Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Hindi

(C) दिए गए ग्राफ से,तारे के चारों ओर ग्रह के परिक्रमण का आवर्तकाल $T = 3 \text{ दिन}$ प्राप्त होता है।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल $T$ और कक्षीय त्रिज्या $r$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M} \cdot r^{3} \quad \dots(i)$
यदि हम आवर्तकाल को वर्षों में और त्रिज्या को $AU$ में व्यक्त करें,तो पृथ्वी के लिए ($T = 1 \text{ वर्ष}$,$r = 1 \text{ AU}$),स्थिरांक $\frac{4 \pi^{2}}{G M} = 1$ होता है।
यहाँ $T = 3 \text{ दिन} = \frac{3}{365} \text{ वर्ष}$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$r^{3} = T^{2}$
$r = T^{2/3}$
$r = \left(\frac{3}{365}\right)^{2/3} \approx \left(\frac{1}{121.67}\right)^{2/3} \approx \left(0.0082\right)^{2/3} \approx 0.04 \text{ AU}$.
अतः,ग्रह की कक्षा की त्रिज्या लगभग $0.04 \text{ AU}$ है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग $L$ अपनी कक्षा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
पेरिहेलियन $P$ और एफेलियन $A$ पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $L_P = L_A$,हमारे पास $m v_P r_P = m v_A r_A$ है,जिसका अर्थ है $\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}$।
अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और उत्केंद्रता $e$ वाले दीर्घवृत्त के लिए,निकटतम बिंदु (पेरिहेलियन) की दूरी $r_P = a(1-e)$ है और सबसे दूर के बिंदु (एफेलियन) की दूरी $r_A = a(1+e)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v_P}{v_A} = \frac{a(1+e)}{a(1-e)} = \frac{1+e}{1-e}$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्ताकार कक्षा में एक धूमकेतु के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$,पेरिहेलियन दूरी $(r_p)$ और एफेलियन दूरी $(r_a)$ का औसत होता है:
$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{0.4 + x}{2} \, AU$
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto a^3$
धूमकेतु की पृथ्वी के साथ तुलना करने पर ($T_e = 1 \, yr$,$a_e = 1 \, AU$):
$\left(\frac{T}{T_e}\right)^2 = \left(\frac{a}{a_e}\right)^3$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $(T = 125 \, yr)$:
$\left(\frac{125}{1}\right)^2 = \left(\frac{0.4 + x}{2 \times 1}\right)^3$
$(125)^2 = \left(\frac{0.4 + x}{2}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$(125)^{2/3} = \frac{0.4 + x}{2}$
$(5^3)^{2/3} = \frac{0.4 + x}{2}$
$5^2 = \frac{0.4 + x}{2}$
$25 = \frac{0.4 + x}{2}$
$50 = 0.4 + x$
$x = 50 - 0.4 = 49.6 \, AU$
अतः,एफेलियन दूरी $49.6 \, AU$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षा की त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है।
$T^2 \propto r^3$
इसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$ या $r \propto T^{2/3}$।
चूंकि $T$ का घातांक $2/3$ है (जो $1$ से कम है),इसलिए $r$ बनाम $T$ का ग्राफ नीचे की ओर अवतल (concave downwards) होगा।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $(4)$ एक ऐसा संबंध दर्शाता है जहाँ $r$,$T$ के साथ बढ़ता है लेकिन घटते ढाल के साथ (नीचे की ओर अवतल),जो गणितीय संबंध $r \propto T^{2/3}$ से मेल खाता है।
अतः,सही ग्राफ $(4)$ है।

(A) अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और अर्ध-लघु अक्ष $b$ वाले दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,अर्ध-लघु अक्ष $b$,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और उत्केंद्रता $e$ से $b = a\sqrt{1-e^2}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$A = \pi a^2 \sqrt{1-e^2}$।
चूंकि दी गई कक्षा के लिए $e$ एक स्थिरांक है,इसलिए $A \propto a^2$।
केप्लर के ग्रहीय गति के $III$ नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto a^3$
$a \propto T^{2/3}$
इसे क्षेत्रफल के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$A \propto (T^{2/3})^2$
$A \propto T^{4/3}$
इसलिए,दीर्घवृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $T^{4/3}$ के समानुपाती है।

(D) सही उत्तर $(D)$ है।
केप्लर का प्रथम नियम,जिसे कक्षाओं का नियम (Law of Orbits) भी कहा जाता है,यह बताता है कि सभी ग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में गति करते हैं,जिसमें सूर्य दीर्घवृत्त के दो फोकस में से एक पर स्थित होता है।

(C) केप्लर के तीसरे नियम (आवर्तकाल का नियम) के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल $T$ का वर्ग दीर्घवृत्ताकार कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के घन के समानुपाती होता है।
$T^2 \propto a^3$
सूर्य को एक फोकस पर रखने वाली दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,अधिकतम दूरी (अपसौर) $r_1 = a(1+e)$ और न्यूनतम दूरी (उपसौर) $r_2 = a(1-e)$ होती है,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
इन दोनों दूरियों को जोड़ने पर:
$r_1 + r_2 = a(1+e) + a(1-e) = 2a$
अतः,अर्ध-दीर्घ अक्ष है:
$a = \frac{r_1 + r_2}{2}$
इस मान को केप्लर के तीसरे नियम में रखने पर:
$T^2 \propto \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^3$
चूंकि $2^3$ एक स्थिरांक है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$T^2 \propto (r_1 + r_2)^3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T \propto (r_1 + r_2)^{3/2}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सूर्य द्वारा किसी ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
माना $\vec{r}$ सूर्य के सापेक्ष ग्रह का स्थिति सदिश है और $\vec{F}_g$ ग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = r F_g \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}_g$ के बीच का कोण है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,यह दोनों पिंडों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। इसलिए,बल सदिश $\vec{F}_g$ सूर्य की ओर निर्देशित होता है,जो स्थिति सदिश $\vec{r}$ के विपरीत है (अर्थात,$\theta = 180^{\circ}$)।
चूंकि $\sin(180^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए बल आघूर्ण $\tau = 0$ प्राप्त होता है।

(A) एक संचार उपग्रह का आवर्तकाल $T_c = 24 \, hrs$ होता है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग कक्षा की त्रिज्या के घन के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$।
माना $r_c$ संचार उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या है और $r_x$ उपग्रह $X$ की कक्षा की त्रिज्या है। दिया गया है कि $r_x = \frac{1}{4} r_c$,या $\frac{r_c}{r_x} = 4$।
केप्लर के नियम के अनुपात रूप का उपयोग करने पर: $\frac{T_c}{T_x} = \left( \frac{r_c}{r_x} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{24}{T_x} = (4)^{3/2}$।
चूंकि $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$,इसलिए $\frac{24}{T_x} = 8$।
अतः,$T_x = \frac{24}{8} = 3 \, hrs$।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$।
दिया गया है:
पृथ्वी के लिए: $T_1 = 1 \, \text{वर्ष}$,$R_1 = 1.5 \times 10^8 \, \text{km}$।
काल्पनिक ग्रह के लिए: $T_2 = 2.83 \, \text{वर्ष}$,$R_2 = ?$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
मान रखने पर:
$\left(\frac{2.83}{1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
चूंकि $2.83 \approx \sqrt{8}$,इसलिए $(2.83)^2 \approx 8$:
$8 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$2 = \frac{R_2}{1.5 \times 10^8}$
$R_2 = 2 \times 1.5 \times 10^8 = 3 \times 10^8 \, \text{km}$।
अतः,दूरी $3 \times 10^8 \, \text{km}$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \ hours$ और प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है।
नई त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{4}$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
मान रखने पर: $\left(\frac{24}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R}{R/4}\right)^3 = (4)^3 = 64$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{24}{T_2} = \sqrt{64} = 8$.
अतः,$T_2 = \frac{24}{8} = 3 \ hours$.

(D) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,जब कोई ग्रह सूर्य के करीब होता है तो वह तेजी से चलता है और जब वह दूर होता है तो धीमा हो जाता है।
इसलिए,दीर्घवृत्ताकार कक्षा में सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह की रैखिक चाल स्थिर नहीं रहती है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की चाल $v = \sqrt{GM/r}$ द्वारा दी जाती है,जो एक निश्चित त्रिज्या $r$ के लिए स्थिर है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि दीर्घवृत्ताकार कक्षा में ग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान किसी भी गिरते हुए पिंड की तुलना में बहुत अधिक है,जिससे इसका त्वरण और विस्थापन नगण्य हो जाता है।
अतः,गलत कथन $D$ है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ सूर्य से ग्रह की औसत दूरी के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
माना प्रारंभिक परिक्रमण काल $T_1 = 200 \text{ दिन}$ है और प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है।
नया परिक्रमण काल $T_2$ है और नई दूरी $r_2 = \frac{r}{4}$ है।
संबंध $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(200)^2}{r^3} = \frac{T_2^2}{(\frac{r}{4})^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{(\frac{r}{4})^3}{r^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{r^3}{64 \times r^3}$
$T_2^2 = \frac{(200)^2}{64}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T_2 = \frac{200}{\sqrt{64}}$
$T_2 = \frac{200}{8}$
$T_2 = 25 \text{ दिन}$.

(A) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(R)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
मान लीजिए $T_m$ और $R_m$ चंद्रमा का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं, और $T_s$ और $R_s$ उपग्रह का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $R_s = R_m / 9$ और $T_m = 27 \text{ दिन}$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\left(\frac{T_m}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_s}\right)^3$।
मान रखने पर: $\left(\frac{27}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_m / 9}\right)^3 = (9)^3 = 729$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{27}{T_s} = \sqrt{729} = 27$।
अतः, $T_s = \frac{27}{27} = 1 \text{ दिन}$।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दोनों पक्षों का लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \frac{\Delta R}{R}$.
त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = 1.03 R - R = 0.03 R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = 0.03$.
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \times 0.03$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन है: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3 \times 0.03}{2} \times 100 = 4.5 \%$.

(A) केप्लर का दूसरा नियम बताता है कि सूर्य से किसी ग्रह तक का त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है। इसका अर्थ है कि क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ स्थिर है।
क्षेत्रीय वेग का सूत्र $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूँकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ शून्य है $(\tau = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$।
चूँकि टॉर्क शून्य है,कोणीय संवेग $L$ समय के साथ स्थिर रहता है।
चूँकि $L$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ भी स्थिर रहता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सही है और कारण $(R)$ इसकी सही भौतिक व्याख्या प्रदान करता है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,समय अवधि $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी $r$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
दिया गया है कि मंगल की कक्षा की त्रिज्या $r_M = 4 \times r_{Me}$,जहाँ $r_{Me}$ बुध की कक्षा की त्रिज्या है।
समय अवधि का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{T_{Me}}{T_M} = \left(\frac{r_{Me}}{r_M}\right)^{3/2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{T_{Me}}{687} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$T_{Me} = \frac{687}{8} = 85.875$ दिन।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,बुध पर $1$ वर्ष की लंबाई लगभग $88$ पृथ्वी के दिन है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$।
यहाँ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है।
नई त्रिज्या $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ है।
संबंध $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$।
अतः, $T_2 = \frac{T_1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ घंटे}$।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
इसका अर्थ है कि $\frac{T_p^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$,जहाँ $T_p$ और $r_p$ ग्रह का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं,और $T_e$ तथा $r_e$ पृथ्वी के लिए हैं।
दिया गया है कि $T_p = 8 T_e$,इसलिए अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{(8 T_e)^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
$64 = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{r_p}{r_e} = (64)^{1/3} = 4$.
अतः,ग्रह की कक्षा की त्रिज्या और पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $4$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
उपग्रह $S_1$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या = $r$,आवर्तकाल = $T_1$।
उपग्रह $S_2$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या = $2r$,आवर्तकाल = $T_2$।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2}$
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}:1$ है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल का वर्ग $T^2$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $R^3$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दिया गया है कि ग्रह $A$ का परिक्रमण काल $(T_A)$, ग्रह $B$ के परिक्रमण काल $(T_B)$ का $8$ गुना है, अर्थात $T_A = 8 T_B$.
संबंध $\frac{T_A}{T_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^{3/2}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
मान रखने पर:
$(8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$
अतः, ग्रह $A$ की सूर्य से दूरी, ग्रह $B$ की सूर्य से दूरी की $4$ गुनी है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
यहाँ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5 \text{ घंटे}$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
नई त्रिज्या $r_2 = 4r$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
मान रखने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4r}{r}\right)^3 = (4)^3 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
अतः, नया आवर्तकाल होगा:
$T_2 = 8 \times T_1 = 8 \times 5 \text{ घंटे} = 40 \text{ घंटे}$.

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है।
इसलिए,$L_p = L_a$।
उपसौर (perihelion) कक्षा में सूर्य के सबसे निकट का बिंदु है और अपसौर (aphelion) सूर्य से सबसे दूर का बिंदु है।
इसलिए,$r_p < r_a$।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ संरक्षित है,इसलिए हमारे पास $m v_p r_p = m v_a r_a$ है।
चूंकि $r_p < r_a$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $v_p > v_a$।
अतः,सही संबंध $r_p < r_a, v_p > v_a, L_a = L_p$ है।

(D) जब कोई ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमता है,तो सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
चूंकि टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ है,इसलिए सूर्य के परितः ग्रह का कोणीय संवेग $\vec{L}$ संरक्षित रहता है।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,क्षेत्रीय वेग (प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल) कोणीय संवेग के समानुपाती होता है $(dA/dt = L/2m)$।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ और ग्रह का द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।
इसका अर्थ है कि प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल स्थिर होता है:
$\frac{A_{1}}{t_{1}} = \frac{A_{2}}{t_{2}} = \frac{A_{3}}{t_{3}}$
यहाँ $t_{1} = 2$ दिन,$t_{2} = 3$ दिन और $t_{3} = 6$ दिन दिए गए हैं,इसलिए:
$\frac{A_{1}}{2} = \frac{A_{2}}{3} = \frac{A_{3}}{6}$
इसे सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$6 \times \frac{A_{1}}{2} = 6 \times \frac{A_{2}}{3} = 6 \times \frac{A_{3}}{6}$
$3 A_{1} = 2 A_{2} = A_{3}$

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है। इसका तात्पर्य यह है कि ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr \sin(\theta)$ स्थिर है,जहां $m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$v$ इसकी रैखिक गति है,$r$ सूर्य से दूरी है,और $\theta$ स्थिति सदिश और वेग सदिश के बीच का कोण है।
पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकटतम बिंदु) पर,दूरी $r$ न्यूनतम होती है।
इसलिए,कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,इस बिंदु पर रैखिक गति $v$ अधिकतम होनी चाहिए।
दी गई आकृति में,बिंदु $A$ सूर्य के सबसे निकट है।
अतः,ग्रह की रैखिक गति बिंदु $A$ पर अधिकतम है।

(A) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $(\tau)$,$\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है जो ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है,इसलिए टॉर्क शून्य $(\tau = 0)$ होता है।
संबंध $\tau = \frac{dL}{dt}$ से,यदि $\tau = 0$ है,तो $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $L$ स्थिर है।
जैसे-जैसे ग्रह एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है,सूर्य से उसकी दूरी बदलती रहती है,जिससे उसकी रैखिक गति,कोणीय गति और गतिज ऊर्जा समय के साथ बदलती रहती है।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं और कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
अर्थात,$\frac{dA}{dt} = \text{नियतांक}$.
चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए $r$ सूर्य के सापेक्ष ग्रह का स्थिति सदिश है और $F$ सूर्य के कारण ग्रह पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है।
इस बल द्वारा सूर्य के परितः ग्रह पर लगने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ है:
$\tau = r \times F = 0$
(चूंकि $r$ और $F$ एक ही रेखा पर स्थित हैं)।
हम जानते हैं कि टॉर्क कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt}$
चूंकि $\tau = 0$,इसलिए $\frac{dL}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $L = \text{नियतांक}$।
अतः,केप्लर का दूसरा नियम कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(C) मान लीजिए कि $T_A$ और $T_B$ क्रमशः सूर्य के चारों ओर ग्रह $A$ और $B$ के परिक्रमण काल हैं। दिया गया है कि $T_A = 8 T_B$ है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग सूर्य से दूरी के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$ है।
इसलिए,$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{8 T_B}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$8^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सूर्य से ग्रह $A$ की दूरी,सूर्य से ग्रह $B$ की दूरी की $4$ गुनी है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,केंद्रीय बल क्षेत्र में गति करने वाले ग्रह या उपग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है।
गणितीय रूप से,क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि $L = mvr \sin \theta$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{mvr \sin \theta}{2m} = \frac{vr \sin \theta}{2}$.
जैसा कि अंतिम व्यंजक में देखा जा सकता है,द्रव्यमान $m$ कट जाता है।
अतः,क्षेत्रीय वेग उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि यह $m^0$ के समानुपाती है।

(C) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। किसी क्षेत्र को तय करने में लगा समय उस क्षेत्र के समानुपाती होता है।
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। यहाँ $a = 2b$ है।
सूर्य फोकस $S(ae, 0)$ पर स्थित है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$S = (\sqrt{3}, 0)$ है।
पथ $bed$,$S$ से चाप $bed$ तक त्रिज्या सदिश द्वारा तय किए गए क्षेत्र के अनुरूप है। दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल $A = \pi ab$ है।
पथ $bed$ में त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $A_{bed}$ है।
क्षेत्रीय वेग के गुण का उपयोग करते हुए,लिया गया समय तय किए गए क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। पथ $bed$ और $dab$ के लिए क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद,समय का अनुपात प्राप्त होता है। $T_{bed} = 24$ घंटे = $1440$ मिनट दिए गए हैं,गणना करने पर $T_{dab} = 804$ मिनट प्राप्त होता है।

(B) क्षेत्रीय वेग $A$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि $r$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,इसलिए:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
समीकरण में $L$ का मान रखने पर:
$MA = \frac{1}{2} L$
अतः,कोणीय संवेग $L$ होगा:
$L = 2MA$

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
मान लीजिए प्रारंभिक कक्षा की त्रिज्या $r_1$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है (क्योंकि यह एक भूस्थिर उपग्रह है)।
मान लीजिए नई कक्षा की त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है।
हमें नया आवर्तकाल $T_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
मान रखने पर: $\frac{T_2^2}{24^2} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^3 = 2^3 = 8$.
$T_2^2 = 8 \times 24^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $T_2 = \sqrt{8} \times 24 = 2\sqrt{2} \times 24 = 48\sqrt{2} \text{ घंटे}$.

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
मान लीजिए $R_1 = R$ त्रिज्या के लिए आवर्तकाल $T_1$ है और $R_2 = 1.02 R$ त्रिज्या के लिए आवर्तकाल $T_2$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 0.02$ और $n = 1.5$ है:
$\frac{T_2}{T_1} \approx 1 + (1.5 \times 0.02) = 1 + 0.03 = 1.03$।
इसका अर्थ है $T_2 \approx 1.03 T_1$।
प्रतिशत अंतर $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(1.03 - 1) \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$।

(C) क्षेत्रीय वेग $\frac{d A}{d t}$ का सूत्र $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ होता है।
यह सूत्र कोणीय संवेग $L = mvr = mr^2 \omega$ से प्राप्त होता है,जहाँ क्षेत्रीय वेग $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2m} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ होता है।
चूँकि $\frac{1}{2}$ एक नियतांक है,इसलिए $\frac{d A}{d t} \propto r^2 \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $\frac{d A}{d t} \propto \omega r^2$ है।

(C) दीर्घवृत्ताकार कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$,अधिकतम दूरी $(r_{max} = R)$ और न्यूनतम दूरी $(r_{min} = R/3)$ का औसत है:
$a = \frac{R + R/3}{2} = \frac{4R/3}{2} = \frac{2R}{3}$
केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$
$a$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2R/3)^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R^3}{27GM}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{8R^3}{27GM} = \frac{32\pi^2}{27GM} \cdot R^3$
$T^2 = \alpha R^3$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = \frac{32\pi^2}{27GM}$

(A) केप्लर के दूसरे नियम (क्षेत्रफल का नियम) के अनुसार,सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दिए गए चित्र में,सूर्य $(S)$ दीर्घवृत्ताकार कक्षा के एक फोकस पर स्थित है।
ग्रह द्वारा $DAB$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल,चाप $DAB$ और रेखाओं $SD$ तथा $SB$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
ग्रह द्वारा $BCD$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल,चाप $BCD$ और रेखाओं $SB$ तथा $SD$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
चूंकि सूर्य भुजा $A$ के करीब है,इसलिए $DAB$ पथ में ग्रह द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $BCD$ पथ में तय किए गए क्षेत्रफल से कम है।
इसलिए,$DAB$ पथ तय करने में लगा समय $BCD$ पथ तय करने में लगे समय से कम है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
चूंकि कोणीय गति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $T = \frac{2\pi}{\omega}$। इस मान को नियम में रखने पर:
$(\frac{2\pi}{\omega})^2 \propto r^3 \Rightarrow \frac{1}{\omega^2} \propto r^3 \Rightarrow r^3 \omega^2 = \text{स्थिरांक}$।
पृथ्वी $(E)$ और ग्रह $(P)$ के लिए:
$r_E^3 \omega_E^2 = r_P^3 \omega_P^2$
यहाँ $r_E = R$ और $\omega_P = 2\omega_E$ दिया गया है:
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (2\omega_E)^2$
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (4\omega_E^2)$
$R^3 = 4 r_P^3$
$r_P^3 = \frac{R^3}{4} = \frac{R^3}{2^2}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r_P = \frac{R}{2^{2/3}} = 2^{-2/3} R$.

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग सूर्य से उसकी औसत दूरी $(R)$ के घन के समानुपाती होता है।
$T^{2} \propto R^{3}$
माना पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_{1} = D$ है जो $L_{1}$ दूरी पर है,और दूसरे ग्रह का परिक्रमण काल $T_{2}$ है जो $L_{2}$ दूरी पर है।
अतः,$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{L_{2}^{3}}{L_{1}^{3}}$
$\frac{T_{2}^{2}}{D^{2}} = \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
$T_{2}^{2} = D^{2} \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T_{2} = D \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3/2} \text{ दिन}$.

(B) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$M$ द्रव्यमान वाले तारे के चारों ओर $R$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले ग्रह का आवर्तकाल $T$,$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T \propto \sqrt{\frac{R^3}{M}}$.
ग्रह $P_1$ के लिए: $T_1 \propto \sqrt{\frac{R^3}{2M}}$.
ग्रह $P_2$ के लिए: $T_2 \propto \sqrt{\frac{(2R)^3}{4M}} = \sqrt{\frac{8R^3}{4M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M}}$.
अनुपात $\frac{T_2}{T_1}$ लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{2R^3/M}}{\sqrt{R^3/2M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M} \cdot \frac{2M}{R^3}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$P_2$ और $P_1$ के परिक्रमण काल का अनुपात $2$ है।