Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Hindi

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24$ घंटे (भूस्थिर कक्षा के लिए) और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है।
नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $T_2 = T_1 \times (r_2/r_1)^{3/2}$।
मान रखने पर: $T_2 = 24 \times (2)^{3/2} = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ घंटे।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है, अर्थात $T^2 \propto r^3$।
दिया गया है कि उपग्रह $S$ की कक्षीय त्रिज्या $r_s = 4r_c$ है, जहाँ $r_c$ संचार उपग्रह $C$ की कक्षीय त्रिज्या है।
संचार उपग्रह का आवर्तकाल $T_c = 1 \text{ दिन}$ होता है।
संबंध $\frac{T_s}{T_c} = \left(\frac{r_s}{r_c}\right)^{3/2}$ का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{T_s}{1} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः, उपग्रह $S$ का आवर्तकाल $8 \text{ दिन}$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षीय त्रिज्या $(R)$ के घन के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $T^2 \propto R^3$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसलिए,अनुपात $\frac{T^2}{R^3} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
चूंकि यह अनुपात एक स्थिर मान है,इसलिए यह उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर नहीं करता है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$,जिसका अर्थ है $T \propto R^{3/2}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5$ घंटे है।
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी $R_1$ है और नई दूरी $R_2 = 4R_1$ है।
नया आवर्तकाल $T_2$ अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$।
घातांक की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ घंटे।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
पहले उपग्रह के लिए दिया गया है: $T_1 = 1 \text{ दिन}$,$r_1 = R$.
दूसरे उपग्रह के लिए दिया गया है: $T_2 = 8 \text{ दिन}$,$r_2 = ?$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
मान रखने पर: $\left( \frac{8}{1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{R} \right)^3$.
$64 = \left( \frac{r_2}{R} \right)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\sqrt[3]{64} = \frac{r_2}{R}$.
$4 = \frac{r_2}{R}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 4R$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$।
मान लीजिए $T_s$ और $r_s$ उपग्रह का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं,और $T_m$ और $r_m$ चंद्रमा का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $r_s = \frac{1}{2} r_m$ और $T_m = 1$ चंद्र मास।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_s}{T_m} = \left( \frac{r_s}{r_m} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_s}{1} = \left( \frac{1/2 r_m}{r_m} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = 2^{-3/2}$।
अतः,उपग्रह $2^{-3/2}$ चंद्र मास में एक चक्कर पूरा करता है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$।
दिया गया है:
$R_1 = 10^{13} \ m$ (नेपच्यून)
$R_2 = 10^{12} \ m$ (शनि)
आवर्तकालों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = (10)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = 10^1 \cdot 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है।
इसका अर्थ है कि त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
यह दिया गया है कि छायांकित क्षेत्र $A$ और $B$ समान हैं,इसलिए इन क्षेत्रों को तय करने में लगा समय भी समान होना चाहिए।
अतः,यदि ${t_1}$ ग्रह को $a$ से $b$ तक जाने में लगा समय है (क्षेत्र $A$ तय करने के लिए) और ${t_2}$ ग्रह को $d$ से $c$ तक जाने में लगा समय है (क्षेत्र $B$ तय करने के लिए),तो ${t_1} = {t_2}$।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
प्रथम उपग्रह के लिए दिया गया है: $T_1 = T$ और $R_1 = R$।
दूसरे उपग्रह के लिए: $R_2 = 4R$ और हमें $T_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (4)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
अतः,$T_2 = 8T$।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के प्रथम नियम के अनुसार,जिसे कक्षाओं का नियम भी कहा जाता है,प्रत्येक ग्रह सूर्य (या तारे) के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है,जिसमें सूर्य दो नाभियों (foci) में से एक पर स्थित होता है। इसलिए,कक्षा का सही आकार दीर्घवृत्त है।

(C) व्युत्क्रम वर्ग क्षेत्र में,$r$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के पिंड पर लगने वाला बल $F = \frac{k}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
वृत्तीय गति के लिए,यह बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{k}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$।
इसे सरल करने पर,हमें $v^2 = \frac{k}{mr}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{k}{mr}}$।
एक चक्कर के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ होता है।
$v$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{k}{mr}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r^{3/2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} r^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$4, \pi, m,$ और $k$ नियतांक होने के कारण,$T^2 \propto r^3$ होता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ उसकी सूर्य से औसत दूरी के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$.
यहाँ दिया गया है कि नई दूरी $r' = \frac{1}{4}r$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\left( \frac{T'}{T} \right)^2 = \left( \frac{r'}{r} \right)^3$.
$r'$ का मान रखने पर: $\left( \frac{T'}{T} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
अतः,वर्ष की नई अवधि $T' = \frac{1}{8}T$ होगी।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है।
चूंकि केंद्रीय बल द्वारा सूर्य के केंद्र के परितः लगाया गया बल आघूर्ण शून्य होता है $(\tau = r \times F = 0)$,इसलिए पृथ्वी का कोणीय संवेग $(L)$ अपनी पूरी कक्षा में स्थिर रहता है।
हालाँकि,दीर्घवृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी बदलती रहती है,जिसके कारण पृथ्वी की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों ही उसकी स्थिति के साथ बदलती रहती हैं।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। निकटतम बिंदु (पेरिहेलियन) और सबसे दूर के बिंदु (एफेलियन) पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin(90^\circ) = 1$ होता है।
इसलिए,कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम से:
$m v_1 d_1 = m v_2 d_2$
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ को हटाने पर:
$v_1 d_1 = v_2 d_2$
$v_2$ के लिए हल करने पर:
$v_2 = \frac{v_1 d_1}{d_2}$

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग उसकी कक्षा की माध्य त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$T^2 \propto r^3$।
दो ग्रहों के लिए,हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2}$

(B) केप्लर का दूसरा नियम बताता है कि सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग $(dA/dt)$ स्थिर रहता है।
चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $(\tau)$ शून्य होता है।
संबंध $\tau = dL/dt$ के अनुसार,यदि $\tau = 0$ है,तो ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
क्षेत्रीय वेग को व्यंजक $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि $L$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।
अतः,केप्लर का दूसरा नियम कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) केप्लर का ग्रहीय गति का तीसरा नियम, जिसे आवर्तकाल का नियम भी कहा जाता है, बताता है कि किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ सूर्य के चारों ओर उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से, इसे $T^2 \propto r^3$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसे $\frac{T^2}{r^3} = \text{स्थिरांक}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
घातांक के नियमों का उपयोग करके, यह $T^2 r^{-3} = \text{स्थिरांक}$ के बराबर है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
यह दिया गया है कि ग्रह की औसत दूरी $(r_p)$, पृथ्वी की औसत दूरी $(r_e)$ का $1.588$ गुना है, इसलिए $r_p = 1.588 \times r_e$.
परिक्रमण काल का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{T_p}{T_e} = \left( \frac{r_p}{r_e} \right)^{3/2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{T_p}{T_e} = (1.588)^{3/2}$.
चूंकि $1.588 \approx (2)^{2/3}$, इसलिए $(1.588)^{3/2} \approx ((2)^{2/3})^{3/2} = 2^1 = 2$.
अतः, $T_p = 2 \times T_e$. चूंकि $T_e = 1 \text{ वर्ष}$, इसलिए ग्रह का परिक्रमण काल $2 \text{ वर्ष}$ होगा।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$.
यह संबंध उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
उपग्रह $A$ के लिए दिया गया है: $r_A = r$.
उपग्रह $B$ के लिए दिया गया है: $r_B = 2r$.
उनके आवर्तकाल का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1:2\sqrt{2}$ है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है और प्रारंभिक समय अवधि $T_1$ है। नई त्रिज्या $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ है और नई समय अवधि $T_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
मान रखने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
अतः,वर्ष की नई अवधि मूल अवधि की $\frac{1}{8}$ गुना हो जाएगी।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
प्रारंभिक स्थिति: $T_1 = 1$ वर्ष और $r_1 = r$.
नई स्थिति के लिए: $r_2 = 2r$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
अतः,परिक्रमण का नया काल $T_2 = 2\sqrt{2}$ वर्ष होगा।

(C) जोहान्स केप्लर ने तीन मौलिक नियम प्रतिपादित किए जो सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति का वर्णन करते हैं। इन्हें केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों के रूप में जाना जाता है।
$1$. कक्षाओं का नियम: सभी ग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं और सूर्य एक फोकस पर स्थित होता है।
$2$. क्षेत्रफल का नियम: किसी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
$3$. आवर्तकाल का नियम: किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के सीधे आनुपातिक होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय अवधि $T$ का वर्ग अर्ध-प्रमुख अक्ष $r$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
चूंकि कोणीय वेग $\omega = 2\pi / T$ है,इसलिए $T = 2\pi / \omega$,जिसका अर्थ है $T^2 \propto 1/\omega^2$.
इसे केप्लर के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $1/\omega^2 \propto r^3$,जिससे $\omega^2 \propto 1/r^3$ या $\omega \propto r^{-3/2}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r \propto \omega^{-2/3}$ मिलता है।
यह दिया गया है कि पिंड पृथ्वी की तुलना में $27$ गुना तेजी से घूमता है,इसलिए $\omega_{\text{body}} = 27 \omega_{\text{earth}}$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{\text{body}}}{r_{\text{earth}}} = \left( \frac{\omega_{\text{earth}}}{\omega_{\text{body}}} \right)^{2/3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{r_{\text{body}}}{r_{\text{earth}}} = \left( \frac{1}{27} \right)^{2/3} = \left( (3^3)^{-1} \right)^{2/3} = (3^{-3})^{2/3} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग सूर्य से औसत दूरी $d$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto d^3$.
चूंकि आवृत्ति $n$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है $(n = 1/T)$,इसलिए $T = 1/n$ होता है।
इसे नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $(1/n)^2 \propto d^3$,जिसका अर्थ है $1/n^2 \propto d^3$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $n^2 d^3 = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
अतः,दो ग्रहों के लिए,$n_1^2 d_1^3 = n_2^2 d_2^3$ होगा।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$ या $T \propto R^{3/2}$।
यहाँ दिया गया है कि ग्रह की सूर्य से दूरी $R_p = 5 R_e$ है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी है।
पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_e = 1$ वर्ष है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_p}{T_e} = \left( \frac{R_p}{R_e} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_p}{1} = (5)^{3/2}$।
अतः,ग्रह का परिक्रमण काल $T_p = 5^{3/2}$ वर्ष है।

(A) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दिए गए चित्र में,सूर्य $S$ दीर्घवृत्ताकार कक्षा के एक फोकस पर स्थित है।
ग्रह द्वारा $DAB$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल $BCD$ पथ में तय किए गए क्षेत्रफल से कम है क्योंकि सूर्य $DAB$ चाप के करीब है।
चूंकि $DAB$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल $BCD$ पथ की तुलना में कम है,इसलिए समान समय में समान क्षेत्रफल की शर्त को पूरा करने के लिए $DAB$ को तय करने में लगा समय $BCD$ को तय करने में लगे समय से कम होना चाहिए।
वैकल्पिक रूप से,कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कक्षीय वेग तब अधिक होता है जब वह सूर्य के करीब होता है (बिंदु $A$ के पास) और तब कम होता है जब वह दूर होता है (बिंदु $C$ के पास)।
इस प्रकार,ग्रह $DAB$ पथ पर तेजी से और $BCD$ पथ पर धीरे चलता है,जो पुष्टि करता है कि $DAB$ के लिए लगा समय $BCD$ से कम है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है।
इसका अर्थ है कि ग्रह का कक्षीय वेग $v$ सूर्य से उसकी दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(v \propto 1/r)$।
इसलिए,कक्षीय वेग तब न्यूनतम होता है जब सूर्य से दूरी $r$ अधिकतम होती है।
दिए गए दीर्घवृत्ताकार पथ को देखने पर,बिंदु $C$ सूर्य $(S)$ से अधिकतम दूरी पर है।
अतः,ग्रह का कक्षीय वेग बिंदु $C$ पर न्यूनतम होगा।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
माना पृथ्वी का आवर्तकाल $T_1$ और कक्षीय त्रिज्या $R_1$ है,तथा ग्रह का आवर्तकाल $T_2$ और कक्षीय त्रिज्या $R_2$ है।
दिया गया है: $T_1 = 1 \text{ year}$,$R_1 = R$,और $R_2 = 2R$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$.
मान रखने पर: $T_2 = 1 \times \left( \frac{2R}{R} \right)^{3/2} = 2^{3/2}$.
गणना करने पर: $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2.828 \text{ years}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,आवर्तकाल $2.8 \text{ years}$ है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,जिसे आवर्तकाल का नियम भी कहा जाता है,किसी ग्रह (या उपग्रह) के कक्षीय आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $(R)$ के घन के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $T^2 \propto R^3$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही संबंध $T^2 \propto R^3$ है।

(C) किसी ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिति सदिश द्वारा तय किए गए क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर है,जो $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय बल के लिए कोणीय संवेग $L = mvr = mr^2\omega$ नियत रहता है,इसलिए क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ होता है।
समीकरण $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ से यह स्पष्ट है कि $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$ है।
अतः,सही संबंध $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$ है।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(a^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto a^3$.
दिया गया है कि सूर्य से दो ग्रहों की दूरियों (अर्ध-दीर्घ अक्ष) का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = 1.38$ है।
हमें उनके परिक्रमण काल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ ज्ञात करना है।
केप्लर के तीसरे नियम से: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3/2}$.
दी गई मान रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = (1.38)^{3/2}$.

(D) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
इसका अर्थ है कि ग्रह का क्षेत्रीय वेग $(dA/dt)$ उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के दौरान स्थिर रहता है।
यद्यपि सूर्य से दूरी बदलने पर स्पर्शीय,कोणीय और त्रिज्यीय वेग बदलते रहते हैं,लेकिन केंद्रीय बल क्षेत्र में कोणीय संवेग के संरक्षण के कारण क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
मान लीजिए कि पृथ्वी का आवर्तकाल $T_E$ और कक्षीय त्रिज्या $R_E$ है,और नए ग्रह के लिए $T_P$ और $R_P$ है।
दिया गया है कि $R_P = 2R_E$ और $T_E = 365$ दिन।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{T_P}{T_E} \right)^2 = \left( \frac{R_P}{R_E} \right)^3 = \left( \frac{2R_E}{R_E} \right)^3 = 2^3 = 8$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_P}{T_E} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
$T_E$ का मान रखने पर:
$T_P = 2\sqrt{2} \times 365 \approx 2.8284 \times 365 \approx 1032.37$ दिन।
निकटतम पूर्णांक में,आवर्तकाल $1032$ दिन होगा।

(A) केप्लर का दूसरा नियम (क्षेत्रफल का नियम) कोणीय संवेग के संरक्षण का सीधा परिणाम है,जो किसी भी केंद्रीय बल के लिए मान्य है। चूंकि बल अभी भी एक केंद्रीय बल है,टॉर्क $\tau = r \times F$ शून्य है,जिसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है। इसलिए,केप्लर का क्षेत्रफल का नियम अभी भी लागू रहता है।
केप्लर का तीसरा नियम (आवर्तकाल का नियम) बताता है कि $T^2 \propto r^3$। यह विशेष रूप से व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(F \propto 1/r^2)$ के लिए प्राप्त किया गया है। यदि बल व्युत्क्रम-घन नियम $(F \propto 1/r^3)$ का पालन करता है,तो अभिकेंद्री बल की आवश्यकता $mv^2/r = k/r^3$ यह दर्शाती है कि $v^2 \propto 1/r^2$,या $v \propto 1/r$। चूंकि $v = 2\pi r/T$,हमें $1/r \propto r/T$ प्राप्त होता है,जो $T \propto r^2$,या $T^2 \propto r^4$ की ओर ले जाता है। इस प्रकार,आवर्तकाल का नियम लागू नहीं रहता है।

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। दीर्घवृत्ताकार कक्षा में ग्रह की चाल $v = \frac{L}{mr}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है,$m$ द्रव्यमान है और $r$ सूर्य से दूरी है।
उपसौर (perihelion) पर,$r_{\min} = a(1-e)$,इसलिए $v_{\max} = \frac{L}{m a(1-e)}$.
अपसौर (aphelion) पर,$r_{\max} = a(1+e)$,इसलिए $v_{\min} = \frac{L}{m a(1+e)}$.
अधिकतम चाल और न्यूनतम चाल का अनुपात $\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{1+e}{1-e}$ है।
दिया गया है $e = 0.0167$,इसलिए $\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{1 + 0.0167}{1 - 0.0167} = \frac{1.0167}{0.9833} \approx 1.034$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग दूरी $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$ या $T \propto r^{3/2}$।
यहाँ दिया गया है कि नई दूरी $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ है।
अनुपात के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{4} \right)^{3/2} = \frac{1}{8}$।
अतः,वर्ष की लंबाई (कक्षीय अवधि) अपने मूल मान की $\frac{1}{8}$ रह जाएगी।

(B) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ सूर्य से औसत दूरी के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$.
माना $T_1 = 365$ दिन और $r_1$ वर्तमान दूरी है।
दिया गया है कि $r_2 = \frac{1}{2} r_1$.
अतः,$\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$T_2 = \frac{T_1}{2\sqrt{2}} = \frac{365}{2 \times 1.414} \approx \frac{365}{2.828} \approx 129$ दिन।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $(R)$ के घन के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $T^2 \propto R^3$ या $T^2 = kR^3$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है जब $T^2$ को y-अक्ष पर और $R^3$ को x-अक्ष पर आलेखित किया जाता है।
इसलिए,जो ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दिखाता है,वह इस संबंध को दर्शाता है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय अवधि $T$ का वर्ग उसकी कक्षा के अर्ध-प्रमुख अक्ष $r$ के घन के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $T^2 \propto r^3$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे सूर्य से दूरी $r$ बढ़ती है,परिक्रमण काल $T$ भी बढ़ता है।
सूर्य से ग्रहों की औसत दूरी इस प्रकार है: बुध,शुक्र,पृथ्वी,मंगल,बृहस्पति,शनि,अरुण,वरुण और यम (प्लूटो)।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सूर्य से बढ़ती दूरी का सही क्रम मंगल,शनि और यम (प्लूटो) है।
इसलिए,परिक्रमण काल मंगल,शनि और यम (प्लूटो) के क्रम में बढ़ता है।

(C) सूर्य द्वारा ग्रहों पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है। एक केंद्रीय बल का बल के केंद्र (सूर्य) के परितः आघूर्ण (टॉर्क) शून्य होता है। चूंकि ग्रह पर कार्य करने वाला कुल बाह्य आघूर्ण शून्य है,इसलिए ग्रह का कोणीय संवेग स्थिर रहता है। अतः,सौर मंडल में ग्रहों की गति कोणीय संवेग के संरक्षण का एक उदाहरण है।

(A) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल $T$,कक्षीय त्रिज्या $R$ से $T \propto R^{3/2}$ के रूप में संबंधित है।
साथ ही,कक्षीय गति $v$ को $v = \frac{2\pi R}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
गति के सूत्र में $T \propto R^{3/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v \propto \frac{R}{R^{3/2}} = R^{-1/2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$।
मान लीजिए $v_1$ और $R_1$ पृथ्वी की गति और त्रिज्या हैं,और $v_2$ और $R_2$ ग्रह की गति और त्रिज्या हैं।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{2v_1} = \sqrt{\frac{R_2}{R}}$।
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{R_2}{R}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{R_2}{R}$।
अतः,$R_2 = \frac{R}{4}$।

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L = mvr \sin(\theta) = \text{स्थिरांक}$.
पेरिहेलियन और एफेलियन पर,वेग सदिश त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $L = mvr$.
चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान $m$ स्थिर है,हमारे पास $vr = \text{स्थिरांक}$ है,जिसका अर्थ है $v \propto (1/r)$।
इसका मतलब है कि कक्षीय गति $v$ सूर्य से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
पृथ्वी की गति तब अधिकतम होगी जब सूर्य से इसकी दूरी न्यूनतम होगी।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा को देखने पर,बिंदु $A$ पर दूरी न्यूनतम है।
इसलिए,पृथ्वी की गति बिंदु $A$ पर अधिकतम होगी।

(C) ग्रह का क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूँकि कोणीय संवेग $L = mvr$ और रेखीय वेग $v = r\omega$ होता है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
$\frac{dA}{dt} = \frac{m(r\omega)r}{2m}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \omega r^2$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रीय वेग $\omega r^2$ के समानुपाती है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। इसका अर्थ है कि ग्रह समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दिए गए चित्र में,सूर्य $S$ दीर्घवृत्ताकार कक्षा के एक फोकस पर स्थित है।
$DAB$ पथ $BCD$ पथ की तुलना में सूर्य के अधिक निकट है।
चूंकि $DAB$ पथ में त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $BCD$ पथ में तय किए गए क्षेत्रफल से कम है,इसलिए $DAB$ को तय करने में लिया गया समय $BCD$ को तय करने में लिए गए समय से कम होगा।

(D) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह का आवर्तकाल $T$,कक्षीय त्रिज्या $r$ के साथ $T \propto r^{3/2}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दोनों पक्षों का लघुगणकीय अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta r}{r}$ प्राप्त होता है।
यहाँ त्रिज्या $R$ से बढ़कर $1.02 R$ हो जाती है,इसलिए त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta r = 1.02 R - R = 0.02 R$ है।
अतः,त्रिज्या में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} = \frac{0.02 R}{R} = 0.02$ या $2\%$ है।
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \times 2\% = 3\%$.
इस प्रकार,आवर्तकाल में $3\%$ की वृद्धि होती है।

(B) त्रिज्या सदिश का क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ द्वारा दिया जाता है।
ग्रह का कोणीय संवेग $J = I \omega = mr^2 \omega$ है,जहाँ $m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ सूर्य से दूरी है और $\omega$ कोणीय वेग है।
इससे,हम $r^2 \omega$ को $\frac{J}{m}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को क्षेत्रीय वेग के सूत्र में रखने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( \frac{J}{m} \right) = \frac{J}{2m}$।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,एक ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
इसका अर्थ है कि क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ स्थिर रहता है।
इसलिए,क्षेत्रफल तय करने में लगा समय तय किए गए क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $SCD = 2 \times \text{क्षेत्रफल } SAB$ है।
चूंकि $t_1$ क्षेत्रफल $SCD$ को तय करने में लगा समय है और $t_2$ क्षेत्रफल $SAB$ को तय करने में लगा समय है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\text{क्षेत्रफल } SCD}{\text{क्षेत्रफल } SAB} = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल } SAB}{\text{क्षेत्रफल } SAB} = 2$.
अतः,$t_1 = 2t_2$.

(B) सूर्य और ग्रह के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल ग्रह की कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$\therefore \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r} \quad \dots(i)$
ग्रह का आवर्तकाल $(T)$,$T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$।
समीकरण $(i)$ से $v^2$ का मान रखने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{(\frac{GM}{r})} = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \quad \dots(ii)$
प्रश्न के अनुसार,केप्लर का तीसरा नियम इस प्रकार दिया गया है:
$T^2 = Kr^3 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{4\pi^2}{GM} \implies GMK = 4\pi^2$.

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। इसका अर्थ है कि ग्रह जब सूर्य के निकट होता है तो तेज गति करता है और जब दूर होता है तो धीमी गति करता है।
बिंदु $A$ उपसौर (perihelion - सूर्य के सबसे निकट) है,और बिंदु $C$ अपसौर (aphelion - सूर्य से सबसे दूर) है। बिंदु $B$ एक मध्यवर्ती दूरी पर है।
इसलिए,इन स्थितियों पर कक्षीय चाल का संबंध इस प्रकार है: $v_A > v_B > v_C$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,इसलिए यह चाल के वर्ग के समानुपाती होती है $(K \propto v^2)$।
अतः,इन स्थितियों पर गतिज ऊर्जाओं का संबंध इस प्रकार है: $K_A > K_B > K_C$।