Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि वस्तु का आयतन $V$ है और इसका घनत्व $d$ है। द्रव में वस्तु का आभासी वजन,वास्तविक वजन में से उत्प्लावन बल को घटाने पर प्राप्त होता है।
पहले द्रव में: $m_1 g = V d g - V d_1 g = V g (d - d_1) \implies m_1 = V(d - d_1) \quad (1)$
दूसरे द्रव में: $m_2 g = V d g - V d_2 g = V g (d - d_2) \implies m_2 = V(d - d_2) \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{d - d_1}{d - d_2}$
$m_1(d - d_2) = m_2(d - d_1)$
$m_1 d - m_1 d_2 = m_2 d - m_2 d_1$
$d(m_1 - m_2) = m_1 d_2 - m_2 d_1$
$d = \frac{m_1 d_2 - m_2 d_1}{m_1 - m_2}$

(D) माना वस्तु का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
स्थिति $1$: पानी में (घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
पानी के अंदर का आयतन = $V - 0.4V = 0.6V$.
वस्तु का भार = विस्थापित पानी का भार $\implies V \rho g = (0.6V) \rho_w g \implies \rho = 0.6 \rho_w = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
स्थिति $2$: तेल में (घनत्व $\rho_o$):
तेल के अंदर का आयतन = $V - 0.6V = 0.4V$.
वस्तु का भार = विस्थापित तेल का भार $\implies V \rho g = (0.4V) \rho_o g \implies \rho = 0.4 \rho_o$.
दोनों स्थितियों से वस्तु के घनत्व की तुलना करने पर: $0.6 \rho_w = 0.4 \rho_o$.
तेल का आपेक्षिक घनत्व = $\frac{\rho_o}{\rho_w} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.

(C) जब कोई वस्तु किसी द्रव में तैरती है, तो वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। माना वस्तु का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $d$ है।
स्थिति $1$: पानी में तैरना (घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$)
डूबा हुआ आयतन $V_{in} = V - 0.4V = 0.6V$.
वस्तु का भार = विस्थापित पानी का भार
$V \cdot d \cdot g = (0.6V) \cdot \rho_w \cdot g$
$d = 0.6 \cdot 1 = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
स्थिति $2$: तेल में तैरना (घनत्व $\rho_{oil}$)
डूबा हुआ आयतन $V_{in} = V - 0.6V = 0.4V$.
वस्तु का भार = विस्थापित तेल का भार
$V \cdot d \cdot g = (0.4V) \cdot \rho_{oil} \cdot g$
$0.6 = 0.4 \cdot \rho_{oil}$
$\rho_{oil} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.
अतः, तेल का आपेक्षिक घनत्व $1.5$ है।

(D) माना वस्तु का कुल आयतन $V$ है,इसका घनत्व $d$ है और पानी का घनत्व $\sigma$ है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है: $Vdg = V(1 - \frac{1}{n})\sigma g$.
अतः,$d = (\frac{n-1}{n})\sigma$.
जब वस्तु डूबी होती है,तो शुद्ध ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B - mg = V\sigma g - Vdg = V\sigma g - V(\frac{n-1}{n})\sigma g = V\sigma g (1 - \frac{n-1}{n}) = V\sigma g (\frac{1}{n})$.
त्वरण $a$ का मान $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V\sigma g / n}{Vd} = \frac{\sigma g / n}{(\frac{n-1}{n})\sigma} = \frac{g}{n-1}$ है।
गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $h = \frac{1}{2} (\frac{g}{n-1}) t^2$ है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h(n-1)}{g}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t \propto \sqrt{n-1}$.

(B) माना पिंड का घनत्व $\rho_b = 1.2 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, द्रव का घनत्व $\rho_l = 2.4 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, गिरने की ऊँचाई $h = 1 \text{ m}$ और प्राप्त की गई अधिकतम गहराई $d$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, पिंड पर गिरने के बिंदु से अधिकतम गहराई के बिंदु तक सभी बलों (गुरुत्वाकर्षण और उत्प्लावन बल) द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है (क्योंकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है)।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $Mg(h + d) = V \rho_b g (h + d)$.
उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य = $-Bd = -V \rho_l g d$.
किए गए कार्य की तुलना करने पर: $V \rho_b g (h + d) - V \rho_l g d = 0$.
$Vg$ से विभाजित करने पर: $\rho_b (h + d) = \rho_l d$.
मान रखने पर: $(1.2 \times 10^3)(1 + d) = (2.4 \times 10^3) d$.
$1.2(1 + d) = 2.4d$.
$1 + d = 2d$.
$d = 1 \text{ m}$.

(D) तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार द्रव द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
$Mg = F_{b}$
माना कि घनाकार ब्लॉक के आधार का क्षेत्रफल $A$ है और डूबे हुए भाग की ऊँचाई $h$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = \rho_{b} \times A \times H$ है।
उत्प्लावन बल $F_{b} = \rho_{l} \times A \times h \times g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\rho_{b} \times A \times H \times g = \rho_{l} \times A \times h \times g$.
सरल करने पर: $\rho_{b} \times H = \rho_{l} \times h$.
दिए गए मान रखने पर: $600 \times 8.0 = 900 \times h$.
$h = \frac{600 \times 8.0}{900} = \frac{2}{3} \times 8.0 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,डूबे हुए भाग की ऊँचाई $5.3 \ cm$ है।

(A) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,जब कोई वस्तु तैरती है,तो उत्प्लावन बल वस्तु के भार के बराबर होता है।
जब धातु का सिक्का लकड़ी के घन पर रखा जाता है,तो निकाय (घन + सिक्का) संतुलन में रहता है।
घन के अतिरिक्त डूबे हुए आयतन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त उत्प्लावन बल धातु के सिक्के के भार को संतुलित करता है।
विस्थापित पानी का अतिरिक्त आयतन $V_{sub} = \text{Area} \times \Delta h = (10 \ \text{cm} \times 10 \ \text{cm}) \times 3.87 \ \text{cm} = 387 \ \text{cm}^3$ है।
चूंकि पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \ \text{g/cm}^3$ है,इसलिए विस्थापित पानी का द्रव्यमान $m = \rho_w \times V_{sub} = 1 \ \text{g/cm}^3 \times 387 \ \text{cm}^3 = 387 \ \text{g}$ है।
अतः,धातु के सिक्के का द्रव्यमान $387 \ \text{g}$ है।