Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(B) माना घन का कुल आयतन $V$ है और पानी में डूबा हुआ आयतन $V_1$ है। दूसरे द्रव में डूबा हुआ आयतन $(V - V_1)$ होगा।
घन के संतुलन में रहने के लिए,घन का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बलों के योग के बराबर होना चाहिए।
$Weight = F_{B,liquid} + F_{B,water}$
$V \rho_{cube} g = (V - V_1) \rho_{liquid} g + V_1 \rho_{water} g$
$g$ से विभाजित करने और दिए गए मानों को रखने पर:
$V \times 0.9 = (V - V_1) \times 0.7 + V_1 \times 1.0$
$0.9 V = 0.7 V - 0.7 V_1 + 1.0 V_1$
$0.9 V - 0.7 V = 0.3 V_1$
$0.2 V = 0.3 V_1$
$\frac{V_1}{V} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$
अतः,घन का $2/3$ भाग पानी में डूबा हुआ है।

(A) माना हिमखंड का कुल आयतन $V$ है और समुद्र के पानी में डूबा हुआ आयतन $V_{\text{sub}}$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार, हिमखंड का भार उसके द्वारा विस्थापित समुद्र के पानी के भार के बराबर होता है।
$V \cdot \rho_{\text{ice}} \cdot g = V_{\text{sub}} \cdot \rho_{\text{sea water}} \cdot g$
$V \cdot 0.9 = V_{\text{sub}} \cdot 1.1$
$V_{\text{sub}} = \frac{0.9}{1.1} V = \frac{9}{11} V$
पानी के बाहर का आयतन $V_{\text{unsub}} = V - V_{\text{sub}} = V - \frac{9}{11} V = \frac{2}{11} V$ है।
हिमखंड का पानी के बाहर रहने वाला प्रतिशत भाग $\left( \frac{V_{\text{unsub}}}{V} \right) \times 100 = \left( \frac{2}{11} \right) \times 100 \approx 18.18 \%$ है।

(D) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$,आयतन $V$ और घनत्व $\varrho$ है। अतः,$m = V \varrho$ है।
जब गोले को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो द्रव की सतह से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v^2 = 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव के अंदर,गोले पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल $F_B = V \sigma g$ (ऊपर की ओर) हैं।
द्रव के अंदर गोले पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_B - mg = V \sigma g - V \varrho g = Vg(\sigma - \varrho)$ है।
द्रव के अंदर गोले का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \varrho)}{V \varrho} = g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ है।
चूँकि उत्प्लावन बल भार से अधिक है $(\sigma > \varrho)$,गोला मंदित होगा।
मान लीजिए अधिकतम गहराई $d$ है। गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_f = 0$ (अधिकतम गहराई पर),$v_i^2 = 2gh$,और $a = -g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ है:
$0 = 2gh - 2 \left( g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho} \right) d$।
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{h \varrho}{(\sigma - \varrho)}$।

(B) बेलन के संतुलन में तैरने के लिए, बेलन का कुल भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए.
मान लीजिए $A$ बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $d$ इसका घनत्व है.
बेलन का भार $W = (\text{आयतन}) \times (\text{घनत्व}) \times g = (A \ell) d g$.
ऊपरी द्रव (घनत्व $\varrho$) से उत्प्लावन बल: $F_1 = (\text{ऊपरी द्रव में डूबा आयतन}) \times \varrho \times g = A (\ell - \ell/4) \varrho g = A (3\ell/4) \varrho g$.
निचले द्रव (घनत्व $3\varrho$) से उत्प्लावन बल: $F_2 = (\text{निचले द्रव में डूबा आयतन}) \times (3\varrho) \times g = A (\ell/4) (3\varrho) g = A (3\ell/4) \varrho g$.
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर करने पर: $A \ell d g = A (3\ell/4) \varrho g + A (3\ell/4) \varrho g$.
$d \ell = (3\ell/4) \varrho + (3\ell/4) \varrho = (6\ell/4) \varrho = (3/2) \varrho \ell$.
अतः, $d = \frac{3}{2} \varrho$.

(D) बेलन की निचली सतह पर द्रव द्वारा लगाया गया बल,बेलन द्वारा विस्थापित द्रव के भार और बेलन की ऊपरी सतह पर द्रव के स्तंभ के कारण लगने वाले बल के योग के बराबर होता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B = \rho V g$ है।
बेलन के ऊपर द्रव स्तंभ के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $F_{top} = P_{top} \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2)$ है।
बेलन पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B + F_{top} = \rho V g + \rho g h \pi R^2$ है।
अतः,बेलन के निचले भाग पर लगने वाला बल $F_{bottom} = \rho g (V + \pi R^2 h)$ है।

(A) गेंद स्थिर वेग से गति कर रही है। इसलिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
मान लीजिए गेंद का घनत्व $\rho_b$ है और तरल का घनत्व $\rho_l = 3\rho_b$ है।
गेंद का भार $W = V \rho_b g$ है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
जैसे ही गेंद ऊपर उठती है,उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपर की ओर कार्य करता है और श्यान बल (घर्षण) $F_v$ भार $W$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_l g = V (3\rho_b) g = 3 V \rho_b g$ है।
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए कुल बल शून्य है:
$F_B = W + F_v$
$F_v = F_B - W = 3 V \rho_b g - V \rho_b g = 2 V \rho_b g$.
घर्षण बल और भार का अनुपात है:
$\frac{F_v}{W} = \frac{2 V \rho_b g}{V \rho_b g} = \frac{2}{1}$.

(A) माना पिंड का आयतन $V$ है। जब पिंड झील की सतह से टकराता है,तो उसका वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ होता है।
पानी के अंदर,पिंड पर कार्य करने वाले बल उसका भार $W = \rho V g$ (नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल $F_B = \sigma V g$ (ऊपर की ओर) हैं।
शुद्ध ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B - W = Vg(\sigma - \rho)$ है।
पानी के अंदर पिंड का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \rho)}{\rho V} = \frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$ है।
चूंकि बल ऊपर की ओर है,त्वरण ऊपर की ओर (गति के विपरीत) कार्य करता है,इसलिए $a = -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$।
माना अधिकतम गहराई $H$ है। इस गहराई पर,अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aH$ का उपयोग करते हुए:
$0 - (\sqrt{2gh})^2 = 2 \left( -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho} \right) H$
$-2gh = -\frac{2g(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$h = \frac{(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$H = \frac{h \rho}{(\sigma - \rho)}$.

(D) मान लीजिए वस्तु का आयतन $V$ है। जब वस्तु $h$ ऊँचाई से गिरती है,तो पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले उसका वेग $v^2 = 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
जब वस्तु पानी में प्रवेश करती है,तो वह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V \delta g$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = V \rho g$ का अनुभव करती है।
शुद्ध ऊपर की ओर बल (अवमंदक बल) $F_{net} = F_B - W = Vg(\delta - \rho)$ है।
पानी में वस्तु का मंदन $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\delta - \rho)}{V \rho} = g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right)$ है।
मान लीजिए अधिकतम गहराई $d$ है। गति के समीकरण $v^2 = 2ad$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $v$ सतह पर वेग है और $a$ मंदन है),हमें $2gh = 2 \left[ g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right) \right] d$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,हमें $d = \frac{h \rho}{(\delta - \rho)}$ प्राप्त होता है।

(A) जब ब्लॉक को उसकी संतुलन स्थिति से $x$ की छोटी दूरी तक ऊर्ध्वाधर रूप से विस्थापित किया जाता है,तो विस्थापित द्रव का अतिरिक्त आयतन $V = A x$ होता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \rho V g = \rho (A x) g$ है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F_{\text{restoring}} = -\rho A g x$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = M a$,जहाँ $M$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
अतः,$M a = -\rho A g x$,जिससे $a = -(\frac{\rho A g}{M}) x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ है।
चूंकि आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ है,इसलिए $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ होगा।
अतः,$n \propto \sqrt{A}$।

(A) प्लवन के नियम के अनुसार,किसी द्रव में तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
माना $V$ हिमखंड का कुल आयतन है और $V_{sub}$ पानी में डूबा हुआ आयतन है।
हिमखंड का भार = $V \cdot \rho_{i} \cdot g$
विस्थापित पानी का भार = $V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
दोनों को बराबर करने पर: $V \cdot \rho_{i} \cdot g = V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
डूबे हुए आयतन का अंश $\frac{V_{sub}}{V} = \frac{\rho_{i}}{\rho_{w}}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{i} = 0.917 \ g \ cm^{-3}$ और $\rho_{w} = 1.00 \ g \ cm^{-3}$।
अतः,$\frac{V_{sub}}{V} = \frac{0.917}{1.00} = 0.917$।

(B) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल $F_b = V \rho g$ होता है,जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी का घनत्व $4 \ ^\circ C$ पर अधिकतम $(\rho_4 \approx 1000 \ kg/m^3)$ होता है और $0 \ ^\circ C$ पर कम $(\rho_0 \approx 999.8 \ kg/m^3)$ होता है।
चूंकि एल्युमिनियम के गोले का आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $0 \ ^\circ C$ पर उत्प्लावन बल $F_b = V \rho_0 g$ और $4 \ ^\circ C$ पर $F'_b = V \rho_4 g$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $\rho_0 < \rho_4$,इसलिए $F_b < F'_b$ प्राप्त होता है।
अतः,$0 \ ^\circ C$ पर पानी में उत्प्लावन बल $4 \ ^\circ C$ पर पानी की तुलना में कम होता है।

(B) प्लवन के नियम के अनुसार,संतुलन में तैरने वाली वस्तु के लिए,वस्तु का भार उत्प्लावन बल (विस्थापित द्रव का भार) के बराबर होता है।
मान लीजिए $V$ प्रत्येक ठोस का कुल आयतन है,$\rho_P$ और $\rho_Q$ उनके घनत्व हैं,और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
ठोस $P$ के लिए: $V \rho_P g = (V/2) \rho_w g \Rightarrow \rho_P = \frac{1}{2} \rho_w$.
ठोस $Q$ के लिए: $V \rho_Q g = (2V/3) \rho_w g \Rightarrow \rho_Q = \frac{2}{3} \rho_w$.
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_P}{\rho_Q} = \frac{\frac{1}{2} \rho_w}{\frac{2}{3} \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ है।

(A) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी तरल में डूबी हुई वस्तु के भार में आभासी कमी उस वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है।
भार में कमी $w = V \rho_{w} g$,जहाँ $V$ वस्तु का आयतन है और $\rho_{w}$ पानी का घनत्व है।
चूंकि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए $m = V_{iron} \rho_{iron} = V_{lead} \rho_{lead}$ होगा।
अतः,आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ होगा।
इस मान को भार में कमी के सूत्र में रखने पर: $w = \frac{m}{\rho} \rho_{w} g = m g \frac{\rho_{w}}{\rho}$।
लोहे के गोले के लिए,$w_{1} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{iron}}$।
सीसे के गोले के लिए,$w_{2} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{lead}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{w_{1}}{w_{2}} = \frac{\rho_{lead}}{\rho_{iron}}$।
चूंकि सीसे का घनत्व लोहे के घनत्व से अधिक है $(\rho_{lead} > \rho_{iron})$,इसलिए $\frac{w_{1}}{w_{2}} > 1$ होगा।

(D) मान लीजिए $W_s$ और $W_a$ हवा में स्टील और एल्युमीनियम के वजन हैं,और $V_s$ और $V_a$ उनके आयतन हैं। पानी का घनत्व $\rho_w$ है। पानी में डुबोने पर,आभासी वजन $W_{app} = W - V\rho_w g$ होता है। दिया गया है कि आभासी वजन समान हैं: $W_s - V_s \rho_w g = W_a - V_a \rho_w g$। चूंकि $W = V \rho g$ है,इसलिए $V = W / (\rho g)$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$W_s - (W_s / \rho_s) \rho_w g = W_a - (W_a / \rho_a) \rho_w g$,जो सरल होकर $W_s(1 - \rho_w / \rho_s) = W_a(1 - \rho_w / \rho_a)$ बन जाता है। चूंकि स्टील का घनत्व $\rho_s \approx 7800 \ kg/m^3$ एल्युमीनियम के घनत्व $\rho_a \approx 2700 \ kg/m^3$ से बहुत अधिक है,इसलिए $(1 - \rho_w / \rho_s)$ पद $(1 - \rho_w / \rho_a)$ से बड़ा है। इसलिए,समानता बनाए रखने के लिए $W_s$ को $W_a$ से कम होना चाहिए। अतः,हवा में एल्युमीनियम का टुकड़ा अधिक वजन का होता है।

(B) किसी वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (upthrust) वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। उत्प्लावन बलों का अनुपात द्रवों के घनत्व (या विशिष्ट गुरुत्व) के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{\text{द्रव में उत्प्लावन बल}}{\text{पानी में उत्प्लावन बल}} = \frac{\text{द्रव का विशिष्ट गुरुत्व}}{\text{पानी का विशिष्ट गुरुत्व}}$
पानी में उत्प्लावन बल $= 50 \,g - 40 \,g = 10 \,g$.
मान लीजिए द्रव में उत्प्लावन बल $x$ है।
$\frac{x}{10 \,g} = \frac{1.5}{1}$
$x = 15 \,g$.
द्रव में वस्तु का भार इस प्रकार दिया जाता है: $\text{हवा में भार} - \text{द्रव में उत्प्लावन बल}$.
भार $= 50 \,g - 15 \,g = 35 \,g$.

(B) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान $m = 10 \ kg$,दूरी $S = 2 \ m$,समय $t = 1 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times a \times (1)^2$
$2 = \frac{1}{2}a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
अब,डूबती हुई वस्तु के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$mg - F_B = ma$
जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = m(g - a) = 10 \times (10 - 4) = 10 \times 6 = 60 \ N$.
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_B = m_{liquid} \times g$
$60 = m_{liquid} \times 10$
$m_{liquid} = 6 \ kg$.

(D) तैरती हुई वस्तु के लिए, वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। यह इस सिद्धांत द्वारा दिया गया है: $\rho_s V g = \rho_f V_{sub} g$, जहाँ $\rho_s$ ठोस का घनत्व है, $\rho_f$ द्रव का घनत्व है, और $V_{sub}$ डूबा हुआ आयतन है।
$1$. पानी में: $\rho_s V g = \rho_w (0.5 V) g$.
दिया गया है $\rho_w = 1000 \,kg \,m^{-3}$, इसलिए $\rho_s = 0.5 \times 1000 = 500 \,kg \,m^{-3}$ है।
$2$. तेल में: $\rho_s V g = \rho_{oil} (0.8 V) g$.
$\rho_s = 500 \,kg \,m^{-3}$ रखने पर, हमें $500 = 0.8 \times \rho_{oil}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\rho_{oil} = \frac{500}{0.8} = 625 \,kg \,m^{-3}$ है।

(C) प्लवन के नियम के अनुसार,पिंड का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए पिंड का घनत्व $\rho$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ $(1000 \ kg/m^3)$ है।
जब पानी पर तैरता है,तो डूबा हुआ आयतन $V_{sub} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$ है।
पिंड का भार = विस्थापित पानी का भार $\Rightarrow V \rho g = V_{sub} \rho_w g$.
$V \rho = \frac{2}{3}V \rho_w \Rightarrow \rho = \frac{2}{3} \rho_w = \frac{2}{3} \times 1000 = \frac{2000}{3} \ kg/m^3$.
अब,पिंड $1.5$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव पर तैरता है,इसलिए द्रव का घनत्व $\rho_l = 1.5 \times 1000 = 1500 \ kg/m^3$ है।
मान लीजिए इस द्रव में डूबा हुआ आयतन $V'_{sub}$ है।
$V \rho g = V'_{sub} \rho_l g \Rightarrow V \times \frac{2000}{3} = V'_{sub} \times 1500$.
$V'_{sub} = V \times \frac{2000}{3 \times 1500} = V \times \frac{2000}{4500} = \frac{4}{9}V$.
सतह के ऊपर का आयतन $V_{above} = V - V'_{sub} = V - \frac{4}{9}V = \frac{5}{9}V$ होगा।

(A) प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,फ्लास्क का वजन और उसके अंदर के पानी का वजन,फ्लास्क द्वारा विस्थापित पानी के वजन के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $V_{ext}$ फ्लास्क का बाहरी आयतन (विस्थापित पानी का आयतन) है।
फ्लास्क का द्रव्यमान $m_f = 390 \ g$ है।
अंदर के पानी का आयतन $V_w = 250 \ cm^3$ है।
अंदर के पानी का द्रव्यमान $m_w = \rho_w \times V_w = 1 \times 250 = 250 \ g$ है।
निकाय का कुल वजन = $(390 + 250) \ g = 640 \ g$ है।
चूंकि फ्लास्क तैर रहा है,उत्प्लावन बल कुल वजन के बराबर है,इसलिए विस्थापित पानी का द्रव्यमान $640 \ g$ है।
इस प्रकार,फ्लास्क का बाहरी आयतन $V_{ext} = 640 \ cm^3$ है।
कांच के पदार्थ का आयतन $V_{glass} = V_{ext} - V_{internal} = 640 - 500 = 140 \ cm^3$ है।
कांच का घनत्व $\rho_{glass} = \frac{m_f}{V_{glass}} = \frac{390}{140} \approx 2.785 \ g/cm^3$ है।
विशिष्ट गुरुत्व = $\frac{\rho_{glass}}{\rho_w} = \frac{2.785}{1} \approx 2.8$ है।

(B) माना लकड़ी के गुटके का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\sigma$ है। माना पानी का घनत्व $\rho$ है।
प्रारंभ में,गुटका पानी में $(4/5)V$ आयतन के साथ तैरता है। प्लवन के नियम के अनुसार,गुटके का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$V \sigma g = (4/5)V \rho g$
$\sigma = (4/5) \rho$ ...$(i)$
जब तेल डाला जाता है,तो गुटका इस प्रकार डूबता है कि उसका आधा आयतन $(V/2)$ पानी में और आधा $(V/2)$ तेल में रहता है। माना तेल का घनत्व $\rho_o$ है।
कुल उत्प्लावन बल गुटके के भार के बराबर होता है:
$V \sigma g = (V/2) \rho g + (V/2) \rho_o g$
समीकरण $(i)$ से $\sigma = (4/5) \rho$ रखने पर:
$(4/5) V \rho = (1/2) V \rho + (1/2) V \rho_o$
$V$ से भाग देने और $2$ से गुणा करने पर:
$(8/5) \rho = \rho + \rho_o$
$\rho_o = (8/5 - 1) \rho = (3/5) \rho$
अतः,पानी के सापेक्ष तेल का घनत्व $3/5$ है।

(C) दिया गया है कि,वस्तु का $(1/3)$ भाग पानी की सतह के ऊपर है।
इसलिए,पानी के बाहर वस्तु का आयतन $V_o = (1/3)V$ है,जहाँ $V$ वस्तु का कुल आयतन है।
इसलिए,पानी के अंदर वस्तु का आयतन $V_i = V - V_o = V - (V/3) = (2V/3)$ है।
मान लीजिए वस्तु का घनत्व $\sigma$ है और पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार उत्प्लावन बल $(F_B)$ द्वारा संतुलित होता है।
$W = F_B$
$Mg = V_i \rho g$
चूंकि द्रव्यमान $M = V \sigma$,हमारे पास है:
$V \sigma g = V_i \rho g$
$\sigma = (V_i / V) \rho$
मान रखने पर:
$\sigma = \frac{(2V/3)}{V} \times 10^3 = \frac{2}{3} \times 10^3 = \frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$.
अतः,ठोस का घनत्व $\frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$ है।

(D) किसी तरल में डूबी हुई वस्तु का आभासी भार इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = W_{actual} - F_B$, जहाँ $W_{actual}$ वास्तविक भार है और $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$V$ आयतन और $\rho_{obj}$ घनत्व वाली वस्तु के लिए, जो $\rho_{fluid}$ घनत्व वाले तरल में डूबी है, उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_{fluid} g$ होता है।
थैली का वास्तविक भार $W_{actual} = m g = V \rho_{obj} g$ है।
चूंकि थैली में पानी भरा है, इसलिए वस्तु (पानी) का घनत्व आसपास के तरल (पानी) के घनत्व के बराबर है, अर्थात $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$।
इसलिए, $W_{app} = V \rho_{obj} g - V \rho_{fluid} g = 0$।
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $0 \,kg$ होगा।

(D) $\text{ब्लॉक का द्रव्यमान},m = 0.5 \,kg$.
$\text{पीतल का घनत्व},\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$.
$\text{ब्लॉक का आयतन},V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{8 \times 10^3} = 6.25 \times 10^{-5} \,m^3$.
$\text{जब ब्लॉक पूरी तरह से पानी में डूबा होता है,तो उस पर लगने वाला उत्प्लावन बल } F_b \text{ विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है}:$
$F_b = V \cdot \rho_w \cdot g = (6.25 \times 10^{-5} \,m^3) \times (10^3 \,kg \,m^{-3}) \times (10 \,ms^{-2}) = 0.625 \,N$.
$\text{डोरी में तनाव } T,\text{ब्लॉक के भार और उत्प्लावन बल का अंतर होता है}:$
$T = mg - F_b = (0.5 \,kg \times 10 \,ms^{-2}) - 0.625 \,N = 5 \,N - 0.625 \,N = 4.375 \,N$.
$\text{भिन्न में बदलने पर}: 4.375 = \frac{4375}{1000} = \frac{35}{8} \,N$.

(D) धातु के ब्लॉक का घनत्व,$\rho = 5 \text{ g cm}^{-3}$।
ब्लॉक का आयतन,$V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$।
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = \rho \times V = 5 \times 125 = 625 \text{ g}$।
हवा में ब्लॉक का भार,$W = m \times g = 625 \text{ gf}$।
पानी में धातु के ब्लॉक पर लगने वाला उत्प्लावन बल,$F_u = \text{विस्थापित पानी का आयतन} \times \text{पानी का घनत्व} \times g$।
चूंकि $\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}$,इसलिए $F_u = 125 \text{ cm}^3 \times 1 \text{ g cm}^{-3} = 125 \text{ gf}$।
आभासी भार = हवा में भार - उत्प्लावन बल।
आभासी भार $= 625 \text{ gf} - 125 \text{ gf} = 500 \text{ gf}$।
इसे दिए गए प्रारूप में व्यक्त करने पर: $500 = 5 \times 5 \times 5 \times 4 \text{ gf}$।

(D) आर्किमिडीज का ऊपर की ओर बल (उत्प्लावन बल) को किसी वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, उत्प्लावन बल $F_B = V \rho g$ है, जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है, $\rho$ तरल का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि गुरुत्वाकर्षण न हो, तो $g = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि उत्प्लावन बल $F_B = 0$ होगा।
श्यानता, पृष्ठ तनाव, और दाब (अंतराण्विक बलों या बाहरी दाब के कारण स्थिर तरल में) अपने अस्तित्व के लिए गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर नहीं करते हैं।
इसलिए, गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में आर्किमिडीज का ऊपर की ओर बल मौजूद नहीं होगा।

(C) मान लीजिए $V$ वस्तु का आयतन है,$\rho_b$ वस्तु का घनत्व है,$\rho_w$ पानी का घनत्व $(1000 \,kg/m^3)$ है,और $\rho_l$ तरल का घनत्व है।
हवा में: $T_1 = V \rho_b g = 40.2 \,N$.
पानी में: $T_2 = V(\rho_b - \rho_w)g = 28.4 \,N$.
पानी में उत्प्लावन बल: $F_{Bw} = T_1 - T_2 = 40.2 - 28.4 = 11.8 \,N$.
चूंकि $F_{Bw} = V \rho_w g$,इसलिए $V g = 11.8 / 1000 = 0.0118 \,m^3 \cdot kg/m^3 \cdot m/s^2$.
तरल में: $T_3 = V(\rho_b - \rho_l)g = 16.6 \,N$.
तरल में उत्प्लावन बल: $F_{Bl} = T_1 - T_3 = 40.2 - 16.6 = 23.6 \,N$.
चूंकि $F_{Bl} = V \rho_l g$,इसलिए $V \rho_l g = 23.6 \,N$.
दोनों उत्प्लावन बल समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{V \rho_l g}{V \rho_w g} = \frac{23.6}{11.8} = 2$.
अतः,$\rho_l = 2 \rho_w = 2 \times 1000 \,kg/m^3 = 2000 \,kg/m^3$.

(D) माना $R$ गोले की त्रिज्या है और $r$ गुहा की त्रिज्या है।
दिया गया है: $R = 2 \ cm$,पदार्थ का सापेक्ष घनत्व $\rho_s = 8$,पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \ g/cm^3$.
गोला पानी में डूब जाता है,जिसका अर्थ है कि इसका भार उत्प्लावन बल के बराबर है।
गोले का भार = $\text{पदार्थ का आयतन} \times \rho_s \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 8 \times g$.
उत्प्लावन बल = $\text{गोले का कुल आयतन} \times \rho_w \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \times 1 \times g$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 8 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$8(R^3 - r^3) = R^3$.
$8R^3 - 8r^3 = R^3 \Rightarrow 7R^3 = 8r^3$.
$r^3 = \frac{7}{8} R^3 = \frac{7}{8} \times (2)^3 = \frac{7}{8} \times 8 = 7 \ cm^3$.
गुहा का आयतन $V_c = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{88}{3} \ cm^3$.

(A) माना पिंड का आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho_b$ है। माना $20^{\circ} C$ और $100^{\circ} C$ पर द्रव का घनत्व क्रमशः $\rho_1$ और $\rho_2$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,पिंड का भार = विस्थापित द्रव का भार।
$20^{\circ} C$ पर: $V \rho_b g = (\frac{2}{3} V) \rho_1 g \implies \rho_b = \frac{2}{3} \rho_1$.
$100^{\circ} C$ पर: $V \rho_b g = (\frac{3}{4} V) \rho_2 g \implies \rho_b = \frac{3}{4} \rho_2$.
$\rho_b$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{2}{3} \rho_1 = \frac{3}{4} \rho_2 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{9}{8}$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta t}$ होता है,इसलिए $\frac{\rho_1}{\rho_2} = 1 + \gamma \Delta T$ (जहाँ $\Delta T = 80^{\circ} C$ है)।
$1 + \gamma (80) = \frac{9}{8} \implies 80 \gamma = \frac{1}{8} \implies \gamma = \frac{1}{640} = 0.0015625 {}^{\circ} C^{-1}$.
$\gamma = 15.6 \times 10^{-4} {}^{\circ} C^{-1}$.

(D) ब्लॉक का द्रव्यमान, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
प्रारंभिक विस्तार, $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
संतुलन की स्थिति में, स्प्रिंग बल वजन के बराबर होता है: $kx = mg$.
स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.02 \times 10}{0.01} = 20 \,N/m$.
जब ब्लॉक पानी में डूब जाता है, तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = \rho_w V g$ लगता है, जहाँ $V = \frac{m}{\rho_c}$.
नई संतुलन स्थिति $kx' + F_B = mg$ है, जहाँ $x'$ नया विस्तार है。
$kx' = mg - \rho_w \left(\frac{m}{\rho_c}\right) g = mg \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right)$.
$x' = \frac{mg}{k} \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right) = x \left(1 - \frac{1000}{9000}\right)$.
$x' = 0.01 \times \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 0.01 \times \frac{8}{9} \approx 0.00888 \,m$.
$x' \approx 0.89 \,cm$.

(C) माना ब्लॉक का बाहरी आयतन $V = 1000 \text{ ml} = 10^{-3} \text{ m}^3$ है।
लकड़ी का विशिष्ट गुरुत्व $\rho_w / \rho_{water} = 0.75$ है।
अतः,लकड़ी के पदार्थ का घनत्व $\rho_w = 0.75 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 750 \text{ kg/m}^3$ है।
माना गुहा का आयतन $V_c$ है। वास्तविक लकड़ी के पदार्थ का आयतन $V_m = V - V_c$ होगा।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = \rho_w \times V_m = 750 \times (10^{-3} - V_c)$ होगा।
प्लवन के नियम के अनुसार,ब्लॉक का भार उसके द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
ब्लॉक अपने आधे आयतन को पानी में डुबोकर तैरता है,इसलिए $V_{displaced} = \frac{V}{2} = 500 \text{ ml} = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
विस्थापित पानी का भार = $\rho_{water} \times V_{displaced} \times g = 1000 \times 5 \times 10^{-4} \times g = 0.5g$ है।
ब्लॉक का भार = $M \times g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $0.5g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$ है।
$0.5 = 0.75 - 750 \times V_c$ है।
$750 \times V_c = 0.25$ है।
$V_c = \frac{0.25}{750} = \frac{1}{3000} \text{ m}^3$ है।
$V_c = \frac{1}{3000} \times 10^6 \text{ ml} = 333.33 \text{ ml}$ है।

(C) मान लीजिए घन की भुजा $a = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है। घन का आयतन $V = a^3 = (0.4)^3 = 0.064 \ m^3$ है।
पानी का घनत्व $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$ है।
प्रारंभ में,घन अपने आयतन के $\frac{1}{4}$ भाग के साथ तैरता है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,घन का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$m_{cube} \cdot g = \rho_w \cdot V_{immersed} \cdot g$
$m_{cube} = 1000 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 0.064) = 1000 \cdot 0.016 = 16 \ kg$.
जब $M$ द्रव्यमान की डिस्क को घन पर रखा जाता है,तो कुल भार $(m_{cube} + M)g$ हो जाता है। नया डूबा हुआ आयतन $V$ का $\frac{2}{5}$ भाग है:
$(m_{cube} + M)g = \rho_w \cdot (\frac{2}{5} \cdot V) \cdot g$
$16 + M = 1000 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 0.064)$
$16 + M = 1000 \cdot 0.0256 = 25.6$
$M = 25.6 - 16 = 9.6 \ kg$.

(D) दिया गया है: घन की भुजा $a = 10 \ cm$,अतः प्रत्येक सतह का क्षेत्रफल $A = a^2 = 100 \ cm^2$.
पानी में घन की गहराई $x = 3 \ cm$.
तेल में घन की गहराई $h = a - x = 10 - 3 = 7 \ cm$.
तेल का घनत्व $\delta_1 = 0.9 \ g \ cm^{-3}$.
पानी का घनत्व $\delta_2 = 1 \ g \ cm^{-3}$.
प्लवन के नियम के अनुसार,घन का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
$W = F_{B1} + F_{B2}$
$mg = (\delta_1 \cdot V_{oil} \cdot g) + (\delta_2 \cdot V_{water} \cdot g)$
$m = \delta_1 \cdot A \cdot h + \delta_2 \cdot A \cdot x$
$m = 0.9 \times 100 \times 7 + 1 \times 100 \times 3$
$m = 630 + 300 = 930 \ g$
अतः,लकड़ी के घन का द्रव्यमान $930 \ g$ है।

(B) खोखले गोले के पदार्थ का आयतन $V_S = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ है,जहाँ $R = 4 \ cm$ और $r = 2 \ cm$ है।
तैरते हुए पिंड के लिए,उत्प्लावन बल पिंड के भार के बराबर होता है।
$B = W$
$\rho_L V_{sub} g = \rho_S V_S g$
चूँकि गोला आधा डूबा हुआ है,इसलिए डूबा हुआ आयतन $V_{sub} = \frac{1}{2} \times ( \frac{4}{3} \pi R^3 ) = \frac{2}{3} \pi R^3$ होगा।
मान रखने पर:
$2.0 \times \frac{2}{3} \pi (4)^3 = \rho_S \times \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3)$
$2.0 \times 64 = \rho_S \times (64 - 8)$
$128 = \rho_S \times 56$
$\rho_S = \frac{128}{56} \approx 1.14 \ g \ cm^{-3}$.

(B) लकड़ी के ब्लॉक का आयतन $V_w = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{160}{0.8 \times 1} = 200 \,cm^3$.
मान लीजिए धातु के टुकड़े का द्रव्यमान $x \,g$ है।
धातु के टुकड़े का आयतन $V_m = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{x}{10 \times 1} = \frac{x}{10} \,cm^3$.
सिस्टम के पानी में तैरने के लिए, सिस्टम का कुल वजन पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर होना चाहिए जब पूरा सिस्टम डूबा हुआ हो।
कुल वजन $W = (m_w + m_m)g = (160 + x)g$.
सिस्टम का कुल आयतन $V_{total} = V_w + V_m = (200 + \frac{x}{10}) \,cm^3$.
उत्प्लावन बल $F_B = V_{total} \times \rho_{water} \times g = (200 + \frac{x}{10}) \times 1 \times g$.
वजन और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $(160 + x)g = (200 + \frac{x}{10})g$.
$160 + x = 200 + 0.1x$.
$0.9x = 40$.
$x = \frac{400}{9} \approx 44.4 \,g$.

(C) दिया है: लोहे के गोले का द्रव्यमान, $m = 100 \,kg$. लोहे का घनत्व, $\rho_{\text{iron}} = 8 \times 10^3 \,kg/m^3$. समुद्री जल का घनत्व, $\rho_{\text{sea water}} = 1000 \,kg/m^3$. गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$.
जब गोले को समुद्री जल में डुबोया जाता है, तो उस पर ऊपर की दिशा में उत्प्लावन बल (upthrust) कार्य करता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, गोले का आभासी भार उसके वास्तविक भार और उत्प्लावन बल के अंतर के बराबर होता है।
केबल में तनाव $T$ गोले के आभासी भार के बराबर होता है।
$T = W - F_B = mg - V \rho_{\text{sea water}} g = mg \left(1 - \frac{\rho_{\text{sea water}}}{\rho_{\text{iron}}}\right)$.
मान रखने पर:
$T = 100 \times 10 \left(1 - \frac{1000}{8 \times 10^3}\right) = 1000 \left(1 - \frac{1}{8}\right) = 1000 \times \frac{7}{8} = 875 \,N$.

(D) जब बेलन को द्रव में डुबोया जाता है,तो यह अपने आयतन $V$ के बराबर द्रव को विस्थापित करता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,द्रव द्वारा बेलन पर लगाया गया उत्प्लावन बल $F_B = V \sigma g$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,बेलन द्रव पर समान और विपरीत बल लगाता है,जिससे बर्तन के तल पर दबाव बढ़ जाता है।
बेलन का आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ है।
दबाव में वृद्धि $\Delta P$ द्रव पर लगाए गए बल और बर्तन के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ का अनुपात है:
$\Delta P = \frac{F_B}{A} = \frac{V \sigma g}{A}$.
समीकरण में $V = \frac{m}{\rho}$ रखने पर:
$\Delta P = \frac{(m/\rho) \sigma g}{A} = \frac{m \sigma g}{\rho A}$.

(D) हवा में ब्लॉक का वजन, $w_{\text{air}} = 6000 \,N$.
पानी में ब्लॉक का वजन, $w_{\text{water}} = 4000 \,N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है: $F_B = w_{\text{air}} - w_{\text{water}} = 6000 - 4000 = 2000 \,N$.
ब्लॉक का कुल आयतन $(V_{\text{total}})$ विस्थापित पानी के आयतन के बराबर है: $V_{\text{total}} = \frac{F_B}{\rho_{\text{water}} \cdot g} = \frac{2000}{1000 \cdot 10} = 0.2 \,m^3$.
लोहे के पदार्थ का वास्तविक आयतन $(V_{\text{iron}})$ हवा में उसके वजन से ज्ञात किया जाता है: $V_{\text{iron}} = \frac{w_{\text{air}}}{\rho_{\text{iron}} \cdot g} = \frac{6000}{6000 \cdot 10} = 0.1 \,m^3$.
गुहा का आयतन $(V_{\text{cavity}})$ कुल आयतन और लोहे के आयतन के बीच का अंतर है: $V_{\text{cavity}} = V_{\text{total}} - V_{\text{iron}} = 0.2 \,m^3 - 0.1 \,m^3 = 0.1 \,m^3$.

(B) पदार्थ का घनत्व,$\rho = 3 \,g/cc$।
द्रव का घनत्व,$\sigma = 7 \,g/cc$।
माना पदार्थ का कुल आयतन $V$ है और द्रव में डूबे हुए आयतन का अंश $n$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,ब्लॉक का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
$V \rho g = (n V) \sigma g$।
दोनों पक्षों को $V g$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\rho = n \sigma$।
अतः,डूबे हुए भाग का अंश $n = \frac{\rho}{\sigma} = \frac{3}{7}$।
द्रव के बाहर ब्लॉक के आयतन का अंश $1 - n = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57$ है।

(B) साम्यावस्था में,गुटके पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$,नीचे की ओर गुटके का भार $(W)$ और नीचे की ओर डोरी का तनाव $(T)$ हैं।
साम्यावस्था के लिए: $F_B = W + T$.
अतः,$T = F_B - W$.
दिया गया है: गुटके का घनत्व $\rho_s = 0.5 \ g/cc = 500 \ kg/m^3$,द्रव का घनत्व $\rho_l = 1 \ g/cc = 1000 \ kg/m^3$,$T = 20 \ N$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$T = \rho_l V g - \rho_s V g = V g (\rho_l - \rho_s)$.
मान रखने पर: $20 = V \times 10 \times (1000 - 500)$.
$20 = V \times 10 \times 500$.
$20 = 5000 V$.
$V = \frac{20}{5000} = \frac{1}{250} \ m^3$.
गुटके का द्रव्यमान $m = \rho_s V$ है।
$m = 500 \times \frac{1}{250} = 2 \ kg$.

(C) आभासी भार में कमी विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
$30^{\circ} C$ पर: भार में कमी = $45 - 25 = 20 \ g$.
धातु का आयतन $V_{30} = \frac{\text{कमी}}{\rho_{30}} = \frac{20 \ g}{1.5 \ g/cm^3} = 13.33 \ cm^3$.
$40^{\circ} C$ पर: भार में कमी = $45 - 27 = 18 \ g$.
धातु का आयतन $V_{40} = \frac{\text{कमी}}{\rho_{40}} = \frac{18 \ g}{1.25 \ g/cm^3} = 14.40 \ cm^3$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का सूत्र $V_{40} = V_{30}(1 + \gamma \Delta T)$ है।
$\gamma = \frac{V_{40} - V_{30}}{V_{30} \Delta T} = \frac{14.40 - 13.33}{13.33 \times (40 - 30)} = \frac{1.07}{133.3} \approx 8.03 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{8.03 \times 10^{-3}}{3} \approx 2.67 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.

(A) माना $V_1$ पानी में ग्रेनाइट का आयतन है और $V_2$ पारे में ग्रेनाइट का आयतन है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,ग्रेनाइट पर कार्य करने वाला कुल उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होना चाहिए।
पानी द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल $F_{B1} = V_1 \rho_1 g$ है।
पारे द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल $F_{B2} = V_2 \rho_2 g$ है।
ग्रेनाइट का भार $W = (V_1 + V_2) \rho g$ है।
बलों को बराबर करने पर: $V_1 \rho_1 g + V_2 \rho_2 g = (V_1 + V_2) \rho g$।
$g$ से विभाजित करने पर: $V_1 \rho_1 + V_2 \rho_2 = V_1 \rho + V_2 \rho$।
$V_1$ और $V_2$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $V_1 \rho_1 - V_1 \rho = V_2 \rho - V_2 \rho_2$।
$V_1(\rho_1 - \rho) = V_2(\rho - \rho_2)$।
अतः,पानी में ग्रेनाइट के आयतन $(V_1)$ और पारे में ग्रेनाइट के आयतन $(V_2)$ का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho} = \frac{\rho_2 - \rho}{\rho - \rho_1}$।

(B) धातु का घनत्व $\rho$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ (या $1000 \text{ kg/m}^3$) है।
खोखले गोले के तैरने के लिए,उसका भार गोले द्वारा विस्थापित पानी के भार से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
धातु के खोल का आयतन $V_m = 4 \pi R^2 t$ है (चूंकि $t \ll R$)।
गोले का द्रव्यमान $m_s = V_m \times \rho = 4 \pi R^2 t \rho$ है।
गोले द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_w = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
विस्थापित पानी का द्रव्यमान $m_w = V_w \times \rho_w = \frac{4}{3} \pi R^3 \times 1$ है (जहाँ $\rho$ पानी के घनत्व के सापेक्ष है)।
तैरने की शर्त के लिए,$m_s \leq m_w$:
$4 \pi R^2 t \rho \leq \frac{4}{3} \pi R^3$
दोनों पक्षों को $4 \pi R^2$ से विभाजित करने पर:
$t \rho \leq \frac{R}{3}$
$t \leq \frac{R}{3 \rho}$

(C) जब द्रव स्थिर होता है तो डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। जब द्रव त्वरित हो रहा हो,तो प्रभावी गुरुत्व $g_{\text{eff}}$ पर विचार किया जाना चाहिए।
पहले मामले में,गुटका संतुलन में है: $V_{\text{immersed}} \rho g = V_{\text{total}} \rho_b g$,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है और $\rho_b$ गुटके का घनत्व है।
दिया गया है कि $40 \%$ सतह के ऊपर है,इसलिए $60 \%$ डूबा हुआ है,यानी $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$.
अतः,$0.6 V \rho g = V \rho_b g \implies \rho_b = 0.6 \rho$.
जब लिफ्ट $a = g/2$ के त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो प्रभावी गुरुत्व $g_{\text{eff}} = g + a = 1.5 g$ हो जाता है।
उत्प्लावन बल $F_B = V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g)$ हो जाता है।
त्वरित फ्रेम में गुटके का भार $W_{\text{eff}} = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$ होता है।
संतुलन के लिए,$F_B = W_{\text{eff}} \implies V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g) = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$.
$1.5 g$ से विभाजित करने पर,हमें $V_{\text{immersed}} \rho = V_{\text{total}} \rho_b$ प्राप्त होता है।
$\rho_b = 0.6 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,डूबे हुए आयतन का अंश $60 \%$ रहता है और सतह के ऊपर का भाग $40 \%$ ही रहता है।

(C) छड़ को क्षैतिज संतुलन में रहने के लिए,मध्य-बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
प्रारंभ में,टॉर्क संतुलन है: $w \cdot l = w_{1} \cdot l_{1}$.
जब $w$ वजन के धातु के टुकड़े को पानी में डुबोया जाता है,तो यह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_{B}$ का अनुभव करता है। प्रभावी वजन $w' = w - F_{B}$ हो जाता है।
उत्प्लावन बल $F_{B} = V \rho_{w} g$ है,जहाँ $V$ धातु का आयतन है और $\rho_{w}$ पानी का घनत्व है। चूँकि $w = V \rho_{metal} g$,हमारे पास $F_{B} = w \cdot \frac{\rho_{w}}{\rho_{metal}} = \frac{w}{\sigma}$ है,जहाँ $\sigma$ धातु का विशिष्ट गुरुत्व है।
इस प्रकार,नया प्रभावी वजन $w' = w(1 - \frac{1}{\sigma})$ है।
नए संतुलन के लिए,टॉर्क संतुलन है: $w' \cdot l = w_{1} \cdot l_{2}$.
$w'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $w(1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
प्रारंभिक स्थिति से,$w = \frac{w_{1} l_{1}}{l}$.
नए संतुलन समीकरण में $w$ का मान रखने पर: $\frac{w_{1} l_{1}}{l} (1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
$l_{1} (1 - \frac{1}{\sigma}) = l_{2}$.
$1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$.
$\frac{1}{\sigma} = 1 - \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{l_{1} - l_{2}}{l_{1}}$.
अतः,$\sigma = \frac{l_{1}}{l_{1} - l_{2}}$.

(A) मान लीजिए कि पहली धातु का वजन $x$ है और दूसरी धातु का वजन $(w_1 - x)$ है।
मान लीजिए कि दोनों धातुओं का आयतन क्रमशः $v_1$ और $v_2$ है।
$v_1 = \frac{x}{\rho_1}$ और $v_2 = \frac{w_1 - x}{\rho_2}$ है।
मिश्र धातु का कुल आयतन $V = v_1 + v_2 = \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2}$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,वजन में कमी विस्थापित पानी के वजन के बराबर होती है:
$w_1 - w_2 = V \rho_w = \left( \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2} \right) \rho_w$.
$\rho_1 \rho_2$ से गुणा करने पर:
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + (w_1 - x) \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + w_1 \rho_1 - x \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w + w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1 \rho_2 - w_2 \rho_1 \rho_2 - w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_1 \rho_2$.
$x = \frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2 - \rho_1)} [w_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_2]$.

(A) मान लीजिए कि बेलनाकार ब्लॉक का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho$ है।
पहले मामले में,ब्लॉक $\rho_{1}$ घनत्व वाले तरल में तैरता है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,ब्लॉक का वजन उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$V \rho g = V x_{1} \rho_{1} g$
$\Rightarrow \rho = x_{1} \rho_{1} \quad ... (1)$
दूसरे मामले में,ब्लॉक $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ घनत्व वाले दो अमिश्रणीय तरल पदार्थों में पूरी तरह से डूबा हुआ है। आयतन का अंश $x_{2}$ तरल $\rho_{1}$ में है और शेष अंश $(1 - x_{2})$ तरल $\rho_{2}$ में है। कुल उत्प्लावन बल ब्लॉक के वजन के बराबर होता है:
$V \rho g = V x_{2} \rho_{1} g + V (1 - x_{2}) \rho_{2} g$
$\Rightarrow \rho = x_{2} \rho_{1} + (1 - x_{2}) \rho_{2} \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$x_{1} \rho_{1} = x_{2} \rho_{1} + (1 - x_{2}) \rho_{2}$
$x_{1} \rho_{1} - x_{2} \rho_{1} = (1 - x_{2}) \rho_{2}$
$\rho_{1} (x_{1} - x_{2}) = \rho_{2} (1 - x_{2})$
$\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{1 - x_{2}}{x_{1} - x_{2}}$

(D) माना वस्तु का द्रव्यमान $m$ ग्राम है और वस्तु का आयतन $V$ $\text{cm}^3$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ है। आभासी भार $W'$ को $W' = W_{actual} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$1.2$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव के लिए,घनत्व $\rho_l = 1.2 \text{ g/cm}^3$ है। वजन $44 \text{ gwt}$ है,इसलिए:
$44 = m - 1.2V$ $(i)$
पानी के लिए,वजन $50 \text{ gwt}$ है,इसलिए:
$50 = m - V$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(50 - 44) = (m - V) - (m - 1.2V)$
$6 = 0.2V$
$V = 30 \text{ cm}^3$
$V = 30$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$50 = m - 30$
$m = 80 \text{ g}$

(C) माना पत्थर का आयतन $V$ है,पत्थर का घनत्व $\sigma$ है और पानी का घनत्व $\rho$ है।
पत्थर का सापेक्ष घनत्व $K$,$K = \frac{\sigma}{\rho}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\sigma = K\rho$ है।
पत्थर के डूबते समय उस पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. पत्थर का भार नीचे की ओर: $W = V\sigma g = V(K\rho)g$।
$2$. उत्प्लावन बल ऊपर की ओर: $F_B = V\rho g$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = W - F_B = ma$,जहाँ $m = V\sigma$ पत्थर का द्रव्यमान है।
$V\sigma g - V\rho g = (V\sigma)a$
$V\sigma$ से विभाजित करने पर:
$a = g - \frac{V\rho g}{V\sigma} = g - \frac{\rho}{\sigma}g$
चूंकि $K = \frac{\sigma}{\rho}$,इसलिए $\frac{\rho}{\sigma} = \frac{1}{K}$ है।
अतः,त्वरण $a = g - \frac{g}{K} = g\left(1 - \frac{1}{K}\right)$ होगा।