Motion In Two And Three Dimension Questions in Gujarati

(D) માખીનું સ્થાનાંતર એ લંબચોરસ હોલના અવકાશ વિકર્ણની લંબાઈ જેટલું હોય છે.
$l$,$b$,અને $h$ પરિમાણો ધરાવતા લંબચોરસ સમાંતરબાજુના અવકાશ વિકર્ણ $d$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
આપેલ પરિમાણો $l = 10\,m$,$b = 12\,m$,અને $h = 14\,m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{10^2 + 12^2 + 14^2}$
$d = \sqrt{100 + 144 + 196}$
$d = \sqrt{440}$
$d \approx 20.97\,m$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $d \approx 21\,m$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
$6\,m$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ $y$-અક્ષ પર,$8\,m$ પૂર્વ દિશામાં ગતિ $x$-અક્ષ પર અને $10\,m$ શિરોલંબ ઉપરની ગતિ $z$-અક્ષ પર છે.
પદાર્થનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 8\hat{i} + 6\hat{j} + 10\hat{k}$ છે.
પરિણામી સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \sqrt{8^2 + 6^2 + 10^2}$.
$r = \sqrt{64 + 36 + 100} = \sqrt{200}$.
$r = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\,m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
પ્રથમ,વિમાન $400 \,m$ ઉત્તર તરફ ($y$-અક્ષ પર) અને $300 \,m$ દક્ષિણ તરફ (ઋણ $y$-અક્ષ પર) ગતિ કરે છે.
આમ,સમતલમાં કુલ સ્થાનાંતર $400 \,m - 300 \,m = 100 \,m$ ઉત્તર દિશામાં થાય છે.
ત્યારબાદ,તે $1200 \,m$ ઉપરની તરફ ($z$-અક્ષ પર) ઉડે છે.
અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 100 \hat{j} + 1200 \hat{k}$ છે.
કુલ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = \sqrt{(100)^2 + (1200)^2}$ થશે.
$r = \sqrt{10000 + 1440000} = \sqrt{1450000}$.
$r = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204 \,m$.

(D) $X$-અક્ષની દિશામાં વેગનો ઘટક $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$ છે.
$Y$-અક્ષની દિશામાં વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$ છે.
કણના વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2} = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$v = 2t\sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.

(C) વેગના ઘટકો સ્થાનના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t) = 6t - 6 \text{ m/s}$.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t) = 2t - 2 \text{ m/s}$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$v_x = 6(1) - 6 = 0 \text{ m/s}$ અને $v_y = 2(1) - 2 = 0 \text{ m/s}$.
બંને ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,$t = 1 \text{ s}$ સમયે વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 0 \text{ m/s}$ થાય છે.
તેથી,$t = 1 \text{ s}$ સમયે કણનો વેગ શૂન્ય છે.

(B) પ્રવેગના ઘટકો સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનના દ્વિતીય વિકલન દ્વારા મળે છે.
$x$-યામ માટે: $x = 7t + 4t^2$.
વેગ $v_x = \frac{dx}{dt} = 7 + 8t$.
પ્રવેગ $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 8 \ m/s^2$.
$y$-યામ માટે: $y = 5t$.
વેગ $v_y = \frac{dy}{dt} = 5$.
પ્રવેગ $a_y = \frac{dv_y}{dt} = 0 \ m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \ m/s^2$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 5 \ s$ સમયે પણ તે $8 \ m/s^2$ જ રહેશે.

(C) કણના સ્થાનના યામ $x = \alpha t^3$ અને $y = \beta t^3$ આપેલા છે.
વેગના ઘટકો સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3) = 3\alpha t^2$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\beta t^3) = 3\beta t^2$
કણની ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$
$v = \sqrt{9t^4(\alpha^2 + \beta^2)}$
$v = 3t^2\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ સદિશ $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{(x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j}}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ છે.
બિંદુઓ $A(0, 2)$ અને $B(5, 3)$ માટે,ઢાળ $m = \frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5} = 0.2$ છે.
કોઈપણ બિંદુ પર તત્કાલીન વેગ તે બિંદુએ ગતિપથના સ્પર્શકના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$v_y / v_x = dy/dx$.
આપણે એવું બિંદુ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ એ છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,એટલે કે $dy/dx = 0.2$.
આલેખ જોતા,બિંદુ $(4, 2)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ ધન છે અને તે $(0, 2)$ અને $(5, 3)$ ને જોડતી રેખાના ઢાળ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચા યામ $(4, 2)$ છે.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 0$ અને $u_y = 0$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = 6 \; m/s^2$ અને $a_y = 8 \; m/s^2$ છે.
લાગતો સમય $t = 4 \; s$ છે.
બંને અક્ષો માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x$-અક્ષ માટે: $x = 0(4) + \frac{1}{2} \times 6 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48 \; m$.
$y$-અક્ષ માટે: $y = 0(4) + \frac{1}{2} \times 8 \times (4)^2 = 4 \times 16 = 64 \; m$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \sqrt{(48)^2 + (64)^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80 \; m$.

(A) કણના સ્થાનના યામ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે આપેલ છે:
$x = 5t - 2t^2$
$y = 10t$
વેગના ઘટકો મેળવવા માટે,આપણે સ્થાનના યામનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t - 2t^2) = 5 - 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10$
પ્રવેગના ઘટકો મેળવવા માટે,આપણે વેગના ઘટકોનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 4t) = -4 \, m/s^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(10) = 0 \, m/s^2$
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = -4 \hat{i} + 0 \hat{j} = -4 \hat{i} \, m/s^2$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો અચળ હોવાથી,$t = 2 \, s$ સહિત કોઈપણ સમયે કણનો પ્રવેગ $x$-દિશામાં $-4 \, m/s^2$ રહેશે.

(C) શરૂઆતના બિંદુ $P$ થી માર્ગ પરના કોઈપણ બિંદુ $Q$ સુધીનો સરેરાશ વેગ સદિશ $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{r}_Q - \vec{r}_P}{t_Q - t_P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ ની દિશામાં હોય છે.
કોઈપણ બિંદુએ તાત્ક્ષણિક વેગ સદિશ $\vec{v}_{inst}$ તે બિંદુએ માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
સરેરાશ વેગ સદિશ અને તાત્ક્ષણિક વેગ સદિશ એક જ દિશામાં હોય તે માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_Q - \vec{r}_P$ એ બિંદુ $Q$ પર માર્ગને સ્પર્શક હોવો જોઈએ.
ભૌમિતિક રીતે,આનો અર્થ એ છે કે શરૂઆતના બિંદુ $P$ ને બિંદુ $Q$ સાથે જોડતી રેખા બિંદુ $Q$ પર વક્રને સ્પર્શક હોવી જોઈએ.
માર્ગને જોતા,જો આપણે $P$ થી $C$ સુધી એક રેખા દોરીએ,તો આ રેખા બિંદુ $C$ પર માર્ગને સ્પર્શક છે. તેથી,બિંદુ $C$ પર,સરેરાશ વેગ સદિશ એ તાત્ક્ષણિક વેગ સદિશની દિશામાં જ છે.

(C) આપેલ વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = a \hat{i} + bx \hat{j}$ છે.
તેથી,$v_x = \frac{dx}{dt} = a$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = bx$ થાય.
$v_x = a$ પરથી,સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int_0^x dx = \int_0^t a dt$,જે $x = at$ અથવા $t = \frac{x}{a}$ આપે છે.
હવે,$v_y$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dy}{dt} = bx$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{bx}{a}$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int_0^y dy = \int_0^x \frac{b}{a} x dx$.
આમ,$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{bx^2}{2a}$ મળે છે.

(A) આપેલ ગતિના સમીકરણો:
$x = kt$
$y = kt(1 - \alpha t)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણે સમય $t$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$t = \frac{x}{k}$
$t$ ની આ કિંમતને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = k \left( \frac{x}{k} \right) \left( 1 - \alpha \left( \frac{x}{k} \right) \right)$
$y = x \left( 1 - \frac{\alpha x}{k} \right)$
$y = x - \frac{\alpha x^2}{k}$
આમ,ગતિપથનું સમીકરણ $y = x - \frac{\alpha x^2}{k}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = c$ અને $\frac{dy}{dt} = c$. $c$ અચળ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2x}{dt^2} = 0$ અને $\frac{d^2y}{dt^2} = 0$ થશે.
પથનું સમીકરણ $z = ax^3 + by^2$ છે.
$z$-દિશામાં વેગનો ઘટક મેળવવા માટે,સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dz}{dt} = 3ax^2 \frac{dx}{dt} + 2by \frac{dy}{dt} = 3ax^2(c) + 2by(c) = 3acx^2 + 2bcy$.
$z$-દિશામાં પ્રવેગનો ઘટક મેળવવા માટે,$\frac{dz}{dt}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2z}{dt^2} = \frac{d}{dt}(3acx^2 + 2bcy) = 3ac(2x \frac{dx}{dt}) + 2bc(\frac{dy}{dt})$.
$\frac{dx}{dt} = c$ અને $\frac{dy}{dt} = c$ મૂકતા:
$\frac{d^2z}{dt^2} = 6acx(c) + 2bc(c) = 6ac^2x + 2bc^2$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = \frac{d^2x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\vec{a} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + (6ac^2x + 2bc^2) \hat{k} = (6ac^2x + 2bc^2) \hat{k}$.

(A) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામોનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -a \omega \sin \omega t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
$v_z = \frac{dz}{dt} = a \omega$
ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
$v = \sqrt{(-a \omega \sin \omega t)^2 + (a \omega \cos \omega t)^2 + (a \omega)^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + a^2 \omega^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t) + a^2 \omega^2}$
કારણ કે $\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (1) + a^2 \omega^2} = \sqrt{2 a^2 \omega^2} = \sqrt{2} a \omega$

(D) સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = (15t^2) \hat{i} + (4 - 20t^2) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{r}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{i} + \frac{d}{dt}(4 - 20t^2) \hat{j} = (30t) \hat{i} - (40t) \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{v}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(30t) \hat{i} - \frac{d}{dt}(40t) \hat{j} = 30 \hat{i} - 40 \hat{j}$.
પ્રવેગ અચળ છે અને સમય પર આધારિત નથી.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{(30)^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ m/s^2$ છે.

(N/A) $v(t) = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 t \hat{i} + 2.0 t^{2} \hat{j} + 5.0 \hat{k}) = 3.0 \hat{i} + 4.0 t \hat{j} \ m/s$.
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 \hat{i} + 4.0 t \hat{j}) = 4.0 \hat{j} \ m/s^{2}$.
$t = 1.0 \ s$ સમયે,વેગ સદિશ $v = 3.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} \ m/s$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|v| = \sqrt{3.0^{2} + 4.0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5.0 \ m/s$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેની દિશા $\theta = \tan^{-1}(\frac{v_{y}}{v_{x}}) = \tan^{-1}(\frac{4.0}{3.0}) \approx 53^{\circ}$ છે.

(A) સમય $t$ પર કણનો સ્થાન સદિશ $r(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v_0 = 5.0 \hat{i} \; m/s$ અને $a = (3.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j}) \; m/s^2$,તેથી:
$r(t) = (5.0 \hat{i})t + \frac{1}{2}(3.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t^2 = (5.0t + 1.5t^2) \hat{i} + (1.0t^2) \hat{j}$.
આમ,$x(t) = 5.0t + 1.5t^2$ અને $y(t) = 1.0t^2$.
$x = 84 \; m$ માટે,આપણે $1.5t^2 + 5.0t - 84 = 0$ ઉકેલીએ. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{-5.0 \pm \sqrt{25 + 4(1.5)(84)}}{2(1.5)} = \frac{-5.0 \pm \sqrt{529}}{3} = \frac{-5.0 \pm 23}{3}$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 6 \; s$.
$(a)$ $t = 6 \; s$ સમયે,$y = 1.0(6)^2 = 36.0 \; m$.
$(b)$ વેગ સદિશ $v(t) = \frac{dr}{dt} = (5.0 + 3.0t) \hat{i} + (2.0t) \hat{j}$ છે.
$t = 6 \; s$ સમયે,$v = (5.0 + 3.0(6)) \hat{i} + (2.0(6)) \hat{j} = 23.0 \hat{i} + 12.0 \hat{j} \; m/s$.
ઝડપ $|v| = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \approx 25.94 \; m/s \approx 26 \; m/s$.

(N/A) કણનું સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = 3.0 t \hat{i} - 2.0 t^{2} \hat{j} + 4.0 \hat{k}$
વેગ $\vec{v}$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 t \hat{i} - 2.0 t^{2} \hat{j} + 4.0 \hat{k}) = 3.0 \hat{i} - 4.0 t \hat{j} \; m/s$
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 \hat{i} - 4.0 t \hat{j}) = -4.0 \hat{j} \; m/s^{2}$
$(b)$ $t = 2.0 \; s$ સમયે,વેગ સદિશ:
$\vec{v} = 3.0 \hat{i} - 4.0(2.0) \hat{j} = 3.0 \hat{i} - 8.0 \hat{j} \; m/s$
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{(3.0)^{2} + (-8.0)^{2}} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8.54 \; m/s$
$x$-અક્ષ સાથેની દિશા $\theta$:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-8.0}{3.0}\right) \approx -69.45^{\circ}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દિશા ધન $x$-અક્ષની નીચે $69.45^{\circ}$ ના ખૂણે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10.0 \hat{j} \; m/s$,પ્રવેગ $\vec{a} = (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j}) \; m/s^2$.
સ્થાન માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{r}(t) = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{r}(t) = (10.0 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t^2 = 4.0 t^2 \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
ઘટકોને સરખાવતા: $x = 4.0 t^2$ અને $y = 10t + t^2$.
$x = 16 \; m$ માટે: $16 = 4.0 t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \; s$.
$t = 2 \; s$ સમયે,$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \; m$.
$(b)$ વેગ સદિશ $\vec{v}(t) = \vec{u} + \vec{a}t = 10.0 \hat{j} + (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t = 8.0 t \hat{i} + (10 + 2.0 t) \hat{j}$.
$t = 2 \; s$ સમયે: $\vec{v} = 8.0(2) \hat{i} + (10 + 2.0(2)) \hat{j} = 16 \hat{i} + 14 \hat{j}$.
ઝડપ $|\vec{v}| = \sqrt{16^2 + 14^2} = \sqrt{256 + 196} = \sqrt{452} \approx 21.26 \; m/s$.

(B) એક-પરિમાણીય ગતિમાં,સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગ જેવી ભૌતિક રાશિઓને દિશા દર્શાવવા માટે $(+)$ અને $(-)$ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે,કારણ કે સીધી રેખા પર માત્ર બે જ દિશાઓ શક્ય છે.
જો કે,જ્યારે કોઈ પદાર્થ બે પરિમાણ (સમતલ) અથવા ત્રણ પરિમાણ (અવકાશ) માં ગતિ કરે છે,ત્યારે દિશા માત્ર બે શક્યતાઓ સુધી મર્યાદિત રહેતી નથી. આવા કિસ્સાઓમાં,આ ભૌતિક રાશિઓનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવા માટે આપણે સદિશો (vectors) નો ઉપયોગ કરવો પડે છે,કારણ કે સદિશો કોઈપણ દિશામાં મૂલ્ય અને દિશા બંનેને ધ્યાનમાં લે છે.

(N/A) એક-પરિમાણીય ગતિ: સીધા પાટા પર દોડતી ટ્રેનની ગતિ એ એક-પરિમાણીય ગતિનું ઉદાહરણ છે,કારણ કે કોઈપણ સમયે તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે માત્ર એક જ યામની જરૂર પડે છે.
દ્વિ-પરિમાણીય ગતિ: કેરમ બોર્ડ પર સ્ટ્રાઈકરની ગતિ એ દ્વિ-પરિમાણીય ગતિનું ઉદાહરણ છે,કારણ કે સ્ટ્રાઈકર એક સમતલમાં ગતિ કરે છે અને તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે બે યામ $(x, y)$ ની જરૂર પડે છે.
ત્રિ-પરિમાણીય ગતિ: પાણીમાં તરતી માછલી અથવા આકાશમાં ઉડતા પક્ષીની ગતિ એ ત્રિ-પરિમાણીય ગતિનું ઉદાહરણ છે,કારણ કે કોઈપણ સમયે તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે ત્રણ યામ $(x, y, z)$ ની જરૂર પડે છે.

(N/A) સ્થાન સદિશ: ઉગમબિંદુ $O$ ના સંદર્ભમાં સમતલમાં રહેલા કણ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$
જ્યાં $x$ અને $y$ એ $\vec{r}$ ના અનુક્રમે $x$ અને $y$-અક્ષ પરના ઘટકો છે,જે પદાર્થના યામ દર્શાવે છે.
સ્થાનાંતર સદિશ:
ધારો કે એક કણ વક્ર માર્ગે ગતિ કરે છે અને સમય $t$ પર $P$ સ્થાને છે અને સમય $t^{\prime}$ પર $P^{\prime}$ સ્થાને છે.
$P$ આગળ,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ છે.
$P^{\prime}$ આગળ,સ્થાન સદિશ $\vec{r}^{\prime} = x^{\prime} \hat{i} + y^{\prime} \hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r}$ એ $P$ થી $P^{\prime}$ સુધીના સ્થાન સદિશમાં થતો ફેરફાર છે:
$\Delta \vec{r} = \vec{r}^{\prime} - \vec{r}$
$\Delta \vec{r} = (x^{\prime} - x) \hat{i} + (y^{\prime} - y) \hat{j}$
$\Delta \vec{r} = \Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}$
જ્યાં $\Delta x = x^{\prime} - x$ અને $\Delta y = y^{\prime} - y$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ યામમાં થતો ફેરફાર છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થનો સરેરાશ વેગ $(\vec{v})$ એ સ્થાનાંતર અને તેને અનુરૂપ સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે.
ધારો કે પદાર્થ $\Delta t$ સમયગાળામાં $\Delta \vec{r}$ જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે.
સરેરાશ વેગ:
$\langle\vec{v}\rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}}{\Delta t} = \hat{i} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right) + \hat{j} \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)$
અથવા,$\langle\vec{v}\rangle = \langle v_{x} \rangle \hat{i} + \langle v_{y} \rangle \hat{j}$
સરેરાશ વેગની દિશા એ સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
તાત્ક્ષણિક વેગ એ સમયગાળો શૂન્યને અનુલક્ષે ત્યારે સરેરાશ વેગની સીમા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
પથ પરના કોઈપણ બિંદુએ વેગની દિશા તે બિંદુએ પથને સ્પર્શક હોય છે અને ગતિની દિશામાં હોય છે.
ઘટકોના સ્વરૂપમાં,તાત્ક્ષણિક વેગ:
$\vec{v} = \hat{i} \left( \frac{dx}{dt} \right) + \hat{j} \left( \frac{dy}{dt} \right) = v_{x} \hat{i} + v_{y} \hat{j}$
જ્યાં $v_{x} = \frac{dx}{dt}$ અને $v_{y} = \frac{dy}{dt}$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અક્ષ પર વેગના ઘટકો છે.
વેગ સદિશનું મૂલ્ય:
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
વેગનો એકમ $MKS$ પદ્ધતિમાં $m/s$ અને $CGS$ પદ્ધતિમાં $cm/s$ છે.

સરેરાશ પ્રવેગ એટલે આપેલા સમયગાળા દરમિયાન વેગમાં થતા ફેરફારનો સમય દર.
$\text{સરેરાશ પ્રવેગ} = \frac{\text{વેગમાં ફેરફાર}}{\text{સમયગાળો}}$
$xy$-સમતલમાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે $\Delta t$ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગમાં થતા ફેરફાર અને સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે:
$\vec{a} = \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})}{\Delta t} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} \hat{i} + \frac{\Delta v_y}{\Delta t} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ એ જ્યારે સમયગાળો શૂન્યને અનુલક્ષે ત્યારે સરેરાશ પ્રવેગનું લક્ષ છે:
$\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
$\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\vec{a} = \frac{d}{dt}(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = \frac{dv_x}{dt} \hat{i} + \frac{dv_y}{dt} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
જ્યાં $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ અને $a_y = \frac{dv_y}{dt}$.
વધુમાં,$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ હોવાથી,પ્રવેગને સમયની સાપેક્ષે સ્થાનના દ્વિતીય વિકલન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{\vec{r}}$

(B) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = (3t)\hat{i} + (4t^2)\hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}(t)$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} [(3t)\hat{i} + (4t^2)\hat{j}]$
$\vec{v}(t) = 3\hat{i} + (8t)\hat{j}$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \ s$ મૂકતા:
$\vec{v}(2) = 3\hat{i} + (8 \times 2)\hat{j}$
$\vec{v}(2) = 3\hat{i} + 16\hat{j} \ m/s$.

(D) બે કે ત્રણ પરિમાણમાં ગતિમાં,વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એવો હોઈ શકે કે જેથી $0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ થાય.
જો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો ઝડપ વધે છે.
જો $\theta = 180^{\circ}$ હોય,તો ઝડપ ઘટે છે.
જો $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તો ઝડપ અચળ રહે છે (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ).
તેથી,ખૂણો $[0^{\circ}, 180^{\circ}]$ ની રેન્જમાં કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

ધારો કે એક કણ અચળ પ્રવેગ $\vec{a}$ સાથે સમતલમાં ગતિ કરે છે. $t=0$ સમયે,વેગ પ્રારંભિક વેગ $\vec{v_0}$ છે અને સ્થાન $\vec{r_0}$ છે. $t=t$ સમયે,વેગ $\vec{v}$ છે અને સ્થાન $\vec{r}$ છે.
$1$. $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ ની તારવણી:
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t - 0}$
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}$
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$
ઘટકોના સ્વરૂપમાં:
$v_x = v_{0x} + a_x t$
$v_y = v_{0y} + a_y t$
$2$. $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ ની તારવણી:
અચળ પ્રવેગ માટે,સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2}$ થાય.
સ્થાનાંતર $\vec{r} - \vec{r_0} = \vec{v}_{avg} \cdot t = \left( \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2} \right) t$.
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ મૂકતા:
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{\vec{v_0} + \vec{a}t + \vec{v_0}}{2} \right) t$
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{2\vec{v_0} + \vec{a}t}{2} \right) t$
$\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.

(B) સમતલમાં ગતિને દ્વિ-પરિમાણીય ગતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગતિની સ્વતંત્રતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમતલમાં કોઈપણ ગતિને બે પરસ્પર લંબ દિશાઓ (સામાન્ય રીતે $x$ અને $y$ અક્ષો) માં થતી બે સ્વતંત્ર ગતિઓના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(N/A) સમતલમાં સમાન પ્રવેગ $\vec{a}$ સાથેની ગતિ માટે,ગતિને $x$ અને $y$ અક્ષો પર બે સ્વતંત્ર ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
$1$. $x$-અક્ષ માટે:
$v_x = u_x + a_x t$
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$v_x^2 = u_x^2 + 2 a_x x$
$2$. $y$-અક્ષ માટે:
$v_y = u_y + a_y t$
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$v_y^2 = u_y^2 + 2 a_y y$
અહીં,$\vec{u} = (u_x, u_y)$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\vec{v} = (v_x, v_y)$ એ $t$ સમયે અંતિમ વેગ છે,અને $\vec{a} = (a_x, a_y)$ એ અચળ પ્રવેગ છે.

(C) કણના યામ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે આપેલા છે:
$x = 4t^2$
$y = 2t$
કણનો પથ (locus) શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોમાંથી પ્રાચલ $t$ નો લોપ કરીશું.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે છે.
આ $t$ ની કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 4 \left( \frac{y}{2} \right)^2$
$x = 4 \left( \frac{y^2}{4} \right)$
$x = y^2$
સમીકરણ $x = y^2$ એ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં ખુલતા પરવલયનું સમીકરણ છે.
તેથી,કણનો પથ પરવલય છે.

(A) $t = 1$ સમયે,કણ $A$ ના સ્થાન:
$x_A(1) = 3(1) = 3$
$y_A(1) = 1$
તેથી,કણ $A$ નું સ્થાન $(3, 1)$ છે.
$t = 1$ સમયે,કણ $B$ ના સ્થાન:
$x_B(1) = 6$
$y_B(1) = 2 + 3(1)^2 = 2 + 3 = 5$
તેથી,કણ $B$ નું સ્થાન $(6, 5)$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (5 - 1)^2}$
$d = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j} + z(t) \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $x = 3t$,$y = 5t^3$,અને $z = 7$ (અચળ).
તેથી,$\vec{r}(t) = 3t \hat{i} + 5t^3 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(5t^3) \hat{j} + \frac{d}{dt}(7) \hat{k} = 3 \hat{i} + 15t^2 \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3) \hat{i} + \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{j} = 0 \hat{i} + 30t \hat{j}$.
$t = 1 \, \text{s}$ પર,પ્રવેગ $\vec{a} = 30(1) \hat{j} = 30 \hat{j} \, \text{cm/s}^2$ થશે.

(B) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 6t \hat{j} + \hat{k}$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ મેળવવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 \hat{i} + 6t \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6t) \hat{i} + (6) \hat{j} + (0) \hat{k}$
$y$-અક્ષની દિશામાં વેગનો ઘટક એ $\hat{j}$ એકમ સદિશનો સહગુણક છે,જે $v_y = 6$ છે.
આમ,$y$-અક્ષની દિશામાં વેગનું મૂલ્ય $6$ છે.

(A) આપેલ વેગ સદિશ: $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 3 \hat{i} + 6x \hat{j}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$v_x = \frac{dx}{dt} = 3$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = 6x$ મળે છે.
પથનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{6x}{3} = 2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = \int 2x dx$.
કણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થતો હોવાથી,સંકલનનો અચળાંક $0$ છે.
આમ,$y = x^2$.

(B) કોઈપણ કણની સ્વતંત્રતાની માત્રા એટલે અવકાશમાં તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર યામોની સંખ્યા.
કીડી સમતલ આડી સપાટી પર ગતિ કરતી હોવાથી,તેનું સ્થાન કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં બે યામો $(x, y)$ દ્વારા સંપૂર્ણપણે દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,કીડી પાસે $2$ સ્વતંત્રતાની માત્રા છે.

(D) કીડીનો સ્થાન સદિશ $\vec{S} = 2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 4t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,વેગ $\vec{v} = 4(1) \hat{j} = 4 \hat{j} \ m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = 4 \ m/s$ છે.
તેની દિશા ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે (જે એકમ સદિશ $\hat{j}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે).

(C) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 5t^2 \hat{i} - 5t \hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10t \hat{i} - 5 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = 10(2) \hat{i} - 5 \hat{j} = 20 \hat{i} - 5 \hat{j} \text{ m/s}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \text{ m/s}$ છે.
દિશા શોધવા માટે,ધારો કે $\theta$ એ ઋણ $\text{Y}$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. સદિશના ઘટકો પરથી,$\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{20}{5} = 4$. તેથી,$\theta = \tan^{-1} 4$ જે ઋણ $\text{Y}$-અક્ષ સાથે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$, પ્રવેગ $\vec{a} = 8 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ ms}^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{s} = (10 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j})t^2$
$\vec{s} = (4t^2) \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
$\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j}$ સાથે ઘટકોની સરખામણી કરતા, આપણને $x = 4t^2$ અને $y = 10t + t^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x = 16 \text{ m}$, તેથી $4t^2 = 16 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \text{ s}$.
$y$ ના સમીકરણમાં $t = 2 \text{ s}$ મૂકતા:
$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \text{ m}$.

(B) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = (4t + t^2)\hat{i} + (2t + \frac{t^2}{2})\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $v_x = \frac{d}{dt}(4t + t^2) = 4 + 2t$.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $v_y = \frac{d}{dt}(2t + \frac{t^2}{2}) = 2 + t$.
તેથી,વેગ સદિશ $\vec{v} = (4 + 2t)\hat{i} + (2 + t)\hat{j} \text{ m/s}$ મળે છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 2t \hat{j} + \hat{k}$.
વેગ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 6t \hat{i} + 2 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,વેગ સદિશ $\vec{v} = 6(2) \hat{i} + 2 \hat{j} = 12 \hat{i} + 2 \hat{j}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \text{ m/s}$ મળે.
પ્રવેગ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6 \hat{i}$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{6^2} = 6 \text{ m/s}^2$ મળે.
આમ,પ્રવેગનું મૂલ્ય $6$ અને વેગનું મૂલ્ય $\sqrt{148}$ છે.

(C) વેગ સદિશ $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_x = 6 + 2t$ અને $V_y = 4 + 2\sqrt{3}t$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{dV_x}{dt} \hat{i} + \frac{dV_y}{dt} \hat{j}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા:
$a_x = \frac{d}{dt}(6 + 2t) = 2 \text{ m/s}^2$.
$a_y = \frac{d}{dt}(4 + 2\sqrt{3}t) = 2\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j} \text{ m/s}^2$ મળે છે.

(A) આપેલ ગતિના પ્રાચલિત સમીકરણો:
$x = a \cos t$
$y = a \sin t$
$z = t$
પ્રથમ,$xy$-સમતલ પર ગતિના પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લો:
$x^2 + y^2 = (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$
આ $xy$-સમતલમાં $a$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.
તે જ સમયે,કણ $z$-અક્ષ પર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે કારણ કે $z = t$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dz}{dt} = 1$.
જેમ કે કણ $xy$-સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે અને તે જ સમયે $z$-અક્ષ પર રેખીય રીતે આગળ વધે છે,તેથી પરિણામી ગતિપથ એક હેલિક્સ (સર્પાકાર) છે.