Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(B) जब सोडा की बोतल खोली जाती है,तो अंदर का दबाव कम हो जाता है,जिससे घुली हुई $CO_2$ गैस बुलबुले बनाती है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी द्रव में डूबी हुई वस्तु पर ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल उस वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के वजन के बराबर होता है।
बुलबुले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $(F_b)$ $F_b = V \rho_{liquid} g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ बुलबुले का आयतन है,$\rho_{liquid}$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
बुलबुले का वजन $(W)$ $W = V \rho_{gas} g$ है।
चूंकि गैस का घनत्व $(\rho_{gas})$ द्रव के घनत्व $(\rho_{liquid})$ से बहुत कम होता है,इसलिए उत्प्लावन बल बुलबुले के वजन से काफी अधिक होता है $(F_b > W)$।
इस शुद्ध ऊपर की ओर लगने वाले बल के कारण बुलबुले त्वरित होते हैं और सतह पर ऊपर उठते हैं।

(N/A) उत्प्लावकता एक तरल द्वारा उसमें डूबी हुई वस्तु पर ऊपर की ओर लगाया गया बल है। इस बल को उत्प्लावन बल (buoyant force) के रूप में जाना जाता है। तरल के इस गुण को उत्प्लावकता कहा जाता है।

(N/A) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,कोई वस्तु तब तैरती है जब उसके द्वारा विस्थापित तरल का भार उसके स्वयं के भार के बराबर होता है।
$1$. लोहे के टुकड़े का आयतन कम होता है,इसलिए उसके द्वारा विस्थापित पानी का भार उसके स्वयं के भार से कम होता है,जिससे वह डूब जाता है।
$2$. जहाज को एक बड़ी खोखली संरचना के साथ डिज़ाइन किया जाता है,जो इसके आयतन को काफी बढ़ा देती है। यह जहाज को इतने पानी को विस्थापित करने की अनुमति देता है जिसका भार जहाज के कुल भार के बराबर हो,जो तैरने की स्थिति को पूरा करता है।

(N/A) नहीं,झील में पानी का स्तर नहीं बदलेगा।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,नाव द्वारा विस्थापित पानी का वजन नाव और व्यक्ति के कुल वजन के बराबर होता है।
जब व्यक्ति झील से एक बाल्टी पानी लेता है,तो हटाए गए पानी का वजन उस पानी के वजन के बराबर होता है जो बाल्टी के डूबने पर विस्थापित हुआ था।
जब बाल्टी को नाव के अंदर रखा जाता है,तो नाव का कुल वजन बाल्टी में मौजूद पानी के वजन के बराबर बढ़ जाता है।
यह अतिरिक्त वजन नाव को थोड़ा और गहरा डुबो देता है,जिससे बाल्टी में मौजूद पानी के वजन के बराबर पानी फिर से विस्थापित हो जाता है।
चूंकि नाव में जोड़े गए पानी का आयतन झील से हटाए गए पानी के आयतन के बिल्कुल बराबर है,इसलिए झील के जल स्तर में शुद्ध परिवर्तन शून्य है।

(B) नहीं, मुक्त पतन की स्थिति में पात्र आर्किमिडीज के सिद्धांत का पालन नहीं करता है।
आर्किमिडीज का सिद्धांत कहता है कि उत्प्लावन बल (buoyant force) विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है, जिसे $F_{b} = V \rho g$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मुक्त पतन की स्थिति में, द्रव पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ $g - a$ होता है। चूंकि मुक्त पतन में $a = g$ होता है, इसलिए $g_{eff} = 0$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप, उत्प्लावन बल $F_{b} = V \rho (0) = 0$ हो जाता है।
चूंकि उत्प्लावन बल शून्य हो जाता है, इसलिए आर्किमिडीज का सिद्धांत लागू नहीं होता है।

(B) बड़ा कॉर्क सतह पर तेजी से आएगा। आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। चूंकि बड़े कॉर्क का आयतन अधिक होता है,इसलिए यह छोटे कॉर्क की तुलना में अधिक पानी विस्थापित करता है। परिणामस्वरूप,बड़े कॉर्क पर लगने वाला उत्प्लावन बल काफी अधिक होता है। चूंकि उत्प्लावन बल ही कॉर्क को सतह पर लाने के लिए जिम्मेदार ऊपर की ओर का बल है,इसलिए बड़े कॉर्क पर अधिक नेट त्वरण (net acceleration) कार्य करता है,जिससे वह सतह पर तेजी से पहुंचता है।

(N/A) नदी के पानी की तुलना में समुद्र के पानी में तैरना आसान होता है क्योंकि समुद्र के पानी में लवण (salts) घुले होते हैं,जो पानी के घनत्व को बढ़ा देते हैं। आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) $F = V \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। चूंकि समुद्र के पानी का घनत्व नदी के पानी से अधिक होता है,इसलिए समुद्र के पानी द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल अधिक होता है। यह बढ़ा हुआ उत्प्लावन बल शरीर को आसानी से तैरने में मदद करता है,जिससे पानी की सतह पर बने रहने के लिए कम प्रयास करना पड़ता है।

(B) बर्फ का घनत्व $\rho_{\text{ice}} = 0.917 \, g/cm^3$ है।
पानी का घनत्व $\rho_{w} = 1 \, g/cm^3$ है।
माना हिमखंड का कुल आयतन $V$ है।
माना पानी में डूबे हुए हिमखंड का आयतन $V^{\prime}$ है।
जब कोई वस्तु किसी द्रव में तैरती है,तो वस्तु का भार उसके डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
हिमखंड का भार = विस्थापित पानी का भार
$V \cdot \rho_{\text{ice}} \cdot g = V^{\prime} \cdot \rho_{w} \cdot g$
दोनों पक्षों को $V \cdot \rho_{w} \cdot g$ से विभाजित करने पर,हमें डूबे हुए आयतन का अंश प्राप्त होता है:
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{w}} = \frac{0.917}{1} = 0.917$.

(N/A) बर्तन और पानी से बनी प्रणाली पर विचार करें। पैमाने को शुरू में शून्य पर समायोजित किया गया है।
जब ब्लॉक को पानी में डुबोया जाता है,तो यह पानी द्वारा ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल (upthrust) $F_B$ का अनुभव करता है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पानी पर उतना ही और विपरीत दिशा में नीचे की ओर बल लगाता है।
इसलिए,पैमाने का पाठ्यांक ब्लॉक द्वारा अनुभव किए गए उत्प्लावन बल के बराबर बढ़ जाता है।
उत्प्लावन बल $F_B = V_{sub} \rho_w g$,जहाँ $V_{sub}$ ब्लॉक का डूबा हुआ आयतन है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
यदि $M$ द्रव्यमान और $\rho$ घनत्व वाला पूरा ब्लॉक डूबा हुआ है,तो $V_{sub} = V = \frac{M}{\rho}$ होगा।
अतः,पैमाने का पाठ्यांक $F_B = \left( \frac{M}{\rho} \right) \rho_w g = M g \left( \frac{\rho_w}{\rho} \right)$ होगा।

(A) मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho_{w}$ है। $L$ ऊंचाई का ब्लॉक उस पर तैर रहा है। मान लीजिए $x$ ब्लॉक की वह ऊंचाई है जो पानी में डूबी हुई है।
ब्लॉक का आयतन $V = L^{3}$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = V \rho = L^{3} \rho$ है।
ब्लॉक का भार $W = mg = L^{3} \rho g$ है।
स्थिति $1$: जब लिफ्ट स्थिर है (या स्थिर वेग से चल रही है),तो ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है।
ब्लॉक का भार = विस्थापित पानी का भार।
$L^{3} \rho g = (x L^{2}) \rho_{w} g$.
अतः,डूबे हुए भाग का अनुपात $\frac{x}{L} = \frac{\rho}{\rho_{w}}$ है।
स्थिति $2$: जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी त्वरण $g' = (g + a)$ हो जाता है।
इस फ्रेम में,ब्लॉक का भार $W' = m(g + a) = L^{3} \rho (g + a)$ हो जाता है।
उत्प्लावन बल भी बदल जाता है क्योंकि द्रव पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बदल जाता है: $F_{B}' = V_{submerged} \rho_{w} (g + a) = (x' L^{2}) \rho_{w} (g + a)$,जहाँ $x'$ नई डूबी हुई ऊंचाई है।
दोनों को बराबर करने पर: $L^{3} \rho (g + a) = x' L^{2} \rho_{w} (g + a)$.
दोनों पक्षों से $(g + a)$ को काटने पर,हमें $L^{3} \rho = x' L^{2} \rho_{w}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया डूबा हुआ अनुपात $\frac{x'}{L} = \frac{\rho}{\rho_{w}}$ है।
निष्कर्ष: लिफ्ट के त्वरण की परवाह किए बिना ब्लॉक का डूबा हुआ भाग अपरिवर्तित रहता है।

(C) हवा के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (1)^3 \approx 4.1888\,cm^3 \approx 4.19\,cm^3$ है।
बुलबुले पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $B$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $B - mg = ma$ है।
यहाँ,$B = V \rho_w g$,जहाँ $\rho_w = 1\,g\,cm^{-3}$ पानी का घनत्व है।
समीकरण में $B$ का मान रखने पर: $V \rho_w g - mg = ma$.
द्रव्यमान $m$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $m(g + a) = V \rho_w g$.
$m = \frac{V \rho_w g}{g + a} = \frac{V \rho_w}{1 + \frac{a}{g}}$.
मान रखने पर: $m = \frac{4.19 \times 1}{1 + \frac{9.8}{980}} = \frac{4.19}{1 + 0.01} = \frac{4.19}{1.01} \approx 4.1485\,g \approx 4.15\,g$.

(B) कवच के ठीक पानी के नीचे तैरने के लिए,कवच का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होना चाहिए।
कवच का भार = $V_{material} \times \rho_{material} \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g$.
विस्थापित पानी का भार = $V_{total} \times \rho_{water} \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
$(R^3 - r^3) \rho_{material} = R^3 \rho_{water}$.
दिया गया विशिष्ट गुरुत्व $\frac{\rho_{material}}{\rho_{water}} = \frac{27}{8}$ है।
अतः,$(R^3 - r^3) \frac{27}{8} = R^3$.
$R^3 - r^3 = \frac{8}{27} R^3$.
$r^3 = R^3 - \frac{8}{27} R^3 = \frac{19}{27} R^3$.
$r = R \left( \frac{19}{27} \right)^{1/3} = \frac{R}{3} (19)^{1/3}$.
चूंकि $(19)^{1/3} \approx 2.668$,इसलिए $r \approx \frac{2.668}{3} R \approx 0.889 R$.

(B) स्थिति $A$: यहाँ वजन मशीन पर लगने वाला बल केवल पानी का वजन है। इसलिए,$w_{A} = mg$.
स्थिति $B$: इस स्थिति में,मशीन पर नीचे की ओर लगने वाले बल पानी का वजन और गेंद पर पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल $(F_{B})$ की प्रतिक्रिया हैं। इसलिए,$w_{B} = mg + F_{B}$.
स्थिति $C$: इस स्थिति में,नीचे की ओर कार्य करने वाले बल पानी का वजन और उत्प्लावन बल की प्रतिक्रिया हैं,जो स्थिति $B$ के समान है क्योंकि गेंदें समान आकार की हैं। इसलिए,$w_{C} = mg + F_{B}$.
स्थिति $D$: इस स्थिति में,बीकर के तल पर कार्य करने वाले बल पानी का वजन $(mg)$,गेंद का वजन $(m'g)$ और डोरी में ऊपर की ओर लगने वाला तनाव $(T)$ हैं। उत्प्लावन बल $(F_{B})$ गेंद पर ऊपर की ओर कार्य करता है। संतुलन के लिए,$T + F_{B} = m'g$,इसलिए $T = m'g - F_{B}$। वजन मशीन पर कुल बल $w_{D} = mg + m'g - T = mg + m'g - (m'g - F_{B}) = mg + F_{B}$ है।
अतः,$w_{B} = w_{C} = w_{D} > w_{A}$।

(B) मान लीजिए प्रत्येक सिक्के का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में $40$ सिक्कों के लिए डूबी हुई गहराई $h_0 = 3 \, cm$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,कंटेनर का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $(40m)g = A \cdot h_0 \cdot \rho_w \cdot g$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः,$A \rho_w = \frac{40m}{3}$।
जब $N$ अतिरिक्त सिक्के जोड़े जाते हैं,तो कुल द्रव्यमान $(40+N)m$ हो जाता है। नई डूबी हुई गहराई $h'$ इस प्रकार है: $(40+N)m = A \cdot h' \cdot \rho_w$,इसलिए $h' = \frac{(40+N)m}{A \rho_w} = \frac{(40+N)m}{40m/3} = \frac{3(40+N)}{40} \, cm$।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ (आधार से मापा गया) $CM = \frac{40m(0) + Nm(9)}{(40+N)m} = \frac{9N}{40+N} \, cm$ है।
डूबे हुए भाग का ज्यामितीय केंद्र $(GC)$ आधार से $h'/2$ की दूरी पर है: $GC = \frac{h'}{2} = \frac{3(40+N)}{80} \, cm$।
स्थिर संतुलन से अस्थिर संतुलन में परिवर्तन के लिए,$CM$ को $GC$ के साथ संपाती होना चाहिए $(CM = GC)$:
$\frac{9N}{40+N} = \frac{3(40+N)}{80}$
$720N = 3(40+N)^2$
$240N = 1600 + 80N + N^2$
$N^2 - 160N + 1600 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $N = \frac{160 \pm \sqrt{160^2 - 4(1600)}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 - 6400}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{19200}}{2} = 80 \pm 40\sqrt{3} \approx 80 \pm 69.28$।
चूंकि $N < 40$ (कंटेनर की ऊँचाई $9 \, cm$ है),हम $N = 80 - 69.28 = 10.72$ लेते हैं।
$N$ का मान $10$ के निकटतम है।

(A) तैरते हुए गुटके के लिए,गुटके का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $Mg = V_{sub} \rho_{water} g$,जहाँ $V_{sub}$ डूबे हुए भाग का आयतन है।
चूँकि गुटके का कुल आयतन $V = V_{sub} + V_0$ स्थिर है (लकड़ी के तापीय प्रसार को नगण्य मानते हुए),हमारे पास $V_0 = V - V_{sub} = V - \frac{M}{\rho_{water}}$ है।
जैसे-जैसे पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $10^{\circ} C$ तक बढ़ता है,पानी का घनत्व $\rho_{water}$ शुरू में बढ़ता है,जो $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है,और फिर घटता है।
चूँकि $V_0 = V - \frac{M}{\rho_{water}}$ है,जैसे-जैसे $\rho_{water}$ बढ़ता है,पद $\frac{M}{\rho_{water}}$ घटता है,जिससे $V_0$ का मान $4^{\circ} C$ तक बढ़ता है।
$4^{\circ} C$ के बाद,जैसे-जैसे $\rho_{water}$ घटता है,पद $\frac{M}{\rho_{water}}$ बढ़ता है,जिससे $V_0$ घटता है।
अतः,पानी के ऊपर गुटके का आयतन $V_0$ $4^{\circ} C$ तक बढ़ता है और फिर $4^{\circ} C$ से $10^{\circ} C$ तक घटता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) पानी की सतह के ऊपर रहने वाले बर्फ के ब्लॉक की मोटाई का अंश $x = 1 - (\rho_{\text{ice}} / \rho_{\text{water}})$ द्वारा दिया जाता है।
बर्फ का घनत्व $\rho_{\text{ice}} \approx 0.9 \, \text{g/cm}^3$ और पानी का घनत्व $\rho_{\text{water}} = 1 \, \text{g/cm}^3$ लेने पर,हमें $x = 1 - 0.9 = 0.1$ प्राप्त होता है।
बर्फ के ब्लॉक की मोटाई $H = 8 \, m$ है।
पानी के स्तर से ऊपर बर्फ के ब्लॉक की ऊंचाई $h = H \times x = 8 \times 0.1 = 0.8 \, m$ है।
चूंकि व्यक्ति बर्फ पर खड़ा है,इसलिए पानी की सतह तक की दूरी पानी के ऊपर बर्फ की ऊंचाई के बराबर है।
अतः,आवश्यक रस्सी की न्यूनतम लंबाई लगभग $0.8 \, m$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $0.9 \, m$ है।

(D) स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक स्प्रिंग में तनाव को मापता है,जो वस्तु के आभासी भार के बराबर होता है।
जब बॉक्स वायुमंडल में होता है,तो यह विस्थापित हवा के कारण ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल $F_b$ का अनुभव करता है।
वायुमंडल में पाठ्यांक $R$ का मान $R = W - F_b$ होता है,जहाँ $W$ बॉक्स का वास्तविक भार है।
निर्वातित कक्ष में,उत्प्लावन बल $F_b$ शून्य हो जाता है।
इसलिए,नया पाठ्यांक $R'$ वास्तविक भार $W$ के बराबर होगा।
चूंकि $R' = W$ और $R = W - F_b$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $R' > R$ होगा।
अतः,पाठ्यांक $50 \,kg$ से अधिक होगा क्योंकि वायुमंडलीय उत्प्लावन बल अनुपस्थित है।

(D) साबुन के बुलबुले को हवा में तैरने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
गुरुत्वाकर्षण बल = उत्प्लावन बल
$g \times (\text{हीलियम का द्रव्यमान} + \text{साबुन की फिल्म का द्रव्यमान}) = \text{बुलबुले द्वारा विस्थापित हवा का वजन}$
मान लीजिए $r$ साबुन के बुलबुले की आंतरिक त्रिज्या है और $t$ फिल्म की मोटाई है।
हीलियम का आयतन $V_{He} = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
साबुन की फिल्म का आयतन $V_{film} \approx 4 \pi r^2 t$ है (चूंकि $t \ll r$)।
संतुलन का समीकरण है:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{He} g + (4 \pi r^2 t) \rho_{soap} g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g$
$g$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$4 \pi r^2 t \rho_{soap} = \frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_{air} - \rho_{He})$
$t = \frac{r}{3} \frac{(\rho_{air} - \rho_{He})}{\rho_{soap}}$
दिया गया है $r = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$,$\rho_{air} = 1.23 \, kg \, m^{-3}$,$\rho_{He} = 0.18 \, kg \, m^{-3}$,और $\rho_{soap} = 1000 \, kg \, m^{-3}$।
$t = \frac{10^{-2}}{3} \times \frac{(1.23 - 0.18)}{1000}$
$t = \frac{10^{-2}}{3} \times \frac{1.05}{1000} = \frac{1.05 \times 10^{-5}}{3} = 0.35 \times 10^{-5} \, m = 3.5 \times 10^{-6} \, m$.
चूंकि $1 \, \mu m = 10^{-6} \, m$,इसलिए मोटाई $t = 3.50 \, \mu m$ है।

(B) दिया गया है,घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$6a^2 = 4\pi r^2 \Rightarrow \frac{a}{r} = \sqrt{\frac{4\pi}{6}} = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}$.
उत्प्लावन बल $F_B = V \cdot \rho_f \cdot g$ होता है। चूंकि दोनों समान द्रव में पूरी तरह से डूबे हुए हैं,इसलिए उत्प्लावन बलों का अनुपात उनके आयतन के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{(F_B)_{\text{cube}}}{(F_B)_{\text{sphere}}} = \frac{V_{\text{cube}}}{V_{\text{sphere}}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3}{4\pi} \left( \frac{a}{r} \right)^3$.
$\frac{a}{r} = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}$ का मान रखने पर:
$\frac{(F_B)_{\text{cube}}}{(F_B)_{\text{sphere}}} = \frac{3}{4\pi} \left( \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \right)^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$ है,इसलिए $\frac{\pi}{6} < 1$,अतः $\sqrt{\frac{\pi}{6}} < 1$.
इसका अर्थ है कि $(F_B)_{\text{cube}} < (F_B)_{\text{sphere}}$.
अतः,उत्प्लावन बल गोले के लिए अधिक है।

(B) स्प्रिंग से लटके हुए ब्लॉक के संतुलन के लिए,स्प्रिंग बल और उत्प्लावन बल का योग ब्लॉक के वजन के बराबर होना चाहिए।
माना वस्तु का आयतन $V$ है और स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
वस्तु का वजन $W = \rho V g$ है।
$\rho_f$ घनत्व वाले तरल में उत्प्लावन बल $F_B = \rho_f V g$ है।
स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है।
संतुलन के लिए: $kx + \rho_f V g = \rho V g$।
पहले तरल में (घनत्व $\rho_1$): $k x_1 + \rho_1 V g = \rho V g \quad \dots(i)$
दूसरे तरल में (घनत्व $\rho_2$): $k x_2 + \rho_2 V g = \rho V g \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$k = \frac{(\rho - \rho_1) V g}{x_1}$।
$(ii)$ से,$k = \frac{(\rho - \rho_2) V g}{x_2}$।
$k$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{(\rho - \rho_1) V g}{x_1} = \frac{(\rho - \rho_2) V g}{x_2}$
$(\rho - \rho_1) x_2 = (\rho - \rho_2) x_1$
$\rho x_2 - \rho_1 x_2 = \rho x_1 - \rho_2 x_1$
$\rho (x_2 - x_1) = \rho_1 x_2 - \rho_2 x_1$
$\rho = \frac{\rho_1 x_2 - \rho_2 x_1}{x_2 - x_1}$

(C) जब ब्लॉक को द्रव में डुबोया जाता है,तो यह द्रव के कारण ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_b$ का अनुभव करता है।
बैलेंस $A$ के लिए,पाठ्यांक स्प्रिंग में तनाव $T$ के अनुरूप होता है। प्रारंभ में,$T = mg = 2 \,kg \times g$। जब इसे डुबोया जाता है,तो $T' = mg - F_b$। चूँकि $F_b > 0$ है,इसलिए नया पाठ्यांक $T'$,$2 \,kg$ से कम होगा।
बैलेंस $B$ के लिए,प्रारंभिक पाठ्यांक बीकर और द्रव का कुल भार है। जब ब्लॉक को डुबोया जाता है,तो न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक द्रव पर नीचे की ओर समान और विपरीत बल $F_b$ लगाता है। इसलिए,बैलेंस $B$ पर नया पाठ्यांक प्रारंभिक भार और उत्प्लावन बल $F_b$ का योग होगा। चूँकि $F_b > 0$ है,इसलिए नया पाठ्यांक $3 \,kg$ से अधिक होगा। हालाँकि,पूरी प्रणाली (बीकर + द्रव + ब्लॉक) का कुल भार $2 \,kg + 3 \,kg = 5 \,kg$ है। चूँकि ब्लॉक बीकर के तल पर नहीं टिका है बल्कि स्प्रिंग $A$ द्वारा समर्थित है,इसलिए $B$ पर पाठ्यांक कुल भार $5 \,kg$ से कम होगा।
अतः,बैलेंस $A$ का पाठ्यांक $2 \,kg$ से कम और बैलेंस $B$ का पाठ्यांक $3 \,kg$ और $5 \,kg$ के बीच होगा।

(C) घन के संतुलन में रहने के लिए,घन का भार दोनों तरल पदार्थों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
घन का भार $W = m g$,जहाँ $m$ घन का द्रव्यमान है।
उत्प्लावन बल $F_B = F_{B,A} + F_{B,B} = V_A \rho_A g + V_B \rho_B g$.
यहाँ,घन की भुजा की लंबाई $L = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है। घन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{cube} = L^2 = 100 \, cm^2 = 0.01 \, m^2$ है।
तरल $A$ में डूबे घन का आयतन $V_A = A_{cube} \times h_A = 100 \, cm^2 \times 4 \, cm = 400 \, cm^3 = 400 \times 10^{-6} \, m^3$ है।
तरल $B$ में डूबे घन का आयतन $V_B = A_{cube} \times h_B = 100 \, cm^2 \times 6 \, cm = 600 \, cm^3 = 600 \times 10^{-6} \, m^3$ है।
तरल पदार्थों का घनत्व $\rho_A = 0.6 \times 1000 \, kg/m^3 = 600 \, kg/m^3$ और $\rho_B = 0.4 \times 1000 \, kg/m^3 = 400 \, kg/m^3$ है।
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $m g = (V_A \rho_A + V_B \rho_B) g$.
$m = V_A \rho_A + V_B \rho_B = (400 \times 10^{-6} \, m^3 \times 600 \, kg/m^3) + (600 \times 10^{-6} \, m^3 \times 400 \, kg/m^3)$.
$m = (240,000 \times 10^{-6}) + (240,000 \times 10^{-6}) \, kg = 0.24 \, kg + 0.24 \, kg = 0.48 \, kg$.
ग्राम में बदलने पर,$m = 0.48 \times 1000 \, g = 480 \, g$.

(B) जब नाव लोहे के टुकड़ों के साथ तैर रही होती है,तो नाव द्वारा विस्थापित पानी का वजन नाव और लोहे के टुकड़ों के कुल वजन $(W_{boat} + W_{iron})$ के बराबर होता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है।
जब लोहे के टुकड़ों को पानी में फेंक दिया जाता है,तो वे डूब जाते हैं क्योंकि लोहे का घनत्व पानी के घनत्व से अधिक होता है।
इस स्थिति में,लोहे के टुकड़े अपने स्वयं के आयतन के बराबर पानी विस्थापित करते हैं।
चूंकि लोहे का घनत्व पानी से अधिक है,इसलिए डूबने पर लोहे के टुकड़ों द्वारा विस्थापित पानी का वजन,नाव में तैरते समय विस्थापित पानी के वजन से कम होता है।
अतः,विस्थापित पानी का कुल आयतन कम हो जाता है,जिससे तालाब में पानी का स्तर नीचे गिर जाता है।

(A) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,तैरते हुए बर्फ के टुकड़े का भार उसके द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए $M$ बर्फ का द्रव्यमान है और $V_{air}$ हवा के बुलबुले का आयतन है।
बर्फ के टुकड़े का कुल आयतन $V_{ice} + V_{air}$ है।
बर्फ के टुकड़े का भार $W = Mg$ है।
चूंकि यह तैर रहा है,विस्थापित पानी का भार बर्फ के टुकड़े के भार के बराबर है: $W_{displaced} = Mg$.
विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = \frac{Mg}{\rho_w g} = \frac{M}{\rho_w}$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब बर्फ पिघलती है,तो यह $M$ द्रव्यमान के पानी में बदल जाती है,जो $V_{melted} = \frac{M}{\rho_w}$ आयतन घेरता है।
हालाँकि,हवा के बुलबुले ने पहले अपने स्वयं के आयतन $V_{air}$ के बराबर पानी को विस्थापित किया था ताकि टुकड़ा तैर सके।
जब बर्फ पिघलती है,तो हवा का बुलबुला मुक्त हो जाता है,और पानी का स्तर नीचे गिर जाता है क्योंकि हवा के बुलबुले द्वारा पहले घेरा गया आयतन $(V_{air})$ अब पानी को विस्थापित नहीं कर रहा है।
इसलिए,पानी का स्तर नीचे गिर जाएगा।

(A) तैरती हुई वस्तु के लिए,उत्प्लावन बल (buoyant force) को वस्तु के वजन को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $V$ बर्फ के ब्लॉक का कुल आयतन है और $V_{imm}$ पानी में डूबे हुए बर्फ का आयतन है।
बर्फ का घनत्व $\rho_{ice} = 0.9 \, g/cm^3$ और पानी का घनत्व $\rho_{water} = 1.0 \, g/cm^3$ है।
बर्फ के ब्लॉक का वजन $W = V \cdot \rho_{ice} \cdot g$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = V_{imm} \cdot \rho_{water} \cdot g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $V \cdot \rho_{ice} \cdot g = V_{imm} \cdot \rho_{water} \cdot g$.
$\frac{V_{imm}}{V} = \frac{\rho_{ice}}{\rho_{water}} = \frac{0.9}{1.0} = 0.9$.
इसका मतलब है कि $90\%$ बर्फ पानी में डूबी हुई है।
पानी के बाहर तैरने वाले आयतन का अंश $1 - 0.9 = 0.1$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $0.1 \times 100\% = 10\%$।

(A) माना ब्लॉक का आयतन $V$ है,ब्लॉक का घनत्व $\rho$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
हवा में,ब्लॉक का भार $W_{air} = V \rho g = 60 \, N$ है।
जब पानी में डुबोया जाता है,तो आभासी भार $W_{water} = V \rho g - V \rho_w g = 40 \, N$ होता है।
$V \rho g = 60$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $60 - V \rho_w g = 40$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_w g = 20 \, N$ है।
अब,ब्लॉक का विशिष्ट गुरुत्व $SG = \frac{\rho}{\rho_w} = \frac{V \rho g}{V \rho_w g}$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर,$SG = \frac{60}{20} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,ब्लॉक का विशिष्ट गुरुत्व $3$ है।

(B) मान लीजिए कि हवा में वस्तु का भार $W_a = V \rho_b g$ है,जहाँ $V$ वस्तु का आयतन है और $\rho_b$ इसका घनत्व है।
पानी में वस्तु का भार $W_w = \frac{1}{3} W_a$ दिया गया है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $F_B = W_a - W_w = W_a - \frac{1}{3} W_a = \frac{2}{3} W_a$.
साथ ही,$F_B = V \rho_w g$,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व $(1 \ g/cm^3)$ है।
$F_B$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$V \rho_w g = \frac{2}{3} (V \rho_b g)$
$\rho_w = \frac{2}{3} \rho_b$
$\rho_b = \frac{3}{2} \rho_w = 1.5 \times 1 \ g/cm^3 = 1.5 \ g/cm^3$.
अतः,वस्तु का घनत्व $1.5 \ g/cm^3$ है।

(C) माना घन की भुजा $L \,cm$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \,g/cm^3$ है।
पहले मामले में,$200 \,g$ द्रव्यमान के साथ घन तैर रहा है,जिसका अर्थ है कि कुल भार घन के पूरे आयतन पर लगने वाले उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$(M_{cube} + 200)g = (L^3 \times \rho_w)g$
दूसरे मामले में,केवल घन तैर रहा है,जिसका अर्थ है कि इसका भार डूबे हुए आयतन पर लगने वाले उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$M_{cube}g = (L^2 \times (L - 2) \times \rho_w)g$
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$(M_{cube} + 200)g - M_{cube}g = (L^3 \times \rho_w)g - (L^2(L - 2) \times \rho_w)g$
$200 = L^3 - L^2(L - 2)$
$200 = L^3 - L^3 + 2L^2$
$200 = 2L^2$
$L^2 = 100$
$L = 10 \,cm$.

(A) किसी तरल में डूबी हुई वस्तु का आभासी भार इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = W_{actual} - F_B$,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$W_{app} = V_b \rho_s g - V_b \rho_w g = V_b g (\rho_s - \rho_w)$.
दिया गया है:
ब्लॉक का आयतन $V_b = 5 \times 5 \times 5 \, cm^3 = 125 \, cm^3$.
स्टील का सापेक्ष घनत्व $\text{RD}_s = \frac{\rho_s}{\rho_w} = 7$,इसलिए $\rho_s = 7 \, g/cm^3$ और $\rho_w = 1 \, g/cm^3$.
मान रखने पर:
$W_{app} = (5 \times 5 \times 5) \times (7 - 1) \, g wt$
$W_{app} = 6 \times 5 \times 5 \times 5 \, g wt$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना गुटके का आयतन $V_b$ है और इसका घनत्व $\rho_b$ है।
जब गुटका पानी में तैरता है,तो गुटके का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$V_b \cdot \rho_b \cdot g = (\frac{4}{5} V_b) \cdot \rho_w \cdot g$
यहाँ $\rho_w = 1000 \, kg/m^3$ दिया गया है,इसलिए:
$\rho_b = \frac{4}{5} \times 1000 = 800 \, kg/m^3$.
जब गुटका किसी अन्य द्रव में 'पूरी तरह डूबकर' तैरता है,तो इसका अर्थ है कि गुटके का पूरा आयतन द्रव में डूबा हुआ है:
$V_b \cdot \rho_b \cdot g = V_b \cdot \rho_l \cdot g$
अतः,$\rho_l = \rho_b = 800 \, kg/m^3$.

(A) माना घनाकार ब्लॉक का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho_b$ है। माना तरल का घनत्व $\rho_l$ है।
प्रारंभ में,ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर है:
$V \rho_b g = V_{immersed} \rho_l g$
दिया गया है कि $V_{immersed} = V / 4$,इसलिए:
$V \rho_b g = (V / 4) \rho_l g \implies \rho_b = \rho_l / 4$
जब प्रणाली $a = g / 4$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g' = g + a = g + g / 4 = 5g / 4$ हो जाता है।
नया उत्प्लावन बल $F_B'$ ब्लॉक के प्रभावी भार $W'$ को संतुलित करना चाहिए:
$W' = V \rho_b g' = V (\rho_l / 4) (5g / 4)$
$F_B' = V_{immersed}' \rho_l g' = V_{immersed}' \rho_l (5g / 4)$
$W' = F_B'$ को बराबर करने पर:
$V (\rho_l / 4) (5g / 4) = V_{immersed}' \rho_l (5g / 4)$
$V / 4 = V_{immersed}'$
अतः,डूबे हुए आयतन का अंश $1 / 4$ ही रहेगा।

(C) मान लीजिए वस्तु का आयतन $V$ है। जब वस्तु को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
जैसे ही वस्तु $h'$ की अधिकतम गहराई तक डूबती है,उसका अंतिम वेग शून्य हो जाता है। हम कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू कर सकते हैं: गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य और उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $(mg)h' = (V \rho g)h'$
उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य = $-(F_B)h' = -(V \sigma g)h'$
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = $K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(V \rho)(2gh) = -V \rho gh$
किए गए कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$(V \rho g)h' - (V \sigma g)h' = -V \rho gh$
$V g h' (\rho - \sigma) = -V \rho gh$
$h' (\sigma - \rho) = h \rho$
$h' = \frac{h \rho}{\sigma - \rho}$

(C) सही उत्तर $C$ है।
जब पत्थर नाव में होते हैं,तो नाव उस पानी के आयतन को विस्थापित करके तैरती है जिसका वजन नाव और पत्थरों के कुल वजन के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
मान लीजिए नाव का द्रव्यमान $M_b$ है और पत्थरों का द्रव्यमान $M_s$ है। कुल वजन $(M_b + M_s)g$ है। नाव द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_1 = \frac{(M_b + M_s)}{\rho_w}$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब पत्थरों को पानी में डाल दिया जाता है,तो वे नीचे बैठ जाते हैं। नाव अब केवल अपने वजन के बराबर पानी विस्थापित करती है,$V_2 = \frac{M_b}{\rho_w}$। पत्थर,डूबे होने के कारण,अपने स्वयं के आयतन के बराबर पानी विस्थापित करते हैं,$V_s = \frac{M_s}{\rho_s}$,जहाँ $\rho_s$ पत्थरों का घनत्व है।
चूंकि पत्थर पानी से अधिक घने होते हैं $(\rho_s > \rho_w)$,इसलिए डूबे हुए पत्थरों द्वारा विस्थापित पानी का आयतन,नाव में तैरते समय उनके द्वारा विस्थापित पानी के आयतन से कम होता है $(V_s < \frac{M_s}{\rho_w})$।
इसलिए,विस्थापित पानी का कुल आयतन कम हो जाता है,जिससे टंकी में पानी का स्तर गिर जाता है।

(D) गोले पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $(Mg)$ नीचे की ओर,उत्प्लावन बल $(F_B)$ ऊपर की ओर,और धागे में तनाव $(T)$ ऊपर की ओर।
संतुलन के लिए,$T + F_B = Mg$,अतः $T = Mg - F_B$ होगा।
गोले का द्रव्यमान $M = 3 \,kg$ है। धातु का सापेक्ष घनत्व $\rho_{rel, M} = 10$ है,इसलिए धातु का घनत्व $\rho_M = 10 \times 1000 \,kg/m^3$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{M}{\rho_M} = \frac{3}{10 \times 1000} \,m^3 = 3 \times 10^{-4} \,m^3$ है।
द्रव का घनत्व $\rho_L = 0.8 \times 1000 \,kg/m^3 = 800 \,kg/m^3$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = \rho_L V g = 800 \times (3 \times 10^{-4}) \times 10 = 2.4 \,N$ है।
हवा में गोले का वजन $Mg = 3 \times 10 = 30 \,N$ है।
अतः,धागे में तनाव $T = 30 - 2.4 = 27.6 \,N$ है।

(C) प्लवन के नियम के अनुसार,तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक का द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए ब्लॉक का भार भी स्थिर रहता है।
अतः,विस्थापित जल का भार भी स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि विस्थापित जल का भार $V_{displaced} \times \rho_{water} \times g$ के बराबर होता है,और $\rho_{water}$ तथा $g$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए विस्थापित जल का आयतन $(V_{displaced})$ समान रहना चाहिए।
चूंकि विस्थापित जल का आयतन नहीं बदलता है,इसलिए पात्र में जल का स्तर समान रहेगा।

(A) प्लवन के नियम के अनुसार,किसी द्रव में तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक घनाकार ब्लॉक का आयतन $V$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
$1$ले ब्लॉक के लिए: ब्लॉक का भार = विस्थापित पानी का भार $\implies V \cdot \rho_1 \cdot g = (V/2) \cdot \rho_w \cdot g \implies \rho_1 = \rho_w / 2$.
$2$रे ब्लॉक के लिए: ब्लॉक का भार = विस्थापित पानी का भार $\implies V \cdot \rho_2 \cdot g = (3V/4) \cdot \rho_w \cdot g \implies \rho_2 = 3\rho_w / 4$.
ब्लॉकों के घनत्व का अनुपात $\rho_1 / \rho_2 = (\rho_w / 2) / (3\rho_w / 4) = (1/2) \times (4/3) = 2/3$ है।

(D) पानी में वस्तु का आभासी भार $W_{\text{app}} = W_{\text{air}} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
दिया गया है $W_{\text{air}} = 10 \,g$ और $W_{\text{app}} = 9 \,g$,इसलिए उत्प्लावन बल $F_B = 10 - 9 = 1 \,g \text{ (बल के रूप में)} = 1 \,g \times g$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $F_B = V_{\text{total}} \times \rho_w \times g$।
चूंकि $\rho_w = 1 \,g/cm^3$,इसलिए $V_{\text{total}} = 1 \,cm^3$ प्राप्त होता है।
कुल आयतन $V_{\text{total}}$,सोने का आयतन $V_g$ और गुहा का आयतन $V_c$ का योग है: $V_{\text{total}} = V_g + V_c$।
सोने का आयतन $V_g = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\rho_g} = \frac{10}{19.3} \approx 0.518 \,cm^3$ है।
इन मानों को रखने पर: $1 = 0.518 + V_c$।
अतः,$V_c = 1 - 0.518 = 0.482 \,cm^3$।

(B) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,विस्थापित तेल का वजन तैरते हुए बर्फ के टुकड़े के वजन के बराबर होता है।
मान लीजिए $V_{ice}$ बर्फ का आयतन है और $\rho_{ice}$ इसका घनत्व है। बर्फ का वजन $W = V_{ice} \rho_{ice} g$ है।
विस्थापित तेल का वजन $W_{oil} = V_{displaced} \rho_{oil} g$ है।
चूंकि बर्फ तैर रही है,$W = W_{oil}$,इसलिए $V_{displaced} = V_{ice} (\rho_{ice} / \rho_{oil})$।
जब बर्फ पिघलती है,तो यह $V_{water} = V_{ice} (\rho_{ice} / \rho_{water})$ आयतन के पानी में बदल जाती है।
चूंकि तेल का घनत्व $\rho_{oil}$ आमतौर पर पानी के घनत्व $\rho_{water}$ से कम होता है,इसलिए पिघले हुए पानी का आयतन $V_{water}$ विस्थापित तेल के आयतन $V_{displaced}$ से कम होता है।
इसलिए,बर्तन में तेल का स्तर नीचे चला जाएगा।

(A) माना वस्तु का घनत्व $\sigma$ है और द्रव का घनत्व $\rho$ है। माना वस्तु का आयतन $V$ है।
तार में विस्तार $\Delta L$ तार में तनाव $T$ के समानुपाती होता है,अर्थात $\Delta L \propto T$.
स्थिति $1$: जब वस्तु हवा में होती है,तो तनाव $T_1 = Mg = V\sigma g$ होता है। विस्तार $\Delta L_1 = 10 \,mm$ है।
स्थिति $2$: जब वस्तु द्रव में डूबी होती है,तो तनाव $T_2 = Mg - F_B = V\sigma g - V\rho g$ होता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है। विस्तार $\Delta L_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \,mm$ है।
विस्तार का अनुपात लेने पर:
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{V\sigma g}{V\sigma g - V\rho g} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho}$.
मान रखने पर:
$\frac{10}{20/3} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho}$.
वज्र गुणन करने पर:
$3(\sigma - \rho) = 2\sigma \Rightarrow 3\sigma - 3\rho = 2\sigma \Rightarrow \sigma = 3\rho$.
अतः,वस्तु के घनत्व और द्रव के घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma}{\rho} = 3: 1$ है।

(A) हवा में सीसे के टुकड़े का वजन $W_1 = mg = 200 \,gF$ है।
सीसे के टुकड़े का आयतन $V = \frac{m}{\rho_{lead}}$ है,जहाँ $\rho_{lead}$ सीसे का घनत्व है।
जब सीसे को उसके आधे आयतन तक खारे पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित खारे पानी के वजन के बराबर होता है:
$F_B = \text{डूबा हुआ आयतन} \times \rho_{brine} \times g = \frac{V}{2} \times \rho_{brine} \times g$.
स्प्रिंग बैलेंस का नया पाठ्यांक $W_2$ आभासी वजन है:
$W_2 = W_1 - F_B = mg - \frac{V}{2} \rho_{brine} g$.
$V = \frac{m}{\rho_{lead}}$ रखने पर:
$W_2 = mg - \frac{m}{2 \rho_{lead}} \rho_{brine} g = mg \left(1 - \frac{\rho_{brine}}{2 \rho_{lead}}\right)$.
विशिष्ट गुरुत्व $\sigma = \frac{\rho_{substance}}{\rho_{water}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_{brine}}{\rho_{lead}} = \frac{1.1}{11.4}$ है।
$W_2 = 200 \times \left(1 - \frac{1.1}{2 \times 11.4}\right) = 200 \times \left(1 - \frac{1.1}{22.8}\right) = 200 \times \left(1 - 0.048245\right) = 200 \times 0.951755 = 190.351 \,gF$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,पाठ्यांक लगभग $190.4 \,gF$ है।

(B) तैरती हुई वस्तु के लिए,विस्थापित द्रव का भार वस्तु के भार के बराबर होता है: $V_{sub} \rho_{liq} g = V_{cube} \rho_{cube} g$,जहाँ $V_{sub}$ घन का डूबा हुआ आयतन है।
इसका अर्थ है $V_{sub} \rho_{liq} = V_{cube} \rho_{cube}$।
मान लीजिए तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है। नए आयतन और घनत्व इस प्रकार हैं:
$V'_{cube} = V_{cube}(1 + 3\alpha \Delta T)$
$V'_{liq} = V_{liq}(1 + \gamma \Delta T) \implies \rho'_{liq} = \frac{\rho_{liq}}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_{liq}(1 - \gamma \Delta T)$
घन के डूबने के लिए,डूबे हुए आयतन का अंश बढ़ना चाहिए,जिसका अर्थ है कि द्रव का घनत्व घन के घनत्व की तुलना में अधिक तेजी से कम होना चाहिए,या प्रभावी रूप से,द्रव का प्रसार घन से अधिक होना चाहिए।
डूबने की शर्त यह है कि द्रव का प्रसार घन से अधिक हो,अर्थात द्रव का आयतन प्रसार गुणांक ठोस घन के आयतन प्रसार गुणांक से अधिक होना चाहिए।
घन का आयतन प्रसार गुणांक $3\alpha$ है।
इसलिए,घन डूब जाएगा यदि $\gamma > 3\alpha$ हो।

(B) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,विस्थापित द्रव का भार तैरते हुए बर्फ के टुकड़े के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए $M$ बर्फ के टुकड़े का द्रव्यमान है। बर्फ का भार $W = Mg$ है।
बर्फ द्वारा विस्थापित द्रव का आयतन $V_{disp} = \frac{M}{\rho_L}$ है,जहाँ $\rho_L$ द्रव का घनत्व है।
जब बर्फ पिघलती है,तो यह $M$ द्रव्यमान के पानी में बदल जाती है। इस पानी का आयतन $V_{water} = \frac{M}{\rho_W}$ है,जहाँ $\rho_W$ पानी का घनत्व है।
चूंकि द्रव का घनत्व पानी के घनत्व से कम है $(\rho_L < \rho_W)$,इसलिए $\frac{M}{\rho_L} > \frac{M}{\rho_W}$ होगा।
अतः,$V_{disp} > V_{water}$।
चूंकि बर्फ द्वारा विस्थापित द्रव का आयतन पिघलने के बाद बने पानी के आयतन से अधिक है,इसलिए द्रव का स्तर नीचे गिर जाएगा।

(D) माना $V_w$ पानी में डूबे बर्फ का आयतन है और $V_k$ केरोसिन तेल में डूबे बर्फ का आयतन है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार, बर्फ के टुकड़े का भार दोनों तरल पदार्थों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
बर्फ का भार $= (V_w + V_k) \rho_{ice} g$
उत्प्लावन बल $= V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
दोनों को बराबर करने पर: $(V_w + V_k) \rho_{ice} g = V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
$\rho_w g$ से भाग देने पर (जहाँ $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
$(V_w + V_k) \times 0.9 = V_w \times 1 + V_k \times 0.8$
$0.9 V_w + 0.9 V_k = V_w + 0.8 V_k$
$0.9 V_k - 0.8 V_k = V_w - 0.9 V_w$
$0.1 V_k = 0.1 V_w$
अतः, $V_w / V_k = 1 / 1$ या $1: 1$।

(A) गोले का भार $W = V_{material} \cdot \rho_{sphere} \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g$ द्वारा दिया जाता है।
उत्प्लावन बल (buoyant force) गोले द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $F_b = V_{total} \cdot \rho_w \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
गोले के तैरने के लिए,भार और उत्प्लावन बल बराबर होने चाहिए: $W = F_b$.
समीकरणों को रखने पर: $\frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
समीकरण को सरल करने पर: $(D^3 - d^3) \sigma = D^3$.
$D^3 \sigma$ से भाग देने पर: $1 - \frac{d^3}{D^3} = \frac{1}{\sigma}$.
अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{d^3}{D^3} = 1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{\sigma - 1}{\sigma}$.
व्युत्क्रम लेकर घनमूल निकालने पर: $\frac{D}{d} = \left( \frac{\sigma}{\sigma - 1} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(B) संतुलन की स्थिति में,उत्प्लावक बल गुब्बारे के भार के बराबर होता है: $Mg = V \rho(h) g$,जो सरल होकर $M = V \rho(h)$ हो जाता है।
प्रारंभिक स्थिति $h_1 = 100 m$ के लिए: $480 = V \rho_0 e^{-\frac{100}{6000}}$.
$N$ रेत की थैलियाँ निकालने के बाद अंतिम स्थिति $h_2 = 150 m$ के लिए: $(480 - N) = V \rho_0 e^{-\frac{150}{6000}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{480 - N}{480} = \frac{e^{-\frac{150}{6000}}}{e^{-\frac{100}{6000}}} = e^{-\frac{50}{6000}}$.
छोटे $x$ के लिए $e^{-x} \approx 1 - x$ सन्निकटन का उपयोग करने पर: $1 - \frac{N}{480} \approx 1 - \frac{50}{6000}$.
अतः,$\frac{N}{480} = \frac{50}{6000} = \frac{1}{120}$.
$N = \frac{480}{120} = 4$.

(A) माना खोल का बाहरी आयतन $V_0$ है और खोल का आंतरिक आयतन $V_i$ है।
माना खोल के अंदर पानी का आयतन $V$ है।
माना खोल के पदार्थ का सापेक्ष घनत्व $\rho_c$ है।
खोल के आधा डूबी हुई अवस्था में तैरने के लिए,खोल और अंदर के पानी का कुल भार विस्थापित पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
खोल का भार $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ है।
अंदर के पानी का भार $W_w = V g$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = \frac{V_0}{2} g$ है (क्योंकि यह आधा डूबा हुआ है)।
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
सरल करने पर,हमें मिलता है: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
अतः,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
यदि $\rho_c < 0.5$ है,तो $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2(V_0 - V_i)$ से गुणा करने पर: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
यह $-2V < -V_i$ या $V > V_i / 2$ में सरल हो जाता है।
अतः,$V > V_i / 2$ का अर्थ है कि खोल आधे से अधिक भरा हुआ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
ऊपरी गोले के लिए (घनत्व $\rho$): कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg = V\rho g$ नीचे की ओर),स्प्रिंग बल ($kx$ ऊपर की ओर,क्योंकि इसे निचले गोले द्वारा नीचे खींचा जा रहा है),और उत्प्लावन बल ($F_{B1} = V(2\rho)g$ ऊपर की ओर) हैं। संतुलन पर: $V\rho g + kx = V(2\rho)g \implies kx = V\rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$. अतः,$x = \frac{4 \pi R^3 \rho g}{3 k}$. यह पुष्टि करता है कि कथन $(A)$ सही है।
निचले गोले के लिए (घनत्व $3\rho$): बल गुरुत्वाकर्षण ($mg = V(3\rho)g$ नीचे की ओर),स्प्रिंग बल ($kx$ नीचे की ओर),और उत्प्लावन बल ($F_{B2} = V(2\rho)g$ ऊपर की ओर) हैं। संतुलन पर: $V(3\rho)g = V(2\rho)g + kx \implies kx = V\rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$. यह पुष्टि करता है कि विस्तार वास्तव में $\frac{4 \pi R^3 \rho g}{3 k}$ है।
चूंकि ऊपरी गोले पर उत्प्लावन बल $(2V\rho g)$ उसके वजन $(V\rho g)$ से अधिक है,इसलिए संतुलन बनाए रखने के लिए उसे पूरी तरह से डूबा होना चाहिए,क्योंकि स्प्रिंग शुद्ध ऊपर की ओर उत्प्लावन बल को संतुलित करने के लिए आवश्यक नीचे की ओर बल प्रदान करती है। अतः,हल्का गोला पूरी तरह से डूबा हुआ है। कथन $(D)$ सही है।

(C) $(1)$ टेस्ट-ट्यूब के डूबने शुरू करने के लिए,इसका औसत घनत्व पानी के घनत्व के बराबर होना चाहिए। कांच का आयतन $V_{\text{glass}} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{5 \text{ g}}{2.5 \text{ g/cc}} = 2 \text{ cc}$ है।
मान लीजिए कि जब यह डूबना शुरू करती है तो फंसी हुई हवा का आयतन $V_{\text{gas}}$ है। टेस्ट-ट्यूब सिस्टम का कुल आयतन $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ है।
सिस्टम के डूबने के लिए,उत्प्लावन बल इसके वजन के बराबर होना चाहिए: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ है।
अतः $X = 0.3$.
$(2)$ फंसी हुई हवा के लिए समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
दिया गया है कि $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,इसलिए $Y = 10$।

(D) घन का द्रव्यमान $M = 400 \ g = 0.4 \ kg$ है। भुजा की लंबाई $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है। घन का कुल आयतन $V_{total} = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 0.001 \ m^3 = 1000 \ cm^3$ है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है: $Mg = \rho_{water} V_{displaced} g$.
$0.4 = 1000 \times V_{displaced}$.
$V_{displaced} = 0.4 / 1000 = 0.0004 \ m^3 = 400 \ cm^3$.
पानी के बाहर का आयतन $V_{outside} = V_{total} - V_{displaced} = 1000 \ cm^3 - 400 \ cm^3 = 600 \ cm^3$ है।

(A) दिया गया है: घन की भुजा $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$. घन का आयतन $V = a^3 = (0.1)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
मान लीजिए घन का द्रव्यमान $m$ है और इसका घनत्व $\rho$ है। अतः,$m = \rho V = \rho \times 10^{-3} \ kg$.
वेज से अज्ञात द्रव्यमान की दूरी $2 \ cm = 0.02 \ m$ है,और वेज से $200 \ g$ $(0.2 \ kg)$ द्रव्यमान की दूरी $25 \ cm = 0.25 \ m$ है।
जब घन का आधा आयतन डूबा हुआ हो,तो उस पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ इस प्रकार है: $F_B = \rho_{water} \times V_{submerged} \times g = 1000 \ kg/m^3 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m^3) \times 10 \ m/s^2 = 5 \ N$.
छड़ के वेज बिंदु $O$ के परितः घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$\tau_{net} = (mg - F_B) \times 0.02 \ m - (0.2 \ kg \times 10 \ m/s^2) \times 0.25 \ m = 0$
$(m \times 10 - 5) \times 0.02 = 2 \times 0.25$
$(10m - 5) \times 0.02 = 0.5$
$10m - 5 = 0.5 / 0.02 = 25$
$10m = 30$
$m = 3 \ kg$.