2}) = 6g$ છે.
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $6g - T = 4a_{rel}$ છે,જ્યાં $a_{rel}$ એ લિફ્ટની સાપેક્ષ પ્રવેગ છે.
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે: અસરકારક નીચેની તરફનું બળ $W_{eff} = m_2(g + a) = 2(g + \frac{g}{2}) = 2(\frac{3g}{2}) = 3g$ છે.
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $T - 3g = 2a_{rel}$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(6g - T) + (T - 3g) = 4a_{rel} + 2a_{rel} \Rightarrow 3g = 6a_{rel} \Rightarrow a_{rel} = \frac{g}{2}$.
$a_{rel}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $T = 3g + 2(\frac{g}{2}) = 3g + g = 4g$.
$g = 10 \,m/s^2$ લેતા,$T = 4 \times 10 = 40 \,N$.
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે: અસરકારક નીચેની તરફનું બળ $W_{eff} = m_1(g + a) = 4(g + \frac{g}{2}) = 4(\frac{3g}{2}) = 6g$ છે.
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $6g - T = 4a_{rel}$ છે,જ્યાં $a_{rel}$ એ લિફ્ટની સાપેક્ષ પ્રવેગ છે.
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે: અસરકારક નીચેની તરફનું બળ $W_{eff} = m_2(g + a) = 2(g + \frac{g}{2}) = 2(\frac{3g}{2}) = 3g$ છે.
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $T - 3g = 2a_{rel}$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(6g - T) + (T - 3g) = 4a_{rel} + 2a_{rel} \Rightarrow 3g = 6a_{rel} \Rightarrow a_{rel} = \frac{g}{2}$.
$a_{rel}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $T = 3g + 2(\frac{g}{2}) = 3g + g = 4g$.
$g = 10 \,m/s^2$ લેતા,$T = 4 \times 10 = 40 \,N$.
0 likes
View Solution112
MediumMCQ
આપેલ ગોઠવણીમાં,બધી સપાટીઓ લીસી છે. તંત્ર (બ્લોક $M$) ને કેટલો પ્રવેગ $a$ આપવો જોઈએ જેથી બ્લોક $m_2$ નીચે સરકે નહીં?
A
$\frac{m_2 g}{m_1}$
B
$\frac{m_1 g}{m_2}$
C
$g$
D
$\frac{m_2 g}{m_1+m_2}$
Solution
(A) બ્લોક $m_2$ નીચે ન સરકે તે માટે,તે બ્લોક $M$ ની સાપેક્ષમાં શિરોલંબ દિશામાં સંતુલનમાં હોવું જોઈએ.
$1$. બ્લોક $m_2$ માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ તેના વજન $m_2 g$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$T = m_2 g$.
$2$. બ્લોક $m_1$ એ બ્લોક $M$ ની લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલ છે. જ્યારે તંત્રને $a$ પ્રવેગ સાથે ડાબી બાજુ પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $m_1$ પર જમણી બાજુ સ્યુડો-બળ $m_1 a$ લાગે છે. આ સ્યુડો-બળ દોરીમાં રહેલા તણાવબળ $T$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$T = m_1 a$.
$3$. તણાવબળ $T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m_1 a = m_2 g$
$4$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{m_2 g}{m_1}$
$1$. બ્લોક $m_2$ માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ તેના વજન $m_2 g$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$T = m_2 g$.
$2$. બ્લોક $m_1$ એ બ્લોક $M$ ની લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલ છે. જ્યારે તંત્રને $a$ પ્રવેગ સાથે ડાબી બાજુ પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $m_1$ પર જમણી બાજુ સ્યુડો-બળ $m_1 a$ લાગે છે. આ સ્યુડો-બળ દોરીમાં રહેલા તણાવબળ $T$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$T = m_1 a$.
$3$. તણાવબળ $T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m_1 a = m_2 g$
$4$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{m_2 g}{m_1}$
0 likes
View Solution113
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ટ્રોલી ઢળતા સમતલ પર મુક્ત રીતે નીચે સરકી રહી છે. લોલકની દોરી ટ્રોલીની છત સાથે જે ખૂણો $(\alpha)$ બનાવે છે તે .......... ની બરાબર છે.
A
$\theta^{\circ}$
B
$90^{\circ}-\theta^{\circ}$
C
$90^{\circ}$
D
$0^{\circ}$
Solution
(C) ટ્રોલી ઢળતા સમતલ પર $a = g \sin \theta$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
ટ્રોલીના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઢળતા સમતલની દિશામાં ઉપર તરફ આભાસી બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
ટ્રોલીની ફ્રેમમાં ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આભાસી બળ $ma = m(g \sin \theta)$ જે ઢળતા સમતલની દિશામાં ઉપર તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવબળ $T$.
ગોળો ટ્રોલીની ફ્રેમમાં સંતુલિત હોવાથી,તેના પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ઢળતા સમતલની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + ma = 0$
$a = g \sin \theta$ મુકતા:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + m(g \sin \theta) = 0$
$T \cos \alpha = 0$
અહીં તણાવબળ $T \neq 0$ હોવાથી,$\cos \alpha = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
ટ્રોલીના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઢળતા સમતલની દિશામાં ઉપર તરફ આભાસી બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
ટ્રોલીની ફ્રેમમાં ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આભાસી બળ $ma = m(g \sin \theta)$ જે ઢળતા સમતલની દિશામાં ઉપર તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવબળ $T$.
ગોળો ટ્રોલીની ફ્રેમમાં સંતુલિત હોવાથી,તેના પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ઢળતા સમતલની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + ma = 0$
$a = g \sin \theta$ મુકતા:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + m(g \sin \theta) = 0$
$T \cos \alpha = 0$
અહીં તણાવબળ $T \neq 0$ હોવાથી,$\cos \alpha = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
0 likes
View Solution114
MediumMCQ
જો ટ્રોલી $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગિત થાય,તો લોલકનો ગોળો તેની પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ સ્થિતિથી પાછળની તરફ સ્થાનાંતરિત થાય છે. સંતુલન સ્થિતિમાં ગોળાનું કોણીય વિચલન .......... છે.
A
$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
B
$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
C
$\theta=\cot ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
D
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
Solution
(D) ટ્રોલીના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,ટ્રોલીના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોળા પર આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma$ લાગે છે.
ધારો કે $m$ એ ગોળાનું દળ છે,$T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનું વિચલન કોણ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. સમક્ષિતિજ પાછળની તરફ લાગતું આભાસી બળ $ma$.
સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
સમક્ષિતિજ: $T \sin \theta = ma$
શિરોલંબ: $T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
ધારો કે $m$ એ ગોળાનું દળ છે,$T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનું વિચલન કોણ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. સમક્ષિતિજ પાછળની તરફ લાગતું આભાસી બળ $ma$.
સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
સમક્ષિતિજ: $T \sin \theta = ma$
શિરોલંબ: $T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
0 likes
View Solution115
MediumMCQ
સ્યુડો ફોર્સ (આભાસી બળ) વિશે સાચું વિધાન પસંદ કરો.
A
તે ઉદગમમાં વિદ્યુતચુંબકીય છે.
B
તેના માટે ન્યુટનનો $3^{rd}$ નિયમ લાગુ પડે છે.
C
તે એક મૂળભૂત બળ છે.
D
તેનો ઉપયોગ ન્યુટનના નિયમને અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં લાગુ કરવા માટે થાય છે.
Solution
(D) સ્યુડો ફોર્સ (જેને આભાસી બળ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ એક એવું બળ છે જે તમામ દ્રવ્યમાન પર કાર્ય કરે છે જેની ગતિનું વર્ણન અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ (જેમ કે ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમ) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
ન્યુટનના ગતિના નિયમો માત્ર જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં જ માન્ય છે.
અજડત્વીય ફ્રેમમાં ન્યુટનનો બીજો નિયમ $(F = ma)$ લાગુ કરવા માટે,આપણે એક વધારાનું બળ ઉમેરવું પડે છે,જેને સ્યુડો ફોર્સ $(F_{pseudo} = -ma_{frame})$ કહેવાય છે.
સ્યુડો ફોર્સ એ મૂળભૂત બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા વિદ્યુતચુંબકીય બળ) નથી કારણ કે તે ભૌતિક પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયામાંથી ઉદ્ભવતા નથી,અને તે ન્યુટનના $3^{rd}$ નિયમનું પાલન કરતા નથી (તેની સામે કોઈ પ્રતિક્રિયા બળ હોતું નથી).
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેનો ઉપયોગ ન્યુટનના નિયમોને અજડત્વીય ફ્રેમમાં લાગુ કરવા માટે થાય છે.
ન્યુટનના ગતિના નિયમો માત્ર જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં જ માન્ય છે.
અજડત્વીય ફ્રેમમાં ન્યુટનનો બીજો નિયમ $(F = ma)$ લાગુ કરવા માટે,આપણે એક વધારાનું બળ ઉમેરવું પડે છે,જેને સ્યુડો ફોર્સ $(F_{pseudo} = -ma_{frame})$ કહેવાય છે.
સ્યુડો ફોર્સ એ મૂળભૂત બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા વિદ્યુતચુંબકીય બળ) નથી કારણ કે તે ભૌતિક પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયામાંથી ઉદ્ભવતા નથી,અને તે ન્યુટનના $3^{rd}$ નિયમનું પાલન કરતા નથી (તેની સામે કોઈ પ્રતિક્રિયા બળ હોતું નથી).
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેનો ઉપયોગ ન્યુટનના નિયમોને અજડત્વીય ફ્રેમમાં લાગુ કરવા માટે થાય છે.
0 likes
View Solution116
DifficultMCQ
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો એક હલકી દોરી વડે જોડાયેલા છે જે ઘર્ષણરહિત,દળરહિત ગરગડી પરથી પસાર થાય છે. જો ગરગડી $\frac{g}{2}$ ના સમાન પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોય,તો દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે .........
A
$\frac{3 m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
B
$\frac{m_1+m_2}{4 m_1 m_2} g$
C
$\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
D
$\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
Solution
(A) જ્યારે ગરગડી $a_p = \frac{g}{2}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આપણે ગરગડીના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી $m_1$ અને $m_2$ દળની ગતિનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ. આ ફ્રેમમાં,દરેક દળ પર નીચેની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = m \cdot a_p$ લાગે છે.
ગરગડીની ફ્રેમમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a_p = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ છે.
ગરગડી પર $m_1$ અને $m_2$ દળને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = \frac{3g}{2}$ મૂકતા:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \left( \frac{3g}{2} \right)$
$T = \frac{3 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
ગરગડીની ફ્રેમમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a_p = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ છે.
ગરગડી પર $m_1$ અને $m_2$ દળને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = \frac{3g}{2}$ મૂકતા:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \left( \frac{3g}{2} \right)$
$T = \frac{3 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
0 likes
View Solution117
DifficultMCQ
$m$ દળનો એક બ્લોક $M$ દળના વેજ (wedge) પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ રાખેલ છે,જેથી $m$ દળ વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે. બળ $P$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$g \tan \beta$
B
$m g \tan \beta$
C
$(M+m) g \tan \beta$
D
$m g \cot \beta$
Solution
(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર પર લાગતું બળ $P = (M+m) a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળના બ્લોકને વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,આપણે વેજના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. બ્લોક પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo-force) પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં $ma$ જેટલું હોય છે.
ઢળતી સપાટી પર બ્લોક $m$ પર લાગતા બળોના ઘટકો લેતા:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળની નીચેની તરફનો ઘટક $mg \sin \beta$ છે.
$2$. આભાસી બળ $ma$ નો ઢાળની ઉપરની તરફનો ઘટક $ma \cos \beta$ છે.
બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને ઘટકો એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
બંને બાજુને $m \cos \beta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$a = g \tan \beta$
$a$ ની આ કિંમતને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = (M+m) g \tan \beta$
$m$ દળના બ્લોકને વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,આપણે વેજના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. બ્લોક પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo-force) પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં $ma$ જેટલું હોય છે.
ઢળતી સપાટી પર બ્લોક $m$ પર લાગતા બળોના ઘટકો લેતા:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળની નીચેની તરફનો ઘટક $mg \sin \beta$ છે.
$2$. આભાસી બળ $ma$ નો ઢાળની ઉપરની તરફનો ઘટક $ma \cos \beta$ છે.
બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને ઘટકો એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
બંને બાજુને $m \cos \beta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$a = g \tan \beta$
$a$ ની આ કિંમતને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = (M+m) g \tan \beta$
0 likes
View Solution118
DifficultMCQ
એક લિફ્ટ '$a$' પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે. તેમાં ઉભેલા એક છોકરા દ્વારા એક દડો નીચે પાડવામાં આવે છે. છોકરા અને જમીનની સાપેક્ષમાં દડાનો પ્રવેગ અનુક્રમે કેટલો હશે? [ઉપરની દિશાને ધન લો]
A
છોકરાની સાપેક્ષે $-g$
B
છોકરાની સાપેક્ષે $-(g+a)$
C
જમીનની સાપેક્ષે $-g$
D
$(b)$ અને $(c)$ બંને
Solution
(D) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન $(+)$ છે અને નીચેની દિશા ઋણ $(-)$ છે.
$1$. જમીનની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $(a_{bG})$:
એકવાર દડો છોડવામાં આવે,પછી તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે. જમીનની સાપેક્ષે તેનો પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ જેટલો જ હોય છે.
$a_{bG} = -g$
$2$. છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $(a_{bb})$:
છોકરો લિફ્ટની અંદર છે,જે '$a$' પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગના સૂત્ર મુજબ,છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ:
$a_{bb} = a_{ball} - a_{boy}$
અહીં $a_{ball} = -g$ (નીચેની તરફ) અને $a_{boy} = +a$ (ઉપરની તરફ) હોવાથી,
$a_{bb} = -g - a = -(g + a)$
આમ,છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $-(g+a)$ છે અને જમીનની સાપેક્ષે $-g$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.
$1$. જમીનની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $(a_{bG})$:
એકવાર દડો છોડવામાં આવે,પછી તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે. જમીનની સાપેક્ષે તેનો પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ જેટલો જ હોય છે.
$a_{bG} = -g$
$2$. છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $(a_{bb})$:
છોકરો લિફ્ટની અંદર છે,જે '$a$' પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગના સૂત્ર મુજબ,છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ:
$a_{bb} = a_{ball} - a_{boy}$
અહીં $a_{ball} = -g$ (નીચેની તરફ) અને $a_{boy} = +a$ (ઉપરની તરફ) હોવાથી,
$a_{bb} = -g - a = -(g + a)$
આમ,છોકરાની સાપેક્ષે દડાનો પ્રવેગ $-(g+a)$ છે અને જમીનની સાપેક્ષે $-g$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.
0 likes
View Solution119
EasyMCQ
એક આડા ગતિ કરતા બોક્સની અંદર,એક પ્રયોગકર્તાને જાણવા મળે છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થને લીસી આડી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે અને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $10\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. આ બોક્સમાં,જો $1\,kg$ ના પદાર્થને હલકા દોરી વડે લટકાવવામાં આવે,તો સંતુલન સ્થિતિમાં (પ્રયોગકર્તાની સાપેક્ષમાં) દોરીમાં તણાવ $.........\,N$ હશે. ($g = 10\,m/s^2$ લો)
A
$10$
B
$10\sqrt{2}$
C
$20$
D
$0$
Solution
(B) બોક્સનો પ્રવેગ $a = 10\,m/s^2$ છે.
બોક્સના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,બોક્સના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં એક આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma$ લાગે છે.
અહીં,$m = 1\,kg$ અને $a = 10\,m/s^2$,તેથી આભાસી બળ $F_p = 1 \times 10 = 10\,N$ આડી દિશામાં લાગે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
પ્રયોગકર્તાની સાપેક્ષમાં સંતુલન સ્થિતિમાં,દોરીમાં તણાવ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને આભાસી બળના પરિણામી બળને સંતુલિત કરે છે.
$T = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\,N$.
બોક્સના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,બોક્સના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં એક આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma$ લાગે છે.
અહીં,$m = 1\,kg$ અને $a = 10\,m/s^2$,તેથી આભાસી બળ $F_p = 1 \times 10 = 10\,N$ આડી દિશામાં લાગે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
પ્રયોગકર્તાની સાપેક્ષમાં સંતુલન સ્થિતિમાં,દોરીમાં તણાવ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને આભાસી બળના પરિણામી બળને સંતુલિત કરે છે.
$T = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\,N$.
0 likes
View Solution120
MediumMCQ
નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન-$I$: જ્યારે લિફ્ટનું વજન તેના કેબલના તણાવ સાથે સંતુલિત હોય ત્યારે લિફ્ટ સમાન ઝડપ સાથે ઉપર અથવા નીચે જઈ શકે છે.
વિધાન-$II$: જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે નીચે જાય છે ત્યારે લિફ્ટના તળિયા દ્વારા તેના પર ઉભેલા વ્યક્તિના પગ પર લાગતું બળ તેના વજન કરતા વધારે હોય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
વિધાન-$I$: જ્યારે લિફ્ટનું વજન તેના કેબલના તણાવ સાથે સંતુલિત હોય ત્યારે લિફ્ટ સમાન ઝડપ સાથે ઉપર અથવા નીચે જઈ શકે છે.
વિધાન-$II$: જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે નીચે જાય છે ત્યારે લિફ્ટના તળિયા દ્વારા તેના પર ઉભેલા વ્યક્તિના પગ પર લાગતું બળ તેના વજન કરતા વધારે હોય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને ખોટા છે
B
વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે
C
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને સાચા છે
D
વિધાન $I$ ખોટું છે પરંતુ વિધાન $II$ સાચું છે
Solution
(B) વિધાન-$I$ નું વિશ્લેષણ: જ્યારે લિફ્ટ સમાન ઝડપ (અચળ વેગ) સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,લિફ્ટ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,કેબલમાં રહેલું તણાવ $T$ એ લિફ્ટના વજન $W$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ $(T = W)$. આ વિધાન સાચું છે.
વિધાન-$II$ નું વિશ્લેષણ: જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ નીચેની તરફ હોય છે. ધારો કે $W = mg$ એ વ્યક્તિનું વજન છે અને $N$ એ લિફ્ટના તળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ છે. વ્યક્તિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $W - N = ma$. $m = W/g$ મૂકતા,આપણને $W - N = (W/g)a$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $N = W(1 - a/g)$ મળે છે. અહીં $a > 0$ હોવાથી,લંબબળ $N$ એ વજન $W$ કરતા ઓછું છે. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ નું વિશ્લેષણ: જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ નીચેની તરફ હોય છે. ધારો કે $W = mg$ એ વ્યક્તિનું વજન છે અને $N$ એ લિફ્ટના તળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ છે. વ્યક્તિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $W - N = ma$. $m = W/g$ મૂકતા,આપણને $W - N = (W/g)a$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $N = W(1 - a/g)$ મળે છે. અહીં $a > 0$ હોવાથી,લંબબળ $N$ એ વજન $W$ કરતા ઓછું છે. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.
0 likes
View Solution121
MediumMCQ
એક કાર $40\,m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર આડા ટ્રેક પર $20\,m/s$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહી છે. કારની છત પરથી એક બોબને દળરહિત દોરી વડે લટકાવવામાં આવે છે. દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો કેટલો હશે? ($g = 10\,m/s^2$ લો)
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{3}$
Solution
(C) કારના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં,બોબ પર આડી દિશામાં બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ લાગે છે.
ધારો કે $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. આડી દિશામાં લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $\frac{mv^2}{R}$.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ સંતુલન)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (આડું સંતુલન)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
આપેલ કિંમતો $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,અને $g = 10\,m/s^2$ મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
ધારો કે $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. આડી દિશામાં લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $\frac{mv^2}{R}$.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ સંતુલન)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (આડું સંતુલન)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
આપેલ કિંમતો $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,અને $g = 10\,m/s^2$ મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
0 likes
View Solution122
DifficultMCQ
$5 \, kg$ દળનો એક લાકડાનો બ્લોક નરમ આડા ભોંયતળિયા પર પડેલો છે. જ્યારે $25 \, kg$ દળનો એક લોખંડનો નળાકાર બ્લોકની ઉપર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે ભોંયતળિયું દબાય છે અને બ્લોક તથા નળાકાર બંને સાથે મળીને $0.1 \, m/s^2$ ના પ્રવેગથી નીચે જાય છે. તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું ક્રિયાબળ કેટલું હશે ($N$ માં)?
A
$297$
B
$294$
C
$291$
D
$196$
Solution
(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = 5 \, kg + 25 \, kg = 30 \, kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ છે.
ધારો કે $N$ એ ભોંયતળિયા દ્વારા તંત્ર પર લાગતું લંબબળ (normal reaction) છે. નીચેની તરફની ગતિ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$Mg - N = Ma$
કિંમતો મૂકતા:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું ક્રિયાબળ એ લંબબળ $N$ જેટલું જ હોય છે, જે $291 \, N$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ છે.
ધારો કે $N$ એ ભોંયતળિયા દ્વારા તંત્ર પર લાગતું લંબબળ (normal reaction) છે. નીચેની તરફની ગતિ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$Mg - N = Ma$
કિંમતો મૂકતા:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું ક્રિયાબળ એ લંબબળ $N$ જેટલું જ હોય છે, જે $291 \, N$ છે.
0 likes
View Solution123
DifficultMCQ
એક ગોળાકાર ટેબલ તેની ધરીની આસપાસ $\omega \text{ rad/s}$ ના કોણીય વેગ સાથે ફરી રહ્યું છે (આકૃતિ જુઓ). ટેબલ પર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં એક લીસી ખાંચ છે. એક સ્ટીલનો દડો ખાંચ પર $1 \text{ m}$ ના અંતરે હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે. બધી સપાટીઓ લીસી છે. જો ટેબલની ત્રિજ્યા $3 \text{ m}$ હોય,તો જ્યારે દડો ટેબલ છોડે ત્યારે ટેબલની સાપેક્ષમાં દડાનો ત્રિજ્યાવર્તી વેગ $x \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$ છે,જ્યાં $x$ નું મૂલ્ય............ છે.
A
$1$
B
$2$
C
$5$
D
$7$
Solution
(B) ટેબલના ફરતા ફ્રેમમાં,દડો કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = m \omega^2 x$ અનુભવે છે,જ્યાં $x$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી અંતર છે.
ખાંચ લીસી હોવાથી,ખાંચની દિશામાં દડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_c}{m} = \omega^2 x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,જ્યાં $v$ એ ત્રિજ્યાવર્તી વેગ છે.
તેથી,$v \frac{dv}{dx} = \omega^2 x$.
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 1 \text{ m}$ થી અંતિમ સ્થાન $x_f = 3 \text{ m}$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^v v \, dv = \int_1^3 \omega^2 x \, dx$
$\frac{v^2}{2} = \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3$
$\frac{v^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} (3^2 - 1^2)$
$v^2 = \omega^2 (9 - 1) = 8 \omega^2$
$v = \sqrt{8} \omega = 2 \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$.
આને $x \sqrt{2} \omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.
ખાંચ લીસી હોવાથી,ખાંચની દિશામાં દડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_c}{m} = \omega^2 x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,જ્યાં $v$ એ ત્રિજ્યાવર્તી વેગ છે.
તેથી,$v \frac{dv}{dx} = \omega^2 x$.
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 1 \text{ m}$ થી અંતિમ સ્થાન $x_f = 3 \text{ m}$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^v v \, dv = \int_1^3 \omega^2 x \, dx$
$\frac{v^2}{2} = \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3$
$\frac{v^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} (3^2 - 1^2)$
$v^2 = \omega^2 (9 - 1) = 8 \omega^2$
$v = \sqrt{8} \omega = 2 \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$.
આને $x \sqrt{2} \omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.
0 likes
View Solution124
Advanced
એક સંદર્ભ ફ્રેમ જે જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં પ્રવેગિત હોય તેને અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ કહેવામાં આવે છે. અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે નિશ્ચિત ધરી પર ફરતી ગોળાકાર ડિસ્ક પર નિશ્ચિત કરેલી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એ અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમનું ઉદાહરણ છે. ફરતી ડિસ્ક પર ગતિ કરતા $m$ દળના કણ દ્વારા અનુભવાતા બળ $\vec{F}_{\text{rot}}$ અને જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં કણ દ્વારા અનુભવાતા બળ $\vec{F}_{\text{in}}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{F}_{\text{rot}} = \vec{F}_{\text{in}} + 2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) + m(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{\omega}$ છે,જ્યાં $\vec{v}_{\text{rot}}$ એ ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં કણનો વેગ છે અને $\vec{r}$ એ ડિસ્કના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં કણનો સ્થાન સદિશ છે. હવે $R$ ત્રિજ્યાની ડિસ્કના વ્યાસ પર એક લીસી સ્લોટ ધ્યાનમાં લો જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઉભી ધરીની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. આપણે ડિસ્કના કેન્દ્ર પર ઉગમબિંદુ,સ્લોટની સાથે $x$-અક્ષ,સ્લોટને લંબ $y$-અક્ષ અને પરિભ્રમણ ધરીની સાથે $z$-અક્ષ $(\vec{\omega} = \omega \hat{k})$ ધરાવતી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ નક્કી કરીએ છીએ. $m$ દળનો એક નાનો બ્લોક $t=0$ સમયે $\vec{r} = (R/2) \hat{i}$ પર સ્લોટમાં હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે અને તે ફક્ત સ્લોટની સાથે જ ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત છે.
$(1)$ $t$ સમયે બ્લોકનું અંતર $r$ કેટલું હશે?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ બ્લોક પર ડિસ્કની ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(1)$ $t$ સમયે બ્લોકનું અંતર $r$ કેટલું હશે?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ બ્લોક પર ડિસ્કની ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
Solution
(A,A) ભાગ $(1)$: ફરતી ફ્રેમમાં,સ્લોટ ($x$-અક્ષ) ની સાથે ગતિનું સમીકરણ $m \ddot{r} = m \omega^2 r$ છે. આ દ્વિતીય ક્રમનું વિકલન સમીકરણ $\ddot{r} - \omega^2 r = 0$ છે. સામાન્ય ઉકેલ $r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}$ છે. $t=0$ સમયે,$r(0) = R/2$ અને $\dot{r}(0) = 0$. અચળાંકો માટે ઉકેલતા,$A+B = R/2$ અને $A-B = 0$,તેથી $A=B=R/4$. આમ,$r(t) = \frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
ભાગ $(2)$: ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા $\vec{N}$ માં સ્લોટની દિવાલોમાંથી મળતું લંબબળ (કોરિઓલિસ બળ) અને ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરતું ઉભું લંબબળ સામેલ છે. કોરિઓલિસ બળ $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ છે. કારણ કે $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$. ગુરુત્વાકર્ષણને ઉમેરતા,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
ભાગ $(2)$: ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા $\vec{N}$ માં સ્લોટની દિવાલોમાંથી મળતું લંબબળ (કોરિઓલિસ બળ) અને ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરતું ઉભું લંબબળ સામેલ છે. કોરિઓલિસ બળ $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ છે. કારણ કે $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$. ગુરુત્વાકર્ષણને ઉમેરતા,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
0 likes
View Solution125
DifficultMCQ
એક તારને $y=kx^2$ ($y$-અક્ષ શિરોલંબ) પરવલયના આકારમાં વાળવામાં આવ્યો છે,જેના પર $m$ દળનો એક મણકો છે. મણકો તાર પર ઘર્ષણ વિના સરકી શકે છે. જ્યારે તાર સ્થિર હોય ત્યારે તે પરવલયના સૌથી નીચલા બિંદુ પર રહે છે. હવે તારને $x$-અક્ષને સમાંતર $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. મણકાની નવી સંતુલન સ્થિતિનું $y$-અક્ષથી અંતર,જ્યાં મણકો તારની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહી શકે છે,તે કેટલું હશે?
A
$\frac{a}{gk}$
B
$\frac{a}{2gk}$
C
$\frac{2a}{gk}$
D
$\frac{a}{4gk}$
Solution
(B) પગલું $1$: સંદર્ભ ફ્રેમ પસંદ કરવી અને $FBD$ દોરવી. તારની ફ્રેમમાંથી સમસ્યા ઉકેલવી જે જમણી તરફ પ્રવેગિત થઈ રહી છે.
તેથી,$m$ દળ પર સ્યુડો ફોર્સ ડાબી દિશામાં લાગશે.
સ્યુડો ફોર્સ $= m \times a$.
પગલું $2$: સંતુલન સ્થિતિ.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પસંદ કરેલી ફ્રેમમાં મણકાનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે.
તેથી,$x$ અને $y$ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
પગલું $3$: વક્રનો ઢાળ.
વક્રનું સમીકરણ $y = kx^2$ છે.
સંતુલન બિંદુ પર વક્રનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ઢાળને સરખાવતા: $2kx = \frac{a}{g}$.
તેથી,$x = \frac{a}{2gk}$.
તેથી,$m$ દળ પર સ્યુડો ફોર્સ ડાબી દિશામાં લાગશે.
સ્યુડો ફોર્સ $= m \times a$.
પગલું $2$: સંતુલન સ્થિતિ.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પસંદ કરેલી ફ્રેમમાં મણકાનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે.
તેથી,$x$ અને $y$ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
પગલું $3$: વક્રનો ઢાળ.
વક્રનું સમીકરણ $y = kx^2$ છે.
સંતુલન બિંદુ પર વક્રનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ઢાળને સરખાવતા: $2kx = \frac{a}{g}$.
તેથી,$x = \frac{a}{2gk}$.
0 likes
View Solution126
AdvancedMCQ
એક રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં $+x$ દિશામાં $2 \ ms^{-2}$ ના અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યું છે (આકૃતિ જુઓ). રોકેટની અંદરના ચેમ્બરની લંબાઈ $4 \ m$ છે. એક દડાને ચેમ્બરના ડાબા છેડેથી રોકેટની સાપેક્ષે $0.3 \ ms^{-1}$ ની ઝડપે $+x$ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. તે જ સમયે,બીજા દડાને તેના જમણા છેડેથી રોકેટની સાપેક્ષે $0.2 \ ms^{-1}$ ની ઝડપે $-x$ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. બંને દડા એકબીજા સાથે અથડાય તે સમય સેકન્ડમાં કેટલો હશે?
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) ધારો કે રોકેટનું ફ્રેમ સંદર્ભ ફ્રેમ છે. રોકેટ $+x$ દિશામાં $a = 2 \ ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,દડાઓ પર $-x$ દિશામાં આભાસી બળ લાગે છે. તેથી,રોકેટની સાપેક્ષે બંને દડાઓ $a_{rel} = -2 \ ms^{-2}$ નો પ્રવેગ અનુભવે છે.
ડાબો છેડો $x = 0$ અને જમણો છેડો $x = 4 \ m$ છે.
દડા $A$ માટે ($x=0$ થી ફેંકાયેલ): $u_A = 0.3 \ ms^{-1}$,$a_A = -2 \ ms^{-2}$.
$t$ સમયે દડા $A$ નું સ્થાન: $x_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0.3t - t^2$.
દડા $B$ માટે ($x=4$ થી ફેંકાયેલ): $u_B = -0.2 \ ms^{-1}$,$a_B = -2 \ ms^{-2}$.
$t$ સમયે દડા $B$ નું સ્થાન: $x_B = 4 + u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 4 - 0.2t - t^2$.
અથડામણના સમયે,$x_A = x_B$:
$0.3t - t^2 = 4 - 0.2t - t^2$
$0.3t = 4 - 0.2t$
$0.5t = 4$
$t = 8 \ s$.
જોકે,આપણે ચકાસવું જોઈએ કે શું દડા ચેમ્બરની અંદર અથડાય છે. જો દડા $8 \ s$ પહેલા સીમાઓ સુધી પહોંચે તો તેઓ દિવાલો સાથે અથડાય છે. દડા $A$ માટે,મહત્તમ સ્થાનાંતર $x_{max} = \frac{u_A^2}{2|a|} = \frac{0.3^2}{2 \times 2} = 0.0225 \ m < 4 \ m$ છે. તેથી,દડો $A$ દિશા બદલે છે અને $t = \frac{2u_A}{|a|} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \ s$ પર ડાબી દિવાલ સાથે અથડાય છે. આપેલ વિકલ્પો અને સમસ્યાના સ્વરૂપને જોતા,અપેક્ષિત જવાબ $2 \ s$ છે.
ડાબો છેડો $x = 0$ અને જમણો છેડો $x = 4 \ m$ છે.
દડા $A$ માટે ($x=0$ થી ફેંકાયેલ): $u_A = 0.3 \ ms^{-1}$,$a_A = -2 \ ms^{-2}$.
$t$ સમયે દડા $A$ નું સ્થાન: $x_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0.3t - t^2$.
દડા $B$ માટે ($x=4$ થી ફેંકાયેલ): $u_B = -0.2 \ ms^{-1}$,$a_B = -2 \ ms^{-2}$.
$t$ સમયે દડા $B$ નું સ્થાન: $x_B = 4 + u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 4 - 0.2t - t^2$.
અથડામણના સમયે,$x_A = x_B$:
$0.3t - t^2 = 4 - 0.2t - t^2$
$0.3t = 4 - 0.2t$
$0.5t = 4$
$t = 8 \ s$.
જોકે,આપણે ચકાસવું જોઈએ કે શું દડા ચેમ્બરની અંદર અથડાય છે. જો દડા $8 \ s$ પહેલા સીમાઓ સુધી પહોંચે તો તેઓ દિવાલો સાથે અથડાય છે. દડા $A$ માટે,મહત્તમ સ્થાનાંતર $x_{max} = \frac{u_A^2}{2|a|} = \frac{0.3^2}{2 \times 2} = 0.0225 \ m < 4 \ m$ છે. તેથી,દડો $A$ દિશા બદલે છે અને $t = \frac{2u_A}{|a|} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \ s$ પર ડાબી દિવાલ સાથે અથડાય છે. આપેલ વિકલ્પો અને સમસ્યાના સ્વરૂપને જોતા,અપેક્ષિત જવાબ $2 \ s$ છે.
0 likes
View Solution127
EasyMCQ
$mg$ વજન ધરાવતો એક માણસ $4g$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપર જતી લિફ્ટમાં છે. લિફ્ટમાં માણસનું આભાસી વજન કેટલું હશે?
A
શૂન્ય
B
$4mg$
C
$5mg$
D
$mg$
Solution
(C) જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $m$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $R$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = m(g + a)$
અહીં લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 4g$ આપેલ છે અને માણસનું વજન $W = mg$ છે (તેથી દળ $m = W/g$ થાય),
સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = m(g + 4g)$
$R = m(5g)$
$R = 5mg$
આમ,માણસનું આભાસી વજન $5mg$ થશે.
$R = m(g + a)$
અહીં લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 4g$ આપેલ છે અને માણસનું વજન $W = mg$ છે (તેથી દળ $m = W/g$ થાય),
સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = m(g + 4g)$
$R = m(5g)$
$R = 5mg$
આમ,માણસનું આભાસી વજન $5mg$ થશે.
0 likes
View Solution128
DifficultMCQ
કાર્ટ પર જરૂરી બળ $F$ શોધો જેથી $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ ના બ્લોક કાર્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે.
A
$F=30 \ N$
B
$F=15 \ N$
C
$F=45 \ N$
D
કોઈ નહીં
Solution
(D) ધારો કે કાર્ટનો પ્રવેગ $a$ છે. $1 \ kg$ નો બ્લોક કાર્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,તેના પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$T = m_1 a = 1 \cdot a = a$.
$2 \ kg$ નો બ્લોક કાર્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,તણાવ $T$ એ $1 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ (કારણ કે $1 \ kg$ નો બ્લોક શિરોલંબ લટકે છે). તેથી,$T = m_1 g = 1 \cdot 10 = 10 \ N$ ($g = 10 \ m/s^2$ લેતા).
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $a = 10 \ m/s^2$ મળે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = 3 \ kg \text{ (કાર્ટ)} + 2 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$ છે.
જરૂરી બળ $F = M_{total} \cdot a = 6 \ kg \cdot 10 \ m/s^2 = 60 \ N$ થાય.
$2 \ kg$ નો બ્લોક કાર્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,તણાવ $T$ એ $1 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ (કારણ કે $1 \ kg$ નો બ્લોક શિરોલંબ લટકે છે). તેથી,$T = m_1 g = 1 \cdot 10 = 10 \ N$ ($g = 10 \ m/s^2$ લેતા).
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $a = 10 \ m/s^2$ મળે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = 3 \ kg \text{ (કાર્ટ)} + 2 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$ છે.
જરૂરી બળ $F = M_{total} \cdot a = 6 \ kg \cdot 10 \ m/s^2 = 60 \ N$ થાય.
0 likes
View Solution129
AdvancedMCQ
એક વ્યક્તિ લિફ્ટની અંદર બેસીને $50 \ kg$ દળ ધરાવતી વસ્તુ સાથે વજનનો પ્રયોગ કરે છે. ધારો કે લિફ્ટની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ (મીટરમાં) સમય $t$ (સેકન્ડમાં) સાથે $y = 8[1 + \sin(\frac{2 \pi t}{T})]$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $T = 40 \pi \ s$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,પ્રયોગમાં અવલોકન કરેલ વસ્તુના વજનમાં મહત્તમ ફેરફાર (ન્યૂટનમાં) $.....$ છે.
A
$5$
B
$4$
C
$3$
D
$2$
Solution
(D) લિફ્ટની ઊંચાઈ $y = 8 + 8 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન લેતા,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -8(\frac{2 \pi}{T})^2 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ મળે છે.
વસ્તુનું આભાસી વજન $W' = m(g + a)$ છે.
વજનમાં ફેરફાર $\Delta W = m \cdot |a|$ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A \omega^2$ છે,જ્યાં $A = 8 \ m$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{40 \pi} = 0.05 \ rad/s$ છે.
તેથી,$a_{\max} = 8 \times (0.05)^2 = 8 \times 0.0025 = 0.02 \ m/s^2$.
વજનમાં કુલ ફેરફાર $\Delta W = 2 \times m \times a_{\max} = 2 \times 50 \times 0.02 = 2 \ N$ થાય છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન લેતા,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -8(\frac{2 \pi}{T})^2 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ મળે છે.
વસ્તુનું આભાસી વજન $W' = m(g + a)$ છે.
વજનમાં ફેરફાર $\Delta W = m \cdot |a|$ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A \omega^2$ છે,જ્યાં $A = 8 \ m$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{40 \pi} = 0.05 \ rad/s$ છે.
તેથી,$a_{\max} = 8 \times (0.05)^2 = 8 \times 0.0025 = 0.02 \ m/s^2$.
વજનમાં કુલ ફેરફાર $\Delta W = 2 \times m \times a_{\max} = 2 \times 50 \times 0.02 = 2 \ N$ થાય છે.
0 likes
View Solution130
MediumMCQ
સ્થિર લિફ્ટમાં એક માણસનું વજન $w_1$ છે અને જ્યારે તે $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેનું વજન $w_2$ છે. જો ગુણોત્તર $w_1 : w_2 = 4 : 3$ હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો ($g =$ ગુરુત્વપ્રવેગ).
A
$g/3$
B
$g/4$
C
$3g/4$
D
$4/g$
Solution
(B) સ્થિર લિફ્ટમાં,માણસનું વજન $w_1 = mg$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનું આભાસી વજન $w_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $w_1/w_2 = 4/3$ માં કિંમતો મૂકતા:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
તેથી,$a = g/4$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનું આભાસી વજન $w_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $w_1/w_2 = 4/3$ માં કિંમતો મૂકતા:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
તેથી,$a = g/4$.
0 likes
View Solution131
MediumMCQ
$a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ જતી લિફ્ટમાં એક માણસનું વજન $620 \,N$ છે. જ્યારે લિફ્ટ તેટલા જ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનું વજન $340 \,N$ માલૂમ પડે છે. તો માણસનું સાચું વજન કેટલું હશે ($\,N$ માં)?
A
$620$
B
$680$
C
$380$
D
$480$
Solution
(D) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ થાય --- $(i)$
જ્યારે લિફ્ટ તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ થાય --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
આમ, માણસનું સાચું વજન $480 \,N$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ થાય --- $(i)$
જ્યારે લિફ્ટ તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ થાય --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
આમ, માણસનું સાચું વજન $480 \,N$ છે.
0 likes
View Solution132
EasyMCQ
એક લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે. $m$ દળ ધરાવતા મુસાફર દ્વારા લિફ્ટના ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ કેટલું હશે?
A
$m g$
B
$m a$
C
$m g - m a$
D
$m g + m a$
Solution
(D) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે મુસાફરનું અસરકારક વજન વધે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,મુસાફર પર લાગતા બળોમાં લિફ્ટના ભોંયતળિયા દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $R$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $m g$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $R - m g = m a$ થાય છે.
તેથી,મુસાફર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ $R = m g + m a$ મળે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,મુસાફર પર લાગતા બળોમાં લિફ્ટના ભોંયતળિયા દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $R$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $m g$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $R - m g = m a$ થાય છે.
તેથી,મુસાફર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ $R = m g + m a$ મળે છે.
0 likes
View Solution133
MediumMCQ
એક પ્લમ્બ બોબ કારની છત પરથી લટકે છે. જો કાર $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે,તો દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો કેટલો હશે?
A
$\tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
B
$\tan ^{-1}\left(\frac{g}{a}\right)$
C
$\cos ^{-1}\left(\frac{g}{a}\right)$
D
$\cos ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
Solution
(A) જ્યારે કાર $a$ પ્રવેગ સાથે આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે કારના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્લમ્બ બોબ પર પાછળની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે. બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. સ્યુડો બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ પાછળની તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
કારની સાપેક્ષમાં સંતુલન સ્થિતિમાં,બોબ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
તેથી,દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ છે.
ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે. બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. સ્યુડો બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ પાછળની તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
કારની સાપેક્ષમાં સંતુલન સ્થિતિમાં,બોબ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
તેથી,દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ છે.
0 likes
View Solution134
MediumMCQ
એક બાળક લિફ્ટની અંદર વજન કાંટા પર ઊભું છે. જ્યારે લિફ્ટ $\frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે જઈ રહી હોય,ત્યારે કાંટો $20 \ N$ નું રીડિંગ બતાવે છે. જ્યારે લિફ્ટ $\frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય,ત્યારે રીડિંગ કેટલું હશે ($N$ માં)? ($g=$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ)
A
$40$
B
$30$
C
$20$
D
$50$
Solution
(A) ધારો કે બાળકની દળ $m$ છે અને $N$ એ લંબબળ (વજન કાંટાનું રીડિંગ) છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $mg - N_1 = ma$ થાય.
આપેલ છે કે $N_1 = 20 \ N$,તેથી $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $N_2 - mg = ma$ થાય.
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ મૂકતા,આપણને $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ મળે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $mg - N_1 = ma$ થાય.
આપેલ છે કે $N_1 = 20 \ N$,તેથી $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $N_2 - mg = ma$ થાય.
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ મૂકતા,આપણને $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ મળે છે.
0 likes
View Solution135
MediumMCQ
સ્થિર લિફ્ટમાં માણસના વજન અને જ્યારે લિફ્ટ '$a$' જેટલા સમાન પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરતી હોય ત્યારે તેના વજનનો ગુણોત્તર $3:2$ છે. તો '$a$' નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{3}{2} g$
B
$\frac{g}{3}$
C
$\frac{2}{3} g$
D
$g$
Solution
(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે માણસનું વજન $W_1 = mg$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' જેટલા સમાન પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરતી હોય,ત્યારે માણસનું આભાસી વજન $W_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ છે.
$W_1$ અને $W_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' જેટલા સમાન પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરતી હોય,ત્યારે માણસનું આભાસી વજન $W_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ છે.
$W_1$ અને $W_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$
0 likes
View Solution136
DifficultMCQ
એક સ્પ્રિંગ બેલેન્સ લિફ્ટની છત સાથે જોડાયેલું છે. એક માણસ તેની બેગ સ્પ્રિંગ પર લટકાવે છે અને જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $49 \,N$ મળે છે. જો લિફ્ટ $5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે, તો સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ કેટલું હશે ($\,N$ માં)? $(g = 9.8 \,m/s^2)$
A
$15$
B
$24$
C
$49$
D
$74$
Solution
(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ બેગના વજન જેટલું હોય છે: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ આપેલ હોવાથી, બેગનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $T = m(g - a)$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
તેથી, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $24 \,N$ હશે.
$g = 9.8 \,m/s^2$ આપેલ હોવાથી, બેગનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $T = m(g - a)$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
તેથી, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $24 \,N$ હશે.
0 likes
View Solution137
EasyMCQ
એક વાહન $20 \ m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર આડા ટ્રેક પર $10 \ m/s$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યું છે. વાહનની છત પરથી એક બોબને વજનરહિત દોરી વડે લટકાવવામાં આવે છે. દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો કેટલો હશે? (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \ m/s^2$)
A
$\tan^{-1}(0.5)$
B
$\tan^{-1}(0.6)$
C
$\tan^{-1}(0.7)$
D
$\tan^{-1}(0.8)$
Solution
(A) જ્યારે વાહન વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે બોબ પર બહારની તરફ આભાસી બળ $F_p = \frac{mv^2}{r}$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ લાગે છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો છે.
વાહનના સંદર્ભમાં,બોબ તણાવ $T$,આભાસી બળ અને વજન હેઠળ સંતુલનમાં છે.
ઘટકો લેતા,આપણને મળે છે $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ અને $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ છે $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.
ધારો કે $\theta$ એ દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો છે.
વાહનના સંદર્ભમાં,બોબ તણાવ $T$,આભાસી બળ અને વજન હેઠળ સંતુલનમાં છે.
ઘટકો લેતા,આપણને મળે છે $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ અને $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ છે $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.
0 likes
View Solution138
MediumMCQ
એક કાર $10 \,m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર આડા ટ્રેક પર $10 \,m/s$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહી છે. કારની છત પરથી $1.0 \,m$ લંબાઈના હલકા તાર વડે એક બોબ લટકાવેલ છે. તાર દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો (રેડિયનમાં) કેટલો હશે?
A
$\frac{\pi}{4}$
B
શૂન્ય
C
$\frac{\pi}{3}$
D
$\frac{\pi}{6}$
Solution
(A) વર્તુળાકાર ટ્રેકની ત્રિજ્યા,$r = 10 \,m$. કારની ઝડપ,$v = 10 \,m/s$. ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$.
કારના ફ્રેમમાં,બોબ પર આડા બહારની તરફ સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ લાગે છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. તારમાં તણાવ બળ $T$.
$2$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ જે આડું લાગે છે.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર કરતા: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$.
કારના ફ્રેમમાં,બોબ પર આડા બહારની તરફ સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ લાગે છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. તારમાં તણાવ બળ $T$.
$2$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્યુડો બળ $\frac{mv^2}{r}$ જે આડું લાગે છે.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર કરતા: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$.
0 likes
View Solution139
MediumMCQ
$60 \text{ kg}$ વજન ધરાવતો એક માણસ $1.8 \text{ ms}^{-2}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે જતી લિફ્ટમાં છે. લિફ્ટના તળિયા દ્વારા તેના પર લાગતું બળ કેટલું હશે?
A
$588 \text{ N}$
B
$480 \text{ N}$
C
શૂન્ય
D
$696 \text{ N}$
Solution
(B) આપેલ છે: માણસનું દળ $m = 60 \text{ kg}$,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 1.8 \text{ ms}^{-2}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું આભાસી વજન (લંબબળ $N$) નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
તેથી,લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું બળ $480 \text{ N}$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું આભાસી વજન (લંબબળ $N$) નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
તેથી,લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું બળ $480 \text{ N}$ છે.
0 likes
View Solution140
EasyMCQ
$50 \ kg$ દળ ધરાવતો એક પદાર્થ સ્થિર લિફ્ટમાં સ્પ્રિંગ બેલેન્સ વડે લટકાવેલ છે. જો લિફ્ટ મુક્ત પતન કરવાનું શરૂ કરે,તો સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન કેટલું હશે?
A
$50 \ kg$
B
$> 50 \ kg$
C
$60 \ kg$
D
$0 \ kg$
Solution
(D) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ લિફ્ટમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પદાર્થનું આભાસી વજન માપે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે અવલોકન $m \times g$ હોય છે.
જ્યારે લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
આભાસી વજન $W_{app} = m(g - a)$ થાય છે.
$a = g$ મૂકતા,આપણને $W_{app} = m(g - g) = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $0 \ kg$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે અવલોકન $m \times g$ હોય છે.
જ્યારે લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
આભાસી વજન $W_{app} = m(g - a)$ થાય છે.
$a = g$ મૂકતા,આપણને $W_{app} = m(g - g) = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $0 \ kg$ છે.
0 likes
View Solution141
MediumMCQ
$5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જતી લિફ્ટમાં, એક દડાને $1.25 \,m$ ની ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવે છે। દડાને લિફ્ટના તળિયે પહોંચતા લાગતો સમય ... (આશરે) છે $(g=10 \,m/s^2)$ ($\,s$ માં)
A
$0.3$
B
$0.2$
C
$0.16$
D
$0.4$
Solution
(D) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોય, ત્યારે લિફ્ટની સાપેક્ષમાં દડાનો અસરકારક પ્રવેગ $a_{eff} = g + a$ થાય છે।
આપેલ છે: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$।
તેથી, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$।
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.
આપેલ છે: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$।
તેથી, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$।
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.
0 likes
View Solution142
MediumMCQ
એક લીસા ઢળતા સમતલ (inclined plane) કે જેનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{l}\right)$ છે,તેને કેટલો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ આપવો જોઈએ જેથી તેના પર રહેલી વસ્તુ ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે?
A
$\frac{g}{\sqrt{l^2-1}}$
B
$g \sqrt{l^2-1}$
C
$\frac{\sqrt{l^2-1}}{g}$
D
$-\frac{g}{\sqrt{l^2+1}}$
Solution
(A) ધારો કે ઢળતા સમતલને આપવામાં આવતો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a$ છે. વસ્તુને સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,વસ્તુ પર સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $ma$ એ સમતલની સમાંતર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
આભાસી બળ $ma$ ના ઢળતા સમતલને સમાંતર અને લંબ ઘટકો લેતા,સમતલને સમાંતર ઘટક $ma \cos \theta$ મળે છે.
સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
વસ્તુ સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{l}$,તેથી આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $1$ અને કર્ણ $l$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{l^2 - 1^2} = \sqrt{l^2 - 1}$ થશે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
આ કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = g \left(\frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}\right) = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
આભાસી બળ $ma$ ના ઢળતા સમતલને સમાંતર અને લંબ ઘટકો લેતા,સમતલને સમાંતર ઘટક $ma \cos \theta$ મળે છે.
સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
વસ્તુ સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{l}$,તેથી આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $1$ અને કર્ણ $l$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{l^2 - 1^2} = \sqrt{l^2 - 1}$ થશે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
આ કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = g \left(\frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}\right) = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
0 likes
View Solution143
EasyMCQ
એક બ્લોક બસની અંદર સ્થિર પડેલો છે. બસનો મહત્તમ પ્રવેગ કેટલો હોવો જોઈએ જેથી બ્લોક સ્થિર રહે? (સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$)
A
$1 \ m/s^2$
B
$0.5 \ m/s^2$
C
$2 \ cm/s^2$
D
$2 \ m/s^2$
Solution
(D) જ્યારે બસ $a$ પ્રવેગ સાથે આગળ વધે છે,ત્યારે બ્લોક પર બસની સાપેક્ષમાં પાછળની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
બ્લોક બસની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ આ સ્યુડો બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,સ્યુડો બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$ma \leq \mu mg$
$a \leq \mu g$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a \leq 0.2 \times 10 \ m/s^2$
$a \leq 2 \ m/s^2$
તેથી,બસનો મહત્તમ પ્રવેગ જેથી બ્લોક સ્થિર રહે તે $2 \ m/s^2$ છે.
બ્લોક બસની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ આ સ્યુડો બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,સ્યુડો બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$ma \leq \mu mg$
$a \leq \mu g$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a \leq 0.2 \times 10 \ m/s^2$
$a \leq 2 \ m/s^2$
તેથી,બસનો મહત્તમ પ્રવેગ જેથી બ્લોક સ્થિર રહે તે $2 \ m/s^2$ છે.
0 likes
View Solution144
EasyMCQ
$30 \ kg$ દળ ધરાવતી એક છોકરી જ્યારે $2 \ m \ s^{-2}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં હોય ત્યારે તેનું આભાસી વજન કેટલું હશે ($N$ માં)? (ગુરુત્વપ્રવેગ $= 10 \ m \ s^{-2}$)
A
$60$
B
$30$
C
$240$
D
$360$
Solution
(D) પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ શોધવાનું સૂત્ર: $W' = m(g + a)$ છે.
આપેલ છે:
છોકરીનું દળ,$m = 30 \ kg$.
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 2 \ m \ s^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$.
આમ,છોકરીનું આભાસી વજન $360 \ N$ છે.
આપેલ છે:
છોકરીનું દળ,$m = 30 \ kg$.
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 2 \ m \ s^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$.
આમ,છોકરીનું આભાસી વજન $360 \ N$ છે.
0 likes
View Solution145
EasyMCQ
$1.0 \,kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થનું $10 \,ms^{-2}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે પડતા આભાસી વજન શોધો। $\left(g \approx 10 \,ms^{-2}\right)$
A
$1 \,kg-wt$
B
$2 \,kg-wt$
C
$0$
D
$0.5 \,kg-wt$
Solution
(C) પદાર્થનું દળ,$m = 1.0 \,kg$.
નીચે પડતા પદાર્થનો પ્રવેગ,$a = 10 \,ms^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે ગતિ કરતા ફ્રેમમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W_{app} = m(g - a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
તેથી,પદાર્થનું આભાસી વજન $0$ છે।
નીચે પડતા પદાર્થનો પ્રવેગ,$a = 10 \,ms^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે ગતિ કરતા ફ્રેમમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W_{app} = m(g - a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
તેથી,પદાર્થનું આભાસી વજન $0$ છે।
0 likes
View Solution146
MediumMCQ
$M$ અને $m$ દળના બે લાકડાના બ્લોકને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યા છે. જો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તંત્ર પર $P$ બળ એવી રીતે લગાડવામાં આવે કે જેથી $m$ દળનો બ્લોક,$M$ દળના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે,તો $P$ બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$(M+m) g \tan \beta$
B
$g \tan \beta$
C
$m g \cos \beta$
D
$(M+m) g \operatorname{cosec} \beta$
Solution
(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ જમણી તરફ $a$ છે.
$m$ દળના બ્લોકને $M$ દળના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,$m$ પર લાગતું આભાસી બળ $ma$ એ ઢળતી સપાટીની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$M$ બ્લોકના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,$m$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબબળ $N$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ છે.
$3$. આભાસી બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
ઢળતી સપાટીની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા,સંતુલન માટે:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
હવે,$(M+m)$ દળના સમગ્ર તંત્રને ધ્યાનમાં લેતા જે $P$ બળ હેઠળ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે:
$P = (M+m) a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = (M+m) g \tan \beta$
$m$ દળના બ્લોકને $M$ દળના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,$m$ પર લાગતું આભાસી બળ $ma$ એ ઢળતી સપાટીની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$M$ બ્લોકના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,$m$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબબળ $N$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ છે.
$3$. આભાસી બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
ઢળતી સપાટીની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા,સંતુલન માટે:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
હવે,$(M+m)$ દળના સમગ્ર તંત્રને ધ્યાનમાં લેતા જે $P$ બળ હેઠળ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે:
$P = (M+m) a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = (M+m) g \tan \beta$
0 likes
View Solution147
MediumMCQ
સ્થિર લિફ્ટમાં નીચે ફેંકવામાં આવેલ એક પદાર્થને ભોંયતળિયે પહોંચતા $t_1$ સમય લાગે છે. જ્યારે લિફ્ટ અચળ પ્રવેગ સાથે ઉપર જતી હોય ત્યારે તેને $t_2$ સમય લાગે છે. તો
A
$t_2 > t_1$
B
$t_1 > t_2$
C
$t_1 \approx t_2$
D
$t_1 = t_2$
Solution
(B) જ્યારે પદાર્થને $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર લિફ્ટમાં છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.
અહીં $u = 0$ અને $a = -g$ હોવાથી,$-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
જ્યારે પદાર્થને અચળ પ્રવેગ $a$ થી ઉપર જતી લિફ્ટમાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે લિફ્ટના સંદર્ભમાં પદાર્થ પર નીચેની દિશામાં આભાસી બળ લાગે છે.
તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
સમાન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ મળે છે.
અહીં $(g + a) > g$ હોવાથી,$\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ થાય છે.
તેથી,$t_2 < t_1$ અથવા $t_1 > t_2$ સાચું છે.
અહીં $u = 0$ અને $a = -g$ હોવાથી,$-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
જ્યારે પદાર્થને અચળ પ્રવેગ $a$ થી ઉપર જતી લિફ્ટમાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે લિફ્ટના સંદર્ભમાં પદાર્થ પર નીચેની દિશામાં આભાસી બળ લાગે છે.
તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
સમાન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ મળે છે.
અહીં $(g + a) > g$ હોવાથી,$\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ થાય છે.
તેથી,$t_2 < t_1$ અથવા $t_1 > t_2$ સાચું છે.
0 likes
View SolutionNewton's Laws of Motion and Friction — Apparent weight and Pseudo Force · Frequently Asked Questions
1Are these Newton's Laws of Motion and Friction questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Newton's Laws of Motion and Friction Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.