Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: દળ $m = 100 \ \text{g} = 0.1 \ \text{kg}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ \text{m/s}$,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20)^2 = 0.05 \times 400 = 20 \ \text{J}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ બાકી રહે છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m (u \cos 60^{\circ})^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20 \times 0.5)^2 = 0.05 \times (10)^2 = 0.05 \times 100 = 5 \ \text{J}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 20 \ \text{J} - 5 \ \text{J} = 15 \ \text{J}$.

(D) ખેલાડી બિંદુ $A$ થી શરૂઆત કરે છે,એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરીને ફરી $A$ પર આવે છે,અને ત્યારબાદ અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ પરથી બિંદુ $B$ સુધી જાય છે.
અંતર એ કાપેલા કુલ માર્ગની લંબાઈ છે. એક પૂર્ણ વર્તુળ $2 \pi r$ છે અને $A$ થી $B$ સુધીનો અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ $\pi r$ છે. તેથી,કુલ અંતર $= 2 \pi r + \pi r = 3 \pi r$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક સ્થાન $A$ અને અંતિમ સ્થાન $B$ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું સીધું અંતર છે. $A$ અને $B$ વર્તુળ પરના વ્યાસાંત બિંદુઓ હોવાથી,સ્થાનાંતર એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય,જે $2 r$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $h_m$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર $h_m = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સમક્ષિતિજ અક્ષથી માપવામાં આવેલ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\phi$ શિરોલંબ અક્ષથી માપવામાં આવે છે,તેથી સમક્ષિતિજ અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \phi$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h_m = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \phi)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \phi}{2g}$.
જેમ જેમ $\phi$ એ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \phi$ એ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. તેથી,જેમ $\phi$ એ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી જાય છે,તેમ $h_m$ એ $\frac{u^2}{2g}$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R = 3H$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $\sin \theta = \frac{4}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{3}{5}$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 (2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5})}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.
આને $\frac{n u^2}{25 g}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 24$ મળે છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_1 = 45^{\circ} + \alpha$ અને $\theta_2 = 45^{\circ} - \alpha$ છે.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T_1$ અને $T_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} - \alpha)}$.
ત્રિકોણમિતીય વિસ્તરણ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 45^{\circ} \cos \alpha + \cos 45^{\circ} \sin \alpha}{\sin 45^{\circ} \cos \alpha - \cos 45^{\circ} \sin \alpha}$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.
અંશ અને છેદને $\cos \alpha$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$.

(D) કણો અથડાય તે માટે,તેમના વેગના શિરોલંબ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ અને આપેલ સમયમાં તેમનું આડું સાપેક્ષ સ્થાનાંતર કપાવું જોઈએ.
$(a)$ શિરોલંબ ગતિ:
કણ $A$ માટે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $V_{Ay} = V_A \sin \theta = 20 \sin \theta$ છે.
કણ $B$ માટે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $V_{By} = 10 \ ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ) છે.
તેઓ અથડાય છે,તેથી $t = 0.5 \ s$ સમયે તેમની શિરોલંબ સ્થિતિ સમાન હોવી જોઈએ. ધારો કે તેઓ સમાન આડા સ્તરથી શરૂઆત કરે છે,તો તેઓ સમાન ઊંચાઈએ મળે તે માટે $V_{Ay} = V_{By}$ જરૂરી છે.
$20 \sin \theta = 10$
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$.
$(b)$ આડી ગતિ:
કણ $A$ માટે વેગનો આડો ઘટક $V_{Ax} = V_A \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ ms^{-1}$ છે.
કણ $B$ પાસે કોઈ આડો વેગ ઘટક નથી $(V_{Bx} = 0)$.
અથડામણ માટે,કણ $A$ એ $t = 0.5 \ s$ સમયમાં $x$ જેટલું આડું અંતર કાપવું જોઈએ.
$x = V_{Ax} \times t = (10\sqrt{3}) \times 0.5 = 5\sqrt{3} \ m$.

(D) $n$ બાજુઓ અને $a$ લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,જ્યાં દરેક વ્યક્તિ $v$ ઝડપથી બીજી વ્યક્તિ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે બે નજીકની વ્યક્તિઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v - v \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બહુકોણનો બહિષ્કોણ છે.
$n$ બાજુઓવાળા નિયમિત બહુકોણ માટે,બહિષ્કોણ $\theta = \frac{2 \pi}{n}$ છે.
મળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{a}{v_{rel}} = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{2 \pi}{n})}$ છે.
અહીં $n = 12$ આપેલ છે,તેથી:
$t = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{2 \pi}{12})} = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{\pi}{6})}$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$t = \frac{a}{v(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{a}{v(\frac{2 - \sqrt{3}}{2})} = \frac{2 a}{v(2 - \sqrt{3})}$.

(A) $P$ બિંદુ પર,વેગના ઘટકો $v_x = v \cos 45^{\circ}$ અને $v_y = v \sin 45^{\circ}$ છે. વેગમાન $\vec{P}_i = m(v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j})$ છે.
$Q$ બિંદુ પર,જે $P$ ની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે,સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = v \cos 45^{\circ}$ રહે છે અને શિરોલંબ વેગ $v_y' = -v \sin 45^{\circ}$ થાય છે. વેગમાન $\vec{P}_f = m(v \cos 45^{\circ} \hat{i} - v \sin 45^{\circ} \hat{j})$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i = -2mv \sin 45^{\circ} \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 2mv \sin 45^{\circ} = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} mv$ થાય છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વેગ સદિશને લંબ હોય છે,તેથી તેના દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. જો કે,વિધાન કહે છે કે 'વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોતું નથી'. આ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ એ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત પરિણામી બળનો ઘટક છે,જે હંમેશા તાત્કાલિક સ્થાનાંતરને લંબ હોય છે. આમ,કોઈપણ વર્તુળાકાર ગતિમાં કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
કારણ જણાવે છે કે જો ઝડપ બદલાય,તો પરિણામી બળ કેન્દ્ર તરફ હોતું નથી. આ સાચું છે કારણ કે,અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,સ્પર્શક પ્રવેગનો ઘટક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિણામી બળમાં ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) અને સ્પર્શકીય બંને ઘટકો હોય છે. તેથી,પરિણામી બળ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોતું નથી. વિધાન ખોટું હોવાથી અને કારણ સાચું હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $d = 30\ m$ એ કેમેરાથી ટ્રેકનું લંબ અંતર છે.
ધારો કે આપેલ ક્ષણે કેમેરાથી કારનું અંતર $r$ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$\cos 30^{\circ} = \frac{d}{r}$,તેથી $r = \frac{d}{\cos 30^{\circ}} = \frac{30}{\sqrt{3}/2} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\ m$.
દ્રષ્ટિરેખા (કેમેરા અને કારને જોડતી રેખા) ને લંબ કારના વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \cos 30^{\circ}$ છે.
$v_{\perp} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ m/s$.
કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{v_{\perp}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega = \frac{20\sqrt{3}}{20\sqrt{3}} = 1\ rad/s$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં,માત્ર સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ $F_x = -c v_x$ લાગે છે.
તેથી,$m \frac{dv_x}{dt} = -c v_x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{c}{m} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t$ અને $v_x = v_{0x}$ થી $v_x$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\ln \left( \frac{v_x}{v_{0x}} \right) = -\frac{c}{m} t$ મળે છે.
તેથી,$v_x = v_{0x} e^{-(c/m)t}$.
અહીં $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$ અને $c = 0.1 \ kg/s$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $c/m = 0.1 / 0.2 = 0.5 \ s^{-1}$ થાય.
તેથી,$v_x = v_{0x} e^{-0.5t}$.
કારણ કે $v_x = \frac{dx}{dt}$,તેથી $x = \int_0^t v_{0x} e^{-0.5t} dt = v_{0x} \left[ \frac{e^{-0.5t}}{-0.5} \right]_0^t = 2 v_{0x} (1 - e^{-0.5t})$.
અહીં $v_0 = 270 \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $v_{0x} = v_0 \cos 60^{\circ} = 270 \times 0.5 = 135 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ સમયે,$x = 2 \times 135 \times (1 - e^{-0.5 \times 2}) = 270 \times (1 - e^{-1}) = 270 \times (1 - 1/2.7) = 270 \times (1.7 / 2.7) = 100 \times 1.7 = 170 \ m$.

(D) કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_i = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v = \omega r = 2 \pi f r$ હોવાથી,$E_i = \frac{1}{2} m (2 \pi f_1 r_1)^2 = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ મળે છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી $(r_2 = 2 r_1)$ અને આવૃત્તિ બમણી $(f_2 = 2 f_1)$ કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ ગતિઊર્જા $E_f$ નીચે મુજબ થશે:
$E_f = 2 \pi^2 m (r_2)^2 (f_2)^2 = 2 \pi^2 m (2 r_1)^2 (2 f_1)^2$.
$E_f = 2 \pi^2 m (4 r_1^2) (4 f_1^2) = 32 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$.
$E_i = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ હોવાથી,આપણે $E_f = 16 E_i$ લખી શકીએ.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_f - E_i = 16 E_i - E_i = 15 E_i$ થાય છે.

(A) $T$ આવર્તકાળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_c = \omega^2 r$,જ્યાં $\omega = 2\pi / T$ એ કોણીય વેગ છે.
બંને પદાર્થો માટે આવર્તકાળ $T$ સમાન હોવાથી,તેમનો કોણીય વેગ $\omega$ પણ સમાન રહેશે.
$10 \ kg$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ પદાર્થ માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = \omega^2 R$ છે.
$5 \ kg$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા પદાર્થ માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = \omega^2 r$ છે.
તેમના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_1 / a_2 = (\omega^2 R) / (\omega^2 r) = R / r$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$
ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2}$
$v = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2}$
$v = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$
$v = 2t \sqrt{a^2 + b^2}$

(D) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}) = 3\alpha t^2 \hat{i} + 3\beta t^2 \hat{j}$.
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = |\vec{v}| = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$.
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$.
$v = \sqrt{9 t^4 (\alpha^2 + \beta^2)}$.
$v = 3 t^2 \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.

(B) સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જે શિરોલંબ ફેંકવામાં આવે છે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{V^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{2g}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{V^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{V^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{V^2}{8g}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{V^2/2g}{V^2/8g} = \frac{8}{2} = 4:1$ થાય છે.

(C) શરૂઆતનું કેન્દ્રગામી બળ $F_1 = \frac{mv^2}{r}$ છે.
$20 \%$ વધારા પછી,નવા મૂલ્યો $m' = 1.2m$,$v' = 1.2v$ અને $r' = 1.2r$ થાય છે.
જરૂરી નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ છે:
$F_2 = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.2m)(1.2v)^2}{1.2r}$
$F_2 = \frac{1.2m \times 1.44v^2}{1.2r} = 1.44 \frac{mv^2}{r} = 1.44 F_1$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_2 - F_1 = 1.44 F_1 - F_1 = 0.44 F_1$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરફાર $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ થાય.
આમ,બળમાં $44 \%$ નો વધારો કરવો જરૂરી છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતી વસ્તુનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ સૂત્ર $a_c = \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે.
આ કિંમતને કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = (2 \pi n)^2 R$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$
આપણને પ્રતિ એકમ ત્રિજ્યા દીઠ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,જે $\frac{a_c}{R}$ છે.
$\frac{a_c}{R} = 4 \pi^2 n^2$
આ પદની $(n)^x$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પદ $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) ધારો કે કણનું દળ '$m$' છે. ઝડપ '$v$' અચળ હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ વેગમાનનું મૂલ્ય $p = mv$ થાય.
જ્યારે કણ એક બિંદુથી તેના વ્યાસાંતે આવેલા બીજા બિંદુ સુધી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના વેગ સદિશની દિશા ઉલટાઈ જાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m\vec{v}$ છે અને અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = -m\vec{v}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -m\vec{v} - (m\vec{v}) = -2m\vec{v}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv$ છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ રહે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{V}_i = V \hat{i}$ છે અને અડધા પરિભ્રમણ પછીનો અંતિમ વેગ $\vec{V}_f = -V \hat{i}$ છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$ થાય.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{V}| = 2V$ છે.
અડધા વર્તુળમાં કાપેલું અંતર $d = \pi r$ છે.
અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{V} = \frac{\pi r}{V}$ છે.
સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{V}}{t}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$a_{avg} = \frac{2V}{\frac{\pi r}{V}} = \frac{2V^2}{\pi r}$ મળે.

(A) સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક મૂલ્યો $m, v, r$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે $m, v$ અને $r$ ત્રણેયમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવા મૂલ્યો:
$m' = m + 0.5m = 1.5m = \frac{3}{2}m$
$v' = v + 0.5v = 1.5v = \frac{3}{2}v$
$r' = r + 0.5r = 1.5r = \frac{3}{2}r$
નવું બળ $F'$ આ મુજબ છે:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{3}{2}v)^2}{\frac{3}{2}r} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{9}{4}v^2)}{\frac{3}{2}r} = \frac{9}{4} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ છે.
બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = \frac{1.25F}{F} \times 100 = 125 \%$ છે.

(A) ધારો કે ભારે પદાર્થ ($3m$ દળ) ની સ્પર્શકીય ઝડપ $v$ છે.
તેથી,હલકા પદાર્થ ($m$ દળ) ની સ્પર્શકીય ઝડપ $nv$ થશે.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $F_1 = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $F_2 = \frac{(3m)v^2}{(r/3)} = \frac{9mv^2}{r}$.
કેન્દ્રગામી બળ સમાન હોવાથી $(F_1 = F_2)$:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{9mv^2}{r}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $m, v^2$ અને $r$ ને દૂર કરતા:
$n^2 = 9$.
તેથી,$n = 3$.

(A) પરિભ્રમણના અડધા સમયગાળામાં,કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી વ્યાસાંત બિંદુએ પહોંચે છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે વર્તુળનો વ્યાસ છે: $2 R$.
કાપેલું અંતર એ કાપેલા પથની લંબાઈ છે,જે વર્તુળના પરિઘનું અડધું માપ છે: $\frac{1}{2} \times (2 \pi R) = \pi R$.
તેથી,સ્થાનાંતર $2 R$ છે અને કાપેલું અંતર $\pi R$ છે.

(C) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ હોય છે,તેથી કોણીય પ્રવેગ $\vec{\alpha} = 0$ થાય છે.
$\vec{\alpha} = 0$ હોવાથી,સદિશ $\vec{\alpha}$ એ શૂન્ય સદિશ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ એ ગતિના સમતલને લંબ હોય છે,અને રેખીય વેગ $\vec{v}$ ગતિના સમતલમાં હોય છે,તેથી $\vec{\omega} \perp \vec{v}$ સાચું છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}$ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે ગતિના સમતલમાં હોય છે,તેથી $\vec{\omega} \perp \vec{a}$ સાચું છે.
રેખીય વેગ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે,અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}$ ત્રિજ્યાવર્તી હોય છે,તેથી $\vec{v} \perp \vec{a}$ સાચું છે.
જોકે,$\vec{\alpha} = 0$ (શૂન્ય સદિશ) હોવાથી,તેની કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી કે જેથી તે $\vec{\omega}$ ને લંબ હોય. તેથી,સમાન વર્તુળાકાર ગતિના સંદર્ભમાં $\vec{\omega} \perp \vec{\alpha}$ વિધાન ખોટું ગણાય છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે તેના પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m r \omega^2$ છે.
બંને કાર સમાન સમય $t$ માં વર્તુળ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમનો કોણીય વેગ સમાન છે: $\omega = \frac{2\pi}{t}$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ $F_{1}$ અને $F_{2}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m_{1} r_{1} \omega^2}{m_{2} r_{2} \omega^2} = \frac{m_{1} r_{1}}{m_{2} r_{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $m_{1} r_{1} : m_{2} r_{2}$ થાય છે.

(A) કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $V$ અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. અડધા પરિભ્રમણ પછી,વેગ સદિશ $\vec{v}_i = V \hat{i}$ થી બદલાઈને $\vec{v}_f = -V \hat{i}$ થાય છે.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2V$ છે.
અડધા પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $\pi R$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{\pi R}{V}$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{t} = \frac{2V}{\frac{\pi R}{V}} = \frac{2V^2}{\pi R}$.

(A) $v$ વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $U.C.M.$ કરી રહ્યો હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = a r$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $v^2 = a r$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
$E = \frac{m a r}{2}$
$a$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$a = \frac{2 E}{m r}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m \omega^2 r$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ થાય.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 r = \frac{4 \pi^2 m r}{T^2}$.
બળના મૂલ્યનું વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{F} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}} = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{m r}$.

(A) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ કોણીય વેગ છે અને $v$ રેખીય વેગ છે.
આના પરથી,આપણે $v = \frac{a}{\omega}$ લખી શકીએ.
કોણીય પ્રવેગની વ્યાખ્યા $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ છે.
સંબંધ $v = r\omega$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળાકાર ગતિ માટે સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r\alpha$ છે.
આપેલ ચલો વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનમાં લેતા:
$\omega = \frac{a}{v}$ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\alpha = \frac{\omega a}{v}$ એ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચો સંબંધ છે જેનો ઉપયોગ સરળ ગતિશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં થાય છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(UCM)$ માં,પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
પદાર્થનો વેગ હંમેશા કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા (સ્થાન સદિશ) એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા પદાર્થના તત્કાલીન વેગ સદિશને લંબ હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે,જે $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ છે.
$UCM$ માં દરેક બિંદુએ $\vec{F} \perp d\vec{s}$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = \int F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$.
આમ,વર્તુળાકાર માર્ગના કોઈપણ ભાગમાં,જેમાં $\left(\frac{2}{3}\right)$ ભાગનો પણ સમાવેશ થાય છે,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(D) જ્યારે બોલને હવામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર બે મુખ્ય બળો કાર્ય કરે છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન),જે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે $mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. હવાનો અવરોધ (ઘર્ષણ બળ),જે હંમેશા બોલના તત્કાલિન વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
સ્થાન $X$ પર,બોલ પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ કરી રહ્યો છે. તેનો વેગ સદિશ તે બિંદુએ માર્ગને સ્પર્શક છે,જે ઉપર અને આગળની તરફ નિર્દેશિત છે. તેથી,હવાનો અવરોધ નીચે અને પાછળની તરફ (વેગ સદિશની વિરુદ્ધ) કાર્ય કરે છે.
આ બંનેને જોડતા,વજન શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,અને હવાનો અવરોધ નીચે અને પાછળની તરફ એક ખૂણે લાગે છે. આ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સદિશ આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \phi}{2g}$
જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\phi$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
અહીં $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$H \propto \sin^2 \phi$ થાય.
બે પદાર્થો માટે,ખૂણાઓ $\phi_1 = \theta$ અને $\phi_2 = 90^{\circ} - \theta$ છે.
તેમની મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2(90^{\circ} - \theta)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$
તેથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\tan^2 \theta : 1$ છે.

(C) એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં, કાપેલું કુલ અંતર $2\pi r$ છે, જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે. અંતર શૂન્ય ન હોવાથી, સરેરાશ ઝડપ (કુલ અંતર / કુલ સમય) શૂન્ય નથી. તેથી, વિધાન $C$ ખોટું છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં, જો કણ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે, તો તે તેના પ્રારંભિક સ્થાને પાછો ફરે છે, તેથી સ્થાનાંતર શૂન્ય છે. આમ, વિધાન $B$ સાચું છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે. સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવાથી, સરેરાશ વેગ પણ શૂન્ય છે. આમ, વિધાન $D$ સાચું છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે, પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે, જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને દરેક બિંદુએ શૂન્યતર હોય છે. તેથી, એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પર સરેરાશ પ્રવેગ પણ શૂન્ય થાય છે. આમ, વિધાન $A$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે, વિમાનની ઝડપ $v = 720 \text{ km/h} = 720 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 200 \text{ m/s}$.
બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$.
આડી લૂપની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
$r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{(200)^2}{10 \times \tan 45^{\circ}}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$, તેથી $r = \frac{40000}{10 \times 1} = 4000 \text{ m}$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા, $r = 4 \text{ km}$.

(D) બોલ પર હવાના કારણે લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_a$ હંમેશા બોલના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. ગતિપથના કોઈપણ બિંદુએ બોલનો વેગ હંમેશા તે બિંદુએ ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
પદાર્થનું વજન $W$ હંમેશા પૃથ્વીની સપાટીને લંબ અને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
સ્થાન $X$ પર,બોલ તેના ગતિપથના ઉપરના ભાગમાં છે,તેથી તેનો વેગ સદિશ ઉપરની અને આગળની દિશામાં છે. તેથી,હવાનો અવરોધ $f_a$ નીચેની અને પાછળની દિશામાં (વેગની વિરુદ્ધ) કાર્ય કરશે. વજન $W$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે. આ ગોઠવણી વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,m \,s^{-1}$, બળ $F = 3 \,N$, સમય $t = 2 \,s$.
બળ પ્રારંભિક વેગને લંબ રૂપે લગાડવામાં આવે છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $x$-અક્ષ પર છે ($u_x = 4 \,m \,s^{-1}$, $u_y = 0$).
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a = F/m = 3/2 = 1.5 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ પ્રવેગ $y$-દિશામાં કાર્ય કરે છે, તેથી $a_y = 1.5 \,m \,s^{-2}$ અને $a_x = 0$.
$t = 2 \,s$ પછી અંતિમ વેગના ઘટકો:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 0 = 4 \,m \,s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (1.5)(2) = 3 \,m \,s^{-1}$.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m \,s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.6 \, kg$, ત્રિજ્યા $r = 1 \, m$, આવૃત્તિ $f = \frac{900}{\pi} \, \text{rpm}$.
પ્રથમ, આવૃત્તિને પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ (Hz) માં ફેરવો:
$f = \frac{900}{\pi} \times \frac{1}{60} = \frac{15}{\pi} \, \text{Hz}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{15}{\pi} = 30 \, \text{rad/s}$.
રેખીય વેગ $v = \omega r = 30 \times 1 = 30 \, \text{m/s}$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 0.6 \times (30)^2$.
$K = 0.3 \times 900 = 270 \, \text{J}$.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે વાહન વળાંક લે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર અથવા વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેમાં મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
ભલે વળાંક દરમિયાન વાહનની ઝડપ અચળ રહે,પરંતુ વક્ર માર્ગના દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
દિશા બદલાતી હોવાથી,વેગ સદિશ બદલાય છે.
તેથી,વાહનનો વેગ સમાન રહેતો નથી.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = -\hat{i} + \hat{j} \,ms^{-1}$, પ્રવેગ $\vec{a} = 6\hat{i} + 4\hat{j} \,ms^{-2}$, અને સમય $t = 2 \,s$.
સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{s} = (-\hat{i} + \hat{j})(2) + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(2)^2$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(4)$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 2(6\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{i} + 8\hat{j}$
$\vec{s} = 10\hat{i} + 10\hat{j} \,m$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \,m$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$, તેથી મૂલ્ય $10 \times 1.414 = 14.14 \,m$ થાય.

(A) પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે. તેને પૂર્વ $(\hat{i})$ અને ઉત્તર $(\hat{j})$ દિશાના ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$u = (10\sqrt{2} \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (10\sqrt{2} \sin 45^{\circ}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} \ m/s$.
પ્રવેગ દક્ષિણ દિશામાં છે, તેથી $a = -2 \hat{j} \ m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, $t = 5 \ s$ માટે:
$v = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) + (-2 \hat{j}) \times 5$
$v = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} - 10 \hat{j}$
$v = 10 \hat{i} \ m/s$.
આમ, અંતિમ વેગ $10 \ m/s$ પૂર્વ દિશામાં હશે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $y = bx^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dt} = 2bx \frac{dx}{dt}$.
આનો અર્થ એ છે કે $v_y = 2bx v_x$.
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv_y}{dt} = 2b \left( \frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt} \right)$.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી $(a_x = 0)$,આપણને મળે છે $\frac{dv_x}{dt} = 0$.
તેથી,$a_y = 2b(v_x^2)$.
આપેલ છે કે $a_y = a$,તેથી $a = 2bv_x^2$.
$v_x$ માટે ઉકેલતા: $v_x^2 = \frac{a}{2b}$,જે આપે છે $v_x = \sqrt{\frac{a}{2b}}$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેની અવધિ સમાન હોવાથી,$\sin(2\theta_1) = \sin(2\theta_2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\theta_1 = 180^\circ - 2\theta_2$,જેનું સાદું રૂપ $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ અથવા $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$ થાય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \theta_1}{g}}{\frac{2u \sin \theta_2}{g}} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ થાય છે.
કારણ કે $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$,તેથી $\sin \theta_2 = \sin(90^\circ - \theta_1) = \cos \theta_1$.
આમ,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) $R = d_1 + d_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
તેથી,$R = d_1 + d_2 = \frac{u^2}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
$y = h$,$x = d_1$,અને $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} - \frac{g d_1^2}{2u^2 \cos^2 45^{\circ}}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$h = d_1 - \frac{g d_1^2}{2u^2 (1/2)} = d_1 - \frac{g d_1^2}{u^2}$.
$\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$ મૂકતા:
$h = d_1 - \frac{d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1(d_1 + d_2) - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1^2 + d_1 d_2 - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

(D) શિરોલંબ ઉપરની તરફના પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2 u_1}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{2 u_1}{g} = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $u_1 = u_2 \sin \theta$.
શિરોલંબ ગતિ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{(u_2 \sin \theta)^2 / 2g} = \left( \frac{u_1}{u_2 \sin \theta} \right)^2$.
કારણ કે $u_1 = u_2 \sin \theta$,તેથી ગુણોત્તર $1^2 : 1^2 = 1:1$ મળે છે.

(D) સમાન અવધિ માટે,$R_1 = R_2 = R$.
ધારો કે બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^{\circ} - \theta)$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોણ $\theta_1 = \theta$ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
બીજા કોણ $\theta_2 = (90^{\circ} - \theta)$ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u \sin(90^{\circ} - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર $T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right)$ છે.
$T_1 T_2 = \frac{2}{g} \left(\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}\right)$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણને $T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$ મળે છે.
$g$ અચળ હોવાથી,$T_1 T_2 \propto R$.

(A) દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_x = V_0 \cos \alpha$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,દડો તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન આ અચળ સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ એ $T = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડા દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = V_x \times T = (V_0 \cos \alpha) \times \left( \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g} \right)$ છે.
દડાને પકડવા માટે,છોકરાએ સમાન સમય $T$ માં સમાન સમક્ષિતિજ અંતર $R$ કાપવું આવશ્યક છે.
ધારો કે છોકરાનો વેગ $v_b$ છે. તેથી,$R = v_b \times T$.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $v_b \times T = (V_0 \cos \alpha) \times T$ મળે છે.
તેથી,છોકરાનો વેગ $v_b = V_0 \cos \alpha$ હોવો જોઈએ.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ખૂણા $\theta$ માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
ખૂણા $(90^{\circ}-\theta)$ માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$H_1$ અને $H_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$H_1 H_2 = \left(\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\right) \left(\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}\right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $H_1 H_2 = \frac{(2u^2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{R^2}{16}$.
તેથી,$R^2 = 16 H_1 H_2$,જેનું સાદું રૂપ $R = 4 \sqrt{H_1 H_2}$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની કુલ અવધિ $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{30^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{900 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 90 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 45 \sqrt{3} \,m$.
હવામાં રહેવાનો સમય (Time of flight) $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 30 \times \sin 30^{\circ}}{10} = \frac{60 \times 0.5}{10} = 3 \,s$.
બીજો ખેલાડી પ્રથમ ખેલાડીથી $d = 21 \sqrt{3} \,m$ ના અંતરે ઉભો છે. બોલ જમીન પર પડે તે પહેલાં તેને પકડવા માટે, ખેલાડીએ તે બિંદુ સુધી પહોંચવું પડે જ્યાં બોલ પડે છે. આ માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ એ છે કે તે ઉડ્ડયન સમય $T$ માં અંતર $R$ સુધી પહોંચે.
બીજા ખેલાડીએ કાપવાનું અંતર $S = R - d = 45 \sqrt{3} - 21 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \,m$ છે.
ખેલાડી કિક મારવાના સમયે જ દોડવાનું શરૂ કરે છે, તેથી આ અંતર કાપવા માટેનો સમય $T = 3 \,s$ છે.
તેથી, લઘુત્તમ ઝડપ $v$:
$v = \frac{S}{T} = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} \,ms^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ $v = u \cos \theta$ હોય છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ $u$ કરતા અડધી છે,તેથી $u \cos \theta = \frac{1}{2} u$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin 2 \theta / g}{u^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{2 \sin 2 \theta}{\sin^2 \theta}$ થાય.
નિત્યસમ $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{R}{H} = \frac{2(2 \sin \theta \cos \theta)}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$ મળે છે.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,$\frac{R}{H} = 4 \cot 60^{\circ} = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કણનો તત્કાલીન વેગ છે.
ગતિ દરમિયાન વેગનો આડો ઘટક $(v_x = u \cos \theta)$ અચળ રહે છે,તેથી કુલ વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ એ શિરોલંબ ઘટક $v_y$ પર આધાર રાખે છે.
શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ નું મૂલ્ય પ્રક્ષેપણ બિંદુ $(t=0)$ અને જમીન પર પડવાના બિંદુ ($t=T$,જ્યાં $T$ એ કુલ ઉડ્ડયન સમય છે) પર મહત્તમ હોય છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુએ કાપેલું આડું અંતર $0 \ m$ છે. જમીન પર પડવાના બિંદુએ કાપેલું આડું અંતર તેની અવધિ $R = 100 \ m$ જેટલું હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,ગતિઊર્જા શરૂઆતમાં અને અંતમાં મહત્તમ હોય છે. $0 \ m$ વિકલ્પમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $100 \ m$ છે.