Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(D) बेलन पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और उत्प्लावन बल $(F_b)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है,हैं।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल बेलन द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है।
इसलिए,उत्प्लावन बल $F_b = \rho Vg = \rho (\pi r^2 h) g = \pi r^2 \rho gh$ है।
बेलन पर लगने वाला कुल बल $F_{net}$ उत्प्लावन बल और गुरुत्वाकर्षण बल का अंतर है।
$F_{net} = F_b - mg = \pi r^2 \rho gh - mg$.
चूंकि हमें कुल बल का परिमाण ज्ञात करना है,इसलिए हम इसका निरपेक्ष मान लेते हैं:
$|F_{net}| = |\pi r^2 \rho gh - mg|$.

(B) प्रारंभ में,सीसे का द्रव्यमान डूबा हुआ है,इसलिए यह अपने स्वयं के आयतन $(V_{lead})$ के बराबर पानी विस्थापित करता है। लकड़ी का टुकड़ा तैरता है,जो अपने वजन के बराबर पानी विस्थापित करता है $(W_{wood}/\rho_{water}g)$.
जब सीसे को बाहर निकाला जाता है,तो पानी का स्तर गिर जाता है क्योंकि $V_{lead}$ आयतन अब विस्थापित नहीं हो रहा है।
जब सीसे को लकड़ी पर रखा जाता है,तो पानी द्वारा समर्थित कुल वजन सीसे के वजन $(W_{lead} = m_{lead}g)$ से बढ़ जाता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,लकड़ी के टुकड़े को सीसे के वजन को पानी के घनत्व से विभाजित करने पर प्राप्त आयतन के बराबर अतिरिक्त पानी विस्थापित करना होगा: $\Delta V = W_{lead} / (\rho_{water}g) = m_{lead} / \rho_{water}$.
चूंकि सीसे का घनत्व $(\rho_{lead} \approx 11.3 \times 10^3 \ kg/m^3)$ पानी के घनत्व $(\rho_{water} = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3)$ से बहुत अधिक है,इसलिए सीसे के वजन द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $(m_{lead}/\rho_{water})$ सीसे के अपने आयतन $(m_{lead}/\rho_{lead})$ से काफी अधिक है।
इसलिए,पानी का स्तर उस स्तर से ऊपर उठ जाता है जब सीसा डूबा हुआ था,लेकिन चूंकि पात्र शुरू में भरा हुआ था और लकड़ी को पहली बार रखने पर पानी बाहर निकल गया था,इसलिए स्तर वापस किनारे तक आ जाएगा।

(A) गोले के पानी में पूरी तरह डूबे हुए तैरने के लिए,गोले का भार पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
गोले का भार = ठोस पदार्थ का आयतन $\times$ पदार्थ का घनत्व $\times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho g$
उत्प्लावन बल = विस्थापित पानी का आयतन $\times$ पानी का घनत्व $\times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$
दिया गया सापेक्ष घनत्व $\frac{\rho}{\rho_w} = 9$ है,इसलिए:
$9(R^3 - r^3) = R^3$
$9R^3 - 9r^3 = R^3$
$8R^3 = 9r^3$
$r^3 = \frac{8}{9} R^3$

(A) खाली गुब्बारे का द्रव्यमान $= 1\, g$ है।
पानी से भरे गुब्बारे का द्रव्यमान $= 101\, g$ है।
गुब्बारे के अंदर पानी का द्रव्यमान $= 101\, g - 1\, g = 100\, g$ है।
चूंकि पानी का घनत्व $\rho_w$ है,इसलिए गुब्बारे का आयतन $V = \frac{100\, g}{\rho_w} = 100\, cm^3$ होगा।
जब गुब्बारे को पूरी तरह से पानी में डुबोया जाता है,तो यह विस्थापित पानी के वजन के बराबर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (Buoyant force) का अनुभव करता है।
उत्प्लावन बल $F_B = V \cdot \rho_w \cdot g = 100\, cm^3 \cdot 1\, g/cm^3 \cdot g = 100\, g$ (वजन के संदर्भ में)।
पानी में गुब्बारे का प्रभावी वजन $W_{\text{eff}} = W_{\text{total}} - F_B$ द्वारा दिया जाता है।
$W_{\text{eff}} = 101\, g - 100\, g = 1\, g$।
अतः,पानी में गुब्बारे का वजन $1\, g$ है।

(B) माना गेंद का आयतन $V$ है,गेंद का घनत्व $\rho_b = 0.4 \times 10^3 \, kg/m^3$ है,और पानी का घनत्व $\rho_w = 1.0 \times 10^3 \, kg/m^3$ है।
पानी की सतह पर गेंद की स्थितिज ऊर्जा $U = mgh = V \rho_b gh$ है।
जब गेंद पानी में प्रवेश करती है,तो वह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (upthrust) $F_B = V \rho_w g$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = V \rho_b g$ का अनुभव करती है।
पानी में डूबी हुई गेंद पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_B - W = Vg(\rho_w - \rho_b)$ है,जो ऊपर की दिशा में है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,जैसे ही गेंद $d$ गहराई तक डूबती है,कुल बल द्वारा किया गया कार्य गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होना चाहिए:
$W_{net} = F_{net} \times d = Vg(\rho_w - \rho_b)d$.
किए गए कार्य को प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर:
$Vg(\rho_w - \rho_b)d = V \rho_b gh$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{\rho_b}{\rho_w - \rho_b} h$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$d = \frac{0.4 \times 10^3}{1.0 \times 10^3 - 0.4 \times 10^3} \times 9 \, cm = \frac{0.4}{0.6} \times 9 \, cm = \frac{2}{3} \times 9 \, cm = 6 \, cm$.

(A) तैरने की स्थिति के लिए, वस्तु का भार द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
बेलन का भार $W = (\text{आयतन}) \times (\text{ठोस का घनत्व}) \times g = (A \times L) \times D \times g$.
उत्प्लावन बल $F_B = (\text{द्रव 1 में डूबा आयतन}) \times (\text{द्रव 1 का घनत्व}) \times g + (\text{द्रव 2 में डूबा आयतन}) \times (\text{द्रव 2 का घनत्व}) \times g$.
दिया गया है: हल्के द्रव (घनत्व $d$) में आयतन $V_1 = A \times (3L/4)$ और सघन द्रव (घनत्व $2d$) में आयतन $V_2 = A \times (L/4)$.
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $(A \times L) \times D \times g = (A \times 3L/4) \times d \times g + (A \times L/4) \times 2d \times g$.
दोनों पक्षों को $A \times L \times g$ से विभाजित करने पर: $D = (3/4)d + (1/4) \times 2d$.
$D = (3/4)d + (2/4)d = 5d/4$.

(D) जब वस्तु तरल में प्रवेश करती है तो उसका वेग $u$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दिया जाता है:
$mgh = \frac{1}{2} mu^2 \implies u = \sqrt{2gh}$
मान लीजिए वस्तु का आयतन $V$ है।
वस्तु का द्रव्यमान $m = Vd$ है।
वस्तु का भार $W = Vdg$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = VDg$ है।
शुद्ध ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B - W = Vg(D-d)$ है।
मंदक (retardation) $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(D-d)}{Vd} = \left( \frac{D-d}{d} \right) g$ है।
चूंकि वस्तु नीचे की ओर गति कर रही है, इसलिए त्वरण $a' = -\left( \frac{D-d}{d} \right) g$ होगा।
गति के समीकरण $v = u + a't$ का उपयोग करते हुए, जहाँ क्षणिक विराम की स्थिति में $v = 0$ है:
$0 = \sqrt{2gh} - \left( \frac{D-d}{d} \right) gt$
$t = \left( \frac{d}{D-d} \right) \sqrt{\frac{2h}{g}}$

(D) द्रव में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) सूत्र $F_B = V_{disp} \cdot \rho_{liquid} \cdot g_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
जब पूरी प्रणाली (बीकर और द्रव) गुरुत्वाकर्षण के तहत स्वतंत्र रूप से गिर रही होती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ का मान $g - g = 0$ हो जाता है।
चूंकि उत्प्लावन बल प्रभावी गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है,और $g_{eff} = 0$ है,इसलिए वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल शून्य हो जाता है।

(D) जब वस्तु को पानी में डुबोया जाता है,तो उसके वजन में होने वाली आभासी कमी पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल (thrust) के बराबर होती है।
वजन में कमी $= 264\, g - 221\, g = 43\, g$.
चूंकि पानी का घनत्व $\rho_w = 1\, g/cc$ है,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन तांबे के टुकड़े के कुल आयतन $(V_{total})$ के बराबर होगा।
$V_{total} = \frac{\text{वजन में कमी}}{\rho_w} = \frac{43\, g}{1\, g/cc} = 43\, cc$.
तांबे के पदार्थ का आयतन $(V_{material})$ उसके द्रव्यमान और घनत्व का उपयोग करके निकाला जाता है:
$V_{material} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{तांबे का घनत्व}} = \frac{264\, g}{8.8\, g/cc} = 30\, cc$.
आंतरिक गुहा का आयतन $(V_{cavity})$ कुल आयतन और पदार्थ के आयतन के बीच का अंतर है:
$V_{cavity} = V_{total} - V_{material} = 43\, cc - 30\, cc = 13\, cc$.

(B) माना घन की भुजा $a$ है और पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \, g/cm^3$ है।
जब $m = 200 \, g$ द्रव्यमान को घन पर रखा जाता है,तो यह तैरता है। द्रव्यमान का भार उस उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है जो विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
जब द्रव्यमान को हटा दिया जाता है,तो घन $h = 2 \, cm$ ऊपर उठ जाता है। इसका अर्थ है कि विस्थापित पानी का आयतन घन के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर कम हो जाता है।
हटाए गए द्रव्यमान का भार उस आयतन द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है जो पहले उस द्रव्यमान के कारण डूबा हुआ था।
द्रव्यमान का भार = $(a \times a \times h)$ आयतन द्वारा विस्थापित पानी का भार।
$m \cdot g = (a^2 \cdot h) \cdot \rho_w \cdot g$.
मान रखने पर: $200 = a^2 \times 2 \times 1$.
$a^2 = 100$.
$a = 10 \, cm$.

(C) मान लीजिए कि आदमी द्वारा पिए गए पानी का द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभ में,आदमी और नाव पानी का $V_1$ आयतन विस्थापित करते हैं ताकि विस्थापित पानी का वजन आदमी और नाव के कुल वजन के बराबर हो (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
जब आदमी $m$ द्रव्यमान का पानी पीता है,तो आदमी और नाव का कुल वजन $mg$ बढ़ जाता है।
इस अतिरिक्त वजन को संभालने के लिए,नाव को अतिरिक्त $V_{add} = \frac{m}{\rho}$ आयतन का पानी विस्थापित करना होगा,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
हालाँकि,तालाब से $m$ द्रव्यमान का पानी पीने से,तालाब में पानी का कुल आयतन $V_{removed} = \frac{m}{\rho}$ कम हो जाता है।
चूंकि नाव द्वारा विस्थापित अतिरिक्त आयतन $(V_{add})$ तालाब से हटाए गए पानी के आयतन $(V_{removed})$ के बिल्कुल बराबर है,इसलिए तालाब के जल स्तर में शुद्ध परिवर्तन शून्य है।
अतः,तालाब में पानी का स्तर समान रहेगा।

(B) मान लीजिए $m_i$ बर्फ का द्रव्यमान है और $m_f$ लोहे के टुकड़े का द्रव्यमान है।
बर्फ के पिघलने से पहले, निकाय का कुल वजन $(m_i + m_f)g$ है। चूंकि निकाय तैर रहा है, इसलिए उत्प्लावन बल निकाय के वजन के बराबर है: $F_b = (m_i + m_f)g$.
तैरते हुए निकाय द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = \frac{F_b}{\rho_w g} = \frac{m_i + m_f}{\rho_w} = \frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_w}$ है।
बर्फ के पिघलने के बाद, बर्फ पानी बन जाती है जिसका आयतन $V_{water\_from\_ice} = \frac{m_i}{\rho_w}$ है। लोहे का टुकड़ा नीचे बैठ जाता है, जो अपना स्वयं का आयतन $V_{iron} = \frac{m_f}{\rho_f}$ विस्थापित करता है।
पानी और लोहे के टुकड़े द्वारा घेरा गया कुल आयतन $V_{total} = \frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_f}$ है।
विस्थापित आयतन की तुलना करने पर: $V_{disp} - V_{total} = (\frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_w}) - (\frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_f}) = m_f(\frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_f})$.
चूंकि लोहे का घनत्व $\rho_f$ पानी के घनत्व $\rho_w$ से अधिक है, इसलिए $\frac{1}{\rho_w} > \frac{1}{\rho_f}$ होता है।
अतः, $V_{disp} > V_{total}$, जिसका अर्थ है कि पानी का स्तर घट जाता है।

(C) जब ब्लॉक को द्रव के भीतर $h$ ऊँचाई तक ऊपर ले जाया जाता है,तो निकाय में ब्लॉक और विस्थापित द्रव शामिल होते हैं।
ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_b = m_b gh = (\sigma_b V) gh$ है।
जैसे ही ब्लॉक ऊपर जाता है,$V$ आयतन का द्रव ब्लॉक द्वारा पहले घेरे गए स्थान को भरने के लिए $h$ ऊँचाई नीचे आता है। विस्थापित द्रव की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_l = -m_l gh = -(\sigma_l V) gh$ है।
निकाय की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \Delta U_b + \Delta U_l$ है।
$\Delta U = (\sigma_b V) gh - (\sigma_l V) gh = (\sigma_b - \sigma_l) Vgh$.

(B) घनाकार ब्लॉक का आयतन $V = l^3$ है।
माना पारे की सतह से ऊपर ब्लॉक की ऊँचाई $h$ है।
पारे में डूबे हुए ब्लॉक की गहराई $(l - h)$ है।
विस्थापित पारे का आयतन $V_{disp} = (l - h)l^2$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,विस्थापित पारे का भार स्टील ब्लॉक के भार के बराबर होना चाहिए।
विस्थापित पारे का भार = $(l - h)l^2 \rho_m g$।
स्टील ब्लॉक का भार = $l^3 \rho_s g$।
दोनों को बराबर करने पर: $(l - h)l^2 \rho_m g = l^3 \rho_s g$।
दोनों पक्षों को $l^2 g$ से विभाजित करने पर: $(l - h) \rho_m = l \rho_s$।
$l - h = l \frac{\rho_s}{\rho_m}$।
$h = l - l \frac{\rho_s}{\rho_m} = l(1 - \frac{\rho_s}{\rho_m})$।

(D) गुब्बारे की प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m$ है।
जब गुब्बारे को पूरी तरह से पानी में डुबोया जाता है, तो यह अपने आयतन के बराबर पानी को विस्थापित करता है।
चूंकि गुब्बारे में $M$ द्रव्यमान का पानी है और गुब्बारे की सामग्री का द्रव्यमान $m$ है, इसलिए प्रणाली का कुल आयतन पानी के आयतन और गुब्बारे की सामग्री के आयतन का योग है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, गुब्बारे पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है: $F_B = (M + m)g$ (यदि हम गुब्बारे की सामग्री के आयतन को नगण्य मानें तो यह $Mg$ होगा, लेकिन यहाँ कुल द्रव्यमान $M+m$ है).
आभासी वजन $W_{app} = W_{actual} - F_B = (M + m)g - Mg = mg$.
अतः, आभासी द्रव्यमान $m$ है।

(B) किसी तरल पदार्थ में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ आर्किमिडीज के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $F_B = \rho_{water} V_{displaced} g$, जहाँ $\rho_{water}$ पानी का घनत्व है, $V_{displaced}$ वस्तु द्वारा विस्थापित तरल का आयतन है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे जार को पानी में गहराई तक धकेला जाता है, जार की गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव बढ़ जाता है।
बॉयल के नियम $(PV = \text{स्थिरांक})$ के अनुसार, जैसे-जैसे फंसी हुई हवा पर दबाव $P$ बढ़ता है, फंसी हुई हवा का आयतन $V$ घट जाता है।
चूंकि जार डूबा हुआ है, इसलिए विस्थापित प्रणाली का कुल आयतन $(V_{displaced})$ कांच के जार के स्वयं के आयतन और फंसी हुई हवा के आयतन का योग है।
जैसे-जैसे फंसी हुई हवा का आयतन घटता है, विस्थापित प्रणाली का कुल आयतन $(V_{displaced})$ घट जाता है।
परिणामस्वरूप, उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{water} V_{displaced} g$ घट जाता है।

(C) पहली स्थिति में,गुटका पानी में तैर रहा है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,गुटके का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$V_b \rho_b g = V_s \rho_w g$
$\frac{V_s}{V_b} = \frac{\rho_b}{\rho_w} = \frac{4}{5} \quad ... (i)$
यहाँ,$V_b$ गुटके का आयतन है,$V_s$ डूबा हुआ आयतन है,$\rho_b$ गुटके का घनत्व है,और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
दूसरी स्थिति में,गुटका तेल और पानी के मिश्रण में तैर रहा है। गुटके का कुल भार तेल और पानी दोनों द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$V_b \rho_b g = \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_o g + \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_w g$
$V_b g$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\rho_b = \frac{\rho_o}{2} + \frac{\rho_w}{2}$
$2 \rho_b = \rho_o + \rho_w$
समीकरण $(i)$ से $\rho_b = \frac{4}{5} \rho_w$ का मान रखने पर:
$2 \left(\frac{4}{5} \rho_w\right) = \rho_o + \rho_w$
$\frac{8}{5} \rho_w - \rho_w = \rho_o$
$\rho_o = \frac{3}{5} \rho_w = 0.6 \rho_w$
अतः,पानी के सापेक्ष तेल का घनत्व $\frac{\rho_o}{\rho_w} = 0.6$ है।

(D) मान लीजिए घन की भुजा $\ell = 0.5\,m$ है। घन का आयतन $V = \ell^3 = (0.5)^3 = 0.125\,m^3$ है।
प्रारंभ में,$30\%$ आयतन डूबा हुआ है,इसलिए उत्प्लावन बल ब्लॉक के भार को संतुलित करता है:
$V_{sub} \cdot \rho_w \cdot g = V \cdot \rho_{block} \cdot g$
$0.3 \cdot V \cdot \rho_w = V \cdot \rho_{block}$
$\rho_{block} = 0.3 \cdot \rho_w = 0.3 \cdot 1000 = 300\,kg/m^3$.
ब्लॉक का द्रव्यमान $m_{block} = V \cdot \rho_{block} = 0.125 \cdot 300 = 37.5\,kg$ है।
जब ब्लॉक पर अतिरिक्त द्रव्यमान $M$ रखा जाता है,तो ब्लॉक पूरी तरह से डूब जाता है,जिसका अर्थ है कि कुल भार पूर्ण आयतन $V$ के लिए उत्प्लावन बल के बराबर हो जाता है:
$(m_{block} + M)g = V \cdot \rho_w \cdot g$
$M = V \cdot \rho_w - m_{block} = (0.125 \cdot 1000) - 37.5 = 125 - 37.5 = 87.5\,kg$.

(C) मान लीजिए $R$ बाहरी त्रिज्या है और $r$ गुहा की त्रिज्या है।
गोले के पदार्थ का घनत्व $\rho = 27 \times \rho_{water} = 27 \rho_{w}$ है।
गोले के पानी में डूबने के लिए,उसका वजन उस पर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
गोले का वजन = $V_{solid} \times \rho \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 27 \rho_{w} \times g$.
उत्प्लावन बल = $V_{total} \times \rho_{w} \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \times \rho_{w} \times g$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 27 \rho_{w} g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{w} g$.
$27(R^3 - r^3) = R^3$.
$27R^3 - 27r^3 = R^3$.
$26R^3 = 27r^3$.
$\frac{r^3}{R^3} = \frac{26}{27}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$\frac{r}{R} = \frac{(26)^{1/3}}{3}$.

(B) माना घन का द्रव्यमान $m$ है और भुजा की लंबाई $a$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1\,g/cm^3$ है।
जब $200\,g$ का द्रव्यमान घन पर रखा जाता है,तो यह इस प्रकार तैरता है कि इसका पूरा आयतन डूबा हुआ होता है। कुल भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$(m + 200)g = a^3 \rho_w g$ --- $(i)$
जब द्रव्यमान हटा दिया जाता है,तो घन पानी के स्तर से $2\,cm$ ऊपर तैरता है। डूबा हुआ आयतन $a^2(a - 2)$ है:
$mg = a^2(a - 2) \rho_w g$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(m + 200)g - mg = a^3 \rho_w g - a^2(a - 2) \rho_w g$
$200 = a^3 \rho_w - (a^3 - 2a^2) \rho_w$
$200 = 2a^2 \rho_w$
चूंकि $\rho_w = 1\,g/cm^3$ है:
$200 = 2a^2$
$a^2 = 100$
$a = 10\,cm$.

(D) मान लीजिए गोले का आयतन $V$ है,गोले का घनत्व $\rho_s$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
दिया गया है कि गोला पानी से $\eta$ गुना हल्का है,इसलिए $\rho_w = \eta \rho_s$.
गोले का द्रव्यमान $m = V \rho_s$ है,इसलिए $V = \frac{m}{\rho_s}$.
गोले पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. भार $(W = mg)$ नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. डोरी में तनाव $(T)$ नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. उत्प्लावन बल $(F_B = V \rho_w g)$ ऊपर की ओर कार्य करता है।
संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल नीचे की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$F_B = W + T$
$T = F_B - W$
$T = V \rho_w g - mg$
$V = \frac{m}{\rho_s}$ और $\rho_w = \eta \rho_s$ का मान रखने पर:
$T = \left( \frac{m}{\rho_s} \right) (\eta \rho_s) g - mg$
$T = \eta mg - mg$
$T = (\eta - 1) mg$

(C) माना लकड़ी का द्रव्यमान $M$ है और कंक्रीट का द्रव्यमान $m$ है। पानी का घनत्व $\rho_w$ है। विशिष्ट गुरुत्व पदार्थ के घनत्व और पानी के घनत्व का अनुपात होता है।
लकड़ी का आयतन $V_w = \frac{M}{0.5 \rho_w} = \frac{2M}{\rho_w}$.
कंक्रीट का आयतन $V_c = \frac{m}{2.5 \rho_w} = \frac{0.4m}{\rho_w}$.
जब संयोजन अपना पूरा आयतन पानी में डुबोकर तैरता है,तो कुल भार उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर होना चाहिए:
$(M + m)g = (V_w + V_c) \rho_w g$
$M + m = \left(\frac{2M}{\rho_w} + \frac{0.4m}{\rho_w}\right) \rho_w$
$M + m = 2M + 0.4m$
$m - 0.4m = 2M - M$
$0.6m = M$
$\frac{M}{m} = \frac{0.6}{1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(A) प्रारंभ में,गुटका और सिक्का एक साथ तैरते हैं। गुटके और सिक्के का कुल भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है,जो विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है। मान लीजिए $M$ गुटके का द्रव्यमान है और $m$ सिक्के का द्रव्यमान है। कुल भार $(M+m)g$ है। विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब सिक्का पानी में गिर जाता है,तो गुटका अकेले तैरता है। गुटके का भार $Mg$ है। गुटके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V'_{disp} = M/\rho_w$ है। सिक्का तली में बैठ जाता है और अपने स्वयं के आयतन के बराबर पानी विस्थापित करता है,$V_{coin} = m/\rho_c$,जहाँ $\rho_c$ सिक्के का घनत्व है।
अब विस्थापित पानी का कुल आयतन $V_{total} = V'_{disp} + V_{coin} = M/\rho_w + m/\rho_c$ है। चूंकि सिक्के का घनत्व $\rho_c$ पानी के घनत्व $\rho_w$ से बहुत अधिक है,इसलिए $m/\rho_c < m/\rho_w$ होता है। अतः,विस्थापित पानी का कुल आयतन घट जाता है $(V_{total} < V_{disp})$,जिसके कारण पानी का स्तर $h$ घट जाता है।
गुटके की डूबी हुई गहराई $l$ केवल गुटके के भार $(Mg)$ के समानुपाती होती है,जो गुटके और सिक्के के कुल भार $(Mg+mg)$ से कम है। इस प्रकार,डूबी हुई गहराई $l$ भी घट जाती है।

(C) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है,जिसे $F_B = V_{sub} \rho_{water} g_{eff}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर बढ़ती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
लकड़ी का टुकड़ा और पानी दोनों ही इस समान प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff}$ का अनुभव करते हैं।
लकड़ी के टुकड़े का भार $W = V_{total} \rho_{wood} g_{eff}$ है।
संतुलन के लिए,$W = F_B$,जिसका अर्थ है $V_{total} \rho_{wood} g_{eff} = V_{sub} \rho_{water} g_{eff}$।
चूंकि $g_{eff}$ दोनों पक्षों से कट जाता है,इसलिए डूबे हुए आयतन का अनुपात $(V_{sub} / V_{total} = \rho_{wood} / \rho_{water})$ लिफ्ट के त्वरण से स्वतंत्र रहता है।
इसलिए,लकड़ी का टुकड़ा आधा डूबा ही रहेगा।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) प्लवन के सिद्धांत के अनुसार, आदमी का अतिरिक्त भार नाव के नीचे धंसने के कारण विस्थापित पानी के भार के बराबर होना चाहिए।
नाव द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई}$ है।
दिया गया है: $\text{लंबाई} = 3\,m$, $\text{चौड़ाई} = 2\,m$, और $\text{गहराई} = 1\,cm = 0.01\,m$.
$V = 3 \times 2 \times 0.01 = 0.06\,m^3$.
विस्थापित पानी का द्रव्यमान $m_w = \rho \times V$ है, जहाँ $\rho = 1000\,kg/m^3$.
$m_w = 1000 \times 0.06 = 60\,kg$.
चूंकि आदमी का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर है, इसलिए आदमी का द्रव्यमान $60\,kg$ है।

(B) हवा में आभूषण का वजन $W_{air} = 10\, g$ (द्रव्यमान $m = 10\, g$) है।
पानी में आभूषण का वजन $W_{water} = 6\, g$ है।
वजन में आभासी कमी उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर होती है,जो विस्थापित पानी के वजन के बराबर है: $F_{buoyant} = W_{air} - W_{water} = 10\, g - 6\, g = 4\, g$.
चूंकि पानी का घनत्व $\rho_{water} = 1\, g/cc$ है,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन $V_{total} = \frac{F_{buoyant}}{\rho_{water} \cdot g} = 4\, cc$ है।
यह $V_{total}$ आभूषण का कुल बाहरी आयतन (पदार्थ का आयतन + गुहिका का आयतन) दर्शाता है।
केवल पदार्थ का आयतन $V_{material} = \frac{m}{\rho_{material}} = \frac{10\, g}{20\, g/cc} = 0.5\, cc$ है।
अतः,गुहिका का आयतन $V_{cavity} = V_{total} - V_{material} = 4\, cc - 0.5\, cc = 3.5\, cc$ है।

(C) माना गोले का बाहरी आयतन $V$ है।
दिया गया है कि आंतरिक आयतन बाहरी आयतन का आधा है,इसलिए गोले के पदार्थ का आयतन $V_{material} = V - V/2 = V/2$ होगा।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,गोले का भार उसके डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
गोले का भार = $V_{material} \times \rho \times g = (V/2) \times \rho \times g$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
विस्थापित पानी का भार = $V_{submerged} \times \sigma \times g = (4/5)V \times \sigma \times g$,जहाँ $\sigma = 10^3 \ kg/m^3$ पानी का घनत्व है।
दोनों को बराबर करने पर: $(V/2) \rho g = (4/5) V \sigma g$.
$\rho/2 = 4\sigma/5$.
$\rho = (8/5) \sigma = 1.6 \times 10^3 \ kg/m^3$.

(B) माना घन का द्रव्यमान $m$ है और भुजा की लंबाई $a$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1\,g/cm^3$ है।
जब $200\,g$ का द्रव्यमान घन पर रखा जाता है,तो यह पूरी तरह से डूब जाता है या एक विशिष्ट स्तर पर तैरता है:
$(m + 200)g = a^3 \rho_w g$ --- $(i)$
जब द्रव्यमान को हटा दिया जाता है,तो घन $2\,cm$ ऊपर उठ जाता है,जिसका अर्थ है कि डूबी हुई ऊंचाई $(a - 2)$ हो जाती है। घन का भार अब डूबे हुए आयतन पर लगने वाले उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$mg = a^2(a - 2) \rho_w g$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(m + 200)g - mg = a^3 \rho_w g - a^2(a - 2) \rho_w g$
$200 = a^3 \rho_w - (a^3 - 2a^2) \rho_w$
चूंकि $\rho_w = 1\,g/cm^3$ है:
$200 = a^3 - a^3 + 2a^2$
$200 = 2a^2$
$a^2 = 100$
$a = 10\,cm$.

(A) माना हवा में ब्लॉक का वास्तविक भार $W_{actual} = 60\,N$ है।
माना पानी में ब्लॉक का आभासी भार $W_{app} = 40\,N$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ वास्तविक भार और आभासी भार के बीच का अंतर है:
$F_B = W_{actual} - W_{app} = 60\,N - 40\,N = 20\,N$.
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$F_B = V \cdot \rho_w \cdot g = 20\,N$,जहाँ $V$ ब्लॉक का आयतन है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
ब्लॉक का वास्तविक भार $W_{actual} = V \cdot \rho_s \cdot g = 60\,N$ है,जहाँ $\rho_s$ ब्लॉक का घनत्व है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{W_{actual}}{F_B} = \frac{V \cdot \rho_s \cdot g}{V \cdot \rho_w \cdot g} = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \text{विशिष्ट घनत्व}$.
$\text{विशिष्ट घनत्व} = \frac{60}{20} = 3$.

(B) जब पत्थर नाव में होते हैं, तो वे अपने वजन के बराबर पानी विस्थापित करते हैं (तैरती वस्तुओं के लिए आर्किमिडीज का सिद्धांत)। मान लीजिए $W_s$ पत्थरों का वजन है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है। विस्थापित पानी का आयतन $V_1 = W_s / (\rho_w g)$ है।
जब पत्थरों को पानी में डाल दिया जाता है, तो वे डूब जाते हैं और अपने स्वयं के आयतन के बराबर पानी विस्थापित करते हैं। मान लीजिए $V_s$ पत्थरों का आयतन है और $\rho_s$ पत्थरों का घनत्व है। विस्थापित पानी का आयतन $V_2 = V_s = W_s / (\rho_s g)$ है।
चूंकि पत्थरों का घनत्व पानी के घनत्व से अधिक होता है $(\rho_s > \rho_w)$, इसलिए $V_1 > V_2$ होता है।
चूंकि पत्थरों को नाव से टंकी के तल में ले जाने पर विस्थापित पानी का आयतन कम हो जाता है, इसलिए टंकी में जल स्तर गिर जाता है।

(A) किसी ठोस का आपेक्षिक घनत्व $(RD)$ हवा में उसके भार और पानी में उसके भार में हुई कमी के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$RD = \frac{\text{हवा में भार}}{\text{हवा में भार} - \text{पानी में भार}}$
दिया गया है:
हवा में भार $(W_a)$ = $15 \ N$
पानी में भार $(W_w)$ = $12 \ N$
$RD = \frac{15}{15 - 12} = \frac{15}{3} = 5$
अतः,ब्लॉक का आपेक्षिक घनत्व $5$ है।

(A) पृथ्वी पर,हाइड्रोजन से भरा गुब्बारा ऊपर उठता है क्योंकि उत्प्लावन बल (buoyant force) गुब्बारे के वजन से अधिक होता है।
चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है,जिसका अर्थ है कि उत्प्लावन बल प्रदान करने के लिए वहां कोई हवा नहीं है।
इसलिए,गुब्बारा केवल चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करेगा।
चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{6}$ है,जहां $g$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि गुब्बारा मुक्त पतन में है,इसलिए इसका त्वरण चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होगा,जो $\frac{g}{6}$ है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(D) प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,लड़के और लट्ठे के तैरने के लिए,निकाय का कुल भार पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल (upthrust) के बराबर होना चाहिए।
माना $V$ लकड़ी के लट्ठे का आयतन है।
लड़के का द्रव्यमान = $60\, kg$।
लकड़ी का घनत्व $\rho_{wood} = 0.6 \times 1000 = 600\, kg/m^3$।
पानी का घनत्व $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$।
निकाय का कुल भार = लड़के का भार + लकड़ी का भार
$= 60g + (V \times 600)g$
उत्प्लावन बल = लट्ठे द्वारा विस्थापित पानी का भार
$= V \times 1000 \times g$
दोनों को बराबर करने पर:
$60g + 600Vg = 1000Vg$
$60 = 1000V - 600V$
$60 = 400V$
$V = \frac{60}{400} = \frac{3}{20}\, m^3$.

(D) उत्प्लावक बल उत्प्लावकता केंद्र पर कार्य करता है,जो विस्थापित द्रव का द्रव्यमान केंद्र होता है। यह बिंदु वस्तु के द्रव्यमान केंद्र के साथ केवल तभी संपाती होता है यदि वस्तु समांगी (समान घनत्व वाली) हो। चूंकि वस्तु का समांगी होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $Assertion$ गलत है।
$Reason$ कथन यांत्रिकी का एक सामान्य सिद्धांत है: किसी पिंड पर कार्य करने वाले एक समान बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण) के लिए,परिणामी बल द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है। हालाँकि,उत्प्लावक बल वस्तु पर कार्य करने वाला एक समान बल क्षेत्र नहीं है; यह वस्तु की सतह पर कार्य करने वाले दाब बलों का परिणामी है। अतः,$Reason$ भी गलत है।

(D) न्यूनतम घनत्व वाले द्रव में गोले के तैरने के लिए,इसे पूरी तरह से डूबा होना चाहिए। इस स्थिति में,गोले का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
भार $W = mg = \int \rho(r) g dV = \int_{0}^{R} \rho_{0} \left(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}\right) g (4 \pi r^{2} dr)$.
$W = 4 \pi \rho_{0} g \int_{0}^{R} \left(r^{2} - \frac{r^{4}}{R^{2}}\right) dr$.
$W = 4 \pi \rho_{0} g \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5R^{2}} \right]_{0}^{R} = 4 \pi \rho_{0} g \left( \frac{R^{3}}{3} - \frac{R^{3}}{5} \right) = 4 \pi \rho_{0} g \left( \frac{2R^{3}}{15} \right) = \frac{8}{15} \pi R^{3} \rho_{0} g$.
उत्प्लावन बल $B = V_{sphere} \rho_{l} g = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{l} g$.
$W = B$ को बराबर करने पर: $\frac{8}{15} \pi R^{3} \rho_{0} g = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{l} g$.
$\rho_{l}$ के लिए हल करने पर: $\rho_{l} = \frac{8}{15} \times \frac{3}{4} \rho_{0} = \frac{2}{5} \rho_{0}$.

(A) माना बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है और $0^{\circ} C$ तथा $4^{\circ} C$ पर पानी का घनत्व क्रमशः $\rho_0$ और $\rho_4$ है।
$0^{\circ} C$ पर,बेलन की डूबी हुई लंबाई $h_0 = 100 \; cm - 20 \; cm = 80 \; cm$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,बेलन का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$mg = A \times h_0 \times \rho_0 \times g \implies m = A \times 80 \times \rho_0.$
$4^{\circ} C$ पर,बेलन की डूबी हुई लंबाई $h_4 = 100 \; cm - 21 \; cm = 79 \; cm$ है।
चूंकि बेलन का द्रव्यमान स्थिर रहता है:
$m = A \times 79 \times \rho_4.$
$m$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$A \times 80 \times \rho_0 = A \times 79 \times \rho_4.$
अतः,$4^{\circ} C$ पर घनत्व और $0^{\circ} C$ पर घनत्व का अनुपात:
$\frac{\rho_4}{\rho_0} = \frac{80}{79} \approx 1.0126.$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $1.01$ है।

(N/A) वायुमंडल के नियम के अनुसार,संख्या घनत्व इस प्रकार दिया गया है:
$n_{2}=n_{1} \exp \left[-m g\left(h_{2}-h_{1}\right) / k_{B} T\right]$
$\rho^{\prime}$ घनत्व वाले माध्यम में निलंबित $\rho$ घनत्व और $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए,प्रभावी वजन $W_{eff}$ वास्तविक वजन माइनस उत्प्लावन बल (आर्किमिडीज का सिद्धांत) है।
मान लीजिए $V$ कण का आयतन है। तब $m = V\rho$।
उत्प्लावन बल विस्थापित माध्यम के वजन के बराबर है: $F_{B} = V\rho^{\prime}g = (m/\rho)\rho^{\prime}g$।
प्रभावी वजन है:
$W_{eff} = mg - F_{B} = mg - (m/\rho)\rho^{\prime}g = mg(1 - \rho^{\prime}/\rho) = mg(\rho - \rho^{\prime})/\rho$।
इस प्रभावी वजन को वायुमंडल के नियम में प्रतिस्थापित करने पर और $k_{B} = R/N_{A}$ का उपयोग करने पर:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg(\rho - \rho^{\prime})}{\rho} \frac{(h_{2} - h_{1})}{k_{B}T} \right]$
$k_{B} = R/N_{A}$ रखने पर:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg(\rho - \rho^{\prime})}{\rho} \frac{(h_{2} - h_{1}) N_{A}}{RT} \right]$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg N_{A} (\rho - \rho^{\prime}) (h_{2} - h_{1})}{\rho RT} \right]$

(B) जब हवा का बुलबुला पानी में ऊपर उठता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध गति करता है,जिससे स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि का आभास हो सकता है। हालाँकि,सतह की ओर बढ़ते समय हाइड्रोस्टेटिक दबाव कम होने के कारण बुलबुला फैलता भी है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उत्प्लावन बल (buoyant force) द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है और गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है। चूंकि बुलबुला एक तरल में है,इसलिए निकाय की स्थितिज ऊर्जा तरल और बुलबुले के विन्यास द्वारा निर्धारित होती है। जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर उठता है,पानी (जिसका घनत्व बहुत अधिक है) बुलबुले द्वारा छोड़ी गई जगह को भरने के लिए नीचे की ओर गति करता है। इसके परिणामस्वरूप पूरे निकाय (पानी + बुलबुला) की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में शुद्ध कमी आती है। इसलिए,निकाय की स्थितिज ऊर्जा घटती है।

(A) उत्प्लावन बल वह ऊर्ध्वगामी बल है जो किसी तरल द्वारा उस वस्तु पर लगाया जाता है जो उसमें पूर्ण या आंशिक रूप से डूबी होती है।
यह बल तरल की विभिन्न गहराइयों पर दबाव के अंतर के कारण उत्पन्न होता है,जहाँ वस्तु के निचले हिस्से पर दबाव ऊपरी हिस्से की तुलना में अधिक होता है।
इस घटना को उत्प्लावकता (buoyancy) के रूप में जाना जाता है।
उत्प्लावन बल ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उत्प्लावन केंद्र (center of buoyancy) से कार्य करता है,जो विस्थापित तरल के द्रव्यमान केंद्र के साथ संपाती होता है।

(N/A) आर्किमिडीज का सिद्धांत: "जब किसी वस्तु को किसी तरल में आंशिक या पूर्ण रूप से डुबोया जाता है, तो उस पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है और यह विस्थापित तरल के गुरुत्व केंद्र से ऊपर की दिशा में कार्य करता है।"
उपपत्ति:
चित्र में दिखाए अनुसार, $h$ ऊँचाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला एक ठोस घन $\rho$ घनत्व वाले तरल में सतह से $x$ गहराई पर स्थित है।
वस्तु के बाईं और दाईं ओर कार्य करने वाले बल समान और विपरीत होते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
वस्तु की ऊपरी सतह पर दबाव $P_{1} = x \rho g$ है।
वस्तु की निचली सतह पर दबाव $P_{2} = (x + h) \rho g$ है।
ऊपरी सतह पर कार्य करने वाला बल $F_{1} = P_{1} A = x \rho g A$ (नीचे की ओर)।
निचली सतह पर कार्य करने वाला बल $F_{2} = P_{2} A = (x + h) \rho g A$ (ऊपर की ओर)।
वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन (परिणामी) बल $F_{b}$:
$F_{b} = F_{2} - F_{1}$
$F_{b} = (x + h) \rho g A - x \rho g A$
$F_{b} = h \rho g A$
यहाँ $A h = V$ (वस्तु का आयतन), और वस्तु का आयतन विस्थापित तरल के आयतन के बराबर होता है:
$F_{b} = V \rho g$
चूंकि द्रव्यमान $m = V \rho$ होता है, इसलिए:
$F_{b} = m g$
यह बल ऊपर की दिशा में कार्य करता है। यहाँ $m$ विस्थापित तरल का द्रव्यमान है। अतः, उत्प्लावन बल = विस्थापित तरल का भार। इस प्रकार आर्किमिडीज का सिद्धांत सिद्ध होता है।

(N/A) प्लवन का नियम यह बताता है कि कोई वस्तु किसी द्रव की सतह पर तब तैरती है जब उस वस्तु का भार,वस्तु के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
जब कोई वस्तु किसी द्रव में आंशिक या पूर्ण रूप से डूबी होती है,तो उस पर दो बल कार्य करते हैं:
$(1)$ वस्तु का भार $(W)$: $W = V_s \rho_s g$ (नीचे की ओर),जहाँ $V_s$ वस्तु का आयतन है और $\rho_s$ वस्तु का घनत्व है।
$(2)$ उत्प्लावन बल $(F_b)$: $F_b = V_f \rho_f g$ (ऊपर की ओर),जहाँ $V_f$ विस्थापित द्रव का आयतन है और $\rho_f$ द्रव का घनत्व है।
मामले:
$(a)$ यदि $W > F_b$ हो: तो वस्तु द्रव में डूब जाती है (जैसे,लोहे की कील)।
$(b)$ यदि $W = F_b$ हो: तो वस्तु किसी भी गहराई पर संतुलन में रहती है (जैसे,पनडुब्बी)।
$(c)$ यदि $W < F_b$ हो: तो वस्तु द्रव की सतह पर तैरती है (जैसे,लकड़ी का गुटका)।

(N/A) जब कोई पिंड किसी द्रव की सतह पर तैरता है,तो पिंड का भार उस पिंड द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार: $W_{\text{body}} = W_{\text{displaced liquid}}$.
मान लीजिए $V$ पिंड का कुल आयतन है और $\rho$ इसका घनत्व है।
मान लीजिए $V^{\prime}$ द्रव में डूबे हुए पिंड के भाग का आयतन है और $\rho_{l}$ द्रव का घनत्व है।
पिंड का भार $W = V \rho g$ है।
विस्थापित द्रव का भार (उत्प्लावन बल) $F_{B} = V^{\prime} \rho_{l} g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $V \rho g = V^{\prime} \rho_{l} g$.
इस प्रकार,डूबे हुए आयतन और कुल आयतन का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{\rho}{\rho_{l}}$.
अतः,डूबे हुए भाग का आयतन $V^{\prime} = V \left( \frac{\rho}{\rho_{l}} \right)$ है।

(N/A) उत्प्लावक बल वह ऊपर की ओर लगने वाला बल है जो किसी तरल द्वारा उस वस्तु पर लगाया जाता है जो उसमें पूरी तरह या आंशिक रूप से डूबी होती है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,इस बल का परिमाण वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$F_b = \rho \cdot V \cdot g$,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है,$V$ विस्थापित तरल का आयतन है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

(B) उत्प्लावन बल तरल द्वारा लगाया गया वह ऊपर की ओर का बल है जो डूबी हुई वस्तु के भार का विरोध करता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,यह बल ऊर्ध्वाधर दिशा में,विशेष रूप से ऊपर की ओर,गुरुत्वाकर्षण बल के विपरीत कार्य करता है।
इसलिए,उत्प्लावन बल की दिशा हमेशा ऊपर की ओर होती है।

(N/A) आर्किमिडीज का सिद्धांत बताता है कि जब किसी वस्तु को किसी तरल में आंशिक या पूर्ण रूप से डुबोया जाता है,तो वह वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल का अनुभव करती है।
गणितीय रूप से,उत्प्लावन बल $F_B$ को $F_B = V \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

(N/A) प्लवन का नियम यह बताता है कि कोई वस्तु किसी द्रव में तब तैरती है जब वस्तु के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव का भार, वस्तु के कुल भार के बराबर होता है।
गणितीय रूप से, $\rho$ घनत्व वाले द्रव में तैर रही $M$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए, शर्त इस प्रकार है:
$\text{वस्तु } \text{का } \text{भार } = \text{विस्थापित } \text{द्रव } \text{का } \text{भार}$
$Mg = V_{submerged} \rho g$
जहाँ $V_{submerged}$ द्रव में डूबे हुए वस्तु का आयतन है।

(N/A) मान लीजिए कि कुल आयतन $V$ और घनत्व $\rho$ वाला एक पिंड $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में तैर रहा है,और $V_{sub}$ डूबे हुए भाग का आयतन है।
प्लवन के नियम के अनुसार,पिंड का भार डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
पिंड का भार = $V \rho g$
विस्थापित द्रव का भार = $V_{sub} \sigma g$
दोनों को बराबर करने पर: $V \rho g = V_{sub} \sigma g$
अतः,डूबे हुए भाग का आयतन $V_{sub} = V \left( \frac{\rho}{\sigma} \right)$ है।

(A) कोई वस्तु द्रव में तब डूबती है जब उसका भार $(W)$ उस पर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल $(F_B)$ से अधिक होता है।
गणितीय रूप से,मान लीजिए कि वस्तु का घनत्व $\rho_b$ है और द्रव का घनत्व $\rho_l$ है।
वस्तु का भार $W = V \rho_b g$ है,जहाँ $V$ वस्तु का आयतन है।
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_l g$ है।
वस्तु के डूबने के लिए,$W > F_B$ होना चाहिए।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$V \rho_b g > V \rho_l g$,जो सरल होकर $\rho_b > \rho_l$ हो जाता है।
अतः,यदि वस्तु का घनत्व द्रव के घनत्व से अधिक है,तो वस्तु डूब जाएगी।

(C) यदि किसी वस्तु का घनत्व द्रव के घनत्व के बराबर है,तो वह वस्तु द्रव में किसी भी गहराई पर संतुलन में रह सकती है।
प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार $(W = V \rho_{body} g)$ उत्प्लावन बल $(F_B = V \rho_{liquid} g)$ के बराबर होना चाहिए।
यदि $\rho_{body} = \rho_{liquid}$ है,तो $W = F_B$ होगा।
चूंकि उत्प्लावन बल केवल विस्थापित द्रव के आयतन और द्रव के घनत्व पर निर्भर करता है (जिसे एकसमान माना जाता है),इसलिए गहराई के साथ उत्प्लावन बल नहीं बदलता है।
अतः,किसी भी गहराई पर कुल बल $(W - F_B)$ शून्य रहता है,जिससे वस्तु उदासीन संतुलन में बनी रहती है।

(B) कोई वस्तु द्रव की सतह पर तब तैरती है जब वस्तु का भार द्रव द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल (upthrust) द्वारा पूरी तरह संतुलित हो जाता है।
प्लवन के नियम के अनुसार,किसी वस्तु के संतुलन में तैरने के लिए,वस्तु का भार वस्तु के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$W_{body} = F_{buoyant}$।
यदि $W_{body} > F_{buoyant}$ है,तो वस्तु डूब जाएगी।
यदि $W_{body} < F_{buoyant}$ है,तो वस्तु सतह पर आ जाएगी और आंशिक रूप से डूबी हुई अवस्था में तैरेगी।