Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Hindi

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
चूंकि आवृत्ति $N$,समय अवधि का व्युत्क्रम है $(N = 1/T)$,इसलिए $T = 1/N$ होता है।
इस मान को केप्लर के नियम में रखने पर: $(1/N)^2 \propto R^3$,जिसका अर्थ है कि $N^{-2} \propto R^3$ या $R^3 \propto N^{-2}$.
अतः,$R \propto N^{-2/3}$.
दो ग्रहों के लिए,उनकी कक्षीय त्रिज्याओं का अनुपात इस प्रकार होगा: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^{-2/3}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^{2/3}$.

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षा की औसत त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
अतः,परिक्रमण काल का अनुपात इस प्रकार होगा: $\frac{T_{\text{mercury}}}{T_{\text{earth}}} = \left( \frac{r_{\text{mercury}}}{r_{\text{earth}}} \right)^{3/2}$.
दिया गया है: $r_{\text{earth}} = 1.5 \times 10^{11} \ m$ और $r_{\text{mercury}} = 6 \times 10^{10} \ m$.
मान रखने पर: $\frac{T_{\text{mercury}}}{T_{\text{earth}}} = \left( \frac{6 \times 10^{10}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = \left( \frac{0.6 \times 10^{11}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = \left( \frac{0.6}{1.5} \right)^{3/2} = \left( \frac{2}{5} \right)^{3/2} = (0.4)^{1.5} \approx 0.252$.
चूंकि पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_{\text{earth}} = 1$ वर्ष है,इसलिए बुध का परिक्रमण काल $T_{\text{mercury}} \approx 0.25$ वर्ष या $\frac{1}{4}$ वर्ष होगा।

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार, कक्षीय आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष $r$ के घन के समानुपाती होता है: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
पृथ्वी के लिए, $T_1 = 1\, \text{वर्ष} = 365.25\, \text{दिन}$ और $r_1 = 1\, AU$.
शुक्र के लिए, $r_2 = 0.72\, AU$.
मान रखने पर: $T_2 = T_1 \times (r_2/r_1)^{3/2} = 1 \times (0.72)^{3/2} \approx 0.611\, \text{वर्ष}$.
दिनों में बदलने पर: $0.611 \times 365.25 \approx 223.2\, \text{दिन}$, जो लगभग $225\, \text{दिन}$ है।

(C) केप्लर के द्वितीय नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है,जिसे $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य है $(\tau = 0)$।
चूंकि $\tau = \frac{dL}{dt}$,यदि $\tau = 0$ है,तो $L$ नियत रहना चाहिए।
अतः,सौर मंडल में उपग्रहों या ग्रहों की गति कोणीय संवेग संरक्षण का उदाहरण है।

(A) सूर्य द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल दोनों पिंडों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
यह बल एक केंद्रीय बल है,जिसका अर्थ है कि सूर्य के परितः इसका बल-आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल-आघूर्ण शून्य है,तो निकाय का कोणीय संवेग नियत रहता है।
अतः,पृथ्वी की सूर्य के चारों ओर कक्षीय गति के दौरान उसका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गति करने वाले किसी ग्रह या उपग्रह का क्षेत्रीय वेग (त्रिज्या सदिश द्वारा प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल) स्थिर रहता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है $(T^2 \propto R^3)$।
माना पहले उपग्रह का आवर्तकाल $T_1$ है जिसकी त्रिज्या $R_1 = R$ है,और दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल $T_2$ है जिसकी त्रिज्या $R_2 = 1.02 R$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} \approx 1 + \frac{3}{2}(0.02) = 1 + 0.03 = 1.03$।
इसलिए,$T_2 \approx 1.03 T_1$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.03 - 1) \times 100 = 3 \%$ है।

(A) केप्लर के द्वितीय नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है और इसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
एक पूर्ण कक्षा के लिए,तय किया गया कुल क्षेत्रफल $A$ है और लिया गया समय परिक्रमण काल $T$ है। अतः,औसत क्षेत्रीय वेग $\frac{A}{T}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{A}{T} = \frac{L}{2m}$.
$L$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = \frac{2mA}{T}$.

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग (areal velocity) नियत रहता है।
इसका अर्थ है कि ग्रह समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दिए गए दीर्घवृत्त में,सूर्य $S$ एक नाभि (focus) पर स्थित है।
पथ $ACB$ दीर्घवृत्त के आधे से अधिक क्षेत्रफल को कवर करता है,जबकि पथ $BDA$ दीर्घवृत्त के आधे से कम क्षेत्रफल को कवर करता है।
चूंकि पथ $ACB$ में त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल (क्षेत्रफल $S-ACB$) पथ $BDA$ में तय किए गए क्षेत्रफल (क्षेत्रफल $S-BDA$) से अधिक है,और क्षेत्रीय वेग नियत है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि लिया गया समय $t_1$,$t_2$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$t_1 > t_2$.

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की औसत त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$ या $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$.
दिया गया है:
$r_1 = 1.5 \times 10^{11} \ m$ (पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या)
$T_1 = 1 \text{ वर्ष}$
$r_2 = 6 \times 10^{10} \ m$ (बुध की कक्षीय त्रिज्या)
मान रखने पर:
$\frac{1^2}{(1.5 \times 10^{11})^3} = \frac{T_2^2}{(6 \times 10^{10})^3}$
$T_2^2 = \left( \frac{6 \times 10^{10}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^3$
$T_2^2 = \left( \frac{6}{15} \right)^3 = \left( 0.4 \right)^3 = 0.064$
$T_2 = \sqrt{0.064} \approx 0.25 \text{ वर्ष}$.
अतः,बुध सूर्य के चारों ओर लगभग $\frac{1}{4}$ वर्ष में एक परिक्रमा पूरी करता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ और कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R + 6R = 7R$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,ऊँचाई $2.5R$ है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{24^2}{(7R)^3} = \frac{T_2^2}{(3.5R)^3}$
$T_2^2 = 24^2 \times \left(\frac{3.5R}{7R}\right)^3$
$T_2^2 = 576 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 576 \times \frac{1}{8} = 72$
$T_2 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ घंटे}$।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के $II$ नियम (क्षेत्रफल का नियम) के अनुसार,ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
चूंकि छायांकित क्षेत्र समान दिए गए हैं,इसलिए इन क्षेत्रों को तय करने में लिया गया समय भी समान होना चाहिए।
अतः,$t_1 = t_2$.

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार, सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण का सीधा परिणाम है, क्योंकि सूर्य द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, जिसके परिणामस्वरूप टॉर्क शून्य $(\tau = 0)$ होता है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr \sin(\theta)$ संरक्षित रहता है, इसलिए जब कोई ग्रह सूर्य के करीब होता है (कम $r$), तो $L$ को नियत रखने के लिए उसका कक्षीय वेग $v$ बढ़ जाना चाहिए। अतः, विकल्प $A$ में दिया गया कथन सही है।

(C) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल को पार करने में लगा समय उस क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होता है।
मान लीजिए दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल $A$ है।
पथ $abc$ में ग्रह द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल अर्ध-दीर्घवृत्त (भुजा $b$ की ओर) और त्रिभुज $Sca$ के क्षेत्रफल का योग है।
अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{A}{2}$।
त्रिभुज $Sca$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4}A$ (दिया गया है)।
इसलिए,पथ $abc$ में तय किया गया क्षेत्रफल $A_1 = \frac{A}{2} + \frac{A}{4} = \frac{3A}{4}$ है।
पथ $cda$ में तय किया गया क्षेत्रफल $A_2 = A - A_1 = A - \frac{3A}{4} = \frac{A}{4}$ है।
चूंकि $\frac{t_1}{t_2} = \frac{A_1}{A_2}$,इसलिए $\frac{t_1}{t_2} = \frac{3A/4}{A/4} = 3$।
अतः,$t_1 = 3t_2$।

(C) स्थानांतरण कक्षा एक दीर्घवृत्ताकार पथ है जिसमें सूर्य एक केंद्र पर स्थित होता है। इस स्थानांतरण कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_{tr}$ पृथ्वी और मंगल की कक्षाओं के अर्ध-दीर्घ अक्षों का औसत है:
$a_{tr} = \frac{a_e + a_m}{2} = \frac{1.5 \times 10^{11} + 2.28 \times 10^{11}}{2} = 1.89 \times 10^{11} \, m$
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार, $T^2 \propto a^3$ होता है। मान लीजिए $T_e$ पृथ्वी की कक्षीय अवधि $(1 \, \text{वर्ष} = 365 \, \text{दिन})$ है और $T_{tr}$ स्थानांतरण कक्षा की अवधि है:
$\left( \frac{T_{tr}}{T_e} \right)^2 = \left( \frac{a_{tr}}{a_e} \right)^3$
$T_{tr} = T_e \times \left( \frac{1.89 \times 10^{11}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = 365 \times (1.26)^{1.5} \approx 365 \times 1.415 \approx 516.5 \, \text{दिन}$
पृथ्वी से मंगल तक यात्रा करने में लगने वाला समय स्थानांतरण कक्षा की पूर्ण कक्षीय अवधि का आधा होता है:
$t = \frac{T_{tr}}{2} = \frac{516.5}{2} \approx 258.25 \, \text{दिन}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $260 \, \text{दिन}$ है।

(C) क्षेत्रीय वेग को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह का स्थिति सदिश सूर्य के सापेक्ष क्षेत्रफल को पार करता है।
केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,क्षेत्रीय वेग का सूत्र है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$
जहाँ $L$ ग्रह का कोणीय संवेग है और $m$ इसका द्रव्यमान है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर ग्रह का कोणीय संवेग उसकी कक्षा के दौरान स्थिर रहता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। पेरिहेलियन $(P)$ और एपहेलियन $(A)$ पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin(90^\circ) = 1$ होता है।
इस प्रकार,पेरिहेलियन पर कोणीय संवेग $L_P = m v_P r_P$ है और एपहेलियन पर $L_A = m v_A r_A$ है।
चूंकि $L_P = L_A$,हमारे पास है:
$m v_P r_P = m v_A r_A$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने और पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_P r_P = v_A r_A$
$\frac{r_P}{r_A} = \frac{v_A}{v_P}$

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के प्रथम नियम के अनुसार,सभी ग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में गति करते हैं और सूर्य दीर्घवृत्त के दो फोकस में से एक पर स्थित होता है।
दिए गए विकल्पों में,विकल्प $(D)$ दर्शाता है कि सूर्य दीर्घवृत्ताकार पथ के एक फोकस पर स्थित है,जो केप्लर के नियम के अनुरूप है।
अतः,विकल्प $(D)$ एक ग्रह के लिए एक संभावित कक्षा का सही निरूपण है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है।
क्षेत्रीय वेग का सूत्र $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
एक पूर्ण परिक्रमण के लिए,ग्रह $T$ समयावधि में कुल $A$ क्षेत्रफल तय करता है।
इसलिए,औसत क्षेत्रीय वेग $\frac{A}{T}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{A}{T} = \frac{L}{2m}$।
$L$ के लिए हल करने पर,हमें $L = \frac{2mA}{T}$ प्राप्त होता है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$ या $T \propto r^{3/2}$।
यहाँ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5\, h$ और प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है।
नई दूरी $r_2 = 4r$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{5} = \left(\frac{4r}{r}\right)^{3/2}$।
$\frac{T_2}{5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 5 \times 8 = 40\, h$।

(A) सूर्य की परिक्रमा करने वाले ग्रह पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,अर्थात $\tau = 0$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$\frac{dL}{dt} = \tau$।
चूंकि $\tau = 0$ है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
अतः,$Reason$ कथन सही है।
एक ग्रह के लिए,$L = mvr = \text{स्थिर}$। जैसे-जैसे सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी $r$ बदलती है (दीर्घवृत्ताकार कक्षा),$L$ को स्थिर रखने के लिए रैखिक गति $v$ बदलनी पड़ती है। परिणामस्वरूप,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ भी बदल जाती है।
इसी प्रकार,$L = mr^2\omega = \text{स्थिर}$। जैसे-जैसे $r$ बदलता है,कोणीय गति $\omega$ भी बदलती है।
इसलिए,$Assertion$ कथन सही है और $Reason$ इसका सही स्पष्टीकरण देता है।

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दिया गया है:
नेपच्यून की दूरी,$R_1 = 10^{13} \ m$
शनि की दूरी,$R_2 = 10^{12} \ m$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3$
मान रखने पर:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^3 = (10)^3 = 1000$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T \propto r^{3/2}$.
कक्षा की त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,जो $r = R_{E} + h$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ सतह से ऊँचाई है।
पहले उपग्रह के लिए: $r_1 = R_{E} + 6 R_{E} = 7 R_{E}$ और $T_1 = 24 \; h$.
दूसरे उपग्रह के लिए: $r_2 = R_{E} + 2.5 R_{E} = 3.5 R_{E}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{3.5 R_{E}}{7 R_{E}} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
अतः,$T_2 = T_1 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{24}{2 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} \; h$.

(N/A) $P$ पर कोणीय संवेग का परिमाण $L_{P} = m_{p} r_{P} v_{P}$ है,क्योंकि $r_{P}$ और $v_{P}$ परस्पर लंबवत हैं। इसी प्रकार,$L_{A} = m_{p} r_{A} v_{A}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,हमारे पास है:
$m_{p} r_{P} v_{P} = m_{p} r_{A} v_{A}$
$\frac{v_{P}}{v_{A}} = \frac{r_{A}}{r_{P}}$
चूंकि $r_{A} > r_{P}$,इसलिए $v_{P} > v_{A}$ है।
लिए गए समय के संबंध में,केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,त्रिज्या सदिश समान समय में समान क्षेत्रफल तय करता है। सेक्टर $SBC$ का क्षेत्रफल,सेक्टर $SCPB$ (या $SAB$) के क्षेत्रफल के बराबर नहीं है। विशेष रूप से,$BAC$ को पार करते समय ग्रह द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल,$CPB$ को पार करते समय तय किए गए क्षेत्रफल से भिन्न है। इसलिए,ग्रह $BAC$ और $CPB$ को पार करने में समान समय नहीं लेगा।

(C) पृथ्वी द्वारा सूर्य के चारों ओर एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय,$T_{e} = 1 \text{ वर्ष}$ है।
पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या,$R_{e} = 1 \text{ AU}$ है।
यह दिया गया है कि ग्रह पृथ्वी की तुलना में दोगुनी गति से सूर्य के चारों ओर घूमता है,इसलिए इसका कक्षीय आवर्तकाल $T_{p}$ पृथ्वी का आधा है:
$T_{p} = \frac{1}{2} T_{e} = 0.5 \text{ वर्ष}$।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है:
$\left(\frac{R_{p}}{R_{e}}\right)^{3} = \left(\frac{T_{p}}{T_{e}}\right)^{2}$।
मान रखने पर:
$\frac{R_{p}}{R_{e}} = \left(\frac{T_{p}}{T_{e}}\right)^{2/3} = \left(\frac{0.5}{1}\right)^{2/3} = (0.5)^{0.666} \approx 0.63$।
अतः,ग्रह का कक्षीय आकार पृथ्वी की तुलना में $0.63$ के कारक से कम है।

(N/A) $Io$ की कक्षीय अवधि, $T_{Io} = 1.769 \; \text{दिन} = 1.769 \times 24 \times 3600 \; s$.
$Io$ की कक्षीय त्रिज्या, $R_{Io} = 4.22 \times 10^{8} \; m$.
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार बृहस्पति का द्रव्यमान $(M_J)$: $M_J = \frac{4 \pi^{2} R_{Io}^{3}}{G T_{Io}^{2}} \quad ... (i)$.
इसी प्रकार, पृथ्वी के लिए सूर्य का द्रव्यमान $(M_S)$: $M_S = \frac{4 \pi^{2} R_e^{3}}{G T_e^{2}} \quad ... (ii)$, जहाँ $R_e = 1.496 \times 10^{11} \; m$ और $T_e = 365.25 \; \text{दिन}$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{M_S}{M_J} = \left( \frac{R_e}{R_{Io}} \right)^{3} \times \left( \frac{T_{Io}}{T_e} \right)^{2}$.
मान रखने पर: $\frac{M_S}{M_J} = \left( \frac{1.496 \times 10^{11}}{4.22 \times 10^{8}} \right)^{3} \times \left( \frac{1.769}{365.25} \right)^{2}$.
गणना करने पर: $\frac{M_S}{M_J} \approx (354.5)^{3} \times (0.00484)^{2} \approx 1045$.
अतः, $\frac{M_S}{M_J} \approx 1000$, जो दर्शाता है कि $M_J \approx \frac{M_S}{1000}$.
इस प्रकार, बृहस्पति का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का लगभग हजारवां भाग है।

(N/A) सूर्य के द्रव्यमान का अनुमान केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम और सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का उपयोग करके लगाया जा सकता है।
दिया गया है:
पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या,$r = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}$.
पृथ्वी के परिक्रमण का समय,$T = 1 \text{ year} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ s} \approx 3.156 \times 10^{7} \text{ s}$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}$.
पृथ्वी की कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल सूर्य और पृथ्वी के बीच के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{M_s m_e}{r^2} = m_e \omega^2 r = m_e \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$
सूर्य के द्रव्यमान $(M_s)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$M_s = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$
मान रखने पर:
$M_s = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (1.5 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (3.156 \times 10^7)^2}$
$M_s \approx 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}$.
अतः,सूर्य का अनुमानित द्रव्यमान $2.0 \times 10^{30} \text{ kg}$ है।

(B) पृथ्वी की सूर्य से दूरी,$r_{e} = 1.5 \times 10^{8} \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$.
पृथ्वी का आवर्तकाल $= T_{e}$.
शनि का आवर्तकाल,$T_{s} = 29.5 \; T_{e}$.
शनि की सूर्य से दूरी $= r_{s}$.
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,$T^{2} \propto r^{3}$,इसलिए $\frac{r_{s}^{3}}{r_{e}^{3}} = \frac{T_{s}^{2}}{T_{e}^{2}}$.
$r_{s} = r_{e} \left(\frac{T_{s}}{T_{e}}\right)^{2/3}$.
$r_{s} = 1.5 \times 10^{11} \times (29.5)^{2/3}$.
$(29.5)^{2/3} \approx 9.545$.
$r_{s} = 1.5 \times 10^{11} \times 9.545 = 14.3175 \times 10^{11} \; m = 1.43 \times 10^{12} \; m$.

(A) ग्रहों की गति के लिए सबसे पुराना दर्ज मॉडल,जिसे लगभग $2000$ साल पहले टॉलेमी द्वारा प्रस्तावित किया गया था,एक 'भू-केंद्रित' (geocentric) मॉडल था जिसमें सभी खगोलीय पिंड,जैसे तारे,सूर्य और ग्रह,पृथ्वी के चारों ओर घूमते थे।
एक अधिक सटीक मॉडल,'सूर्य-केंद्रित' (heliocentric) मॉडल,जिसमें सूर्य केंद्र में था और ग्रह उसके चारों ओर घूमते थे,का उल्लेख भारतीय ऋषि और वैज्ञानिक श्री आर्यभट्ट ने अपने ग्रंथ में किया था। एक हजार साल बाद,निकोलस कोपरनिकस ने एक मॉडल प्रस्तावित किया जिसमें ग्रह एक स्थिर केंद्रीय सूर्य के चारों ओर वृत्ताकार पथ में गति करते थे। उनके सिद्धांत का चर्च द्वारा विरोध किया गया था,लेकिन गैलीलियो द्वारा इसे महत्वपूर्ण समर्थन मिला था।
गैलीलियो के बाद,टायको ब्राहे ने नग्न आंखों से ग्रहों के अवलोकन दर्ज किए। उनके द्वारा संकलित डेटा का विश्लेषण जोहान्स केप्लर ने किया। उन्होंने ग्रहों की गति के लिए तीन नियम दिए। ये नियम न्यूटन को ज्ञात थे और इसने उन्हें गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का प्रस्ताव देने में एक बड़ी वैज्ञानिक छलांग लगाने में सक्षम बनाया।

(N/A) निकोलस कोपरनिकस ने $16$ वीं शताब्दी में सौर मंडल का सूर्य-केंद्रित (हेलियोसेंट्रिक) मॉडल प्रस्तावित किया था। उनके मॉडल की मुख्य विशेषताएं इस प्रकार हैं:
$1$. सूर्य सौर मंडल के केंद्र में स्थित है और पृथ्वी सहित सभी ग्रह इसके चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में परिक्रमा करते हैं।
$2$. पृथ्वी स्थिर नहीं है; यह हर $24$ घंटे में अपनी धुरी पर एक चक्कर लगाती है,जो तारों की स्पष्ट दैनिक गति की व्याख्या करती है।
$3$. पृथ्वी हर साल सूर्य के चारों ओर भी एक परिक्रमा पूरी करती है।
$4$. ग्रहों की स्पष्ट वक्री गति (जहाँ वे आकाश में पीछे की ओर चलते हुए प्रतीत होते हैं) को पृथ्वी द्वारा अपनी कक्षा में धीमी गति से चलने वाले बाहरी ग्रहों से आगे निकलने के स्वाभाविक परिणाम के रूप में समझाया गया है।

(N/A) टायको ब्राहे $(1546-1601)$ एक डेनिश खगोलशास्त्री थे,जो तारों और ग्रहों की स्थिति के अपने अविश्वसनीय रूप से सटीक और व्यापक खगोलीय अवलोकनों के लिए जाने जाते हैं।
उनका प्राथमिक योगदान कई वर्षों तक ग्रहों,विशेष रूप से मंगल की गति के बारे में सटीक अवलोकन संबंधी डेटा का एक विशाल संग्रह तैयार करना था।
हालाँकि उन्होंने स्वयं ग्रहीय गति के नियमों को प्रतिपादित नहीं किया,लेकिन उनके सूक्ष्म डेटा ने जोहान्स केपलर के लिए आवश्यक अनुभवजन्य आधार प्रदान किया।
केपलर ने ब्राहे के डेटा का उपयोग करके ग्रहीय गति के अपने तीन नियमों को व्युत्पन्न किया,जिसने अंततः आइजैक न्यूटन के लिए सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को तैयार करने का मार्ग प्रशस्त किया।

(A) आइजैक न्यूटन ने सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को प्रतिपादित करने के लिए $Kepler$ के ग्रहों की गति के नियमों का उपयोग किया था। विशेष रूप से,उन्होंने $Kepler$ के तीसरे नियम का उपयोग किया,जो बताता है कि किसी ग्रह के कक्षीय आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $r$ के घन के सीधे आनुपातिक होता है $(T^2 \propto r^3)$। इसे अभिकेंद्री बल $(F = mv^2/r)$ की अवधारणा के साथ जोड़कर,उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto 1/r^2)$।

(N/A) कक्षाओं का नियम:
सभी ग्रह दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में गति करते हैं और सूर्य दीर्घवृत्त के दो फोकस (foci) में से एक पर स्थित होता है।
एक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्त का अनुसरण करता है। सबसे निकटतम बिंदु को $P$ और सबसे दूर के बिंदु को $A$ कहा जाता है। $P$ को उपसौर (perihelion) और $A$ को अपसौर (aphelion) कहा जाता है। अर्ध-दीर्घ अक्ष (semi-major axis) $AP$ दूरी का आधा होता है (जिसे $a$ के रूप में दर्शाया जाता है)।
यह नियम कोपरनिकस के मॉडल से एक विचलन था,जो केवल वृत्ताकार कक्षाओं की अनुमति देता था। (दीर्घवृत्त,जिसका वृत्त एक विशेष स्थिति है,एक बंद वक्र है)।

(N/A) केप्लर का दूसरा नियम कहता है: "किसी भी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समयांतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।"
उपपत्ति:
मान लीजिए कि एक ग्रह $P$ सूर्य $S$ के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। सूर्य के सापेक्ष ग्रह का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है। एक सूक्ष्म समयांतराल $\Delta t$ में, ग्रह $P$ से $P^{\prime}$ तक गति करता है, जो विस्थापन $\Delta \vec{r} = \vec{v} \Delta t$ को दर्शाता है।
समय $\Delta t$ में स्थिति सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $\Delta A$, त्रिभुज $SPP^{\prime}$ के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\Delta A = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \Delta \vec{r}| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times (\vec{v} \Delta t)| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}| \Delta t$
$\Delta t$ से भाग देने पर, हमें क्षेत्रीय वेग प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}|$
चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, यह सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। अतः, बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।
चूंकि बल आघूर्ण शून्य है, कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$ संरक्षित रहता है।
क्षेत्रीय वेग के समीकरण में $\vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{L}}{m}| = \frac{L}{2m}$
यहाँ $L$ और $m$ नियतांक हैं, इसलिए $\frac{dA}{dt}$ भी नियत रहता है। यह सिद्ध करता है कि ग्रह समान समयांतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।

(N/A) केप्लर का तीसरा नियम,जिसे आवर्तकाल का नियम भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग $(T^{2})$ उस ग्रह द्वारा अनुरेखित दीर्घवृत्ताकार कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(a^{3})$ के समानुपाती होता है।
$T^{2} \propto a^{3}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T^{2} = K a^{3}$
जहाँ $K$ एक ही तारे की परिक्रमा करने वाले सभी ग्रहों के लिए एक स्थिरांक है।
यदि हम $Q = \frac{T^{2}}{a^{3}}$ को परिभाषित करें,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष $10^{10} \ m$ की इकाइयों में है और $T$ परिक्रमण काल वर्षों $(y)$ में है,तो $Q$ का मान लगभग स्थिर रहता है $(Q \approx 2.98 \times 10^{-34} \ y^{2} \ m^{-3})$।
(तालिका ऊपर दी गई तालिका के समान ही रहेगी)

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,एक ग्रह समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में एक ग्रह के लिए,सूर्य से उसकी दूरी $r$ लगातार बदलती रहती है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr \sin(\theta)$ संरक्षित रहता है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बदलता है,गति $v$ भी बदलती है।
विशेष रूप से,ग्रह सूर्य के करीब होने पर (उपसौर/perihelion) तेजी से चलता है और दूर होने पर (अपसौर/aphelion) धीमी गति से चलता है।
इसलिए,दीर्घवृत्ताकार कक्षा में ग्रह की गति स्थिर नहीं रहती है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
अतः,कक्षीय आवर्तकालों का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{3/2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R_1 = 10^{11} \ m$ और $R_2 = 10^{10} \ m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{10^{11}}{10^{10}}\right)^{3/2} = (10)^{3/2}$।
इसे सरल करने पर $10^1 \times 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, कक्षीय आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष (कक्षीय त्रिज्या) $r$ के घन के समानुपाती होता है।
$T^2 \propto r^3$
इसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$ या $r \propto T^{2/3}$।
दिया गया है कि नया कक्षीय आवर्तकाल $T' = 8T$ है।
इसे समानुपातिक संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$r' / r = (T' / T)^{2/3}$
$r' / r = (8T / T)^{2/3} = (8)^{2/3}$
$r' / r = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$।
अतः, कक्षीय त्रिज्या मूल त्रिज्या की $4$ गुना हो जाएगी।

(N/A) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग (वह दर जिस पर त्रिज्या सदिश क्षेत्रफल को पार करता है) स्थिर रहता है।
चूंकि क्षेत्रीय वेग समय के साथ नहीं बदलता है,इसलिए क्षेत्रीय वेग बनाम समय का ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी क्षैतिज रेखा होती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(C) क्षेत्रीय वेग को $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = r \times p = r \times (mv)$ है,इसलिए $\frac{dA}{dt} = \frac{r \times mv}{2m} = \frac{1}{2}(r \times v)$ होता है।
क्षेत्रीय वेग सदिश की दिशा कोणीय संवेग सदिश $L$ की दिशा के समान होती है।
सदिश गुणनफल $(r \times v)$ के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$L$ की दिशा स्थिति सदिश $r$ और वेग सदिश $v$ वाले तल के लंबवत होती है।
अतः,क्षेत्रीय वेग की दिशा सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा के तल के लंबवत होती है।

(N/A) अपसौर पृथ्वी की वह स्थिति है जहाँ वह सूर्य से अधिकतम दूरी पर होती है,जबकि उपसौर वह स्थिति है जहाँ वह सूर्य से न्यूनतम दूरी पर होती है।
केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है। इसका तात्पर्य यह है कि ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। उपसौर और अपसौर पर,वेग सदिश त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ और $\sin(90^{\circ}) = 1$ होता है।
इस प्रकार,$L = mvr$,जिसका अर्थ है कि $v \propto 1/r$।
चूंकि उपसौर पर दूरी $r$ न्यूनतम होती है,इसलिए अपसौर की तुलना में उपसौर पर पृथ्वी की गति $v$ अधिकतम होती है।

(N/A) मान लीजिए $m$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
मान लीजिए $\omega_p$ और $\omega_a$ क्रमशः पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकट) और एफेलियन (सूर्य से सबसे दूर) पर पृथ्वी की कोणीय गति हैं।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $r_p^2 \omega_p = r_a^2 \omega_a$।
चूंकि $r_p = a(1-e)$ और $r_a = a(1+e)$,हमारे पास $\frac{\omega_p}{\omega_a} = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2$ है।
$e = 0.0167$ रखने पर,हमें $\frac{\omega_p}{\omega_a} = \left(\frac{1.0167}{0.9833}\right)^2 \approx 1.0691$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\omega$ औसत सौर दिन के अनुरूप औसत कोणीय गति है। तब $\omega^2 = \omega_p \omega_a$।
इस प्रकार,$\frac{\omega_p}{\omega} = \frac{\omega}{\omega_a} = \sqrt{1.0691} \approx 1.034$।
एक दिन में,पृथ्वी तारों के सापेक्ष $360^\circ$ घूमती है,साथ ही वह कोण $\theta$ भी जो वह अपनी कक्षा में तय करती है। सौर दिन $T = \frac{360^\circ + \theta}{\omega_{spin}}$ है।
चूंकि $\theta \propto \omega_{orbit}$,सौर दिन में परिवर्तन $\Delta T \approx T_{mean} \times \frac{\Delta \omega}{\omega_{spin}}$ है।
चरम बिंदुओं की गणना करने पर,परिवर्तन लगभग $\pm 8 \text{ s}$ है।
यह गणना दर्शाती है कि कक्षीय उत्केंद्रता के कारण होने वाला परिवर्तन छोटा है और यह दिन की लंबाई में देखी गई भिन्नताओं की पूरी तरह से व्याख्या नहीं करता है,जो पृथ्वी की धुरी के झुकाव (obliquity) से भी काफी प्रभावित होती है।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$(1)$ केप्लर का प्रथम नियम कक्षाओं का नियम है,जो बताता है कि सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं और सूर्य उसकी एक नाभि पर स्थित होता है।
$(2)$ केप्लर का द्वितीय नियम क्षेत्रफलों का नियम है,जो बताता है कि किसी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
$(3)$ केप्लर का तृतीय नियम आवर्तकाल का नियम है,जो बताता है कि किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a)$ है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
मान लीजिए कि पहले उपग्रह का आवर्तकाल $T_1 = T$ है और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
मान लीजिए कि दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल $T_2$ है और त्रिज्या $R_2 = 9R$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = \left(\frac{9R}{R}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = (9)^3 = 729$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T} = \sqrt{729} = 27$
अतः,$T_2 = 27T$।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।
इसका अर्थ है कि दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे ग्रह का क्षेत्रीय वेग $(dA/dt)$ उसकी गति के दौरान स्थिर रहता है।
अतः,कथन $(E)$ ही एकमात्र सही कथन है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेकर अवकलन करने पर,हमें $2 \frac{dT}{T} = 3 \frac{dR}{R}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dT}{T} = \frac{3}{2} \frac{dR}{R}$ मिलता है।
यहाँ त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = 1.02 R - R = 0.02 R$ है,इसलिए त्रिज्या में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} = 0.02$ है।
इस मान को आवर्तकाल के भिन्नात्मक परिवर्तन के समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \times 0.02 = 0.03$.
प्रतिशत अंतर ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत अंतर $3\%$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय अवधि $T$ का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
प्रारंभिक दूरी $R$ है और प्रारंभिक अवधि $T = 1 \text{ वर्ष}$ है।
जब नई दूरी $R' = 3R$ हो जाती है,तो नई अवधि $T'$ का अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{T'}{T} = \left(\frac{R'}{R}\right)^{3/2}$.
मान रखने पर:
$\frac{T'}{1} = \left(\frac{3R}{R}\right)^{3/2} = (3)^{3/2}$.
$T' = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3} \text{ वर्ष}$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है: $T^{2} \propto r^{3}$।
दिया गया है कि $T_{A} = 2 T_{B}$,इसलिए समय अवधि का अनुपात $\frac{T_{A}}{T_{B}} = 2$ है।
संबंध $\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{2} = \left(\frac{r_{A}}{r_{B}}\right)^{3}$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2)^{2} = \left(\frac{r_{A}}{r_{B}}\right)^{3}$
$4 = \frac{r_{A}^{3}}{r_{B}^{3}}$
$r_{A}^{3} = 4 r_{B}^{3}$।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 7 \, hours$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
नई त्रिज्या $r_2 = 3r$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{7} = \left(\frac{3r}{r}\right)^{3/2} = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$।
$T_2 = 7 \times 3\sqrt{3} = 21\sqrt{3} \, hours$।
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $T_2 \approx 21 \times 1.732 = 36.372 \, hours$।
अतः,नया अनुमानित आवर्तकाल $36 \, hours$ है।