Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(D) निर्वात में पिंड का भार $W = V\rho g$ है,जहाँ $V$ पिंड का आयतन है।
जब पिंड को हवा में रखा जाता है,तो यह विस्थापित हवा के भार के बराबर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल (upthrust) का अनुभव करता है।
उत्प्लावन बल $U = V\sigma g$ है।
हवा में पिंड का आभासी भार इस प्रकार दिया जाता है: $W_{\text{apparent}} = W - U$.
मान रखने पर: $W_{\text{apparent}} = V\rho g - V\sigma g$.
$V\rho g$ को कॉमन लेने पर: $W_{\text{apparent}} = V\rho g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$.
चूंकि $W = V\rho g$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $W_{\text{apparent}} = W\left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$.

(B) हवा में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लोलक पानी में दोलन करता है,तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल कार्य करता है। गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g'$ हो जाता है,जहाँ $g' = g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$,यहाँ $\sigma$ पानी का घनत्व है और $\rho$ गोलक का घनत्व है।
पानी में आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(1 - \sigma/\rho)}}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $T' = \sqrt{2} T$,इसलिए $\frac{T'}{T} = \sqrt{2}$.
अतः,$\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{1 - 1/\rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2 = \frac{1}{1 - 1/\rho}$.
$1 - 1/\rho = 1/2$.
$1/\rho = 1 - 1/2 = 1/2$.
इसलिए,$\rho = 2$.

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3.5)^3 \approx 179.59 \, cm^3$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,$35^{\circ} C$ पर,गोले का भार विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है:
$m = V \times \rho_{35} \implies 266.5 = 179.59 \times \rho_{35}$.
$\rho_{35} = \frac{266.5}{179.59} \approx 1.4839 \, g/cm^3$.
$T$ तापमान पर तरल का घनत्व $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma T}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$1.4839 = \frac{1.527}{1 + \gamma(35)}$.
$1 + 35\gamma = \frac{1.527}{1.4839} \approx 1.02904$.
$35\gamma = 0.02904$.
$\gamma = \frac{0.02904}{35} \approx 8.3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम मान $8.486 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ है।

(A) भार में कमी उत्प्लावन बल (upthrust) के बराबर होती है,जो $U = V \rho g$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ ठोस का आयतन है और $\rho$ द्रव का घनत्व है।
$0^o C$ पर,$W_0 = V_0 \rho_0 g$.
$t^o C$ पर,$W = V_t \rho_t g$.
आयतन प्रसार सूत्र $V_t = V_0(1 + \gamma_s t)$ और घनत्व संबंध $\rho_t = \rho_0 / (1 + \gamma_l t)$ का उपयोग करने पर:
$W = V_0(1 + \gamma_s t) \cdot \frac{\rho_0}{1 + \gamma_l t} \cdot g$
$W = W_0 \frac{1 + \gamma_s t}{1 + \gamma_l t} = W_0 (1 + \gamma_s t)(1 + \gamma_l t)^{-1}$.
छोटे $\gamma t$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर:
$W \approx W_0 (1 + \gamma_s t)(1 - \gamma_l t) \approx W_0 (1 + \gamma_s t - \gamma_l t) = W_0 [1 + (\gamma_s - \gamma_l)t]$.

(D) तरल में डूबी हुई वस्तु पर उत्प्लावन बल $U = V_b \rho_l g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_b$ गेंद का आयतन है और $\rho_l$ तरल का घनत्व है।
गेंद का आयतन तापमान के साथ $V_b' = V_b(1 + \gamma_b \Delta T)$ के अनुसार बदलता है।
तरल का घनत्व $\rho_l' = \rho_l / (1 + \gamma_l \Delta T)$ के अनुसार बदलता है।
नया उत्प्लावन बल $U' = V_b' \rho_l' g = U \frac{1 + \gamma_b \Delta T}{1 + \gamma_l \Delta T}$ है।
द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हुए,$U' \approx U(1 + (\gamma_b - \gamma_l) \Delta T)$।
उत्प्लावन बल में प्रतिशत परिवर्तन $= (\gamma_b - \gamma_l) \Delta T \times 100$ है।
यहाँ $\gamma_b = 3 \times 10^{-6} / ^\circ C$,$\gamma_l = 8 \times 10^{-6} / ^\circ C$,और $\Delta T = 100 ^\circ C$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $= (3 \times 10^{-6} - 8 \times 10^{-6}) \times 100 \times 100 = -0.05 \%$.
अतः,उत्प्लावन बल में प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $0.05 \%$ है।

(C) शंकु के आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल $F_{base} = P \cdot A = (\rho g H) \cdot (\pi R^2) = \pi \rho g H R^2$ है।
शंकु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है,जो $F_B = V \rho g = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho g$ है।
उत्प्लावन बल शंकु की पूरी सतह पर द्रव द्वारा लगाया गया शुद्ध ऊपर की ओर बल है। यह तिरछी सतह पर ऊपर की ओर लगने वाले बल $(F_{slant})$ और आधार पर नीचे की ओर लगने वाले बल $(F_{base})$ का अंतर है।
अतः,$F_B = F_{slant} - F_{base}$.
इसलिए,$F_{slant} = F_B + F_{base} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho g + \pi R^2 H \rho g = \frac{4}{3} \pi \rho g H R^2$.

(A) शंकु के अंदर पानी के संतुलन पर विचार करें।
पानी पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. पानी का भार जो नीचे की ओर कार्य करता है: $W = V \rho g = (\frac{1}{3} \pi R^2 h) \rho g$.
$2$. मेज द्वारा पानी पर ऊपर की ओर लगाया गया बल: $F_{\text{table}} = P \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2) = \pi R^2 h \rho g$.
$3$. शंकु की तिरछी दीवारों द्वारा पानी पर नीचे की ओर लगाया गया बल: $F_{\text{walls}}$.
पानी के संतुलन में रहने के लिए,कुल ऊर्ध्वाधर बल शून्य होना चाहिए:
$F_{\text{table}} - W - F_{\text{walls}} = 0$
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,पानी द्वारा शंकु की दीवारों पर लगाया गया बल,दीवारों द्वारा पानी पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है। इसलिए,पानी द्वारा शंकु पर लगाया गया ऊपर की ओर का बल,दीवारों द्वारा पानी पर लगाए गए नीचे की ओर के बल के बराबर होता है:
$F_{\text{upward}} = F_{\text{walls}} = F_{\text{table}} - W$
$F_{\text{upward}} = \pi R^2 h \rho g - \frac{1}{3} \pi R^2 h \rho g$
$F_{\text{upward}} = \frac{2}{3} \pi R^2 h \rho g$.

(B) दिया गया है कि $1 \ m$ भुजा वाले दो घन हैं,जिनका आपेक्षिक घनत्व क्रमशः $\rho_A = 0.60$ और $\rho_B = 1.15$ है।
चूंकि $\rho_A < 1$ और $\rho_B > 1$,हल्का घन $(A)$ तैरने की प्रवृत्ति रखता है जबकि भारी घन $(B)$ डूबने की प्रवृत्ति रखता है। संतुलन में,निकाय एक तार से जुड़ा है,इसलिए दोनों घन पानी में रहेंगे।
माना कि हल्के घन $A$ का पानी की सतह से ऊपर का भाग $x$ है। अतः $A$ का डूबा हुआ आयतन $(1-x) \ m^3$ होगा।
कुल नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) $W = W_A + W_B = (\rho_A V + \rho_B V) \rho_w g = (0.60 + 1.15) \times 1^3 \times \rho_w g = 1.75 \rho_w g$ है।
कुल ऊपर की ओर लगने वाला बल (उत्प्लावन बल) $F_B = B_A + B_B = \rho_w g V_{sub,A} + \rho_w g V_{sub,B} = \rho_w g (1-x) + \rho_w g (1) = \rho_w g (2-x)$ है।
बलों को संतुलित करने पर: $\rho_w g (2-x) = 1.75 \rho_w g$।
$2 - x = 1.75$।
$x = 0.25 \ m = 25 \ cm$।
अतः,हल्का घन पानी की सतह से $25 \ cm$ ऊपर रहेगा।

(B) संतुलन के लिए,कुल नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) कुल ऊपर की ओर लगने वाले बल (उत्प्लावन बल) के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए प्रत्येक गोले का आयतन $V$ है। प्रत्येक आधे डूबे हुए गोले पर उत्प्लावन बल $F_B = \rho (V/2) g$ है।
कुल भार = $Mg + 2Mg + mg = (3M + m)g$.
कुल उत्प्लावन बल = $2 \times (\rho V/2) g = \rho V g$.
बलों को बराबर करने पर: $(3M + m)g = \rho V g \implies m = \rho V - 3M$.
द्रव्यमान $m$ की स्थिति के परितः टॉर्क लेने पर (जो $2M$ द्रव्यमान वाले गोले से $l$ दूरी पर और $M$ द्रव्यमान वाले गोले से $(d-l)$ दूरी पर है):
$M$ द्रव्यमान वाले गोले के कारण टॉर्क: $\tau_1 = (\rho V/2 g - Mg)(d - l)$.
$2M$ द्रव्यमान वाले गोले के कारण टॉर्क: $\tau_2 = (\rho V/2 g - 2Mg)l$.
घूर्णी संतुलन के लिए,$\tau_1 = \tau_2$:
$(\rho V/2 - M)g(d - l) = (\rho V/2 - 2M)gl$.
$(\rho V - 2M)(d - l) = (\rho V - 4M)l$.
$(\rho V - 2M)d - (\rho V - 2M)l = (\rho V - 4M)l$.
$(\rho V - 2M)d = (\rho V - 4M + \rho V - 2M)l = (2\rho V - 6M)l$.
$l = \frac{d(\rho V - 2M)}{2(\rho V - 3M)}$.

(B) माना कि दो पिंडों के द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ हैं। चूंकि वे शुरू में एक-दूसरे को संतुलित करते हैं,इसलिए $m_1 = m_2$ है।
द्रवों में डुबोए जाने पर,प्रत्येक पिंड का प्रभावी भार $W_{eff} = W - F_B$ हो जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
तराजू के संतुलन में रहने के लिए,दोनों पिंडों पर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल समान होने चाहिए क्योंकि प्रारंभिक भार समान थे।
तेल (घनत्व $d_1 = 0.9 \ gm/cm^3$) में बड़े पिंड (आयतन $2V$) पर उत्प्लावन बल $F_{B1} = (2V) \times 0.9 \times g$ है।
अज्ञात द्रव (घनत्व $\rho$) में छोटे पिंड (आयतन $V$) पर उत्प्लावन बल $F_{B2} = V \times \rho \times g$ है।
$F_{B1}$ और $F_{B2}$ को बराबर करने पर:
$2V \times 0.9 \times g = V \times \rho \times g$.
$\rho$ के लिए हल करने पर:
$\rho = 2 \times 0.9 = 1.8 \ gm/cm^3$.

(C) मान लीजिए ब्लॉक का आयतन $V$ है। जब इसे द्रव में रखा जाता है,तो इसका चार-पांचवां आयतन डूबा हुआ होता है।
प्लवनशीलता के सिद्धांत के अनुसार,ब्लॉक का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$Mg = \frac{4}{5} V \rho g$ --- $(I)$
जब $m$ द्रव्यमान का एक सिक्का ब्लॉक की ऊपरी सतह पर धीरे से रखा जाता है,तो ब्लॉक ठीक डूब जाता है। इसका मतलब है कि ब्लॉक और सिक्के का कुल भार ब्लॉक के पूरे आयतन $V$ द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर है:
$(M + m)g = V \rho g$ --- $(II)$
समीकरण $(I)$ को समीकरण $(II)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{Mg}{(M + m)g} = \frac{\frac{4}{5} V \rho g}{V \rho g}$
$\frac{M}{M + m} = \frac{4}{5}$
$5M = 4(M + m)$
$5M = 4M + 4m$
$M = 4m$

(C) लड़के द्वारा उठाया गया कुल वजन लड़के के हाथों,बाल्टी,पानी और मछली के वजन का योग है।
जब मछली को बाल्टी में रखा जाता है,तो बाल्टी,पानी और मछली से बनी प्रणाली कुल द्रव्यमान के संदर्भ में समान रहती है।
चूंकि प्रणाली (बाल्टी + पानी + मछली) का कुल द्रव्यमान नहीं बदलता है,इसलिए लड़के के हाथों पर पड़ने वाला कुल वजन स्थिर रहता है।
मछली पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल बाल्टी-पानी-मछली प्रणाली के भीतर एक आंतरिक बल है और यह लड़के द्वारा समर्थित कुल वजन को प्रभावित नहीं करता है।
इसलिए,उसके द्वारा उठाया गया वजन पहले के समान ही रहता है।

(D) मान लीजिए कि कॉर्क का कुल आयतन $V$ है और पानी के नीचे डूबे हुए आयतन का अंश $f$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार, तैरती हुई वस्तु का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
कॉर्क का भार = विस्थापित पानी का भार
$V \times \rho_{\text{cork}} \times g = (f \times V) \times \rho_{\text{water}} \times g$
यहाँ $\rho_{\text{cork}} = 0.5 \, g/cm^3$ और $\rho_{\text{water}} = 1 \, g/cm^3$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$V \times 0.5 \times g = f \times V \times 1 \times g$
$0.5 = f$
अतः, पानी के नीचे डूबे हुए आयतन का अंश $0.5$ है, जो $50 \%$ है।

(D) प्लवन के नियम के अनुसार,यदि वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर हो तो वस्तु तैरती है।
मान लीजिए बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
संयुक्त बेलन का कुल भार $W = (d_1 L A + d_2 L A)g = (d_1 + d_2) L A g$ है।
द्रव के अंदर बेलन की लंबाई $2L - L/2 = 3L/2$ है।
विस्थापित द्रव का भार $W_{disp} = (3L/2) A d g$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$(d_1 + d_2) L A g = (3L/2) A d g$,जिसे सरल करने पर $d_1 + d_2 = \frac{3}{2} d$ प्राप्त होता है।
अतः,$d_2 = \frac{3}{2} d - d_1$ है।
दिया गया है कि $d_1 > d_2$,इसलिए $d_2$ का मान रखने पर: $d_1 > \frac{3}{2} d - d_1$।
दोनों पक्षों में $d_1$ जोड़ने पर: $2 d_1 > \frac{3}{2} d$।
$2$ से भाग देने पर: $d_1 > \frac{3}{4} d$।

(B) मान लीजिए कि स्टील के टुकड़े का आयतन $V$ है,पानी का घनत्व $\rho_w$ है और अज्ञात तरल का घनत्व $\rho_L$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,तरल में डूबे हुए वस्तु का आभासी वजन $W_{apparent} = W - F_B$ होता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
पानी के लिए: $W_1 = W - V \rho_w g \implies W - W_1 = V \rho_w g$ (समीकरण $1$)।
अज्ञात तरल के लिए: $W_2 = W - V \rho_L g \implies W - W_2 = V \rho_L g$ (समीकरण $2$)।
तरल का सापेक्ष घनत्व $(RD)$ तरल के घनत्व और पानी के घनत्व का अनुपात है: $RD = \frac{\rho_L}{\rho_w}$।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $\frac{W - W_2}{W - W_1} = \frac{V \rho_L g}{V \rho_w g} = \frac{\rho_L}{\rho_w}$।
अतः,$RD = \frac{W - W_2}{W - W_1}$।

(A) माना गेंद का घनत्व $\rho_b = 0.8 \rho_w$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ है। वह ऊँचाई जहाँ से यह गिरती है $h = 2 \ m$ है।
जब गेंद पानी की सतह से टकराती है,तो उसका वेग $v$,$v^2 = 2gh = 2 \times g \times 2 = 4g$ द्वारा दिया जाता है।
पानी के अंदर,गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल ($F_B = V \rho_w g$ ऊपर की ओर) हैं।
नेट बल $F_{net} = F_B - mg = V \rho_w g - (V \rho_b) g = V g (\rho_w - 0.8 \rho_w) = 0.2 V \rho_w g$ है।
गेंद का द्रव्यमान $m = V \rho_b = 0.8 V \rho_w$ है।
पानी के अंदर मंदन $a$ का मान $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{0.2 V \rho_w g}{0.8 V \rho_w} = \frac{0.2}{0.8} g = \frac{g}{4}$ (ऊपर की ओर) है।
गति के समीकरण $v^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v^2 = 4g$ और $a = -g/4$ (चूँकि यह मंदन है):
$0 = v^2 - 2as_{depth} \Rightarrow 4g = 2 \times (g/4) \times s_{depth}$।
$4g = \frac{g}{2} \times s_{depth} \Rightarrow s_{depth} = 8 \ m$।

(B) पिंड पर कार्य करने वाला कुल ऊर्ध्वगामी बल $F = \sigma V g - \rho V g$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = F$,जहाँ $m = \rho V$:
$\rho V a = V g(\sigma - \rho)$
$a = g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right)$.
जब गेंद $h$ दूरी तय करके सतह पर पहुँचती है,तो उसका वेग $v$,$v^2 = 2ah$ द्वारा दिया जाता है:
$v^2 = 2g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h$.
एक बार जब गेंद पानी से बाहर निकलती है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करती है। मान लीजिए कि सतह से ऊपर वह $H$ ऊँचाई तक पहुँचती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर गतिज ऊर्जा $H$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g H$
$H = \frac{v^2}{2g} = \frac{2g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h}{2g}$
$H = \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h$.

(A) गोले पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. उत्प्लावन बल $B$ जो ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है,जिसका मान $B = V_{disp} \rho_w g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$ है।
$2$. गोले का भार $W = Mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. दोनों तारों में से प्रत्येक में तनाव $T_1$,जो क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है।
गोले के संतुलन में रहने के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$2 T_1 \sin 45^{\circ} + Mg = B$
$2 T_1 \sin 45^{\circ} = B - Mg$
मान रखने पर:
$2 T_1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg$
$T_1 \sqrt{2} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg$
$T_1 = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg}{\sqrt{2}}$

(C) मान लीजिए कि $V_s$ ठोस धातु का आयतन है और $V_c$ गुहाओं का आयतन है। गेंद का कुल आयतन $V = V_s + V_c$ है。
गेंद का द्रव्यमान $M = 9.8 \ kg$ है। चूंकि धातु का घनत्व $\rho_m = 7800 \ kg/m^3$ है, इसलिए ठोस भाग का आयतन $V_s = M / \rho_m = 9.8 / 7800 \ m^3$ है。
जब पानी में डुबोया जाता है, तो उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है, जो $1.5 \ kg \times g$ है। इसलिए, कुल आयतन $V = V_s + V_c = 1.5 / \rho_w$, जहाँ $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$ है。
अतः, $V = 1.5 / 1000 = 0.0015 \ m^3$ है。
ठोस भाग का आयतन $V_s = 9.8 / 7800 \approx 0.001256 \ m^3$ है。
गुहाओं का आयतन $V_c = V - V_s = 0.0015 - 0.001256 = 0.000244 \ m^3$ है。
गुहाओं के आयतन का अंश $(V_c / V) \times 100 = (0.000244 / 0.0015) \times 100 \approx 16.26 \%$ है。
इसलिए, यह अंश लगभग $16 \%$ है。

(A) प्लवन के नियम के अनुसार,एक पिंड तब तैरता है जब पिंड का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
$W_{\text{body}} = W_{\text{water displaced}}$
$V_{\text{solid}} \cdot \rho_{\text{solid}} \cdot g = V_{\text{displaced}} \cdot \rho_{\text{water}} \cdot g$
यहाँ,ठोस पदार्थ का आयतन $V_{\text{solid}} = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$ है और विस्थापित पानी का आयतन $V_{\text{displaced}} = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
सापेक्ष घनत्व $\sigma = \frac{\rho_{\text{solid}}}{\rho_{\text{water}}}$ दिया गया है,इसलिए $\rho_{\text{solid}} = \sigma \rho_{\text{water}}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) \cdot \sigma \rho_{\text{water}} \cdot g = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \rho_{\text{water}} \cdot g$
$\sigma(R^3 - r^3) = R^3$
$\sigma R^3 - \sigma r^3 = R^3$
$R^3(\sigma - 1) = \sigma r^3$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$
$\frac{R}{r} = (\frac{\sigma}{\sigma - 1})^{1/3}$

(B) जब कोई पात्र $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा होता है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff} = (g+a)$ हो जाता है।
इस फ्रेम में पिंड का भार $W = m g_{eff} = (\rho V)(g+a)$ होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) $F_B = V d g_{eff} = V d (g+a)$ होगा।
चूंकि पिंड एक डोरी द्वारा तल से जुड़ा है और $d > \rho$ है,इसलिए उत्प्लावन बल भार से अधिक होगा,जिससे डोरी में तनाव उत्पन्न होगा।
त्वरित फ्रेम में पिंड के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T + W = F_B$
$T = F_B - W$
$T = V d (g+a) - V \rho (g+a)$
$T = V(g+a)(d - \rho)$

(D) माना $H = 0.1 \ m$ शंकु की ऊंचाई है और $R = 0.05 \ m$ आधार की त्रिज्या है। शीर्ष से $y$ ऊंचाई पर त्रिज्या $r = (R/H)y = 0.5y$ है।
स्थिति $1$: शंकु $0.8$ सापेक्ष घनत्व वाले द्रव में $h_1 = H/3$ गहराई तक तैरता है। डूबे हुए भाग का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1$ है,जहाँ $r_1 = R/3$ है। अतः,$V_1 = \frac{1}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H)$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,शंकु का भार $W = \text{उत्प्लावन बल} = 0.8 \rho_w g V_1$ है।
स्थिति $2$: अंदर $\rho$ सापेक्ष घनत्व वाला द्रव $h_2 = H/3$ तक भरा जाता है। इस द्रव का भार $W_L = \rho \rho_w V_1 g$ है। अब शंकु $h_3 = H/2$ गहराई तक तैरता है। नया उत्प्लावन बल $F_B = 0.8 \rho_w g V_3$ है,जहाँ $V_3 = \frac{1}{3} \pi (R/2)^2 (H/2) = \frac{27}{8} V_1$ है।
बल संतुलन: $W + W_L = F_B$
$0.8 \rho_w g V_1 + \rho \rho_w g V_1 = 0.8 \rho_w g (\frac{27}{8} V_1)$
$0.8 + \rho = 2.7$
$\rho = 1.9$.

(B) पत्थर का आयतन $V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{500} = 10^{-3} \, m^3$ है।
पानी द्वारा पत्थर पर लगाया गया उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{water} V g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \, N$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,पत्थर पानी पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाता है,जिससे स्प्रिंग बैलेंस पर नीचे की ओर लगने वाला बल बढ़ जाता है।
बैलेंस का प्रारंभिक पाठ्यांक $1.5 \, kg$ है,जो $1.5 \times 10 = 15 \, N$ के भार के बराबर है।
स्प्रिंग बैलेंस पर नया पाठ्यांक प्रारंभिक भार और पत्थर से लगने वाले प्रतिक्रिया बल का योग होगा: $F_{total} = 15 \, N + 10 \, N = 25 \, N$।
इसे वापस द्रव्यमान की इकाइयों में बदलने पर,बैलेंस का पाठ्यांक $\frac{25 \, N}{10 \, m/s^2} = 2.5 \, kg$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $M_i$ बर्फ का द्रव्यमान है और $M_m$ धातु के घन का द्रव्यमान है।
जब बर्फ तैर रही होती है, तो कुल वजन उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है: $F_B = (M_i + M_m)g$।
तैरती हुई प्रणाली द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_1 = \frac{M_i + M_m}{\rho_w}$ है, जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
बर्फ के पिघलने के बाद, बर्फ पानी में बदल जाती है जिसका आयतन $V_{ice_melted} = \frac{M_i}{\rho_w}$ होता है।
धातु का घन डूब जाता है, इसलिए यह अपने स्वयं के आयतन के बराबर पानी विस्थापित करता है: $V_{metal} = \frac{M_m}{\rho_m}$, जहाँ $\rho_m$ धातु का घनत्व है।
पिघलने के बाद विस्थापित कुल आयतन $V_2 = \frac{M_i}{\rho_w} + \frac{M_m}{\rho_m}$ है।
चूंकि धातु डूब जाती है, इसलिए इसका घनत्व $\rho_m > \rho_w$ है, जिसका अर्थ है कि $\frac{M_m}{\rho_m} < \frac{M_m}{\rho_w}$।
इसलिए, $V_2 < V_1$, जिसका अर्थ है कि पानी का स्तर गिर जाएगा।

(B) बेलन के संतुलन में रहने के लिए,कुल उत्प्लावन बल बेलन के भार के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $A$ बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$L$ बेलन की कुल लंबाई है और $h$ हवा में बेलन की लंबाई है।
बेलन की कुल लंबाई $L = h_A + h_B + h$ है।
बेलन का भार $W = (A \cdot L) \cdot \rho_C \cdot g = A(h_A + h_B + h) \rho_C g$ है।
द्रव $A$ द्वारा प्रदान किया गया उत्प्लावन बल $F_A = A \cdot h_A \cdot \rho_A \cdot g$ है।
द्रव $B$ द्वारा प्रदान किया गया उत्प्लावन बल $F_B = A \cdot h_B \cdot \rho_B \cdot g$ है।
बलों को बराबर करने पर: $F_A + F_B = W$.
$A \cdot h_A \cdot \rho_A \cdot g + A \cdot h_B \cdot \rho_B \cdot g = A(h_A + h_B + h) \rho_C g$.
$A \cdot g$ से विभाजित करने पर: $h_A \rho_A + h_B \rho_B = (h_A + h_B + h) \rho_C$.
दिए गए मानों को रखने पर: $(1.2 \times 0.7) + (0.8 \times 1.2) = (1.2 + 0.8 + h) \times 0.8$.
$0.84 + 0.96 = (2.0 + h) \times 0.8$.
$1.8 = 1.6 + 0.8h$.
$0.2 = 0.8h$.
$h = 0.2 / 0.8 = 0.25 \ cm$.

(B) माना बेलनाकार ब्लॉक की लंबाई $L$ है। ब्लॉक का आयतन $V = AL$ है। ब्लॉक का भार $W = V\rho g = AL\rho g$ है।
ब्लॉक द्रव में पूरी तरह से डूबा हुआ है। द्रव का घनत्व $\rho_l = \rho/3$ है। ब्लॉक पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_b$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है,जो $F_b = V\rho_l g = AL(\rho/3)g = AL\rho g/3$ है।
ब्लॉक स्प्रिंग को $x = L/3$ तक संपीड़ित करता है। स्प्रिंग बल $F_s = kx = k(L/3)$ है।
चूंकि ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है:
$F_s + F_b = W$
$k(L/3) + AL\rho g/3 = AL\rho g$
$k(L/3) = AL\rho g - AL\rho g/3$
$k(L/3) = 2AL\rho g/3$
$k = 2\rho Ag$

(C) मान लीजिए कि पिंड अधिकतम $H$ गहराई तक डूबता है। इस गहराई पर,पिंड का अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
जब पिंड पानी में प्रवेश करता है,तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V \rho g$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = V \rho' g$ कार्य करता है,जहाँ $V$ पिंड का आयतन है।
पानी के भीतर नीचे की ओर शुद्ध त्वरण $a = \frac{F_g - F_B}{m} = \frac{V \rho' g - V \rho g}{V \rho'} = g \left( \frac{\rho' - \rho}{\rho'} \right) = -g \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right)$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u^2 = 2gh$ पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले का वेग है,$v = 0$,और $s = H$:
$0 = 2gh + 2 \left[ -g \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right) \right] H$.
$H$ के लिए हल करने पर: $2gH \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right) = 2gh$.
$H = \frac{h \rho'}{\rho - \rho'}$.

(D) खाली गुब्बारे का वजन $w_1$ है। जब गुब्बारे को $w$ वजन की हवा से भरा जाता है,तो स्प्रिंग बैलेंस पर कार्य करने वाला कुल अधोमुखी बल $w_1 + w$ होता है।
हालाँकि,चूंकि गुब्बारा आसपास की हवा में डूबा हुआ है,इसलिए इस पर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल $F_B$ कार्य करता है,जो गुब्बारे द्वारा विस्थापित हवा के वजन के बराबर होता है।
चूंकि गुब्बारे के अंदर की हवा का घनत्व और बाहर की हवा का घनत्व समान माना गया है,इसलिए विस्थापित हवा का वजन गुब्बारे के अंदर की हवा के वजन $w$ के बराबर होता है।
इसलिए,उत्प्लावन बल $F_B = w$ है।
स्प्रिंग बैलेंस द्वारा मापा गया आभासी वजन $w_2$ शुद्ध बल है: $w_2 = (w_1 + w) - F_B = w_1 + w - w = w_1$.
चूंकि $w_2 = w_1$,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
साथ ही,गणितीय रूप से $w_1 < w_1 + w$ किसी भी $w > 0$ के लिए हमेशा सत्य है,इसलिए $w_2 < w_1 + w$ कथन भी सही है।
अतः,$A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(D) माना ब्लॉक का $x_1$ भाग तेल में और $x_2$ भाग पानी में डूबा है। ब्लॉक की कुल लंबाई $L = 10$ $cm = 0.1$ $m$ है।
तेल का घनत्व $\rho_{oil} = 0.6 \times 1000 = 600$ $kg/m^3$ और पानी का घनत्व $\rho_{water} = 1000$ $kg/m^3$ है।
संतुलन की स्थिति में,ब्लॉक का भार कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$mg = F_{oil} + F_{water}$
$0.92 \times 10 = (A \times x_1 \times \rho_{oil} \times g) + (A \times x_2 \times \rho_{water} \times g)$
जहाँ $A = 0.1 \times 0.1 = 0.01$ $m^2$.
$9.2 = 6x_1 + 10x_2$ ($cm$ में गणना करने पर).
कुल लंबाई $x_1 + x_2 = 10$ $cm$ होने के कारण,$x_1 = 10 - x_2$ रखने पर:
$9.2 = 6(10 - x_2) + 10x_2$
$9.2 = 60 - 6x_2 + 10x_2$
$4x_2 = 32 \implies x_2 = 8$ $cm$.
अतः,$x_1 = 10 - 8 = 2$ $cm$.
इस प्रकार,$8$ $cm$ पानी में और $2$ $cm$ तेल में डूबा हुआ है।

(C) गुब्बारे पर ऊपर की ओर लगने वाला बल उत्प्लावन बल (buoyant force) है,जो गुब्बारे द्वारा विस्थापित हवा के वजन के बराबर होता है। जैसे-जैसे गुब्बारा ऊपर जाता है,ऊंचाई के साथ हवा का घनत्व कम होता जाता है। परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे गुब्बारा ऊंचाई प्राप्त करता है,उत्प्लावन बल कम होता जाता है। एक निश्चित ऊंचाई पर,उत्प्लावन बल गुब्बारे के वजन (हीलियम और गुब्बारे की सामग्री सहित) के बराबर हो जाता है,और कुल बल शून्य हो जाता है। इस बिंदु पर,गुब्बारा ऊपर जाना बंद कर देता है। श्यानता तरल पदार्थों का एक गुण है जो परतों की सापेक्ष गति का विरोध करती है,लेकिन यह वह कारण नहीं है कि गुब्बारा एक विशिष्ट ऊंचाई पर रुक जाता है। इसलिए,$(A)$ सत्य है,लेकिन $(R)$ असत्य है।

(A) चित्र से यह स्पष्ट है कि द्रव $1$,द्रव $2$ के ऊपर तैरता है।
चूंकि हल्का द्रव भारी द्रव के ऊपर तैरता है,इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\rho_1 < \rho_2$ है।
गेंद दोनों द्रवों के अंतरापृष्ठ (interface) पर संतुलन में है।
किसी वस्तु के द्रव में तैरने के लिए,उसका घनत्व द्रव के घनत्व से कम होना चाहिए।
चूंकि गेंद आंशिक रूप से द्रव $1$ में और आंशिक रूप से द्रव $2$ में डूबी हुई है,इसलिए इसका घनत्व $\rho_3$ ऊपरी द्रव के घनत्व $(\rho_1)$ से अधिक और निचले द्रव के घनत्व $(\rho_2)$ से कम होना चाहिए।
अतः,संतुलन के लिए शर्त $\rho_1 < \rho_3 < \rho_2$ है।

(C) संतुलन की स्थिति में,बेलन पर कार्य करने वाले बल स्प्रिंग बल $kx_0$ (ऊपर की ओर),उत्प्लावन बल $F_B$ (ऊपर की ओर),और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (नीचे की ओर) हैं।
संतुलन का समीकरण है: $kx_0 + F_B = Mg$.
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: $F_B = V_{submerged} \cdot \sigma \cdot g$.
चूंकि बेलन आधा डूबा हुआ है,इसलिए डूबा हुआ आयतन $V_{submerged} = A \cdot \frac{L}{2}$ है।
अतः,$F_B = \left( A \cdot \frac{L}{2} \right) \sigma g = \frac{LA\sigma g}{2}$.
इस मान को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$kx_0 + \frac{LA\sigma g}{2} = Mg$
$kx_0 = Mg - \frac{LA\sigma g}{2}$
$x_0 = \frac{Mg - \frac{LA\sigma g}{2}}{k} = \frac{Mg}{k} \left( 1 - \frac{LA\sigma}{2M} \right)$.

(A) मान लीजिए कि $F$ ऊपरी द्रव द्वारा ऊपरी अर्धगोले पर लगाया गया नीचे की ओर का बल है। अंतरापृष्ठ पर द्रव द्वारा ऊपरी अर्धगोले की निचली सतह पर लगाया गया ऊपर की ओर का बल $P \cdot A$ है,जहाँ $P$ अंतरापृष्ठ पर दबाव है और $A = \pi r^2$ अंतरापृष्ठ पर गोले का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
अंतरापृष्ठ पर दबाव $P = p_0 + \rho_1gh$ है।
ऊपरी द्रव के कारण ऊपरी अर्धगोले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपरी अर्धगोले द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_B = V_{\text{hemisphere}} \cdot \rho_1 \cdot g = (\frac{2}{3} \pi r^3) \rho_1 g$.
ऊपरी अर्धगोले के संतुलन पर विचार करते हुए,शुद्ध ऊपर की ओर का बल,ऊपर की ओर के दबाव बल और द्रव द्वारा लगाए गए नीचे की ओर के बल $F$ के बीच का अंतर है:
$P \cdot A - F = F_B$
$(p_0 + \rho_1gh) \pi r^2 - F = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho_1 g$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = (p_0 + \rho_1gh) \pi r^2 - \frac{2}{3} \pi r^3 \rho_1 g$
$F = p_0 \pi r^2 + \rho_1 g \pi r^2 (h - \frac{2}{3} r)$.

(B) जब वस्तु को डोरी से लटकाकर पानी में डुबोया जाता है,तो वह विस्थापित पानी के वजन $(Z)$ के बराबर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल का अनुभव करती है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,वस्तु पानी पर $Z$ परिमाण का समान और विपरीत दिशा में नीचे की ओर बल लगाती है।
यह अतिरिक्त नीचे की ओर बल तुला पर स्थानांतरित हो जाता है।
इसलिए,तुला पर नया पाठ्यांक बीकर और पानी का प्रारंभिक वजन $(X)$ प्लस अतिरिक्त नीचे की ओर बल $(Z)$ है।
नया पाठ्यांक $= X + Z$.

(B) माना बेलन का उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापन $x$ है।
जब बेलन को $x$ से दबाया जाता है, तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b = -(\rho g A)x$ है, जहाँ $\rho$ द्रव का घनत्व है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है, और $A$ आधार क्षेत्रफल है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $ma = -(\rho g A)x$, जिससे $a = -(\frac{\rho g A}{m})x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\omega_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{\rho g A}{m}}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय के लिए, कोणीय आवृत्ति $\omega_{\text{spring}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल समान हैं, इसलिए उनकी कोणीय आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए: $\omega_{\text{cylinder}} = \omega_{\text{spring}}$.
अतः, $\sqrt{\frac{\rho g A}{m}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$, जिसका अर्थ है $k = \rho g A$.
यहाँ $\rho = 900 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$ और $A = 30 \, cm^2 = 30 \times 10^{-4} \, m^2$ है।
$k = 900 \times 10 \times 30 \times 10^{-4} = 27 \, N/m$.

(B) माना $h$ मोमबत्ती की कुल लंबाई है और $h_2$ द्रव में डूबी हुई मोमबत्ती की लंबाई है। माना $\rho_w$ मोम का घनत्व है और $\rho_{\ell}$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है: $\rho_{\ell} = 2\rho_w$ और $\frac{dh}{dt} = 4\ cm/hr$.
तैरती हुई मोमबत्ती के लिए, मोमबत्ती का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$Weight = \text{Buoyant Force}$
$A \cdot h \cdot \rho_w \cdot g = A \cdot h_2 \cdot \rho_{\ell} \cdot g$
चूंकि $\rho_{\ell} = 2\rho_w$, हमारे पास है:
$h \cdot \rho_w = h_2 \cdot (2\rho_w)$
$h = 2h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{h}{2}$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dh_2}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} (4\ cm/hr) = 2\ cm/hr$.
यह $\frac{dh_2}{dt}$ वह दर है जिस पर मोमबत्ती का निचला हिस्सा द्रव की सतह के सापेक्ष ऊपर उठता है।
द्रव की सतह के सापेक्ष ऊपरी सिरे की स्थिति में परिवर्तन की दर कुल लंबाई के घटने की दर में से डूबे हुए हिस्से के ऊपर उठने की दर को घटाने पर प्राप्त होती है:
$v_{upper} = \frac{dh}{dt} - \frac{dh_2}{dt} = 4\ cm/hr - 2\ cm/hr = 2\ cm/hr$.
अतः, ऊपरी सिरा $2\ cm/hr$ की दर से नीचे गिरेगा।

(D) बेलनाकार पात्र के आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल उस पात्र में मौजूद द्रव के भार के बराबर होता है।
चूंकि तीनों पात्रों में द्रव का द्रव्यमान $(m)$ समान है, इसलिए प्रत्येक पात्र में द्रव का भार $(W = mg)$ भी समान होगा।
अतः, आधार पर लगने वाला बल $(F = W = mg)$ तीनों पात्रों के लिए समान होगा।
नोट: हालांकि आधार पर दबाव $(P = \rho gh)$ भिन्न हो सकता है क्योंकि घनत्व अलग होने के कारण ऊँचाई $(h)$ अलग-अलग होगी, लेकिन आधार पर कुल बल समान रहता है क्योंकि द्रव का भार समान है।
इस घटना को हाइड्रोस्टेटिक पैराडॉक्स (Hydrostatic Paradox) के रूप में जाना जाता है।

(D) मान लीजिए $F_1$ बेलन की ऊपरी सतह पर नीचे की ओर लगने वाला बल है और $F_2$ बेलन की निचली सतह पर ऊपर की ओर लगने वाला बल है।
बल $F_1$ वायुमंडलीय दबाव $p_0$ और ऊपरी सतह के ऊपर $h$ ऊंचाई के द्रव स्तंभ के कारण है:
$F_1 = (p_0 + \rho gh) \pi R^2$
वस्तु पर लगने वाला कुल ऊर्ध्वगामी बल (उत्प्लावन बल) विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_{up} = V_{displaced} \rho g = V \rho g$
परिभाषा के अनुसार,उत्प्लावन बल तल पर लगने वाले ऊर्ध्वगामी बल और ऊपरी सतह पर लगने वाले नीचे की ओर बल के बीच का अंतर है:
$F_{up} = F_2 - F_1$
इसलिए,बेलन के तल पर लगने वाला बल है:
$F_2 = F_1 + F_{up}$
$F_2 = (p_0 + \rho gh) \pi R^2 + V \rho g$
$F_2 = p_0 \pi R^2 + \rho g (\pi R^2 h + V)$
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) मान लीजिए $V$ घनाकार ब्लॉक का कुल आयतन है,$\rho_s$ ठोस ब्लॉक का घनत्व है,और $\rho_L$ तरल का घनत्व है।
प्रारंभ में,ब्लॉक संतुलन में तैर रहा है। ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$V \rho_s g = V_{sub} \rho_L g$
यह दिया गया है कि आधा आयतन डूबा हुआ है,इसलिए $V_{sub} = V/2$। अतः,$V \rho_s g = (V/2) \rho_L g$,जिसका अर्थ है $\rho_s / \rho_L = 1/2$।
जब प्रणाली $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नई संतुलन स्थिति है:
$V \rho_s g_{eff} = V'_{sub} \rho_L g_{eff}$
दोनों पक्षों को $V \rho_L g_{eff}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V'_{sub} / V = \rho_s / \rho_L$
चूंकि $\rho_s / \rho_L = 1/2$,डूबे हुए आयतन का अंश $1/2$ ही रहेगा। यह अंश प्रणाली के त्वरण से स्वतंत्र है।

(C) ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,ब्लॉक का भार तेल और पानी द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
ब्लॉक का भार = विस्थापित तेल का भार + विस्थापित पानी का भार
$mg = V_{oil} \rho_{oil} g + V_{water} \rho_{water} g$
$m = V_{oil} \rho_{oil} + V_{water} \rho_{water}$
यह दिया गया है कि ब्लॉक $10 \ cm$ भुजा का एक घन है,इसलिए कुल ऊंचाई $10 \ cm$ है। चूंकि $4 \ cm$ पानी में डूबा हुआ है,इसलिए शेष $6 \ cm$ तेल में है।
$V_{oil} = 10 \ cm \times 10 \ cm \times 6 \ cm = 600 \ cm^3$
$V_{water} = 10 \ cm \times 10 \ cm \times 4 \ cm = 400 \ cm^3$
तेल का घनत्व $\rho_{oil} = 0.6 \ g/cm^3$ और पानी का घनत्व $\rho_{water} = 1 \ g/cm^3$ है।
$m = (600 \times 0.6) + (400 \times 1)$
$m = 360 + 400 = 760 \ gm$.

(D)
माना लकड़ी के गुटके का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho_b$ है। माना तरल का घनत्व $\rho_l$ है।
प्रारंभिक स्थिति में (स्थिर), गुटका तैरता है, इसलिए भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$V \rho_b g = V_{in} \rho_l g$
दिया गया है $V_{in} = 0.4 V$, इसलिए
$0.4 V \rho_l g = V \rho_b g$
जिसका अर्थ है
$\rho_b = 0.4 \rho_l$
जब पात्र $a = \frac{g}{2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर बढ़ता है, तो प्रभावी त्वरण
$g' = g + a = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$
नया उत्प्लावन बल $V'_{in} \rho_l g'$ है, जहाँ $V'_{in}$ नया डूबा हुआ आयतन है।
भार और नए उत्प्लावन बल को बराबर करने पर:
$V \rho_b g' = V'_{in} \rho_l g'$
चूंकि $g'$ दोनों तरफ है, यह कट जाएगा:
$V \rho_b = V'_{in} \rho_l$
अब $\rho_b = 0.4 \rho_l$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V (0.4 \rho_l) = V'_{in} \rho_l$
$V'_{in} = 0.4 V$
अतः, तरल के अंदर आयतन का प्रतिशत $40\%$ ही रहता है।

(A) माना लकड़ी का द्रव्यमान और आयतन $m_1$ और $v_1$ है,और कंक्रीट का द्रव्यमान और आयतन $m_2$ और $v_2$ है।
द्रव्यमान का दिया गया अनुपात: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{5}$ है।
माना लकड़ी का घनत्व $\rho_1$ है और कंक्रीट का घनत्व $\rho_2$ है। लकड़ी का विशिष्ट गुरुत्व $S_1 = \frac{\rho_1}{\rho_w} = 0.5$ है,इसलिए $\rho_1 = 0.5 \rho_w$ है।
संयोजन के पूरी तरह डूबकर तैरने के लिए,कुल वजन उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए:
$(m_1 + m_2)g = \rho_w (v_1 + v_2)g$
$m_1 + m_2 = \rho_w (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})$
दोनों पक्षों को $m_2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{m_1}{m_2} + 1 = \frac{\rho_w}{\rho_1} \cdot \frac{m_1}{m_2} + \frac{\rho_w}{\rho_2}$
यहाँ $\frac{\rho_w}{\rho_1} = \frac{1}{S_1} = \frac{1}{0.5} = 2$ और $\frac{\rho_w}{\rho_2} = \frac{1}{S_2}$ (कंक्रीट का विशिष्ट गुरुत्व का व्युत्क्रम):
$\frac{3}{5} + 1 = 2 \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{S_2}$
$\frac{8}{5} = \frac{6}{5} + \frac{1}{S_2}$
$\frac{1}{S_2} = \frac{2}{5} \Rightarrow S_2 = 2.5$ है।
अतः,कंक्रीट का विशिष्ट गुरुत्व $2.5$ है।

(B) जब पीतल के वजन को पानी में नीचे उतारा जाता है,तो यह अपने डूबे हुए आयतन के बराबर पानी को विस्थापित करता है। यह विस्थापित पानी ओवरफ्लो टोंटी से बाहर निकलकर बाएं पलड़े पर रखे बर्तन में चला जाता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,पीतल के वजन पर विस्थापित पानी के वजन के बराबर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (buoyant force) कार्य करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,पीतल का वजन पानी पर उतना ही और विपरीत दिशा में नीचे की ओर बल लगाता है,जो दाहिने पलड़े पर स्थानांतरित हो जाता है।
चूंकि विस्थापित पानी का वजन बाएं पलड़े में जुड़ जाता है,इसलिए बाईं ओर का कुल वजन बढ़ जाता है। दाहिने पलड़े पर उत्प्लावन बल के बराबर अतिरिक्त नीचे की ओर बल कार्य करता है,लेकिन चूंकि पानी का स्तर टोंटी पर स्थिर रहता है,इसलिए दाहिनी ओर का कुल वजन अपरिवर्तित रहता है (पीतल की वस्तु का वजन धागे द्वारा समर्थित है,पलड़े द्वारा नहीं)। इसलिए,तराजू का बायां हिस्सा नीचे झुक जाता है।

(C) माना $v_2$ पदार्थ का आयतन है और $v_1$ कोटर का आयतन है।
दिया गया है कि पदार्थ का घनत्व $\rho = 8000\ kg/m^3$ और पानी का घनत्व $\rho_w = 1000\ kg/m^3$ है।
हवा में द्रव्यमान: $M = \rho v_2 = 10.0\ kg$.
पानी में आभासी द्रव्यमान: $M' = M - \text{उत्प्लावन बल} = \rho v_2 - \rho_w(v_1 + v_2) = 7.5\ kg$.
दूसरे समीकरण में $M = 10.0\ kg$ रखने पर:
$10.0 - \rho_w(v_1 + v_2) = 7.5 \implies \rho_w(v_1 + v_2) = 2.5\ kg$.
अब,दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\rho_w(v_1 + v_2)}{\rho v_2} = \frac{2.5}{10.0} = \frac{1}{4}$.
घनत्वों के मान रखने पर:
$\frac{1000}{8000} \left( \frac{v_1}{v_2} + 1 \right) = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{8} \left( \frac{v_1}{v_2} + 1 \right) = \frac{1}{4}$.
$\frac{v_1}{v_2} + 1 = 2$.
$\frac{v_1}{v_2} = 1$.

(B) $1$. जार में,द्रव $2$ नीचे है और द्रव $1$ ऊपर है,जिसका अर्थ है कि द्रव $2$ का घनत्व द्रव $1$ के घनत्व से अधिक है $({\rho _2} > {\rho _1})$।
$2$. ठोस गेंद दोनों द्रवों के अंतरापृष्ठ (interface) पर तैर रही है।
$3$. चूंकि गेंद आंशिक रूप से द्रव $1$ में और आंशिक रूप से द्रव $2$ में डूबी हुई है,इसलिए इसका घनत्व ${\rho _3}$ ऊपरी द्रव के घनत्व से अधिक $({\rho _3} > {\rho _1})$ और निचले द्रव के घनत्व से कम $({\rho _3} < {\rho _2})$ होना चाहिए।
$4$. इन असमानताओं को मिलाने पर,हमें ${\rho _1} < {\rho _3} < {\rho _2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना बाहरी भाग का घनत्व $\rho_1$ है। तब आंतरिक भाग का घनत्व $2\rho_1$ है।
आंतरिक घन का आयतन $V_{in} = 5^3 = 125 \ cm^3$ है।
बाहरी भाग का आयतन $V_{out} = 10^3 - 5^3 = 1000 - 125 = 875 \ cm^3$ है।
घन का कुल द्रव्यमान $M = (V_{in} \times 2\rho_1) + (V_{out} \times \rho_1) = (125 \times 2\rho_1) + (875 \times \rho_1) = 250\rho_1 + 875\rho_1 = 1125\rho_1$ है।
घन के $2 \ g/cm^3$ घनत्व वाले द्रव में तैरने के लिए, घन का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होना चाहिए:
$Mg = V_{total} \times \rho_L \times g$
$1125\rho_1 = 1000 \times 2$
$1125\rho_1 = 2000$
$\rho_1 = \frac{2000}{1125} = \frac{16}{9} \ g/cm^3$.
आंतरिक भाग का घनत्व $2\rho_1 = 2 \times \frac{16}{9} = \frac{32}{9} \ g/cm^3$ है।

(A) माना $20^{\circ} C$ पर तरल का घनत्व $\rho_{1}$ है और $70^{\circ} C$ पर $\rho_{2}$ है।
आभासी भार का सूत्र है: $W_{\text{apparent}} = W_{\text{air}} - V \rho g$,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
$20^{\circ} C$ पर: $40 = 50 - V \rho_{1} g \implies V \rho_{1} g = 10$.
$70^{\circ} C$ पर: $45 = 50 - V \rho_{2} g \implies V \rho_{2} g = 5$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{V \rho_{1} g}{V \rho_{2} g} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$.
अतः,घनत्व का अनुपात $2 : 1$ है।

(D) मान लीजिए कि निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m_0 + m$ है।
द्रव्यमान केंद्र की गति के अनुसार, $F_{ext} = M_{total} a_{cm}$।
निकाय पर कार्य करने वाले बाहरी बल वजन मशीन से लगने वाला अभिलंब बल $N$ और कुल भार $(M + m_0 + m)g$ हैं।
अतः, $(M + m_0 + m)g - N = M_{total} a_{cm}$, जहाँ $a_{cm}$ निकाय के द्रव्यमान केंद्र का नीचे की ओर त्वरण है।
चूंकि गेंद को विरामावस्था से छोड़ा जाता है, यह त्वरित होगी (यदि $\rho_{ball} > \rho_{liquid}$ हो तो नीचे की ओर या यदि $\rho_{ball} < \rho_{liquid}$ हो तो ऊपर की ओर)।
दोनों ही स्थितियों में, निकाय का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर त्वरित होगा।
इसलिए, $a_{cm} > 0$, जिसका अर्थ है $N = (M + m_0 + m)g - M_{total} a_{cm}$।
अतः, जब भी गेंद पात्र के सापेक्ष त्वरित होती है, वजन मशीन का पाठ्यांक $N$ कुल भार $(M + m + m_0)g$ से कम होगा।

(A) माना गेंद का घनत्व $\rho_b = 500 \ kg/m^3$ और तरल का घनत्व $\rho_l = 1000 \ kg/m^3$ है। माना $V$ गेंद का आयतन है।
जब गेंद तरल के अंदर होती है,तो उस पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_l g$ (ऊपर की ओर) और भार $W = V \rho_b g$ (नीचे की ओर) हैं।
परिणामी बल $F_{net} = F_B - W = V \rho_l g - V \rho_b g = V g (\rho_l - \rho_b)$.
तरल के अंदर गेंद का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V g (\rho_l - \rho_b)}{V \rho_b} = g \frac{(\rho_l - \rho_b)}{\rho_b}$.
मान रखने पर: $a = 10 \times \frac{(1000 - 500)}{500} = 10 \times \frac{500}{500} = 10 \ m/s^2$ (ऊपर की ओर)।
माना गेंद का तरल की सतह से टकराते समय वेग $v_0$ है। तरल के अंदर गति के लिए गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $t = 2 \ s$ पर अंतिम वेग $0$ है:
$0 = v_0 - a t \Rightarrow v_0 = a t = 10 \times 2 = 20 \ m/s$.
$h$ ऊँचाई से मुक्त पतन के लिए,$v_0^2 = 2gh$.
$20^2 = 2 \times 10 \times h \Rightarrow 400 = 20h \Rightarrow h = 20 \ m$.

(A) माना $V$ घनाकार ब्लॉक का कुल आयतन है,$\rho_s$ ठोस ब्लॉक का घनत्व है,और $\rho_L$ तरल का घनत्व है।
प्रारंभ में,ब्लॉक संतुलन में तैर रहा है। ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$V \rho_s g = V_{sub} \rho_L g$
दिया गया है कि आधा आयतन डूबा हुआ है,इसलिए $V_{sub} = V/2$। अतः:
$V \rho_s g = (V/2) \rho_L g \implies \rho_s = \rho_L / 2$.
जब प्रणाली $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी गुरुत्व $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नई संतुलन स्थिति है:
$V \rho_s g_{eff} = V'_{sub} \rho_L g_{eff}$
दोनों पक्षों को $g_{eff}$ से विभाजित करने पर:
$V \rho_s = V'_{sub} \rho_L \implies \frac{V'_{sub}}{V} = \frac{\rho_s}{\rho_L}$.
$\rho_s = \rho_L / 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V'_{sub}}{V} = \frac{\rho_L / 2}{\rho_L} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,प्रणाली के त्वरण की परवाह किए बिना डूबे हुए आयतन का अंश अपरिवर्तित रहता है।