Apparent weight and Pseudo Force Questions in Gujarati

(D) લિફ્ટમાં સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું વાંચન આભાસી વજન $R = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $a$ એ લિફ્ટનો પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $a = 0$,તેથી વાંચન $R = mg = W$ થાય છે.
જો લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે,તો લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = g$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = m(g - g) = m(0) = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું વાંચન $0$ હશે.

(B) સળિયાનો પ્રવેગ $a = (F_1 - F_2) / M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાની અંદરના ઇલેક્ટ્રોન પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો-બળ $F_p = m a$ અનુભવે છે,જે વીજભારનું અલગીકરણ કરે છે અને આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$m$ દળ અને $-e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $F_e = e E$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇલેક્ટ્રોન પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $e E = m a$.
$a = (F_1 - F_2) / M$ મૂકતા,આપણને $e E = m (F_1 - F_2) / M$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $E = m (F_1 - F_2) / (M e)$.
સળિયાના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E L = \frac{m (F_1 - F_2) L}{M e}$ થાય છે.

(A) ધારો કે લિફ્ટનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
લિફ્ટની સાપેક્ષ પદાર્થનો પ્રવેગ $a_{rel} = g_{eff} = g + a$ (નીચેની તરફ) થશે.
લિફ્ટની સાપેક્ષ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $t$ નું સૂત્ર $t = \frac{2u}{a_{rel}}$ છે.
$a_{rel} = g + a$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{2u}{g + a}$ મળે છે.
$a$ ને કર્તા બનાવતા:
$t(g + a) = 2u$
$gt + at = 2u$
$at = 2u - gt$
$a = \frac{2u - gt}{t}$.

(A) જ્યારે કાર હવામાં હોય છે,ત્યારે તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે.
આ સ્થિતિમાં,કાર અને ડ્રાઈવરનો પ્રવેગ $a = g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
જો આપણે ડ્રાઈવરના સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ,તો આપણે ઉપરની દિશામાં કાર્યરત સ્યુડો ફોર્સ $F_p = m g$ લગાવીએ છીએ.
ડ્રાઈવરનું વાસ્તવિક વજન $W = m g$ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેમની પોતાની ફ્રેમમાં ડ્રાઈવર પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_p - W = m g - m g = 0$ છે.
ડ્રાઈવર પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવાથી,તેઓ સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન ભારહીનતાની સ્થિતિનો અનુભવ કરે છે.

(C) અવલોકનકાર $B$ બ્લોક પર ઉભેલ છે,જેનો અર્થ છે કે અવલોકનકાર $B$ અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં છે.
બ્લોકની ફ્રેમમાં,બ્લોક પોતે હંમેશા સ્થિર હોય છે. તેથી,અવલોકનકાર $B$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો વેગ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
વેગ શૂન્ય હોવાથી,અવલોકનકાર $B$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોકની ગતિઊર્જા પણ શૂન્ય છે $(K.E. = \frac{1}{2} m v_{rel}^2 = 0)$.
આમ,વિકલ્પો $A$ અને $B$ ખોટા છે કારણ કે તે જમીનની સાપેક્ષમાં ગતિનું વર્ણન કરે છે,બ્લોકની સાપેક્ષમાં નહીં. વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે અવલોકનકાર $B$ ની સંદર્ભ ફ્રેમમાં બ્લોક સ્થિર છે.

(A) આભાસી બળ (pseudo force) એ એક કાલ્પનિક બળ છે જે ફક્ત અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં જ દેખાય છે.
અવલોકનકાર $B$ જમીન પર છે,જે એક જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
જડત્વીય ફ્રેમમાં,આભાસી બળ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,અવલોકનકાર $B$ દ્વારા અવલોકન કર્યા મુજબ આભાસી બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $0$ છે.

(D) અવલોકનકાર $A$ લિફ્ટની અંદર છે,જે એક પ્રવેગી સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
$A$ ની સંદર્ભ ફ્રેમમાં,બ્લોક સ્થિર છે કારણ કે તે લિફ્ટ જેટલા જ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
બ્લોક અવલોકનકાર $A$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર $d$ શૂન્ય છે $(d = 0)$.
કાર્યની વ્યાખ્યા $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ છે.
અવલોકનકાર $A$ માટે સ્થાનાંતર $d$ શૂન્ય હોવાથી,બ્લોક પર લાગતા કોઈપણ બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ,લંબ પ્રતિક્રિયા,અથવા આભાસી બળ) દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય થાય છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) સળિયાને ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં સંતુલનમાં રાખવા માટે,આપણે ટ્રોલીના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
ધારો કે સળિયાનું દળ $m$ અને લંબાઈ $l$ છે. ટ્રોલીની ફ્રેમમાં સળિયા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આભાસી બળ $ma$ જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર સમક્ષિતિજ દિશામાં પાછળની તરફ લાગે છે.
$3$. સળિયાના છેડાઓ પર લંબ પ્રતિક્રિયાઓ $N_1$ અને $N_2$,જે સળિયાની સપાટીને લંબ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલન માટે,બળોને કારણે લાગતા ટોર્ક સંતુલિત હોવા જોઈએ. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બંને છેડાઓથી $l/2$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ આભાસી બળ $ma$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{pseudo} = (ma) \cdot (l/2) \sin \theta$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{gravity} = (mg) \cdot (l/2) \cos \theta$ છે.
સળિયો સંતુલનમાં રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(ma) \cdot (l/2) \sin \theta = (mg) \cdot (l/2) \cos \theta$
બંને બાજુથી $(l/2)$ ને દૂર કરતા:
$ma \sin \theta = mg \cos \theta$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = g \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = g \cot \theta$

(D) ધારો કે પાત્રનો પ્રવેગ $a_c = F/m$ છે. પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,બ્લોક ડાબી તરફ લાગતા સ્યુડો-બળ $F_p = ma_c = F$ નો અનુભવ કરે છે.
આ એક સ્પ્રિંગ-માસ સિસ્ટમ જેવું છે જે તેની કુદરતી લંબાઈથી શરૂ થાય છે અને દળ $m$ પર અચળ બળ $F$ લાગે છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m}$ છે.
મહત્તમ સંકોચન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ દોલનના આવર્તકાળનો અડધો ભાગ છે,$t = T/2 = \pi / \omega = \pi \sqrt{m/k}$.
આ સમય દરમિયાન,સમક્ષિતિજ દિશામાં સિસ્ટમ (પાત્ર + બ્લોક) માટે આઘાતનું સમીકરણ $\int F dt = \Delta P = (m+m)v_f - (m+m)v_i$ છે.
$v_i = 0$ હોવાથી,આપણને $F \cdot t = 2mv_f$ મળે છે.
$t = \pi \sqrt{m/k}$ મૂકતા,આપણને $F \pi \sqrt{m/k} = 2mv_f$ મળે છે.
આમ,$v_f = \frac{F \pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot \frac{1}{m} = \frac{\pi F}{2} \sqrt{\frac{1}{km}}$.

(B) અવલોકનકાર ટ્રોલી $A$ માં છે,જે $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહી છે. તેથી,અવલોકનકારનું સંદર્ભ ફ્રેમ $a_{frame} = a$ પ્રવેગ ધરાવતી અજડત્વીય (non-inertial) ફ્રેમ છે.
આ ફ્રેમમાં $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતા આભાસી બળની ગણતરી કરવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$F_{pseudo} = -m \cdot a_{frame}$
આભાસી બળનું મૂલ્ય $|F_{pseudo}| = m \cdot |a_{frame}| = m \cdot a$ થાય.
આમ,$m$ દળના બ્લોક પર લાગતા આભાસી બળનું મૂલ્ય $ma$ છે.

(D) ધારો કે વેજ જમણી તરફ $g$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. વેજના ફ્રેમમાં, બ્લોક પર ડાબી તરફ સ્યુડો ફોર્સ $F_p = mg$ લાગે છે.
ઢાળની દિશામાં બળોના ઘટકો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક: $mg \sin \alpha$ (ઢાળની નીચેની તરફ).
$2$. સ્યુડો ફોર્સનો ઘટક: $mg \cos \alpha$ (ઢાળની ઉપરની તરફ).
બ્લોકનો ઢાળ પરનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a$:
$a = g \cos \alpha - g \sin \alpha = g(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
ઢાળની લંબાઈ $L = \frac{H}{\sin \alpha}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા $(u = 0)$:
$\frac{H}{\sin \alpha} = \frac{1}{2} g(\cos \alpha - \sin \alpha) t^2$.
$t^2 = \frac{2H}{g \sin \alpha (\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{2H}{g (\sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha)}$.
$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ અને $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t^2 = \frac{4H}{g (\sin 2\alpha - (1 - \cos 2\alpha))} = \frac{4H}{g (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1)}$.
$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ માટે, છેદ $f(\alpha) = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1$ એ $0$ થી $(\sqrt{2}-1)$ સુધી વધે છે.
જેમ છેદ વધે છે, તેમ $t^2$ ઘટે છે, અને તેથી સમય $t$ એ $\alpha$ સાથે ઘટે છે.

(D) લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W_{app} = m(g + a)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વ્યક્તિનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $a$ એ લિફ્ટનો પ્રવેગ છે.
આ પ્રશ્નમાં,લિફ્ટ $4\ m/s$ ના સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગ સમાન હોવાથી,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 0\ m/s^2$ થાય.
તેથી,આભાસી વજન $W_{app} = m(g + 0) = mg$.
અહીં $m = 80\ kg$ અને $g = 10\ m/s^2$ લેતા,આપણને $W_{app} = 80 \times 10 = 800\ N$ મળે છે.
આમ,આભાસી વજન $800\ N$ છે.

(A) કાર પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે,તેથી તે તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવેગ (મંદન) અનુભવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 5\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = \frac{5}{3}\, m/s$ અને સમય $t = 3\, s$ છે.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \frac{|v - u|}{t} = \frac{|5/3 - 5|}{3} = \frac{|-10/3|}{3} = \frac{10}{9}\, m/s^2$ મળે છે.
કારના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,દડો આડા દિશામાં સ્યુડો-બળ $F_p = ma$ અનુભવે છે.
દડા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્યુડો-બળ $ma$ છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિમાં,$\tan \theta = \frac{F_p}{mg} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ થાય.
$g = 10\, m/s^2$ લેતા,$\tan \theta = \frac{10/9}{10} = \frac{1}{9}$ મળે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)$.

(D) ટ્રકની સાપેક્ષમાં બોક્સનો ચોખ્ખો પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે ટ્રકના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં બોક્સ પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. ટ્રક $a = 4 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે આગળ વધી રહ્યો છે.
$2$. બોક્સ પર પાછળની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = ma$ લાગે છે.
$3$. ઘર્ષણ બળ $f$ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે આગળની દિશામાં લાગે છે,જ્યાં $f = \mu N = \mu mg$ છે.
$4$. ટ્રકની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પ્રવેગ શૂન્ય રહે તે માટે,સ્યુડો ફોર્સ અને ઘર્ષણ બળ સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$ma = \mu mg$
$a = \mu g$
$5$. આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$4 = 0.4 \times 10$
$4 = 4$
સમીકરણની બંને બાજુએથી દળ $m$ દૂર થઈ જાય છે,તેથી સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાની શરત બોક્સના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$m$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે બોક્સ ટ્રકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેશે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a) = 608 \ N$ થાય છે ...$(1)$
જ્યારે લિફ્ટ તે જ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a) = 368 \ N$ થાય છે ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 608 + 368$
$mg + ma + mg - ma = 976$
$2mg = 976$
$mg = \frac{976}{2} = 488 \ N$
આમ,માણસનું સામાન્ય વજન $488 \ N$ છે.

(D) દળ $M$ ને વેજની સાપેક્ષ સ્થિર રાખવા માટે,આપણે વેજના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
જ્યારે વેજ $a$ પ્રવેગ સાથે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે દળ $M$ પર જમણી તરફ આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = Ma$ લાગે છે.
ઢાળની દિશામાં દળ $M$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. આભાસી બળનો ઘટક $Ma \cos \theta$ જે ઢાળની ઉપરની તરફ લાગે છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $Mg \sin \theta$ જે ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે.
દળ વેજની સાપેક્ષ સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$Ma \cos \theta = Mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$a = g \tan \theta$
આમ,વેજને ડાબી તરફ $a = g \tan \theta$ જેટલો પ્રવેગ આપવો જોઈએ.

(A) લિફ્ટ $a = 2\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
લિફ્ટના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થશે.
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,$g_{eff} = 10 - 2 = 8\,m/s^2$ મળે.
ગરગડી પરથી પસાર થતી અને $m_1$ તથા $m_2$ દળને જોડતી દોરીમાં તણાવબળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ છે.
આપેલ કિંમતો $m_1 = 2\,kg$,$m_2 = 4\,kg$,અને $g_{eff} = 8\,m/s^2$ મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 2 \times 4}{2 + 4} \times 8 = \frac{16}{6} \times 8 = \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3}\,N$.

(B) સ્પ્રિંગ સ્કેલ પરનું રીડિંગ વ્યક્તિ પર લિફ્ટના તળિયા દ્વારા લગાડવામાં આવતું લંબબળ $(N)$ દર્શાવે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$N - mg = ma$,જ્યાં $m$ એ વ્યક્તિનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,અને $a$ એ લિફ્ટનો પ્રવેગ છે. તેથી,$N = m(g + a)$. જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $(a)$ ધન અને મહત્તમ હોય ત્યારે રીડિંગ સૌથી વધુ હોય છે. જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ ધન $(a > 0)$ હોય છે,જેના પરિણામે $N = m(g + a) > mg$ થાય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં,પ્રવેગ કાં તો શૂન્ય હોય છે અથવા ઋણ (નીચેની તરફ) હોય છે,જે નીચું રીડિંગ આપે છે.

(C) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે માણસ પર ઉપરની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ (આભાસી બળ) લાગે છે.
ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે,તેથી $W = mg$.
માણસ પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો ફોર્સ $ma$ (ઉપરની તરફ) છે.
આભાસી વજન $W_{app}$ એ લિફ્ટના તળિયા દ્વારા લગાડવામાં આવતું લંબબળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $mg - W_{app} = ma$.
તેથી,$W_{app} = mg - ma$.
$W_{app} = mg(1 - \frac{a}{g})$.
કારણ કે $W = mg$,તેથી આપણને $W_{app} = W(1 - \frac{a}{g})$ મળે છે.

(D) જ્યારે $U$-ટ્યુબને આડી દિશામાં $a$ પ્રવેગ સાથે પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી પર પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો બળ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો પ્રવેગ $a$ (ડાબી તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ સદિશ $g_{\text{eff}}$ ને લંબ બને છે.
મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{a}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$U$-ટ્યુબની ભૂમિતિ પરથી,પ્રવાહીની સપાટીનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{h}{L}$ પણ થાય છે,જ્યાં $h$ એ ઊંચાઈનો તફાવત છે અને $L$ એ બે ભુજાઓ વચ્ચેનું આડું અંતર છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{a}{g} = \frac{h}{L}$ મળે છે.
તેથી,ઊંચાઈનો તફાવત $h = \frac{aL}{g}$ થાય છે.

(C) લિફ્ટના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,સિક્કો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g_{eff})$ અનુભવે છે. લિફ્ટ $a = 2\,ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,સિક્કા પર સ્યુડો ફોર્સ નીચેની તરફ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = 10\,ms^{-2} + 2\,ms^{-2} = 12\,ms^{-2}$ છે.
સિક્કો પાછો હાથમાં આવે તે માટેનો સમય એ આ પ્રવેગિત ફ્રેમમાં ઉડ્ડયન સમય છે,જે $t = \frac{2u}{g_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u = 20\,ms^{-1}$ એ લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો પ્રારંભિક વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2 \times 20\,ms^{-1}}{12\,ms^{-2}} = \frac{40}{12}\,s = \frac{10}{3}\,s$.

(C) જ્યારે પ્લેટ $P$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વેજ $B$ અને બ્લોક $A$ બંને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
$A$ અને $B$ બંને નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે.
વેજ $B$ ના સંદર્ભ ફ્રેમમાં બ્લોક $A$ નો વિચાર કરો.
કારણ કે બંને નીચેની તરફ $g$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,તેથી વેજ $B$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોક $A$ નો સ્યુડો-પ્રવેગ ઉપરની તરફ $g$ હશે.
તેથી,વેજ $B$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોક $A$ નો અસરકારક પ્રવેગ $g - g = 0$ થાય છે.
બ્લોક $A$ અને વેજ $B$ વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ પ્રવેગ ન હોવાથી,બ્લોક $A$ વેજ $B$ ની સપાટી પર દબાણ કરતું નથી.
આમ,વેજ $B$ દ્વારા બ્લોક $A$ પર લાગતું લંબબળ $N$ શૂન્ય છે.

(A) કાર પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે,તેથી તેના પર આગળની દિશામાં આભાસી બળ લાગે છે. પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ વેગમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમય છે.
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5/3 - 5}{3} = \frac{-10/3}{3} = -\frac{10}{9} \, m/s^2$.
પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \frac{10}{9} \, m/s^2$ છે.
કારના સંદર્ભમાં,દડા પર આગળની દિશામાં આભાસી બળ $F_p = ma$ અને નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ લાગે છે.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{F_p}{mg} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ દ્વારા મળે છે.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,આપણને $\tan \theta = \frac{10/9}{10} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{9} \right)$.

(D) ટ્રકની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે ટ્રકના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં બોક્સ પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. ટ્રક $a = 4 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે આગળ વધી રહ્યો છે. તેથી,બોક્સ પર પાછળની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = ma$ લાગે છે.
$2$. ટ્રકની સાપેક્ષમાં ગતિનો વિરોધ કરવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ આગળની દિશામાં લાગે છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે.
$3$. બોક્સ ટ્રકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,સ્યુડો ફોર્સ ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$ma = \mu mg$
$4$. બંને બાજુને $m$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને):
$a = \mu g$
$5$. આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$4 = 0.4 \times 10$
$4 = 4$
આમ,સમીકરણ $a = \mu g$ એ દળ $m$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,બોક્સ ટ્રકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવાની શરત $m$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સંતોષાય છે,જો સ્થિત ઘર્ષણ સ્યુડો ફોર્સને સંતુલિત કરવા માટે પૂરતું હોય.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગ $S_1$ માં તણાવ $T_1$ છે અને સ્પ્રિંગ $S_2$ માં તણાવ $T_2$ છે.
આપેલ રીડિંગ $kg$ માં છે,તેથી બળો $T_1 = 60 \times g = 600\,N$ અને $T_2 = 30 \times g = 300\,N$ થશે.
$m$ દળનો બ્લોક લિફ્ટની અંદર છે જે $a = 10\,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
બ્લોક $m$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T_1 - T_2 - mg = ma$
$600 - 300 = m(10 + 10)$
$300 = m(20)$
$m = \frac{300}{20} = 15\,kg$.

(B) સ્યુડો ફોર્સ એ એક આભાસી બળ છે જે ત્યારે લાગે છે જ્યારે પદાર્થને અજડત્વીય (પ્રવેગી) સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી જોવામાં આવે છે.
ફ્રેમ $S_1$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_{S_1} = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ છે,જે તેને અજડત્વીય ફ્રેમ બનાવે છે.
પ્રવેગી ફ્રેમમાં $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું સ્યુડો ફોર્સ $\vec{F}_p = -m \vec{a}_{frame}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 2 \, kg$ અને $\vec{a}_{S_1} = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી સ્યુડો ફોર્સ:
$\vec{F}_p = -2 \times (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = -10 \hat{i} - 20 \hat{j} \, N$.
આમ,સ્યુડો ફોર્સ $-10 \hat{i} - 20 \hat{j} \, N$ છે અને તે $S_1$ ફ્રેમના પ્રવેગને કારણે લાગે છે.

(D) $S_2$ ફ્રેમ અચળ વેગ $(5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s)$ થી ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,$S_2$ એ જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
જડત્વીય ફ્રેમમાં,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F = ma$ છે.
પદાર્થ $S_1$ ફ્રેમમાં સ્થિર છે,જેનો પ્રવેગ $a = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ છે.
પદાર્થ $S_1$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,જડત્વીય અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં તે $S_1$ જેટલો જ પ્રવેગ ધરાવે છે.
અહીં દળ $m = 2 \, kg$ અને પ્રવેગ $a = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ હોવાથી,પરિણામી બળ:
$F = 2 \times (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = 10 \hat{i} + 20 \hat{j} \, N$ થાય.

(A) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુનું આભાસી વજન $W$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = m(g + a)$.
આપેલ છે:
દળ $m = 5\, kg$
લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 0.25\, m/s^2$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 5(10 + 0.25)$
$W = 5(10.25)$
$W = 51.25\, N$
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $51.25\, N$ છે.

(B) ટ્રોલીના સંદર્ભ ફ્રેમનો વિચાર કરો. ટ્રોલી $a = g \sin \theta$ પ્રવેગ સાથે ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
ટ્રોલીની અંદર રહેલા $m$ દળના ગોળા પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે,આપણે ઢળતા સમતલની ઉપરની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = ma = mg \sin \theta$ લગાડીએ છીએ.
ગોળા પર લાગતા બળો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. સ્યુડો ફોર્સ $mg \sin \theta$ જે ઢળતા સમતલને સમાંતર ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવ $T$.
ટ્રોલીની સાપેક્ષ સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
દોરીને લંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા,આપણને મળે છે: $\tan \alpha = \frac{a \cos \theta}{g - a \sin \theta}$.
$a = g \sin \theta$ મૂકતા,$\tan \alpha = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g - g \sin^2 \theta} = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g \cos^2 \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\alpha = \theta$.

(A) $m$ દળનો બ્લોક મુક્ત પતન કરે તે માટે,તેણે વેજ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવવો પડે,જેનો અર્થ છે કે વેજ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વેજના સંદર્ભ ફ્રેમનો વિચાર કરો. બ્લોક પર વેજના પ્રવેગ $a$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ (આભાસી બળ) $ma$ લાગે છે.
ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos \theta$ અંદરની તરફ અને સ્યુડો ફોર્સનો ઘટક $ma \sin \theta$ બહારની તરફ લાગે છે.
બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે તે માટે,લંબબળ $N$ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$N = mg \cos \theta - ma \sin \theta = 0$
$mg \cos \theta = ma \sin \theta$
$a = g \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$a = g \cot \theta$

(A) તંત્ર $a = 2\,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. આપણે વેજ (wedge) ના ફ્રેમમાં સ્યુડો-ફોર્સ (pseudo-force) નો ઉપયોગ કરીશું.
લટકતા $5\,kg$ ના બ્લોક માટે:
બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ),વજન $mg = 5 \times 10 = 50\,N$ (નીચેની તરફ),અને સ્યુડો-ફોર્સ $ma = 5 \times 2 = 10\,N$ (નીચેની તરફ) છે.
ગતિનું સમીકરણ: $T - 50 - 10 = 0 \implies T = 60\,N$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દોરીમાં રહેલું તણાવ માપે છે,જે $60\,N$ છે.

(D) લોલકની દોરીનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ટ્રોલીના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં બોબ પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. બોબ પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$,અને ટ્રોલીના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું આભાસી બળ $ma_0$ છે.
$2$. બળોને દોરીને સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો.
$3$. અસરકારક પ્રવેગ સદિશ $\vec{g}_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ $\vec{g}$ અને આભાસી પ્રવેગ $-\vec{a}_0$ નો સદિશ સરવાળો છે. દોરી $\vec{g}_{eff}$ ની દિશામાં ગોઠવાય છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકો $mg \cos \alpha$ (ઢાળને લંબ) અને $mg \sin \alpha$ (ઢાળને સમાંતર) છે.
$5$. આભાસી બળ $ma_0$ ઢાળને સમાંતર,ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$6$. દોરીને સમાંતર બળોને સંતુલિત કરતા:
$mg \cos \alpha \sin \theta = (mg \sin \alpha + ma_0) \cos \theta$
$7$. સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\tan \theta = \frac{ma_0 + mg \sin \alpha}{mg \cos \alpha} = \frac{a_0 + g \sin \alpha}{g \cos \alpha}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a_0 + g \sin \alpha}{g \cos \alpha} \right)$.

(C) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતું પાત્ર આડા પ્રવેગ $a$ હેઠળ હોય,ત્યારે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $\tan \theta = \frac{a}{g}$ જેટલો ખૂણો $\theta$ બનાવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,પાત્ર જમણી તરફ ગતિ કરે છે અને તેને જમણી તરફ અચળ પ્રતિપ્રવેગ આપવામાં આવે છે. જમણી તરફનો પ્રતિપ્રવેગ એ ડાબી તરફના પ્રવેગની સમકક્ષ છે.
તેથી,અસરકારક પ્રવેગ $a$ ડાબી તરફની દિશામાં છે.
પ્રવાહીના કણો પર જમણી તરફ લાગતા આ આભાસી બળને કારણે,પ્રવાહીનું સ્તર જમણી બાજુએ ઊંચું આવે છે અને ડાબી બાજુએ નીચે જાય છે.
આના પરિણામે પ્રવાહીની સપાટી જમણી તરફ ઉપરની તરફ ઢળતી જોવા મળે છે,જે આકૃતિ $(iii)$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m$ છે અને કાર્ટનો પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે કાર્ટ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે બ્લોક $A$ પર કાર્ટના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
આ સ્યુડો બળ લંબબળ $N$ તરીકે કાર્ય કરે છે જે બ્લોકને કાર્ટની ઉભી સપાટી પર દબાવે છે,તેથી $N = ma$.
બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu ma$ છે.
બ્લોક $A$ નીચે ન પડે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
આમ,$f \geq mg$,જેનો અર્થ છે કે $\mu ma \geq mg$.
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને $a \geq g/\mu$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવેગ $a_{\min} = g/\mu$ છે.

(B) દડાને પાછા તળિયે આવતા લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે લિફ્ટની સાપેક્ષ ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે.
લિફ્ટનો પ્રવેગ $a_e = +2\,m/s^2$ છે.
જમીનની સાપેક્ષ દડાનો પ્રવેગ $a_b = -g = -10\,m/s^2$ છે.
લિફ્ટની સાપેક્ષ દડાનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_r = a_b - a_e = -10 - 2 = -12\,m/s^2$ છે.
લિફ્ટના તળિયાની સાપેક્ષ દડાના પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times 0.5 = 2\,m/s$ છે.
સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $s = u_y t + \frac{1}{2} a_r t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,દડો પાછો તળિયે આવે ત્યારે લિફ્ટની સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s = 0$ હોવું જોઈએ.
$0 = 2t + \frac{1}{2}(-12)t^2$
$0 = 2t - 6t^2$
$6t^2 = 2t$
$t \neq 0$ હોવાથી,$t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\,s$ મળે છે.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_{up} = m(g + a) = 608 \ N$ થાય છે $...(i)$
જ્યારે લિફ્ટ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_{down} = m(g - a) = 368 \ N$ થાય છે $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 608 + 368$
$2mg = 976$
$mg = 488 \ N$
આમ,માણસનું સામાન્ય વજન $488 \ N$ છે.

(D) જ્યારે બસ જમણી તરફ વળે છે,ત્યારે બસની અંદરના મુસાફર અને વસ્તુઓ બસના વેગની દિશામાં ફેરફારને કારણે ડાબી તરફ લાગતા આભાસી બળ (કેન્દ્રત્યાગી બળ) નો અનુભવ કરે છે.
દડો સ્થિર હોવાથી અને બસ જમણી તરફ વળતી હોવાથી,બસના સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં દડો ડાબી તરફ ગતિ કરતો જણાય છે.

(C) સિક્કાને ભોંયતળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે).
તેથી,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
સ્થિર લિફ્ટમાં,અસરકારક પ્રવેગ $g$ છે,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરતી હોય,ત્યારે સિક્કા દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g' = g + a$ થાય છે.
તેથી,$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g+a}}$.
અહીં $g' = g + a > g$ હોવાથી,$t_2$ ના સમીકરણમાં છેદ $t_1$ કરતા મોટો છે.
આમ,$t_2 < t_1$ થાય છે.

(A) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો અચળ પ્રવેગ $a$ છે. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a)$ થાય છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે આવે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આભાસી વજનનો ગુણોત્તર $W_1 / W_2 = 2 / 1$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{m(g + a)}{m(g - a)} = \frac{2}{1}$
$g + a = 2(g - a)$
$g + a = 2g - 2a$
$3a = g$
$a = g / 3 = 10 / 3 \approx 3.33 \, m/s^2$.

(D) બોલ્ટને ભોંયતળિયા સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે લિફ્ટની સાપેક્ષમાં ગતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. લિફ્ટનો પ્રવેગ $a_e = 1.2\,m/s^2$ (ઉપરની તરફ) છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બોલ્ટનો પ્રવેગ $g = 9.8\,m/s^2$ (નીચેની તરફ) છે.
$3$. લિફ્ટની સાપેક્ષમાં બોલ્ટનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_r = a_{bolt} - a_e = (-9.8) - (1.2) = -11\,m/s^2$ છે. તેનું મૂલ્ય $11\,m/s^2$ નીચેની તરફ છે.
$4$. લિફ્ટની સાપેક્ષમાં બોલ્ટનો પ્રારંભિક વેગ $u_r = 0$ છે કારણ કે બોલ્ટ છતની સાપેક્ષમાં સ્થિર હતો.
$5$. લિફ્ટની સાપેક્ષમાં બોલ્ટે કાપવાનું અંતર $s_r = 2.7\,m$ છે.
$6$. ગતિના સમીકરણ $s_r = u_r t + \frac{1}{2} a_r t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.7 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 11 \times t^2$
$2.7 = 5.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{2.7}{5.5} = \frac{5.4}{11}$
$t = \sqrt{\frac{5.4}{11}}\,s$.

(B) પ્રવેગિત પાટિયાના સંદર્ભ ફ્રેમમાં બ્લોક્સને ધ્યાનમાં લો. પાટિયાના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં દરેક બ્લોક પર સ્યુડો ફોર્સ $F_p = m \cdot a$ લાગે છે.
બ્લોક $m_1$ માટે,લાગતા બળો સ્યુડો ફોર્સ $m_1 a$ (ડાબી તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f_1 = \mu m_1 g$ (જમણી તરફ) છે.
પાટિયાની સાપેક્ષમાં બ્લોક $m_1$ નો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_{net,1} = a - \mu g$ છે.
તે જ રીતે,બ્લોક $m_2$ માટે,પાટિયાની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_{net,2} = a - \mu g$ છે.
કારણ કે બંને બ્લોક્સ પાટિયાની સાપેક્ષમાં સમાન ચોખ્ખો પ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી તેઓ એકબીજાની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતા નથી.
તેથી,સ્પ્રિંગ તમામ પરિસ્થિતિઓમાં તેની કુદરતી લંબાઈમાં રહે છે,અને તેનું વિસ્તરણ $x = 0$ છે.

(D) ધારો કે વાંદરાનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ એ પલ્લા દ્વારા વાંદરા પર લાગતા લંબબળ $N$ જેટલું હોય છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે વાંદરા માટે ગતિનું સમીકરણ $N - mg = ma$ થાય છે.
તેથી,$N = m(g + a)$.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $N = mg$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $N = m(g - a)$.
જ્યારે લિફ્ટ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે $a = g$,તેથી $N = m(g - g) = 0$.
આ કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,રીડિંગ $N$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થતી હોય.

(B) જ્યારે લિફ્ટ સમાન ઝડપથી (ઉપર અથવા નીચે) ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = 0$ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વજનકાંટા દ્વારા નોંધાયેલ આભાસી વજન $W = m(g + a)$ છે.
લિફ્ટ સમાન ઝડપથી ગતિ કરતી હોવાથી,$a = 0$ છે,તેથી બંને કિસ્સામાં આભાસી વજન $W = mg$ મળે છે.
ઉપર જતી વખતે વજન $(W_1)$ = $60 \times g$.
નીચે આવતી વખતે વજન $(W_2)$ = $60 \times g$.
ગુણોત્તર $W_1 / W_2 = (60g) / (60g) = 1$.

(A) ધારો કે દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો ઉપરની દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે.
દળ પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગમાં તણાવ $R$ (જે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ છે) જે ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$R - mg = ma$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$R = m(g + a)$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,રીડિંગ $R$ એ વાસ્તવિક વજન $mg$ કરતા વધારે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ તેના રીડિંગમાં વધારો દર્શાવશે.

(B) જ્યારે ટ્રક $a$ પ્રવેગ સાથે જમણી તરફ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે ટ્રકની ફ્રેમમાં બોબ પર વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ડાબી તરફ) સ્યુડો ફોર્સ $F_{\text{pseudo}} = ma$ લાગે છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
ટ્રકની ફ્રેમમાં બોબની સંતુલન સ્થિતિમાં,બોબ પર લાગતા બળો તણાવ $T$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ડાબી તરફ લાગતું સ્યુડો ફોર્સ $ma$ છે.
બળોના ઘટકો પાડતા,આપણને મળે છે:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$.
સ્યુડો ફોર્સ ડાબી તરફ લાગતું હોવાથી,લોલક ડાબી તરફ નમશે.

(N/A) આપેલ છે: માણસનું દળ,$m = 70 \; kg$,ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \; m s^{-2}$.
$(a)$ જ્યારે લિફ્ટ અચળ ઝડપથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ $a = 0$ છે. ગતિનું સમીકરણ $R - mg = ma$ છે. $a = 0$ હોવાથી,$R = mg = 70 \times 10 = 700 \; N$. વજનકાંટા પરનું અવલોકન $700/10 = 70 \; kg$ થશે.
$(b)$ જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \; m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $mg - R = ma$ છે,તેથી $R = m(g - a) = 70(10 - 5) = 70 \times 5 = 350 \; N$. વજનકાંટા પરનું અવલોકન $350/10 = 35 \; kg$ થશે.
$(c)$ જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \; m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $R - mg = ma$ છે,તેથી $R = m(g + a) = 70(10 + 5) = 70 \times 15 = 1050 \; N$. વજનકાંટા પરનું અવલોકન $1050/10 = 105 \; kg$ થશે.
$(d)$ જ્યારે લિફ્ટ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે $a = g$ થાય છે. ગતિનું સમીકરણ $R = m(g - g) = 0 \; N$ થાય છે. વજનકાંટા પરનું અવલોકન $0 \; kg$ થશે. માણસ ભારહીનતા અનુભવશે.

(N/A) ભારહીનતા એ એવી સ્થિતિ છે જેમાં પદાર્થનું આભાસી વજન શૂન્ય થઈ જાય છે. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે પદાર્થ મુક્ત પતન (free fall) કરતો હોય,એટલે કે તેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોય અને કોઈ સપાટી દ્વારા તેના પર કોઈ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ (normal reaction force) લાગતું ન હોય.
ઉદાહરણો:
$(i)$ મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટ: જ્યારે લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = g$ હોય છે. લિફ્ટમાં રહેલા $m$ દળના વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $a = g$ મૂકતા,આપણને $W = m(g - g) = 0$ મળે છે. આમ,વ્યક્તિ ભારહીનતાનો અનુભવ કરે છે.
$(ii)$ ઉપગ્રહો: ભ્રમણકક્ષામાં રહેલો ઉપગ્રહ પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે. તેની ભ્રમણકક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે $(a_c = g')$. ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ સમાન દરે પ્રવેગિત થતી હોવાથી,વસ્તુઓ અને ઉપગ્રહના તળિયા વચ્ચે કોઈ લંબ બળ લાગતું નથી,જેના પરિણામે ભારહીનતાની સ્થિતિ સર્જાય છે.

(A) આપેલ છે:
વ્યક્તિનું દળ,$m = 50 \, kg$
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 9 \, m/s^2$ (નીચેની તરફ)
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $m$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$R = 50 \times (10 - 9)$
$R = 50 \times 1 = 50 \, N$
વજન કાંટાનું રીડિંગ સામાન્ય રીતે કિલોગ્રામમાં દર્શાવવામાં આવે છે,જે આભાસી દળ $m_{app} = R/g$ દર્શાવે છે.
$m_{app} = \frac{50 \, N}{10 \, m/s^2} = 5 \, kg$
તેથી,વજન કાંટાનું રીડિંગ $5 \, kg$ હશે.

(C) ધારો કે સંદર્ભ ફ્રેમ લિફ્ટ છે. લિફ્ટ $a = 2 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,સિક્કા પર નીચેની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ લાગે છે.
લિફ્ટની ફ્રેમમાં સિક્કાનો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \, m/s^2$ (નીચેની તરફ) છે.
લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) છે.
જ્યારે લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સિક્કાનું સ્થાનાંતર $s = 0$ થાય ત્યારે સિક્કો હાથમાં પાછો આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 20t - \frac{1}{2}(12)t^2$
$0 = 20t - 6t^2$
$6t^2 = 20t$
$t = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, s$.

(A) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ શિરોલંબ સમતલમાં ફરતા ચકડોળમાં બેસે છે,ત્યારે તેનું આભાસી વજન સતત બદલાતું રહે છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,આભાસી વજન $W_{app} = m(g - a)$ હોય છે,જે વાસ્તવિક વજન કરતા ઓછું હોય છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,આભાસી વજન $W_{app} = m(g + a)$ હોય છે,જે વાસ્તવિક વજન કરતા વધારે હોય છે.
સીટ દ્વારા શરીર પર લાગતા લંબબળમાં થતા આ ઝડપી ફેરફારો રુધિરાભિસરણ અને કાનના અંદરના ભાગમાં રહેલી સંતુલન પ્રણાલીને અસર કરે છે,જેના કારણે ચક્કર આવવાની અનુભૂતિ થાય છે.