Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(C) આપેલ વેગના ઘટકો $v_x = \frac{dx}{dt} = 8t - 2$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = 2$ છે.
$v_x$ નું $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $x = \int (8t - 2) dt = 4t^2 - 2t + C_1$.
$t = 2 \, s$ સમયે,$x = 14$,તેથી $14 = 4(2)^2 - 2(2) + C_1 \Rightarrow 14 = 16 - 4 + C_1 \Rightarrow C_1 = 2$. આમ,$x = 4t^2 - 2t + 2$.
$v_y$ નું $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $y = \int 2 dt = 2t + C_2$.
$t = 2 \, s$ સમયે,$y = 4$,તેથી $4 = 2(2) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$. આમ,$y = 2t$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{y}{2}$.
$x$ ના સમીકરણમાં $t = \frac{y}{2}$ મૂકતા: $x = 4(\frac{y}{2})^2 - 2(\frac{y}{2}) + 2 = 4(\frac{y^2}{4}) - y + 2 = y^2 - y + 2$.

(B) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = v_0 \cos \alpha \hat{i} + v_0 \sin \alpha \hat{j}$ છે.
સમાન સમક્ષિતિજ સમતલ પર,અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v} = v_0 \cos \alpha \hat{i} - v_0 \sin \alpha \hat{j}$ છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}$ છે.
$\Delta \vec{v} = (v_0 \cos \alpha \hat{i} - v_0 \sin \alpha \hat{j}) - (v_0 \cos \alpha \hat{i} + v_0 \sin \alpha \hat{j})$.
$\Delta \vec{v} = -2 v_0 \sin \alpha \hat{j}$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $2 v_0 \sin \alpha$ છે,અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તે શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો કોણીય વેગ $\omega$ તેના આવર્તકાળ $T$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\omega = \frac{2 \pi}{T}$.
અહીં બંને કણોના આવર્તકાળ સમાન છે $(T_1 = T_2 = T)$,તેથી બંને કણો માટે કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2 \pi}{T}$ અને $\omega_2 = \frac{2 \pi}{T}$ થશે.
તેથી,તેમના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T}{2 \pi / T} = 1$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1$ છે.

(C) કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે અને પરિઘનો $3/4$ ભાગ કાપે છે.
ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ $A$ છે અને અંતિમ બિંદુ $B$ છે. સ્થાનાંતર એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે.
વર્તુળમાં,જો કણ $3/4$ ભાગ કાપે,તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $270^{\circ}$ થાય. સ્થાનાંતર સદિશ એ $R$ લંબાઈની બે બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાનાંતર $d = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
સરેરાશ વેગ $v_{av} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{R\sqrt{2}}{t}$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
$1$. પદાર્થ પર લાગતું બળ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$2$. કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$3$. કેન્દ્રગામી બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી $(F \perp s)$,કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
$4$. તેથી,પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી.
$5$. અહીં પ્રવેગ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) હાજર હોય છે,દિશા બદલાવાને કારણે વેગ બદલાય છે અને પદાર્થ પર કેન્દ્રગામી બળ લાગે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v_1^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,$v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,જ્યાં $v_2$ એ $\theta_2$ ખૂણે વેગ છે.
આના પરથી,$v_2 = \frac{v_1 \cos \theta_1}{\cos \theta_2}$.
$\theta_2$ ખૂણે ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{v_1 \cos \theta_1}{\cos \theta_2} \right)^2$ છે.
$K' = \left( \frac{1}{2} m v_1^2 \right) \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} = K \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2}$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં વધારો $(PE)$ એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલો હોય છે.
$PE = K - K' = K - K \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} = K \left( 1 - \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} \right)$.

(A) જ્યારે વેગ સદિશની દિશામાં પ્રવેગનો ઘટક શૂન્ય થાય ત્યારે કણની ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0$ છે અને પ્રવેગ $\vec{a}$ છે.
$\vec{v}_0$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = 143^o$ છે.
પ્રારંભિક વેગની દિશામાં પ્રવેગનો ઘટક $a_{\parallel} = a \cos(143^o)$ છે.
કારણ કે $\cos(143^o) = \cos(180^o - 37^o) = -\cos(37^o) = -0.8$,તેથી $a_{\parallel} = 4 \times (-0.8) = -3.2\, m/s^2$.
સમય $t$ પર ઝડપ $v(t) = v_0 + a_{\parallel} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ ઝડપ માટે,વેગ સદિશ પ્રવેગ સદિશને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$.
ન્યૂનતમ ઝડપ માટે,$\vec{v}(t) \cdot \vec{a} = 0$.
$(\vec{v}_0 + \vec{a}t) \cdot \vec{a} = 0$
$\vec{v}_0 \cdot \vec{a} + a^2 t = 0$
$v_0 a \cos(143^o) + a^2 t = 0$
$t = -\frac{v_0 \cos(143^o)}{a} = -\frac{40 \times (-0.8)}{4} = \frac{32}{4} = 8\, s$.

(A) ધારો કે બોલનો પ્રક્ષેપ વેગ $u$ છે.
જ્યારે પ્રક્ષેપકોણ ક્ષૈતિજ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ હોય ત્યારે બોલ મહત્તમ ક્ષૈતિજ અંતર કાપે છે.
મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{\max} = 100\,m$,તેથી $\frac{u^2}{g} = 100\,m$ --- $(i)$.
જ્યારે બોલને સીધો ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ શોધવા માટે,આપણે ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,અંતિમ વેગ $v = 0$,પ્રવેગ $a = -g$,અને સ્થાનાંતર $s = H$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0^2 - u^2 = 2(-g)H$.
આથી $H = \frac{u^2}{2g}$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{u^2}{g}\right) = \frac{1}{2} \times 100 = 50\,m$.

(B) $u$ જેટલી ઝડપથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે હવામાં રહેવાનો સમય $T = \frac{2u}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રક $v$ જેટલી અચળ સમક્ષિતિજ ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી અને દડો આ સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક જાળવી રાખતો હોવાથી,દડો ટ્રક પરના તે જ બિંદુ પર પાછો આવશે.
આ સમય $T$ દરમિયાન ટ્રક દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v \times T$ દ્વારા મળે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = v \times \frac{2u}{g} = \frac{2uv}{g}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $l = 6\, cm = 60\, mm$.
સમયગાળો $T = 60\, s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\, rad/s$.
છેડાની ઝડપ $v = \omega l = \frac{\pi}{30} \times 60\, mm/s = 2\pi\, mm/s$.
બે લંબ સ્થિતિઓ પર,વેગ સદિશો $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ છે,જ્યાં $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.
વેગના તફાવતનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2| = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ થાય.
$v = 2\pi\, mm/s$ મૂકતા,આપણને $|\Delta \vec{v}| = 2\pi \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\pi\, mm/s$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \sqrt{2} \, m/s$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{20 \sqrt{2} \cdot \sin(45^{\circ})}{10} = \frac{20 \sqrt{2} \cdot (1/\sqrt{2})}{10} = 2 \, s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u \cos \theta \cdot t = (20 \sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ})) \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40 \, m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{(20 \sqrt{2})^2 \cdot (1/\sqrt{2})^2}{2 \cdot 10} = \frac{800 \cdot 0.5}{20} = 20 \, m$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j} = 40 \hat{i} + 20 \hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20 \sqrt{5} \, m$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{20 \sqrt{5}}{2} = 10 \sqrt{5} \, m/s$ થાય.

(B) સરેરાશ પ્રવેગ એ વેગમાં થતો ફેરફાર અને સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે: $a_{av} = \left| \frac{\Delta v}{\Delta t} \right| = \frac{|v_f - v_i|}{t}$.
ઝડપ અચળ હોવાથી,$|v_f| = |v_i| = v$ થાય. વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v$ એ અંતિમ વેગ $v_f$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_i$ નો સદિશ તફાવત છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta v| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)}$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\Delta v| = \sqrt{2v^2 \cdot 2 \sin^2(\theta/2)} = 2v \sin(\theta/2)$ મળે છે.
તેથી,સરેરાશ પ્રવેગ $a_{av} = \frac{2v \sin(\theta/2)}{t}$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ છે,જે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ છે. સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = (u \cos \theta)t$ છે,તેથી $t = \frac{x}{u \cos \theta}$. $t$ ની કિંમત $v_y$ માં મૂકતા,આપણને $v_y = u \sin \theta - g \left( \frac{x}{u \cos \theta} \right)$ મળે છે. ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2} m \left( (u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta - \frac{gx}{u \cos \theta})^2 \right)$ છે. આ $x$ માં $KE = ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $a > 0$ છે. આમ,$KE$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,$v_y = 0$ થાય છે,તેથી $KE$ ન્યૂનતમ હોય છે પણ શૂન્ય હોતી નથી,કારણ કે $v_x$ શૂન્ય નથી. આલેખ $C$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે કારનો વેગ $v_c = 30\,m/s$ છે. દડાને કારની સાપેક્ષમાં શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં $u_y$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. ઉડ્ડયન સમય $T$ એ કાર દ્વારા $240\,m$ અંતર કાપવા માટેનો સમય છે,તેથી $T = \frac{d}{v_c} = \frac{240}{30} = 8\,s$ થાય.
દડા માટે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u_y}{g}$ છે. $T = 8\,s$ અને $g = 10\,m/s^2$ મૂકતા,$8 = \frac{2u_y}{10}$ મળે,જેનો અર્થ $u_y = 40\,m/s$ થાય.
કારની સાપેક્ષમાં,વેગ $90^o$ ના ખૂણે (શિરોલંબ ઉપર) $40\,m/s$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં,વેગના ઘટકો $u_x = 30\,m/s$ અને $u_y = 40\,m/s$ છે. પરિણામી ઝડપ $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\,m/s$ છે.
સમક્ષિતિજ સાથે પ્રક્ષિપ્ત ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\frac{u_y}{u_x}) = \tan^{-1}(40/30) = \tan^{-1}(4/3)$ છે.

(B) આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ ના $\frac{1}{4}$ ભાગની છે, તેથી $H = \frac{R}{4}$.
સૂત્રો $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{4} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$
$\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{2g}$
$\sin \theta = \cos \theta \implies \tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$.
પ્રારંભિક વેગમાન $p = mu$ છે. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે, તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v = u_x = \frac{u}{\sqrt{2}}$ જેટલો જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $p' = m v = m \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) = \frac{p}{\sqrt{2}}$ થાય.
ન્યૂનતમ ગતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈએ મળે છે:
$K_{\text{min}} = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(p / \sqrt{2})^2}{2m} = \frac{p^2 / 2}{2m} = \frac{p^2}{4m}$.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R} = n^2 R t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,વેગનો વર્ગ $v^2 = n^2 R^2 t^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = nRt$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(nRt) = nR$ છે.
કણ પર લાગતો પાવર $P = F_t v = (M a_t) v$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = M(nR)(nRt) = M n^2 R^2 t$ મળે છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપ $V$ થી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{V^2}{r}$
અહીં આપેલ છે કે ઝડપ $V = 10\,ms^{-1}$ અચળ છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$a = \frac{100}{r}$
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ $a$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(a \propto \frac{1}{r})$.
આ સંબંધ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) સ્થિર કાર માટે,મહત્તમ અવધિ $R_0 = \frac{u^2}{g} = 10 \, m$ છે. $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$u^2 = 100$,તેથી $u = 10 \, m/s$.
જ્યારે કાર $v = 20 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે ગોળીનો સમક્ષિતિજ વેગ $(u \cos \theta + v)$ અને શિરોલંબ વેગ $u \sin \theta$ થાય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = (u \cos \theta + v) T = (u \cos \theta + v) \left( \frac{2 u \sin \theta}{g} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $R = (10 \cos \theta + 20) (2 \sin \theta) = 10 \sin 2\theta + 40 \sin \theta$.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ લેતા:
$20 \cos 2\theta + 40 \cos \theta = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1 = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\cos \theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta \approx 68.5^{\circ}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$60^{\circ}$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = (2.0\hat i + 4.0\hat j) \, m$
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (5.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s$
પ્રવેગ $\vec{a} = (4.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s^2$
સમય $t = 2 \, s$
ગતિના સમીકરણ $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (5.0\hat i + 4.0\hat j)(2) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(2)^2$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(4)$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + (8.0\hat i + 8.0\hat j)$
$\vec{r}(2) = (2.0 + 10.0 + 8.0)\hat i + (4.0 + 8.0 + 8.0)\hat j$
$\vec{r}(2) = (20.0\hat i + 20.0\hat j) \, m$
ઉગમબિંદુથી અંતર એ સ્થાન સદિશનું માન છે:
$|\vec{r}(2)| = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m$.

(C) $t = 0$ સમયે,કણ $A$ એ $(R_1, 0)$ પર છે અને $+y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\overrightarrow{V_A} = \omega R_1 \hat{j}$. કણ $B$ એ $(R_2, 0)$ પર છે અને $-y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2\omega}$ સમય પછી,પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \omega t = \omega \left( \frac{\pi}{2\omega} \right) = \frac{\pi}{2}$ (એટલે કે $90^\circ$) થશે.
કણ $A$ એ $(R_1, 0)$ થી $(0, R_1)$ પર જાય છે,અને તેનો વેગ સદિશ $90^\circ$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. તેથી,$\overrightarrow{V_A} = -\omega R_1 \hat{i}$.
કણ $B$ એ $(R_2, 0)$ થી $(0, R_2)$ પર જાય છે,અને તેનો વેગ સદિશ $90^\circ$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે. તેથી,$\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{i}$.
સાપેક્ષ વેગ $\overrightarrow{V_{rel}} = \overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B} = (-\omega R_1 \hat{i}) - (-\omega R_2 \hat{i}) = \omega(R_2 - R_1) \hat{i}$ થાય.

(A) આપેલ અવધિ $R$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $u$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણના બે શક્ય મૂલ્યો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ હોય છે,જે સમાન અવધિ આપે છે.
આ બે ખૂણાઓ માટે ઉડ્ડયન સમય નીચે મુજબ છે:
$t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$
ક્ષૈતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
હવે,$t_1t_2$ નો ગુણાકાર મેળવતા:
$t_1t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right)$
$t_1t_2 = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$
$R$ નું પદ મૂકતા:
$t_1t_2 = \frac{2}{g} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$

(C) $\text{પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે}$,$\text{મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા}$ $K_h = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2$ $\text{અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા}$ $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ $\text{છે. તેથી}$,$\frac{K_h}{K_i} = \cos^2 \theta$.
$A$ $\text{માટે}$: $\theta = 45^{\circ}, \frac{R}{H} = 4 \cot(45^{\circ}) = 4$. $\text{તેથી}$ $A-4$.
$B$ $\text{માટે}$: $\theta = 60^{\circ}, \frac{K_h}{K_i} = \cos^2(60^{\circ}) = \frac{1}{4}$. $\text{તેથી}$ $B-1$.
$C$ $\text{માટે}$: $\theta = 30^{\circ}, \frac{R}{H} = 4 \cot(30^{\circ}) = 4\sqrt{3}$. $\text{તેથી}$ $C-3$.
$D$ $\text{માટે}$: $\theta = \tan^{-1}(4), \frac{gT^2}{R} = 2 \tan \theta = 2(4) = 8$. $\text{તેથી}$ $D-2$.
$\text{સાચો વિકલ્પ}$: $A-4, B-1, C-3, D-2$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10\,m/s$,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$,$g = 10\,m/s^2$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\,m/s$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\,m/s$.
ધારો કે $t$ સમયે ઝડપ $v = \sqrt{5g} = \sqrt{50}\,m/s$ છે.
ઝડપનો વર્ગ $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 50$ થાય.
$v_x$ અચળ $5\,m/s$ રહેતું હોવાથી,$v_x^2 = 25$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $25 + (u_y - gt)^2 = 50$.
$(5\sqrt{3} - 10t)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $5\sqrt{3} - 10t = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $10t = 5\sqrt{3} - 5 \implies t_1 = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{10} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $10t = 5\sqrt{3} + 5 \implies t_2 = \frac{5(\sqrt{3}+1)}{10} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\,s$ મળે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ અને $(90^{\circ}-\theta)$ છે. સમક્ષિતિજ રેન્જ સમાન હોવાથી આ કોણો પૂરક છે.
ધારો કે પ્રથમ પથ્થરની મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1$ છે અને બીજા પથ્થરની $H_2$ છે,જ્યાં $H_1 > H_2$.
આપેલ શરત મુજબ: $H_1 - H_2 = \frac{1}{2}(H_1 + H_2)$.
$2$ વડે ગુણતા,$2H_1 - 2H_2 = H_1 + H_2$,જેનું સાદું રૂપ $H_1 = 3H_2$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} \right)$.
આનું સાદું રૂપ $\sin^2 \theta = 3 \cos^2 \theta$,અથવા $\tan^2 \theta = 3$ થાય છે.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
બે કોણો $60^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે. ઓછી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરનાર પથ્થરનો કોણ નાનો હશે,જે $30^{\circ}$ છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પરિણામી બળ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ (કેન્દ્રગામી બળ) હોય છે. જોકે,સામાન્ય વર્તુળાકાર ગતિ (અનિયમિત) માટે,પરિણામી બળમાં કેન્દ્રગામી અને સ્પર્શકીય બંને ઘટકો હોય છે. તેથી,પરિણામી બળ કેન્દ્ર તરફ 'હોઈ શકે છે' તે વિધાન સાચું છે,કારણ કે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિની વિશિષ્ટ સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે. વિકલ્પ $D$ સૌથી સચોટ વિધાન છે કારણ કે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિની શક્યતાને ધ્યાનમાં લે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આલેખ પરથી,મહત્તમ અવધિ $R_{max} = 250 \ m$ એ $\theta = 45^o$ પર મળે છે.
તેથી,$R_{max} = \frac{u^2}{g} = 250 \ m$.
આપેલ અવધિ $R = 200 \ m$ માટે,$200 = 250 \sin(2\theta)$.
$\sin(2\theta) = \frac{200}{250} = 0.8$.
$2\theta = \arcsin(0.8)$.
$2\theta$ માટેના બે શક્ય મૂલ્યો $2\theta_1 = 53.13^o$ અને $2\theta_2 = 180^o - 53.13^o = 126.87^o$ છે.
તેથી,$\theta_1 = \frac{53.13^o}{2} \approx 26.5^o$ અને $\theta_2 = \frac{126.87^o}{2} \approx 63.5^o$.

(D) જ્યારે દડાને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોય છે.
તે બે અચળ પ્રવેગને આધીન છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $(g)$ જે નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે.
$2$. પવનને કારણે આડો પ્રવેગ $(a)$ જે એક અચળ આડી દિશામાં કાર્ય કરે છે.
દડાનો કુલ પ્રવેગ એ આ બે અચળ પ્રવેગોનો સદિશ સરવાળો છે,જે મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી અને કુલ પ્રવેગ અચળ હોવાથી,દડો પરિણામી પ્રવેગ સદિશની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.
તેથી,દડાનો માર્ગ શિરોલંબ સાથે અમુક ખૂણે રહેલી એક સીધી રેખા હશે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું કુલ દળ $M = 4m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v_x = u \cos \theta = 100 \cos 37^o = 100 \times (4/5) = 80 \, m/s$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ સમક્ષિતિજ દિશામાં:
$M v_x = m_1 v_1 + m_2 v_2$
નાનો ભાગ $(m_1 = m)$ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_1 = 0)$ અને ભારે ભાગ $(m_2 = 3m)$ વેગ $v_2$ થી ગતિ કરે છે:
$(4m)(80) = m(0) + (3m) v_2$
$320m = 3m v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{320}{3} \, m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{100 \sin 37^o}{10} = 10 \times (3/5) = 6 \, s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈથી ભારે ભાગ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = v_2 \times t = \frac{320}{3} \times 6 = 640 \, m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $R/2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g} = \frac{100^2 \times 2 \sin 37^o \cos 37^o}{2 \times 10} = 1000 \times (3/5) \times (4/5) = 480 \, m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી કુલ અંતર = $(R/2) + d = 480 + 640 = 1120 \, m$.

(C) $BA$ દિશામાં અસરકારક પ્રવેગ $a = g \sin 30^{\circ}$ છે.
$a = 10 \times \frac{1}{2} = 5\, m/s^2$.
પદાર્થ $AB$ સમતલ પર $s = 40\, m$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જાય છે,તેથી ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$v = 0$ (અંતિમ વેગ),$a = -5\, m/s^2$ (મંદન),અને $s = 40\, m$.
$0 = u^2 - 2 \times 5 \times 40 \Rightarrow u^2 = 400 \Rightarrow u = 20\, m/s$.
હવે,જો કણને આ ઝડપ $u = 20\, m/s$ થી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો અવધિ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{(20)^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$.
$R = \frac{400 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3}\, m$.

(C) $u_1$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u_2$ વેગ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \sin 60^{\circ}}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને દડા એકસાથે જમીન પર પહોંચતા હોવાથી,તેમનો ઉડ્ડયન સમય સમાન છે,તેથી $T_1 = T_2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2u_1}{g} = \frac{2u_2 \sin 60^{\circ}}{g}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $u_1 = u_2 \sin 60^{\circ}$.
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $u_1 = u_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(A) સમય $t$ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગના ઘટકો $v_x = u \cos \theta$ અને $v_y = u \sin \theta - gt$ છે.
ગતિ ઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટકોને મૂકતા,$K = \frac{1}{2} m [(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta - gt)^2]$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$K = \frac{1}{2} m [u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta + g^2 t^2 - 2 u g t \sin \theta] = \frac{1}{2} m [u^2 + g^2 t^2 - 2 u g t \sin \theta]$.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે $K = at^2 + bt + c$ સ્વરૂપનું છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
$t = 0$ સમયે,$K = \frac{1}{2} m u^2$. મહત્તમ ઊંચાઈ પર $(t = \frac{u \sin \theta}{g})$,શિરોલંબ વેગ શૂન્ય છે,તેથી $K$ ન્યૂનતમ છે પરંતુ શૂન્ય નથી $(K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2)$.
આમ,આલેખ એક પરવલય છે જે મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ઘટે છે અને પછી વધે છે,જે આલેખ $A$ ના આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પ્રવેગ $\vec{a}$ અને વેગમાન $\vec{P}$ નો અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ છે: $\vec{a} \cdot \vec{P} = (4)(8) + (3)(-6) = 32 - 18 = 14 \, J/s$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{P} > 0$ હોવાથી,પ્રવેગ સદિશ અને વેગમાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ ($90^o$ કરતા ઓછો) છે.
પ્રવેગ સદિશને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક વેગમાનને લંબ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) અને બીજો વેગમાનને સમાંતર (સ્પર્શકીય પ્રવેગ).
વેગમાનને સમાંતર પ્રવેગનો ઘટક ધન હોવાથી,વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) વધી રહ્યું છે.
તેથી,આ ગતિ પ્રવેગી વર્તુળાકાર ગતિ છે.

(B) ગતિ નક્કી કરવા માટે,આપણે વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવેગ $\vec{a}$ ના ઘટકોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. વ્યક્તિની ઝડપ ઘટવા માટે,પ્રવેગનો સ્પર્શક ઘટક વેગ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ ($90^{\circ}$ થી મોટો) હોવો જોઈએ.
$2$. વ્યક્તિ જમણી તરફ વળવા માટે,પ્રવેગનો લંબ ઘટક વેગ સદિશની જમણી તરફ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $B$ માં,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એવી રીતે નિર્દેશિત છે કે તેનો એક ઘટક $\vec{v}$ ની વિરુદ્ધ છે (ઝડપ ઘટે છે) અને એક ઘટક $\vec{v}$ ની જમણી તરફ છે (જમણી તરફ વળે છે). આમ,વ્યક્તિની ઝડપ ઘટી રહી છે અને તે જમણી તરફ વળી રહ્યો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કલાક કાંટાની લંબાઈ $r = 6\,cm$ છે.
$1:00\,PM$ થી $5:00\,PM$ સુધીનો સમયગાળો $4$ કલાક છે.
ઘડિયાળનું ડાયલ $12$ કલાકમાં વહેંચાયેલું હોય છે,તેથી $12$ કલાકમાં કલાક કાંટો $360^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$4$ કલાકમાં બનતો ખૂણો $\theta = (4/12) \times 360^\circ = 120^\circ$ થશે.
કાંટાના છેડાનું સ્થાનાંતર $d$ એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેની જીવાની લંબાઈ છે,જેનું સૂત્ર $d = 2r \sin(\theta/2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 2 \times 6 \times \sin(120^\circ/2) = 12 \times \sin(60^\circ)$.
$\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$ હોવાથી,$d = 12 \times (\sqrt{3}/2) = 6\sqrt{3}\,cm$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$,પ્રારંભિક વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y = 80\,m/s$.
$1$. સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x$ શોધો:
$\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} \implies \tan 30^{\circ} = \frac{80}{u_x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{80}{u_x} \implies u_x = 80\sqrt{3}\,m/s$.
$2$. ઉડ્ડયન સમય $T$ શોધો:
$T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 80}{10} = 16\,s$.
$3$. $t = \frac{T}{4} = \frac{16}{4} = 4\,s$ સમયે વેગ શોધો:
સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u_x = 80\sqrt{3}\,m/s$.
ઉર્ધ્વ વેગ $v_y = u_y - gt = 80 - (10 \times 4) = 80 - 40 = 40\,m/s$.
$4$. વેગનું મૂલ્ય $v$:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(80\sqrt{3})^2 + (40)^2} = \sqrt{6400 \times 3 + 1600} = \sqrt{19200 + 1600} = \sqrt{20800} = 40\sqrt{13} \approx 144.22\,m/s$.
આમ,$144.22\,m/s$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$K = as^2$. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = as^2$,જેનો અર્થ થાય છે કે $mv^2 = 2as^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $m(2v \frac{dv}{dt}) = 2a(2s \frac{ds}{dt})$.
અહીં $\frac{ds}{dt} = v$ હોવાથી,$2mv \frac{dv}{dt} = 4asv$.
તેથી,સ્પર્શકીય બળ (tangential force) $F_t = m \frac{dv}{dt} = 2as$.
કેન્દ્રગામી બળ (centripetal force) $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2as^2}{R}$.
પરિણામી બળ $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + \left( \frac{2as^2}{R} \right)^2}$.
$2as$ સામાન્ય કાઢતા,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ મળે છે.

(D) દડાને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ સાથે નીચે પાડવામાં આવે છે. તેના પર બે અચળ પ્રવેગ લાગે છે: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $(g)$ અને પવનને કારણે આડો પ્રવેગ $(a)$.
પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_{net} = \vec{g} + \vec{a}$ અચળ રહે છે અને એક ચોક્કસ ખૂણે લાગે છે. દડો પરિણામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_{net}$ ની દિશામાં સુરેખ પથ પર ગતિ કરશે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
દડો શિરોલંબ સાથે અમુક ખૂણે સુરેખ પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર એ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનશે,જેમાં શિરોલંબ ઊંચાઈ એક બાજુ છે. તેથી,કાપેલું વાસ્તવિક અંતર (સ્થાનાંતર) $49\,m$ ની ઊંચાઈ કરતા વધારે હશે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ફક્ત શિરોલંબ ગતિ પર આધાર રાખે છે. ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 49}{9.8}} = \sqrt{10} \approx 3.16\,s$. તેથી,વિધાન $(c)$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) સમાન પ્રારંભિક ઝડપ $u$ અને સમાન અવધિ ધરાવતા બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_1$ અને $\theta_2$ પરસ્પર કોટિકોણ હોય છે,એટલે કે $\theta_1 + \theta_2 = \pi / 2$.
અહીં $\theta_1 = \pi / 3$ આપેલ છે,તેથી $\theta_2 = \pi / 2 - \pi / 3 = \pi / 6$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી,ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{h_2}{h_1} = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2 / 2g}{u^2 \sin^2 \theta_1 / 2g} = \frac{\sin^2 \theta_2}{\sin^2 \theta_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin^2(\pi / 6)}{\sin^2(\pi / 3)} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
આમ,$h_2 = h_1 / 3$ મળે.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં હોય (એટલે કે ફરતા દળની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોય),ત્યારે ગતિનું યોગ્ય વર્ણન કરવા માટે તેણે આભાસી બળોને ધ્યાનમાં લેવા પડે છે.
આ ફરતી ફ્રેમમાં,દળ $m$ સ્થિર છે.
દળ પર લાગતા વાસ્તવિક બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$,જે દોરાની દિશામાં આધાર $O$ તરફ લાગે છે.
$2$. દળનું વજનબળ $W = mg$,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
વધુમાં,અવલોકનકાર ફરતી ફ્રેમમાં હોવાથી,દળ પર ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં કેન્દ્રત્યાગી બળ $F = m\omega^2r$ લાગે છે.
તેથી,સ્થિર અવલોકનકારના દ્રષ્ટિકોણથી દળ પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$,વજનબળ $W$ અને ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $F$ છે.

(C) સરેરાશ વેગ એટલે સ્થાનાંતર અને સમયનો ગુણોત્તર.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ બિંદુ $(0, 0)$ છે. ગતિપથનું મહત્તમ બિંદુ $(\frac{R}{2}, H)$ પર છે,જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ છે અને $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
ઉગમબિંદુથી મહત્તમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \frac{R}{2}\hat{i} + H\hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{R}{2})^2 + H^2}$ છે.
મહત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{v\sin\theta}{g}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H = \frac{v^2\sin^2\theta}{2g}$ અને $R = \frac{v^2\sin2\theta}{g} = \frac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}$.
તેથી,$\frac{R}{2} = \frac{v^2\sin\theta\cos\theta}{g}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{v^2\sin\theta\cos\theta}{g})^2 + (\frac{v^2\sin^2\theta}{2g})^2} = \frac{v^2\sin\theta}{g} \sqrt{\cos^2\theta + \frac{\sin^2\theta}{4}} = \frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{4\cos^2\theta + \sin^2\theta}$.
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\vec{s}| = \frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{3\cos^2\theta + 1}$ મળે છે.
સરેરાશ વેગ $v_{av} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{3\cos^2\theta + 1}}{\frac{v\sin\theta}{g}} = \frac{v}{2} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$.

(D) સમય $t$ પર અંતિમ વેગ $\vec{v}$ એ સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\vec{u} = (2\hat{i} + 3\hat{j})$,$\vec{a} = (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j})$,અને $t = 10\, s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (3\hat{i} + 2\hat{j})$
$\vec{v} = 5\hat{i} + 5\hat{j}$
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\, units$ થાય.

(D) પથનું સમીકરણ $y = 9x^2$ છે.
આપેલ છે કે વેગનો $x$-ઘટક અચળ છે,$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{3} \; m/s$.
$v_x$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગનો $x$-ઘટક $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$ થાય.
વેગનો $y$-ઘટક શોધવા માટે,$y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(9x^2) = 18x \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_y = 18x \times \frac{1}{3} = 6x$.
હવે,પ્રવેગનો $y$-ઘટક શોધવા માટે $v_y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(6x) = 6 \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_y = 6 \times \frac{1}{3} = 2 \; m/s^2$.
$a_x = 0$ હોવાથી,કણનો કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \; m/s^2$ થાય.

(D) સાયકલ સવારનું કુલ સ્થાનાંતર $0 \text{ m}$ છે,કારણ કે પ્રારંભિક સ્થાન અને અંતિમ સ્થાન (કેન્દ્ર $O$) એક જ છે.
કુલ કાપેલું અંતર એ $OP$,$PQ$ (ચાપની લંબાઈ) અને $QO$ ના માર્ગોનો સરવાળો છે.
$OP = 1 \text{ km}$,$QO = 1 \text{ km}$.
કેન્દ્ર $O$ હોવાથી અને $OP$ તથા $OQ$ પરસ્પર લંબ ત્રિજ્યાઓ હોવાથી,ચાપ $PQ$ એ પરિઘનો ચોથો ભાગ છે: $PQ = \frac{1}{4} \times (2\pi r) = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 1 = \frac{\pi}{2} \text{ km}$.
કુલ અંતર $= 1 + \frac{\pi}{2} + 1 = 2 + \frac{\pi}{2} = \frac{4 + \pi}{2} \text{ km}$.
કુલ સમય $= 10 \text{ મિનિટ} = \frac{10}{60} \text{ કલાક} = \frac{1}{6} \text{ કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{(4 + \pi)/2}{1/6} = \frac{4 + \pi}{2} \times 6 = 3(4 + \pi) \text{ km/h}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,સરેરાશ ઝડપ $= 3(4 + 3.14) = 3(7.14) = 21.42 \text{ km/h} \approx 21.4 \text{ km/h}$.
આમ,સ્થાનાંતર $0 \text{ m}$ અને સરેરાશ ઝડપ $21.4 \text{ km/h}$ છે.

(B) સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાનના યામ આપેલા છે:
$x = 3 \cos 4t$
$y = 3(1 - \sin 4t)$
વેગના ઘટકો શોધવા માટે,આપણે સ્થાનનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 3(-4 \sin 4t) = -12 \sin 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3(0 - 4 \cos 4t) = -12 \cos 4t$
વેગનું મૂલ્ય $v$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-12 \sin 4t)^2 + (-12 \cos 4t)^2}$
$v = \sqrt{144 \sin^2 4t + 144 \cos^2 4t} = \sqrt{144(\sin^2 4t + \cos^2 4t)}$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$v = \sqrt{144} = 12 \text{ m/s}$
ઝડપ અચળ હોવાથી,$t = 2 \text{ s}$ સમયમાં કાપેલું અંતર:
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 12 \text{ m/s} \times 2 \text{ s} = 24 \text{ m}$.

(B) ધારો કે બે કણો $t$ સમય પછી અથડાય છે. કણ $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_A = v_A \times t = 0.5t$ છે.
કણ $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_B = v_B \times t = 1.5t$ છે.
તેઓ વર્તુળાકાર માર્ગ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેઓ ત્યારે અથડાશે જ્યારે તેમના દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો વર્તુળના કુલ પરિઘ જેટલો થાય.
$0.5\,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r = 2\pi(0.5) = \pi\,m$ છે.
તેથી,$d_A + d_B = C$.
$0.5t + 1.5t = \pi$.
$2t = \pi$.
$t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\,s$.

(D) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} + t \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \cos t \hat{i} - \sin t \hat{j} + 1 \hat{k}$ છે.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\sin t \hat{i} - \cos t \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
સ્થાન સદિશ અને પ્રવેગ સદિશ એકબીજાને લંબ હોવા માટે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(-\cos t) + (t)(0) = 0$.
$-\sin^2 t - \cos^2 t = 0$.
$-(\sin^2 t + \cos^2 t) = 0$.
$-1 = 0$.
કારણ કે $-1$ ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી એવો કોઈ સમય $t$ નથી કે જેના માટે સદિશો લંબ હોય. તેથી,તેઓ ક્યારેય લંબ હોતા નથી.

(D) પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}\,m/s$ છે.
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25\,m/s$ છે.
મહત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1 = \frac{u_y}{g} = \frac{25}{10} = 2.5\,s$ છે.
આ સમય દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u_x t_1 = (25 \sqrt{3})(2.5) = 62.5 \sqrt{3}\,m$ છે.
મહત્તમ બિંદુએ,શિરોલંબ વેગ $0$ છે. $10\,N$ નું બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. $m = 1\,kg$ હોવાથી,શિરોલંબ પ્રવેગ $a_y = \frac{F - mg}{m} = \frac{10 - 10}{1} = 0\,m/s^2$ થાય.
આમ,પછીના $5\,s$ માટે,પદાર્થ $25 \sqrt{3}\,m/s$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી ગતિ કરે છે અને શિરોલંબ પ્રવેગ શૂન્ય છે.
આ સમય દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_2 = u_x \times 5 = (25 \sqrt{3}) \times 5 = 125 \sqrt{3}\,m$ છે.
$5\,s$ પછી,પદાર્થ મહત્તમ બિંદુથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે. નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $t_3 = t_1 = 2.5\,s$ છે.
આ સમય દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_3 = u_x t_3 = (25 \sqrt{3})(2.5) = 62.5 \sqrt{3}\,m$ છે.
કુલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = x_1 + x_2 + x_3 = 62.5 \sqrt{3} + 125 \sqrt{3} + 62.5 \sqrt{3} = 250 \sqrt{3}\,m$ છે.

(D) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$t$ સમય પછી,પ્રથમ કણનું સ્થાન $(v_1 t, 0)$ અને બીજા કણનું સ્થાન $(0, v_2 t)$ છે.
આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{v_1 t} + \frac{y}{v_2 t} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $v_2 x + v_1 y = v_1 v_2 t$ થાય છે.
ત્રીજો કણ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે,એટલે કે તેનો વેગ સદિશ x-અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}, \frac{v_3 t}{\sqrt{2}})$ છે.
ત્રીજો કણ તે જ રેખા પર હોવો જોઈએ,તેથી તેના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_2 (\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}) + v_1 (\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}) = v_1 v_2 t$.
$t$ વડે ભાગતા અને $v_3$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{v_3}{\sqrt{2}} (v_1 + v_2) = v_1 v_2$.
$v_3 = \frac{\sqrt{2} v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ પર વેગ $v_H = u \cos \alpha$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ છે.
ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{4g}$ પર,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \alpha$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_y = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - 2gh}$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા,$v_y = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - 2g(\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{4g})} = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2}} = \frac{u \sin \alpha}{\sqrt{2}}$.
ઊંચાઈ $h$ પર પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \alpha + \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_H = \sqrt{\frac{2}{5}} v$,તેથી $v_H^2 = \frac{2}{5} v^2$.
$u^2 \cos^2 \alpha = \frac{2}{5} (u^2 \cos^2 \alpha + \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2})$.
$u^2 \cos^2 \alpha = \frac{2}{5} u^2 \cos^2 \alpha + \frac{1}{5} u^2 \sin^2 \alpha$.
$\frac{3}{5} \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \sin^2 \alpha$.
$\tan^2 \alpha = 3 \implies \tan \alpha = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = 60^{\circ}$.

(C) દડાઓ મળે તે માટે,તેઓએ એક જ સમયે $t$ પર સમાન સમક્ષિતિજ સ્થાન અને સમાન શિરોલંબ સ્થાન ધરાવવું આવશ્યક છે.
ધારો કે દડા $A$ નો સમક્ષિતિજ વેગ $v_{Ax} = 50 \cos 37^{\circ} = 50 \times (4/5) = 40\,m/s$ છે.
ધારો કે દડા $B$ નો સમક્ષિતિજ વેગ $v_{Bx} = 0\,m/s$ છે (કારણ કે તે શિરોલંબ ફેંકવામાં આવે છે).
દડાઓ મળે તે માટે,દડા $A$ એ દડા $B$ ની શિરોલંબ રેખા સુધી પહોંચવા માટે $120\,m$ નું સમક્ષિતિજ અંતર કાપવું આવશ્યક છે.
દડા $A$ ને $B$ ની શિરોલંબ રેખા સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{120\,m}{40\,m/s} = 3\,s$ છે.
હવે,$t = 3\,s$ પર બંને દડાઓની શિરોલંબ ઊંચાઈ તપાસો:
દડા $A$ માટે: $v_{Ay} = 50 \sin 37^{\circ} = 50 \times (3/5) = 30\,m/s$.
$h_A = v_{Ay} t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(3) - \frac{1}{2}(10)(3)^2 = 90 - 45 = 45\,m$.
દડા $B$ માટે: $v_{By} = 30\,m/s$.
$h_B = v_{By} t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(3) - \frac{1}{2}(10)(3)^2 = 90 - 45 = 45\,m$.
$t = 3\,s$ પર $h_A = h_B$ હોવાથી,જો દડાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે તો તેઓ $45\,m$ ની ઊંચાઈએ મળે છે.