Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે કાર $A$ અને $B$ છે. તેઓ $v = 30 \, km/hr$ ની સમાન ઝડપથી એક જ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = v_B - v_A = 30 - 30 = 0 \, km/hr$ થાય.
આમ,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 5 \, km$ અચળ રહે છે.
ધારો કે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી ત્રીજી કાર $C$ ની ઝડપ $v_C \, km/hr$ છે.
કાર $A$ અને $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $C$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_C - (-30) = (v_C + 30) \, km/hr$ થાય.
બંને કારને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = 4 \, minutes = \frac{4}{60} \, hours = \frac{1}{15} \, hours$ છે.
સૂત્ર $t = \frac{d}{v_{rel}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{15} = \frac{5}{v_C + 30}$
$v_C + 30 = 5 \times 15$
$v_C + 30 = 75$
$v_C = 75 - 30 = 45 \, km/hr$.

(B) ધારો કે $\vec{v}_{rg}$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે,$\vec{v}_{mg}$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ છે,અને $\vec{v}_{rm}$ એ માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
જ્યારે માણસ સ્થિર હોય છે,ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે પડે છે. આ $\vec{v}_{rg}$ ની દિશા સૂચવે છે.
જ્યારે માણસ $10 \ km/hr$ ની ઝડપે દોડે છે,ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ રીતે પડતો જણાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_{rm}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય છે.
સાપેક્ષ વેગના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_{mg}$.
સમક્ષિતિજ ઘટકોને સરખાવતા: $v_{rg} \sin 30^\circ = v_{mg}$.
આપેલ છે કે $v_{mg} = 10 \ km/hr$,તેથી $v_{rg} \sin 30^\circ = 10$.
$\sin 30^\circ = 0.5$ હોવાથી,આપણને $v_{rg} = 10 / 0.5 = 20 \ km/hr$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{v}_{rg}$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે,$\vec{v}_{mg}$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ છે,અને $\vec{v}_{rm}$ એ માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
સાપેક્ષ વેગના સમીકરણ મુજબ: $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_{mg}$,જેનો અર્થ થાય છે $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_{rg} - \vec{v}_{mg}$.
જ્યારે માણસ સ્થિર હોય છે,ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે પડે છે. ધારો કે $v_r$ એ વરસાદના વેગનું મૂલ્ય છે. તો $\vec{v}_{rg} = v_r \sin 30^\circ \hat{i} - v_r \cos 30^\circ \hat{j}$.
જ્યારે માણસ $10 \, km/h$ ની ઝડપે દોડે છે,ત્યારે તેનો વેગ $\vec{v}_{mg} = 10 \hat{i}$ છે.
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rm} = (v_r \sin 30^\circ - 10) \hat{i} - v_r \cos 30^\circ \hat{j}$ છે.
વરસાદ માણસ પર શિરોલંબ રીતે પડતો હોવાથી,$\vec{v}_{rm}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$v_r \sin 30^\circ - 10 = 0 \implies v_r (1/2) = 10 \implies v_r = 20 \, km/h$.
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદના ટીપાંની ઝડપ એ શિરોલંબ ઘટક છે: $v_{rm} = v_r \cos 30^\circ = 20 \times (\sqrt{3}/2) = 10\sqrt{3} \, km/h$.

(C) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ $\vec{v}_b = 3i + 4j$ છે.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે પાણીનો વેગ $\vec{v}_w = -3i - 4j$ છે.
પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{bw} = \vec{v}_b - \vec{v}_w$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{bw} = (3i + 4j) - (-3i - 4j)$.
$\vec{v}_{bw} = 3i + 4j + 3i + 4j = 6i + 8j$.

(D) ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150\, m$ છે.
ટ્રેનનો વેગ $v_t = 10\, m/s$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
પોપટનો વેગ $v_p = -5\, m/s$ (દક્ષિણ દિશામાં,ઉત્તર દિશાને ધન લેતા) છે.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_p - v_t = -5 - 10 = -15\, m/s$ થાય.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|v_{rel}| = 15\, m/s$ છે.
પોપટને ટ્રેન ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{|v_{rel}|} = \frac{150}{15} = 10\, s$ થાય.

(A) નદીને સૌથી ઓછા સમયમાં પાર કરવા માટે,તરવૈયાના વેગનો નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક મહત્તમ હોવો જોઈએ.
ધારો કે નદીની પહોળાઈ $d$ છે અને સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાનો વેગ $v_s = 10\, m/min$ છે.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_s \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તરવૈયા દ્વારા નદીના પ્રવાહને લંબ દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$t$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ હોવો જોઈએ,જે $\theta = 0^\circ$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં,એટલે કે સીધા ઉત્તર તરફ તરવું જોઈએ.

(C) ધારો કે $v_m$ એ માણસનો વેગ છે અને $v_r$ એ નદીના પ્રવાહનો વેગ છે.
માણસ બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે નદીના પ્રવાહની દિશા સાથે $120^\circ$ ના ખૂણે તરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે નદીના પ્રવાહની દિશામાં માણસના વેગનો ઘટક નદીના વેગને નાબૂદ કરવો જોઈએ.
માણસના વેગ સદિશ અને કિનારાને લંબ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ છે.
તેથી,માણસના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_m \sin(30^\circ)$ છે.
માણસ સામેના બિંદુએ પહોંચે તે માટે,આ સમક્ષિતિજ ઘટક નદીના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$v_r = v_m \sin(30^\circ)$
આપેલ છે કે $v_m = 0.5\, m/s$ અને $\sin(30^\circ) = 0.5$,
$v_r = 0.5 \times 0.5 = 0.25\, m/s$.

(C) પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_A = 65 \, km/h$ છે.
પદાર્થ $B$ નો વેગ $v_B = 80 \, km/h$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો સાપેક્ષ વેગ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_{BA} = v_B - v_A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_{BA} = 80 \, km/h - 65 \, km/h = 15 \, km/h$.
તેથી,$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $15 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે માણસ પ્રવાહની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે તરે છે. વેગના ઘટકો $v_x = u + v \cos \theta$ અને $v_y = v \sin \theta$ છે.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v \sin \theta}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં કાપેલું અંતર $x = v_x t = (u + v \cos \theta) \frac{d}{v \sin \theta} = \frac{d}{v} (u \csc \theta + v \cot \theta)$ છે.
મહત્તમ સમય માટે,$\sin \theta$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ. $\theta$ એ પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો હોવાથી,$0 < \theta < \pi$ છે. $\theta \to 0$ થાય ત્યારે $x \to \infty$ થાય છે,તેથી વિકલ્પ $(a)$ ખોટો છે.
$x$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{v} (-u \csc \theta \cot \theta - v \csc^2 \theta) = 0$.
આનાથી $u \cos \theta + v = 0$ મળે છે,એટલે કે $\cos \theta = -v/u$.
$\theta$ એ પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો હોવાથી,પ્રવાહને લંબ દિશા સાથેનો ખૂણો $\alpha = \theta - \pi/2$ થાય. $\cos \theta = -v/u$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \alpha = v/u$ મળે,તેથી $\alpha = \sin^{-1}(v/u)$.
પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો $\theta = \pi/2 + \sin^{-1}(v/u)$ થાય. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $\vec{v}_m$ એ પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ જતી બસ (માણસ) નો વેગ છે.
ધારો કે $\vec{v}_r$ એ વરસાદનો વાસ્તવિક વેગ છે.
ધારો કે $\vec{v}_{rm}$ એ બસમાં બેઠેલા માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
આપણને આપેલું છે કે $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબ (નીચેની તરફ) છે.
સાપેક્ષ વેગની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_r = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_m$.
કારણ કે $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબ છે અને $\vec{v}_m$ પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ છે,તેથી પરિણામી સદિશ $\vec{v}_r$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ હોવો જોઈએ.
તેથી,જમીન પરના સ્થિર અવલોકનકાર માટે,વરસાદ એક ખૂણે પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ પડતો દેખાશે.

(B) હોડી સ્થિર પાણીમાં કુલ $16 \, km$ અંતર ($8 \, km$ આગળ અને $8 \, km$ પાછળ) $2 \, h$ માં કાપે છે.
તેથી,સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_B = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ છે.
પાણીનો વેગ $v_w = 4 \, km/h$ આપેલ છે.
પ્રવાહની સામે $8 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય: $t_1 = \frac{8}{v_B - v_w} = \frac{8}{8 - 4} = \frac{8}{4} = 2 \, h$.
પ્રવાહની દિશામાં $8 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{8}{v_B + v_w} = \frac{8}{8 + 4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \, h = 40 \, min$.
કુલ લાગતો સમય = $t_1 + t_2 = 2 \, h + 40 \, min = 2 \, h \, 40 \, min$.

(D) ટ્રેન $v_t = 10 \, m/s$ (પશ્ચિમ) ના વેગથી પશ્ચિમ દિશામાં ગતિ કરી રહી છે.
પક્ષી $v_b = 5 \, m/s$ (પૂર્વ) ના વેગથી પૂર્વ દિશામાં ઉડી રહ્યું છે.
તેઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}$ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલો થશે:
$v_{rel} = v_t + v_b = 10 \, m/s + 5 \, m/s = 15 \, m/s$.
પક્ષી દ્વારા કાપવાનું અંતર (ટ્રેનની લંબાઈ) $L = 120 \, m$ છે.
ટ્રેનને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$t = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{120 \, m}{15 \, m/s} = 8 \, sec$.
આમ,પક્ષી દ્વારા ટ્રેનને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $8 \, sec$ છે.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{v_b}$ એ પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ છે અને $\overrightarrow{v_r}$ એ જમીનની સાપેક્ષે નદીના પાણીનો વેગ છે.
જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો પરિણામી વેગ $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હોડી નદીના પ્રવાહને લંબ રૂપે ઓળંગતી હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{v_b}$ અને $\overrightarrow{v_r}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી વેગનું મૂલ્ય $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ થાય.
અહીં $v_{bg} = 10 \, km/h$ અને $v_b = 8 \, km/h$ આપેલ છે,તેથી:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(B) નદી ઓળંગવા માટેનો સૌથી ટૂંકો માર્ગ એ નદીના પ્રવાહને લંબ સીધી રેખા છે.
ધારો કે હોડીનો વેગ $v_b = 5 \; km/hr$ છે અને નદીના પ્રવાહનો વેગ $u$ છે.
જ્યારે હોડી સૌથી ટૂંકા માર્ગે નદી ઓળંગે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો પરિણામી વેગ $v_r = \sqrt{v_b^2 - u^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પહોળાઈ $d = 1 \; km$ અને સમય $t = 15 \; min = 0.25 \; hr = \frac{1}{4} \; hr$ છે.
પરિણામી વેગ $v_r = \frac{d}{t} = \frac{1}{1/4} = 4 \; km/hr$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \sqrt{5^2 - u^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 = 25 - u^2$.
$u^2 = 25 - 16 = 9$.
$u = 3 \; km/hr$.

(D) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $v_r$ છે અને સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $v_m$ છે.
આપેલ છે કે માણસ નદીને પ્રવાહને લંબ રૂપે ઓળંગે છે,તેથી તેનું પરિણામી વેગ $v_{res} = \sqrt{v_m^2 - v_r^2}$ દ્વારા મળે છે.
નદીની પહોળાઈ $d = 320 \ m$ છે અને લાગતો સમય $t = 4 \ min$ છે.
તેથી,પરિણામી વેગ $v_{res} = \frac{d}{t} = \frac{320}{4} = 80 \ m/min$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $v_m = \frac{5}{3} v_r$.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $80 = \sqrt{(\frac{5}{3} v_r)^2 - v_r^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $80^2 = \frac{25}{9} v_r^2 - v_r^2$.
$6400 = \frac{16}{9} v_r^2$.
$v_r^2 = \frac{6400 \times 9}{16} = 400 \times 9 = 3600$.
$v_r = \sqrt{3600} = 60 \ m/min$.

(B) ટ્રેનો એકબીજાને સંપૂર્ણપણે ઓળંગે તે માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 50 \, m + 50 \, m = 100 \, m$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ તેમના વ્યક્તિગત વેગનો સરવાળો થશે: $v_{rel} = 10 \, m/s + 15 \, m/s = 25 \, m/s$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $t = \frac{D}{v_{rel}}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{100 \, m}{25 \, m/s} = 4 \, s$.

(A) સૌ પ્રથમ,બધા વેગને $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
પોલીસ જીપનો વેગ $(v_p)$ $= 45 \, km/h = 45 \times \frac{5}{18} \, m/s = 12.5 \, m/s$.
ચોરની જીપનો વેગ $(v_t)$ $= 153 \, km/h = 153 \times \frac{5}{18} \, m/s = 42.5 \, m/s$.
ગોળીનો મઝલ વેગ $(v_b)$ $= 180 \, m/s$.
જમીનની સાપેક્ષમાં ગોળીનો વેગ $v_{bg} = v_b + v_p = 180 + 12.5 = 192.5 \, m/s$.
ચોરની કારની સાપેક્ષમાં ગોળીનો વેગ $v_{bt} = v_{bg} - v_t$.
$v_{bt} = 192.5 \, m/s - 42.5 \, m/s = 150 \, m/s$.

(C) ધારો કે $\vec{v}_b$ એ પાણીની સાપેક્ષ હોડીનો વેગ છે અને $\vec{v}_r$ એ જમીનની સાપેક્ષ નદીનો વેગ છે.
જમીનની સાપેક્ષ હોડીનો પરિણામી વેગ $\vec{v} = \vec{v}_b + \vec{v}_r$ છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,પાણીની સાપેક્ષ હોડીનો વેગ $\vec{AB} = 8 \, km/hr$ (નદીના પ્રવાહને લંબ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જમીનની સાપેક્ષ હોડીનો પરિણામી વેગ $\vec{AC} = 10 \, km/hr$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નદીનો વેગ $\vec{BC}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle ABC = 90^\circ$ છે,તેથી:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}$
$BC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \, km/hr$.

(D) ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \ m$ છે.
ટ્રેનનો વેગ $v_t = 10 \ m/s$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
પોપટનો વેગ $v_p = 5 \ m/s$ (દક્ષિણ દિશામાં) છે.
બંને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_t + v_p = 10 + 5 = 15 \ m/s$ થશે.
પોપટને ટ્રેન ઓળંગતા લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_{rel}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{150}{15} = 10 \ s$ મળે.

(B) પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો સાપેક્ષ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{v}_{bw} = \vec{v}_b - \vec{v}_w$
આપેલ છે:
$\vec{v}_b = 3\hat i + 4\hat j$
$\vec{v}_w = -3\hat i - 4\hat j$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{v}_{bw} = (3\hat i + 4\hat j) - (-3\hat i - 4\hat j)$
$\vec{v}_{bw} = 3\hat i + 4\hat j + 3\hat i + 4\hat j$
$\vec{v}_{bw} = 6\hat i + 8\hat j$
આમ,પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો સાપેક્ષ વેગ $6\hat i + 8\hat j$ છે.

(D) ધારો કે પાણીની સાપેક્ષે હોડીની ઝડપ $v_b = 5 \, km/h$ છે અને નદીની ઝડપ $v_r = 3 \, km/h$ છે. નદીની પહોળાઈ $d = 1 \, km$ છે.
રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે સમય ન્યૂનતમ કરવા માટે,હોડીએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં પાર કરવી જોઈએ.
નદીને પાર કરવા માટે હોડીનો અસરકારક વેગ $v_{eff} = \sqrt{v_b^2 - v_r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, km/h$ થશે.
નદીને એકવાર પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{eff}} = \frac{1 \, km}{4 \, km/h} = 0.25 \, h$ છે.
રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે,હોડીએ નદી પાર કરીને પાછા આવવું પડે,તેથી કુલ સમય $T = 2 \times t = 2 \times 0.25 \, h = 0.5 \, h$ થશે.
મિનિટમાં ફેરવતા,$T = 0.5 \times 60 \, min = 30 \, min$ મળે.

(C) સૌથી ટૂંકા માર્ગ માટે,માણસનો પરિણામી વેગ નદીના પ્રવાહને લંબ હોવો જોઈએ (એટલે કે,સીધો દક્ષિણ તરફ).
ધારો કે $v_r = 5 \, m/min$ એ નદીનો વેગ છે અને $v_m = 10 \, m/min$ એ સ્થિર પાણીમાં માણસનો વેગ છે.
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે માણસ નદીના પ્રવાહને લંબ રેખા સાથે બનાવે છે (પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં).
વેક્ટર ત્રિકોણ પરથી,$\sin \theta = \frac{v_r}{v_m} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^\circ$.
પ્રવાહની દિશા સાથેનો ખૂણો $90^\circ + \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ થશે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $v$ છે અને કારની ઝડપ પણ $v$ છે.
ટ્રેનનો વેગ $\vec{v_t} = v \hat{i}$ છે.
કારનો વેગ $\vec{v_c} = v \hat{j}$ છે.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં કારનો વેગ $\vec{v_{ct}} = \vec{v_c} - \vec{v_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{v_{ct}} = v \hat{j} - v \hat{i} = v(-\hat{i} + \hat{j})$ મળે છે.
સદિશ $(-\hat{i} + \hat{j})$ એ પશ્ચિમ $(-\hat{i})$ અને ઉત્તર $(+\hat{j})$ દિશાની વચ્ચેની દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,ટ્રેનમાં બેઠેલા મુસાફર માટે કારની અવલોકિત દિશા પશ્ચિમ-ઉત્તર છે.

(C) માણસ ટ્રેનની અંદર હોવાથી,તે અને સિક્કો બંને ટ્રેન જેટલો જ સમાન પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ ધરાવે છે.
સિક્કા અને અવલોકનકાર (માણસ) બંને માટે સમક્ષિતિજ વેગ સમાન હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,માણસની સાપેક્ષમાં સિક્કો ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉર્ધ્વ પ્રવેગ અનુભવશે.
પરિણામે,માણસ દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવતો સિક્કાનો માર્ગ એક ઊભી સીધી રેખા હશે.

(D) બે કણો અથડાય તે માટે,$t$ સમયે તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ. ધારો કે $t$ સમયે કણોના સ્થાન $\overrightarrow{r_1}(t)$ અને $\overrightarrow{r_2}(t)$ છે.
$\overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{r_1} + \overrightarrow{v_1}t = (3\hat{i} + 5\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})t = (3+4t)\hat{i} + (5+3t)\hat{j}$
$\overrightarrow{r_2}(t) = \overrightarrow{r_2} + \overrightarrow{v_2}t = (-5\hat{i} - 3\hat{j}) + (\alpha\hat{i} + 7\hat{j})t = (-5+\alpha t)\hat{i} + (-3+7t)\hat{j}$
અથડામણ સમયે,$t = 2 \text{ s}$ પર $\overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{r_2}(t)$ થાય.
$\hat{i}$ ઘટકોને સરખાવતા:
$3 + 4(2) = -5 + \alpha(2)$
$3 + 8 = -5 + 2\alpha$
$11 = -5 + 2\alpha$
$16 = 2\alpha$
$\alpha = 8$
ચકાસણી માટે $\hat{j}$ ઘટકોને સરખાવતા:
$5 + 3(2) = -3 + 7(2)$
$5 + 6 = -3 + 14$
$11 = 11$. આ પરિણામની પુષ્ટિ કરે છે.

(B) ધારો કે કણ $A$ દ્વારા કપાયેલું સમક્ષિતીજ અંતર $x_1$ છે અને કણ $B$ દ્વારા કપાયેલું અંતર $x_2$ છે.
કણ $A$ એ સમક્ષિતીજ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે $v_A = u/\sqrt{3}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. તેનો સમક્ષિતીજ વેગનો ઘટક $v_{Ax} = (u/\sqrt{3}) \cos 30^\circ = (u/\sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2) = u/2$ છે.
કણ $B$ એ સમક્ષિતીજ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે $v_B = u$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. તેનો સમક્ષિતીજ વેગનો ઘટક $v_{Bx} = u \cos 60^\circ = u \times (1/2) = u/2$ છે.
બંને કણો એકબીજાની તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ સમક્ષિતીજ વેગ $v_{rel} = v_{Ax} + v_{Bx} = u/2 + u/2 = u$ થશે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક સમક્ષિતીજ અંતર $x$ છે.
તેથી,સમક્ષિતીજ અંતર શૂન્ય થવા માટે લાગતો સમય $t = \text{અંતર} / \text{સાપેક્ષ વેગ} = x / u$ થશે.

(B) ધારો કે એસ્કેલેટરનું અંતર $d$ છે.
સ્થિર એસ્કેલેટર પર પ્રીતિનો વેગ $v_1 = \frac{d}{t_1}$ છે.
ગતિશીલ એસ્કેલેટરનો વેગ $v_2 = \frac{d}{t_2}$ છે.
જ્યારે પ્રીતિ ગતિશીલ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો કુલ વેગ $v = v_1 + v_2$ થાય છે.
$v = \frac{d}{t_1} + \frac{d}{t_2} = d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$.
કુલ વેગ $v$ સાથે $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

(B) ધારો કે જહાજ $A$ નું પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તે ઋણ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r}_A = (-10t, 0)$ છે.
જહાજ $B$ શરૂઆતમાં $(0, -100)$ પર છે અને તે ધન $y$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r}_B = (0, -100 + 10t)$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (10t, -100 + 10t)$ છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = (10t)^2 + (-100 + 10t)^2 = 100t^2 + 10000 - 2000t + 100t^2 = 200t^2 - 2000t + 10000$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,$D^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 400t - 2000 = 0$.
$400t = 2000 \Rightarrow t = 5 \, hr$.
વૈકલ્પિક રીતે,સાપેક્ષ વેગનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (0, 10) - (-10, 0) = (10, 10) \, km \, h^{-1}$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, km \, h^{-1}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ એ સાપેક્ષ વેગ સદિશને લંબ હોય. ભૂમિતિ પરથી,લાગતો સમય $t = 5 \, hr$ છે.

(A) ધારો કે કણો $A$ અને $B$ સમય $t$ પર અથડાય છે. તેમની અથડામણ માટે,સમય $t$ પર બંને કણોના સ્થાન સદિશો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે:
$\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) t$ ... $(i)$
બંને બાજુનું માન લેતા:
$|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| t$
$t = \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
$t$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\vec{r}_1 - \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$

(B) ધારો કે તળાવની પહોળાઈ $l$ છે અને હોડીનો વેગ $v_b$ છે.
શાંત દિવસે,જતી અને પાછી આવતી વખતે લાગતો સમય:
$t_Q = \frac{l}{v_b} + \frac{l}{v_b} = \frac{2l}{v_b}$ .....$(i)$
હવે,જો $v_a$ એ હવાના પ્રવાહનો વેગ હોય,તો તળાવની આરપાર જતી વખતે લાગતો સમય:
$t_1 = \frac{l}{v_b + v_a}$ [કારણ કે પ્રવાહ ગતિમાં મદદ કરે છે]
અને પાછા આવતી વખતે લાગતો સમય:
$t_2 = \frac{l}{v_b - v_a}$ [કારણ કે પ્રવાહ ગતિનો વિરોધ કરે છે]
તેથી,તોફાની દિવસે કુલ સમય:
$t_R = t_1 + t_2 = \frac{l(v_b - v_a) + l(v_b + v_a)}{v_b^2 - v_a^2} = \frac{2lv_b}{v_b^2 - v_a^2} = \frac{2l}{v_b[1 - (v_a/v_b)^2]}$ .....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા:
$\frac{t_R}{t_Q} = \frac{1}{1 - (v_a/v_b)^2}$. કારણ કે $1 - (v_a/v_b)^2 < 1$,તેથી $\frac{t_R}{t_Q} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $t_R > t_Q$.
તેથી,શાંત દિવસે મુસાફરી પૂર્ણ કરવામાં લાગતો સમય તોફાની દિવસ કરતા ઓછો છે.

(A) ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_C = 25\hat{i}\, km/hr$ (પૂર્વ દિશામાં) છે.
ધારો કે ટ્રેનનો વેગ $\vec{v}_T = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$ છે.
કારની સાપેક્ષમાં ટ્રેનનો વેગ $\vec{v}_{TC} = \vec{v}_T - \vec{v}_C = (v_x - 25)\hat{i} + v_y\hat{j}$ થાય.
આપેલ છે કે ટ્રેન ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતી દેખાય છે,તેથી સાપેક્ષ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $v_x - 25 = 0$,તેથી $v_x = 25\, km/hr$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $25\sqrt{3}\, km/hr$ આપેલ છે,જે શિરોલંબ ઘટક છે: $v_y = 25\sqrt{3}\, km/hr$.
ટ્રેનનો વાસ્તવિક વેગ $\vec{v}_T = 25\hat{i} + 25\sqrt{3}\hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{v}_T| = \sqrt{25^2 + (25\sqrt{3})^2} = \sqrt{625 + 1875} = \sqrt{2500} = 50\, km/hr$ થાય.

(B) ધારો કે નદીની પહોળાઈ $d$ છે.
સૌથી ઓછા સમય માટે,તરવૈયો નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરે છે. લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
સૌથી ટૂંકા અંતર માટે,તરવૈયાએ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે એવી રીતે તરવું જોઈએ કે જેથી પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય. કિનારાને લંબ વેગનો ઘટક $v \sin \theta$ છે (જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશા સાથેનો ખૂણો છે). તેથી,લાગતો સમય $t' = \frac{d}{v \sin \theta}$ છે.
સૌથી ઓછા સમય માટે લાગતા સમય અને સૌથી ટૂંકા અંતર માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t}{t'} = \frac{d/v}{d/(v \sin \theta)} = \sin \theta$ છે.

(B) ધારો કે એસ્કેલેટરની લંબાઈ $x$ છે.
એસ્કેલેટરની ઝડપ,$v_e = \frac{x}{1} = x \text{ m/min}$.
સ્થિર એસ્કેલેટર પર ચાલતા માણસની ઝડપ,$v_m = \frac{x}{3} \text{ m/min}$.
જ્યારે માણસ ચાલતા એસ્કેલેટર પર ઉપર તરફ ચાલે છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_e + v_m = x + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3} \text{ m/min}$ થાય છે.
ટોચ પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{x}{v_{eff}} = \frac{x}{4x/3} = \frac{3}{4} \text{ મિનિટ}$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $t = \frac{3}{4} \times 60 \text{ s} = 45 \text{ s}$.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ધારો કે એક કણ $Q$ એ $x$-અક્ષ પર $O$ તરફ ગતિ કરે છે અને બીજો કણ $P$ એ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $O$ તરફ ગતિ કરે છે.
વેગ $\vec{v}_Q = -20 \hat{i} \, cm/s$ અને $\vec{v}_P = -20 \cos 60^{\circ} \hat{i} - 20 \sin 60^{\circ} \hat{j} = -10 \hat{i} - 10\sqrt{3} \hat{j} \, cm/s$ છે.
$P$ ની સાપેક્ષે $Q$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{QP} = \vec{v}_Q - \vec{v}_P = (-20 - (-10)) \hat{i} - (-10\sqrt{3}) \hat{j} = -10 \hat{i} + 10\sqrt{3} \hat{j} \, cm/s$ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_Q = 400 \hat{i} \, cm$ અને $\vec{r}_P = 300 \cos 60^{\circ} \hat{i} + 300 \sin 60^{\circ} \hat{j} = 150 \hat{i} + 150\sqrt{3} \hat{j} \, cm$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}_{QP} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = (400 - 150) \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j} = 250 \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j} \, cm$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{r}_{QP} \times \vec{v}_{QP}|}{|\vec{v}_{QP}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{v}_{QP}| = \sqrt{(-10)^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = 20 \, cm/s$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{r}_{QP} \times \vec{v}_{QP} = (250 \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j}) \times (-10 \hat{i} + 10\sqrt{3} \hat{j}) = (250 \times 10\sqrt{3} - (-150\sqrt{3}) \times (-10)) \hat{k} = (2500\sqrt{3} - 1500\sqrt{3}) \hat{k} = 1000\sqrt{3} \hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $1000\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$d = \frac{1000\sqrt{3}}{20} = 50\sqrt{3} \, cm$.

(B) ધારો કે $V_{SR} = 5 \text{ km/hr}$ એ નદીની સાપેક્ષ તરવૈયાનો વેગ છે.
ધારો કે $V_R = 4 \text{ km/hr}$ એ જમીનની સાપેક્ષ નદીનો વેગ છે.
નદીના પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો $127^{\circ}$ છે. જમીનની સાપેક્ષ તરવૈયાના વેગના ઘટકો:
$V_{Sx} = V_R + V_{SR} \cos(127^{\circ}) = 4 + 5(-\cos 53^{\circ}) = 4 - 5(0.6) = 4 - 3 = 1 \text{ km/hr}$.
$V_{Sy} = V_{SR} \sin(127^{\circ}) = 5 \sin(53^{\circ}) = 5(0.8) = 4 \text{ km/hr}$.
$d = 0.2 \text{ km}$ પહોળી નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{V_{Sy}} = \frac{0.2}{4} = 0.05 \text{ hr} = 3 \text{ minutes}$.
પ્રવાહની દિશામાં કાપેલું આડું અંતર $CB = V_{Sx} \times t_1 = 1 \text{ km/hr} \times 0.05 \text{ hr} = 0.05 \text{ km} = 50 \text{ m}$.
$3 \text{ km/hr}$ ની ઝડપે $CB$ અંતર ચાલવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{0.05 \text{ km}}{3 \text{ km/hr}} = \frac{1}{60} \text{ hr} = 1 \text{ minute}$.
કુલ સમય $= t_1 + t_2 = 3 \text{ min} + 1 \text{ min} = 4 \text{ minutes}$.

(B) નદી ઓળંગવા માટેનો સૌથી ટૂંકો માર્ગ એ નદીના કિનારાને લંબ સીધી રેખા છે. ધારો કે $v_b = 5 \, km/hr$ એ સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ છે અને $v_r$ એ નદીની ઝડપ છે.
સૌથી ટૂંકા માર્ગ પર પરિણામી વેગ $v_{res}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{res} = \frac{\text{નદીની પહોળાઈ}}{\text{લાગતો સમય}} = \frac{1 \, km}{15 \, min} = \frac{1 \, km}{15/60 \, hr} = 4 \, km/hr$.
સૌથી ટૂંકા માર્ગે નદી ઓળંગવા માટેના સદિશ ત્રિકોણમાં,સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $(v_b)$ કર્ણ તરીકે,પરિણામી વેગ $(v_{res})$ એક બાજુ તરીકે અને નદીનો વેગ $(v_r)$ બીજી બાજુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$v_b^2 = v_{res}^2 + v_r^2$
$5^2 = 4^2 + v_r^2$
$25 = 16 + v_r^2$
$v_r^2 = 25 - 16 = 9$
$v_r = 3 \, km/hr$.

(C) કારનો વેગ $\vec{v}_c = 20 \hat{j} \, km/hr$ (ઉત્તર) છે.
પવનનો વેગ $\vec{v}_w = 20 \hat{i} \, km/hr$ (પૂર્વ) છે.
ધ્વજ કારની સાપેક્ષમાં પવનના સાપેક્ષ વેગની દિશામાં રહેશે,જે $\vec{v}_{wc} = \vec{v}_w - \vec{v}_c$ છે.
$\vec{v}_{wc} = 20 \hat{i} - 20 \hat{j}$.
આ સદિશની દિશા $\tan \theta = \frac{|v_y|}{|v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^\circ$.
કારણ કે $x$-ઘટક ધન (પૂર્વ) છે અને $y$-ઘટક ઋણ (દક્ષિણ) છે,તેથી પરિણામી દિશા દક્ષિણ-પૂર્વ હશે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસનો વેગ $v$ છે અને નદીના પ્રવાહનો વેગ $u = 5\, m/s$ છે.
સીધા સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,માણસે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં એવી રીતે તરવું પડે કે જેથી પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય.
કિનારાને લંબ માણસનો અસરકારક વેગ $v_{eff} = \sqrt{v^2 - u^2}$ છે.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = 60\, m$ એ નદીની પહોળાઈ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{60}{\sqrt{v^2 - 5^2}}$.
$\sqrt{v^2 - 25} = \frac{60}{5} = 12$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 - 25 = 144$.
$v^2 = 144 + 25 = 169$.
$v = \sqrt{169} = 13\, m/s$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $v_s$ છે અને નદીની ઝડપ $v_r$ છે.
જ્યારે તરવૈયો પ્રવાહની દિશામાં જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $(v_s + v_r)$ થાય છે.
જ્યારે તરવૈયો પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $(v_s - v_r)$ થાય છે.
તરતો પદાર્થ નદીની ઝડપ $v_r$ થી ગતિ કરે છે.
ધારો કે $D$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે અને પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય $t_2$ છે.
સમય $t_1 = D / (v_s + v_r)$.
આ સમયે,તરતો પદાર્થ $x = v_r t_1 = v_r D / (v_s + v_r)$ અંતર કાપે છે.
પાછા ફર્યા પછી,તરવૈયો $M$ થી $D/2$ અંતરે તરતા પદાર્થને મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે તરવૈયો $D - D/2 = D/2$ અંતર પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં કાપે છે.
તે જ સમય $t_2$ માં તરતો પદાર્થ $D/2 - x$ અંતર કાપે છે.
$t_2 = (D/2) / (v_s - v_r) = (D/2 - x) / v_r$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,$t_2 = (D/2) / (v_s - v_r) = (D/2 - v_r D / (v_s + v_r)) / v_r$.
$D$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $1 / (2(v_s - v_r)) = (1/2 - v_r / (v_s + v_r)) / v_r$.
$1 / (2(v_s - v_r)) = (v_s + v_r - 2v_r) / (2v_r(v_s + v_r)) = (v_s - v_r) / (2v_r(v_s + v_r))$.
$(v_s + v_r) = (v_s - v_r)^2 / v_r$.
ધારો કે $k = v_s / v_r$. તો $k + 1 = (k - 1)^2 = k^2 - 2k + 1$.
$k^2 - 3k = 0$. તેથી $k = 3$.

(A) ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_c = 2\hat{i}$ છે અને વરસાદના ટીપાંનો વેગ $\vec{v}_r = -6\hat{j}$ છે.
કારની સાપેક્ષમાં વરસાદના ટીપાંનો વેગ $\vec{v}_{rc} = \vec{v}_r - \vec{v}_c = -2\hat{i} - 6\hat{j}$ થશે.
વરસાદના ટીપાં વિન્ડસ્ક્રીન સાથે લંબરૂપે અથડાય તે માટે,વિન્ડસ્ક્રીન સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rc}$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rc}$ શિરોલંબ ($-y$ અક્ષ) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\tan \alpha = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ દ્વારા મળે છે.
જોકે,વિન્ડસ્ક્રીન શિરોલંબ સાથે એવા ખૂણે નમેલી હોવી જોઈએ કે જેથી તેનો લંબ સાપેક્ષ વેગ સદિશને સમાંતર હોય. વિન્ડસ્ક્રીનનો શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો એ સાપેક્ષ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલા ખૂણા જેટલો જ હોય છે,જે $\theta = \tan^{-1}(\frac{6}{2}) = \tan^{-1}(3)$ છે.

(B) વરસાદના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક પવનના વેગ જેટલો હોય છે,જે ઉત્તર દિશામાં $2 \, m/s$ છે.
ધારો કે $\vec{v}_r$ એ વરસાદનો વેગ છે અને $\vec{v}_w$ એ પવનનો વેગ છે. વરસાદનો સમક્ષિતિજ ઘટક $\vec{v}_{r,h} = \vec{v}_w = 2 \, m/s$ (ઉત્તર) છે.
સાયકલ સવાર માટે,વરસાદ ત્યારે જ શિરોલંબ પડતો દેખાય જો સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય હોય.
ધારો કે $\vec{v}_c$ એ સાયકલ સવારનો વેગ છે. સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{r/c} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય કરવા માટે,સાયકલ સવારનો વેગ વરસાદના સમક્ષિતિજ વેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,સાયકલ સવારનો વેગ $\vec{v}_c = 2 \, m/s$ ઉત્તર દિશામાં હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે અવલોકનકાર $v$ વેગ સાથે બે સ્થિર પદાર્થો $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખા પર ગતિ કરે છે.
પદાર્થો જમીનના સંદર્ભમાં સ્થિર હોવાથી,તેમનો વેગ $v_A = 0$ અને $v_B = 0$ છે.
અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં પદાર્થોનો વેગ $v_{\text{rel}} = v_{\text{object}} - v_{\text{observer}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થો માટે,$v_{\text{rel}} = 0 - v = -v$.
આનો અર્થ એ છે કે બંને પદાર્થો અવલોકનકારની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપ $v$ થી ગતિ કરતા જણાય છે.
બંનેનો વેગ સદિશ (અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં $-v$) સમાન હોવાથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે નદીનો વેગ $v_r = 5 \ km/hr$ છે અને સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_{br} = 3 \ km/hr$ છે.
અહીં $v_{br} < v_r$ હોવાથી,હોડી $A$ ની બરાબર સામેના બિંદુ $(B)$ પર પહોંચી શકતી નથી.
ડ્રિફ્ટ ઘટાડવા માટે,હોડીને એવા ખૂણે ચલાવવી જોઈએ કે જેથી તેનો પરિણામી વેગ નદીના પ્રવાહને લંબ હોય.
જો કે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ હોડી સીધો માર્ગ જાળવી રાખીને બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે.
આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત અર્થઘટન મુજબ,જ્યાં હોડી ટૂંકા માર્ગ માટે લક્ષ્ય રાખે છે પરંતુ પ્રવાહ સાથે ખેંચાય છે,ડ્રિફ્ટ $BC = (v_r - v_{br} \sin \theta) \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t = b / (v_{br} \cos \theta)$ છે.
ન્યૂનતમ અંતરના માર્ગ માટે,હોડીને એવા ખૂણે $\theta$ ચલાવવામાં આવે છે કે જેથી નદીને લંબ વેગનો ઘટક મહત્તમ થાય.
આપેલ પરિમાણોના આધારે,પરિણામી વેગ $v_b$ કાંઠા સાથે એક ખૂણો બનાવે છે.
અંતર $AC = \sqrt{b^2 + BC^2}$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પો અને ભૂમિતિના આધારે,સાચું અંતર $500 \ m$ છે.

(A) ધારો કે ટાવર ઉગમબિંદુ $(0, 80)$ પર છે. શેલ $1$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 200(\cos 37^o \hat{i} + \sin 37^o \hat{j}) = 200(0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j}) = 160 \hat{i} + 120 \hat{j}\ m/s$ છે.
જીપ $\vec{v}_J = 10 \hat{i}\ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. જીપની સાપેક્ષમાં શેલ $2$ નો વેગ $\vec{v}_{2J} = 250(\cos 53^o \hat{i} + \sin 53^o \hat{j}) = 250(0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j}) = 150 \hat{i} + 200 \hat{j}\ m/s$ છે.
શેલ $2$ નો નિરપેક્ષ વેગ $\vec{v}_2 = \vec{v}_{2J} + \vec{v}_J = (150 \hat{i} + 200 \hat{j}) + 10 \hat{i} = 160 \hat{i} + 200 \hat{j}\ m/s$ છે.
બંને શેલ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{21} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-g \hat{j}) - (-g \hat{j}) = 0$ છે. આમ,સાપેક્ષ ગતિ સમાન છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (160 \hat{i} + 200 \hat{j}) - (160 \hat{i} + 120 \hat{j}) = 80 \hat{j}\ m/s$ છે.
પ્રારંભિક સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (0, 0) - (0, 80) = -80 \hat{j}\ m$ છે.
$t$ સમયે સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}(t) = \vec{r}_{21} + \vec{v}_{21} t = -80 \hat{j} + 80t \hat{j} = 80(t-1) \hat{j}$ છે.
જ્યારે સાપેક્ષ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય ત્યારે શેલ સૌથી નજીક હોય છે,જે $t = 1\ s$ પર થાય છે,જ્યાં સાપેક્ષ અંતર $0$ છે.

(A) ધારો કે નદીનો વેગ $\vec{u}$ છે અને પાણીની સાપેક્ષે તરવૈયાનો વેગ $\vec{v}$ છે.
નદીના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,તરતું લાકડું સ્થિર છે.
તરવૈયો પાણીની સાપેક્ષે (અને તેથી તરતા લાકડાની સાપેક્ષે) '$v$' ઝડપથી '$l$' અંતર સુધી તરતા લાકડાથી દૂર જાય છે.
દૂર જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{l}{v}$ છે.
ત્યારબાદ,તરવૈયો પાછો ફરે છે અને પાણીની સાપેક્ષે (અને તેથી તરતા લાકડાની સાપેક્ષે) '$v$' ઝડપથી તેટલા જ '$l$' અંતર માટે તરતા લાકડા તરફ પાછો આવે છે.
પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{l}{v}$ છે.
આ પ્રક્રિયામાં તરવૈયાને લાગતો કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{l}{v} + \frac{l}{v} = \frac{2l}{v}$ થશે.

(B) ધારો કે $Q$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને $P$ નું સ્થાન $(0, 10)$ પર છે.
$P$ નો વેગ $\vec{v}_P = -10 \hat{i} \ kmph$ છે.
$Q$ નો વેગ $\vec{v}_Q = 10 \hat{j} \ kmph$ છે.
$Q$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q = -10 \hat{i} - 10 \hat{j} \ kmph$ છે.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{PQ}| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = 10\sqrt{2} \ kmph$ છે.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ $y$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ન્યૂનતમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે $Q$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો સ્થાન સદિશ એ સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{PQ}$ ને લંબ હોય.
લાગતો સમય $t = \frac{d \cos 45^\circ}{|\vec{v}_{PQ}|} = \frac{10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5 \ hr$ છે.

(A) આપેલ છે:
બ્લોક $A$ નો વેગ,$\vec{v}_A = 2 \ m/s$ (સમક્ષિતિજની નીચે $75^\circ$ ના ખૂણે).
$A$ ની સાપેક્ષે બેલ્ટના ભાગ $CD$ નો વેગ,$\vec{v}_{CD/A} = 2 \ m/s$ (સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 15^\circ$ ના ખૂણે).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{v}_{CD} = \vec{v}_{CD/A} + \vec{v}_A$.
$\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_{CD/A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ છે.
સદિશ સરવાળા માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$v_{CD}^2 = v_A^2 + v_{CD/A}^2 + 2 v_A v_{CD/A} \cos(60^\circ)$
$v_{CD}^2 = 2^2 + 2^2 + 2(2)(2)(0.5)$
$v_{CD}^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$v_{CD} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ m/s$.