પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવો અને પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સમીકરણ તારવો.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વી એ અસંખ્ય કેન્દ્રીય ગોલીય કવચોની બનેલી છે,જેમાં સૌથી નાનું કવચ કેન્દ્ર પર અને સૌથી મોટું સપાટી પર છે.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ માટે,તે તમામ કવચોની બહાર છે. તેથી,બધા કવચો બહારના બિંદુ પર એવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે જાણે કે તેમનું દળ તેમના સામાન્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય.
પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,પરિસ્થિતિ અલગ છે. ધારો કે પૃથ્વી કેન્દ્રીય કવચોની બનેલી છે. $m$ દળનો એક પદાર્થ કેન્દ્રથી $r$ $(r < R_E)$ અંતરે બિંદુ $P$ પર સ્થિત છે. બિંદુ $P$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની બહાર છે. $r$ કરતા મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતા કવચો માટે,બિંદુ $P$ અંદરની તરફ છે. તેથી,આ બાહ્ય કવચો દ્વારા $P$ પર રાખેલા દળ $m$ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી.
જો $P$ પરના કણનું દળ $m$ હોય અને $r$ ત્રિજ્યાના આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r$ હોય,તો $P$ પરના દળ $m$ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય:
$F = \frac{G m M_r}{r^2}$
ધારો કે સમગ્ર પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તો તેનું કુલ દળ $M_E = (\frac{4}{3} \pi R_E^3) \rho$ છે.
તેથી,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$.
આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho = (\frac{4}{3} \pi r^3) \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3} = M_E \frac{r^3}{R_E^3}$ થાય.
બળના સમીકરણમાં $M_r$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = \frac{G m}{r^2} (M_E \frac{r^3}{R_E^3}) = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$.
કારણ કે $F = mg_r$,તેથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_r = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ મળે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R_E$ લેતા:
$g = \frac{G M_E R_E}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2}$.