Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(C) પ્રારંભિક વેગ $u = 100\,m/s$ અને ખૂણો $\theta = 53^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 53^{\circ} = 100 \times 0.6 = 60\,m/s$.
શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 53^{\circ} = 100 \times 0.8 = 80\,m/s$.
સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x$ ગતિ દરમિયાન $60\,m/s$ અચળ રહે છે.
વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે તે માટે,શિરોલંબ ઘટક $v_y$ એ $\tan 45^{\circ} = |v_y / v_x|$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|v_y| = v_x = 60\,m/s$.
કિસ્સો $1$: $v_y = +60\,m/s$ (ઉપર જતી વખતે).
$v_y = u_y + a_y t_1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a_y = -10\,m/s^2$:
$60 = 80 - 10 t_1 \implies 10 t_1 = 20 \implies t_1 = 2\,s$.
કિસ્સો $2$: $v_y = -60\,m/s$ (નીચે આવતી વખતે).
$-60 = 80 - 10 t_2 \implies 10 t_2 = 140 \implies t_2 = 14\,s$.
આમ,$2\,s$ અને $14\,s$ બંને શક્ય સમય છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (t^2 - 4t + 6)\hat{i} + (t^2)\hat{j}$ છે.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (2t - 4)\hat{i} + (2t)\hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$.
વેગ અને પ્રવેગ સદિશ એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$.
$(2\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((2t - 4)\hat{i} + 2t\hat{j}) = 0$.
$2(2t - 4) + 2(2t) = 0$.
$4t - 8 + 4t = 0$.
$8t = 8$.
$t = 1 \text{ sec}$.

(D) સમાન ઝડપ સાથે સમાન અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂરક હોવા જોઈએ,તેથી $\theta _1 + \theta _2 = 90^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $\theta _1 = 90^\circ - \theta _2$. આ વિકલ્પ $A$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $t = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$t_1 = \frac{2u \sin \theta _1}{g}$ અને $t_2 = \frac{2u \sin \theta _2}{g}$.
આના પરથી,$\frac{t_1}{\sin \theta _1} = \frac{2u}{g}$ અને $\frac{t_2}{\sin \theta _2} = \frac{2u}{g}$.
તેથી,$\frac{t_1}{\sin \theta _1} = \frac{t_2}{\sin \theta _2}$,જે વિકલ્પ $B$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
કારણ કે $\theta _2 = 90^\circ - \theta _1$,આપણી પાસે $\sin \theta _2 = \sin(90^\circ - \theta _1) = \cos \theta _1$ છે.
પછી,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sin \theta _1}{\sin \theta _2} = \frac{\sin \theta _1}{\cos \theta _1} = \tan \theta _1$,જે વિકલ્પ $C$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
બધા વિકલ્પો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રવેગ $\vec{a} = \vec{g}$ છે,જ્યાં $\vec{g}$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
વેગના ફેરફારનો દર એ પ્રવેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$.
તેથી,વેગના ફેરફારનો દર $\vec{g}$ છે.
વેગના ફેરફારના દરનું માન (modulus) $|\frac{d\vec{v}}{dt}| = |\vec{g}| = g$ થાય છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ એ ગતિ દરમિયાન અચળ રહેતું હોવાથી,વેગના ફેરફારના દરનું માન અચળ રહે છે.

(D) અંતિમ વેગ $\vec{v}$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
અહીં $\vec{u} = (4\hat{i} + 3\hat{j})\,m/s$,$\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j})\,m/s^2$,અને $t = 10\,s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})$
$\vec{v} = 8\hat{i} + 6\hat{j}\,m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,m/s$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે。
$y = x - \frac{x^2}{80}$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$(A)$ $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = 45^{\circ}$. તેથી, $(A \rightarrow r)$.
$(B)$ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 80 \, m$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે. સમીકરણ પરથી $u^2 = 800 \Rightarrow u = 20\sqrt{2} \, m/s$. તેથી $T = 4 \, s$. $4 \, s$ પછી કણ જમીન પર હોય છે, અને વેગનો સમક્ષિતિજ સાથેનો કોણ $-45^{\circ}$ હોય છે. વિકલ્પો મુજબ, $(B \rightarrow r)$ યોગ્ય છે。
$(C)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 20 \, m$. તેથી, $(C \rightarrow p)$.
$(D)$ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 80 \, m$. તેથી, $(D \rightarrow q)$.
આમ, સાચી જોડ $(A \rightarrow r, B \rightarrow r, C \rightarrow p, D \rightarrow q)$ છે.

(B) વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\cos t \hat{i} + \sin t \hat{j} - 18t \hat{k}) = \sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 18 \hat{k}$
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 18 \hat{k}) = \cos t \hat{i} - \sin t \hat{j}$
પ્રવેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\cos t)^2 + (-\sin t)^2} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$,તેથી:
$|\vec{a}| = \sqrt{1} = 1$

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે:
$(A)$ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચે સરેરાશ વેગ: સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે અને સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે. સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{R}}{T} = u \cos \theta \hat{i}$. આ $(q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચે વેગમાં ફેરફાર: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_i = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$. અંતિમ વેગ $\vec{u}_f = u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j}$. ફેરફાર $\Delta \vec{v} = -2u \sin \theta \hat{j}$. આ $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ પ્રારંભિક અને મહત્તમ બિંદુઓ વચ્ચે વેગમાં ફેરફાર: મહત્તમ બિંદુએ વેગ $\vec{v}_h = u \cos \theta \hat{i}$. ફેરફાર $\Delta \vec{v} = -u \sin \theta \hat{j}$. આ $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ પ્રારંભિક અને મહત્તમ બિંદુઓ વચ્ચે સરેરાશ વેગ: સ્થાનાંતર $\vec{s} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \hat{j} + \frac{u^2 \sin 2\theta}{4g} \hat{i}$. સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g}$. સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{u \cos \theta}{2} \hat{i} + \frac{u \sin \theta}{2} \hat{j}$. આ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી $(s)$ સાચો જવાબ છે.

(C) સરેરાશ બળ $\vec{F}_{avg}$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમયગાળો તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$.
ધારો કે બિંદુ $1$ પર વેગ $\vec{v}_1$ છે અને બિંદુ $2$ પર વેગ $\vec{v}_2$ છે. ઝડપ અચળ હોવાથી,$|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.
વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = m \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = m \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = m \sqrt{4v^2 \sin^2(\theta/2)} = 2mv \sin(\theta/2)$ છે.
ચાપ પર કાપેલું અંતર $s = R\theta$ છે. ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,લાગતો સમય $\Delta t = \frac{s}{v} = \frac{R\theta}{v}$ છે.
તેથી,સરેરાશ બળ $F_{avg} = \frac{|\Delta \vec{p}|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(\theta/2)}{R\theta/v} = \frac{2mv^2 \sin(\theta/2)}{R\theta}$ થાય.

(A) અવધિ $R$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટેના સૂત્રો છે:
$R = \frac{2 u_x u_y}{g}$ અને $H = \frac{u_y^2}{2g}$.
$(A)$ $u_x \rightarrow 2u_x, u_y \rightarrow u_y/2$: $R' = \frac{2(2u_x)(u_y/2)}{g} = R$. તેથી, $A \rightarrow q$.
$(B)$ $u_y \rightarrow 2u_y, u_x \rightarrow u_x/2$: $R' = \frac{2(u_x/2)(2u_y)}{g} = R$. તેમજ $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$. તેથી, $B \rightarrow q, s$.
$(C)$ $u_x \rightarrow 2u_x, u_y \rightarrow 2u_y$: $R' = \frac{2(2u_x)(2u_y)}{g} = 4R$ $(r)$. $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$ $(s)$. તેથી, $C \rightarrow r, s$.
$(D)$ $u_y \rightarrow 2u_y$: $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$ $(s)$. તેથી, $D \rightarrow s$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) ધારો કે બે કણો $1$ અને $2$ છે. બંનેને આડી રીતે $u_1 = 10\,m/s$ (ધન x-દિશા) અને $u_2 = -10\,m/s$ (ઋણ x-દિશા) સાથે ફેંકવામાં આવે છે.
$(A)$ સાપેક્ષ પ્રવેગ: બંને કણો ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ છે,તેથી $\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = -g\hat{j}$. આમ,$\vec{a}_{rel} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 0$. જે $(p)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ સાપેક્ષ વેગ: $\vec{v}_1 = (10\hat{i} - gt\hat{j})$ અને $\vec{v}_2 = (-10\hat{i} - gt\hat{j})$. $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = 20\hat{i}$. મૂલ્ય $20\,m/s$ છે. જે $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ આડું અંતર: $x_1 = 10t$ અને $x_2 = -10t$. અંતર $d_x = |x_1 - x_2| = |10t - (-10t)| = 20t$. $t=1\,s$ સમયે,$d_x = 20\,m$. જે $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ ઊભું અંતર: $y_1 = -\frac{1}{2}gt^2$ અને $y_2 = -\frac{1}{2}gt^2$. અંતર $d_y = |y_1 - y_2| = 0$. જે $(p)$ સાથે મેળ ખાય છે.
સાચું જોડાણ: $(A \rightarrow p, B \rightarrow s, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$.

(B) $X$-અક્ષ પર વેગનો ઘટક $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$ છે.
$Y$-અક્ષ પર વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$ છે.
કણની ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે,જે $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2} = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$.
તેથી,$v = 2t\sqrt{a^2 + b^2}$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $u$ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ ધરાવતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અવધિ $R$ માટે,બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $t = \frac{2u \sin\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોણ $\theta$ માટે,$t_1 = \frac{2u \sin\theta}{g}$.
બીજા કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે,$t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos\theta}{g}$.
ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos\theta}{g}\right) = \frac{4u^2 \sin\theta \cos\theta}{g^2}$ છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_1 t_2 = \frac{2u^2 \sin(2\theta)}{g^2}$ મળે છે.
કારણ કે $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા $t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$ મળે છે.
તેથી,$t_1 t_2 \propto R$.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર વળાંક માટે બેંકિંગના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
આપેલ કિંમતો: ઝડપ $v = 150\, m/s$,ખૂણો $\theta = 12^\circ$,$g = 10\, m/s^2$,અને $\tan 12^\circ = 0.2125$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.2125 = \frac{(150)^2}{r \times 10}$
$0.2125 = \frac{22500}{10r}$
$0.2125 = \frac{2250}{r}$
$r = \frac{2250}{0.2125} \approx 10588.2\, m$.
ત્રિજ્યાને કિલોમીટરમાં ફેરવતા:
$r \approx 10.588\, km \approx 10.6\, km$.

(D) શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ - \theta$ થશે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{v^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
આના પરથી,આપણને $\frac{v \cos \theta}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ મળે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g}$.
$\frac{v \cos \theta}{g}$ ની કિંમત $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{8H}{g}}$.

(A) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફાર થવાનો અર્થ છે કે વેગ બદલાય છે.
તે જ રીતે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ કણની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રની દિશા બદલાય છે,તેથી પ્રવેગની દિશા પણ બદલાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. આમ,$Reason$ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે પ્રવેગ સદિશ શા માટે બદલાય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 3.0 \hat{i} \; m/s$,પ્રવેગ $\vec{a} = (6.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j}) \; m/s^2$,અને $t=0$ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ છે.
$y$-દિશામાં ગતિ માટે:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$32 = 0 \times t + \frac{1}{2} (4.0) t^2$
$32 = 2 t^2$
$t^2 = 16 \implies t = 4 \; s$.
$x$-દિશામાં ગતિ માટે:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = (3.0)(4) + \frac{1}{2} (6.0)(4)^2$
$x = 12 + 3.0 \times 16$
$x = 12 + 48 = 60 \; m$.
આમ,$D = 60$.

(N/A) આ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિનું ઉદાહરણ છે. અહીં,ત્રિજ્યા $R = 12 \; cm$ છે.
$(a)$ કોણીય ઝડપ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu = 7 / 100 \; Hz$ છે.
$\omega = 2 \times 3.14 \times (7 / 100) = 0.44 \; rad/s$.
રેખીય ઝડપ $v$ એ $v = \omega R = 0.44 \; rad/s \times 12 \; cm = 5.28 \; cm/s \approx 5.3 \; cm/s$ છે.
$(b)$ પ્રવેગ સદિશ એ અચળ સદિશ નથી કારણ કે જેમ કીટક વર્તુળ પર ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,ભલે તે હંમેશા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ).
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 R = (0.44 \; s^{-1})^2 \times 12 \; cm = 0.1936 \times 12 \; cm/s^2 = 2.3232 \; cm/s^2 \approx 2.3 \; cm/s^2$ છે.

(N/A) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા,$r = 1 \; km = 1000 \; m$.
વિમાનની ઝડપ,$v = 900 \; km/h = 900 \times \frac{5}{18} = 250 \; m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ,$a_c = \frac{v^2}{r}$.
$a_c = \frac{(250)^2}{1000} = \frac{62500}{1000} = 62.5 \; m/s^2$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \; m/s^2$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{a_c}{g} = \frac{62.5}{9.8} \approx 6.38$.
આમ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ કરતા $6.38$ ગણો છે,એટલે કે $a_c = 6.38 \; g$.

(B, C) ખોટું: વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનો કુલ પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોતો નથી. આ માત્ર નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિના કિસ્સામાં જ સાચું છે. અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગનો સ્પર્શીય ઘટક પણ હોય છે.
$(b)$ સાચું: વક્ર પથ પરના કોઈપણ બિંદુએ,તાત્કાલિક વેગ તે બિંદુએ પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$(c)$ સાચું: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(UCM)$ માં,પ્રવેગ સદિશ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે હંમેશા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરે છે. જેમ જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ આ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે,તેથી સરેરાશ પ્રવેગ એક શૂન્ય સદિશ બને છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર છે: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,જ્યાં $u$ એ મઝલ ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે,અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપેલ છે: $\theta_1 = 30^{\circ}$ પર $R_1 = 3.0 \; km$.
આ કિંમતો મૂકતા: $3.0 = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{u^2}{g} = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \; km$.
નિશ્ચિત મઝલ ઝડપ $u$ માટે મહત્તમ અવધિ $R_{\text{max}}$ એ $\theta = 45^{\circ}$ પર મળે છે,જ્યાં $R_{\text{max}} = \frac{u^2}{g}$.
$\frac{u^2}{g}$ ની કિંમત મૂકતા: $R_{\text{max}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \; km$.
મહત્તમ શક્ય અવધિ આશરે $3.46 \; km$ હોવાથી,માત્ર પ્રક્ષેપણ કોણને બદલીને $5.0 \; km$ દૂરના લક્ષ્યને મારવું અશક્ય છે.

(D) ફાઈટર પ્લેનની ઊંચાઈ $h = 1.5 \; km = 1500 \; m$.
ફાઈટર પ્લેનની ઝડપ $v = 720 \; km/h = 720 \times (5/18) \; m/s = 200 \; m/s$.
ધારો કે શેલ પ્લેનને અથડાય તે માટે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ગનનો મઝલ વેગ $u = 600 \; m/s$.
ધારો કે શેલને પ્લેન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
શેલ દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $= (u \sin \theta) t$.
પ્લેન દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $= v t$.
શેલ પ્લેનને અથડાય તે માટે,બંને આડા અંતર સમાન હોવા જોઈએ:
$(u \sin \theta) t = v t \implies \sin \theta = v/u$.
$\sin \theta = 200 / 600 = 1/3 \approx 0.333$.
$\theta = \sin^{-1}(0.333) \approx 19.5^o$.
અથડાવાથી બચવા માટે,પાઇલટે પ્લેનને શેલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ કરતા વધારે ઊંચાઈ $H$ પર ઉડાડવું જોઈએ.
શેલના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \cos \theta = 600 \cos(19.5^o) \approx 600 \times 0.9426 \approx 565.56 \; m/s$.
શેલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = u_y^2 / (2g) = (565.56)^2 / (2 \times 10) = 319858 / 20 \approx 15992.9 \; m \approx 16 \; km$.

(N/A) ધારો કે $v_{0x}$ અને $v_{0y}$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના સમક્ષિતિજ $(x)$ અને શિરોલંબ $(y)$ દિશામાં વેગના પ્રારંભિક ઘટકો છે.
ધારો કે $v_x$ અને $v_y$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_x = v_{0x}$
$v_y = v_{0y} - gt$
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_{0y} - gt}{v_{0x}}$
$\theta(t) = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0y} - gt}{v_{0x}}\right)$
પ્રારંભિક વેગ $u_0$ અને ખૂણા $\theta_0$ પર ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે:
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_m = \frac{u_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \quad (i)$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u_0^2 \sin(2\theta_0)}{g} = \frac{2u_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}{g} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h_m}{R} = \frac{u_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \times \frac{g}{2u_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}$
$\frac{h_m}{R} = \frac{\sin \theta_0}{4 \cos \theta_0} = \frac{1}{4} \tan \theta_0$
તેથી,$\tan \theta_0 = \frac{4h_m}{R}$
$\theta_0 = \tan^{-1}\left(\frac{4h_m}{R}\right)$

(N/A) આપેલ છે:
ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0$
ટ્રકનો પ્રવેગ,$a = 2.0 \; m s^{-2}$
પથ્થર ફેંકવાનો સમય,$t = 10 \; s$
$(a)$ $t = 11 \; s$ સમયે પથ્થરનો વેગ:
$t = 10 \; s$ સમયે,ટ્રકનો વેગ $v = u + at = 0 + 2.0 \times 10 = 20 \; m s^{-1}$ છે.
જ્યારે પથ્થરને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે આ સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = 20 \; m s^{-1}$ ધરાવે છે.
શિરોલંબ દિશામાં,પથ્થર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u_y = 0)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગિત થાય છે $(g = 10 \; m s^{-2})$. $\Delta t = 11 - 10 = 1 \; s$ પછી,શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y + g \Delta t = 0 + 10 \times 1 = 10 \; m s^{-1}$ થાય છે.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.36 \; m s^{-1}$ છે.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{10}{20} = 0.5$ છે,તેથી $\theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.57^{\circ}$ થાય.
$(b)$ $t = 11 \; s$ સમયે પથ્થરનો પ્રવેગ:
એકવાર પથ્થર ફેંકવામાં આવે પછી,તે ટ્રકના સંપર્કમાં રહેતો નથી. તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે. તેથી,તેનો પ્રવેગ $g = 10 \; m s^{-2}$ છે જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.

(B) વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાન પદાર્થ અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોઈપણ ક્ષણે કણનો વેગ સદિશ તે બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે દોરી તૂટે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ જે પથ્થરને વર્તુળાકાર ગતિમાં રાખતું હતું તે નાબૂદ થઈ જાય છે.
પરિણામે,પથ્થર તેના તત્કાલીન વેગની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,જે તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે જ્યાં દોરી તૂટી હતી.

(B) ધારો કે કાપેલું આડું અંતર $x = 600\, m$ છે અને કાપેલું ઊભું અંતર $y = 600\, m$ છે.
આડા રન-વે સાથે પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta$ એ સંબંધ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{600}{600} = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.
આમ,ખૂણો $\theta$ એ $45^{\circ}$ છે.

(N/A) $1$. મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય $(t_m)$:
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ શૂન્ય હોય છે.
સમીકરણ $v_y = v_0 \sin \theta_0 - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = t_m$ સમયે $v_y = 0$ છે:
$0 = v_0 \sin \theta_0 - gt_m$
$t_m = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$
$2$. કુલ ઉડ્ડયન સમય $(T_f)$:
કુલ ઉડ્ડયન સમય એ પદાર્થને જમીન પર પાછા આવવા માટે લાગતો સમય છે $(y = 0)$.
સ્થાનાંતરના સમીકરણ $y = (v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (v_0 \sin \theta_0)T_f - \frac{1}{2}gT_f^2$
$T_f = \frac{2v_0 \sin \theta_0}{g}$
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$:
મહત્તમ ઊંચાઈએ,$t = t_m = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$ હોય છે.
આ કિંમતને શિરોલંબ સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$H = (v_0 \sin \theta_0)t_m - \frac{1}{2}gt_m^2$
$H = (v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right)^2$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}$

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ ખૂણા $\theta_1 = 30^\circ$ માટે,ઊંચાઈ $H_1 = \frac{v_0^2 \sin^2 30^\circ}{2g}$ છે.
બીજા ખૂણા $\theta_2 = 60^\circ$ માટે,ઊંચાઈ $H_2 = \frac{v_0^2 \sin^2 60^\circ}{2g}$ છે.
ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{H_2}{H_1} = \frac{\sin^2 60^\circ}{\sin^2 30^\circ}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{H_2}{H_1} = \frac{(\sqrt{3}/2)^2}{(1/2)^2} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(N/A) $(i)$ પૃથ્વી પર લાગતું સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{G M_e M_s}{r^2} = \frac{M_e v^2}{r}$
$(ii)$ ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$
$(iii)$ રસ્તાની સપાટી અને વાહનના ટાયર વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણબળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\mu_s N = \frac{m v^2}{r}$

(N/A) હવાના અવરોધને કારણે,કણની ઉર્જા અને વેગ સતત ઘટતા રહે છે,જેનાથી પતન વધુ તીવ્ર બને છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
જ્યારે આપણે હવાના અવરોધને અવગણીએ છીએ,ત્યારે માર્ગ એક સપ્રમાણ પરવલય $(OAB)$ હોય છે.
જ્યારે હવાના અવરોધને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યારે માર્ગ એક અસપ્રમાણ પરવલય $(OAC)$ બની જાય છે,જેમાં ઉતરાણ એ ચઢાણ કરતા વધુ તીવ્ર હોય છે.

(D) આપેલ છે: પેકેટની ઝડપ $u = 125 \, m/s$,ટેકરીની ઊંચાઈ $h = 500 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
ટેકરીને પાર કરવા માટે,વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y$ એ $u_y^2 = 2gh$ શરત સંતોષવી જોઈએ.
$u_y = \sqrt{2 \times 10 \times 500} = 100 \, m/s$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = \sqrt{u^2 - u_y^2} = \sqrt{125^2 - 100^2} = \sqrt{5625} = 75 \, m/s$.
ટેકરીની ટોચ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = u_y / g = 100 / 10 = 10 \, s$.
ટોચથી જમીન પર પડવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 500 / 10} = 10 \, s$.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2 = 10 + 10 = 20 \, s$.
ઉડ્ડયન દરમિયાન પેકેટ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = u_x \times T = 75 \times 20 = 1500 \, m$.
તોપ શરૂઆતમાં ટેકરીથી $800 \, m$ દૂર છે,અને પેકેટ $1500 \, m$ સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે,તેથી તોપને એવી રીતે ખસેડવી જોઈએ કે પેકેટ ટેકરીની બીજી બાજુ જમીન પર પડે.
જરૂરી સમક્ષિતિજ અંતર $x_{req} = 1500 \, m$ છે. તોપ હાલમાં $800 \, m$ દૂર છે,તેથી તેને $700 \, m$ ટેકરીની નજીક ખસેડવી પડશે.
ખસેડવા માટે લાગતો સમય $t_{move} = 700 / 2 = 350 \, s$.
કુલ સમય $= t_{move} + T = 350 + 20 = 370 \, s$.

(N/A) આપેલ છે $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ $(i)$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ (ii).
$(i)$ ને $\cos \theta$ વડે અને (ii) ને $\sin \theta$ વડે ગુણીને બાદબાકી કરતા: $\hat{r} \cos \theta - \hat{\theta} \sin \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \hat{i} = \hat{i}$.
$(i)$ ને $\sin \theta$ વડે અને (ii) ને $\cos \theta$ વડે ગુણીને સરવાળો કરતા: $\hat{r} \sin \theta + \hat{\theta} \cos \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \hat{j} = \hat{j}$.
$(b)$ $|\hat{r}| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$ અને $|\hat{\theta}| = \sqrt{(-\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} = 1$. બંને એકમ સદિશ છે.
$\hat{r} \cdot \hat{\theta} = (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) = 0$. આમ,તેઓ પરસ્પર લંબ છે.
$(c)$ $\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} + \cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = \omega(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = \omega \hat{\theta}$.
તે જ રીતે,$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = -\cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} - \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = -\omega(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ આપેલ છે $\vec{r} = a\theta \hat{r}$. $\theta$ પરિમાણ રહિત હોવાથી,$[r] = [a]$. તેથી,$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર લંબાઈ $[L]$ છે.
$(e)$ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(a\theta \hat{r}) = a\dot{\theta}\hat{r} + a\theta\dot{\hat{r}} = a\omega\hat{r} + a\theta\omega\hat{\theta}$.
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega\dot{\hat{r}} + a\dot{\theta}\omega\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} + a\theta\omega\dot{\hat{\theta}} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega^2\hat{\theta} + a\omega^2\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} - a\theta\omega^2\hat{r} = (a\dot{\omega} - a\theta\omega^2)\hat{r} + (2a\omega^2 + a\theta\dot{\omega})\hat{\theta}$.

(C) થી $C$ સુધીનું કુલ અંતર $100\, m \times 100\, m$ ચોરસના વિકર્ણ પર છે. વિકર્ણની લંબાઈ $100\sqrt{2}\, m$ છે. મધ્ય રેતીના ચોરસની બાજુ $50\, m$ છે,તેથી તેનો વિકર્ણ $50\sqrt{2}\, m$ છે. વિકર્ણ પર રેતીની બહારનું અંતર $100\sqrt{2} - 50\sqrt{2} = 50\sqrt{2}\, m$ છે.
રેતીના માર્ગ દ્વારા લીધેલ સમય $T_{\text{sand}} = \frac{50\sqrt{2}}{1} + \frac{50\sqrt{2}}{v} = 50\sqrt{2}(1 + \frac{1}{v})$.
રેતીની બહારનો સૌથી ટૂંકો રસ્તો રેતીના ચોરસની સીમા પર છે. $A$ થી રેતીના ચોરસના ખૂણા સુધીનું અંતર $\sqrt{25^2 + 75^2} = \sqrt{625 + 5625} = \sqrt{6250} = 25\sqrt{10}\, m$ છે.
બહારનું કુલ અંતર $2 \times 25\sqrt{10} = 50\sqrt{10}\, m$ છે.
લીધેલ સમય $T_{\text{outside}} = \frac{50\sqrt{10}}{1} = 50\sqrt{10}\, s$.
રેતીનો માર્ગ ઝડપી બને તે માટે,$T_{\text{sand}} < T_{\text{outside}}$.
$50\sqrt{2}(1 + \frac{1}{v}) < 50\sqrt{10} \implies 1 + \frac{1}{v} < \sqrt{5} \implies \frac{1}{v} < \sqrt{5} - 1$.
$v > \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \approx 0.809$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્ન સીમા પરના માર્ગ સાથે સરખામણી સૂચવે છે. $A \to P \to R \to C$ માર્ગનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા જ્યાં $P, R$ રેતીના ચોરસના ખૂણા છે: $AP = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2}$,$PR = 50$,$RC = 25\sqrt{2}$.
$T = \frac{25\sqrt{2} + 25\sqrt{2}}{1} + \frac{50}{v} = 50\sqrt{2} + \frac{50}{v}$.
$50\sqrt{2} + \frac{50}{v} < 50\sqrt{10} \implies \sqrt{2} + \frac{1}{v} < \sqrt{10} \implies \frac{1}{v} < \sqrt{10} - \sqrt{2} \approx 1.74$.
$v > 0.57$. સૌથી નજીકની કિંમત $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ છે.

(A) કારણ કે $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = |A||B| \cos \theta = AB \cos \theta$,આપેલ છે કે $AB \cos \theta = AB$,તેથી $\cos \theta = 1$,એટલે કે $\theta = 0^\circ$.
$(b)$ મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે,જે $u \cos \theta$ છે.
$(c)$ સદિશ $\vec{V} = x\widehat i + y\widehat j + z\widehat k$ નો $y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ એ તેનો $y$-ઘટક છે,જે $-2$ છે.

(N/A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે. $R$ મહત્તમ થવા માટે $\sin(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
$(b)$ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી (કેન્દ્ર તરફ) હોય છે અને વેગ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. સ્પર્શક અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
$(c)$ સદિશ $\overrightarrow{A} = 4\widehat{i} + 3\widehat{j}$ નું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ થાય.

(A) $\vec{A} - \vec{B} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$. તેથી $y$-ઘટક $1$ છે.
$(b)$ શિરોલંબ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u}{g}$ છે.
$(c)$ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = R\omega^2$ છે.
$(d)$ કોઈપણ સદિશનો ઘટક હંમેશાં અદિશ (scalar) હોય છે.

(C) ખોટું. ઉડ્યન સમય $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે પ્રારંભિક વેગના શિરોલંબ ઘટક $(u \sin \theta)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે.
$(b)$ ખોટું. સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ અચળ રહે છે અને નીચેની તરફ લાગે છે. તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ પણ પ્રવેગ $g$ જેટલો હોય છે (શૂન્ય નથી).
$(c)$ ખરું. સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2 \theta)}{g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ અવધિ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta = 45^{\circ}$ હોય,તેથી તે પ્રક્ષિપ્ત કોણ પર આધાર રાખે છે.

(C) ખોટું. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,રેખીય વેગનું મૂલ્ય અચળ હોય છે,પરંતુ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
$(b)$ ખોટું. વેગ સદિશ અને પ્રવેગ સદિશ માત્ર ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ જ એકબીજાને લંબ હોય છે.
$(c)$ સાચું. મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{4g}$. અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{g}$. આમ,$H = \frac{R}{4}$.
$(d)$ ખોટું. જો $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB$ હોય,તો $AB \sin \theta = AB$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 1$,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.

(D) આકૃતિ $(a)$ પરથી,$(x, t)$ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે $x$-દિશામાં અચળ વેગ સૂચવે છે.
$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1 \, m/s$.
વેગ અચળ હોવાથી,$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = 0$ છે.
આકૃતિ $(b)$ પરથી,$(y, t)$ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો પરવલય છે,જે $y = kt^2$ સંબંધ અનુસરે છે. $t = 2 \, s$ સમયે,$y = 4 \, m$ છે,તેથી $4 = k(2)^2$,જે $k = 1$ આપે છે. આમ,$y = t^2$.
$y$-દિશામાં વેગ $v_y = \frac{dy}{dt} = 2t$ છે.
$y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2 \, m/s^2$ છે.
કણનું દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ છે.
બળના ઘટકો:
$F_x = m a_x = 0.5 \times 0 = 0 \, N$.
$F_y = m a_y = 0.5 \times 2 = 1 \, N$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \, N$ છે.
બળની દિશા ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(N/A) આપેલ સ્થાનાંતર સદિશ: $\vec{r}(t) = (A \cos \omega t) \hat{i} + (B \sin \omega t) \hat{j}$.
$(a)$ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,$x = A \cos \omega t$ અને $y = B \sin \omega t$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x}{A} = \cos \omega t$ અને $\frac{y}{B} = \sin \omega t$.
નિત્યસમ $\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{x}{A})^2 + (\frac{y}{B})^2 = 1$ મળે છે,જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
$(b)$ વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -A \omega \sin \omega t \hat{i} + B \omega \cos \omega t \hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -A \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - B \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા,$\vec{a} = -\omega^2 (A \cos \omega t \hat{i} + B \sin \omega t \hat{j}) = -\omega^2 \vec{r}$.
$\vec{F} = m\vec{a}$ હોવાથી,$\vec{F} = -m \omega^2 \vec{r}$ સાબિત થાય છે.

(B) ના,રેખીય વેગ અચળ રહેશે નહીં.
જોકે કોણીય ઝડપ અચળ છે,પરંતુ ભ્રમણાક્ષની દિશા નિશ્ચિત નથી.
રેખીય વેગ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ હોવાથી,અને જેમ ભ્રમણાક્ષ બદલાય તેમ કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા પણ બદલાય છે,તેથી રેખીય વેગ $\vec{v}$ ની દિશા પણ બદલાશે.
આથી,રેખીય વેગ અચળ રહેતો નથી.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 5 \hat{j} \, m/s$,પ્રવેગ $\vec{a} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s^2$,અને પ્રારંભિક સ્થાન $(x_0, y_0) = (0, 0)$.
$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$-યામ માટે:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$20 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$20 = 5t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$.
$y$-યામ માટે:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y_0 = 5 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2$
$t = 2 \, s$ મૂકતા:
$y_0 = 5(2) + 2(2^2) = 10 + 8 = 18 \, m$.
આમ,$t = 2 \, s$ અને $y_0 = 18 \, m$.

(C) આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} = k(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$.
તેથી,$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{k}{m} v_y$ અને $a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{k}{m} v_x$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{dv_y}{dv_x} = \frac{v_x}{v_y} \implies v_y dv_y = v_x dv_x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v_y dv_y = \int v_x dv_x \implies v_y^2 = v_x^2 + C \implies v_y^2 - v_x^2 = \text{અચળ}$.
હવે,$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{k}{m}(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 (\hat{i} \times \hat{j}) + v_y^2 (\hat{j} \times \hat{i})]$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 \hat{k} - v_y^2 \hat{k}] = \frac{k}{m} (v_x^2 - v_y^2) \hat{k}$.
જેમ કે $v_y^2 - v_x^2$ અચળ છે,તેથી $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ શિરોલંબ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L = m v_x H = m (v \cos \theta) \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m v^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે: $m = 0.16 \, kg$,$v = 10 \, m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$L = \frac{0.16 \times (10)^3 \times \sin^2 60^{\circ} \times \cos 60^{\circ}}{2 \times 10}$.
$L = \frac{0.16 \times 1000 \times (3/4) \times (1/2)}{20} = \frac{160 \times 0.375}{20} = 8 \times 0.375 = 3.0 \, kg \cdot m^2/s$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 1\,m$,ઝડપ $v = 4\,m/s$,સમય $t = 1\,s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R} = \frac{4}{1} = 4\,rad/s$.
$t$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = \omega t = 4 \times 1 = 4\,rad$.
$(A)$ સ્થાનાંતર $= 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2(1) \sin(\frac{4}{2}) = 2 \sin 2\,m$. જે $(r)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(B)$ પથલંબાઈ $= v \times t = 4 \times 1 = 4\,m$. જે $(q)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(C)$ સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2 \sin 2}{1} = 2 \sin 2\,m/s$. જે $(r)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(D)$ સરેરાશ પ્રવેગ $= \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}$. વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\frac{\theta}{2}) = 2(4) \sin(\frac{4}{2}) = 8 \sin 2\,m/s^2$. જે $(p)$ સાથે બંધ બેસે છે.
આમ,સાચી જોડ $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow r, D \rightarrow p)$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિની મહત્તમ અવધિ $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{u^{2} \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}$
પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો ઉડ્ડયન સમય $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2u \sin\theta}{g}$
ઉડ્ડયન સમયનો વર્ગ:
$T^{2} = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right)^{2} = \frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}$
મહત્તમ અવધિ અને ઉડ્ડયન સમયના વર્ગનો ગુણોત્તર:
$\frac{R}{T^{2}} = \frac{\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}}{\frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R}{T^{2}} = \left(\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}\right) \times \left(\frac{g^{2}}{4u^{2} \sin^{2}\theta}\right) = \frac{g}{2} \cot\theta$
નોંધ: જો પ્રશ્ન મહત્તમ અવધિ (જ્યારે $\theta = 45^{\circ}$) માટે હોય,તો $\cot 45^{\circ} = 1$ થાય,તેથી જવાબ $\frac{g}{2}$ મળે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5\, g = 5 \times 10^{-3}\, kg$. પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \sqrt{2}\, m/s$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે ઝડપ સમાન હોય છે,તેથી અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $v = u = 5 \sqrt{2}\, m/s$ થાય.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ છે.
બિંદુ $B$ પર અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = m(u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j} - (u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}))$.
$\Delta \vec{P} = m(-2u \sin 45^{\circ} \hat{j}) = -2mu \sin 45^{\circ} \hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 2mu \sin 45^{\circ}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $|\Delta \vec{P}| = 2 \times (5 \times 10^{-3}) \times (5 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times 5 \times 10^{-3} \times 5 = 50 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-2}\, kg \cdot m/s$.
$x \times 10^{-2}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં $\sin(2 \times 42^{\circ}) = \sin(84^{\circ})$ અને $\sin(2 \times 48^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(84^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 96^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$,તેથી બંને અવધિ સમાન છે: $R_{1} = R_{2}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં $H$ એ $\sin^2 \theta$ ના સમપ્રમાણમાં છે,અને $\sin(48^{\circ}) > \sin(42^{\circ})$ હોવાથી,$H_{2} > H_{1}$ થાય,એટલે કે $H_{1} < H_{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $R_{1} = R_{2}$ અને $H_{1} < H_{2}$ છે.

(D) $t=4 \, s$ સમયે,કારનો (અને તેથી દડાનો) સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ $v_x = u + at = 0 + 5 \times 4 = 20 \, m/s$ છે.
દડો ફેંક્યા પછી,તે ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે.
$t=6 \, s$ સમયે,દડો ફેંક્યા પછીનો વીતેલો સમય $\Delta t = 6 - 4 = 2 \, s$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = 20 \, m/s$.
$\Delta t = 2 \, s$ સમયે શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y + g \Delta t = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$ છે.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20 \sqrt{2} \, m/s$ છે.
દડો મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો હોય છે,$a = g = 10 \, m/s^{2}$ નીચેની તરફ.