Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(D) વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ઝડપ $V = \frac{2 \pi R}{T}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $H = 4R$,તેથી $V$ અને $H$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$4R = \frac{2 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{g T^2}$
$\sin^2 \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\sin^2 \theta = \frac{4R \cdot g T^2}{2 \pi^2 R^2} = \frac{2 g T^2}{\pi^2 R}$
તેથી,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{2 g T^2}{\pi^2 R} \right)^{1/2}$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $T = M \omega^{2} R$.
આપેલ છે: $T = 80 \,N$,$M = 100 \,g = 0.1 \,kg$,$R = 2 \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $80 = 0.1 \times \omega^{2} \times 2$.
$80 = 0.2 \omega^{2} \implies \omega^{2} = 400 \implies \omega = 20 \,rad/s$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,જ્યાં $f$ એ $rev/s$ માં આવૃત્તિ છે: $2 \pi f = 20 \implies f = \frac{10}{\pi} \,rev/s$.
આવૃત્તિને $rev/min$ માં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ગુણો: $f = \frac{10}{\pi} \times 60 = \frac{600}{\pi} \,rev/min$.
આને $\frac{K}{\pi} \,rev/min$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 600$ મળે છે.

(D) ધારો કે $R$ એ અર્ધ-ગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા છે. જ્યારે દડો સમક્ષિતિજથી $\alpha$ ખૂણે બિંદુ $Q$ પર હોય,ત્યારે તેની ઝડપ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mg(R \sin \alpha)$,જે $v^2 = 2gR \sin \alpha$ આપે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં દડા પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \alpha$ છે. ગતિનું સમીકરણ $N - mg \sin \alpha = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ છે.
તેથી,$N = 3mg \sin \alpha$.
ગુણોત્તર $A$ એ કેન્દ્રગામી બળ અને લંબ પ્રતિક્રિયાનો ગુણોત્તર છે: $A = \frac{F_c}{N} = \frac{2mg \sin \alpha}{3mg \sin \alpha} = \frac{2}{3}$.
અહીં $A = \frac{2}{3}$ એ $\alpha$ થી સ્વતંત્ર અચળ મૂલ્ય હોવાથી,$A$ વિરુદ્ધ $\alpha$ નો આલેખ એક સમક્ષિતિજ સીધી રેખા મળશે.

(B) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 20 \cos \alpha$ અને $u_y = 20 \sin \alpha$ છે.
સમક્ષિતિજ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 20 \cos \alpha$.
$t = 10 \; s$ સમય પછી શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y - gt = 20 \sin \alpha - 10 \times 10 = 20 \sin \alpha - 100$ દ્વારા મળે છે.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\beta$ એ $\tan \beta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \beta = \frac{20 \sin \alpha - 100}{20 \cos \alpha} = \frac{20 \sin \alpha}{20 \cos \alpha} - \frac{100}{20 \cos \alpha} = \tan \alpha - 5 \sec \alpha$.

(C) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = k^{2} r t^{2}$,તેથી $\frac{v^{2}}{r} = k^{2} r t^{2}$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,$v^{2} = k^{2} r^{2} t^{2}$,એટલે કે $v = krt$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_{t}$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે: $a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$.
સ્પર્શકીય બળ $F_{t} = m a_{t} = mkr$.
બળ દ્વારા અપાતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F_{t} v$.
કિંમતો મૂકતા,$P = (mkr)(krt) = m k^{2} r^{2} t$.

(B) વર્તુળાકાર પથ પર કાપેલું અંતર $s = R \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
આપેલ છે $s = 60 \, m$ અને $\theta = 135^{\circ} = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \, \text{રેડિયન}$.
તેથી,$60 = R \left( \frac{3\pi}{4} \right) \implies R = \frac{60 \times 4}{3\pi} = \frac{80}{\pi} \, m$.
વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\Delta r = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - \cos 135^{\circ})}$.
આપેલ છે $\cos 135^{\circ} = -0.7$,તેથી $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - (-0.7))} = \sqrt{2R^2(1.7)} = \sqrt{3.4 R^2} = R \sqrt{3.4}$.
$R = \frac{80}{\pi} \approx \frac{80}{3.14} \approx 25.47 \, m$ મૂકતા:
$\Delta r \approx 25.47 \times \sqrt{3.4} \approx 25.47 \times 1.844 \approx 46.97 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $47 \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને બીજા દડાનો $u_2$ છે.
શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ દડા માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા દડા માટે,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_{2y} = u_2 \cos \theta$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $u_1 = u_2 \cos \theta$.
પ્રથમ દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ છે.
બીજા દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(u_2 \cos \theta)^2}{2g} = \frac{u_2^2 \cos^2 \theta}{2g}$ છે.
જેમ કે $u_1 = u_2 \cos \theta$,તેથી $H_1 = H_2$ થાય છે.
ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = 1 = \frac{1}{x}$ છે.
તેથી,$x = 1$.

(A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના બ્લોક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઉભી દીવાલ દ્વારા લાગતા લંબબળ $(N)$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F_c = \frac{m v^2}{r}$
અહીં લંબબળ $(N)$ આ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી:
$N = \frac{m v^2}{r}$
અહીં,$m$ અને $r$ અચળ છે. તેથી,$N$ અને $v$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$N \propto v^2$
આ સમીકરણ $Y = kX^2$ પ્રકારના પેરાબોલા (પરવલય) ને રજૂ કરે છે,જ્યાં $Y = N$,$X = v$,અને $k = \frac{m}{r}$ છે.
આમ,$N$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પેરાબોલા છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે કાદવનું એક ટીપું પૈડાના પરિઘ પરથી $u$ જેટલી પ્રારંભિક ઝડપ સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\theta$ ખૂણે છૂટું પડે છે.
પૈડાના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં કાદવનું ટીપું જે ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચી શકે છે તે છે:
$h = \text{પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ} + \text{કેન્દ્રથી મુક્ત થતા બિંદુની ઊંચાઈ}$
$h = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta$
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dh}{d\theta} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{d\theta} \left( \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta \right) = 0$
$\frac{u^{2}}{2 g} (2 \sin \theta \cos \theta) + R \cos \theta = 0$
$\frac{u^{2}}{g} \sin \theta \cos \theta + R \cos \theta = 0$
$\cos \theta \left( \frac{u^{2}}{g} \sin \theta + R \right) = 0$
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે $\cos \theta \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\sin \theta = -\frac{Rg}{u^{2}}$ મળે છે.
ભૌમિતિક રીતે,કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max} = \frac{u^{2}}{2g} + \frac{gR^{2}}{2u^{2}}$ થાય છે.

(A) ધારો કે સળિયો $OA$ કોઈપણ ક્ષણે $OP$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $OP$ નું અંતર $x$ છે. $\triangle OAP$ માં કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$L^2 = R^2 + x^2 - 2Rx \cos \theta$
$x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} - 2R \cos \theta \frac{dx}{dt} + 2Rx \sin \theta \frac{d\theta}{dt} = 0$
આપેલ છે કે $\frac{d\theta}{dt} = \omega$ અને $\frac{dx}{dt} = v$:
$v(x - R \cos \theta) = -Rx \omega \sin \theta$
$v = \frac{Rx \omega \sin \theta}{R \cos \theta - x}$
જ્યારે $\theta = 60^{\circ}$,$R = 1/\sqrt{3}$,$L = 1$. ભૂમિતિ પરથી,$x = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+3}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \,m$.
$v$ ના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{(1/\sqrt{3}) \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot \omega \cdot \sin 60^{\circ}}{(1/\sqrt{3}) \cdot \cos 60^{\circ} - (2/\sqrt{3})}$
$v = \frac{(2/3) \cdot \omega \cdot (\sqrt{3}/2)}{(1/2\sqrt{3}) - (2/\sqrt{3})} = \frac{\omega / \sqrt{3}}{-3 / 2\sqrt{3}} = -\frac{2}{3} \omega$.
ઝડપ એ મૂલ્ય છે,તેથી $|v| = \frac{2}{3} \omega$.

(B) વક્ર પથ પર ગતિ કરતા કણના વેગ $v$ ને ત્રિજ્યાવર્તી $(v_r = dr/dt)$ અને સ્પર્શકીય (અથવા ટ્રાન્સવર્સ,$v_{\theta} = r(d\theta/dt)$) વેગ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
પરિણામી વેગ $v$ અને ત્રિજ્યાવર્તી વેગ $v_r$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = v_{\theta} / v_r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{\theta}$ અને $v_r$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{r(d\theta/dt)}{dr/dt} = r \cdot \frac{d\theta}{dr} = \frac{r}{dr/d\theta}$
અહીં આપેલ છે કે $dr/d\theta = r$,તેથી:
$\tan \alpha = \frac{r}{r} = 1$
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(A) દડાની ગતિને તેના માર્ગને ખોલીને સમજી શકાય છે. અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિપથને એક સળંગ પરવલય તરીકે ગણી શકાય જાણે કે દડો જમીન પરથી ફેંકવામાં આવ્યો હોય. આ સમતુલ્ય પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો કુલ વિસ્તાર $R = 12 \,m$ છે. ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$ છે.
દડો છોડવાના બિંદુએ,$y = 1.4 \,m$ અને શરૂઆતથી આડું અંતર $x$ છે. તેથી,$1.4 = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{12}\right) \quad \dots(i)$
દીવાલ પર,$y = 3 \,m$ અને શરૂઆતથી આડું અંતર $6 + x$ છે. તેથી,$3 = (6 + x) \tan \theta \left(1 - \frac{6 + x}{12}\right) = (6 + x) \tan \theta \left(\frac{6 - x}{12}\right) \quad \dots(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.4}{3} = \frac{x(12 - x)}{(6 + x)(6 - x)} \Rightarrow \frac{7}{15} = \frac{12x - x^2}{36 - x^2}$
$7(36 - x^2) = 15(12x - x^2) \Rightarrow 252 - 7x^2 = 180x - 15x^2$
$8x^2 - 180x + 252 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 45x + 63 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x - 21)(2x - 3) = 0$. $x < 6$ હોવાથી,આપણને $x = 1.5 \,m$ મળે છે.

(A) કણનો પથ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{a^2} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dt} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a^2} v_x + \frac{y}{b^2} v_y = 0 \dots (i)$ થાય છે.
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{a^2} (v_x^2 + x a_x) + \frac{1}{b^2} (v_y^2 + y a_y) = 0 \dots (ii)$ મળે છે.
બિંદુ $(0, b)$ પર,$x = 0$ અને $y = b$ છે. આ બિંદુ પર $v_x = u$ આપેલ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{a^2} u + \frac{b}{b^2} v_y = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_y = 0$.
હવે,સમીકરણ $(ii)$ માં $x = 0, y = b, v_x = u, v_y = 0$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{a^2} (u^2 + 0 \cdot a_x) + \frac{1}{b^2} (0^2 + b \cdot a_y) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{u^2}{a^2} + \frac{b a_y}{b^2} = 0$ અથવા $\frac{u^2}{a^2} + \frac{a_y}{b} = 0$ થાય છે.
તેથી,$a_y = -\frac{b u^2}{a^2}$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષેપણ બિંદુ $A$ છે અને હૂપનું પ્રારંભિક સ્થાન $C$ છે. આડું અંતર $AB = 25 \, m$ છે અને ઊભી ઊંચાઈ $BC = 45 \, m$ છે.
અંતર $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25^2 + 45^2} = \sqrt{625 + 2025} = \sqrt{2650} \, m$.
સફરજનને $C$ તરફ $v = 24 \, m/s$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. સફરજનને હૂપના પ્રારંભિક સ્થાન $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{AC}{v} = \frac{\sqrt{2650}}{24} \, s$ છે.
આ સમય $t$ દરમિયાન,હૂપ $h = \frac{1}{2} g t^2$ જેટલા અંતરે નીચે પડે છે.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{\sqrt{2650}}{24}\right)^2 = 5 \times \frac{2650}{576} = \frac{13250}{576} \approx 23 \, m$.
જ્યારે સફરજન હૂપમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે જમીનથી હૂપની ઊંચાઈ $H = 45 - h = 45 - 23 = 22 \, m$ છે.

(D) ધારો કે બે કારના કોણીય વેગ $\omega_1$ અને $\omega_2$ છે. આપેલ છે કે $T_1 = 3 \, min$ અને $T_2 = 24 \, min$.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{rel} = \omega_1 + \omega_2 = \frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2} = 2\pi \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{24} \right) = 2\pi \left( \frac{8+1}{24} \right) = 2\pi \left( \frac{9}{24} \right) = \frac{3\pi}{4} \, rad/min$ છે.
$t = 0$ સમયે,કાર સૌથી દૂર છે,એટલે કે તેમનું કોણીય અંતર $\pi \, rad$ છે.
$t = 12 \, min$ સમયે,$S_1$ એ $12/3 = 4$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કર્યા છે (શરૂઆતના સ્થાને). $S_2$ એ $12/24 = 0.5$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કર્યા છે (શરૂઆતના સ્થાનથી વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુએ). તેથી,કાર $t = 12 \, min$ પર સૌથી નજીક છે.
$t = 24 \, min$ સમયે,$S_1$ એ $24/3 = 8$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કર્યા છે અને $S_2$ એ $24/24 = 1$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કર્યું છે. બંને કાર તેમના પ્રારંભિક સ્થાને હોવાથી,તેઓ ફરીથી સૌથી દૂર છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $v$ ઝડપ ધરાવતા પ્રથમ પથ માટે:
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{v} \Rightarrow v = \frac{2\pi R}{T}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$R' = 2R$ ત્રિજ્યા અને $v'$ ઝડપ ધરાવતા બીજા પથ માટે:
નવો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c' = 8a_c = \frac{v'^2}{2R}$.
સમીકરણમાં $a_c = \frac{v^2}{R}$ મૂકતા: $\frac{v'^2}{2R} = 8 \left( \frac{v^2}{R} \right) \Rightarrow v'^2 = 16v^2 \Rightarrow v' = 4v$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$T' = \frac{2\pi R'}{v'} = \frac{2\pi (2R)}{4v} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi R}{v} \right) = \frac{T}{2}$.

(C) જ્યારે દડાને સમક્ષિતિજ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $v_y = 0$ હોય છે. જેમ તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે,તેમ તેનો શિરોલંબ વેગ ઋણ (નીચેની તરફ) બને છે અને $v_y = -gt$ મુજબ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત અનુભવે છે. વેગ ત્વરિત રીતે ઋણ મૂલ્યમાંથી ધન મૂલ્ય (ઉપરની તરફ) માં બદલાય છે. રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e < 1$ હોવાથી,અથડામણ પછીના ઉપરના વેગનું મૂલ્ય અથડામણ પહેલાના નીચેના વેગના મૂલ્ય કરતા ઓછું હોય છે.
ઉછાળા પછી,દડો ધન વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે જે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે રેખીય રીતે ઘટે છે જ્યાં સુધી તે તેની ટોચ પર ન પહોંચે,અને પછી ફરીથી ઋણ બને છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી અને નીચેની તરફ કાર્ય કરતું હોવાથી,$v_y$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખનો ઢાળ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ અને ઋણ $(-g)$ રહે છે. આમ,આલેખના ભાગો ઋણ ઢાળવાળી સમાંતર સીધી રેખાઓ છે. વિકલ્પ $(c)$ આ લાક્ષણિકતાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ એ $r^2 = x^2 + y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $r$ એ $x$ સાથે એકધારી રીતે વધે તે માટે,આપણે $\frac{dr}{dx} > 0$ ની જરૂર છે,જે $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ ને સમાન છે કારણ કે $x$ સમય $t$ સાથે વધે છે.
આપેલ છે કે $x = v_0 \cos \alpha \cdot t$ અને $y = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$,તેથી:
$r^2 = (v_0 \cos \alpha \cdot t)^2 + (v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2)^2$
$r^2 = v_0^2 t^2 \cos^2 \alpha + v_0^2 t^2 \sin^2 \alpha - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$r^2 = v_0^2 t^2 - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d(r^2)}{dt} = 2 v_0^2 t - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t^2 + g^2 t^3$
$r$ વધે તે માટે,તમામ $t > 0$ માટે $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ હોવું જોઈએ. $t$ વડે ભાગતા:
$g^2 t^2 - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t + 2 v_0^2 > 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ હંમેશા ધન રહે છે જો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોય:
$D = (-3 v_0 \sin \alpha \cdot g)^2 - 4(g^2)(2 v_0^2) < 0$
$9 v_0^2 g^2 \sin^2 \alpha - 8 v_0^2 g^2 < 0$
$\sin^2 \alpha < \frac{8}{9} \implies \sin \alpha < \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ હોવાથી,આપણને $\cos^2 \alpha > 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
આમ,$\cos \alpha > \frac{1}{3}$. તેથી ક્રાંતિકોણ $\alpha_c = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. $O$ પરનો કણ $OP$ ત્રિજ્યાની દિશામાં $\vec{V}_1$ વેગ સાથે $P$ તરફ ગતિ કરે છે. કાપેલું અંતર $R$ છે,તેથી $t = \frac{R}{V_1}$.
$Q$ પરનો કણ $\vec{V}_2$ વેગ સાથે $P$ તરફ ગતિ કરે છે. $QP$ અંતર ત્રિકોણ $OQP$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. $OQ = OP = R$ અને $\angle QOP = \phi$ હોવાથી,ત્રિકોણ $OQP$ સમદ્વિબાજુ છે. લંબાઈ $QP = 2R \sin(\frac{\phi}{2})$.
બંને એક જ સમયે $t$ પર $P$ પર પહોંચતા હોવાથી,$t = \frac{QP}{V_2} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2}$.
સમયને સરખાવતા: $\frac{R}{V_1} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2} \implies \frac{V_2}{V_1} = 2 \sin(\frac{\phi}{2})$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\vec{V}_1$ અને $\vec{V}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. વેગ $\vec{V}_2$ એ જીવા $QP$ સાથે ખૂણો બનાવે છે. વેગ સદિશો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણને જણાય છે કે $QP$ અને $OP$ ની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi - \phi}{2} = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$\vec{V}_1$ અને $\vec{V}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત છે જેથી $\theta = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$.
આમ,$\frac{\phi}{2} = 90^{\circ} - \theta$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{\phi}{2}) = \tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.

(D) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
$1$. વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
$2$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે તેને વેગને લંબ બનાવે છે $(\vec{v} \perp \vec{a}_c)$.
$3$. સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}_c$ છે,જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી,પરિણામી બળ એ કેન્દ્રગામી બળ જેટલું જ હોય છે,જે તેને વેગને લંબ બનાવે છે $(\vec{v} \perp \vec{F}_{net})$.
$4$. કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ પરિભ્રમણની ધરી પર હોય છે,જે વર્તુળાકાર ગતિના સમતલને લંબ હોય છે. વેગ સદિશ $\vec{v}$ ગતિના સમતલમાં હોવાથી,$\vec{v}$ એ $\vec{\omega}$ ને પણ લંબ હોય છે $(\vec{v} \perp \vec{\omega})$.
તેથી,વેગ આપેલા તમામ વિકલ્પોને લંબ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$1$. પદાર્થને વર્તુળાકાર ગતિ કરાવવા માટે કેન્દ્રગામી બળની જરૂર હોય છે,જેની દિશા સતત બદલાતી રહેવી જોઈએ. અહીં બળની દિશા નિશ્ચિત હોવાથી તે વર્તુળાકાર ગતિ કરાવી શકે નહીં.
$2$. જો બળ પ્રારંભિક વેગ સાથે અમુક ખૂણે લાગતું હોય,તો પથ પરવલયાકાર હોઈ શકે છે (જેમ કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચળ મૂલ્ય અને નિશ્ચિત દિશામાં લાગે છે).
$3$. જો બળ વેગની દિશામાં અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોય,તો પદાર્થનો પથ સુરેખ હોય છે.

(D) સરેરાશ બળ $F_{avg} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m \Delta v}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પર ચાપ $AB$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \text{ રેડિયન}$ છે.
વેગના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = 2v \sin(\theta/2) = 2v \sin(60^\circ) = 2v \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = v\sqrt{3}$ છે.
લાગતો સમય $\Delta t = \frac{\text{ચાપની લંબાઈ}}{\text{ઝડપ}} = \frac{r\theta}{v} = \frac{r(2\pi/3)}{v} = \frac{2\pi r}{3v}$ છે.
તેથી, સરેરાશ બળ $F_{avg} = \frac{m(v\sqrt{3})}{2\pi r / 3v} = \frac{3\sqrt{3} m v^2}{2\pi r}$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, વિકલ્પ $(d)$ ને સાચો ગણવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_i = 3 \hat{i} - 8 \hat{j}$ છે અને અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_f = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{s} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (2 - 3) \hat{i} + (4 - (-8)) \hat{j} = -1 \hat{i} + 12 \hat{j}$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 4 \, s$ અને $\vec{u} = 0$:
$-1 \hat{i} + 12 \hat{j} = \frac{1}{2} \vec{a} (4)^2$.
$-1 \hat{i} + 12 \hat{j} = 8 \vec{a}$.
તેથી,$\vec{a} = \frac{-1 \hat{i} + 12 \hat{j}}{8} = -\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{12}{8} \hat{j} = -\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j}$.
આમ,પ્રવેગ $-\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j}$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ એ એવી વસ્તુ છે જેને શરૂઆતનો વેગ આપવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે,જેના પર અન્ય કોઈ બળ (જેમ કે હવાના અવરોધ અથવા એન્જિનના ધક્કા) કાર્ય કરતા નથી.
$1$. ઉડાન ભરતું વિમાન એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ નથી કારણ કે તે તેના એન્જિન દ્વારા સંચાલિત થાય છે અને તેની પાંખો દ્વારા લિફ્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. રાઈફલમાંથી છોડવામાં આવેલી ગોળી,આડી દિશામાં ફેંકાયેલો દડો અને લાત મારવામાં આવેલો ફૂટબોલ એ બધા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ઉદાહરણો છે કારણ કે,એકવાર તે હવામાં હોય,ત્યારે તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે (હવાના અવરોધને અવગણતા).

(B) વ્યક્તિ $P$ ની $Q$ તરફની ગતિને ધ્યાનમાં લો. $P$ નો વેગ $v$ છે જે $Q$ તરફ નિર્દેશિત છે. $Q$ નો વેગ $v$ છે જે $R$ તરફ નિર્દેશિત છે.
ચોરસના ખૂણાઓ પર હોવાથી,$PQ$ અને $QR$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી $P$ ના વેગ અને $Q$ ના વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$PQ$ રેખા પર $Q$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v - v \cos(90^{\circ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$,તેથી $v_{rel} = v - 0 = v$.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે.
તેથી,તેઓને મળવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ વેગ}} = \frac{d}{v}$ થશે.

(B) આપેલ સ્થાનના યામ:
$x = 3t$
$y = 4t - 2t^2$
વેગના ઘટકો શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન કરીએ છીએ:
$V_x = \frac{dx}{dt} = 3 \text{ m/s}$
$V_y = \frac{dy}{dt} = 4 - 4t \text{ m/s}$
પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર,$t = 0$ લેતા:
$V_x = 3 \text{ m/s}$
$V_y = 4 - 4(0) = 4 \text{ m/s}$
ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ આ મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{V_y}{V_x} = \frac{4}{3}$
$\theta = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) = 53^{\circ}$
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - \theta = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}$ થાય.

(C) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
કારણ કે બંને કાર એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે સમાન સમય $T$ લે છે,તેથી $T_1 = T_2 = T$ થાય.
તેથી,તેમની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T_1}{2 \pi / T_2} = \frac{T_2}{T_1} = 1$ મળે.
રેખીય ઝડપ $v$ એ કોણીય ઝડપ સાથે $v = R \omega$ સંબંધ ધરાવે છે.
કારણ કે $\omega_1 = \omega_2$ છે,તેથી તેમની રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R_1 \omega_1}{R_2 \omega_2} = \frac{R_1}{R_2}$ થાય.
આમ,કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $1$ અને રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ છે.

(A) ધારો કે કણો $A, B, C$ અને $D$ ના વેગ અનુક્રમે $\vec{v}_A, \vec{v}_B, \vec{v}_C$ અને $\vec{v}_D$ છે. આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\vec{v}_A = -v\hat{j}$
$\vec{v}_B = v\hat{i}$
$\vec{v}_C = v\hat{j}$
$\vec{v}_D = -v\hat{i}$
હવે,આપણે સાપેક્ષ વેગની ગણતરી કરીએ:
$1.$ $B$ ની સાપેક્ષે $A$ નો વેગ: $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = -v\hat{j} - v\hat{i}$. આ સદિશ ત્રીજા ચરણમાં (નીચે અને ડાબી તરફ) નિર્દેશ કરે છે.
$2.$ $C$ ની સાપેક્ષે $A$ નો વેગ: $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_A - \vec{v}_C = -v\hat{j} - v\hat{j} = -2v\hat{j}$. આ સદિશ શિરોલંબ નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
$3.$ $D$ ની સાપેક્ષે $A$ નો વેગ: $\vec{v}_{AD} = \vec{v}_A - \vec{v}_D = -v\hat{j} - (-v\hat{i}) = -v\hat{j} + v\hat{i}$. આ સદિશ ચોથા ચરણમાં (નીચે અને જમણી તરફ) નિર્દેશ કરે છે.
આ દિશાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં ત્રણ તીર નીચે-ડાબે,નીચે અને નીચે-જમણે દિશામાં દર્શાવેલ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઝડપ $u$ થી ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,ઉડ્ડયન સમય સીધો $\sin \theta$ પર આધાર રાખે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$\theta_A = 40^{\circ}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$\theta_B = 50^{\circ}$.
$40^{\circ} < 50^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 40^{\circ} < \sin 50^{\circ}$ થાય.
તેથી,$T_A < T_B$.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ $A$ નો ઉડ્ડયન સમય ઓછો હશે અને તે પદાર્થ $B$ કરતા વહેલો નીચે પડશે.

(D) ગતિપથની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2}{a_{\perp}}$ છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $a_{\perp}$ એ વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુ $(A)$ પર:
ઝડપ $u$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. વેગ સદિશ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ છે. તેથી,વેગને લંબ $g$ નો ઘટક $g \cos \theta$ છે.
તેથી,$r_A = \frac{u^2}{g \cos \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ પર:
ઝડપ $v_H = u \cos \theta$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે આ બિંદુએ સમક્ષિતિજ વેગને લંબ છે.
તેથી,$r_H = \frac{(u \cos \theta)^2}{g} = \frac{u^2 \cos ^2 \theta}{g}$.
પ્રક્ષેપણ બિંદુએ વક્રતા ત્રિજ્યા અને મહત્તમ ઊંચાઈએ વક્રતા ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_A}{r_H} = \frac{\frac{u^2}{g \cos \theta}}{\frac{u^2 \cos ^2 \theta}{g}} = \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^2 \theta} = \frac{1}{\cos ^3 \theta}$.

(C) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણનો કોણીય વેગ $\omega$ એ $v_{\perp} = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને લંબ વેગનો ઘટક છે.
ભૂમિતિ પરથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું મૂલ્ય $r = \sqrt{a^2+b^2}$ છે.
સ્થાન સદિશ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એવો છે કે $\sin \theta = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
સ્થાન સદિશને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v \sin \theta = r \omega$ મળે છે.
$v \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) = \sqrt{a^2+b^2} \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \frac{v b}{a^2+b^2}$ મળે છે.

(D) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે,$\vec{v} \cdot \vec{r} = 0$).
ધારો કે $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$.
તેથી,$(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $v_x + v_y = 0$,અથવા $v_x = -v_y$.
આ શરત $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{i})$ બંને સદિશો દ્વારા સંતોષાય છે.
તેથી,કણ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે તેના આધારે વેગ બંનેમાંથી કોઈ પણ દિશામાં હોઈ શકે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 6 \hat{i} \, m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = 6(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 6(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = 3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j} \, m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j}) - 6 \hat{i} = -3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j} \, m/s$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \, m/s$.
સમયગાળો $\Delta t = 6 \, s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{av} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{6}{6} = 1 \, m/s^2$.

(C) વિધાન $A$ સાચું છે: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ $\vec{a}$ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે. વેગ $\vec{v}$ પથને સ્પર્શક હોય છે. કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ વર્તુળના સમતલને લંબ હોય છે. આમ,$\vec{\omega}$,$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ એકબીજાને લંબ છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે: અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ $\vec{a}$ પાસે કેન્દ્રગામી ઘટક $\vec{a}_c$ અને સ્પર્શકીય ઘટક $\vec{a}_t$ બંને હોય છે. પરિણામી પ્રવેગ $\vec{a} = \vec{a}_c + \vec{a}_t$ એ વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોતો નથી કારણ કે $\vec{a}_t$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોય છે. તેથી,તેઓ એકબીજાને લંબ હોતા નથી.

(D) વેગમાન સદિશ $\vec{p} = m\vec{v}$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોય છે.
વર્તુળાકાર ગતિનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે વેગ સદિશ $\vec{v}$ (અથવા $\vec{p}$) અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો તપાસવો પડે.
ડોટ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{p} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (2 \times 6) + (3 \times 4) = 12 + 12 = 24 \ kg \cdot m^2/s^3$.
અહીં ડોટ ગુણાકાર ધન હોવાથી,$\vec{a}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ છે,જેનો અર્થ છે કે કણની ઝડપ વધી રહી છે (સ્પર્શક પ્રવેગ).
જોકે,ગતિનો પ્રકાર (નિયમિત કે અનિયમિત) એ સમયના ગાળા દરમિયાન સ્પર્શક પ્રવેગ શૂન્ય છે કે નહીં તેના પર આધાર રાખે છે. માત્ર તાત્કાલિક મૂલ્યો આપેલા હોવાથી,આપણે ગતિના લાંબા ગાળાના સ્વભાવ વિશે નિષ્કર્ષ કાઢી શકતા નથી.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા ભાગે,$h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{4g}$.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને,આ ઊંચાઈએ વેગનો શિરોલંબ ઘટક:
$v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2g \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{4g} \right) = u^2 \sin^2 \theta - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$.
તેથી,$v_y = \frac{u \sin \theta}{\sqrt{2}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા અપાતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (mg \hat{j}) \cdot (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = -mg v_y$ (કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ લાગે છે).
તેથી,$P = -\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$ (ઉપર જતી વખતે).
નીચે આવતી વખતે,શિરોલંબ વેગ નીચેની તરફ હોય છે,તેથી $P = +\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$.
ચૂકવણી $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ હોવાથી,વિકલ્પ $(c)$ એ $-\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$ છે,જે ઉપર જતી વખતે પાવર દર્શાવે છે. આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને પાવરના મૂલ્યો અથવા દિશાકીય કિસ્સાઓ દર્શાવે છે.

(D) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 10 \ m$ છે. એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = 4 \ s$ છે.
પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ ખૂણો $\theta = \omega t = (\frac{\pi}{2}) \times 3 = \frac{3\pi}{2} \ rad$ છે.
આ પ્રારંભિક બિંદુથી $270^{\circ}$ ના સ્થાનને અનુરૂપ છે. જો પ્રારંભિક બિંદુ $(r, 0)$ હોય,તો $3 \ s$ પછીનું સ્થાન $(0, -r)$ થશે.
સ્થાનાંતર સદિશ એ પ્રારંભિક બિંદુ $(r, 0)$ અને અંતિમ બિંદુ $(0, -r)$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે.
સ્થાનાંતર $d = \sqrt{(r - 0)^2 + (0 - (-r))^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$.
$r = 10 \ m$ મૂકતા,આપણને $d = 10\sqrt{2} \ m$ મળે છે.

(C) સમાન પ્રારંભિક ઝડપ સાથે બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોની અવધિ સમાન હોય,તો તેમના પ્રક્ષેપણ ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $\theta_1 = 60^{\circ}$,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈઓનો સરવાળો $H_1 + H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} + \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 60^{\circ} + \sin^2 30^{\circ})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $H_1 + H_2 = \frac{40^2}{2 \times 10} ((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2) = \frac{1600}{20} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 80 \times 1 = 80 \ m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T$ એ જમીન પર પાછા આવવા માટે લીધેલો કુલ સમય છે. જો કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે અલગ-અલગ સમયે $t_1$ અને $t_2$ પર સમાન ઊંચાઈ $h$ પર હોય,તો કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 3 \, s$ અને $t_2 = 5 \, s$,તેથી કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 3 + 5 = 8 \, s$ થાય.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{10}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $8 = \frac{2 u (0.5)}{10}$.
$8 = \frac{u}{10}$.
આમ,$u = 80 \, m \, s^{-1}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 5 \hat{i} \text{ m/s}$,પ્રવેગ $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}^2$,અને સ્થાનાંતર $x = 84 \text{ m}$.
પ્રથમ,$x$-અક્ષ પરની ગતિ ધ્યાનમાં લો: $u_x = 5 \text{ m/s}$,$a_x = 3 \text{ m/s}^2$,$x = 84 \text{ m}$.
સમીકરણ $v_x^2 - u_x^2 = 2 a_x x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_x^2 - 5^2 = 2(3)(84)$
$v_x^2 - 25 = 504$
$v_x^2 = 529 \implies v_x = 23 \text{ m/s}$.
હવે,$v_x = u_x + a_x t$ નો ઉપયોગ કરીને સમય $t$ શોધો:
$23 = 5 + 3t \implies 3t = 18 \implies t = 6 \text{ s}$.
હવે,$y$-અક્ષ પરની ગતિ ધ્યાનમાં લો: $u_y = 0$,$a_y = 2 \text{ m/s}^2$,$t = 6 \text{ s}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 2(6) = 12 \text{ m/s}$.
ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે:
$v = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \text{ m/s}$.
આને $\sqrt{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 673$ મળે છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગ $v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ છે અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = m v_x H = m \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{u^2}{4g} \right) = \frac{m u^3}{4\sqrt{2} g}$ થાય.
$\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$L = \frac{m u^3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} g} = \frac{\sqrt{2} m u^3}{8g}$.
આને $\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $X = 8$ મળે છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ઝડપ $v = \frac{2 \pi R}{T}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 4R$ છે,આપણે સૂત્ર $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ઊંચાઈના સૂત્રમાં $v = \frac{2 \pi R}{T}$ મૂકતા:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$1 = \frac{\pi^2 R \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$\sin^2 \theta = \frac{2g T^2}{\pi^2 R}$
$\theta = \sin^{-1} \left[ \frac{2g T^2}{\pi^2 R} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) સમયના વિધેય તરીકે સ્થાનના યામ આપેલા છે:
$x = 2 + 4t$
$y = 3t + 8t^2$
પ્રથમ,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગના ઘટકો મેળવો:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 4$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3 + 16t$
ત્યારબાદ,વેગના ઘટકોનું વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો મેળવો:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 16$
પ્રવેગના ઘટકો અચળ હોવાથી ($a_x = 0$ અને $a_y = 16$),કણની ગતિ નિયમિત પ્રવેગી છે.
પથ નક્કી કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણમાંથી $t$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખો:
$t = \frac{x - 2}{4}$
આ કિંમતને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 3\left(\frac{x - 2}{4}\right) + 8\left(\frac{x - 2}{4}\right)^2$
આ સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ ના સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે પરવલયાકાર પથ દર્શાવે છે.
તેથી,કણની ગતિ પરવલયાકાર પથ પર નિયમિત પ્રવેગી છે.

(D) બળ $\vec{F}(t)$ એ રેખીય વેગમાન $\vec{p}(t)$ ના ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે $\vec{p}(t) = A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}(t) = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} [A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}] = -Ak \sin(kt) \hat{i} - Ak \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}(t)$ અને $\vec{p}(t)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે તેમનો ડોટ ગુણાકાર કરીએ:
$\vec{F}(t) \cdot \vec{p}(t) = (-Ak \sin(kt))(A \cos(kt)) + (-Ak \cos(kt))(-A \sin(kt))$
$= -A^2 k \sin(kt) \cos(kt) + A^2 k \cos(kt) \sin(kt) = 0$.
કારણ કે ડોટ ગુણાકાર $\vec{F}(t) \cdot \vec{p}(t) = |\vec{F}(t)| |\vec{p}(t)| \cos \theta = 0$ છે અને મૂલ્યો શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ વેગ $\vec{v} = \alpha y \hat{i} + 2\alpha x \hat{j}$ છે.
વેગના ઘટકો $v_x = \alpha y$ અને $v_y = 2\alpha x$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \alpha \frac{dy}{dt} = \alpha v_y = \alpha(2\alpha x) = 2\alpha^2 x$ છે.
તે જ રીતે,$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2\alpha \frac{dx}{dt} = 2\alpha v_x = 2\alpha(\alpha y) = 2\alpha^2 y$ છે.
આમ,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = 2\alpha^2 x \hat{i} + 2\alpha^2 y \hat{j} = 2\alpha^2(x \hat{i} + y \hat{j})$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{F} = m\vec{a} = 2m\alpha^2(x \hat{i} + y \hat{j})$ મળે છે.

(A) ધારો કે દડો $t = 0$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે. દડાની ઉર્ધ્વ ગતિ ટ્રેનના પ્રવેગથી સ્વતંત્ર છે.
ઉર્ધ્વ ગતિ માટે,જ્યારે દડો પ્રારંભિક ઊંચાઈ પર પાછો આવે ત્યારે સ્થાનાંતર $s_y = 0$ થાય છે.
$s_y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 10 \sin 60^{\circ} = 5\sqrt{3} \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^2$:
$0 = 5\sqrt{3} t - 5 t^2 \implies t = \sqrt{3} \ s$.
ટ્રેનના ફ્રેમમાં,દડાનો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $-a$ છે (ટ્રેનના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં).
છોકરાની સાપેક્ષમાં દડાનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $s_x = u_x t - \frac{1}{2} a t^2$ છે,જ્યાં $u_x = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \ m/s$.
આપેલ છે કે $s_x = 1.15 \ m$ અને $t = \sqrt{3} \ s$:
$1.15 = 5(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} a (\sqrt{3})^2$
$1.15 = 8.66 - 1.5 a$
$1.5 a = 7.51$
$a = 5 \ m/s^2$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = 120 \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $H = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g} = 120 \ m$, એટલે કે $u^2 = 480g$.
અથડામણ પહેલાંની ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
અથડામણ પછી, ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}K_i = \frac{1}{4}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2$ છે, જ્યાં $v$ એ અથડામણ પછીનો વેગ છે.
આમ, $v^2 = \frac{u^2}{2} = \frac{480g}{2} = 240g$.
નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ એ $h = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v^2 = 240g$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા, આપણને $h = \frac{240g \times (1/2)^2}{2g} = \frac{240g \times (1/4)}{2g} = \frac{60}{2} = 30 \ m$ મળે છે.

(C) $u$ ઝડપ અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત માટે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
પ્રથમ ઉડ્ડયન માટે સરેરાશ વેગ $V_1$ એ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય છે: $V_1 = \frac{R}{T} = \frac{u_0^2 \sin 2\theta / g}{2u_0 \sin \theta / g} = u_0 \cos \theta$.
સમગ્ર ગતિ માટે,કુલ સ્થાનાંતર $S_{total}$ એ તમામ અવધિઓનો સરવાળો છે: $S_{total} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots = R_1 (1 + \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^4} + \dots) = \frac{R_1}{1 - 1/\alpha^2} = \frac{R_1 \alpha^2}{\alpha^2 - 1}$.
કુલ સમય $T_{total}$ એ તમામ ઉડ્ડયન સમયનો સરવાળો છે: $T_{total} = T_1 + T_2 + T_3 + \dots = T_1 (1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \dots) = \frac{T_1}{1 - 1/\alpha} = \frac{T_1 \alpha}{\alpha - 1}$.
સમગ્ર ગતિ માટે સરેરાશ વેગ $V_{avg} = \frac{S_{total}}{T_{total}} = \frac{R_1 \alpha^2 / (\alpha^2 - 1)}{T_1 \alpha / (\alpha - 1)} = \frac{R_1}{T_1} \cdot \frac{\alpha^2}{\alpha^2 - 1} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha} = V_1 \cdot \frac{\alpha}{\alpha + 1}$.
આપેલ છે કે $V_{avg} = 0.8 V_1$,તેથી $\frac{\alpha}{\alpha + 1} = 0.8$.
$\alpha = 0.8 \alpha + 0.8 \implies 0.2 \alpha = 0.8 \implies \alpha = 4$.

(A) ધારો કે બંને તકતીઓનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તકતીની કિનારી પરના કોઈપણ બિંદુનો રેખીય વેગ $v = R\omega$ છે.
સમય $t=0$ પર,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એકબીજાની સામે સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં છે.
સમય $t$ પછી,બિંદુઓ $\theta = \omega t$ ખૂણે ફરે છે.
બિંદુ $P$ નો વેગ સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,અને બિંદુ $Q$ નો વેગ સદિશ પણ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $v_x(P) = -v \sin \theta$ અને $v_x(Q) = v \sin \theta$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ છે.
શિરોલંબ ઘટકો $v_y(P) = -v \cos \theta$ અને $v_y(Q) = -v \cos \theta$ છે.
શિરોલંબ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ છે.
આમ,સાપેક્ષ ઝડપ $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ છે.
$t=0$ પર,$v_r = 0$ છે. જેમ $t$ વધે છે,$v_r$ વધે છે,$\omega t = \pi/2$ પર મહત્તમ બને છે,અને $\omega t = \pi$ પર ફરીથી $0$ થાય છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) $(I)$ બંને કણો $R=1 \ m$ ની ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega=1 \ rad/s$ સાથે ગતિ કરે છે. તેમના વેગ $\vec{v}_A = \omega R(-\sin\theta_A \hat{i} + \cos\theta_A \hat{j})$ અને $\vec{v}_B = \omega R(-\sin\theta_B \hat{i} + \cos\theta_B \hat{j})$ છે. $\theta_B = \theta_A + \pi/2$ હોવાથી,$\vec{v}_B = \omega R(-\cos\theta_A \hat{i} - \sin\theta_A \hat{j})$ થાય. સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ નું મૂલ્ય $\sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_A v_B \cos(90^{\circ})} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \ m/s$ મળે. તેથી,$I \rightarrow S$.
$(II)$ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,$\vec{v}_A = (v \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (v \sin 45^{\circ} - gt) \hat{j}$ અને $\vec{v}_B = (v \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (v \sin 45^{\circ} - g(t-0.1)) \hat{j}$. સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 1 \hat{j}$ મળે છે. ગણતરી મુજબ $II \rightarrow T$ મળે છે.
$(III)$ $v_A = \frac{dx_A}{dt} = \cos t$ અને $v_B = \frac{dx_B}{dt} = \cos(t + \pi/2) = -\sin t$. $t = \pi/3$ પર,$v_A = 1/2$ અને $v_B = -\sqrt{3}/2$. સાપેક્ષ વેગ $|v_B - v_A| = |-\sqrt{3}/2 - 1/2| = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$. તેથી,$III \rightarrow P$.
$(IV)$ $\vec{v}_A = -\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j}$ અને $\vec{v}_B = 3 \hat{k}$. સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = -\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 3 \hat{k}$. મૂલ્ય $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$. તેથી,$IV \rightarrow R$.