પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ માં થતા ફેરફાર માટેનું સમીકરણ તારવો.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ $m$ દળનો એક પદાર્થ છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_{E}$ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = (R_{E} - d)$ છે.
$d$ જાડાઈના બાહ્ય કવચને કારણે $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર $(R_{E} - d)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આંતરિક ગોળા દ્વારા જ લાગે છે.
પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ સમાન છે તેમ ધારતા,આંતરિક ગોળાનું દળ $M_{s}$ નીચે મુજબ મળે:
$M_{s} = \frac{4}{3} \pi (R_{E} - d)^{3} \rho$ $......(1)$
પૃથ્વીનું કુલ દળ $M_{E}$:
$M_{E} = \frac{4}{3} \pi R_{E}^{3} \rho$ $......(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{M_{s}}{M_{E}} = \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$
$M_{s} = M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$ $......(3)$
$d$ ઊંડાઈએ $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F(d)$:
$F(d) = \frac{G M_{s} m}{(R_{E} - d)^{2}}$ $......(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $M_{s}$ ની કિંમત સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$F(d) = \frac{G m}{(R_{E} - d)^{2}} \left[ M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}} \right]$
$F(d) = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
અહીં $F(d) = m g_{d}$,જ્યાં $g_{d}$ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે:
$m g_{d} = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
$g_{d} = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$
સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ હોવાથી:
$g_{d} = g \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$