Projectile Motion from Hight Questions in Gujarati

(D) વિમાનનો પ્રારંભિક વેગ સમક્ષિતિજ છે,તેથી પેકેટના વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y = 0 \ m/s$ થશે.
ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$.
અહીં,$s_y = h$,$u_y = 0$,અને $a_y = g$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $h = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$.
$h = \frac{1}{2} g t^2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t^2 = \frac{2h}{g}$.
તેથી,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.

(A) જ્યારે $u$ જેટલા સમક્ષિતિજ વેગથી ગતિ કરતા વિમાનમાંથી પેકેટ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $0$ હોય છે.
જેમ પેકેટ $h$ ઊંચાઈ નીચે પડે છે,તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $u$ અચળ રહે છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા).
જમીન પર પહોંચતી વખતે પેકેટનો શિરોલંબ વેગ $v_y$ ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ દ્વારા શોધી શકાય છે,જ્યાં $u_y = 0$ છે.
તેથી,$v_y = \sqrt{2gh}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર પરિણામી વેગ $v$ એ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$v = \sqrt{u^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક આડો વેગ $u = 4\, m/s$,ઉડ્ડયન સમય $t = 0.4\, s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
$1$. આડું અંતર (અવધિ) $R = u \times t = 4 \times 0.4 = 1.6\, m$. આમ,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$2$. ટેબલની ઊભી ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8\, m$. આમ,વિધાન $(c)$ સાચું છે.
$3$. અથડામણ સમયે વેગનો ઊભો ઘટક $v_V = gt = 10 \times 0.4 = 4\, m/s$. આડો ઘટક $v_H = u = 4\, m/s$. પરિણામી ઝડપ $v = \sqrt{v_H^2 + v_V^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\, m/s$. આમ,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
તેથી,બંને $(a)$ અને $(c)$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $S$ સૂત્ર $S = u \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ આડી ગતિ છે અને $t$ એ જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે.
આપેલ છે: $u = 100 \, m/s$,$h = 490 \, m$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
પડવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \, s$ છે.
તેથી,આડું અંતર $S = 100 \, m/s \times 10 \, s = 1000 \, m$ થાય.
$1000 \, m = 1 \, km$ હોવાથી,બ્લોક $1 \, km$ ના અંતરે જમીન પર અથડાશે.

(D) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ વેગ $u = 720 \, km/h = 720 \times \frac{5}{18} \, m/s = 200 \, m/s$.
ઊંચાઈ $h = 396.9 \, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 396.9}{9.8}} = \sqrt{\frac{793.8}{9.8}} = \sqrt{81} = 9 \, s$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $(R)$:
$R = u \times t = 200 \, m/s \times 9 \, s = 1800 \, m$.
તેથી,લાગતો સમય $9 \, s$ છે અને સમક્ષિતિજ અવધિ $1800 \, m$ છે.

(A) બોમ્બને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \, s$ છે.
બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $BC = v_H \times t = 150 \times 4 = 600 \, m$ છે.
ઊભી ઊંચાઈ $AB = 80 \, m$ છે.
બોમ્બ ફેંકવાના બિંદુ $A$ થી લક્ષ્ય $C$ સુધીનું સીધું અંતર કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{80^2 + 600^2} = \sqrt{6400 + 360000} = \sqrt{366400} \approx 605.3 \, m$ છે.

(A) ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = 500\, m/s$.
જમીન સાથે અથડાતી વખતે વેગનો શિરોલંબ ઘટક ગતિના સમીકરણ $v_y = u_y + gt$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $u_y = 0$ (પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ) અને $t = 10\, s$ છે:
$v_y = 0 + (10\, m/s^2) \times (10\, s) = 100\, m/s$.
બોમ્બ સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણે $\theta$ જમીન પર અથડાય છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1/5)$.

(C) પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^\circ = 50 \times 0.5 = 25 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,સ્થાનાંતર $s = 70 \, m$,પ્રારંભિક વેગ $u_y = -25 \, m/s$,અને પ્રવેગ $a = g = 10 \, m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$70 = -25t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$70 = -25t + 5t^2$
$5$ વડે ભાગતા:
$t^2 - 5t - 14 = 0$
$(t - 7)(t + 2) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 7 \, s$.

(D) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટાવરની ટોચ પરથી આડી દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,તેની ઉર્ધ્વ ગતિ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ હેઠળના ગતિના સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,$t$ સમયે ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ સમયે ઊંચાઈ $h$ એ જમીનથી તેની ઊંચાઈ છે,જે $h = H - y = H - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આ સમીકરણ $h = H - kt^2$ (જ્યાં $k = \frac{g}{2}$) સ્વરૂપનું છે,જે $t = 0$ સમયે $h = H$ થી શરૂ થતા અને જમીન પર અથડાતી વખતે $h = 0$ સુધી પહોંચતા અધોમુખી પરવલયને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ આ સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) સમક્ષિતિજ અંતર $d = 100 \,m$ અને સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = 500 \,ms^{-1}$ છે.
લક્ષ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x} = \frac{100}{500} = 0.2 \,s$ થાય.
આ સમય દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ગોળી શિરોલંબ દિશામાં નીચે પડે છે. શિરોલંબ અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2$.
$h = 5 \times 0.04 = 0.2 \,m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $h = 0.2 \times 100 = 20 \,cm$.

(C) પ્રથમ દડા માટે જે નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવે છે:
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = g$ અને $s = h$ છે,આપણને મળે છે:
$v_1^2 = u^2 + 2gh$
$v_1 = \sqrt{u^2 + 2gh}$
બીજા દડા માટે જે સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે:
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u$.
જ્યારે તે જમીન પર પહોંચે ત્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y^2 = 0^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v_y = \sqrt{2gh}$.
પરિણામી વેગ $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$
બંને વેગની સરખામણી કરતા:
$v_1 = v_2 = \sqrt{u^2 + 2gh}$
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 = 1 : 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $n$ એ પગથિયાંની સંખ્યા છે,$h$ એ દરેક પગથિયાંની ઊંચાઈ છે અને $b$ એ દરેક પગથિયાંની પહોળાઈ છે.
કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $Y = n \cdot h$ અને કુલ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $X = n \cdot b$ છે.
સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિપથનું સમીકરણ: $Y = \frac{1}{2} g t^2$ અને $X = u t$.
$t = \frac{X}{u}$ ને શિરોલંબ સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n \cdot h = \frac{1}{2} g \left( \frac{n \cdot b}{u} \right)^2$
$u^2 = \frac{g n b^2}{2 h}$
અહીં $n = 3$,$h = 0.1 \, m$,અને $b = 0.2 \, m$ છે. $g = 10 \, m/s^2$ લેતા:
$u^2 = \frac{10 \times 3 \times (0.2)^2}{2 \times 0.1} = 6$
$u = \sqrt{6} \approx 2.45 \, m/s$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી $2 \, m/s$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(B) વિમાનમાંથી નીચે પડતા પદાર્થની ગતિ એ સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું ઉદાહરણ છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 1960 \, m$.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $h = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
તેથી,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \sqrt{\frac{2 \times 1960}{9.8}}$.
$t = \sqrt{\frac{3920}{9.8}} = \sqrt{400}$.
$t = 20 \, sec$.

(B) પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અંતર $S = u \times t$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $u$ એ સમક્ષિતિજ વેગ છે અને $t$ એ જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે.
પ્રથમ,વેગ $u$ ને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો: $u = 60 \times (5/18) = 50/3 \, m/s$.
$h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પદાર્થને લાગતો સમય $t = \sqrt{2h/g}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \sqrt{(2 \times 490) / 9.8} = \sqrt{980 / 9.8} = \sqrt{100} = 10 \, s$.
હવે,સમક્ષિતિજ અંતરની ગણતરી કરતા: $S = (50/3) \times 10 = 500/3 \, m$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી સમક્ષિતિજ ફેંકવામાં આવતા પદાર્થ માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $x$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x = u \times t$
જ્યાં $t$ એ હવામાં રહેવાનો સમય છે,જે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $u = \sqrt{2gh}$ અને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મૂકતા:
$x = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$x = \sqrt{2gh \times \frac{2h}{g}}$
$x = \sqrt{4h^2}$
$x = 2h$

(B) બોમ્બ ગતિશીલ વિમાનમાંથી છોડવામાં આવે છે,તેથી તેની પાસે પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u = 200 \; m/s$ છે અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ શૂન્ય છે.
$h = 8 \; km = 8000 \; m$ ની ઊંચાઈ પરથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે બોમ્બ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8000}{9.8}} = \sqrt{\frac{16000}{9.8}} \approx 40.406 \; s$.
આ સમય દરમિયાન બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અંતર $S = u \times t$ છે.
$S = 200 \times 40.406 = 8081.2 \; m = 8.081 \; km$.
તેથી,બોમ્બને લક્ષ્યથી $8.081 \; km$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છોડવો જોઈએ.

(A) સમક્ષિતિજ વેગ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_x = 20 \, m/s$.
$t = 5 \, s$ સમય પછી શિરોલંબ વેગ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $v_y = u_y + gt = 0 + (10 \, m/s^2)(5 \, s) = 50 \, m/s$.
કુલ વેગ $v$ એ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{(20)^2 + (50)^2} = \sqrt{400 + 2500} = \sqrt{2900} \approx 53.85 \, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $54 \, m/s$ થાય છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$U_i + T_i = U_f + T_f$
પ્રારંભિક ઊંચાઈને સંદર્ભ સ્તર $(h=0)$ તરીકે લેતા:
$0 + \frac{1}{2} m u^2 = mgh + \frac{1}{2} m v^2$
$m$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા:
$u^2 = 2gh + v^2$
$v = \sqrt{u^2 - 2gh}$
અહીં $u = 5 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $h = 0.45 \, m$ આપેલ છે:
$v = \sqrt{5^2 - 2 \times 10 \times 0.45}$
$v = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16}$
$v = 4 \, m/s$.

(C) જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય શિરોલંબ ગતિ પરથી નક્કી થાય છે: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h = 20\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 0$ અને સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x = 6\,m/s^2$ છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $R$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $R = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2$.
$R = 0 + 3 \times 4 = 12\,m$.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h_2$ ઊંચાઈ પર સમક્ષિતિજ વેગ $v_x$ એ $\frac{1}{2}mv_x^2 = mg(h_1 - h_2)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v_x = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$.
જ્યારે બ્લોક સ્લાઈડ છોડે છે,ત્યારે તે $h_2$ ઊંચાઈથી પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v_x$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $v_{y0} = 0$ સાથે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે.
જમીન સાથે અથડાતા પહેલા શિરોલંબ વેગ $v_y$ એ $v_y^2 = v_{y0}^2 + 2gh_2 = 2gh_2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v_y = \sqrt{2gh_2}$.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 30^\circ$,તેથી $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2g(h_1 - h_2)}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1 - h_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{h_2}{h_1 - h_2}$.
$h_1 - h_2 = 3h_2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h_1 = 4h_2$ મળે છે.

(D) તોપનો ગોળો કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ સુધી પહોંચી શકે છે જે સુરક્ષા પરબલય (bounding parabola) ના સમીકરણનું પાલન કરે છે. સમક્ષિતિજ અંતર $x$ પર પહોંચી શકાય તેવી મહત્તમ ઊંચાઈ $y$ માટેનું સમીકરણ $y = \frac{u^2}{2g} - \frac{gx^2}{2u^2}$ છે.
અહીં $y = 250\ m$,$u = 100\ m/s$,અને $g = 10\ m/s^2$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$250 = \frac{100^2}{2(10)} - \frac{10x^2}{2(100^2)}$
$250 = 500 - \frac{x^2}{2000}$
$\frac{x^2}{2000} = 250$
$x^2 = 500,000$
$x = 500\sqrt{2}\ m$.
પ્લેન $x = -500\sqrt{2}\ m$ થી $x = +500\sqrt{2}\ m$ સુધી મુસાફરી કરે ત્યાં સુધી જોખમમાં છે,જે કુલ $1000\sqrt{2}\ m$ અંતર કાપે છે.
સમયગાળો $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{1000\sqrt{2}}{500} = 2\sqrt{2}\ s$ થાય.

(D) ધારો કે જમીન પરનો કણ $P_1$ છે અને $h$ ઊંચાઈ પરનો કણ $P_2$ છે.
$P_1$ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$.
કણો હવામાં અથડાય તે માટે,$P_2$ ને $h$ ઊંચાઈથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $P_1$ ના ઉડ્ડયન સમય કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$P_2$ માટે,$h$ જેટલું શિરોલંબ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
અથડામણ માટે,$t \leq T$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq \frac{2u \sin \theta}{g}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2h}{g} \leq \frac{4u^2 \sin^2 \theta}{g^2}$.
$h \leq \frac{2u^2 \sin^2 \theta}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$,તેથી $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $h \leq \frac{2(2gH)}{g} = 4H$.
આમ,$h$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ $4H$ છે.

(A) ધારો કે અથડામણનું બિંદુ ટાવરથી $a$ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે અને જમીનથી $y$ જેટલી ઊંચાઈએ છે.
તળિયેથી $u_2$ વેગ અને $60^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત માટે:
$a = u_2 \cos 60^o \cdot t$
$y = u_2 \sin 60^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = a \tan 60^o - \frac{1}{2}gt^2$
ટોચ પરથી $u_1$ વેગ અને $30^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત માટે:
$a = u_1 \cos 30^o \cdot t$
જમીનથી તેની ઊંચાઈ $y = h + u_1 \sin 30^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = h + a \tan 30^o - \frac{1}{2}gt^2$
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$a \tan 60^o - \frac{1}{2}gt^2 = h + a \tan 30^o - \frac{1}{2}gt^2$
$h = a(\tan 60^o - \tan 30^o)$
$h = a(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) = a(\frac{3-1}{\sqrt{3}}) = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u$ છે. શિરોલંબ ગતિ પવનથી પ્રભાવિત થતી નથી.
હવામાં રહેવાનો સમય $T$ એ $H = \frac{1}{2} g T^2$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $H = 40 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
$40 = \frac{1}{2} \times 10 \times T^2 \implies T^2 = 8 \implies T = 2\sqrt{2} \ s$.
અંતિમ શિરોલંબ વેગ $v_y = gT = 10 \times 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \ m/s$ છે.
અંતિમ સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u - aT$ છે,જ્યાં $a$ એ પવનને કારણે પ્રવેગ છે. કણ ટાવરના તળિયે અથડાય છે,તેથી સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $S_x = uT - \frac{1}{2} a T^2 = 0$ થાય.
આમ,$u = \frac{1}{2} a T$.
$v_x$ ના સમીકરણમાં $u$ ની કિંમત મૂકતા: $v_x = \frac{1}{2} a T - a T = -\frac{1}{2} a T$.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $37^\circ$ છે,તેથી $\tan 37^\circ = \frac{|v_y|}{|v_x|}$.
$\frac{3}{4} = \frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2} a (2\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{20}{a}$.
$a = \frac{20 \times 4}{3} = \frac{80}{3} \ m/s^2$.

(C) સમક્ષિતિજ વેગ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_x = 40\,m/s$.
બિંદુ $P$ પર શિરોલંબ વેગ $v_y$ શોધવા માટે,આપણે $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $u_y = 0$ (પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ) અને $h = 45\,m$ છે.
$v_y = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = \sqrt{900} = 30\,m/s$.
$P$ પર પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,m/s$ છે.

(B) પદાર્થનો સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_H = 98 \, m/s$.
$t = 10 \, s$ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_V = u_V + gt$ દ્વારા મળે છે. પદાર્થને સમક્ષિતિજ રીતે મુક્ત કરવામાં આવ્યો હોવાથી,$u_V = 0$ છે.
$v_V = 0 + (9.8 \, m/s^2)(10 \, s) = 98 \, m/s$.
જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય છે ત્યારે સમક્ષિતિજ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_V}{v_H}$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \frac{98}{98} = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(A) ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = 500\,m/s$।
જ્યારે બોમ્બ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u_y + gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_y = 0 + 10\,m/s^2 \times 10\,s = 100\,m/s$।
જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય ત્યારે વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$।
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$।

(D) આપણે દડાની ઉર્ધ્વ ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે.
પ્રારંભિક વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y = v \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ m/s$ છે.
જ્યારે દડો જમીન પર અથડાય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -40 \ m$ થાય છે (કારણ કે તે શરૂઆતના બિંદુથી નીચે છે).
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $a = -g = -10 \ m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-40 = 10t + \frac{1}{2} (-10) t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ વડે ભાગતા:
$t^2 - 2t - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 4)(t + 2) = 0$
આથી $t = 4 \ s$ અથવા $t = -2 \ s$ મળે છે.
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી દડો $t = 4 \ s$ સમયે જમીન પર અથડાશે.

(C) વેગનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \, ms^{-1}$ છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,સ્થાનાંતર $s = 70 \, m$,પ્રવેગ $a = g = 10 \, ms^{-2}$,અને પ્રારંભિક વેગ $u_y = -25 \, ms^{-1}$ (કારણ કે તે ઉપરની તરફ છે).
ગતિના સમીકરણ $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$70 = -25t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$70 = -25t + 5t^2$
$5t^2 - 25t - 70 = 0$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $t^2 - 5t - 14 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 7)(t + 2) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 7 \, s$.

(C) કણની ઉર્ધ્વ ગતિ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા નક્કી થાય છે,જેમાં પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y = 0$ અને ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a_y = g = 10\,ms^{-2}$ છે.
$h = 20\,m$ ની ઊંચાઈ પરથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ સમીકરણ $h = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$20 = 5t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2\,s$.
હવે,સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 0$ અને સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x = 6\,ms^{-2}$ છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x$ એ $x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2$.
$x = 0 + 3 \times 4 = 12\,m$.

(B) ગતિ દરમિયાન પદાર્થનો સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે,તેથી $v_x = 4\,m/s$.
$t = 0.7\,s$ સમય પછી શિરોલંબ વેગ $v_y = g \times t = 10\,m/s^2 \times 0.7\,s = 7\,m/s$ દ્વારા મળે છે.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,વેગ $8\,m/s$ મળે છે.

(B) ધારો કે $t$ સમયે બે દડાઓના વેગ $\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_B$ છે.
ધન $x$-દિશામાં $v_1$ વેગ સાથે ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ દડા માટે: $\vec{v}_A = v_1 \hat{i} - gt \hat{j}$.
ઋણ $x$-દિશામાં $v_2$ વેગ સાથે ફેંકવામાં આવેલા બીજા દડા માટે: $\vec{v}_B = -v_2 \hat{i} - gt \hat{j}$.
જ્યારે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય ત્યારે વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ હોય છે: $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$.
$(v_1 \hat{i} - gt \hat{j}) \cdot (-v_2 \hat{i} - gt \hat{j}) = 0$.
$-v_1 v_2 + g^2 t^2 = 0$.
$g^2 t^2 = v_1 v_2$.
$t^2 = \frac{v_1 v_2}{g^2}$.
$t = \frac{\sqrt{v_1 v_2}}{g}$.

(A) પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10\,m/s$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર $s_y = -40\,m$ માટે ગતિનું સમીકરણ $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ વાપરતા:
$-40 = 10t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ વડે ભાગતા,આપણને $t^2 - 2t - 8 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 4)(t + 2) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t = 4\,s$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ (તે જ ઊંચાઈ પર પાછા આવવા માટેનો સમય) $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 20 \times \sin 30^{\circ}}{10} = \frac{20}{10} = 2\,s$ દ્વારા મળે છે.
કુલ સમય અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t}{T} = \frac{4}{2} = 2$ છે,એટલે કે $2:1$.

(B) પાણી આડી પાઈપમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ (projectile motion) કરે છે.
આપેલ છે:
પાઈપની ઊંચાઈ,$h = 2\,m$
આડી અવધિ (range),$R = 3\,m$
ગુરુત્વ પ્રવેગ,$g = 9.8\,ms^{-2}$
પગલું $1$: પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ શોધો.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = \frac{1}{2}gt^2$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2}{9.8}} = \sqrt{\frac{4}{9.8}} \approx 0.6389\,s \approx 0.64\,s$
પગલું $2$: પાણીની આડી ઝડપ $(v)$ શોધો.
આડી ગતિ સમાન હોવાથી,$R = v \times t$
$v = \frac{R}{t} = \frac{3}{0.6389} \approx 4.695\,ms^{-1} \approx 4.7\,ms^{-1}$
તેથી,જ્યારે પાણી પાઈપમાંથી બહાર નીકળે છે ત્યારે તેની ઝડપ $4.7\,ms^{-1}$ છે.

(B) મિસાઇલને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $h = 20\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
મિસાઇલ દ્વારા કાપવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અંતર $s = u \times t$ છે,જ્યાં $u = 1000\,m/s$ છે.
$s = 1000\,m/s \times 2\,s = 2000\,m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા,$s = 2\,km$ થાય.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 180\, km/hr = 180 \times \frac{5}{18} = 50\, m/s$.
ઊંચાઈ $h = 490\, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
પગલું $1$: શિરોલંબ ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધો:
$h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
અહીં પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ હોવાથી:
$490 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$490 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{490}{4.9} = 100$
$t = 10\, s$.
પગલું $2$: સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ શોધો:
$R = u_x \times t$
$R = 50\, m/s \times 10\, s = 500\, m$.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિ $500\, m$ છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણ અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગનો શિરોલંબ ઘટક બદલાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
$v^2 = u^2 - 2gh$
કારણ કે $v_x = u_x = 6\,m/s$,આપણે શિરોલંબ ઘટક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ:
$u_y^2 = v_y^2 + 2gh$
અહીં $v_y = 2\,m/s$,$g = 10\,m/s^2$,અને $h = 0.4\,m$ આપેલ છે:
$u_y^2 = (2)^2 + 2 \times 10 \times 0.4 = 4 + 8 = 12$
$u_y = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) દડો $10 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવે છે અને આપણે તે શોધવાનું છે કે જ્યારે તે ફરીથી $10 \, m$ ની ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે તેનું સમક્ષિતિજ અંતર કેટલું હશે.
આ પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) શોધવા સમાન છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: $u = 10 \, m/s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{10^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(60^{\circ})}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \, m$.
આમ,દડો ફેંકવાના બિંદુથી $8.66 \, m$ ના અંતરે જમીનથી $10 \, m$ ની ઊંચાઈએ હશે.

(D) ધારો કે પથ્થરનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u_y^2}{2g} = 2h$ છે. તેથી,$u_y = 2\sqrt{gh}$.
સમય $t$ પર પથ્થરનું ઉર્ધ્વ સ્થાન $y(t) = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ છે. $y(t) = h$ લેતા,આપણને $h = 2\sqrt{gh} t - \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $gt^2 - 4\sqrt{gh}t + 2h = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{4\sqrt{gh} \pm \sqrt{16gh - 8gh}}{2g} = \frac{4\sqrt{gh} \pm 2\sqrt{gh}}{2g}$.
બે સમય $t_1 = (2-\sqrt{2})\sqrt{\frac{h}{g}}$ (ઉપર જતી વખતે) અને $t_2 = (2+\sqrt{2})\sqrt{\frac{h}{g}}$ (નીચે આવતી વખતે) મળે છે.
પથ્થર નીચે આવતી વખતે પક્ષીને અથડાય છે,તેથી ઉડાનનો સમય $t_2$ છે. પથ્થર દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = u_x t_2$ છે. પક્ષી પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $x$ અંતરે છે અને $v_b$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. પક્ષી દ્વારા $t_2$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = v_b t_2$ છે. પથ્થર થાંભલા પર પક્ષીને અથડાય છે,તેથી પક્ષી $t_2$ સમયમાં થાંભલાથી $x_b = v_b t_2$ અંતરે હશે. અથડામણ માટે,$u_x t_2 = x_{pole} + v_b t_2$. થાંભલાનું અંતર $x_{pole} = u_x t_1$ છે. તેથી $u_x t_2 = u_x t_1 + v_b t_2$,જે આપણને $\frac{v_b}{u_x} = \frac{t_2 - t_1}{t_2} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{h/g}}{(2+\sqrt{2})\sqrt{h/g}} = \frac{2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$ આપે છે.

(B) કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 4\,s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = T/2 = 2\,s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,શિરોલંબ વેગનો ઘટક શૂન્ય હોય છે. $v_y = u_y - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = u_y - g(2)$ મળે છે,તેથી $u_y = 2g$.
મુક્તિ બિંદુથી ઉપર પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{(2g)^2}{2g} = 2g$ છે.
$g = 9.8\,m/s^2$ મૂકતા,આપણને $H_{max} = 2 \times 9.8 = 19.6\,m$ મળે છે.
દડો ખેલાડીની ઊંચાઈ $(1.5\,m)$ પરથી ફેંકવામાં આવ્યો હોવાથી,જમીનથી કુલ ઊંચાઈ $H_{total} = H_{max} + 1.5\,m = 19.6 + 1.5 = 21.1\,m$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u \cos 60^o = u/2$.
છાપરા પર,વેગ સમક્ષિતિજ સાથે $30^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,છાપરા પર વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v_x \tan 30^o = (u/2) \times (1/\sqrt{3}) = u / (2\sqrt{3})$ છે.
પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 60^o = u\sqrt{3}/2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા (ઉપરની દિશા ધન અને $g$ નીચેની તરફ પ્રવેગ લેતા):
$(u / (2\sqrt{3}))^2 = (u\sqrt{3}/2)^2 - 2 \times 10 \times 30$
$u^2 / 12 = 3u^2 / 4 - 600$
$600 = 3u^2 / 4 - u^2 / 12 = (9u^2 - u^2) / 12 = 8u^2 / 12 = 2u^2 / 3$
$u^2 = 600 \times 3 / 2 = 900$
$u = 30 \, m/s$.

(D) આપણે ટેકરીની ધાર પર $x$ અને $y$ અક્ષનું ઉગમબિંદુ પસંદ કરીએ છીએ અને પથ્થર ફેંકવામાં આવે તે ક્ષણે $t = 0 \; s$ લઈએ છીએ. $x$-અક્ષની ધન દિશા પ્રારંભિક વેગની દિશામાં અને $y$-અક્ષની ધન દિશા શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે.
$x$ અને $y$ દિશામાં ગતિને સ્વતંત્ર રીતે ગણી શકાય છે. ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x(t) = x_0 + v_{0x} t$
$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2$
આપેલ છે: $x_0 = 0, y_0 = 0, v_{0x} = 15 \; m/s, v_{0y} = 0, a_y = -g = -9.8 \; m/s^2$.
જ્યારે પથ્થર જમીન પર અથડાય ત્યારે $y(t) = -490 \; m$:
$-490 = 0 + 0(t) + \frac{1}{2}(-9.8)t^2$
$-490 = -4.9 t^2$
$t^2 = 100 \implies t = 10 \; s$.
$t = 10 \; s$ સમયે વેગના ઘટકો:
$v_x = v_{0x} = 15 \; m/s$
$v_y = v_{0y} - gt = 0 - 9.8(10) = -98 \; m/s$
પથ્થરની ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + (-98)^2} = \sqrt{225 + 9604} = \sqrt{9829} \approx 99.14 \; m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $99 \; m/s$ મળે છે.

(N/A) આપેલી આકૃતિને ધ્યાનમાં લો જેમાં એક દડાને બિંદુ $O$ થી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અને તે $C$ પર જમીન સુધી પહોંચવા માટે $O-A-B-C$ માર્ગ અનુસરે છે.
$(a)$ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x$ અચળ રહે છે અને જેમ દડો પ્રક્ષેપણની સપાટીથી નીચે પડે છે તેમ શિરોલંબ ઘટક $v_y$ નું મૂલ્ય વધતું જાય છે, તેથી બિંદુ $C$ પર જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં ઝડપ સૌથી વધુ હોય છે.
$(b)$ ગતિપથના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ (બિંદુ $A$) પર ઝડપ સૌથી ઓછી હોય છે, જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y$ શૂન્ય હોય છે, અને ઝડપ સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v_0 \cos 45^\circ$ જેટલી હોય છે.
$(c)$ દડાનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે છે, જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. તેથી, ગતિ દરમિયાન તમામ બિંદુઓ પર પ્રવેગ અચળ અને $g$ જેટલો હોય છે.

(A) આપેલ છે:
માણસની આડી ઝડપ,$u_x = 9 \, m/s$
બે ઇમારતો વચ્ચેનું આડું અંતર,$x = 10 \, m$
ઊંચાઈનો તફાવત,$h = 9 \, m$
ગુરુત્વ પ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$
ધારો કે $t$ એ ઊભી ઊંચાઈ $h$ કાપવા માટે લાગતો સમય છે. શિરોલંબ દિશામાં ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
માણસ આડી દિશામાં કૂદકો મારે છે,તેથી પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$.
$9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$9 = 5 t^2$
$t^2 = \frac{9}{5} = 1.8$
$t = \sqrt{1.8} \approx 1.34 \, s$
હવે,આ સમયમાં માણસ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $R$ શોધો:
$R = u_x \times t = 9 \times \sqrt{1.8} = 9 \times 1.3416 \approx 12.07 \, m$
આમ,કાપેલું આડું અંતર $(12.07 \, m)$ એ બે ઇમારતો વચ્ચેના અંતર $(10 \, m)$ કરતા વધારે હોવાથી,માણસ બીજી ઇમારત પર ઉતરી શકશે.

(N/A) ધારો કે ફાઈટર પ્લેન બિંદુ $P$ પર છે જ્યારે તે લક્ષ્ય $T$ ને મારવા માટે બોમ્બ છોડે છે. લક્ષ્ય ફ્લાઇટ પાથ પરના બિંદુ $P'$ ની નીચે ઊભી દિશામાં છે.
પ્લેનની ઝડપ $u = 720\, km/h = 720 \times \frac{5}{18}\, m/s = 200\, m/s$.
પ્લેનની ઊંચાઈ $h = P'T = 1.5\, km = 1500\, m$.
ધારો કે બોમ્બને લક્ષ્ય સુધી પહોંચવામાં $t$ સમય લાગે છે. કાપેલું ઊભું અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
$1500 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \implies t^2 = \frac{3000}{9.8} \approx 306.12$.
$t = \sqrt{306.12} \approx 17.5\, s$.
આ સમયમાં બોમ્બ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = PP' = u \times t = 200 \times 17.5 = 3500\, m$.
સમક્ષિતિજ સાથે દ્રષ્ટિકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{\text{ઊભું અંતર}}{\text{સમક્ષિતિજ અંતર}} = \frac{P'T}{PP'} = \frac{1500}{3500} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = \tan^{-1}(0.4286) \approx 23.2^{\circ}$.

(A) $h$ ઊંચાઈએથી $v_0$ ઝડપ અને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
ધારો કે લક્ષ્ય સમક્ષિતિજ અંતર $x = R + \Delta x$ અને શિરોલંબ સ્થાન $y = -h$ પર છે (પ્રક્ષેપણ બિંદુને ઉગમબિંદુ લેતા).
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{g(R + \Delta x)^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
$R = \frac{v_0^2}{g}$ હોવાથી,$\frac{g}{v_0^2} = \frac{1}{R}$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R \cos^2 \theta}$
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} (1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$\frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \tan^2 \theta - (R + \Delta x) \tan \theta + \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] = 0$
$\tan \theta$ ના વાસ્તવિક ઉકેલ માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (R + \Delta x)^2 - 4 \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \right] \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] \ge 0$
$(R + \Delta x)^2 - \frac{(R + \Delta x)^4}{R^2} + \frac{2h(R + \Delta x)^2}{R} \ge 0$
$(R + \Delta x)^2$ વડે ભાગતા:
$1 - \frac{(R + \Delta x)^2}{R^2} + \frac{2h}{R} \ge 0$
$\frac{2h}{R} \ge \frac{(R + \Delta x)^2 - R^2}{R^2} = \frac{2R\Delta x + \Delta x^2}{R^2}$
$h \ge \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{2R} \right]$

(NONE) ધારો કે બંને કિસ્સામાં ફેંકતી વખતે પ્રારંભિક ઝડપ $V_s$ છે. આપણે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ફેંકવાના બિંદુએ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા = અથડામણના બિંદુએ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા.
ધારો કે જમીન એ સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર છે $(PE = 0)$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} m V_s^2 + mgH$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$E_i = E_f$.
$\frac{1}{2} m V_s^2 + mgH = \frac{1}{2} m v^2$.
$v^2 = V_s^2 + 2gH$.
$v = \sqrt{V_s^2 + 2gH}$.
અંતિમ ઝડપ $v$ માત્ર પ્રારંભિક ઝડપ $V_s$,ઊંચાઈ $H$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,અને આ તમામ મૂલ્યો કિસ્સા $(a)$ અને $(b)$ બંનેમાં સમાન હોવાથી,જ્યારે બોલ જમીન પર અથડાશે ત્યારે અંતિમ ઝડપ બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.

(A) ક્ષિતિજ સમાંતર દિશામાં કણની ગતિનો વિરોધ કરતું એકમાત્ર બળ ડ્રેગ બળ છે,જે $F = -kv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma_x$,જ્યાં $a_x$ એ $x$-દિશામાં પ્રવેગ છે.
તેથી,$ma_x = -kv$,જેનો અર્થ છે કે $a_x = -\frac{kv}{m}$.
આ દર્શાવે છે કે $x$-દિશામાં પ્રતિપ્રવેગ એ દડાના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
કારણ કે હલકો દડો $(M)$ ભારે દડા $(2M)$ કરતા વધુ પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી તેનો ક્ષિતિજ સમાંતર વેગ વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
પરિણામે,ભારે દડો હલકા દડાની સરખામણીમાં જમીન પર પડતા પહેલા વધુ ક્ષિતિજ સમાંતર અંતર કાપશે.

(B) દડા $A$ માટે,તે $X$ ના આડા સ્તરથી $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત થાય છે. કાપવાનું શિરોલંબ અંતર $h$ છે. પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $0$ છે. તેથી,$t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
દડા $B$ માટે,તે જમીનના સ્તરથી મુક્ત થાય છે,પરંતુ તે $X$ સુધી પહોંચવા માટે આડી ગતિ કરે છે. જોકે,પ્રશ્ન જણાવે છે કે તે $X$ પર પહોંચે છે (જે માળખાના અંત જેટલા જ આડા સ્તરે છે). જો $B$ જમીન પર હોય અને $X$ જમીન પર હોય,તો તે ફક્ત આડી ગતિ કરે છે. પરંતુ આકૃતિના આધારે,$A$ અને $B$ સમાન માળખામાંથી મુક્ત થાય છે. જો $B$ જમીન પર હોય,તો તેને $X$ સુધી પહોંચવા માટે કોઈ શિરોલંબ અંતર કાપવાનું નથી. પ્રશ્ન સૂચવે છે કે $t_A = t_B = t_C$,જે આવા પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત અર્થઘટન પર આધારિત છે જ્યાં શિરોલંબ સ્થાનાંતર ઉડાનનો સમય નક્કી કરે છે.
દડા $C$ માટે,તેને $X$ થી $h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે. લીધેલ સમય $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
કારણ કે $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ અને $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$,તેથી $t_A = t_C$ મળે છે. માળખાની સમાનતાને જોતા,$t_A = t_B = t_C$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20 \, m/s$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,ઊંચાઈ $h = 40 \, m$.
પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, m/s$.
પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m/s$.
શિરોલંબ દિશામાં ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $S_y = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$.
નીચેની દિશાને ઋણ લેતા,$S_y = -40 \, m$ અને $a_y = -g = -10 \, m/s^2$.
$-40 = 10T - \frac{1}{2} \times 10 \times T^2$.
$-40 = 10T - 5T^2$.
$-5$ વડે ભાગતા: $T^2 - 2T - 8 = 0$.
$(T - 4)(T + 2) = 0$.
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $T = 4 \, s$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u_x \times T = 10\sqrt{3} \times 4 = 40\sqrt{3} \, m$.